信号与系统课件(郑君里版)第一章
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总能量 E lim
T
T T
f (t ) d t
2
1 平均功率 P lim T 2T
T T
f (t ) d t
2
能量信号：信号总能量为有限值而信号平均功率为零。
功率信号：平均功率为有限值而信号总能量为无限大。
特点：
信号 f (t)可以是一个既非功率信号，又非能量信
[例1.3.1]已知信号f(t)的波形如图所示，试画出f(2-t) 的波形
解：平移与反转相结合，注意：是对t 的变换！
法一：①先平移f (t) → f (t +2) ②再反转f (t +2) → f (– t +2) 法二：①先反转f (t) → f (– t) ②再平移f (– t) → f (– t +2)
a 0信号将随时间而增长 a 0 信号将随时间而衰减； a 0 信号不随时间而变化，为直流信
（对时间的微、积分仍是指数） （对时间的微、积分仍是指数）
号
: 指数信号的时间常数， 越大，指数信号增长或衰减的速率
越慢。
（2）正弦信号： f (t ) K sin( wt )
f (t ) f (t )
0 0
t t t
f (t )
0
t1
t
t
2. 连续信号和离散信号 连续时间信号：在连续的时间范围内(-∞<t<∞） 有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。 实际中也常称为模拟信号。 离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的 信号称为离散时间信号，简称离散信号。实际中也 常称为数字信号。
第一章
信号和系统
信号的概念、描述和分类 信号的基本运算 典型信号 系统的概念和分类
1.1
绪论
一、信号的概念 消息(message)：常常把来自外界的各种报道统称 为消息。 信息(information)：通常把消息中有意义的内容称 为信息。 信号(signal)：信号是反映信息的各种物理量，是 系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。
0
0 t0 1 t 0
2、阶跃函数的性质：
（1）可以方便地表示某些信号
eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
（3）积分
t
u ( )d tu(t )
三、单位冲激函数 (t )
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作
（2）f2(t) = cos2t + sinπt
解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，
若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)
仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
（1）
sin2t
是周期信号，其角频率和周期分别为
ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs
Sa(t)具有以下性质：
t Sa(, t , , n 时， t ) ,0; n 时，Sa) n 时，Sa t , (t , 0; Sa (0) 1; Sa(0) 1; Sa(0) 1; Sa(t t dt ; Sa 0 Sa(t )dt 2 ; Sa((tt)dt 2 ; 0 Sa)(dt) 2 S 0
连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)，
离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)，
满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。
非周期信号：不具有周期性的信号称为非周期信号。
f (t )
T
f (t )
f (t )
t
t
T
t
[例1.2.1] 判断下列信号是否为周期信号，若是，确 定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t
注意非因果信号指的是在时间零点之前有非零值。
1.2
信号的基本运算
一、信号的＋、－、×运算
两信号f1(·) 和f2 (·)的相＋ 、－、×指同一
时刻两信号之值对应相加减乘。如
f1 (t )
1
2
f1 (t ) f 2 (t )
1
t
1
0
f1 (t ) f 2 (t )
1
0
f 2 (t )
1
0
1
1.2 信号的描述和分类
一、信号的描述 1、数学描述：使用具体的数学表达式，把信号描述为 一个或若干个自变量的函数或序列的形式。 2、波形描述：按照函数自变量的变化关系，把信号的 波形画出来。 “信号”与“函数”两词常相互通用。
二、信号的分类
1. 确定信号和随机信号 确定信号或规则信号 ：可以用确定时间函数表示的信号 随机信号:若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻 的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性
号，如单位斜坡信号。但一个信号不可能同时既是
功率信号，又是能量信号。
周期信号都是功率信号；非周期信号可能是能量信
号 [ t, f (t)=0], 也可能是功率信号
[ t, f (t)≠0]。
5．一维信号与多维信号
