2016-2017学年高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业)：第2章2.1 圆的标准方程 Word版含解析

2．1圆的标准方程

时间：45分钟满分：80分

班级________姓名________分数________

一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)

1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为()

A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4

B．(x＋2)2＋(y－1)2＝16

C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16

D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

答案：C

解析：由圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，易知答案为C.

2．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于()

A．πB．2π

C．4πD．8π

答案：C

解析：由圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4，知半径r＝4＝2，则圆的面积S＝πr2＝4π.故选C.

3．若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b＝()

A．3 B．2

C．5 D．1

答案：A

解析：由题可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3.

4．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25的内部，那么实数a的取值范围是()

A．(－4,3) B．(－5,4)

C．(－5,5) D．(－6,4)

答案：A

解析：由a2＋(a＋1)2<25，可得2a2＋2a－24<0，解得－4

5．圆心为(2，－3)，一条直径的两端点分别在x轴、y轴上，则此圆的方程是() A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13

B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13

C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52

D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52

答案：A

解析：利用平面几何知识得

r＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13.

6．在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是()

A．(5,1) B．(4,1)

C ．(2＋2，2－3)

D ．(3，－2)

答案：D

解析：点(0，－5)与圆心(2，－3)所在的直线方程为y ＝x －5，解方程组

⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －5(x －2)2＋(y ＋3)2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1y ＝－4

，经检验点(3，－2)符合题意． 二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)

7．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________．

答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝25

解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.

8．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于第______象限．

答案：四

解析：(－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限．

9．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．

答案：5＋ 2

解析：由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为

(2－3)2＋(3－4)2＋5＝5＋ 2.

三、解答题(共35分，11＋12＋12)

10．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程．

解：设圆心为(a,0)， 则(a －1)2＋16＝(a －2)2＋9，所以a ＝－2.

半径r ＝(a －1)2＋16＝5，

故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.

11．已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)．

(1)求周长最小的圆的方程；

(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．

解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，

即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12

|AB |＝10为半径． 则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.

(2)解法一：直线AB 的斜率k ＝4－(－2)－1－1

＝－3， 则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13

x ，即x －3y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋3＝02x －y －4＝0，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3y ＝2， 即圆心的坐标是C (3,2)．

∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.

∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.

解法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－2－b )2＝R 2

(－1－a )2＋(4－b )2＝R

22a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝2R 2＝20.

∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.

12．已知点A (－2，－2)，B (－2,6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最值．

解：设P 点坐标(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.

|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y .

∵－2≤y ≤2，

∴72≤|P A |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.

即|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.