2018年温州摇篮杯高一数学竞赛试题(word版)
2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题
2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知a 为正实数，且11()1xf x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为 ． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=⋅⋅⋅，则20181nn a==∑ ．3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos()5αβ+=，12sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数．5.已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t A B -≥，则P AP B ⋅的最小值为 ，此时PA PB += ．7.在ABC ∆中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为 ． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有 个不同的解． 9.设,x y R ∈满足64120x y x y ---+=，则x 的取值范围为 ． 10.四面体P ABC -，6PA BC ==，8PB AC ==，10PC AB ==，则该四面体外接球的半径为 ．二、解答题11.已知动直线l 与圆O ：221x y +=相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2[0,1]max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足212(1,2,,2016)n n n xx x n ++≤=⋅⋅⋅和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明111()i j j i j i i n i j nj na b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)n n ≥格.在内环中固定数字1n .问能否将数字1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 11(,)22-2. 2019580771616-3. 5665- 4. 36 5. 1- 6. 16-；6 7.728. 3 9. 1421314213x -≤≤+ 10. 3 二、解答题11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为1，即211m k=+.原点到AB 的中垂线的最大距离为43. 12.解1：设2()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥⇒≥， 所以只要考虑1b <. （1）当02a-≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥，解得1a ≥. （2）当1022a <-≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2()124a a f --=<. （3）当1122a<-≤时，即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2()124a a f --=<. （4）当12a-≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-.综上1a ≥或3a ≤-.解2：设2[0,1]max x m x ax b ∈=++，则有m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++⇒≥+++≥+依题意，1112aa +≥⇒≥，或3a ≤-. 13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤100910101011100810091010x x xx x x ⇒≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ⇒≤⇒>，同理100910091008101110121012100710081007101010111010x x x x x x x x x x x x =⋅≤⋅=100710121x x ⇒>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此201811nn x=>∏，矛盾.（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j nj nT a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=---+-∑∑，下面用归纳法证明n T n ≥.当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，当1121112122a b T b a b b b a <⇒=-+++->； 当11222112a b T b a a b >⇒=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设121n a a a +<<⋅⋅⋅<，121n b b b +<<⋅⋅⋅<，11n n a b ++<.再设11k n k b a b ++<<，则有11111n n n n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑111111n nn i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，下证1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑11110n nn i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=⋅⋅⋅，得到1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑112()0ni n i k b a +=+=->∑；（2）若11n a b +<，则1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑11()0ni n i b a +==->∑.15.解：设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为1i ，2i ，…，n i ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对1,2,,k n =⋅⋅⋅，记外环数字k i 在按顺时针方向转动k j 格时，和内环数字相同，即mod k k i k j n -=，1,2,,k n =⋅⋅⋅.根据题意，1j ，2j ，…，n j 应是0，1，2，…，1n -的排列.求和11()mod n nk k k k i k j n ==-=∑∑(012(1))mod n n =+++⋅⋅⋅+-1(1)mod 2n n n =-. 于是n 必须是奇数.对于奇数n ，我们取n i n =，m i n m =-，(1,2,,1)m n =⋅⋅⋅-，可以验证mod k k i k j n -=，0n j =，12n j -=，24n j -=，…，121n n jn --=-，12j n =-，14n j n -=-，36j n =-，…，121n j -=，符合题目要求！。
