九年级数学二次函数与圆综合复习练习
初三数学 圆与二次函数综合训练题
圆为背景的二次函数综合训练卷1．如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第三问改成，在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的三分之一，求此时点P的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形W的“梦之点”.（1）已知⊙O的半径为1.①在点E（1,1），,M(－2，－2)中，⊙O的“梦之点”为；②若点P位于⊙O内部，且为双曲线（k≠0）的“梦之点”，求k的取值范围.（2）已知点C的坐标为（1，t），⊙C的半径为，若在⊙C上存在“梦之点”P，直接写出t的取值范围.（3）若二次函数的图象上存在两个“梦之点”，求二次函数图象的顶点坐标.3．如图，在平面直角坐标系中，圆D与轴相切于点C(0,4)，与轴相交于A、B两点，且AB=6（1）D点的坐标是，圆的半径为；（2）求经过C、A、B三点的抛物线所对应的函数关系式；（3）设抛物线的顶点为F,试证明直线AF与圆D相切；（4）在轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大，最大面积是多少？并求出点坐标.4．（2018年山东省济宁市中考数学模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y=﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；（4）当E是直线y=﹣x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．5．已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．（1）求点C、D及点M的坐标；（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．7．如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，O是平面直角坐标系的原点．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，1），B（3，1），动点P 从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（2）过P作PD⊥OA于D，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q．①则P点的坐标为_____，Q点的坐标为_____；（用含t的代数式表示）②试求t为何值时，⊙P与四边形OABC的两边同时相切；③设△OPD与四边形OABC重叠的面积为S，请直接写出S与t的函数解析式．9．已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO=，以线段BC为直径作⊙M交直线AB于点D，过点B作直线l∥AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax2+bx+c，直线l与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．（1）求B点坐标；（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果不是，说明理由．（4）是否存在点C（m，0），使得BD=AB？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．10．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．[来源:]11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.直线经过抛物线与坐标轴的两个交点B和C。
人教版九年级数学上册：圆与二次函数综合题 复习
圆与二次函数综合题复习例1：抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为1x =，(3,0)B ，(0,3)C -。
（1）求二次函数2y ax bx c =++的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径。
（1）将(0,3)C -代入c bx ax y ++=2，得 3-=c ．将3-=c ，(3,0)B 代入c bx ax y ++=2，得 039=++c b a ．∵1x =是对称轴，∴12=-a b．将（2）代入（1）得1=a ， 2-=b ．二次函数得解析式是322--=x x y ． （2）AC 与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点．∵C 点的坐标为(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-，∴ 直线AC 的解析式是33--=x y ，又对称轴为1x =，∴ 点P 的坐标(1,6)-．（3）设1(,)M x y 、2(,)N x y ，所求圆的半径为r ，则 r x x 212=-，.(1) ∵ 对称轴为1x =，∴ 212=+x x ． .(2)由（1）、（2）得：12+=r x ．.(3) 将(1,)N r y +代入解析式322--=x x y ，得 3)1(2)1(2-+-+=r r y ，.(4)整理得：42-=r y ．由于 r=±y ，当0>y 时，042=--r r ，解得，21711+=r ， 21712-=r （舍去），当0<y时，042=-+r r ，解得，21711+-=r ， 21712--=r （舍去）．所以圆的半径是2171+或2171+-．例2：如图，在直角坐标系中，⊙C 过原点O ，交x 轴于点A （2，0），交y 轴于点B （0，23）。
二次函数与圆综合训练(含解析)
