对面积的曲面积分教案设计
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G第一型曲面积分PPT教案
交线为
设S1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dxy
(x, y)
x2
y2
1 2
a2
, 则
I S1 (x2 y2) d S
第12页/共36页
13
I S1 (x2 y2) d S
(x2 y2)
Dx y
a
dxd y
a2 x2 y2
2
d
1 2
2a
a r2
r dr
Dxy a y x
S
dS z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
a2 h2
0
第8页/共36页
9
思考: 若 S 是球面 出的上下两部分, 则
dS
S
z
(
0
)
dS
S
z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
G第一型曲面积分
1
第1节 第一型曲面积分
(或：对面积的曲面积分)
本节内容： 一、第一型曲面积分的概念
二、第一型曲面积分的计算
第22章
第1页/共36页
2
一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度
求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k ,k , k )
“分割---大化小, 近似代替---常代变, 求近似和, 取极限”
的方法, 可得
n
M
பைடு நூலகம்
o
对面积的曲面积分教案设计
解： ，
在 平面的投影区域
例3求 ，
解：把曲面 分为 和 ， ： ,
曲面 在 平面的投影
课程总结分析
首先通过求光滑曲面的质量，引入对面积的曲面积分的概念，介绍了“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想，然后阐述对面积曲面积分的存在条件和性质，最后介绍了对面积曲面积分的计算方法。
本章思考题
1.对面积曲面积分存在的条件是什么？
对面积的曲面积分教案设计
课题
对面积的曲面积分
课时
1课时
教学目的和要求
教学目的：
使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。
教学要求：
1.了解对面积的曲面积分的概念；
2.理解对面积的曲面积分的性质；
3.掌握对面积的曲面积分的计算方法；
重点难点
对面积的曲面积分的计算
教学方法
讲授（板书）
教学内容
一、概念的引入
前面介绍了第一类曲线积分 ，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？
2.对面积的曲面积分除了求曲面的质量，还有什么应用？
主要参考资料
1.同济大学数学系编著.高等数学（第六版.下册）[M].北京：高等教育出版社，2007.
2.曹圣山，生汉芳，王新心..大学教材全解.高等数学[M].延吉：延边大学出版社，2012.
备注
如果是闭曲面，积分号写成
2.存在条件： 在光滑曲面 上连续。
3.对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质
在 平面的投影区域
例3求 ，
解：把曲面 分为 和 ， ： ,
曲面 在 平面的投影
课程总结分析
首先通过求光滑曲面的质量，引入对面积的曲面积分的概念，介绍了“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想，然后阐述对面积曲面积分的存在条件和性质，最后介绍了对面积曲面积分的计算方法。
本章思考题
1.对面积曲面积分存在的条件是什么？
对面积的曲面积分教案设计
课题
对面积的曲面积分
课时
1课时
教学目的和要求
教学目的：
使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。
教学要求：
1.了解对面积的曲面积分的概念；
2.理解对面积的曲面积分的性质；
3.掌握对面积的曲面积分的计算方法；
重点难点
对面积的曲面积分的计算
教学方法
讲授（板书）
教学内容
一、概念的引入
前面介绍了第一类曲线积分 ，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？
2.对面积的曲面积分除了求曲面的质量，还有什么应用？
主要参考资料
1.同济大学数学系编著.高等数学（第六版.下册）[M].北京：高等教育出版社，2007.
2.曹圣山，生汉芳，王新心..大学教材全解.高等数学[M].延吉：延边大学出版社，2012.