最新-【数学】2018年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 精品
2018年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2018年4月12日本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1．已知ABC ∆是钝角三角形，且角C 为钝角，则点P ()sin sin sin ,sin cos A B C A B +--落在（ ▲ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}{}23,log 4,,x M N x y ==，且{}2MN =，函数:f M N →满足：对任意的(),x M x f x ∈+都有为奇数，满足条件的函数的个数为（ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．43．在等差数列{}n a 中，已知691319a a =，且{}10,n n a s a >为数列的前n 项和，则在12350,,,,s s s s 中，最大的一个是（ ▲ ）A ．15sB ．16sC ．25sD ．30s4．已知函数()2f x +为奇函数，且满足()()6f x f x -=，(3)2f =，则()()20082009f f +的值为（ ▲ ）A ．0B ．2C ．2-D ．20185．已知函数()()421sin cos sin 2cos24f x x x x x x R =++∈，则()f x （ ▲ ）A ．最大值为2B ．最小正周期为πC ．一条对称轴为4x π=D ．一个对称中心为7(,)168π-6．已知函数()122,x f x -=- 关于x 的方程()()220f x f x k -+=，下列四个命题中是假．命题的是 （ ▲ ）A ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；B ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；C ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实根；D ．存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 7．如图，在OAB ∆中，点P 是线段OB 及AB 、AO 的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且OP xOA yOB =+，则在直角坐标平面上，实数对(),x y 所表示的区域在直线3y x -=的右下侧部分的面积是（ ▲ ）A ．72B ．92PMOABNC ．4D ．不能求8．已知函数()()432,,,f x x ax bx cx d a b c d =++++为实常数的图象经过三点12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，13,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14,4C ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()15f f +的值等于 （ ▲ ）A ．0B ．1C ．265D ．25二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
2018年温州市第八届“小科学家摇篮杯”高一化学竞赛试卷 word版 含参考答案
2018年温州市第八届“小科学家摇篮杯”高一化学竞赛试卷（考试时间：2小时；满分：150分）考生须知：1．全卷分试题卷和答题卷两部分。
试题共有五大题，29小题。
满分150分，考试时间120min。
2．本卷答案必须做在答题卷相应位置上，做在试题卷上无效．．．．．．．．，考后只交答题卷．．．．．．．。
必须在答题卷上写清楚学校、姓名、准考证号。
H 1 相对原子质量He4Li 7 Be9B10C12N14O16F19Ne20Na 23 Mg24Al27Si28P31S32Cl35. 5Ar40K 39 Ca40Sc45Ti48V51Cr52Mn55Fe56Co59Ni59Cu64Zn65Ga70Ge73As75Se79Br80Kr84Rb 85.5 Sr88Y89Zr91Nb93Mo96Tc[98]Ru101Rh103Pd106Ag108Cd112In115Sn119Sb122Te128I127Xe131第Ⅰ卷（选择题，共78分）一、选择题（本题包括10个小题，每小题3分，共30分；每小题只有一个选项符合题意。
）1．对中国古代著作涉及化学的叙述，下列说法错误的是A．《抱朴子》中“曾青涂铁，铁赤色如铜”，“曾青”是可溶性铜盐B．《天工开物》中有“至于矾现五色之形，硫为群石之将，皆变化于烈火”，其中的矾指的是金属硫化物C．《本草纲目》中“冬月灶中所烧薪柴之灰，令人以灰淋汁，取碱浣衣”中的碱是K2CO3 D．中国蓝是古代人工合成的蓝色化合物，其化学式为BaCuSi4O10，可改写成BaO·CuO·4SiO2 2．下列有关化学用语的表达中，正确的是A．二氧化硅的分子式：SiO2B．次氯酸的电子式：H Cl OC．质子数为6，中子数为8的核素：614C D．水分子的比例模型：3．中国科学院科研团队研究表明，在常温常压和可见光下，基于LDH（一种固体催化剂）合成NH3的原理示意图如右。
下列说法不正确的是A．此过程属于氮的固定B．反应物的总能量高于生成物的总能量C．氧化剂与还原剂的物质的量之比为1∶3D．原料气N2可通过分离液态空气获得4．下列物质中属于纯净物的是：①由同种元素组成的物质②具有固定熔沸点的物质③由相同种类和相同数目的原子组成的分子④只有一种元素的阳离子和另一种元素的阴离子组成的物质⑤在氧气中燃烧只生成二氧化碳的物质⑥只含有一种分子的物质A．②③⑥B．④⑤⑥C．①④D．②⑥5．下列说法正确的是A．工业冶炼铁、制玻璃、从海水中提取镁或制水泥均用到CaCO3B．澄清石灰水、BaCl2溶液或Ba(NO3)2溶液均不可鉴别SO2与CO2C．向铜与浓硫酸反应后的混合液中加水，判断有无铜离子生成D．工业上用氯气和石灰水制备漂白粉6．你认为下列数据可信的是A．pH试纸测得新制氯水的pH是3 B．某常见气体的密度为1.8g/cm3C．某澄清石灰水的浓度是2.0mol/L D．某元素的原子半径是0.160nm7．反应A+B→C分两步进行：①A+B→X，②X→C，反应过程中能量变化如图所示，E1表示反应A+B→X的活化能。
