九年级数学上册第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质
华师大版九年级上册数学课件《直角三角形的性质》
新课讲解
已知：如图 ,在 Rt ABC 中， ∠ ACB= 90 °， CD 1
是斜边AB上的中线. 求证：CD = 2 AB
证明：延长CD至点E,使DE= CD，连结AE、BE
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
在研究直角三角形的边角关系之前，我们先来探索 和归纳直角三角形的性质.
我们已经知道： （1）直角三角形的两个锐角互余. （2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方 (勾股 定理）. 下面我们探索直角三角形的其他性质.
新课讲解
知识点1 直角三角形斜边上的中线的性质
如图，画Rt △ ABC，并画出斜边AB上的中线CD 量一量，看看CD与AB有什么关系. 相信你与你的同伴一定会发现:
即山顶的高度为60m.
＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，
点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长
为( )
A．20 B．12 C．14 D．13 导引：根据等腰三角形三线合一的性质可得
AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角 形斜边1 上的中线等于斜边的一半可得
2
DE＝CE＝ AC，然后根据三角形的周 长公式列式计算即可得解．
由直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半可知，斜边上中线的长为1cm.
拓展与延伸
小明沿倾斜角为30°的山坡，从山脚步行到山顶的革 命烈士纪念碑，共走了120m.求山顶的高度.
A 解:由题意可画出如图的直角三角形.
其中AB=120m，∠B=30°.
由30°角所对直角边等于斜边的
B
C
一半可知AC=60m.
24.4.1 解直角三角形 华师大版数学九年级上册课件
解：∵大树离地面部分、折断部分及地面正好构 成直角三角形，即△ABC是直角三角形。
应用拓展
3.已知一条边和一个锐角，求其余未知元素
例2 如图，炮台B在炮台A的正东方向1678m处．两炮台 同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东 40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰 与炮台B的距离．（参考数据：sin40°≈0.643， os40°≈0.766的特性： 它们极易从事实中归纳出来，但证明却 隐藏的极深。
——高斯
谢谢大家！
第24章 解直角三角形
24.4.1 解直角三角形
复习导入
1.在三角形中共有几个元素？ 2.直角三角形ABC中，∠C=90°，a、 b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量 关系呢？
探索新知
1.解直角三角形
我们已掌握直角三角形的边角关系、三边关系、角角关 系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一 个是边）后，就可求出其余的元素。
（1）概念：由已知元素求出未知元素 的过程，叫做解直角三角形。 （2）思考：为什么要至少有一条边？
探索新知
2.已知两条边，求其余未知元素
例1 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米 处折断倒下，树顶落在离树根24米处，则大树在折断之 前高多少？
分析：先根据大树离地面 部分、折断部分及地面正 好构成直角三角形利用勾 股定理求出折断部分的长， 进而可得出结论。
分析：根据炮台B在炮台A的正东方 向，敌舰C在炮台B的正南方向，得 出∠ABC=90°，再利用tan∠ACB =AB/BC，求出BC的值即可.
巩固练习
答案:1.10.0 6.0. 2.9.4海里.
归纳小结
本章的重要内容是解直角三角形 的有关知识，解直角三角形的依据是 勾股定理、两锐角互余和边角之间的 关系，一般有两种类型：已知两边， 已知一边和一锐角，解题时要选择适 当的关系式，尽可能使用原题数据和 避免做除尘运算。
华师版数学九年级上册教案-第24章 解直角三角形- 章目标总览
数学课堂教学资料设计
第24章解直角三角形
本章的内容主要包括：测量、直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形．
在学生掌握了全等三角形、相似三角形及特殊的三角形的性质的基础上，引入了锐角三角函数的概念，进而学习解直角三角形，是中学几何的重点与难点．在中考中，本章重点考查有特殊锐角三角函数值的计算及解直角三角形的应用．
【本章重点】
特殊角的锐角三角函数值、解直角三角形及其应用．
【本章难点】
解直角三角形及其应用.
