14.2017-2020上海市高三数学二模分类汇编：应用题
2020年上海市高三数学二模分类汇编：三角(16区全)
1（2020静安二模）. 若sin 3x =，则cos(2)x π-的值为 1（2020虹口二模）. 函数()3cos21f x x =+的最小值为2（2020宝山二模）. 函数)1arcsin(+=x y 的定义域是 2（2020黄浦二模）. 函数22cos 2y x =+的最小正周期为 3（2020杨浦二模）. 函数23cos 1y x =+的最小正周期为 3（2020徐汇二模）. 函数()cos 3xf x π=的最小正周期为5（2020黄浦二模）. 如果sin α=，α为第三象限角，则3sin()2πα+= 5（2020徐汇二模）. 方程1sin 3x =在[,]2ππ上的解是 7（2020奉贤二模）. 在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是7（2020崇明二模）. 若1sin()23πα+=，则cos2α=8（2020虹口二模）. 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =，8c =，30A =︒，则sin C =9（2020崇明二模）. 将函数()sin f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后得到函数()y g x =的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的任意1x 、2x ，12||x x -的最小值是3π，则ϕ的最小值是10（2020普陀二模）. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若22csc()ab ca b c A B -=++，则角C 的大小为11（2020崇明二模）. 在△ABC 中，,cos )AB x x =uu u r ，(cos ,sin )AC x x =uuu r ，则△ABC面积的最大值是12（2020嘉定二模）. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222sin a b c A ++=，则A =14（2020宝山二模）. 若函数x a x x f cos sin )(+=的图像关于直线4x π=对称，则a 的值为（ ）A. 1B. 1-C.D. 15（2020徐汇二模）. 设点2( 1)(0)2t P t t+<，是角α终边上一点，当||OP uu u r 最小时，cos α的值是（ ）A. 5-B. 5C. 5D. 515（2020虹口二模）. 已知函数1()sin()62f x x πω=++（0ω>）在区间(0,)2π上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）A. 14(2,]3 B. 14[2,)3 C. 10[,4)3 D. 10(,6]315（2020长宁二模）. 在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ，已知角α的终边l 与单位圆交于点(0.6,)A m ，将l 绕原点逆时针旋转2π与单位圆交于点(,)B x y ，若4tan 3α=-，则x =（ ）A. 0.6B. 0.8C. 0.6-D. 0.8- 15（2020浦东二模）. 已知函数()cos |cos |f x x x =⋅，给出下列结论： ①()f x 是周期函数； ②函数()f x 图像的对称中心(,0)2k ππ+（Z k ∈）；③若12()()f x f x =，则12x x k π+=（Z k ∈）；④不等式sin 2|sin 2|cos2|cos2|x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15{|,Z}88x k x k k +<<+∈； 则正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①②④16（2020静安二模）. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ≤<）满足下列条件：①()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合，对任意的x ∈R 都有()(26f x f π≤=）成立.（1）求()f x 的解析式；（2）若锐角△ABC 的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =， 求△ABC 的周长l 的取值范围.18（2020闵行二模）. 已知函数2()3cos cos f x x x x ωωω=+（0ω>）. （1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值；（2）当1ω=时，设△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32A f =，且a =，6b =，求△ABC 的面积.18（2020松江二模）. 已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最大值和最小正周期T ；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()32Af =，且1a =， 求△ABC 面积的最大值.18（2020宝山二模）. 已知函数())f x x ωϕ=+，()g x x ω=，0ω>，[0,)ϕπ∈，它们的最小正周期为π.（1）若)(x f y =是奇函数，求)(x f 和)(x g 在[0,]π上的公共递减区间D ； （2）若()()()h x f x g x =+的一个零点为6x π=-，求()h x 的最大值.18（2020普陀二模）. 设函数2()2sin ())1263x f x x ωππω=++-.（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为()2f π，求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()f x 在区间(,2)ππ内不存在零点，求正实数ω的取值范围.18（2020嘉定二模）. 设常数a ∈R ，函数2()2cos f x x a x =+.（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若()36f π=，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解.18（2020青浦二模）. 已知函数2π()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x =++. （1）若函数()y f x =的图像关于直线x a =（0a >）对称，求a 的最小值； （2）若存在05[0,]2π1x ∈，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围.18（2020杨浦二模）. 已知三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且5a =，7b =.（1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积.18（2020金山二模）. 已知函数2()2cos 2xf x x =. （1）求函数()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间； （2）当11()5f α=，且236ππα-<<，求sin(2)3πα+的值.18（2020长宁二模）. 已知函数()sin f x x x =-，R x ∈.（1）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若()0f A =，且2b =，3c =，求a 的值；（2）求函数()cos y f x x =的最大值.18（2020浦东二模）. 已知锐角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方形重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q . （1）求cos()αβ+的大小；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值.。
上海市宝山区高2020届高2017级高三下学期二模考试数学试题及参考答案解析
上海市宝山区2020届高三二模数学试卷一:填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1.已知复数z 满足()2020124z i i +=-(其中,i 为虚数单位),则z =______.【参考答案】12i - 【试题解析】根据复数乘方运算法则41n i =*()n N ∈可得结果.【详细解答】因为()2020124z i i +=-,所以45052424121()2i iz i i --===-+, 故答案为:12i -本题考查了复数的乘方运算公式41n i =*()n N ∈,属于基础题.2.函数()arcsin 1y x =+的定义域是______. 【参考答案】[]2,0- 【试题解析】根据反正弦函数的定义域列不等式可解得结果. 【详细解答】由111x -≤+≤得20x -≤≤, 所以函数()arcsin 1y x =+的定义域是[]2,0-. 故答案为:[]2,0-本题考查了反正弦函数的定义域,属于基础题.3.计算行列式的值,0123=______. 【参考答案】2- 【试题解析】根据行列式的计算公式计算可得答案.【详细解答】0123=03122⨯-⨯=-, 故答案为:2-本题考查了二阶行列式的计算,属于基础题.4.已知双曲线C :22221x y a b -=(0a >,0b >)的实轴与虚轴长度相等,则C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的渐近线方程是______. 【参考答案】y x =± 【试题解析】根据实轴与虚轴的定义可得a b =,根据双曲线的渐近线方程可得答案. 【详细解答】依题意得22a b =,即a b =,所以C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的渐近线方程是b y x x a =±=±.故答案为:y x =±本题考查了双曲线的实轴,虚轴,渐近线,属于基础题. 5.已知无穷数列()23n na =-,*n N ∈,则数列{}n a 的各项和为______.【参考答案】12- 【试题解析】用定义可得数列{}n a 是首项为23-,公比为13-的等比数列,利用公式11a S q =-计算可得答案.【详细解答】因为()23n na =-,所以12233a ==--, 1121(3)23(3)n n nna a ++-==--,所以数列{}n a 是首项为23-,公比q 为13-的等比数列,所以数列{}n a 的各项和为121311213a S q -===--+.故答案为:12-本题考查了无穷等比数列的各项和的公式,属于基础题. 6.一个圆锥的表面积为π,母线长为56,则其底面半径为______. 【参考答案】23【试题解析】设圆锥的底面半径为r ,根据256rr πππ+=可解得结果. 【详细解答】设圆锥的底面半径为r ,则底面周长为2r π,底面积为2r π, 侧面展开图扇形的半径为56,弧长为2r π,扇形的面积为1552266r r ππ⨯⨯=, 所以256r r πππ+=,解得23r =. 故答案为:23本题考查了圆锥的表面积,考查了扇形的面积公式,属于基础题.7.某种微生物的日增长率r ,经过n 天后其数量由0p 变化为p ,并且满足方程0r np p e ⋅=,实验检测,这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位,则增长率r =______.(精确到1%) 【参考答案】25% 【试题解析】依题意列出方程714.86 2.58r e =⨯,改为对数式后,利用计算器可解得结果. 【详细解答】依题意有714.86 2.58r e =⨯,所以714.865.762.58re =≈, 所以7ln5.76 1.75r ≈≈,所以25%r =. 故答案为:25%本题考查了指数式化对数式,考查了利用计算器求近似值,属于基础题.8.已知12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为第6项,则常数项为______.