信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维 或多维函数。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。 6．因果信号 若当 t <0 时 f (t)=0, 当 t >0 时 f (t) ≠0的 信号,称为因果信号。 而若t <0 时 f (t)>0 ，t ≥ 0， f(t) =0的信号 称为反因果信号。
(1)
1
t
0
1
t
结论：
（1）信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起
到了锐化的作用；
（2）信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得
平滑了，起到了模糊的作用；利用积分可以削弱信号
中噪声的影响。
1.4
阶跃信号和冲激信号
一、典型的连续时间信号
(1)实指数信号：f(t) Ke
at
1 , a
u(t ) ( )d
t
3、性质：
单位冲激函数为偶函数
(t ) (t )
加权特性 f (t ) (t ) f (0) (t ); f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 ) 抽样特性
f (t ) (t ) dt f (0) f (t ) (t t0 ) dt f (t0 )
三、信号的微分和积分
1、微分：信号f(t)的微分运算指f(t)对t取导数，即
d f (t ) f (t ) dt
'
2、积分：信号f(t)的积分运算指f(t)在（-∞，t）区间 内的定积分，表达式为：
t
f ( )d
f (t )
f (t )
(1)
f ( 1) (t )
1
1
0 0
1
t
结论：
①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是
周期序列。
②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序
列之和一定是周期序列。
4．能量信号与功率信号
信号可看作是随时间变化的电压或电流，信号 f (t)在１欧姆的电阻上的瞬时功率为| f (t)|²，在时间 区间所消耗的总能量和平均功率分别定义为：
1
2
1
0
t
0.5 1
2
t
（2）0<a <1
则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴扩
展至原来的1/a。
f (t )
1
0
f ( 1 t) 2
扩展
1
2
1
0
t
2
4
t
对于离散信号，由于f (a k) 仅在为a k 为 整数时才有意义， 进行尺度变换时可能会使部 分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
（对时间的微、积分仍是同频率正弦） 正弦信号是周期信号，其周期T与 角频率w 和频率f满足下列关系式：
2 1 T w f
(3)复指数信号：f(t) Ke , s j (3)复指数信号
st
K e cos( t ) jK e sin(t )
实部、虚部都为正（余）弦信号，指数因子实部表 征实部与虚部的正、余弦信号的振幅随时间变化的情况，
[例1.3.2] （1）已知信号f(t)的波形如图所示，试画出f(-2t-4) 的波形
解：平移、反转、尺度变换相结合，三种运算的次序可任意。但 一定要注意始终对时间t 进行 法一：也可以先平移、再压缩、最后反转
法二：也可以先压缩、再平移、最后反转
（2）若已知f (– 4 – 2t) ，画出f (t) 。 解：
f (t-t0)将 f (t) 延迟 时间 t0 ；即将 f (t) 的波形向右移动 t0 。
2. 反转 将f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称 为对信号f (· )的反转或反折。从图形上看是将f (· ) 以纵坐标为轴反转180o。如
f (t )
1
0
f (t )
信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容。
信号是信息的载体，通过信号传递信息。
自然和物理信号：语音、图像、地震信号、生理信号等 人工产生的信号：人类为了达到某种目的人为产生的信 号。雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信
号等。
二、系统的概念 系统(system)是指若干相互关联的事物组合而 成具有特定功能的整体。
2、δ(t) 的尺度变换
1 (at ) (t ) a
t0 1 (at t0 ) (t ) a a
t
0
1
t
1
t
二、信号的时间变换运算
1. 平移
将f (t) → f (t + t0) ， f (k) → f (t + k0)称为对
信号f (· )的平移或移位。若t0 (或k0)< 0，则将f (· )右移； 否则左移。
f (t )
1
0
f (t 1)
1
f (t 1)
1
0
1
t
1
0
t
1
2
t
f (t+t0)将 f (t) 超前 时间 t0 ；即将 f (t) 的波形向左移动 t0 。
(5)钟形信号：f (t) Ee
t
2
（高斯函数）
钟形信号在随机信号分析中占有重要地位。
二、单位阶跃函数
1、定义
u(t)= 0 1 ， （t<0） , （t>0）
1
0
u(t)
t
（采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数 ）
(t )
1
2 0
2
t
u (t ) lim (t )