【本章思想方法】
1．体会方程思想：如：根据锐角三角函数构建方程解决直角三角形问题．
2．体会数形结合思想：如：解直角三角形及其应用都要用到数形结合思想，由数到形，由形到数，二者完美结合，是解直角三角形的关键所在．
3．体会转化思想：如：在一些问题中，需要通过作辅助线构造出直角三角形，把一般三角形的问题转化为直角三角形问题．
24.1测量1课时
24.2直角三角形的性质1课时
24.3锐角三角函数2课时
24.4解直角三角形3课时
数学课堂教学资料设计。
九年级上《24.2直角三角形的性质》同步练习含答案解析
华师大版数学九年级上册第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质同步练习一、选择题1、将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A、140°B、160°C、170°D、150°2、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（）A、44°B、34°C、54°D、64°3、若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）A、等腰三角形B、等边三角形C、等腰直角三角形D、直角三角形4、在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A、120°B、90°C、60°D、30°5、直角三角形的一个锐角是23°，则另一个锐角等于（）A、23°B、63°C、67°D、77°6、在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（）C、60°D、90°7、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（）A、∠C=∠A+∠BB、a：b：c=3：4：5C、∠C=∠A-∠BD、∠A：∠B：∠C=3：4：58、在直角三角形中，两个锐角的度数比为2：3，则较小锐角的度数为（）A、20°B、32°C、36°D、72°9、已知△ABC是直角三角形，且∠C=Rt∠，若∠A=34°，则∠B=（）A、66°B、56°C、46°D、146°10、若直角三角形中的两个锐角之差为16°，则较大的一个锐角的度数是（）A、37°B、53°C、26°D、63°11、如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（）A、9°B、18°C、27°D、36°12、△ABC中，∠C=90°，∠A：∠B=2：3，则∠A的度数为（）A、18°B、36°C、54°D、72°13、若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是（）A、24°B、34°14、Rt△ABC中，∠A=90°，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是（）A、AH＜AE＜ADB、AH＜AD＜AEC、AH≤AD≤AED、AH≤AE≤AD15、直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（）A、150oB、135oC、120oD、120o或135o二、填空题16、如图所示的三角板中的两个锐角的和等于________度.17、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°30′，则∠B=________.18、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，EF∥AB ，∠1=50°，则∠B的度数是________度.19、如图所示，BD⊥AC于点D ， DE∥AB ， EF⊥AC于点F ，若BD平分∠ABC ，则与∠CEF相等的角（不包括∠CEF）的个数是________.20、已知Rt△ABC的两直角边长分别为3cm ， 4cm ，斜边长为5cm ，则斜边上的高等于________cm.三、综合题21、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B.求证：CD⊥AB.22、在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数.23、如图所示，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D.(1)求证：∠ACD=∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F ，求证：∠CEF=∠CFE.24、如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P ，已知∠EPD=125°，求∠BAD的度数.25、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D ， CE是△ABC的角平分线.(1)求∠DCE的度数.(2)若∠CEF=135°，求证：EF∥BC.答案解析部分一、选择题1、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°-20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°.故选：B.【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案.2、【答案】A【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°-46°=44°.故选A.【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.3、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】A、等腰三角形，三条高线交点在三角形内或外或某一顶点处，故A错误；B、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故B错误；C、因为已知无法确定其两腰相等，而只要是直角三角形就行了，不一定非得是等腰直角三角形，故C错误；D、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故D正确.故选：D.【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案.4、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°-60°=30°.故选：D.