【参考答案】638- 【试题解析】根据第6项为常数项,由通项公式可得10n =,再由通项公式即可解得结果. 【详细解答】由通项公式得5556511()2n n T T C x x -+==⋅⋅-=55101()2n n C x --⋅为常数项, 所以100n -=,即10n =,所以556101()2T C =-638=-. 故答案为:638-本题考查了二项展开式的通项公式的应用,属于基础题.9.某医院ICU 从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫,则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是______. 【参考答案】710【试题解析】记3名男医生分别为,,A B C ,2名女医生分别为,a b ,利用列举法列出所有基本事件,得到所有基本事件的种数和所求事件包含的基本事件个数,再利用古典概型的概率公式计算可得结果. 【详细解答】记3名男医生分别为,,A B C ,2名女医生分别为,a b , 则从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫的所有基本事件为:(,)A B ,(A,C),(A,a),(A,b),(,)B C ,(,a)B ,(,b)B ,(C,a),(C,b),(,)a b 共10种, 其中至少有1位女医生的有(A,a),(A,b),(,a)B ,(,b)B ,(C,a),(C,b),(,)a b 共7种, 根据古典概型的概率公式可得选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是710. 故答案为:710. 本题考查了利用列举法求古典概型的概率,使用列举法是解题关键,属于基础题.10.已知方程210x tx ++=(t R ∈)的两个虚根是1x ,2x ,若21x x -=,则t =______.【参考答案】【试题解析】根据虚根成对定理可设1x a bi =+,2x a bi =-(),a b ∈R ,代入21x x -=可解得b =,根据韦达定理可得122x x a t +==-,22121x x a b =+=,将2b =±代入可解得2a =±,2t a =-=【详细解答】因为方程210x tx ++=(t R ∈)的两个虚根是1x ,2x , 所以240t =-<,解得22t -<<,由虚根成对定理可设1x a bi =+,2x a bi =-(),a b ∈R ,所以122x x a t +==-,22121x x a b =+=,因为21x x -=,所以||a bi a bi +-+=,所以|2|bi =所以2b =±, 所以22112a b =-=,所以2a =±,所以2t a =-=,满足22t -<<, 故答案为:.本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理,考查了韦达定理,复数的模长公式,属于基础题.11.已知O 是坐标原点,点()1,1A -,若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点,则⋅OA OM 的取值范围是______. 【参考答案】[]0,2 【试题解析】因为⋅OA OM (1,1)(,)x y x y =-⋅=-+,令目标函数为z x y =-+,作出可行域,根据图形得到最优解即可得到结果.【详细解答】因为⋅OA OM (1,1)(,)x y x y =-⋅=-+,令目标函数为z x y =-+, 作出可行域,如图:由图可知,最小值最优解为(1,1),最大值最优解为(0,2), 所以02z ≤≤,即⋅OA OM 的取值范围是[]0,2. 故答案为:[]0,2本题考查了平面向量的数量积的坐标表示,考查了线性规划求函数的最值,属于基础题. 12.已知平面向量,,a b e 满足||1e =,1a e ⋅=,1b e ⋅=-,||4a b -=,则a b ⋅的最小值为_____ 【参考答案】-4 【试题解析】设(1,0)e =,11(,)ax y ,22(,)b x y =,由1a e ⋅=,1b e ⋅=-可求12,x x ,再代入||4a b -=,可得1223y y =±由此表示出21221(3)4a b y y y ⋅=-+=-,从而可求出最小值. 【详细解答】设(1,0)e =,11(,)a x y ,22(,)b x y =,由1a e ⋅=,1b e ⋅=-得:1211x x =⎧⎨=-⎩,又||4a b -=,则22216a a b b -⋅+=,解得:1223y y =±22122221123(3)4a b y y y y y ⋅=-+=-+±=-,故a b ⋅的最小值为-4. 故答案为:-4.本题考查平面向量的坐标表示,考查了向量在几何中的应用,建立坐标系表示出每个向量是常用的基本手段,属中档题.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 13.抛物线24y x =的准线方程是( ) A.2x =- B.1x =-C.18y =-D.116y =-【参考答案】D 【试题解析】将抛物线方程化标准形式,可得18p =,进一步可得准线方程. 【详细解答】由24y x =可得214x y =,所以18p =, 所以准线方程为1216p y =-=-. 故选:D本题考查了抛物线方程的标准形式,考查了抛物线的准线方程,属于基础题. 14.设函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线4x π=对称,则a 的值为()B. C.1 D.-1【参考答案】C 【试题解析】根据对称轴可知()02f f π⎛⎫=⎪⎝⎭,代入可求得结果. 【详细解答】()f x 关于直线4x π=对称 ()02f f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭,则sin 0cos0sin cos 22a a ππ+=+ 1a经检验,满足题意,本题正确选项:C本题考查函数对称性的应用,在已知对称轴的情况下,通常采用特殊值的方式来进行求解. 15.用数学归纳法证明()()()1351211nnn n -+-+⋅⋅⋅+--=-,*n N ∈成立.那么,“当1n =时,命题成立”是“对*n N ∈时,命题成立”( )A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【参考答案】B 【试题解析】根据必要不充分条件的定义可得结论.【详细解答】“当1n =时,命题成立”不能推出“对*n N ∈时,命题成立”, “对*n N ∈时,命题成立”可以推出“当1n =时,命题成立”,所以“当1n =时,命题成立”是“对*n N ∈时,命题成立”的必要不充分/ 故选:B本题考查了必要不充分条件的概念,关键是掌握必要不充分条件的概念,属于基础题. 16.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,对任意两个不相等的正数1x ,2x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-,则函数()(),00,0f x x g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩( )A.是偶函数,且在()0,∞+上单调递减B.是偶函数,且在()0,∞+上单调递增C.是奇函数,且单调递减D.是奇函数,且单调递增【参考答案】A 【试题解析】利用()f x 是定义在R 上的奇函数,根据偶函数的定义可得()g x 为偶函数,设120x x >>,则120x x ->,根据()()211212x f x x f x x x -<-可得2112()()0x f x x f x -<,所以121212()()()()f x f x g x g x x x -=-211212()()x f x x f x x x -=0<,根据定义可得函数()g x 在()0,∞+上单调递减.【详细解答】因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-, 所以当0x ≠时,()()()()---===--f x f x g x g x x x,当0x =时,()()0g x g x -==,所以x∈R 时,恒有()()g x g x -=,即()g x 为偶函数, 当0x >时,()()f x g x x=,设120x x >>,则120x x ->, 由()()2112120x f x x f x x x -<-可知2112()()0x f x x f x -<,则121212()()()()f x f x g x g x x x -=-211212()()x f x x f x x x -=, 因为120,0x x >>,所以120x x >, 又2112()()0x f x x f x -<,所以12()()0g x g x -<,即12()()<g x g x ,由减函数的定义可知,函数()g x 在()0,∞+上单调递减. 故选:A本题考查了利用定义判断函数奇偶性,考查了利用定义判断函数的单调性,属于基础题. 三.解答题(本大题共5题,共76分)17.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=︒,22AB AC ==,D 是AB 的中点.(1)若三棱柱111ABC A B C -的体积为33求三棱柱111ABC A B C -的高(2)若12C C =,求二面角111D B C A --的大小 【参考答案】(1)6(2)17【试题解析】(1)求出底面积后,根据棱柱的体积公式可求得棱柱的高；(2)以C 为原点,CA 为x 轴,CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用平面的法向量可求得结果. 【详细解答】(1)由题意,求得3BC =,所以11322ABC S AC BC =⨯=△, 由133V S CC =⨯=柱, 解得16CC =.(2)以C 为原点,CA 为x 轴,CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立如图所示的坐标系:则13,,022D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()13,2B ,()10,0,2C ,113,222DB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,113,222DC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭, 设平面11C B D 的法向量为(),,n x y z =,则由1100DB n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得340340x z x z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩,取1z =,则4x =,0y =,所以,平面11C B D 的一个法向量为()4,0,1n =, 平面111A B C 的一个法向量为()0,0,1m =, 记二面角111D B C A --为θ,则cos 001160117n m n mθ⋅===++⋅++⋅所以17θ=本题考查了棱柱的体积公式,考查了二面角的向量求法,正确建立空间直角坐标系是求二面角的关键,属于中档题.18.已知函数()()2x f x ωϕ=+,()2g x x ω=,0>ω,[)0,ϕπ∈,它们的最小正周期为π(1)若()y f x =是奇函数,求()f x 和()g x 在[]0,π上的公共递减区间D (2)若()()()h x f x g x =+的一个零点为6x π=-,求()h x 的最大值【参考答案】(1),42D ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2)()max h x 【试题解析】(1)根据周期求出2ω=,根据()y f x =是奇函数,求出0ϕ=,再求出()f x 和()g x 在[]0,π上的递减区间,然后求其交集即可得到结果；(2)将点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()0h x =,可得6π=ϕ,再化简()h x 得()h x =23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,可得最大值.