二次函数与圆综合提高（压轴题）1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE 翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．（1）求△ABC的面积；（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；∴MO=OE，∠MOE=120°，∴∠OME=30°，∴∠DME=90°，∴DE是直径，S⊙O=π×12=π．2、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=﹣1，则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BOD≌△COD，∴∠BOD=∠CDO，∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，②连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，OD=43， ∴点D 的坐标为（0，﹣43）， 直线CD 的解析式为：y=﹣13x ﹣43， 由得：，∴点P 的坐标为（8，﹣4），综上所述，点P 的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．3、抛物线y=x ²-bx-3b+3过A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.解析：（1）把点（b －2，2b 2－5b －1）代入解析式，得2b 2－5b －1=（b －2）2+b （b －2）－3b +3， ……………1′解得b =2.∴抛物线的解析式为y =x 2+2x －3. ……………2′（2）由x 2+2x －3=0，得x =－3或x=1.∴A （－3，0）、B （1，0）、C （0，－3）.抛物线的对称轴是直线x =－1，圆心M 在直线x =－1上. ……………3′∴设M （－1，n ），作MG ⊥x 轴于G ，MH ⊥y 轴于H ，连接MC 、MB .∴MH =1，BG =2. ……………4′∵MB =MC ，∴BG 2+MG 2=MH 2+CH 2，即4+n 2=1+（3+n ）2，解得n=－1，∴点M （－1，－1） ……………5′（3）如图，由M （－1，－1），得MG =MH .∵MA =MD ，∴Rt △AMG ≌RtDMH ，∴∠1=∠2.由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME ≌△DMF .若△DMF 为等腰三角形，则△AME 为等腰三角形. ……………6′设E （x ，0），△AME 为等腰三角形，分三种情况：①AE =AM =5，则x=5－3，∴E （5－3，0）；②∵M 在AB 的垂直平分线上，∴MA =ME =MB ，∴E （1，0） ……………7′③点E 在AM 的垂直平分线上，则AE =ME .AE =x +3，ME 2=MG 2+EG 2=1+（－1－x ）2，∴（x +3）2=1+（－1－x ）2，解得x =47-，∴E （47-，0）. ∴所求点E 的坐标为（5－3，0），（1，0），（47-，0） ……………8′4、（2013•压轴题）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA 面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．：解：（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2．∵tan∠DBA==，∴BE=6，∴OB=BE﹣OE=4，∴B（﹣4，0）．∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）上，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2．（2）抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2，令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2），令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）．设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m．S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC=BF•MF+（MF+OC）•OF+OA•OC=（4+m）×（﹣n）+（﹣n+2）×（﹣m）+×1×2=﹣2n﹣m+1∵点M（m，n）在抛物线y=x2+x﹣2上，∴n=m2+m﹣2，代入上式得：S四边形BMCA=﹣m2﹣4m+5=﹣（m+2）2+9，∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9．（3）假设存在这样的⊙Q．如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：，解得：k=2，b=﹣2，∴直线AC解析式为：y=2x﹣2，令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6．在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF===3．设Q（﹣2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ==．设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=．坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；∴MC与⊙P的位置关系是相切．6、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C 不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（﹣23，0），则，解得，，∴该二次函数的解析式为：y=﹣98x2+94x+2；（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．由题意，得ED=+1=，EC=2+=，BC=2，∴BE==．∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，∴△EGD∽△ECB，∴=，∴DG=1．∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，∴BE是⊙D的切线；（3）由题意，得E（﹣23，0），B（2，2）．设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则，解得，，∴直线BE为：y=34x+12．∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，∴点P的纵坐标y=54，即P（1，54）．∵MN∥BE， ∴∠MNC=∠BEC．∵∠C=∠C=90°，∴△MNC∽△BEC，∴=，∴=2t ，则CN=43t ， ∴DN=t﹣1，∴S △PND =12DN•PD=5568t -． S △MNC =12CN•CM=23t 2． S 梯形PDCM =（12PD+CM ）•CD=5182t +． ∵S=S △PND +S 梯形PDCM ﹣S △MNC =﹣+t （0＜t ＜2）．∵抛物线S=﹣+t （0＜t ＜2）的开口方向向下，∴S 存在最大值．当t=1时，S 最大=23． 7、（2013•）已知：一元二次方程x +kx+k ﹣=0．（1）求证：不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设k ＜0，当二次函数y=x 2+kx+k ﹣的图象与x 轴的两个交点A 、B 间的距离为4时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C ，过y 轴上一点M （0，m ）作y 轴的垂线l ，当m 为何值时，直线l 与△ABC 的外接圆有公共点？（1）证明：∵△=k 2﹣4××（k ﹣）=k 2﹣2k+1=（k ﹣1）2≥0，∴关于x 的一元二次方程x 2+kx+k ﹣=0，不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）令y=0，则x 2+kx+k ﹣=0．∵x A +x B =﹣2k ，x A •x B =2k ﹣1，∴|x A ﹣x B |===2|k ﹣1|=4，即|k ﹣1|=2，解得k=3（不合题意，舍去），或k=﹣1．∴此二次函数的解析式是y=x 2﹣x ﹣；（3）由（2）知，抛物线的解析式是y=x 2﹣x ﹣．易求A （﹣1，0），B （3，0），C （1，﹣2），∴AB=4，AC=2，BC=2．显然AC 2+BC 2=AB 2，得△ABC 是等腰直角三角形．AB 为斜边，∴外接圆的直径为AB=4，∴﹣2≤m≤2．8、（2013•压轴题）如图，已知抛物线y=ax +bx+c （a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C （0，2），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣（a≠0）∵抛物线经过（0，2）∴a（0﹣4）2﹣=2解得：a=∴y=（x﹣4）2﹣即：y=x2﹣x+2当y=0时，x2﹣x+2=0解得：x=2或x=6∴A（2，0），B（6，0）；（2）存在，如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小∵B（6，0），C（0，2）∴OB=6，OC=2∴BC=2，∴AP+CP=BC=2∴AP+CP的最小值为2；（3）如图3，连接ME∵CE是⊙M的切线∴ME⊥CE，∠CEM=90°由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE∵在△COD与△MED中∴△COD≌△MED（AAS），∴OD=DE，DC=DM设OD=x则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x则RT△COD中，OD2+OC2=CD2，∴x2+22=（4﹣x）2∴x=∴D（，0）设直线CE的解析式为y=kx+b∵直线CE过C（0，2），D（，0）两点，则解得：∴直线CE的解析式为y=﹣+2；圆的圆心坐标为C （2，0），B 是第一象限圆弧上的一点，且BC ⊥AC ，抛物线c bx x y ++-=221经过C 、B 两点，与x 轴的另一交点为D 。
九年级数学二次函数与圆综合复习练习
九年级数学二次函数与圆综合复习练习能利用二次函数的有关知识解决二次函数与圆的综合性问题点以(4,0),以点M 为圆心、2为半径的圆与工轴交于点A,B ・已知抛物y = -x 2+bx + c 过6与y 轴交于点C.求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象.点Q(8,〃?)在抛物线y = Lx 2+bx + c±，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+P8最小值.6CE 是过点C 的。
M 的切线，点E 是切点，求QE 所在直线的解析式.【巩固练习1]已知抛物线y = a.x 2+bx + c 与y 轴的交点为C,顶点为M,直线CM 的解析式)，= -x + 2并且线段CM 的长为2^2(1) 求抛物线的解析式。
学习过程: 展示讨论:学习目标: 例1.如图,(2)设抛物线与x轴有两个交点A (X. 0)、B (X= , 0),且点A在B的左侧，求线段AB的长。
(3)若以AB为直径作。
N,请你判断直线C顶与ON的位置关系，并说明理由.例2.如图，在平面直角坐标系中，以点C(0・4)为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，是OC的切线.动点P从点A开始沿仙方向以每秒1个单位长度的速度运动，点。
从。
点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点F、。
从点A和点O同时出发，设运动时间为/(秒).⑴当f = l时，得到匕、Q两点，求经过A、R、Q三点的抛物线解析式及对称轴⑵当［为何值时，直线P。
与。
C相切？并写出此时点P和点。
