利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题
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函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题
恒成立问题求参数范围：min )()(x f a x f a <⇔<，max )()(x f a x f a >⇔>.
1.设函数c bx ax x x f 8332)(23+++=在1=x 及2=x 时取得极值
（1）求a,b 的值,
(2)若对于任意的∈x ［0,3］都有
2)(c x f <成立,求c 的取值范围
2. 已知函数x a x x f ln )(2+=
(1)e a 2-=时，求函数)(x f 的单调区间和极值，
(2)若函数x
x f x g 2)()(+
=在［1，4］是减函数，求实数a 的取值范围
3.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；
4.设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．
5.已知函数)(ln )2
1
()(2R x x x a x f ∈+-= （1）当a=1时，求)(x f 在区间[]e ,1的最大值和最小值；（2）若在区间（1， ∞+）上，函数)(x f 的图像恒在直线ax y 2=下方，求a 的取值范围。
函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题
恒成立问题求参数范围：min )()(x f a x f a <⇔<，max )()(x f a x f a >⇔>.
1.设函数c bx ax x x f 8332)(23+++=在1=x 及2=x 时取得极值
（1）求a,b 的值,
(2)若对于任意的∈x ［0,3］都有2)(c x f <成立,求c 的取值范围
答案：1. 解: (1)a=-3,b=4 (2)9+8c
（2）恒成立问题求参数范围：分离参数法。
2. 已知函数x a x x f ln )(2+=
(1)e a 2-=时，求函数)(x f 的单调区间和极值，
(2)若函数x
x f x g 2)()(+=在［1，4］是减函数，求实数a 的取值范围 解得：(1)函数)(x f 的单调递减区间是),0(e ，单调递增区间是（,e )∞+，极小值是0)(=e f （2）由x x a x x g 2ln )(2++=得222)(x x a x x g -+='依题意0)(≤'x g 所以0222≤-+x x a x 即222x x a -≤又222)(x x
x -=ϕ在［1，4］上是减函数， 故 ϕ（4）min =2
63-所以263-≤a 3.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；
(3) 恒成立问题求参数范围—构造新函数法的单调性或利用原函数的单调性
4.设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围． 解法：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a
令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1，
(i )当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x )＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数，
又g (0)＝0，所以对x ≥0，都有g (x )≥g (0)，
即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有f (x )≥ax ．
(ii )当a ＞1时，对于0＜x ＜e
a －1－1，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e a －1－1)是减函数， 又g (0)＝0，所以对0＜x ＜e a －1－1，都有g (x )＜g (0)，
即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立．
综上，a 的取值范围是（－∞，1]．
5.已知函数)(ln )2
1
()(2R x x x a x f ∈+-= （1）当a=1时，求)(x f 在区间[]e ,1的最大值和最小值；
（2）若在区间（1， ∞+）上，函数
)(x f 的图像恒在直线ax y 2=下方，求a 的取值范围。 （1）解（1）.()2
1)1(,21)()(min 2max ==+==f x f e e f x f （2）令x
x a x x a x a x g x ax x a ax x f x g )1)12)((1(12)12()(,ln 2)21(2)()(2---=+--='+--=-= 函数)(x f 的图像恒在直线ax y 2=下方，等价于0)(