【详细解答】(1)由2||T ππω==,以及0>ω得2ω=,又()y f x =是奇函数,所以(0)f =0ϕ=,所以k ϕπ=,k Z ∈, 又[)0,ϕπ∈,所以0ϕ=,在[]0,π上,()2f x x =的递减区间是13,44D ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, ()2g x x =的递减区间是10,2D π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 所以12,42D D D ππ⎡⎤=⋂=⎢⎥⎣⎦.(2)()()sin 2cos 2h x x x ϕ=++⎤⎦,把点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin cos 033ππϕ⎤⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦, 即1sin 32πϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 又因为[)0,ϕπ∈,2,333πππϕ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭,所以36ππϕ-=-,所以6π=ϕ,所以()1sin 2cos 2sin 2262h x x x x x π⎫⎤⎛⎫=++=⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因而()max h x =本题考查了正弦型函数的周期公式,考查了函数的奇函数性质,考查了函数的单调性,考查了函数的零点,考查了函数的最值,属于中档题.19.据相关数据统计,2019年底全国已开通5G 基站13万个,部分省市的政府工作报告将“推进5G 通信网络建设”列入2020年的重点工作,今年一月份全国共建基站3万个.(1)如果从2月份起,以后的每个月比上一个月多建设2000个,那么,今年底全国共有基站多少万个.(精确到0.1万个)(2)如果计划今年新建基站60万个,到2022年底全国至少需要800万个,并且,今后新建的数量每年比上一年以等比递增,问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划？(精确到1万个) 【参考答案】(1)62.2万个,(2)2021年181万个,2022年547万个 【试题解析】(1)今年每月建设基站的数量构成一个等差数列,首项为3万个,公差为0.2万,根据等差数列的求和公式可得今年建设基站的个数,再加上去年基站的个数即可得到答案；(2)依题意,每年新建基站的数量构成等比数列,设公比为q (1)q >,根据题意列式260606080013q q ++≥-,可得12q ≥,再求出60q 和260q 即可得到答案. 【详细解答】(1)依题意,今年每月建设基站的数量构成一个等差数列,首项为3万个,公差为0.2万, 所以今年一共建设基站12113120.249.22⨯⨯+⨯=万个, 所以今年底全国共有基站1349.2+62.2=万个.(2)依题意,每年新建基站的数量构成等比数列,设公比为q (1)q >,则260606080013q q ++≥-,即2727060q q +-≥,解得12q ≥,所以37160603018130q≥⨯-≈万个, 2237116060()302q ≥⨯-547≈万个.所以2021年至少新建181万个基站,2022年至少新建547万个基站オ能完成计划.本题考查了数列建模,考查了等差数列的求和公式和等比数列的通项公式,考查了运算求解能力,属于中档题.20.已知直线l:y kx m=+和椭圆Γ:22142x y+=相交于点()11,A x y,()22,B x y(1)当直线l过椭圆Γ的左焦点和上顶点时,求直线l的方程(2)点)2,1C在Γ上,若0m=,求ABC面积的最大值:(3)如果原点O到直线l的距离是33,证明:AOB为直角三角形.【参考答案】(1) 2y x=+ (2)22证明见解析【试题解析】(1)由椭圆方程得左焦点和上顶点坐标,代入直线方程可得结果；(2)联立直线与椭圆方程可得,A B的坐标,可得弦长||AB,求出点C到直线AB的距离。
上海市2020届高三模拟考试2数学试题 Word版含解析
2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|1,A x y x x R ==-∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可． 【详解】解：由A 中1y x =-10x -，解得：1x ，即{|1}Ax x ，由B 中不等式变形得：11x -，即{|11}B x x =-， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2.若函数()1f x x =，()1g x x x -，则()()f x g x +=__________． 【答案】11x +-(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果. 【详解】()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan 2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：α是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴==-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=， 解得：1tan23α=-或tan 32α=， 因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题． 4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】 由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >,∴9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==， 所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤； 综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型.6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线2sec (2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有sec 2tan xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1， 设P （x 0，y 0），M （x ，y ），可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1， 即为8x 2﹣4y 2＝1． 故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______. 【答案】34【解析】 【分析】 化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t . 【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++,∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+,∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P ，记2i iM AB AP =⋅（1,2,,10i =），则1210M M M +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系， 可得23)B ，33)B ，3(6,0)C ， 直线33B C 的方程为3(6)y x =--， 可设(i i P x ，)i y 363i i x y +=， 即有233i i i i M AB AP x =⋅=+ 3(3)18i i x y =+=，则12101810180M M M++⋯+=⨯=．故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa xf x a ax x x⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x≤的解集为(],3,-∞则实数a的取值范围为___________.【答案】(]1,3【解析】【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a>，且1a≠，设函数21()21xa xf xx x x⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x的解集是(-∞，3]，当1x时，2|2|3x x-，可得2323x x--，解得13x ；当1x<，即(,1)x∈-∞时，3xa，不等式恒成立可得13a<．综上可得13a<．∴实数a的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.已知*n N∈，从集合{}1,2,3,,n中选出k（k∈N,2k≥）个数12,,,kj j j，使之同时满足下面两个条件：①121kj j j n≤<<≤；②1i ij j m+-≥（1,2,,1i k=-），则称数组()12,,k j j j 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m的组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=，故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题． 二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =．故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题． 15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由||1x ，||1y ，可得||2z ，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x ，||1y ，则||2z ，故充分性不成立；由||1z ，则221x y+，所以||1x ，||1y ，即必要性成立．所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( )A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-,即有()()()2121f x f x x x αα--<<-, 令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+,则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos126AB AC AB AC π⋅==，可得83AB AC =ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin )B B B B B =+ 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12= 又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==，∴83AB AC =∴111sin 2622ABC S AB AC π∆==⨯=考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】 【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出； （2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价． 【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ， 根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，221201216h =-=cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2， 故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元． 