电动力学11级复习题

《电动力学》复习题
一、 简答题
1． 分别写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式，并简单说明它的 物理意义。 2． 写出麦克斯韦方程组，并对每一个方程用一句话概括其物理意义。 3． 麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称？为什么？ 4． 一个空间矢量场 A ，给出哪些条件能把它唯一确定？ 5． 写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度之间的关系式。 6． 简述公式 −
3． 证明自由空间中，介质内的电场 E 与磁场 B 所满足的方程为亥姆霍兹
方程。 （第 4 章，课堂证明）
4． 由平面电磁波的电场表达式 E ( x ) = E0eik ⋅x ， 证明平面电磁波为横波。 （第
4 章，课堂证明） 5． 利用电磁场的边值条件，证明平面电磁波在两绝缘介质分界面上的反
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由电流 J f ，导体的磁导率为 µ ，求磁感应强度和磁化电流。 （习题 1－8）
3． 求带电量为 Q ，半径为 a 的导体球的静电场总能量。 （课堂例题 2－1） 4． 如图所示，两同心球壳之间充以两种介 质，左半部分介质电容率为 ε1 ，右半部分介 质电容率为 ε 2 。设内球壳总带电量为 Q ，半 径为 a ，外球壳接地，半径为 b ，求介质中的 电势和内球壳上的电荷分布。 （课堂例题 2－ 2）
d w dV = dt ∫V
∫
V
f ⋅ vdV + S ∫ ⋅ dσ 的物理意义。
7． 简述介质中静电场的唯一性定理。 8． 写出无界空间、上半空间以及球外空间在第一类边值条件下的格林函 数。 9． 写出电偶极矩和电四极矩的定义式。
10． 设体系的电荷密度分布为 ρ ( x ) ，则该体系在外场 ϕe 中的能量是多
21． 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿 z 轴传播， 一个波沿 x 方向 偏振， 另一个沿 y 方向偏振， 但相位比前者超前 π / 2 ， 求合成波的偏振。 （习 题 4－5） 22． 已知海水的 µr = 1， 计算频率ν 为 50Hz ， σ = 1S ⋅ m −1 ， 106 Hz 和109 Hz 的三种电磁波在海水中的透入深度。 （习题 4－7） 23． 求三条边长分别为 L1 、L2 、L3 的矩形谐振腔内的电磁波的本征振荡。 已知谐振腔中电场满足 Helmholtz 方程 ∇ 2 E ( x, y, z ) + k 2 E ( x, y, z ) = 且在谐 0， 振腔内 ∇ ⋅ E = 0 ，在谐振腔表面上电场强度和导体表面垂直。 （第 4 章，课 堂讲解，即书本第四章第 4 节的内容） 24． 在截面为矩形，矩形两边长分别为 L1 、 L2 的波导中传输的电磁波， 设传播方向为 z 轴正向，电场 E 的形式为 E ( x, y, z ) = E ( x, y )eikz z −iωt ，求电磁 波的电场谐振波模。 （第 4 章，课堂讲解，即书本第四章第 5 节的内容） 25． 一对无限大的平行理想导体板，相距为 b ，电磁波沿平行于板面的 z 方向传播，取平行于板面且与 z 轴垂直的方向为 x 方向，设波在 x 方向是均 匀的，求可能传播的波模和每种波模的截止频率。 （习题 4－14）
Σ′ 坐标系以速度 v 相对 Σ 坐标系沿 x 轴正向运动，写出从 Σ 系到 Σ′ 系
的洛仑兹变换公式。 28．
Σ′ 坐标系以速度 v 相对 Σ 坐标系沿 x 轴正向运动，在 Σ 系中两事件的
时间与空间间隔分别为 ∆t 和 ∆x ， 在 Σ′ 系中两事件的时间与空间间隔分别是 多少？ 29． 简述相对论的时间延缓效应和长度收缩效应。
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30．
写出相对论速度变 Σ′ 坐标系以速度 v 相对 Σ 坐标系沿 x 轴正向运动，
换公式。
二、 证明题
1． 利用公式
d E ⋅ d l = − B ⋅ dS ∫L dt ∫S
证明两介质的分界面上的电场强度跃变关系式 en × ( E2 − E1 ) = 0 （第 1 章，课堂证明） 2． 证明： （1）当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足
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Q b a
（课堂例题 2－9） Q ，求电四极矩。
19． 有一块磁矩为 m 的小永磁体，位于一块磁导率非常大在实物的平坦 界面附近的真空中，求作用在小永磁体上的力 F 。 （习题 3－15）
20． 一列平面电磁波以 θ = 45o 从真空入射到 ε r = 2 的介质， 电场强度垂直
′ = − 于入射面。求反射系数与透射系数。已知菲涅尔公式 E⊥ ′′ = E⊥ 2cosθ sin θ ′′ （习题 4－2） E⊥ 。 sin(θ + θ ′′) sin(θ − θ ′′) E⊥ ， sin(θ + θ ′′)
2
2
2