【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案
【数学竞赛】2018高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A ＝{x||x|≤2，x ∈R }，B ＝{x|x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2) B ．[0，2] C ．{0，2} D ．{0，1，2} 2．若,,,,b a R c b a >∈则下列不等式成立的是( ) A ．ba 11< B ．22b a > C ．1122+>+c bc a D ．c b c a >3.下列函数为偶函数，且在)0,(-∞上单调递减的函数是( ) A ．32)(x x f = B ．3)(-=x x fC ．xx f )21()(=D ．x x f ln )(=4. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β5. 等比数列{}n a 的前项和为n S ，且321,2,4a a a 依次成 等差数列，且11=a , 则10S =( )A ．512 B. 511 C ．1024 D ．1023 6．已知f(x)＝2tanx －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f(π12)的值为( )A.833B. 8 C ．4 D. 4 3 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最大值为()A ．10B ．8-C ．6D ．4 8．已知0,0>>y x ，且112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．24-≤≥m m 或 B. 42-≤≥m m 或 C ． 24<<-m D. 42<<-m9. 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′－BCD 的体积为1310. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，,)2(log )(2b x x x f +++= 则3)(>x f 的解集为（ ）A ．)2,(--∞ ∪ ),2(+∞B . )4,(--∞∪ ),4(+∞C ．)2,2(- D. )4,4(-11. 若直线45π=x 和49π=x 是函数 )0)(sin(>+=w wx y ϕ 图象的两条相邻对称轴，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．43π B. 4π C ．3π D. 2π 12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，[)[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+=,,1,31,1,0),1(log )(21x x x x x f则关于x 的函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（ ） A ．12-a B ．12--a C ．a --21 D ．a 21-二、填空题（每题5分,共20分）13. 已知),1,2(),4,1(),3,(===c b k a 且,)32(c b a⊥-则实数=k _________。
浙江省高中数学联赛试题及参考答案
1
2018
− 1
= ______________。
解 z3 + 1 = 0 ⇒ (z + 1)(z2 − z + 1) = 0 ⇒ z2 − z + 1 = 0 ，所以
z
z
2018
−1
+
z
1
2018
−1
= z( z2021)82+0181 = ( z(3z)637)213z425 z+ 1
取值范围。 解 1 设 f (x) = x2 + ax + b ，对于 b ≥ 1 ⇒ f (0) ≥ 1，
所以只要考虑 b < 1。……………………………………………………5 分
（1）当 − a ≤ 0 时，即 a ≥ 0, 此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得，对 2
任意 b < 1有 f (1) =1 + a + b > f (0) =b, 所以 f (1) =1 + a + b ≥ 1，
A(
x1 ,
y1 ),
B( x2
,
y2
)
，联立
x2
+
9
y2
−
9
， =0
得 (1 + 9k 2 )x2 + 18kmx + (9m2 − 9) = 0 ，得到 x1 + x2 =− 11+8k9mk 2 。
所以
AB
的中点坐标为
(−
1
9km + 9k
2
,
1
m + 9k
2
)
，…………………………10
浙江省高中数学联赛试题及参考答案
n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ T= n+1
bn+1 − ai + an+1 − bi − an+1 − ai − bn+1 − bi + bn+1 − an+1 + Tn
解得 a ≥ 1。………………………………………………………………10 分
（2）当 0 < − a ≤ 1 时，即 −1 ≤ a < 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右 22
端点取得，而对 b = 0 有 f (1) = 1 + a < 1, f (− a ) = −a2 < 1。
x≤0 x≤2
由 f ( f (x)) +1 =0 得 到
x + 3, x > 2
f (x) = −2, 或 f (x) = 0 。 由 f (x) = −2, 得 一 个 解 x = −1 ； 由 f (x) = 0 得 两 个 解
x = −3, x = 1 ，共 3 个解。 3
9. 设 x, y ∈ R 满足 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ，则 x 的取值范围为 ______________。 解 由 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ⇒ ( x − y − 2)2 + ( y − 3)2 =1。令
−
2018 4
=5 16
(52018
− 1)
−
2018 4
=52019 16
−
8077 16
。
3.