【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.5、【答案】C【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵直角三角形的一个锐角是23°，∴另一个锐角是：90°-23°=67°.故选：C.【分析】直角三角形的两个锐角互余.6、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】设较小的锐角是x ，则另一个锐角是2x ，由题意得，x+2x=90°，解得x=30°，即此三角形中最小的角是30°.故选B.【分析】设较小的锐角是x ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.7、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】A.∵∠C=∠A+∠B ，∴∠C=90°，是直角三角形，故本选项错误；B.∵32+42=25=52，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；C.∵∠C=∠A-∠B ，∴∠C+∠B=∠A ，∴∠A=90°，是直角三角形，故本选项错误；D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴最大的角∠C=180°× ＜90°，是锐角三角形，故本选项正确.故选D.【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解.8、【答案】C【考点】解直角三角形【解析】【解答】设两锐角分别为2k、3k ，由题意得，2k+3k=90°，解得k=18，所以，较小锐角的度数为18×2=36°.故选C.【分析】根据比例设两锐角分别为2k、3k ，然后利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可.9、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠C=Rt∠，∠A=34°，∴∠B=90°-∠A=90°-34°=56°.故选B.【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.10、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】设两个锐角分别为x、y ，根据题意得，x+y＝90°①x−y＝16°②①+②得，2x=106°，解得x=53°，①-②得，2y=74°，解得y=37°，所以方程组的解为x＝53°y＝37°故较大的一个锐角的度数是53°.故选B.【分析】设两个锐角分别为x、y ，然后根据直角三角形两锐角互余列出一个方程，再根据题意列出方程另一个方程，解方程组即可.11、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】设较小的锐角是x度，则另一角是4x度.则x+4x=90，解得：x=18°.故选B.【分析】根据直角三角形的两个角互余即可求解.12、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠A：∠B=2：3，∴设∠A=2k ，∠B=3k ，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，即2k+3k=90°，解得k=18°，∴∠A=36°.故选B.【分析】根据比例设∠A=2k ，∠B=3k ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求出k ，即可得解.13、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵两个锐角和是90°，∴一个直角三角形两个锐角的差为22°，设一个锐角为x ，则另一个锐角为90°-x ，得：90°-x-x=22°，得：x=34°.故选B.【分析】根据直角三角形中两锐角和为90°，再根据两个锐角之差为22°，设其中一个角为x ，则另一个为90°-x ，即可求出最小的锐角度数.14、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】①Rt△ABC中，AB=AC；（图①）根据等腰三角形三线合一的性质知：AD、AH、AE互相重合，此时AD=AH=AE；②Rt△ABC中，AB≠AC；（设AC＞AB ，如图②）在Rt△AHE中，由于AE是斜边，故AE＞AH；同理可证AD＞AH；∵∠AED＞∠AHD=90°，∠ADH＜∠AHE=90°∴∠AED＞∠ADE；根据大角对大边知：AD＞AE；即AD＞AE＞AH；综上所述，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是AH≤AE≤AD；故选D.【分析】此题应分两种情况讨论：①等腰直角三角形，②普通的直角三角形.然后根据各边所对角的大小来判断各线段的大小关系.15、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】直角三角形中，两锐角三角形度数和为90°，则两锐角的各一半度数和为45°，根据三角形内角和为180°，可得钝角度数为135°，故选B.【分析】本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解.二、填空题16、【答案】90【考点】解直角三角形【解析】【解答】直角三角板中的两个锐角的和等于90度.故答案为：90.【分析】根据直角三角形两锐角互余解答.17、【答案】54.5°【考点】解直角三角形【解析】【解答】Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=35°30′，∴∠B=90°-∠A=90°-35°30′=54°30′=54.5°.故答案为：54.5°.【分析】根据直角三角形两锐角互余，即可求出∠B的度数.18、【答案】40【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠1=50°，∴∠CEF=50°，∵EF∥AB ，∴∠A=∠CEF=50°，∵△ABC是直角三角形，∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.故答案为：40.【分析】先根据∠1=50°得出∠CEF的度数，再由平行线的性质求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数.19、【答案】4【考点】解直角三角形【解析】【解答】如图，∵BD⊥AC ， EF⊥AC ，∴BD∥EF ，∵BD平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∴与∠CEF相等的角有∠1、∠2、∠3、∠4共4个.故答案为：4.