求波导中 TE11 波的相速度与群速度，并说明如果波导中为真空，则相速度 超过真空中的光速。 （第 4 章，课堂讲解，取 m= n= 1 ，µ = µ0 ，ε = ε 0 即可） 28． 从麦克斯韦方程组出发，推导矢势与标势所满足的方程，并在洛仑 兹规范下，求达朗贝尔方程的形式。 （第 5 章，课堂讲解） 29． 设有两根相互平行的尺子，在各自静止的参考系中的长度均为 l0 ， 它们以相同的速率 v 相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于 尺子。求站在一根尺子上测量另外一根尺子的长度。 （习题 6－2） 30． 静止长度为 l0 的车厢，以速度 v 相对于地面运行，在车厢的后壁以速 度 u0 向前推出一个小球。 求地面观测者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 （习题 6－3） 31． 在参考系 Σ 中，有两个物体都以速度 u 沿 x 轴运动，在 Σ 系看来，它 们一直保持距离 l 不变。今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动，他看到这两个 物体的距离是多少？（习题 6－6） 32． 一把直尺相对于 Σ 静止， 直尺与 x 轴交角 θ 。 今有一观察者以速度 v 沿
ω − ω ′ = 2 ωω ′ sin 2
亦即散射光波长变化量
∆λ = λ −2 θ sin m0c 2
其中 λ =
2π 为散射前光子的波长， m0 为电子的静止质量。 （习题 6－26） k
三、 计算题
1． 有一内外半径分别为 r1 和 r2 的空心介质球，介质的电容率为 ε ，使介质 内均匀带静止自由电荷密度 ρ f ，求 （1）空间各点的电场； （2）极化体电荷和极化面电荷分布。 （习题 1－7） 2． 内外半径分别为 r1 和 r2 的无穷长中空导体圆柱， 沿轴向流有稳恒均匀自
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导体球上的电荷面密度。 （课本第 2 章第 3 节例 3） 11． 有一半径为 a 的均匀各向同性介质球， 相对介电常数为 ε r ， 球外为真 空。在距球心 d (d > a ) 处置一个电量为 q 的点电荷。用分离变量法求空间 电势分布。 （数学物理方法之分离变量法例 6） 12． 接地无限大导体平板附近有一点电荷 Q ，求空间电场分布。 （课堂例 题 2－3） 13． 在无穷大空间中充满介电常数为 ε1 和 ε 2 的两种均匀电介质，其分界 面为平面。设在介质 ε1 中放一点电荷 Q ，其所在位置与分界面的垂直距离 为 a ，求空间电势分布。 （课堂例题 2－4） 14． 真空中有一半径为 R0 的接地导体球， 距球心为 a (a > R0 ) 处有一点电 荷 Q ，求空间的电势分布。 （课堂例题 2－5） 15． 真空中有一半径为 R0 的带电导体球，所带电量为 Q0 ，距球心为 （课 a (a > R0 ) 处有一点电荷 Q 。求球外电势分布及电荷 Q 所受的作用力。 堂例题 2－6） 16． 如图所示，在接地的无限大导体 平面上有一半径为 a 的半球凸起， 半球的 球心在导体平面上，点电荷 Q 位于系统 的对称轴上，并与平面相距 b (b > a ) ， 求空间电势。 （习题 2－11） 17． 有一点电荷位于两个相互垂直的无限大接地导体半平面所围成的直 角空间内，它到两个平面的距离分别为 a 和 b ，求空间电势。 （习题 2－12） 18． 均匀带电的长形旋转椭球体，半长轴为 a ，半短轴为 b ，总带电量为
7． 把一半径为 a 的金属球置于均匀静电场 E0 中，求空间电场强度。 （数学
物理方法之分离变量法例 5） 8． 一个内径和外径分别为 R2 和 R3 的导体球壳，带电荷 Q ，同心地包围着 一个半径为 R1 的导体球（ R1 < R2 ） 。使这个半径为 R1 的导体球接地，求空间 各点的电势和半径为 R1 的导体球上的感应电荷。 （课本第 2 章第 3 节例 1） 9． 半径为 a ，电容率为 ε 的介质球置于均匀外电场 E0 中，球外为真空，用 分离变量法求空间电势分布。 （课本第 2 章第 3 节例 2） 10． 半径为 R0 的接地导体球置于均匀外电场 E0 中，求空间电势分布以及
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射与折射定律。 （第 4 章，课堂证明） 6． 利用电磁场的边值条件，证明平面电磁波在两绝缘介质分界面上反射 与折射时的菲涅耳公式。 （第 4 章，课堂证明） 7． 证明平面电磁波的电场与磁场能量相等，并求平均能流密度矢量的表 达式（用电场的振幅表示） 。 （第 4 章，课堂证明） 8． 设 A 和 ϕ 是满足洛仑兹规范的矢势和标势，引入赫兹矢量函数 Z ( x , t ) ， 1 ∂Z 若令 ϕ = −∇ ⋅ Z ，证明 A = 2 。 （习题 5－5(1)） c ∂t 9． 动量为 k ，能量为 ω 的光子撞在静止的电子上，散射到与入射方向 夹角为 θ 的方向上。证明散射光子的频率变化量为
tan θ 2 ε 2 = tan θ1 ε1
其中 ε1 和 ε 2 分别为两种介质的电容率， θ1 和 θ 2 分别为界面两侧电场线与法 线的夹角。 （2）当两种导电介质内流有稳恒电流时，分界面上电场线曲折满足
tan θ 2 σ 2 = tan θ1 σ 1
其中 σ 1 和 σ 2 分别为两种介质的电导率。 （习题 1－12）