答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可； （2）求出x 的范围，得出不等式310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值．【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤，所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线30x y -+=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由. 【答案】（1）2a =22（3）见解析 【解析】 【分析】（1）将直线y ＝x 3得到x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-，于是C D 0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=>⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y（2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB 121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =- 于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++.【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】 【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列； （2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； （3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论． 【详解】（1）证明：112n n n S a a +=，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=， 又11a =，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n nb b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k nb b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-， 又11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=， 解得：2k =； （3）解：11c =，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>， 2211(1)2c m c c -∴==-，232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯，3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m ---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅， 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅ 1(11)11m m --=⋅- 1m=． 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2020年上海市高三数学二模分类汇编：解析几何(16区全)
3（2020闵行二模）. 若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 3（2020松江二模）. 已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为4（2020黄浦二模）. 若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为4（2020宝山二模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的实轴与虚轴长度相等，则C的渐近线方程是4（2020奉贤二模）. 已知P 为双曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为5（2020闵行二模）. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为5（2020青浦二模）. 双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是6（2020金山二模）. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =7（2020黄浦二模）. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为8（2020徐汇二模）. 已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++=的法向量，则实数a 的值为8（2020浦东二模）. 已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是9（2020闵行二模）. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ， 再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，⋅⋅⋅，这样依次得线 段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、⋅⋅⋅、1n n B A -、n n A B ， 记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞=9. 一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当 前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度30AB =米，则 当水面升高1米后，水面宽度为 米（精确到0.1米）10（2020虹口二模）. 已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（3a >点O 且倾斜角为60°的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u r ，则椭圆C 的长轴长为10（2020金山二模）. 若点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|22,11}B x y x y =-≤≤-≤≤，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积是 11（2020青浦二模）. 已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所2ABC 的三个顶点的横坐标之和为12（2020奉贤二模）. 在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =12（2020普陀二模）. 设双曲线222:1x y aΓ-=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在Γ的右支上，向量是(1,)d a =u r 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则Γ的焦距为12（2020金山二模）. 设n ∈*N ，n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，t ∈R ，1222[][][]333n n n na a a b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m -+-的最小值为12（2020杨浦二模）. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为12（2020黄浦二模）. 点A 是曲线22y x =+（2y ≤）上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ，则下列结论： （1）||||AP AQ -为定值2 （2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52； 其中正确结论的序号是13（2020静安二模）. 方程222980x xy y -+=的曲线C 所满足的性质为（ ） ① 不经过第二、四象限；② 关于x 轴对称；③ 关于原点对称；④ 关于直线y x =对称； A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①②13（2020普陀二模）. 对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件13（2020虹口二模）. 已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 613（2020松江二模）. 若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为（ ）A.B. C. D. 213（2020宝山二模）. 抛物线24y x =的准线方程是（ ）A. 2x =-B. 1x =-C. 18y =- D. 116y =-13（2020金山二模）. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:l a x b y c ++0=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14（2020崇明二模）. 若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 1315（2020闵行二模）. 已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=uuu r uuu r ，2EN NF λ=uuu r uuu r，则12λλ+=（ ） A. 2- B. 12-C. 1D. 1- 15（2020杨浦二模）. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ）A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大15（2020青浦二模）. 记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（1,2,n =⋅⋅⋅），当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，⋅⋅⋅上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，⋅⋅⋅，则lim n n M →∞=（ ）A. 2B. 4C. 3D. 16（2020闵行二模）. 关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ）A. {5}B. {1}-C. (0,1)D. (0,1){1}-U17（2020静安二模）. 已知抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=uu r uu r uu u r r，则称该三角形为“核心三角形”.（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知△ABC 是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2.20（2020闵行二模）. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点(0,)P b （1b >），且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q . （1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值；（2）若3b =，且32PD PC =uu u r uu u r，求点Q 的横坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？ 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.20. 已知直线:l y kx m =+和椭圆22:142x y Γ+=相交于点),(11y x A ，),(22y x B .（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程； （2）点(2,1)C 在Γ上，若0m =，求△ABC 面积的最大值； （3）如果原点O 到直线l 的距离是233，证明：△AOB 为直角三角形.20（2020松江二模）. 如图，已知椭圆2222:1x y M a b+=（0a b >>）经过圆22:(1)4N x y ++=与轴的两个交点和与y 轴正半轴的交点.（1）求椭圆M 的方程；（2）若点P 为椭圆M 上的动点，点Q 为圆N 上的动点，求线段PQ 长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线l 交椭圆M 于A 、B 两点，交圆N 于C 、D 两点，且满足AC DB =uuu r uu u r，求证：线段AB 的中点E 在定直线上.20（2020青浦二模）. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，其长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，若0k ≠，证明：1211kk kk + 为定值，并求出这个定值；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围.20（2020普陀二模）. 已知椭圆22:194x y Γ+=的左、右焦点分别1F 、2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与Γ交于另一点N ，过原点的直线l 与Γ交于P 、Q 两点.（1）求△2PQF 周长的最小值；（2）是否存在这样的直线l ，使得与直线MN 平行的弦的中点都在l 上？若存在，求出直 线l 的方程，若不存在，请说明理由；（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积1083613[,]13S ∈，求直线l 的斜率k的取值范围.20（2020嘉定二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于A 、B 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =u r，求△OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅uuu r uuu r为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值，若不存在，请说明理由.20（2020黄浦二模）. 已知点A 、B 分别是椭圆2222 :1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为6，且点A 是圆222:(2)x y r Γ-+=（0r >）的圆心，动直线:l y kx =与椭圆交于P 、Q 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，OS OP λ=uu r uu u r（λ+∈R ），且当λ取最小值时直线l 与圆Γ相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆Γ分别交于G 、H 两点，点G 在线段PQ 上，且||||QG PH =， 求r 的取值范围.20（2020杨浦二模）. 已知双曲线222:1y H x b-=（0b >），经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M 、N 两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值；（2）若2b =，且M 、N 的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒；（3）设直线l 与y 轴交于点E ，EM MD λ=⋅uuu r uuu r ，EN ND μ=⋅uuu r uuu r，求证：λμ+为定值.20（2020徐汇二模）. 已知椭圆2222:1(0) x ya babΓ+=>>的长轴长为22，右顶点到左焦点的距离为21+，1F、2F分别为椭圆Γ的左、右两个焦点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知椭圆Γ的切线l（与椭圆Γ有唯一交点）的方程为y kx m=+，切线l与直线1x=和直线2x=分别交于点M、N，求证：22||||MFNF为定值，并求此定值；（3）设矩形ABCD的四条边所在直线都和椭圆Γ相切（即每条边所在直线与椭圆Γ有唯一交点），求矩形ABCD的面积S的取值范围.20（2020虹口二模）. 设双曲线2222:1x yCa b+=的左顶点为D，且以点D为圆心的圆222:(2)D x y r++=（0r>）与双曲线C分别相交于点A、B，如图所示.（1）求双曲线C的方程；（2）求DA DB⋅uu u r uu u r的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A、B的任意一点，且直线PA、PB分别与x轴相交于点M、N，求证：||||OM ON⋅为定值（其中O为坐标原点）.20（2020金山二模）. 已知动直线l与椭圆22:12yC x+=交于11(,)P x y、22(,)Q x y两不同点，且△OPQ的面积22OPQS=V，其中O为坐标原点.（1）若动直线l 垂直于x 轴，求直线l 的方程；（2）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（3）椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ，使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ===V V V ？ 若存在，判断△DEG 的形状，若不存在，请说明理由.20（2020奉贤二模）. 直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=uu u r uur ，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.20（2020崇明二模）. 已知椭圆22:12x y Γ+=的右焦点为F ，直线x t =（(t ∈）与该椭圆交于点A 、B （点A 位于x 轴上方），x 轴上一点(2,0)C ，直线AF 与直线BC 交于点P .（1）当1t =-时，求线段AF 的长； （2）求证：点P 在椭圆Γ上；（3）求证：PAC S ≤V .20（2020浦东二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，1F 、2F 分别是椭圆222:1x y aΓ+=（0a >）的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12||||AF AF +=. （1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，P 、Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF 、l 、2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.。
2020上海高三数学二模分类汇总-立体几何(含答案)
2020届二模分类汇总-立体几何一、点线面关系1、【2020年闵行区二模第13题】在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案： B 】二、棱锥、棱柱2、【2020年长宁区二模第7题】 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为2，底面边长为1，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为 【答案：4π】3、【2020年奉贤区二模第9题】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是【答案：2π】 4、【2020年浦东新区二模第14题】如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E F 、分别为棱1AA BC 、上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）.A 有一条 .B 有两条 .C 有无数条 .D 不存在【答案：C 】5、【2020年嘉定区二模第15题】如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆 【答案：C 】6、【2020年松江区二模第15题】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 两点分别从点B 和点1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点1D ，在运动过程中，直线PQ 与平面ABCD 所成角θ的变化范围为（ ）A. [,]43ππB. 2[arctan,arctan 2]2 C. [,arctan 2]4πD. 2[arctan,]2π 【答案：C解析：如图，作QE ⊥AD 交AD 于点E ，联结PE ， ∴∠QPE 即θ，设AE BP x ==，∴222(1)PE x x =+-，由2222[(1)](1)[(1)]2x x x x x x +-≤+-≤+-，∴2112PE ≤≤，2[,1]2PE ∈，1tan [1,2]QE PE PE θ==∈，即θ∈[,arctan 2]4π。
2020年上海市高三数学二模分类汇编：三角(16区全)
2020年上海市高三数学二模分类汇编：三角(16区全)1.函数f(x)=3cos2x+1的最小值为1.2.若sinx=1/2，则cos(π/2-x)=cos(π/2-sin⁻¹(1/2))=cos(π/3)=1/2，因此cosx=cos(π/2-π/3)=sin(π/3)=√3/2.3.函数y=arcsin(x+1)的定义域是[-1,√2]。
4.函数y=2cos2x+2的最小正周期为π/2.5.函数y=3cos2x+1的最小正周期为π。
6.函数f(x)=cos(πx/3)的最小正周期为6.7.根据三角形余弦定理，sin²A≤sin²B+sin²C-sinBsinC，代入A=π/2-B-C得到cosBcosC≤1/4，因此B+C≥π/3.又因为B+C≤π-A=2π/3，所以A∈[π/3,2π/3]。