的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴/上存在一点N,使NP + NQ最小，求出点十的坐标并说明理由.【巩固练习2】己知二次函数图象的顶点在原点O,对称轴为y轴.一次函数y = kx + \的图象与二次函数的图象交于A,B两点(A在8的左侧)，且A点坐标为(-4,4).平行于x轴的直线/过(0, -1) 点・⑴求一次函数与二次函数的解析式；⑵ 判断以线段x = C4 tana为直径的圆与直线/的位置关系，并给出证明；⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移/个单位。
初三 二次函数与圆的综合练习
初三 二次函数与圆的综合练习1、 如图示已知点M 的坐标为（4，0），以M 为圆心，以2为半径的圆交x 轴于A 、B ，抛物线y ＝61x 2+bx +c 过A 、B 两点且与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标并画出抛物线的大致图象； （2）已知点Q （8，m ），P 为抛物线对称轴上一动点，求出P 点坐标使得PQ+PB 值最小，并求出最小值； （3）过C 点作⊙M 的切线CE ，求直线OE 的解析式．2、已知抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式y=-x+2并且线段CM 的长为22（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （x 1，0）、B （x 2，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长； （3）若以AB 为直径作⊙N，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由3、如图，在平面直角坐标系中，以点C （0，4）为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是⊙C的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t （秒）． （1）当t=1时，得到P 1、Q 1两点，求经过A 、P 1、Q 1三点的抛物线解析式及对称轴l ； （2）当t 为何值时，直线PQ 与⊙C 相切并写出此时点P 和点Q 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP+NQ 最小，求出点N 的坐标并说明理由．4、已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），且A 点坐标为（-4，4）．平行于x 轴的直线l 过（0，-1）点． （1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明； （3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位（t ＞0），二次函数的图象与x 轴交于M ，N 两点，一次函数图象交y 轴于F 点．当t 为何值时，过F ，M ，N 三点的圆的面积最小，最小面积是多少？5、如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动．（1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；（2）当直线CD与⊙O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；（3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．6、已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（−13，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动．（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．7、如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=60°；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；（2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．8、抛物线y=31x2-332x+m与x轴交于A、B两点与y轴交于c点，∠ACB=90°（1）求m的值及抛物线顶点坐标；（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连接DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；9、如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．。
2024年 九年级数学中考复习 圆与二次函数结合型压轴题 考前适应性综合训练题
2024年 九年级数学中考复习圆与二次函数结合型压轴题 考前适应性综合训练题1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -、B （A 在B 的左边），与y 轴交于C ，且4OB OA =．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线y x =交抛物线于D 、E 两点，点F 在抛物线上，且在直线DE 下方，若以F 为圆心作F ，当F 与直线DE 相切时，求F 最大半径r 及此时F 坐标；(3)如图2，M 是抛物线上一点，连接AM 交y 轴于G ，作AM 关于x 轴对称的直线交抛物线于N ，连接AN 、MN ，点K 是MN 的中点，若G 、K 的纵坐标分别是t 、n ．直接写出t ，n 的数量关系．2．如图，抛物线的顶点为(0,2)A ，且经过点(2,0)B ，以坐标原点O 为圆心的圆的半径2r =OC AB ⊥于点C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)求证：直线AB 与O 相切．(3)已知P 为抛物线上一动点，线段PO 交O 于点M ，当以M ，O ，A ，C 为顶点的四边形是平行四边形时，求PM 的长．3．如图，抛物线24y ax bx =++与x 轴交于A ，()2,0B 两点，与y 轴交于点C ．