f (t )
t
f (t )
f (t )
t
t
通常取等间隔T，离散信号可表示为f(kT)，简写为f(k)， 这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序号。 f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…} ↑ k=0 通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。
3. 周期信号和非周期信号 周期信号：是指一个每隔一定时间T，按相同规律重 复变化的信号。 (在较长时间内重复变化)
用时间极短一种物理量的理想化模型。
1、定义：
(t ) lim p(t )
0
0
t0
t 0
1
面积为1
p(t )
(t )
(1)
(t ) 0
t0
(t ) dt 1 Fra Baidu bibliotek积为1
2 0
2
t
0
t
2、冲激函数与阶跃函数关系:
du (t ) (t ) dt
1
t
1
0
t
3. 尺度变换（横坐标展缩）
将f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变 换。若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则 展开。如 （1） a > 1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴压缩
至原来的1/a
f (t )
1
0
f (2t )
压缩
cos3t
是周期信号，其角频率和周期分别为
ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s
由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，
其周期为T1和T2的最小公倍数2π。
（2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1= πs， T2= 2 s，
由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
教材：郑君里，应启珩，杨为里 高等教育出版社2000年5月第2版 参考书：
《信号与系统》
1、陈后金，胡健，薛健 《信号与系统》 版社2003年3月第1版
清华大学出
2、Alan V.oppenheim 《信号与系统》 刘树棠 译
西安交通大学出版社1998年3月第1版
学时：72学时 考试方式：闭卷考试
t
t
（实际不存在，但可描述各种基本信号）
表示信号随角频率变化的情况。
0时，增幅振荡正、余弦 信号； 0时，衰减振荡正、余弦 信号； 0时，等幅振荡正、余弦 信号； 0时，实指数信号； 0且 0时，直流信号；
(4)抽样信号
sin t 信号：Sa(t) t
T
T T
f (t ) d t
2
1 平均功率 P lim T 2T
T T
f (t ) d t
2
能量信号：信号总能量为有限值而信号平均功率为零。
功率信号：平均功率为有限值而信号总能量为无限大。
特点：
信号 f (t)可以是一个既非功率信号，又非能量信
[例1.3.1]已知信号f(t)的波形如图所示，试画出f(2-t) 的波形
解：平移与反转相结合，注意：是对t 的变换！
法一：①先平移f (t) → f (t +2) ②再反转f (t +2) → f (– t +2) 法二：①先反转f (t) → f (– t) ②再平移f (– t) → f (– t +2)
a 0信号将随时间而增长 a 0 信号将随时间而衰减； a 0 信号不随时间而变化，为直流信
（对时间的微、积分仍是指数） （对时间的微、积分仍是指数）
号
: 指数信号的时间常数， 越大，指数信号增长或衰减的速率
越慢。
（2）正弦信号： f (t ) K sin( wt )
f (t ) f (t )
0 0
t t t
f (t )
0
t1
t
t
2. 连续信号和离散信号 连续时间信号：在连续的时间范围内(-∞<t<∞） 有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。 实际中也常称为模拟信号。 离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的 信号称为离散时间信号，简称离散信号。实际中也 常称为数字信号。
第一章
信号和系统
信号的概念、描述和分类 信号的基本运算 典型信号 系统的概念和分类
1.1
绪论
一、信号的概念 消息(message)：常常把来自外界的各种报道统称 为消息。 信息(information)：通常把消息中有意义的内容称 为信息。 信号(signal)：信号是反映信息的各种物理量，是 系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。
0
0 t0 1 t 0
2、阶跃函数的性质：
（1）可以方便地表示某些信号
eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
（3）积分
t
u ( )d tu(t )
三、单位冲激函数 (t )
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作
（2）f2(t) = cos2t + sinπt
解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，
若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)
仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
（1）
sin2t
是周期信号，其角频率和周期分别为
ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs
Sa(t)具有以下性质：
t Sa(, t , , n 时， t ) ,0; n 时，Sa) n 时，Sa t , (t , 0; Sa (0) 1; Sa(0) 1; Sa(0) 1; Sa(t t dt ; Sa 0 Sa(t )dt 2 ; Sa((tt)dt 2 ; 0 Sa)(dt) 2 S 0
连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)，
离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)，
满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。
非周期信号：不具有周期性的信号称为非周期信号。
f (t )
T
f (t )
f (t )
t
t
T
t
[例1.2.1] 判断下列信号是否为周期信号，若是，确 定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t
注意非因果信号指的是在时间零点之前有非零值。
1.2
信号的基本运算
一、信号的＋、－、×运算
两信号f1(·) 和f2 (·)的相＋ 、－、×指同一
时刻两信号之值对应相加减乘。如
f1 (t )
1
2
f1 (t ) f 2 (t )
1
t
1
0
f1 (t ) f 2 (t )
1
0
f 2 (t )
1
0
1
1.2 信号的描述和分类
一、信号的描述 1、数学描述：使用具体的数学表达式，把信号描述为 一个或若干个自变量的函数或序列的形式。 2、波形描述：按照函数自变量的变化关系，把信号的 波形画出来。 “信号”与“函数”两词常相互通用。
二、信号的分类
1. 确定信号和随机信号 确定信号或规则信号 ：可以用确定时间函数表示的信号 随机信号:若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻 的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性
号，如单位斜坡信号。但一个信号不可能同时既是
功率信号，又是能量信号。
周期信号都是功率信号；非周期信号可能是能量信
号 [ t, f (t)=0], 也可能是功率信号
[ t, f (t)≠0]。
5．一维信号与多维信号
信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维 或多维函数。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。 6．因果信号 若当 t <0 时 f (t)=0, 当 t >0 时 f (t) ≠0的 信号,称为因果信号。 而若t <0 时 f (t)>0 ，t ≥ 0， f(t) =0的信号 称为反因果信号。
(1)
1
t
0
1
t
结论：
（1）信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起
到了锐化的作用；
（2）信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得
平滑了，起到了模糊的作用；利用积分可以削弱信号
中噪声的影响。
1.4
阶跃信号和冲激信号
一、典型的连续时间信号
(1)实指数信号：f(t) Ke
at
1 , a
u(t ) ( )d
t
3、性质：
单位冲激函数为偶函数
(t ) (t )
加权特性 f (t ) (t ) f (0) (t ); f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 ) 抽样特性
f (t ) (t ) dt f (0) f (t ) (t t0 ) dt f (t0 )
三、信号的微分和积分
1、微分：信号f(t)的微分运算指f(t)对t取导数，即
d f (t ) f (t ) dt
'
2、积分：信号f(t)的积分运算指f(t)在（-∞，t）区间 内的定积分，表达式为：
t
f ( )d
f (t )
f (t )
(1)
f ( 1) (t )
1
1
0 0
1
t
结论：
①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是
周期序列。
②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序
列之和一定是周期序列。
4．能量信号与功率信号
信号可看作是随时间变化的电压或电流，信号 f (t)在１欧姆的电阻上的瞬时功率为| f (t)|²，在时间 区间所消耗的总能量和平均功率分别定义为：
1
2
1
0
t
0.5 1
2
t
（2）0<a <1
则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴扩
展至原来的1/a。
f (t )
1
0
f ( 1 t) 2
扩展
1
2
1
0
t
2
4
t
对于离散信号，由于f (a k) 仅在为a k 为 整数时才有意义， 进行尺度变换时可能会使部 分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