已知α , β
∈
3π 4
,π
， cos(α
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛(4)答案
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（4）一、选择题1．岩岩家住在人民广场附近，她经常看到有好多人把自行车存到广场旁边．有一次她问看自行车的老大爷，得知当天的存车量为6 882辆次，其中普通自行车的存车费是每辆次0.2元，电动自行车的存车费是每辆次0.5元，且到19∶00以后，两种存车费都要翻倍．已知该天普通自行车19∶00之前的存车量为5 180辆次，19∶00之后的存车量为335辆次，其总收入为电动自行车的1.5倍．那么电动自行车在晚19∶00前和19∶00后的存车量各有（）A．1 072辆次、294辆次B．1 174辆次、193辆次C．973辆次、394辆次D．1 173辆次、254辆次2．小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整（）A．13分钟B．14分钟C．15分钟D．16分钟3．6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（）A．8 000，13 200 B．9 000，10 000C．10 000，13 200 D．13 200，15 400二、填空题4．小龙乘坐商场的自动扶梯下楼，他以每步一级的速度往下走，结果走了30步就到楼下，猛然发现，由于匆忙包丢在购物处了，接着他又以下楼时速度的3倍冲上楼梯，结果走了90步才到楼上，当电梯停下时，露在外面的电梯一共有级．5．“爱心”教育基金会资助某山村学校13 440元，其中七、八年级的学生平均每人60元，七、八年级的每位学生都接受了资助；九年级每个学生100元，但九年级学生有40%因家庭条件好而未接受资助．则该学校一共有名学生．6．如图3所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为cm．7．你看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图4，AOB∠= ，45cm90OB=，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方OA=，15cm向匀速前进向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC=cm．三、解答题8．（本题15分）2008年北京奥运会的主会场——鸟巢年底就要竣工了，也许你也知道它全都是利用优质钢筋焊接而成的．也许你会为它骄傲，为它自豪．可是你是否知道为了节约钢筋，还有许多科学道理呢？如图5就是从长为40cm，宽为30cm的矩形钢板的左上角剪下一块长为20cm、宽为10cm的矩形后剩下的一块脚料，工人师傅为了节约，要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件再重新使用．（1）请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图5（2）和图5（3）中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得的正方形，保留拼接的痕迹）；（2）比较（1）中的两种方案，哪种更好些？说说你的看法和理由．也为建设节约型社会做出一点贡献！9．（本题15分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风（圣帕）于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图6所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？卷参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．B2．C （提示：从8∶30到12∶00共三个半小时，在这三个半小时内闹钟共慢了14分钟，平均每小时慢4分钟，所以慢钟与正常钟走时之比为604146015-=，慢的闹钟从11点46分走到12点整，按慢钟来计要走14分钟，因此若按准时的钟来计就要15分钟了．）3．C （提示：由题设可知A 、B 、C 三市派往D 市的运输车的辆数分别是x 、x 、（182x -）辆，派往E 市的运输车的辆数为10x -，10x -，210x -，则总运费200300400(182)800(10)700(10)500(210)W x x x x x x =++-+-+-+-80017 200x =-+．依题意有01001828x x ⎧⎨-⎩≤≤，≤≤，解之，得59x ≤≤，当5x =时，13 200W =最大元，当9x =时，10 000W =最小元．故选C ．）二、填空题（每小题6分，共30分）4．60（提示：设往下走时，人走一步电梯往下走x 级，则有903030903x x +=-，解得1x =，所以电梯的级数为303060+=（级）．）5．224（提示：资助九年级学生每人100元，但有40%的学生没有接受资助，这样九年级所有学生的平均钱数也是每人60元，而七、八年级每人60元，即整个学校每个学生平均能得到60元，所以该校学生总人数为13 44060224÷=（人）．）6．52（提示：设Rt ABC △的较长直角边为a ，短直角边为b ，斜边为c ，依题意有3a b -=，1113124ab -=．又由勾股定理得22222()23112121c a b a b ab =+=-+=+=，所以11cm c =，故徽标的外围周长4(112)52(cm)=⨯+=．）7．25（提示：因为BC AC =，所以可设BC x =，则45OC OA AC x =-=-，在Rt BOC △中，根据勾股定理可得：222(45)15x x -+=，解得25x =．