【分析】根据两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义找出与∠CEF相等的角即可.20、【答案】2.4【考点】解直角三角形【解析】【解答】如图，AC=3cm ， BC=4cm ， AB=5cm ， CD为斜边AB上的高∵S△ABC= AC•BC= CD•AB ，∴×3×4= ×5•CD∴CD=2.4cm.【分析】根据两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义找出与∠CEF相等的角即可.三、综合题21、【答案】证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B ，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB.【考点】解直角三角形【解析】根据∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，根据∠ACD=∠B ，得出∠A+∠ACD=90°，再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案.22、【答案】解答：设设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，那么根据三角形内角和定理：三角形内角之和为180°，所以x+4x+90°=180°，x=18°，4x=72°，答：三角分别为18°，72°，90°.【考点】解直角三角形【解析】设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，然后根据三角形的内角和定理列方程求解即可.23、【答案】（1）证明：∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D ，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF ，同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE.又∵AF平分∠CAB ，∴∠CAF=∠DAE ，∴∠AED=∠CFE ，又∵∠CEF=∠AED ，∴∠CEF=∠CFE.【考点】解直角三角形【解析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°-∠CAF ，∠AED=90°-∠DAE ，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE ，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE.24、【答案】解答：∵AD是BC边上的高线，∠EPD=125°，∴∠CBE=∠EPD-∠ADB=125°-90°=35°，∵BE是一条角平分线，∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°，在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-70°=20°.故答案为：20°.【考点】解直角三角形【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CBE的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，然后利用直角三角形的两锐角互余列式计算即可得解.25、【答案】（1）解答：∵∠B=30°，CD⊥AB于D ，∴∠DCB=90°-∠B=60°.∵CE平分∠ACB ，∠ACB=90°，∴∠ECB= ∠ACB=45°，∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°；（2）∵∠CEF=135°，∠ECB= ∠ACB=45°，∴∠CEF+∠ECB=180°，∴EF∥BC.【考点】平行线的判定，解直角三角形【解析】（1）由图示知∠DCE=∠DCB-∠ECB ，由∠B=30°，CD⊥AB于D ，利用内角和定理，求出∠DCB的度数，又由角平分线定义得∠ECB= ∠ACB ，则∠DCE的度数可求；（2）根据∠CEF+∠ECB=180°，由同旁内角互补，两直线平行可以证明EF∥BC.11 / 11。
九年级数学上册 第24章 解直角三角形知识归纳 (新版)华东师大版
第24章 解直角三角形考点一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两个锐角互余．可表示如下：∠C =90°⇒∠A +∠B =90°2. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．301902A BCD AB C ∠=︒⎫⇒=⎬∠=︒⎭ 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9012ACB CD AB BD AD D AB ∠=︒⎫⇒===⎬⎭为的中点 4. 勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+．5. 摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项．22290CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB⎧=•∠=︒⎫⎪⇒=•⎬⎨⊥⎭⎪=•⎩ 6. 常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD =AC •BC考点二、直角三角形的判定1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形．2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．3. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形． 考点三、锐角三角函数的概念1. 如图，在△ABC 中，∠C =90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即A a sin A c∠==的对边斜边 ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cos A ，即A b cos A c∠==的邻边斜边 ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tan A ，即A a tan A A b ∠==∠的对边的邻边 ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cot A ，即A b cot A A a∠==∠的邻边的对边 2. 锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．