备注
如果是闭曲面，积分号写成
2.存在条件： 在光滑曲面 上连续。
3.对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质
对面积的曲面积分
, k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y 1 z x 2 ( k
f ( k ,k , z ( k ,k ))
(光滑)
1 z x 2 ( k , k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性. 在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2 , 则有
f ( x, y, z ) d S
( k ,k , k )
的方法, 可得
M
n
k 1
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
2 : z 1 x2 y2 1 1 , 2 在 xoy 内的投影区域
D: x y 1 故 ( x 2 y 2 )dS
2 2
1
o x
y
1
2 2 2 ( x y )dxdy ( x y ) 1 z z dxdy 2 2 2 x 2 y D 2
d xd y
z
o x
1
Dx y
y
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
思考与练习
P219 题1；3；4(1) ;
f ( k ,k , z ( k ,k ))
(光滑)
1 z x 2 ( k , k ) z y 2 ( k , k ) ( k ) x y
山东农业大学
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主讲人： 苏本堂
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性. 在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2 , 则有
f ( x, y, z ) d S
( k ,k , k )
的方法, 可得
M
n
k 1
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
山东农业大学
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主讲人： 苏本堂
定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
2 : z 1 x2 y2 1 1 , 2 在 xoy 内的投影区域
D: x y 1 故 ( x 2 y 2 )dS
2 2
1
o x
y
1
2 2 2 ( x y )dxdy ( x y ) 1 z z dxdy 2 2 2 x 2 y D 2
d xd y
z
o x
1
Dx y
y
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主讲人： 苏本堂
思考与练习
P219 题1；3；4(1) ;
D11_4对面积曲面积分
2 4 2 2 2 I ( x y z ) d S ( x y z ) d S 3 3 ( xd S yd S zd S ) 利用质心公式: x d S 4 xd S 4 x d S x d S
f ( x, y, z) dS 存在, 且有 f ( x , y , z ( x, y ) ) Dxy
注: 向另外两个坐标面投影有类似的公式.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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《高等数学》电子教案
第十一章 曲线积分与曲面积分
例1. 计算 在第一挂限部分.
例5. 计算 之间的圆柱面
其中 是介于平面
分析: 若将曲面分为前后(或左右)
两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素
z
H
z
1
2 2
dz
则这一小带的质量为 所以 I
H
R z
2 R d z
0
H 2 arctan R R2 z 2
目 录 上一页
2 R d z
o x
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y
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
结 束
《高等数学》电子教案
第十一章 曲线积分与曲面积分
例6. 设 : x y z a
2
2
2
2
z
o x
2 2
1
计算 I f ( x, y, z ) d S .
Dx y
2
y
解: 锥面 z x y 交线为
2
2 与上半球面 z
《高等数学》电子教案
第四节对面积的曲面积分11-421页PPT
• 线性性质.
k 1 f(x ,y ,z) k 2 g (x ,y ,z)d S k 1 f(x ,y ,z )d S k 2 g (x ,y ,z )d S
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面 一往xoy面投影 z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
例：求 f x2 y2 z2 ds，
其中为球面x2 y2 z2 R2
对面积的曲面积分的计算过程可分为如下几步：
1 首先根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲面表 示为显函数形式，同时确定相应的坐标面上的投影区 域；
2 根据曲面方程求得相应的面积元素ds；
3 将曲面方程的表达式和面积元素ds代入曲线积分而得 到相应投影区域上的二重积分；
o
y
f(x,y,z)dS存在, 且有 二代