8.根据三角函数的基本关系sin(π/2+α)=cosα，代入sin(π/2+α)=1得到cosα=0，因此α=π/2.再根据三角函数的基本关系cos2α=2cos²α-1得到cos2α=-1.9.根据正弦定理，sinC=c/√(a²+b²-2abcosC)，代入a=23，b=√(23²-8²)=21，C=150°得到sinC=8/21.10.根据函数图像的平移公式，将f(x)=sinx向右平移Δ个单位得到g(x)=sin(x-Δ)，其中Δ>0.对于满足|f(x₁)-g(x₂)|=2的任意x₁、x₂，有|sin(x₁)-sin(x₂-Δ)|=2，即|sin(x₁)-cosΔsin(x₂)-sinΔcos(x₂)|=2.根据三角函数的基本关系sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny，可得到|sin(x₁-x₂)cosΔ-s inΔcos(x₂-x₁)|=2.因为|sinθ|≤1和|cosθ|≤1，所以有|sin(x₁-x₂)|≤2，即|x₁-x₂|≤2.因此Δ的最小值为2.11.根据向量的数量积公式AB·AC=|AB||AC|cosA，代入AB=(3cosx,cosx)，AC=(cosx,sinx)，得到cosA=1/2，因此A=π/3.根据正弦公式，△ABC的面积为S=1/2ab·sinC=3/2sinx·cosx。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二次高考模拟考试试卷高三数学理科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二次高考模拟考试试卷高三数学理科一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分，将答案填在答题上） 1.若集合{}{}22,30M xx N x x x ==-=≤，则M N =∩．2.若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值等于．3.2246......2lim (1)n nn →∞++++=+． 4.函数y5.在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于．6.设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是．7.在ABC ∆中，已知8BC =,5AC =，三角形面积为12，则cos2C =． 8.在极坐标系中，点A 的极坐标为(2,0)，直线l 的极坐标方程为(cos sin )20ρθθ++=，则点A 到直线l 的距离等于．9.如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则含31x 项的系数等于．（用数字作答）10.9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，则ξ的数学期望值等于．11.已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M到x 轴的距离等于．12.已知点(1,22)A ,(0,0)B ,(1,0)C ，设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，如果BC CE λ=，那么λ等于．13.已知函数[]11,2,0()2(2),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若方程()f x x a -=在区间[]2,4-内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是．14.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ．已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，111101n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<⎪⎩≤有以下结论：①若45m =，则53a =；②若32a =，则m 可以取3个不同的值；③若2m =，则{}n a 是周期为3的数列；④存在m Q ∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列．其中正确结论的序号是（写出所有正确命题的序号）．二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.15.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是………………………………（ ）A ．3,y x x R =-∈ B. sin ,y x x R =∈C ．,y x x R =∈ D. 1,2x y x R ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭16.设nS 是等差数列{}n a 的前n项和，若3613S S =，则612S S =………………………………（ ）A ．310B ．13C ．18D ．1917.如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点， 点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为4π，则此圆锥的全面积与体积分别为………………………………………（ ） A ．100051006,ππB ．10005100(16),ππ+ C ．100031003,ππD ．10003100(13),ππ+18.设函数()f x 的图像关于点(1,2)对称，且存在反函数1()f x -,若(4)0f =，则1(4)f -=（ ）A ．0B ．4C ．2-D ．2三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分12分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分． 已知函数2()3sin(2)2sin ()()612f x x x x R ππ-+-∈．（1）化简并求函数()f x 的最小正周期； （2）求使函数()f x 取得最大值的x 集合．分8分．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动． （1）证明：11D E A D ⊥；（2）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π． 21.（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()35k C x x =+(010)x ≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．22.（本题满分16分）本题共有3小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满 分6分．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．D 1C 1A 1A EDB 1BC O xy z分6分，第(3)小题满 分8分．已知无穷等比数列{}n a 公比为(01)q q <<，各项的和等于9，数列{}2n a 各项的和为815．对给定的(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）求数列(3)T 的前10项之和； （3）设i b 为数列()i T 的第i 项，12n n S b b b =+++，求正整数(1)m m >，使得limn mn S n →∞存在且不等于零．创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校。
2020上海高三数学二模分类汇总-数列（含答案）
2020上海高三数学二模分类汇总-数列（含答案）2020届二模分类汇总-数列一、等差等比数列的性质与判定1、【2020年闵行区二模第4题】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a = 【答案：6】2、【2020年松江区二模第4题】等差数列的前项和为，若，则= ．【答案：28 】3、【2020年长宁区二模第8题】记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若31a =，714S =，则5a =__________．【答案：3】4、【2020年奉贤区二模第8题】已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是【答案： 5 】5、【2020年嘉定区二模第7题】设各项均为正数的等比数列{}na 的前n 项和为n S ，11a =，236a a +=，则6S = 【答案： 63 】6、【2020年崇明区二模第15题】设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a +的矩形的周长（1,2,i =），则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（） A. {}n a 是等差数列B. 1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等差数列C. 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 都是等差数列D. 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 都是等差数列，且公差相同【答案： D 】{}n a n n S 15374,12a a a a +=+=7S7、【2020年嘉定区二模第16题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n N ∈，都有1 3[n nS s S -∈，]t ，则t s -的最小值为( ) A ．23 B ．94 C ．12 D ．16【答案： B解析：由题意，64n n a S +=，∴1164n n a S --+=，作差11143n n n n n a a a a a ---=?=-，为等比数列，由111642a S a +=?=，1(1)31[1()]123n n n a q S q -==---，111()[,]339n -∈-，∴4[,2]3n S ∈，∴113113[,]42n n S S -∈，∴min 1113()24t s -=-=94。
2020年上海市高三数学二模分类汇编：集合与命题(16区全)
1（2020松江二模）. 若集合{2,4,6,8}A =，2{|40}B x x x =-≤，则A B =I 1（2020杨浦二模）. 设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,3,5,7}B =，则A B =I 1（2020嘉定二模）. 已知集合{2,4,6,8}A =，{1,2,3}B =，则A B =I 1（2020青浦二模）. 已知全集U =R ，集合(,2)A =-∞，则集合U A =ð1（2020黄浦二模）. 若集合{1,2,3,4,5}A =，2{|60}B x x x =--<，则A B =I 1（2020徐汇二模）. 已知{1,2,3,4,5}U =，{1,3,5}A =，则U A =ð1（2020长宁二模）. 已知集合(2,1]A =-，(0,)B =+∞，则A B =I1（2020闵行二模）. 设集合{1,3,5,7}A =，{|47}B x x =≤≤，则A B =I 1（2020金山二模）. 集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =I 1（2020浦东二模）. 设全集{0,1,2}U =，集合{0,1}A =，则U A =ð2（2020崇明二模）. 设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，则A B =I 3（2020虹口二模）. 设全集R U =，若{||2|3}A x x =-≥，则U A =ð10（2020奉贤二模）. 集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是12（2020静安二模）. 设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14（2020普陀二模）. 已知集合{3}M =，{2,4}N =，{1,2,5}Q =，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系O xyz -中向量a r 的坐标，则可确定不同向量a r 的个数为（ ）A. 33B. 34C. 35D. 3616（2020浦东二模）. 设集合{1,2,3,,2020}S =⋅⋅⋅，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径，那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ）A. 711949⋅B. 7021949⋅C. 702371949⋅⋅D. 702721949⋅⋅。
2017上海市宝山区高三二模数学试题及答案
（3）设 a 、 b 、 c 均为正数，将 a b2 、 b c2 、 c a2 中的最小数记为 d ,是否存在正数
0,1 ,使得 为有界集合 C {y | y d , a 、 b 、 c 均为正数｝的上界，若存在，试求
a2 b2 c2
的最小值;若不存在，请说明理由.