3. 各锐角三角函数之间的关系〔1〕互余关系：sin A =cos(90°—A )，cos A =sin(90°—A )tan A =cot(90°—A )，cot A =tan(90°—A )〔2〕平方关系：1cos sin 22=+A A〔3〕倒数关系：tan A •cot A =1〔4〕弦切关系：tan A =A A cos sin ；cot A =cos sin A A4. 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时，〔1〕正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕〔2〕余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕〔3〕正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕〔4〕余切值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕5. 一些特殊角的三角函数值三角函数0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 23 1 cosα 1 23 22 21 0 tanα 0 33 1 3 不存在 cotα不存在 3 1 33 01. 解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2. 解直角三角形的理论依据在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c〔1〕三边之间的关系：222c b a =+〔勾股定理〕〔2〕锐角之间的关系：∠A +∠B =90°〔3〕边角之间的关系：sin ,cos ,tan ,cot sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c cb a b a b a B B B Bc c a b========。
24.2直角三角形的性质教案
教学目标1.使学生理解直角三角形的意义；2.使学生能够用直角三角形的三个关系式解直角三角形；3.通过列方程解直角三角形，培养学生运用代数方法解几何问题的能力；4.培养学生运用化归的思想方法将未知的问题转化为已知的问题去解决.教学重点和难点正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形是重点；选择适当的关系式解直角三角形是难点.教学过程设计一、直接运用三个关系解直角三角形1.定义.由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形.2.解直角三角形依据.图6-32，直角三角形ABC 的六个元素(三条边，三个角)，a,b,c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，除直角C 外，其余五个元素之间的关系如下：(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°.(3)边角之间的关系：sinA ＝ca A =∠斜边的对边； cosA ＝cb A =∠斜边的邻边； tanA ＝ba A A =∠∠的邻边的对边； cotA ＝a b A A =∠∠的对边的邻边； 这三个关系式中，每个关系式都包含三个元素，知其中两个元素就可以求出第三个元素 .(1)是已知两边求第一边；(2)是已知一锐角求另一角；(3)是已知两边求锐角，已知一边一角求另一边.这些关系式是解直角三角形的依据，已知其中两个元素(至少有一个是边)就可以求出其余的三个未知元素.3.例题分析.例1 △ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c,且b ＝3,∠A ＝30°，解这个直角三角形.分析：①未知元素是∠B ，a ，c ；②∠B 最容易求，∠B ＝90°－∠A ；③由tanA ＝ba ，可以求a ；④由cosA ＝ca ，可以求c ； 解：①∠B ＝90°-∠A =90°－30°＝60°； ②因不tanA ＝ba ， 所以a ＝b ·tanA ＝3×tan30°＝3333=⨯； ③因为cosA ＝ca ，问：(1)用cotA 是否可以求出a?从而说明要优选关系式.(2)求c 边还可以用什么方法?(答：也可以用勾股定理求得)练习1 在△ABC 中，∠C ＝90°，c ＝2,∠B ＝30°,解这个直角三角形.(答：∠A ＝60°，a ＝，b ＝1.)例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，，求∠A 、∠B 、c 边.分析：此题解法灵活性很强.求c 边可根据求得，也可先用正(余)切求出∠A(或∠B)，再用正余弦求得c 边。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 直角三角形斜边中线性质》精品课件_5
则BC=__9____.
A
B
D
C
2、如图， ∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平 分AB，垂足为点E，交BC边于点D,
BD=16cm，则AC的长为___8_c__m
A E
B
D
C
知识小结
性质 1
直角三角形两个锐角互余
性质 2
直角三角形的勾股定理
性质 直角三角形斜边上的中线等
3
于斜边的一半
性质 在直角三角形中，30⁰所对
BC= 1 AB 2
证明： 作斜边上的中线CD，
则CD=AD=BD= 1 AB 2
（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
∵ ∠A=30° ∴ ∠B=60°
A
对此，你能得出 什么结论？
∴ △CDB是等边三角形
D
∴ BC=BD= 1 AB 2
B
C
1、如图在△ABC中，若∠BAC=120°
，AB=AC,AD⊥AC于点A，BD=3，
D
又∵∠ACB=90⁰，
∴四边形ACBE是矩形，
∟
∴ CE=AB.
B
C
1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上 的中线的长为_5_c_m___
2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∠CDA=80°，则∠A=__5_0_°_ ∠B=__4_0_°_
D
B
C
例 Rt△ABC中，∠ACB=90 ° ，∠A=30°，求证：
A
C
推进新课
画任意Rt △ABC，并画出斜边AB上的中线 CD， 量一量，看看CD与AB有什么数量关系？
B
D
A
C
思路引导：中线辅助线作法：将中线延长一倍.