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
)
一投二代三换元， 对面积的曲面几分化为二重积分
为曲面的面积元素
若 曲 面 为 ： y y (x ,z ) ,(x ,z ) D x z
往zox平面投影
则 f(x,y,z)dSf[x,y(x,z)z,]1yx2yz2dx;d
a2h2
0
例题2
计算
1
1 x y2
dS , 其中为平面
x y z 1及三个坐标面所围立体的表面。
例题3 设为锥面z= x2 y2在柱体
x2 y2 2x内的部分，求曲面积分 zds
例4 计算曲面积分 I (a xb yc zd)2d,s
4 4 计算转化后的二重积分。
例1. 计算曲面积分
其中是球面
k 1 f(x ,y ,z) k 2 g (x ,y ,z)d S k 1 f(x ,y ,z )d S k 2 g (x ,y ,z )d S
二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面 一往xoy面投影 z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
例：求 f x2 y2 z2 ds，
其中为球面x2 y2 z2 R2
对面积的曲面积分的计算过程可分为如下几步：
1 首先根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲面表 示为显函数形式，同时确定相应的坐标面上的投影区 域；
2 根据曲面方程求得相应的面积元素ds；
3 将曲面方程的表达式和面积元素ds代入曲线积分而得 到相应投影区域上的二重积分；
o
y
f(x,y,z)dS存在, 且有 二代
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
)
一投二代三换元， 对面积的曲面几分化为二重积分
为曲面的面积元素
若 曲 面 为 ： y y (x ,z ) ,(x ,z ) D x z
往zox平面投影
则 f(x,y,z)dSf[x,y(x,z)z,]1yx2yz2dx;d
a2h2
0
例题2
计算
1
1 x y2
dS , 其中为平面
x y z 1及三个坐标面所围立体的表面。
例题3 设为锥面z= x2 y2在柱体
x2 y2 2x内的部分，求曲面积分 zds
例4 计算曲面积分 I (a xb yc zd)2d,s
4 4 计算转化后的二重积分。
例1. 计算曲面积分
其中是球面
对面积的曲面积分
，其中 由 和 组成
证明：因为 在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面 怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面 时，可以永远把 和 的边界曲线作为分割线，从而保证 整个位于 上，于是 上的积分和等于 上的积分和加上 上的积分和，即
令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：
3.当 时 面内的一个闭区域 时，曲面积分 和二重积分有什么关系。
（2）利用积分曲面 的方程化简被积函数．
例3计算曲面积分 ，其中 是平面 被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.
解法一 . 在 平面上的投影是三角形，记为 .
.
解法二 .
【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.
例4计算 , 为立体 的边界.
解：当 时 面内的一个闭区域 时， 在 上的投影区域即为 ， 上的 恒为 ，并且 ，所以 ，即曲面积分与二重积分相等。
4.计算曲面积分 ，其中 为抛物面 在 面上方的部分， 分别如下：
（2） ;（3） ．
解（2） = ，其中 为 在 面上的投影区域，即
.
于是
= .
（3）
= .
5. 计算 ，其中 是：
．
【注】定义中的“ ”是面积元素，因此， ．
2.性质
①关于曲面具有可加性，若 ，且 与 没有公共的内点，则
；
②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面 的面积 ，即
．
3.对面积的曲面积分的计算
设曲面 由 给出， 在 面上的投影区域为 ，函数 在 上具有连续偏导数，被积函数 在 上连续，则
．
同样地
，
解以球心为原点，铅锤直径为 轴建立直角坐标系，则球面方程为 ，且任意点 处的密度为 ．
证明：因为 在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面 怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面 时，可以永远把 和 的边界曲线作为分割线，从而保证 整个位于 上，于是 上的积分和等于 上的积分和加上 上的积分和，即
令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：
3.当 时 面内的一个闭区域 时，曲面积分 和二重积分有什么关系。
（2）利用积分曲面 的方程化简被积函数．
例3计算曲面积分 ，其中 是平面 被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.
解法一 . 在 平面上的投影是三角形，记为 .
.
解法二 .
【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.
例4计算 , 为立体 的边界.
解：当 时 面内的一个闭区域 时， 在 上的投影区域即为 ， 上的 恒为 ，并且 ，所以 ，即曲面积分与二重积分相等。
4.计算曲面积分 ，其中 为抛物面 在 面上方的部分， 分别如下：
（2） ;（3） ．
解（2） = ，其中 为 在 面上的投影区域，即
.
于是
= .
（3）
= .
