2018年温州摇篮杯高一数学竞赛试题(word版)

一.填空题：本大题共10小题，每小题8分，共80分.

1.已知集合{

}9,7,5,3,1=A ,{}8,6,4,2=B ，若}{B b A a b a C ∈∈+=,，则集合C 的所有元素之和为________.

2.在ABC ∆中，2,3

1sin ==AB A ,则CB CA ⋅的最小值为________. 3.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()1(-=-⋅+x f x f ，又当50<≤x 时，)7(log )(2x x f -=，则)2018(f 的值为________.

4.若13cos 2cos cos 3sin 2sin sin =+x x x x x x ，则=x ________.

5.已知函数),2))((()(),()(),()(*11N n n x f f x f x f x f R a a x x f n n ∈≥==∈+=-，若x x f -)(2018没有零点，则a 的取值范围是________.

6.若对任意[]1,1-∈x ，恒有),,(22R c b a c b ax x ∈≤++成立，则当c 取得最小值时，函数)(32)(R x c x b x a x x f ∈-+-+-=的最小值为________.

7.用[]x 表示不大于x 的最大整数，方程[][][]x x x x 3015106=++的最小正解为________.

8.函数)1sin(sin )(++=x x x f 的值域为________.

9.已知平面向量2==，且2=⋅OB OA ，若[]1,0∈t ，则

t AB t 1(--+-的最小值为________. 10.已知函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，其中c b a ,,是整数，若)(x f 在)1,0(上有两个不

相等的零点，则b 的最大值为________.

二.解答题：本大题共5小题，共120分.

11.已知函数bx

x x f a --=11log )(是奇函数)1,0(≠>a a （1）求b 的值及函数)(x f 的定义域；

（2）是否存在实数a 使得)(x f 的定义域为[]n m ,，值域为[]m n a a log 1,log 1++？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.

12.设函数)0(cos cos sin 3)(2>+=ωωωωx x x x f 且)(x f y =的图象的一个对称中心

到最近的对称轴的距离为4

π. （1）求ω的值及函数)(x f 的单调增区间；

（2）若65)(=

αf ，求)46

7sin(απ-的值.

13.已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：对任意的R y x ∈,，均有x y f y x f y x f cos )(2)()(+-=+，且当)⎢⎣⎡∈ππ,2

x 时，0)(>x f （1）求)0(f 的值；

（2）解方程)2()3(x f x f =

14.已知向量b a ,满足32,21≤≤≤≤

（1-++的取值范围；

（2）若43≤+≤，求b a ⋅的最大值

15.已知函数b a x x f +-=)(，R b a ∈,

（1）当a b 2=时，若)(x f 在区间[]2,1上的最大值为2，求实数a 的取值范围；

（2）当1-=b 时，若存在实数m ，使得关于x 的方程41)(=

-m x xf 在[]2,2-上有6个互不相同的解，求实数a 的取值范围.