直角三角形的性质
电流I/A 0.4 0.2 0.1
(3)更换电阻箱的阻值，所测数据如表所示，可得出实验结 论:电__压__一__定__时__，__通__过__导__体__的__电__流__与__导__体__的__电__阻__成__反__比__。
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2．电流与电压的关系：__电__阻____一定时，通过导体的电 流与导体两端的电压成___正__比___。
B．CD＝12AB D．CD＝12AC
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2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则下列
关系式中正确的是( A ) A．BC＝12AB B．BC＝12AC C．AC＝12AB D．AC＋BC＝AB
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互互动动课堂堂
一 新知引入 如图，在直角三角形ABC中，∠A、∠B是锐角，请
回答以下问题： 1．在直角三角形ABC中，角有什么关系？
∴∠A＝∠ABD.
∵BA＝BC，∠B＝120°，
∴∠A＝∠C＝ 12(180°－120°)＝30°，∴∠ABD＝30°.
又∵∠ABC＝120°，∴∠DBC＝120°－30°＝90°，
∴BD＝
1 2
DC，∴AD＝
1 2
DC.
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五 课堂小结
1．直角三角形的两个锐角互余； 2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 3．有一个角是30°的直角三角形，30°的角所对的直
华师福建 九年级上
第24章 解直角三角形
24.2 直角三角形的性质
习题链接
预习目标 1
2
答案显示
预习要点 1 互余 2 斜边的平方 3 斜边的一半
4 斜边的一半
预习自测 1 B
2A
新知引入 1 见习题 2 见习题 3 见习题 合作探究 1 见习题
24.特殊角的三角函数值课件九年级数学上册(华东师大版)
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， ∠A = 30°，
∵sin A = CD = 1， AC 2
∵cos A AD 3 ， AC 2
∵ tan B CD 3 ， BD 2
C
A
D
B
第24章 解直角三角形
锐角a
三角
30° 45° 60°
函数
sin a
1
2
3
2
2
2
cos a
3
2
1
2
2
2
tan a
3 1
3
3
第24章 解直角三角形
60° 30°
45°
45°
课堂练习
1. cos45°的值等于（ B ）
A. 1 2
B. 2 2
C. 3 2
D. 3
1
2..如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____2.
.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,
3
tanA=____.3
第24章 解直角三角形
3.求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° 解：1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60° 3tan30°－tan45°+2sin60°
第24章 解直角三角形
活动一 设 30° 所对的直角边长为 a，那么斜边长为 2a，
另一条直角边长 = 2a2 a2 3a.
∴ sin 30o a 1， 2a 2
∴ sin 60o 3a 3 ，
2a 2
60°
cos 30o 3a 3 ，cos 60o a 1， Nhomakorabea2a 2
2019年华师版九年级上册数学解读课件：第24章 解直角三角形(共16张PPT)
梯子的垂直高度
A=
水平宽度
,tan A的值越大,梯
子越陡.因此可用梯子的倾斜角的正切值来
描述梯子的倾斜程度.
知识点 特殊角的三角函数值
在一副三角板中,等腰直角三角形的三边长之比为1∶1∶ ,含 30°角的直角三角形的三边长之比为1∶ ∶2,可根据三角函 数定义顺利得出30°,45°和60°角的三角函数值.
锐角的正弦和余弦是在直角三角形中定义的,因为直角边小于斜边,且各 边的长度都是正数,所以0<sin A<1,0<cos A<1,sin A的值随着∠A的增大 而增大,cos A的值随着∠A的增大而减小.
知识点 锐角的正切
在下图中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?
当梯子与地面所成的角为锐角A时,tan
知识点 用计算器求一个锐角的三角函数值
为了方便行人推自行车过某天桥,市政府在10 m高的天桥 两端修建了40 m长的斜道(如图所示).要求这条斜道的倾 斜角是多少,可先求出倾斜角的正弦,然后利用科学计算器 求出其度数.