即机器人行走的路程为25cm ）．三、解答题（每小题15分，共60分）8．（1）图1和图2即为所作图．（2）图1中第一种分割方案较好，因为分割的块数较少．但焊接处和图2中第二种方案一样长．9．解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图3，过点A 作AD BC ⊥于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt ABD △中，因为30240B AB ∠== ，． 11由题可知，距台风中心在(124)25200-⨯=（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为120＜200，因此该城市将会受到“圣帕”影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作200AE AF ==；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图4） 由勾股定理得，2222200120160DE AE AD =-=-=（千米）．所以2160320EF =⨯=（千米）．又知“圣帕”中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市3202016÷=（小时）．（3）该城市受台风影响最大风力7.2级．。
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛答案
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（3）一、判断决策（本题20分）在我国，规定使用在水果或蔬菜上的农药必须低毒易挥发，在生活中我们在吃水果或蔬菜前一般都会先清洗上面的残留农药，假设我们把清洗前水果或蔬菜上的残留农药量记为1个单位，那么用x单位量的a≥）单水清洗一次以后，水果或蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量比是多少？现有a（2位量的水供清洗，可以一次，也可以平分水量两次清洗，你认为选择哪种方法更好呢？请说明理由．如果水能平均三次清洗，效果会如何？二、实践应用（本题20分）某市的公共汽车实行的是一票制（一次上车不管乘几站，票价都是一样的）．张先生所在的公司每月发80元的公交费，起初他是每次乘车用现金买票，则所发公交费的余额与乘车次数的函数图象如图中的一条线段；后来，他将每月的80元公交费买成公交公司的“IC”卡．按规定，打卡乘车比用现金买票乘车可优惠20%．这样，卡上的余额与乘车次数的函数图象就如下图中的另一条线段．（1）填空（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）：每次乘车用现金买票时，余额与乘车次数的函数图象是________；买成IC卡后，余额与乘车次数的函数图象是________．（2）求出线段Ⅰ和线段Ⅱ所表示的函数关系式；（3）如果张先生每月平均乘坐公交车70次，则他用IC卡消费比用现金消费可以省下多少钱？三、动手操作（本题20分）手工课上有位小朋友想剪一个正三角形，可手上只有一张正方形的手工纸，若你是小朋友的手工课老师，你能帮助这位小朋友得到正三角形吗？请画出图形，写出操作过程，并说明理由．四、方案设计（本题20分）某汽车配件厂有工人300人，生产甲种配件，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数），为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的乙种配件，根据预算，调配后继续生产甲种配件的工人平均每人每年创造利润可增加20%，生产乙种配件的工人平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后，此汽车配件厂生产甲、乙两种配件的年利润分别为多少？（用含m，x的代数式表示）（2）如果调配后，生产甲种配件的年利润不小于调配前年利润的45，生产乙种配件的年利润大于调配前年利润的一半，应如何设计调配方案？哪种方案全年总利润最大？参考答案 一、解：（1）11x+． ·············································································· 2分 （2）①若选择一次清洗，则清洗后残留农药为：11a+． ································· 3分 ②若分两次清洗，则第一次清洗后残留农药为：12212a a =++． ······················· 6分 第二次清洗后残留农药为：224222422a a a a a +=++++． ···································· 9分 222221424442124(24)(1)(24)(1)a a a a a a a a a a a a a a ++----==+++++++++． ··················· 12分 ∵2a ≥，∴2140124a a a -+++≥． ····································································· 14分 ∴选择分两次的方法进行清洗，这样水果或蔬菜上的残留农药更少一些． ··········· 16分如果水能平分三次清洗，水果或蔬菜上的残留农药会更少． ··························· 20分二、（1）Ⅰ，Ⅱ；（2）设Ⅱ的函数关系式为y kx b =+，因（0，80）和（100，0）满足关系式，即800100.b k b =⎧⎨=+⎩，解得804.5b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴4805y x =-+（x 取整数）． ················ 10分 由图象Ⅱ知，用IC 卡，每次乘车实用金额为800.8100=（元）． 