近世代数集合的等价 关系与分类

证 首先,设 ~ 为 S 集合的一个等价关系, 则
(1) 对任意的a S , 由反身性知a a , 所以
S Ua
as
(2)
如果a I
b ,
则
c aI b
于是
有
．
c ~ b,c ~ a, 从而由对称性知b ~ c, 再由传递性知
b ~ a. 又对任意的 b' b ,则 b' ~ b , 同样由传递性得
以是 的一个关系．这个关系既不满足反身性也不满
足传递性, 但却满足所谓的对称性, 即对任意两个整数
a,b ,由a,b 1 ，可推出b,a 1 ．
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定义1.1.2 设 是S 非空集合的一个关系, 如 果 满足
(E1) 反身性, 即对任意的a S, 有aa ； (E2)对称性, 即若ab , 则 ba ； (E3) 传递性, 即若ab ,且 bc,则ac． 则 称是S 的一个等价关系(equivalence relation), 并且如果ab ,则称 a 等价于 b ,记作 a ~ b ．
例1 设S是一个非空集合，S 的所有子集组成的
集合记为P(S) ．因为对S 的任意两个子集A，B ，A B 或A B 有且仅有一个成立，所以集合的包含关系“ ”
是P(S ) 的一个关系．进一步讨论可以发，这个关系还
具有下面两条性质：
(1) 反身性，即对S 的任一子集 A ，有A A；
(2) 传递性, 即对S 的任意子集A ,B , C , 如果
§1.1 等价关系与集合的分类
一、等价关系
定义1.1.1 例1
---关系
例2
定义1.1.2
例3
---等价关系
定义1.1.3
---等价类
例4
例5
1
二、集合的分类
定义1.1.4
例6
---集合的分类 例7
例8
三、集合的等价 关系与分类
定理1.1.1
---类
例9
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一、等价关系
定义1.1.1 设S 是一个非空集合, 是关于 S 的 元素的一个条件．如果对 S 中任意一个有序元素对
a,b，我们总能确定a 与b是否满足条件，就称是
S 的一个关系(relation)．如果a与b满足条件，则称 a 与b 有关系，记作ab；否则a称b与无关系 ．关 系也称为二元关系．
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S的子集族 Si | i I 构成 S 的一种分类,则记作 Si | i I
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例6 设 M 为数域 F上全体 n 阶方阵的集合,令
M r 表示所有秩为 r 的 n 阶方阵构成的子集.
n
(1) M UMi ;
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I (2) Mi M j ,i j ．
所以Mi | i 0,1,L ,n是M的一种分类．
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定义1.1.3 如果～是集合 S 的一个等价关系,
对a S , 令
a x S | x ~ a 称子集a 为 S 的一个等价类 (equivalence class) ．S
的全体等价类的集合称为集合S 在等价关系下的商集 (quotient set), 记作 S / ~ ．
三、集合的等价关系与集合的分类这两个概念之间 联系 定理1.1.1 集合 S 的任何一个等价关系都确定
了S 的一种分类,且其中每一个类都是集合S 的一个等 价类.反之,集合S 的任何一种分类也都给出了集合 S 的一个等价关系,且相应的等价类就是原分类中的那 些类．
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A B , B C ,则有A C ．
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例2 在整数集中, 规定ab a | b．因为 a | b 与a | b有且仅有一个成立, 所以“|”是 的一个关系．
这个关系也具有反身性和传递性．
例3 在整数集 中, 规定 ab ( 即 a 与 b 互
素)． 因为 a,b 1与a,b 1有且仅有一个成立, 所
有m | a a (2) 若m | a b, 则m | b a ；(3) 若m | a b ,
m | b c, 则m | a c ．所以是Z 的一个等价关系,显然
a与b 等价当且仅当a与b被m除有相同的余数, 因此称
这个关系为同余关系 (congruence relation) , 并记作
例7 m a | a 0,1,2,L ,m 1 是整数集 的一
种分类．
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例8 对实数集 R , 令子集Ri i,i 1, i .由
于i Ri ,且i Ri1 , 同一元素在两个子集中重复出现,
所以i,i 1 | i 不是R 的一种分类．
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a bmod m (读作“a 同余于b , 模m ”)．整数的同余关
系及其性质是初等数论的基础
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二、集合的分类
定义1.1.4 如果非空集合S 表成若干个两两不 相交的非空子集的并, 则称这些子集为集合 S 的一种
分类 (partition),其中每个子集称为一个类 (class).如果
b' ~ a.于是 b' a, 因此 b a.同理a b , 所以
a b.这说明, 不同的类没有公共元素．
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从而由 (P1), (P2)知, 全体等价类形成的 S 一种 分类,显然每一个类都是S 的等价类．
其次, 如果已知集合 S 的一种分类 , 在 S 中规 定关系“～”：
a ~ b a与b属于同一类，a,b S.
对任意的a S , 由于 a 与本身属于同一类, 所以
a ~ a.如果 a ~ b, 即 a 与 b 属于同一类, 自然b 与 a 也
属于同一类, 所以 b ~ a . 最后, 如果 a ~ b , b ~ c ,
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例４ 易知, 三角形的全等,相似, 数域上n 阶 方阵的相等,相似等都是等价关系, 而例1,例2, 例3所述的关系都不是等价关系．
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例５ 设m 是正整数, 在整数集 中, 规定
ab m | a b,a,b 则 (1)对任意整数 a ,