5. 计算 ，其中 是：
．
【注】定义中的“ ”是面积元素，因此， ．
2.性质
①关于曲面具有可加性，若 ，且 与 没有公共的内点，则
；
②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面 的面积 ，即
．
3.对面积的曲面积分的计算
设曲面 由 给出， 在 面上的投影区域为 ，函数 在 上具有连续偏导数，被积函数 在 上连续，则
．
同样地
，
解以球心为原点，铅锤直径为 轴建立直角坐标系，则球面方程为 ，且任意点 处的密度为 ．
对面积的曲面积分
14
I ( 3 1) d x
0
1
1 x
1 (1 x y ) 2
0
dy
d z
0
1
1 z
0 1 z
1 dx 2 (1 x) 1 dy 2 (1 y )
z 1
1 x
d z
0
1
0
o
1y
3 3 ( 3 1) ln 2 2
15
例4. 设 : x 2 y 2 z 2 a 2
其中 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 1 , 2 , 3 , 4 分别表示 在平面 上的部分, 则
o
1 x 1 y
原式 =
1
2
x y z dS 3 4
0 y 1 x 4 : z 1 x y , ( x, y ) D x y : 0 x 1 1 1 x 3 x d x y (1 x y ) d y 3 120 0 0
13
例3：设 是四面体 x y z 1 , x 0 , y 0 , z 0 的表
面, 计算
z 1
1 x
解: 在四面体的四个面上
平面方程
o
1y
dS
3 dx d y
投影域
z 1 x y y0
Dx y : 0 x 1 , 0 y 1 x
同上
d z d x Dz x : 0 z 1 , 0 x 1 z
y y
积分后得旋转体的侧面积
y f (x)
o a o a
一对面积的曲面积分的概念与性质省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
定义 设曲面S是光滑，函数f (x, y, z)在S上有界． 把S任意
分成n小块Si (Si同时也代表第i小块曲面面积)， 设(xi, hi, zi )是
Si上任意取定一点， 作乘积 f(xi, hi, zi )Si (i =1, 2, ···, n)，并作
n
和 f(xi, hi, zi )Si．
M f (x, y, z)dS S
另首先，设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上
投影区域为Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上含有连续偏导数，则光滑曲 面S质量M也可用元素法来求：
S上任意点(x, y, z)处面积元素为
dS
1
z
2 x
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y
)dxdy
，
质量元素为 dM
(x, y, z)dS (x, y, z)dS (x, y, z)dS ．
S1 S2
S1
S2
z 对面积曲面积分性质：
由对面积曲面积分定义 可知，它含有与对弧长曲线积 类似性质，这里不再赘述．
S1
S2
O x
y
第5页
二、对面积曲面积分计算
前面已指出，面密度为连续函数f(x, y, z)光滑曲面S质量 M，可表示为f(x, y, z)在S上对面积曲面积分:
z
(xi, hi, zi )
i 1
S
Si
O x
y
第2页
一、对面积曲面积分概念与性质
设f(x, y, z)为非均匀曲面形金属构件S面密度，则以下定 义曲面积分过程能够看成是求曲面形金属构件质量过程。
定义 设曲面S是光滑，函数f (x, y, z)在S上有界． 把S任意
高等数学 第四节 对面积的曲面积分
第十一章 第四节
8
轮换对称性 如果积分曲面 Σ 的方程中某两个变量对调其方程 不变， 则将被积函数的这两个变量对调积分值不 变，例如：Σ 中 x 与 y 对调 Σ 不变
f ( x , y , z)dS f ( y , x , z)dS
Σ
Σ
注意：利用曲面方程化简曲面积分
曲面积分和曲线积分一样，积分区域是由积分变
一卦限中的部分，则有( C )。
( 2000 考研 )
第十一章 第四节
15
例6 设 : x2 y2 z2 a2
计算 I f ( x , y , z)dS 。
Σ
z
a
Σ1 a
2
O Dxy
xa
ay Σ2
第十一章 第四节
16
例7
计算 I =
dS x2 y2 z2
其中 Σ 是介于平面
之间的圆柱面
量的等式给出的，因而可以将 Σ 的方程直接代入
被积表达式。
第十一章 第四节
9
例1 计算曲面积分 I x2dS ， Σ 为
Σ
x2 y2 a2 介于 z 0 与 z k 之间的部分。
z k
O y
x
第十一章 第四节
10
具体步骤： 1 根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲 面表示为显函数，同时确定相应的坐标面上的投 影区域； 2 根据曲面方程求得相应的面积元素 dS ； 3 将曲面方程的表达式和面积元素 dS 代入被积 表达式而得到相应投影区域上的二重积分； 4 计算转化后的二重积分。
第十一章 第四节
6
若曲面为：y y( x , z) , ( x , z) Dxz 往 zOx 平面投影
则 f ( x , y , z)dS f [x , y( x , z) , z] 1 yx2 yz2dxdz
12-1 对面积的曲面积分
例 12.1.1 设曲面 : x y z 1，则 (x | y |)dS
．
解 由于曲面 关于 yOz 平面对称，且 x 关于 x 为奇函数，因此 x dS =0．
又曲面 : x y z 1分别关于平面 y x 、x z 和 z y 对称，对面
积的曲面积分的轮换对称性，有
式 (12.1.1) 、 (12.1.2) 或 (12.1.3) 中之一进行计算．
15-12
例 12.1.2 设 {(x, y, z) x y z 1, x 0, y 0, z 0} ， 计 算 曲 面 积 分
解 y2dS:．z 1 x y ， (x, y) Dxy ，其中 Dxy 为
2
f (x, y, z)dS, 如果f (x, y, z)在 上关于z为偶函数.