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
知识点 解直角三角形
如图所示的是意大利的比萨斜塔,设塔顶中心点为B,塔身中 心线与垂直中心线的交点为A,过B点向垂直中心线引垂线, 垂足为C,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m, 显然可以用∠A的正弦,利用计算器求出∠A的度数,即塔倾 斜的角度.
第24章 解直角三角形
24.3 锐角三角函数
知识点 锐角的正弦和余弦
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山 坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°, 为使出水口的高度为35 m,显然可利用正弦求出需要准备多长的水管.
直角三角形的性质PPT课件
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分 别 交 AB ， AC 于 点 D ， E ， 且 ∠ A ＝ 30° ， DE ＝ 2. 求 △ABC的面积．(结果保留根号)
解：∵DE 垂直平分 AB，∠A＝30°，DE＝2，∴AE＝4， ∴AD＝ AE2－DE2＝2 3，∴AB＝2AD＝4 3. 在 Rt△ABC 中，∠A＝30°， ∴BC＝12AB＝2 3，∴AC＝ AB2－BC2＝6， ∴S△ABC＝12AC·BC＝12×6×2 3＝6 3.
3．【2020·岳阳】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上 的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝_7_0______°.
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上 的中线，ED⊥BC于D，交BA的延长线于E，若∠E＝ 35°，求∠BDA的度数．
解：∵∠E＝35°，ED⊥BC，∴∠B＝55°. ∵∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的中线， ∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝55°， ∴∠BDA＝180°－55°－55°＝70°.
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足
为 D ， 点 E 是 边 AB 的 中 点 ， AB ＝ 10 ， DE ＝ 4 ， 则
S△AEC＝(
)
A．8 B．7.5
C．7
D．6
【点拨】在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 E 是边 AB 的中点， ∴AE＝BE＝CE＝12AB＝5. ∵CD⊥AB，DE＝4，∴CD＝ CE2－DE2＝3， ∴S△AEC＝12AE·CD＝12×5×3＝7.5.
华师版九年级数学上册作业课件(HS)第24章 解直角三角形 直角三角形的性质
三、解答题(共36分) 16．(10分)如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上的一点， PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若OD＝4 cm，求PE的长．
解：过点P作PF⊥OB于点F，∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠FDP＝ ∠AOB＝30°，∠DPO＝∠POA.∵OP平分∠AOB，∴∠POB＝∠POA， ∴∠DPO＝∠POB，∴DP＝OD＝4 cm，∴PF＝2 cm，∴PE＝PF＝2 cm
14．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB ＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为___2_0______．
15．(荆州中考改)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的斜边 OA 在第一象限，并与 x 轴的正半轴夹角为 30°.C 为 OA 的中点，BC＝ 1，则点 A 的坐标为_(__3__，__1_)_____.
17．(12分)如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD与BE相交于点P， BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．
解：易证：△ABE≌△CAD，∴AD＝BE，且∠DAC＝∠ABE，又 ∵∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP，∴∠BPQ＝∠DAC＋∠BAP＝∠BAC＝ 60°，又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝6，∴BE＝BP＋ PE＝7，又∵AD＝BE，∴AD＝7
含 30°角的直角三角形的性质
6．(4分)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，
则AB的长度是()CA．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm
7．(4 分)如图，在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过
点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC，若 AN＝1，则
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24.2 直角三角形的性质
知识点 1 直角三角形的两个锐角互余
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A．120° B．90° C．60° D．30°
2．如图24－2－1，将一个矩形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( ) A．30° B．60° C．90° D．120°
图24－2－1
知识点 2 勾股定理
3．［2016·荆门］如图24－2－2，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
4．［2017·绍兴］如图24－2－3，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A．0.7米 B．1.5米
C．2.2米 D．2.4米
图24－2－3
知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质
5．如图24－2－4，在Rt△ABC中，E＝10，则CE＝________．
6．如图24－2－5，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__________．
图24－2－5
7．如图24－2－6，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连结AE.求证：∠AEC＝∠C.