参考答案
1. (0,1) 2.1 3。 4.3
，使得
an
1 2
n
∴此时
1 4
a1
a2
... an
1 ，若 2
an
M0,
n
N*
，则
M
0
可取
1 2
,满足题意。
综上所述
1,
0
,
m
1 2
,
1 2
（3）不失一般性，不妨假设 c b a
Байду номын сангаас
（i）若 b
a
2
c
。设
d
a
2
c
2
,
此时
a2
b2
c2
a2
c2
a
2
c
2
a
c2
a
c 2
2
3ac
c2
0,
1 5
猜测
y
1 5
,即 min
1 5
(ii）若 a b b c ，即 a 2b c 0 时， d b c2
5d
3ac ，
∴
d
1 1 3ac 1 1
3ac
1 1 12ac
a2 b2 c2 5 5 a2 b2 c2 5 5 a2 a c2 c2 5 5 5a2 2ac 5c2
4
5a2
2020上海高三数学二模分类汇总-数列(含答案)
2020届二模分类汇总-数列一、等差等比数列的性质与判定1、【2020年闵行区二模第4题】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a = 【答案：6】2、【2020年松江区二模第4题】等差数列的前项和为，若，则= ． 【答案：28 】3、【2020年长宁区二模第8题】记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若31a =，714S =，则5a =__________．【答案：3】4、【2020年奉贤区二模第8题】已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是 【答案： 5 】5、【2020年嘉定区二模第7题】设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，236a a +=，则6S = 【答案： 63 】6、【2020年崇明区二模第15题】设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a +的矩形的周长（1,2,i =⋅⋅⋅），则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（ ） A. {}n a 是等差数列B. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅或242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是等差数列C. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列D. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列，且公差相同 【答案： D 】{}n a n n S 15374,12a a a a +=+=7S7、【2020年嘉定区二模第16题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n N ∈，都有13[n nS s S -∈，]t ，则t s -的最小值为( ) A ．23 B ．94 C ．12 D ．16【答案： B解析：由题意，64n n a S +=，∴1164n n a S --+=，作差11143n n n n n a a a a a ---=⇒=-， 为等比数列，由111642a S a +=⇒=，1(1)31[1()]123n n n a q S q -==---，111()[,]339n -∈-， ∴4[,2]3n S ∈，∴113113[,]42n n S S -∈，∴min 1113()24t s -=-=94。
2020年上海市高三数学二模分类汇编：向量与复数(16区全)
复数：1（2020宝山二模）. 已知复数z 满足2020(1i )24i z +=-（其中，i 为虚数单位），则=z 2（2020青浦二模）. 已知i 为虚数单位，复数2i z =+的共轭复数z = 2（2020闵行二模）. 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则Im z = 2（2020松江二模）. 已知复数12i z a =+，223i z =+（i 是虚数单位），若12z z ⋅是纯虚数，则实数a =3（2020普陀二模）. 已知i 为虚数单位，若复数z 满足1(5)i z z a +=+-，则实数a 的值为3（2020金山二模）. i 是虚数单位，则i||1i-的值为 3（2020奉贤二模）. 设2021i z b =+（i 为虚数单位），若22029z z ⋅=，则实数b =3（2020崇明二模）. 已知复数z i =，i 为虚数单位，则z = 4（2020杨浦二模）. 设i 是虚数单位，复数z 满足(12i)43i z +=+，则z = 4（2020徐汇二模）. 若1i +（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=的根，则pq =4（2020长宁二模）. 若复数z 满足23z =-，则||z =4（2020浦东二模）. 若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,R p q ∈），则p q +=6（2020虹口二模）. 设复数cos isin iz αα=（i 为虚数单位），若||z =，则tan2α=9（2020嘉定二模）. 设z ∈C ，290z +=，则|4|z -=10（2020宝山二模）. 已知方程210x tx ++=()t ∈R 的两个根是21,x x ，若22x x -=则=t14（2020黄浦二模）. 设1z 、2z 是复数, 则下列命题中的假命题是（ ）A. 若12||0z z -=，则12z z =B. 若12z z =，则12z z =u rC. 若12||||z z =，则2112··z z z z =D. 若12||||z z =，则2212z z =14（2020杨浦二模）. 设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件向量：6（2020静安二模）. 在平面直角坐标系xOy 上，由不等式组0222x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩所确定的区域为D ，若(,)M x y 为区域D 上的动点，点(2,1)A ，则z OM OA =⋅uuu r uu r的最大值为8（2020青浦二模）. 已知平面向量a r 、b r 满足(1,1)a =-r ，||1b =r ，|2|2a b +=r ra r 与b r的夹角为9（2020虹口二模）. 已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅uu r uu u r的最大值为9（2020松江二模）. 已知等边△ABC 的边长为23P 是其外接圆上的一个动点，则PA PB ⋅uu r uu r的取值范围是10（2020徐汇二模）. 在△ABC 中，若||||AB AC AB AC +=-uu u r uuu r uu u r uuu r，2AB =，1AC =，E 、F 为BC 边的三等分点，则AE AF ⋅=uu u r11（2020普陀二模）. 在平面四边形ABCD 中，0AB BC AD DC ⋅=⋅=uu u r uu u r uuu r uuu r ，||||1AB AD ==uu u r uuu r，12AB AD ⋅=-uu u r uuu r ，若点M 是边BC 上的任一动点，则AM DM ⋅uuu r uuu u r 的最小值为11（2020闵行二模）. 已知A 、B 、C 是边长为1的正方形边上的任意三点，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围为11（2020嘉定二模）. 设P 是双曲线2218y x -=上的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）与圆22(3)x y -+1=相交于A 、B 两点，则PA PB ⋅uu r uu r的最小值是11（2020宝山二模）. 已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点),(y x M 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是11（2020杨浦二模）. 设a r 、b r 、c r是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=r r r r r r，则a b ⋅r r 的值为11（2020浦东二模）.如图，在△ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB的中点，P 为CD 上一点，且满足AP t AC =uu u r uuu r 13AB +uu u r，若△ABC的面积为332，则||AP uu u r 的最小值为11（2020长宁二模）. 已知M 、N 在以AB 为直径的圆上，若5AB =，3AM =，2BN =，则AB MN ⋅=uu u r uuu r12（2020宝山二模）. 已知平面向量a r 、b r ，e r 满足||1e =r ，1a e ⋅=r r ，1b e ⋅=-r r ，||4a b -=r r，则a b ⋅r r的最小值是13（2020长宁二模）. 已知向量(1,,1)a x =-r ，(,1,1)b x =r，R x ∈，则“1x =-”是“a r ∥b r ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件15（2020闵行二模）. 已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=uuu r uuu r ，2EN NF λ=uuu r uuu r，则12λλ+=（ ）A. 2-B. 12- C. 1 D. 1- 15（2020黄浦二模）. 已知e r 、f u r 是互相垂直的单位向量，向量n a u u r 满足：n e a n ⋅=r u u r，21n f a n ⋅=+u r u u r ，n b 是向量f u r 与n a u u r夹角的正切值，则数列{}n b 是（ ）A. 单调递增数列且1lim 2n n b →∞=B. 单调递减数列且1lim 2n n b →∞=C. 单调递增数列且lim 2n n b →∞= D. 单调递减数列且lim 2n n b →∞=。