设每次用现金购买为z 元，则依题意知(120%)0.8z -=，1z =（元）．∴Ⅰ所代表的函数关系式为80y x =-+（x 取整数）． ································· 16分（3）(10.8)7014-⨯=（元）． ································································· 20分三、如下图，先对折正方形ABCD ，得到折线MN ；将重叠的两边AD 、BC 过C （D ）点向MN 方向折叠，使顶点B （和A ）落在MN 上的点E 处；然后再沿EC （ED ）折叠一次，展开后得到正三角形CDE ． ································································································ 8分。
2018 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷答案
f (x0 ) ax02 bx0 c 0 ，消去 a, c 得
0 ax02 bx0 c (1 b c)x02 bx0 c (1 b)x02 bx0 (1 x02 )c (1 b)x02 bx0 (1 x02 )
1
故b
4 ，即 b 5 ．
22
2
a 1
a 1
a2 6a 7
减， ( , 2) 递增，因为 f ( ) f (2)
0 ， f (2) f (a) ，所以要使
2
2
4
1
1
得 g(x) m 在 [2, 2] 上 有 6 个 互 不 相 同 的 解 ， 只 需 f (a) f (2) ， 解 得
2a 0
∴ 存 在 实 数 a (0,3 2 2) ， 使 得 f (x) 的 定 义 域 为 [m, n] ， 值 域 为
[1 loga n,1 loga m] ．
2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 2 页 共 2 页
p1
2p
12、（1） f (x) sin(2wx ) ，而周期T p ，所以 w 1，即
x 1
11、（1） b 1， f (x) loga
f (x) 的定义域为 (,1) (1,) ；
x 1
（2）假设存在实数 a ，使得 f (x) 的定义域为[m, n] ，值域为[1 loga n,1 loga m] ，
由 m n ，及1 loga n 1 loga m ，得 0 a 1，
∴ f (m) 1 loga m, f (n) 1 loga n ， ∴ m, n 是方程 f (x) 1 loga x 的两个根，
2018年浙江省高中数学竞赛
两个组成分 数． 则这 些分 数 中有 —
约分数．
—
个 既
１ ． 已知 ｎ为 正 实 数 ， 且 （ ） ＝ １
５ ． 已知虚数 满 足 ＋ｌ ＝ ０， ≠ 一１ ． 则
为奇 函数． 则＿ 厂 （ ） 的值 域为 ２ ． 设数列 ｛ ａ ｝ 满足 ：
ａ １ ｌ ， ａ ＋ １＝ ａ ４ － ｌ （ ｎ＝１ ， ２， …） ．
ａ
ｂ Ｃ ＋
＋
Ｃ ＋ ａ
ｂ
＋
Ｃ
≥＿ ２ ‘
ａ ＋ ｂ
４ （ ｘ 一 １ ） （ １ ｎ ） 由ｈ （ ） ＜ ０ 甘 ２ （ 一１ ） ｌ ｎ 一 生 ｌ ｎ ＜ ２ ｘ ｌ ｎ ＋ （ 一１ ） 一（ １ ｎ ） 一
。ｓ
） ＝ — ．
－ 厂 （ ＿ 厂 （ ） ） ＋ｌ＝ ０有— — 个不 同的解．
９ ． 设 、 Ｙ∈ Ｒ满 足
４ ． 在数 字 ２ 、 ４ 、 ６ 、 ７ 、 ８ 、 １ １ 、 １ ２、 １ ３中任 取
一
２ （ ｘ － １ ／ （ ２ 一
） ＋ ）
‘
时， 由Ｎ ｅ ｓ ｂ ｉ ｔ ｔ 不等式知
一
易知 ， ａ ＋ｂ ＋Ｃ ≥０ ６＋６ ｃ ＋ｃ ａ ． 由切 比雪夫不等式得
ｌ ｎ
３ ∑
≥ （ ∑ ） （ ∑（ ＋ ） ）
２ １ ｎ ＜ ２ （ ｘ—１ ）一（ ｉ ｎ ） ２ ．
≥ ÷× ２ ∑ａ ｂ ．
当且仅 当 ａ＝ｂ＝Ｃ 时， 式①等号成立． 当 ａ＋ｂ＜ｃ 时，
２ Ｏｌ ８
Ｉ Ｉ ＝ １ ．
ｎ ＝１
＝ ｃ ｏ ｓ （ ） 。 ｃ ｏ ｓ （ 一 ） ＋ （ ） ｓ ｎ ｉ （ 一 号 ）
2018高一数学竞赛答案
2018竞赛高一初试试题答案 1.D 2. C 3.A 4.B 5. D 6. B 7. D 8. C13. 314. x=2或3x —4y —10=015.-217. 解：(1)由正弦定理得:1 n cosC ,C2 3222兀(2)c a b -2abcos —32 2a b = 25 ab _ 2abab _251 25、. 3 S absinC " (当a=b 时取得最大值) .................... ..10分2 4 18. (1)当直线I 经过坐标原点时，有a • 2 = 0. a = -2. 此时直线l 的方程为x - y = 0. ...................................... 2•分-a 1此时I 的方程为x ■ y —2 = 0....................................... 5•分… 所以直线I 的方程为x - y =0.或x • y - 2 =0....................................... 6•分_b2R =(a —'b) a2Rc 2R 2 c=a 2-ab a 2 b 2 _c 2 = ab..4分9.B 10. A 11.B 12.D16.(3) (4)2 225 = a b -ab .................................................. ..6分当直线l 不经过坐标原点时，即a = -2且a = -1时由直线在两坐标轴上的截距相等可得 -―=2 - a,解得a =0(2)由直线I的方程可得M (,0), N(0,2 - a),1 2 + a因为aT 所以S，OMN =2 a 1 (2 a)=1 〔a 1 122 a 1=210分1当且仅当a • 1二--- ,即a =0时等号成立。