知识点 4 直角三角形中30 °角的性质
8．［2016·百色］如图24－2－7，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( ) A．6 B．6 2 C．6 3 D．12
9．如图24－2－8，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若线段DE＝1 cm，则BD的长为________ cm.
10．如图24－2－9，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则图中互余的角有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
11．［教材习题24.2第2题变式］如图24－2－10，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E.若AE＝2，则BE＝( )
A．3 B．4 C．6 D．8
12．如图24－2－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F＝30°，DE＝1，求BE的长．
13．如图24－2－12，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1.
(1)求CD的长；
(2)求△ABC的面积．
14．如图24－2－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD
＝1
3
BD，连结DN，MN.
(1)求证：MN＝CD；
(2)若AB＝6，求DN的长．
15．如图24－2－14，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB.
(1)求∠B的度数；
(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝
1
2
AB.
16．如图24－2－15所示，一根长2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为
P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
(1)请判断在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否发生变化，并简述理由．
(2)
1．D 2．C 3.C 4．C 5．5 6．8
7．证明：∵AD ⊥AB ，∴△ABD 为直角三角形． ∵E 是BD 的中点，
∴AE ＝12BD ，BE ＝1
2BD ，
∴AE ＝BE ， ∴∠B ＝∠BAE .
∵∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ， ∴∠AEC ＝∠B ＋∠B ＝2∠B . 又∵∠C ＝2∠B ， ∴∠AEC ＝∠C . 8．A 9.4 10．C 11． C
12．∵AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， ∴∠BDF ＝90°，AE ＝BE ， ∴∠ABE ＝∠A . ∵∠F ＝30°， ∴∠DBF ＝60°.
∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝30°， ∴∠ABE ＝30°， ∴BE ＝2DE ＝2.
13．解：(1)∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°. ∵∠C ＝30°，AD ＝1， ∴AC ＝2AD ＝2，
∴CD ＝AC 2－AD 2＝22－12
＝ 3. (2)∵∠B ＝45°， ∴∠BAD ＝45°， ∴BD ＝AD ＝1，
∴BC ＝BD ＋CD ＝1＋3，
∴△ABC 的面积＝12AD ·BC ＝1＋3
2
.
14．
解：(1)证明：∵M ，N 分别是AB ，AC 的中点，
∴MN ＝1
2BC ，MN ∥BC .
∵CD ＝1
3BD ，
∴CD ＝1
2BC ，
∴MN ＝CD .
(2)连结CM ，∵MN ∥CD ，MN ＝CD ， ∴四边形MCDN 是平行四边形， ∴DN ＝CM .
∵∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，
∴CM ＝1
2
AB ，
∴DN ＝1
2
AB ＝3.
15(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ，∴∠ACD ＝∠DCE ＝∠BCE ＝30°， ∴∠BCD ＝60°. 又∵CD 为高，
∴∠B ＝90°－60°＝30°.
(2)证明：由(1)知，∠B ＝∠BCE ＝30°， 则CE ＝BE .
∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°.
又由(1)知，∠ACD ＝∠DCE ＝30°， ∴∠ACE ＝60°＝∠A ， ∴△ACE 是等边三角形，
∴AE ＝CE ＝BE ＝1
2
AB ，
∴E 是AB 的中点，
∴CE 是AB 边上的中线，且CE ＝1
2
AB .
16． (1)不变．
理由：由题意得OP ＝1
2
AB .
∵斜边AB 的长不变，
∴点P 到点O 的距离OP 不变．
(2)当△AOB 斜边上的中线OP 是斜边上的高h 时，△AOB 的面积最大．
理由：如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则h ＜OP ， 故根据三角形面积公式，知当h 与OP 相等时，△AOB 的面积最大，
此时，S △AOB ＝12AB ·h ＝12
·2a ·a ＝a 2
.
∴△AOB 的最大面积为a 2
.。