（对时间的微、积分仍是同频率正弦） 正弦信号是周期信号，其周期T与 角频率w 和频率f满足下列关系式：
2 1 T w f
(3)复指数信号：f(t) Ke , s j (3)复指数信号
st
K e cos( t ) jK e sin(t )
实部、虚部都为正（余）弦信号，指数因子实部表 征实部与虚部的正、余弦信号的振幅随时间变化的情况，
[例1.3.2] （1）已知信号f(t)的波形如图所示，试画出f(-2t-4) 的波形
解：平移、反转、尺度变换相结合，三种运算的次序可任意。但 一定要注意始终对时间t 进行 法一：也可以先平移、再压缩、最后反转
法二：也可以先压缩、再平移、最后反转
（2）若已知f (– 4 – 2t) ，画出f (t) 。 解：
f (t-t0)将 f (t) 延迟 时间 t0 ；即将 f (t) 的波形向右移动 t0 。
2. 反转 将f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称 为对信号f (· )的反转或反折。从图形上看是将f (· ) 以纵坐标为轴反转180o。如
f (t )
1
0
f (t )
信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容。
信号是信息的载体，通过信号传递信息。
自然和物理信号：语音、图像、地震信号、生理信号等 人工产生的信号：人类为了达到某种目的人为产生的信 号。雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信
号等。
二、系统的概念 系统(system)是指若干相互关联的事物组合而 成具有特定功能的整体。
2、δ(t) 的尺度变换
1 (at ) (t ) a
t0 1 (at t0 ) (t ) a a
t
0
1
t
1
t
二、信号的时间变换运算
1. 平移
将f (t) → f (t + t0) ， f (k) → f (t + k0)称为对
信号f (· )的平移或移位。若t0 (或k0)< 0，则将f (· )右移； 否则左移。
f (t )
1
0
f (t 1)
1
f (t 1)
1
0
1
t
1
0
t
1
2
t
f (t+t0)将 f (t) 超前 时间 t0 ；即将 f (t) 的波形向左移动 t0 。
(5)钟形信号：f (t) Ee
t
2
（高斯函数）
钟形信号在随机信号分析中占有重要地位。
二、单位阶跃函数
1、定义
u(t)= 0 1 ， （t<0） , （t>0）
1
0
u(t)
t
（采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数 ）
(t )
1
2 0
2
t
u (t ) lim (t )
f (t )
t
f (t )
f (t )
t
t
通常取等间隔T，离散信号可表示为f(kT)，简写为f(k)， 这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序号。 f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…} ↑ k=0 通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。
3. 周期信号和非周期信号 周期信号：是指一个每隔一定时间T，按相同规律重 复变化的信号。 (在较长时间内重复变化)
用时间极短一种物理量的理想化模型。
1、定义：
(t ) lim p(t )
0
0
t0
t 0
1
面积为1
p(t )
(t )
(1)
(t ) 0
t0
(t ) dt 1 Fra Baidu bibliotek积为1
2 0
2
t
0
t
2、冲激函数与阶跃函数关系:
du (t ) (t ) dt
1
t
1
0
t
3. 尺度变换（横坐标展缩）
将f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变 换。若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则 展开。如 （1） a > 1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴压缩
至原来的1/a
f (t )
1
0
f (2t )
压缩
cos3t
是周期信号，其角频率和周期分别为
ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s
由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，
其周期为T1和T2的最小公倍数2π。
（2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1= πs， T2= 2 s，
由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
教材：郑君里，应启珩，杨为里 高等教育出版社2000年5月第2版 参考书：
《信号与系统》
1、陈后金，胡健，薛健 《信号与系统》 版社2003年3月第1版
清华大学出
2、Alan V.oppenheim 《信号与系统》 刘树棠 译
西安交通大学出版社1998年3月第1版
学时：72学时 考试方式：闭卷考试
t
t
（实际不存在，但可描述各种基本信号）
表示信号随角频率变化的情况。
0时，增幅振荡正、余弦 信号； 0时，衰减振荡正、余弦 信号； 0时，等幅振荡正、余弦 信号； 0时，实指数信号； 0且 0时，直流信号；
(4)抽样信号
sin t 信号：Sa(t) t