三角函数同步练习及答案

第四章 三角函数 一、任意角的三角函数

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【例1】已知α是第二象限角，试求： （1）2

α

角所在的象限； （2）

3

α

角所在的象限；

（3）2α角所在范围.

解：（1）∵α是第二象限角，∴2π

+2k π<α<π+2k π,k ∈Z ,即4π+k π<2α<2

π+k π,k ∈Z .

故当k =2m (m ∈Z )时，4π+2m π<2α<2

π

+2m π, 因此，

2

α

角是第一象限角；当k =2m +1(m ∈Z )时，4

5

π+2m π<

2

α

<

23π+2m π,因此，2

α

角是第三象限角.

综上,可知

2

α

角是第一或第三象限角.

（2）同理可求得6π+32k π<3α<3π+32k π,k ∈Z ,当k =3m (m ∈Z )时，6π

+2m π<3α<3π+2m π,此时，3

α角是第一象限角；当k =3m +1(m ∈Z )时，6π +2m π+32

π<3α<3π+2m

π+32π,即65π+2m π<3α<π+2m π，此时，3α

角是第二象限角；当k =3m +2(m ∈Z )时，

2

3π+2m π<3α<35π+2m π，此时，3

α

角是第四象限角.

综上，可知

3

α

角是第一、第二或第四象限角.

（3）同理可求得2α角所在范围为π+4k π<2α<2π+4k π，k ∈Z .

评注： （1）注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如0°<α<90°这个区间角，只是k =0时第一象限角的一种特殊情况.

（2）要会正确运用不等式进行角的表达，同时会对k 取不同值，讨论形如θ=α+

3

2k π(k ∈Z )所表示的角所在象限.

（3）对于本题第（3）问，不能说2α只是第三、四象限的角，因为2α也可为终边在y 轴负半轴上的角

2

3

π+4k π(k ∈Z )，而此角不属于任何象限. 【例2】求证：tan 2α+cot 2α+1=(tan 2α+tan α+1)(cot 2α－cot α+1).

证法一:右边=(tan 2

α+tan α+1)α

α

α22tan tan tan 1+-

=ααα2222tan tan )1(tan -+=α

αα2

22tan 1tan tan ++=tan 2α+cot 2α+1=左边. 证法二：左边=tan 2α+cot 2α+2tan αcot α－1

=(tan α+cot α) 2－1

=(tan α+cot α+1)(tan α+cot α－1)

=(tan α+cot α+1)(tan α+cot α－1)tan αcot α =［tan α(tan α+cot α+1)］²［cot α(tan α+cot α－1)］

=(tan 2α+tan α+1)(cot 2

α－cot α+1) =右边.

评注：证明三角恒等式的过程，实际上是“化异为同”的过程.这一过程往往从化简开始.将不同角化为同角以减少角的数目，将不同名函数化为同名函数以减少函数种类，在三角化简证明中有广泛应用.本题也可利用三角函数的定义证明.

【例3】化简:αααα2222cos sin cot tan -- +α2cos 1－α

2sin 1

.

解法一:（定义法）

设点P （x ，y ）是角α终边上一点，且|OP |=r ，则将sin α=

r y ，cos α=r x ，tan α=x

y

， cot α=

y

x

代入得 原式=222

2)

()()()(r

x r y y

x x y --+22)()(y r x r -=)()(2222244x y y x r x y --+22222)(y x x y r -=222x r =α2cos 2. 解法二:（化弦法）

原式=α

ααααα222

2cos sin )

sin cos ()cos sin (

--+αααα2222cos sin cos sin -=αααα2222cos sin cos sin ++αααα2222cos sin cos sin - =α

cos 2. 解法三:（换元法）

设cos 2α=a ，则sin 2α=1－a ，tan 2α=a a -1，代入原式，得原式==a

a a a

a a ----

-)1(11＋a 1－ a -11=)21)(1()1(22a a a a a ----+)1(21a a a --=)1(1a a -+)1(21a a a --=a 2

=α

2cos 2. 评注: “切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义法、换元法，使三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.

【例4】已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax +a =0的两个根（a ∈R ）， （1）求sin 3θ+cos 3θ的值；（2）求tan θ+cot θ的值.