以点B 为圆心，P 是B 上的一个动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90︒得到AQ ．当AP 与B 在x 轴上方的部分相切时，四边形APBQ 为矩形．(1)求抛物线的解析式；(2)求ACQ 面积的最大值．4．如图，二次函数268y x x =-+的图象与x 轴分别交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），直线l 是对称轴．点P 在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA ，PB ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，以点M 为圆心，作半径为r 的圆，PT 与M 相切，切点为T ．(1)求点A ，B 的坐标；(2)四边形ABPM 能是一个菱形吗？若能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由；(3)若以PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等，且M 不经过点(3,2)N ，求PM 的取值范围．5．如图（1），二次函数25y ax x c =-+的图象与x 轴交于(4,0)A -，(,0)B b 两点，与y 轴交于点(0,4)C -．(1)求二次函数的解析式和b 的值．(2)在二次函数位于x 轴上方的图象上是否存在点M ，使13BOM ABC S S =△△？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A 关于原点O 的对称点E ，连接CE ，作以CE 为直径的圆．点E '是圆在x 轴上方圆弧上的动点（点E '不与圆弧的端点E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE ，使点E 移动到点E '，线段AE 的对应线段为A E ''，连接E C '，A A '，A A '的延长线交直线E C '于点N ，求AA CN'的值．6．已知二次函数2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，连接AC ，BC ，若点M 在抛物线上，且M 的横坐标为53，连接CM ，ACB ∠与BCM ∠相等吗？请说明理由；(3)如图2，点N 是线段AB 上任意一点(N 不与A ，B 重合），过点N 作NE x ⊥轴，交抛物线于点E ，连接AE ，作ABE 的外接圆P ，延长EN 交P 于点F ．试说明点F 在某条定直线上．7．已知二次函数图象的顶点坐标为()2,0A ，且与y 轴交于点()0,1，B 点坐标为()2,2，点C 为抛物线上一动点，以C 为圆心，CB 为半径的圆交x 轴于M ，N 两点（M 在N 的左侧）．(1)求此二次函数的表达式；(2)当点C 在抛物线上运动时，弦MN 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN 的长；(3)当ABM 与ABN 相似时，求出M 点的坐标．8．如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的函数关系式；①如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将①OBE绕平面内某一点旋转180°，得到①PMN （点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF①x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；①点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．9．如图，已知二次函数()22y x m k m =++-的图象与x 轴相交于两个不同的点1(0)A x ，、2(0)B x ，，与y 轴的交点为C ．设①ABC 的外接圆的圆心为点P ．（1）求P 与y 轴的另一个交点D 的坐标；（2）如果AB 恰好为P 的直径，且①ABC 5m 和k 的值．10．已知圆P 的圆心在反比例函数ky x =(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．(1)求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式;(2)若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y 轴于点()0,3A ，交x 轴于点()2,0B ，()6,0C ．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，求点D 的坐标；(3)如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明．12．如图，抛物线21342y x x c =--+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，点B 的坐标为(2,0)，M 经过,,A B C 三点，且圆心M 在x 轴上．(1)求c 的值．(2)求M 的半径．(3)过点C 作直线CD ，交x 轴于点D ，当直线CD 与抛物线只有一个交点时直线CD 是否与M 相切？若相切，请证明；若不相切，请求出直线CD 与M 的另外一个交点的坐标．13．如图1，抛物线2124y x x -=与x 轴交于O 、A 两点，点B 为抛物线的顶点，连接OB ．(1)求①AOB 的度数；(2)如图2，以点A 为圆心，4为半径作①A ，点M 在①A 上．连接OM 、BM ，①当①OBM 是以OB 为底的等腰三角形时，求点M 的坐标；①如图3，取OM 的中点N ，连接BN ，当点M 在①A 上运动时，求线段BN 长度的取值范围．14．