11.分此时直线I的方程为x ■ y - 2 =0. 12'分19. 解:(1)因为向量 m=(sin 2wx,cos2wx), n =(cos :,sin :),所以 f (x) = m • n 二 sin 2wxcos 「亠 cos2wxsin 二 sin(2wx 亠'■) 由题意T =5,T=二，w=1 ,................................................. .•/2 •分4126将点 P(—,1)代入 y =sin(2xJ ，得 sin(2) =16 6所以2k 二，(k ・Z)，又因为',,二 .......................... 4-分… 6 2 6即函数的表达式为 f(x)=sin(2x • §), (x ：= R) . .............................................. 5•分•…(2) 由 f (C) = -1,，即 sin(2C) = -1,62兀又••• O v C v n, ••• C … (3)—— 33由 CA CB ,，知 abcosC =2 2所以ab=3 .......................... 由余弦定理知c=3.............................2 ..20. 解：(1) a n =4s n _2a n 一1(门 N )n 启2时，a n4 =4S n 」—2a n4 —1(NJ2 ..两式相减，得a n 一 a 2 =2.又令n7得a1=4$ -2a 1 -1(N )得a1 T ，所以a n =2n 「….................... 5•分 4(-1)* 彳 a n 1(a n 1)(a n 1 1)1 11 11 1 1=(1 — -) (- 一)-•…•…(- -)2 23 34 2n-1 2n 1=1 1 … ....................................................................2n…9分12•分.（2）由 bn =b n#1)n1(2nD 2n(2n 2)=皿心n1(1 .丄)n(n 1)n n 17…分T2n 4b 2 b 3b2n4T 2^b 1b 2 b 36n4b 2n1 1 1 1 1 =(11)-(13) (14)-1111（不齐）盂和）所以 T 2nj1 T 2n (n N ).21. 解: (1 )由题意知f(0)=0所以a=2.2x _1(2)由(1 )知，f (X )二飞—,2x +1因为 x €(0, 1］，所以 2x - 1 >0, 2x +1>0, 故s f (x) -2x -1恒成立等价于s >21恒成立，因为2x +1€(2, 3］,所以只需s >3卩可使原不等式恒成立. 故s 的取值范围是［3, +^). ................................ 6•分方程 g (2x )- mg (x ) =0,即 22x -m 2x • 1 — m =0 有唯一实数解 令 t=2x ,则 t >0, 即等价为t 2- mt+1 - m=0, (t >0)有一个正根一个负根或两个相等正根或者- 零根一正根 ............................ 8•分 =0由 h (0) <0,得 1 - m<0,即卩 m>111.分当h(0) =0即m=1时，h (t ) =t 2- t ，此时有一正根，一零根，满足题意 综上所述，m 的取值范围为n >l 或m =2、. 2-211.分 12.分此时 f (x) =1 -2 2x12x -1 2x 1 而 f (-x )=2：-1 1 1 -2x 1 2x-f (x),所以f (x )为奇函数，故a=2为所求. 2 •分(3) 由题意g(x)卫，化简得g (x ) =2x +l ,设 h (t ) =t 2- mt+1 - m ,则满足 h(。
2018年高中数学联赛高一数学竞赛试卷
2018年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷2018.4本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷共2页，满分200分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共80分）一、选择题：本大题共10小题，每小题8分，共80分．1．已知集合 1,3,5,7,9A , 2,4,6,8B ,若 ,C a b a A b B ，则集合C 的所有元素之和为 ▲ ．2．在ABC 中，1sin ,23A AB ，则CA CB 的最小值为 ▲ ． 3．设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有(1)(4)1f x f x ，又当05x 时，2()log (7)f x x ，则(2018)f 的值为 ▲ ．4．若sin sin 2sin3cos cos2cos31x x x x x x ,则x ▲ ．5．已知函数())f x a R ，)()(1x f x f ，),2))((()(*1N n n x f f x f n n 若xx f )(2018没有零点，则a 的取值范围是 ▲ ．6．若对任意[1,1]x ,恒有22(,,)x ax b c a b c R 成立，则当c 取得最小值时,函数()23()f x x a x b x c x R 的最小值为 ▲ ．