1
⑵ 如果 关于 yOz 平面对称， 1 为 在 yOz 平面前侧的部分曲面，则
0,
如果f (x, y, z)在 上关于x为奇函数,
f
(x,
y, z)dS
2
f (x, y, z)dS, 如果f (x, y, z)在 上关于x为偶函数.
1 1 y2
0
综上可得
zdS 0 π π 2π ．
15-15
积分或第一型曲面积分，记为 f (x, y, z)dS ，即
n
f (x, y, z)dS lim 0 i1
f (i ,i , i )Si ．
15-5
（续定义）
n
f (x, y, z)dS lim 0 i1
f (i ,i , i )Si ，
其中 f (x, y, z) 称为被积函数， 称为积分曲面，dS 称曲面面积元素．
上连续，则
f (x, y, z)dS f (x, y, z(x, y)) 1 zx2(x, y) zy2(x, y)dxdy ． (12.1.1)
9.4 对面积的曲面积分
i =1 i i i i
n
λ → 0 时, 这和的极限 lim ∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )ΔSi 总存在,那么 λ →0
称此极限值为 f ( x, y, z ) 在曲面 Σ 上对面积的曲面积分
i =1
（或第一类曲面积分）, 记为 ∫∫ f ( x , y , z )dS ,即
Σ
2009年7月27日星期一
2 故 1 + z x + z 2 是曲面法线与 z 轴夹角的余弦 y
的倒数.
2009年7月27日星期一
12
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2. Σ : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ( z ≥ 0 ), Σ1为Σ 在第 一卦限中的部分, 则有( C ).
( A) ( B) (C ) ( D)
∫∫Σ xdS = 4∫∫Σ ∫∫Σ zdS = 4∫∫Σ
则
∫∫ f ( x, y, z )dS
Σ
= ∫∫ f [ x( y, z ), y, z ] 1 + x′ + x′ dydz. y z
2 2 Dyz
2009年7月27日星期一
6
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1 例 1 计算曲面积分 ∫∫ dS ,其中 z Σ
Σ 是 单 位 球 面 x2 + y 2 + z 2 = 1 被 平面 z = h （ 0 < h < 1 ）所截得的 顶部（如右图）.
Σ1 Σ2 Σ3
在 Σ 4 上, z = 1 − x − y ,
1 + z x 2 ( x, y ) + z y 2 ( x, y ) = 1 + (−1) 2 + (−1) 2 = 3 ,
n
λ → 0 时, 这和的极限 lim ∑ f (ξ i ,ηi , ζ i )ΔSi 总存在,那么 λ →0
称此极限值为 f ( x, y, z ) 在曲面 Σ 上对面积的曲面积分
i =1
（或第一类曲面积分）, 记为 ∫∫ f ( x , y , z )dS ,即
Σ
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2 故 1 + z x + z 2 是曲面法线与 z 轴夹角的余弦 y
的倒数.
