自动控制原理__第二章习题答案

2-1试建立如图 所示电路的动态微分方程。

解：

输入u i 输出u o

u 1=u i -u o

i 2=C du 1 dt )

- R 2(u i -u o )=R 1u 0-CR 1R 2( du i dt dt du o

C ＋ - -

i u o R 1

R 2 i 1 i i 2

u 1

i 1=i-i 2 u o i= R 2

u 1 i 1= R 1 = u i -u o R 1 dt d (u i -u o ) =C C d (u i -u o ) dt

u o - R 2 = u i -u o R 1 CR 1R 2 du o dt du i

dt +R 1u o +R 2u 0=CR 1R 2 +R 2u i

(a)

i=i 1+i 2 i 2=C du 1

dt u o i 1= R 2 u 1-u o = L R 2 du o dt R

1

i= (u i -u 1) (b)

C

＋

-

i

u o R 1

R 2

i 1 i

i 2

L

u 1 = R 1 u i -u 1 u o +C R 2 du 1 dt

u 1=u o + L R 2 du o

dt du o dt R 1R 2 L du o dt + CL R 2 d 2u o dt 2 = - - u i R 1 u o R 1 u o R 2 +C )u o R 1R 2 L du o dt ) CL R 2 d 2u o dt 2 = + +( u i R 1 1 R 1

1 R 2

+(C+ 解：

2-2 求下列函数的拉氏变换。 （1）t t t f 4cos 4sin )(+=

（2）t

e t t

f 43)(+= （3）t

te t f --=1)( （4）t e t t f 22

)1()(-= 解：

(1) f(t)=sin4t+cos4t

L [sin ωt ]= ωω2+s 2=s s+42+16L [sin4t+cos4t ]= 4s 2+16s s 2+16+s ω2+s 2L [cos ωt ]=解：(2) f(t)=t 3+e 4t 解：

L [t 3+e 4t ]= 3!s 41s-4

+ 6s+24+s 4

s 4(s+4)=

(3) f(t)=t n e at

L [t n e at ]=n!(s-a)n+1(4) f(t)=(t-1)2e 2t

L [(t-1)2e 2t ]=e -(s-2)2(s-2)3

解：解：

2-3求下列函数的拉氏反变换。 (1))3)(2(1)(+++=

s s s s F (2) )

2()1()(2

++=s s s

s F (3) )1(1

52)(22++-=s s s s s F (4) )2)(34(2)(2++++=s s s s s F

A 1=(s+2)s+1(s+2)(s+3)s=-2=-1

=2f(t)=2e -3t -e -2t

(1) F(s)=s+1(s+2)(s+3)

解：A 2=(s+3)s+1(s+2)(s+3)s=-3F(s)= 2s+31s+2

-

(2) F(s)=s (s+1)2(s+2)F(s)=-2e -2t -te -t +2e -t

解：= A 2s+1s+2+ A 3+ A 1(s+1)2A 1=(s+1)2s (s+1)2(s+2)s=-1A 3=(s+2)s (s+1)2(s+2)s=-2d ds s

s+2][A 2= s=-1=-1

=2=-2

(3) F(s)=2s 2-5s+1s(s 2+1)F(s)(s 2+1)s=+j =A 1s+A 2s=+j

A 2=-5

A 3=F(s)s s=0解：

= s +

A 3

s 2+1A 1s+A 2=1

2s s 2-5s+1=A 1s+A

2 s=j s=j

-5j-1=-A 1+jA 2 A 1=1

F(s)= 1s s 2+1s -5s 2+1

++

(4) F(s)=s+2s(s+1)2(s+3)

解：=+s+1A 1s+3

A 2(s+1)2+s A 3+A 4

-12A 1= 23A 3= 112

A 4= A 2= d [s=-1ds ](s+2)s(s+3) -34A 2= +3e 212

-4+f(t)=-t 32e -3t

-t e -t 1= s=-1 [s(s+3)]2

[s(s+3)-(s+2)(2s+3)]

t t t f sin 5cos 1)(-+=

2-4 解下列微分方程 6)(6)

(5)(2

2=++t y dt t dy dt

t y d 初始条件：2)0()0(==y

y A 1=1y(t)=1+5e -2t -4e -3t

A 2=5 A 3=-4

Y(s)=6+2s 2+12s s(s 2+5s+6)解：s 2Y(s)-sy(0)-y'(0)+5sY(s)-5y(0)+6Y(s)= 6s

s 2Y (s )-2s-2+5sY (s )-10+6Y (s )= 6s

= A 1s+2s+3

+ A 3s + A 2

2-5试画题图所示电路的动态结构图，

并求传递函数。(1)

+

解：( U r (s)U c (s)=1R 11+(+sC)R

21

R 1

+sC)R 2=R 2+R 1R 2sC R 1+R 2+R 1R 2

sC