定义：平面直角坐标系xOy 中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点()2,2P ，以P 为圆心，5请判断①P 是不是二次函数243y x x =-+的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数244y x x =-+图象的顶点为A ，坐标圆的圆心为P ，如图1，求POA 周长的最小值；（3）已知二次函数()24401y ax x a =-+<<图象交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，与坐标圆的第四个交点为D ，连结PC ，PD ，如图2．若120CPD ∠=︒，求a 的值．15．如图，抛物线与x 轴交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，过点C 作//CE x 轴交抛物线于点E ，且顶点为D ，连,,,AC AE AD DE ．已知P 是抛物线上一动点，且点P 的横坐标大于0小于4．（1）求该抛物线的解析式．∠=∠．求点P的横坐标．（2）直线AP交直线ED于点Q．AQD CAE⊥，垂足为G，交M于点F．在点P的（3）过C，E，P三点作M，过点P作PF CE运动过程中，线段GF的长是否变化，若有变化，求出GF的取值范围：若不变，求GF的长．。
人教版九年级数学二次函数、圆综合检测题
17．（12 分）已知 AB 是⊙ O 的直径， AT是⊙ O 的切线，∠ ABT=50°，BT交⊙ O 于点 C， E 是 AB 上一点，延长 CE交⊙ O 于点 D．（1）如图①，求∠ T 和∠ CDB的大小； 来源 学&科& 网Z&X&X&K]
（ 2）如图②，当 BE=BC时，求∠ CDO的大小．
来源 学科网 ]
19．（12 分）如图，已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣ 1，0）和点 B（ 3， 0）， 与 y 轴交于点 C，连接 BC交抛物线的对称轴于点 E，D 是抛物线的顶点．（ 1）求此抛物 线的解析式；（ 2）直接写出点 C 和点 D 的坐标；（ 3）若点 P 在第一象限内的抛物线上， 且 S△ABP=4S△COE，求 P 点坐标．
在运动过程中，四边形 PABQ的面积最小值为（
）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2 二．填空题（共 5 小题，每小题 4 分）
11．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（ 0，﹣ 1 ），那么这个二次函数的
解析式可以是
．（只需写一个）
12．已知⊙ O 的半径为 10，弦 AB∥CD，AB=12，CD=16，则 AB 和 CD的距离为
D 分别是 “蛋圆 ”与坐标轴的交点， AB 为半圆的直径，且抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3，
则半圆圆心 M 的坐标为
． 来源 学 + 科 + 网
三．解答题（共 6 小题） 16．（12 分）如图，∠ BAC的平分线交△ ABC的外接圆于点 D，∠ABC的平分线交 AD 于 点 E． （ 1）求证： DE=DB；（2）若∠ BAC=9°0，BD=4，求△ ABC外接圆的 半径．
九年级数学二次函数、圆综合检测题
为（ ） A．﹣ 20m B．10m C． 20m D．﹣ 10m
二．填空题 10．已知点 A（4，y1），B（ ，y2），C（﹣ 2， y3）都在二次函数 y=（x﹣2）2﹣1 的图
象上，则 y1、y2、y3 的大小关系是
．
11．如图， P 是抛物线 y=﹣x2+x+2 在第一象限上的点，过点 P 分别向 x 轴
19．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12m，宽是 4m．按照图 中所示的直角坐标系， 抛物线可以用 y=﹣ x2+bx+c 表示，且抛物线的点 C 到墙面 OB的 水平距离为 3m 时，到地面 OA 的距离为 m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算
6．如图，已知 P 是⊙ O 外一点， Q 是⊙ O 上的动点， 线段 PQ 的中点为 M ，
连接 OP，OM．若⊙ O 的半径为 2，OP=4，则线段 OM 的最小值是（
）
A．0 B． 1 C． 2 D．3
7．以半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则Biblioteka 该三角形的面积是（为
．
13．如图，⊙ O 的半径是 2，直线 l 与⊙ O 相交于 A、 B 两点， M 、N 是⊙ O 上的两个动
点，且在直线 l 的异侧，若∠ AMB=4°5 ，则四边形 MANB 面积的最大值是
．
14．如图，一块直角三角板 ABC的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度
是 58°，则∠ ACD的度数为
．
15．如图，半径为 5 的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线 b，然后把半圆沿直
线 b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线 b 重合为止，则圆心 O 运动路径的长度等
2020年九年级中考数学 圆 二次函数 综合题专练(含答案)
2020年九年级中考数学圆二次函数综合题专练1.如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与BC相切于点E，且∠OBA=∠OBC．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）求⊙O的半径；（3）求tan∠BAD．3.如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G.(1)求证：DG∥CA；(2)求证：AD=ID；(3)若DE=4，BE=5,求BI的长.4.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC=CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF=CD，连接AF．(1)判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．(2)若AC=10，tan∠CAE=，求AE的长．5.