2009年7月27日星期一
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2. Σ : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ( z ≥ 0 ), Σ1为Σ 在第 一卦限中的部分, 则有( C ).
( A) ( B) (C ) ( D)
∫∫Σ xdS = 4∫∫Σ ∫∫Σ zdS = 4∫∫Σ
则
∫∫ f ( x, y, z )dS
Σ
= ∫∫ f [ x( y, z ), y, z ] 1 + x′ + x′ dydz. y z
2 2 Dyz
2009年7月27日星期一
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1 例 1 计算曲面积分 ∫∫ dS ,其中 z Σ
Σ 是 单 位 球 面 x2 + y 2 + z 2 = 1 被 平面 z = h （ 0 < h < 1 ）所截得的 顶部（如右图）.
Σ1 Σ2 Σ3
在 Σ 4 上, z = 1 − x − y ,
1 + z x 2 ( x, y ) + z y 2 ( x, y ) = 1 + (−1) 2 + (−1) 2 = 3 ,
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例1若曲面是光滑的，它的面密度为连续函数，求它的质量。
解：“分割”：用网格线分割曲面为S, S2,K , S n,
"近似”：i, i, i S；
n
“求和”：i, i, i S ;
i 1
“取极限”：lim ,, , , S i .
i
0 17 1,1
i 1
、对面积的曲面积分
1.定义：设曲面是光滑的，函数f x,y,z在上有界，把
分成n个小块S i （S i同时也表示第个小块曲面的面积），设点i, i, i为S i上任意取定的点，
n
作乘积f i, i, i S j,并作和f i, i, i s。
如果当各小块曲面的直径的
，i 1 ，
最大值0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f x,y,z在曲面上对
面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为 f x, y, z dS，即
三换：换面积元dS ;
按照曲面的不同情况分为以下三种:
3.若曲面 ：x x y,z
f x,y,z dS f x y, z , y, z J i x ： x ；dydz
D yz
四举例
例：求球面x 2 y 2 z 2 a 2在h z a 部分的质量 0 h a ，已知球面上一点的
1
面密度为该点竖坐标的倒数
x, y, z -
z
1
解：Q M x, y, z dS dS
z
球面 在 xOy 平面的投影：x 2 y 2 a 2 h 2， z a 2 x 2 y 2， h z a ，
a 2 h 2
a
d 2 aln
a 2 2
解：1:x 0, y 0, z 0, y z 1 ,
1. 若曲面 ：z
f x,y,z dS
2. 若曲面 ：y f x, y, z dS
z x,y
f x, y, z x, y
D xy
y x,z
f x, y x, z , z
D xz
22
一.1 Z x Z y dxdy ;
1 £ y ；dxdz ;
J 2 2
dS \ 1 Z x z y dxdy
Ja 2
y
~2
x
dxdy
.a 2 Ar dxdy x y
1
dS 2
z
D xy
■- a 2 x 2 y 2 , a 2
dxdy
D xy -2dxdy y
°xyzdS ,
: x 0, y 0,z
0,x y 1所围立体的边界的曲面。
dS、1
x y x；dydz1dydz
2：
y
0,x0,z 0, x z 1
dS .、J Vx y；
dxdz
1dxdz
3 : z0,x0,y 0,x y 1
dS、1z：z：dxdz1dxdy
4: z 1 x y在xOy平面的投影区域x 0, y 0,x
dS v 1 z2 b xyzdS
3；dx
z：dxdy V3dxdy
xyzdS
4
v 3 xy 1 x
D
xy
dxdy
1 x
0 xy y dy
G
120
例 3 求°z2dS,
解：把曲面分为
:x2
曲面在xOy平面的投影
2 2
°zdS z dS 2
1 2 D xy
1: z /a2
2
x,y x a2 z2dS
1
2 a2x2y2、.,1
z；
D
xy
2a \ a2 x2 y2dxdy
D
xy
2a0 d °a 22 2d
z：dxdy。