7．用 x 表示不大于x 的最大整数，方程[6][10][15]30x x x x 的最小正解为 ▲ ．8．函数()sin sin(1)f x x x 的值域为 ▲ ．9．已知平面向量2OA OB ,且2OA OB ，若[0,1]t ，则t AB AO (1)2BO t BA 的最小值为 ▲ ．10．已知函数2()(0)f x ax bx c a ,其中,,a b c 是整数，若()f x 在(0,1)上有两个不相等的零点，则b 的最大值为 ▲ ．第Ⅱ卷（非选择题，共120分）二、解答题：本大题共5小题，共120分．11．已知函数1()log 1a x f x bx是奇函数（01a a 且 ）． （1）求b 的值及函数()f x 的定义域；（2）是否存在实数a 使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[1log ,1log ]a a n m ？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在说明理由．12．设函数2()cos cos (0)f x x x x ,且()y f x 的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4 ．（1）求 的值及函数()f x 的单调增区间；（2）若 56f ，求7sin(4)6 的值．13．已知定义域为R 的函数()y f x 满足: 对任意的,x y R ,均有()()2()cos f x y f x y f y x ,且当[,)2x p p 时，()0f x ． （1）求(0)f 的值；（2）解方程(3)(2)f x f x ．14．已知向量,a b 满足12,23a b ．（1）求a b a b的取值范围；（2）若34a b ，求a b 的最大值．15．已知函数()f x x a b ,,a b R ．（1）当2b a 时，若)(x f 在区间[1,2]上的最大值为2,求实数a 取值范围；（2）当1b 时，若存在实数m ,使得关于x 方程1()4xf x m在[2,2] 上有6个互不相同的解，求实数a 取值范围．。
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一.填空题：本大题共10小题，每小题8分，共80分.
1.已知集合{
}9,7,5,3,1=A ,{}8,6,4,2=B ，若}{B b A a b a C ∈∈+=,，则集合C 的所有元素之和为________.
2.在ABC ∆中，2,3
1sin ==AB A ,则CB CA ⋅的最小值为________. 3.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()1(-=-⋅+x f x f ，又当50<≤x 时，)7(log )(2x x f -=，则)2018(f 的值为________.
4.若13cos 2cos cos 3sin 2sin sin =+x x x x x x ，则=x ________.
5.已知函数),2))((()(),()(),()(*11N n n x f f x f x f x f R a a x x f n n ∈≥==∈+=-，若x x f -)(2018没有零点，则a 的取值范围是________.
6.若对任意[]1,1-∈x ，恒有),,(22R c b a c b ax x ∈≤++成立，则当c 取得最小值时，函数)(32)(R x c x b x a x x f ∈-+-+-=的最小值为________.
7.用[]x 表示不大于x 的最大整数，方程[][][]x x x x 3015106=++的最小正解为________.
8.函数)1sin(sin )(++=x x x f 的值域为________.
9.已知平面向量2==，且2=⋅OB OA ，若[]1,0∈t ，则
t AB t 1(--+-的最小值为________. 10.已知函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，其中c b a ,,是整数，若)(x f 在)1,0(上有两个不
相等的零点，则b 的最大值为________.
二.解答题：本大题共5小题，共120分.
11.已知函数bx
x x f a --=11log )(是奇函数)1,0(≠>a a （1）求b 的值及函数)(x f 的定义域；
（2）是否存在实数a 使得)(x f 的定义域为[]n m ,，值域为[]m n a a log 1,log 1++？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.
12.设函数)0(cos cos sin 3)(2>+=ωωωωx x x x f 且)(x f y =的图象的一个对称中心
到最近的对称轴的距离为4
π. （1）求ω的值及函数)(x f 的单调增区间；
（2）若65)(=
αf ，求)46
7sin(απ-的值.
13.已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：对任意的R y x ∈,，均有x y f y x f y x f cos )(2)()(+-=+，且当)⎢⎣⎡∈ππ,2
x 时，0)(>x f （1）求)0(f 的值；
（2）解方程)2()3(x f x f =
14.已知向量b a ,满足32,21≤≤≤≤
（1-++的取值范围；
（2）若43≤+≤，求b a ⋅的最大值
15.已知函数b a x x f +-=)(，R b a ∈,
（1）当a b 2=时，若)(x f 在区间[]2,1上的最大值为2，求实数a 的取值范围；
（2）当1-=b 时，若存在实数m ，使得关于x 的方程41)(=
-m x xf 在[]2,2-上有6个互不相同的解，求实数a 的取值范围.。