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19（2019松江二模）. 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入m 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（*x ∈N 且[45,60]x ∈），调整后研发人员的年人均投入增加2x %，技术人员的年人均投入调整为3()50x m a -万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同， 求调整后的技术人员的人数；（2）是否存在这样的实数a ，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研 发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a 的范围，若不存在，说 明理由.19（2019静安二模）.某文化创意公司开发出一种玩具（单位：套）进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x 套玩具的成本p 由两部分费用（单位：元）构成：a.固定成本（与生产玩具套数x 无关），总计一百万元；b. 生产所需的直接总成本50x +1100x 2．（1）问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？（2）假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x 的增大而适当增加.设每套玩具的售价为q 元，q =a +x b (a,b ∈R ).若当产量为15000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a 、b 的值．（利润=销售收入-成本费用）19（2020普陀二模）. 某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面ABCD 是矩形，10AB =米，50AD =米，屋脊EF 到底面ABCD 的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直且与底面的交线为GH ，5AG =米，FO 为立柱且O 是GH 的中点.（1）求斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求此楔体ABCDEF 的体积.19（2020闵行二模）. 如图，A 、B 两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A 、B 之间选址P 点建造储备仓库，共享民生物资，当点P 在线段AB 的中点C 时，建造费用为2000万元，若点P 在线段AC 上（不含点A ），则建造费用与P 、A 之间的距离成反比，若点P 在线段CB 上（不含点B ），则建造费用与P 、B 之间的距离成反比，现假设P 、A 之间的距离为x 千米（0100x <<），A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为0.5(100)x -万元，()f x 表示建造仓库费用，()g x 表示两地物资每年的运输总费用（单位：万元）.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若规划仓库使用的年限为n （*N n ∈），()()()H x f x ng x =+，求()H x 的最小值，并解释其实际意义.19（2020宝山二模）. 据相关数据统计，2019年底全国已开通5G 基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G 通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有 基站多少万个. （精确到0.1万个）（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后 新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成 计划？（精确到1万个）19（2020金山二模）. 随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放，据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型（*N n ∈）：以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n -+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数，以0115()4005000162882002936n g n n n n ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数.设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即1n =，8点30分作为第2个计算单位，即2n =，依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）.（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的游客人数(19)(20)f f + (21)(22)f f ++和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g +++；（2）请问，从12点（即16n =）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由.19（2020奉贤二模）. 甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b （0b >），固定部分为1000元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，丙指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？19（2020松江二模）. 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[0,10]x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到12(6)4t k x =⋅-+（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20850)x t ++（万元）.（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数；（2）对任意的[0,10]x ∈（万元），当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？ （精确到0.01）19（2020崇明二模）. 某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB 与AD 的长都是2千米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒.（1）如果105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）19（2020浦东二模）. 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%，经测算政府决定采用函数模型()44x b fx x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案. （1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围.19（2020长宁二模）. 培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加/ymol L ，y 与x 的函数关系可近似地表示为16806212612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，根据经验，当水中含有物质的量N 不低于4/mol L 时，物质N 才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？（2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6/mol L ，并说明理由.19（2020虹口二模）. 某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的“H 型”图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍，设O 为圆心，2AOB α∠=，记“H ”型图形的面积为S .（1）将AB 、AD 用R 、α表示，并将S 表示成α的函数；（2）为了突出“H ”型图形，设计时应使S 尽可能大，则当α为何值时，S 最大？并求出S 的最大值.19（2020徐汇二模）. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为503米、圆心角为60°的扇形OAB 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点M 、N 在线段OB 上，另两个顶点P 、Q 分别在弧AB 、线段OA 上.（1）若45PON ∠=︒，求此红旗图案的面积S ；（2）求组成的红旗图案的最大面积.19（2020杨浦二模）. 某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：1 1.020.20n n I I +=-；策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：1 1.080.46n n I I +=-；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？19（2020嘉定二模）. 某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元，为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工，据估计，若能动员x （*x ∈N ）户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为92()50a x -（0a >）万元. （1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值.19（2020青浦二模）. 上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利. 已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，*t ∈N ，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当210t ≤≤时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为()p t .（1）求()p t 的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间 间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？19（2020黄浦二模）. 某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园，如图1所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点E 、F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上.（1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域1111A B C D 为花卉展览区，如图2所示，矩形1111A B C D 的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点1A 、1B 分别在OE 、OF 上，点1C 、1D 在扇形的弧上，某同学猜想：当矩形1111A B C D 面积最大时，两矩形1111A B C D 与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展览区1111A B C D 面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）.。