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．(1)求证：EC=ED；(2)如果OA=4，EF=3，求弦AC的长．6.如图，△ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，连接OA，（1）求证：AE平分∠DAO；（2）若AB=6，AC=8，求OE的长．7.如图，已知⊙O内接ABC，AD⊥BC与D点，AE平分∠BAC，连接OA.(1)求证：∠OAE=∠DAE；(2)若O半径为15，AD=20，AC=24，求AB的长.8.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，（1）求证：OD∥BE；（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长．9.如图，已知，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．10.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径.（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BE=3，cosC=时，求⊙O的半径.11.如图，AC是⊙O的直径，BF是⊙O的弦，BF⊥AC于点H，在BF上截取KB=AB，AK的延长线交⊙O于点E，过点E作PD∥AB，PD与AC、BF的延长线分别交于点D、P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AK=，tan∠BAH=，求⊙O半径的长．12.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．13.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．14.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AC为直径，弧BD=弧AD,DE⊥BC,垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积．15.如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,延长BC到点F，连接AF,使∠ABC=2∠CAF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的长．16.综合与探究如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；(4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．17.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．18.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y 轴交于点E．(1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+2与x 轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴是x=-1.5,且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）（①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．参考答案1.（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：连结OE．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，在Rt△EOF中，∵OE2+OF2=EF2，∴r2+（6﹣r）2=（2）2，解得，r1=4，r2=2，当r1=4时，OF=6﹣r=2（符合题意），当r2=2时，OF=6﹣r=4（不合题意，舍去），∴⊙O的半径r=4．2.（1）证明：如图，作OF垂直AB于点F，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC又∠OBA=∠OBC，∴OE=OF，∴AB为⊙O的切线（2）解：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴BC==4，又D为BC的中点，∴CD=DB=2，∵S△ACD+S△COB+S△AOB=S△ABC设⊙O的半径为r，即AC•CD+BD•r+∴6+2r+5r=12∴r=∴⊙O的半径为（3）解：∵∠C=90°，OE⊥BC，∴OE∥AC，∴Rt△ODE∽Rt△ADC，∴，∴DE=，∴BF=BE=，∴AF=AB﹣BF=，∴tan∠BAD==．3. (1)证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2=∠7，∵DG平分∠ADF，∴∠1=1/2∠ADF，∵∠ADF=∠ABC，∴∠1=∠2，∵∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴DG∥AC；(2)证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5=∠6，∵∠4=∠7+∠5=∠3+∠6，即∠4=∠DAI，∴DA=DI；(3)解：∵∠3=∠7，∠ADE=∠BAD，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB=DE：DA，即AD：9=4：AD，∴AD=6，∴DI=6，∴BI=BD-DI=9-6=3．4.解：(1)直线AF是⊙O的切线，理由是：连接AC，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵CF=CD，∴∠CAF=∠EAC，∵AC=CE，∴∠E=∠EAC，∵∠B=∠E，∴∠B=∠FAC，∵∠B+∠BAC=90°，∴∠FAC+∠BAC=90°，∴OA⊥AF，又∵点A在⊙O上，∴直线AF是⊙O的切线；∴(3x)2+(4x)2=100，解得x=2，∴AM=8，∵AC=CE，∴AE=2AE=2×8=16．5. (1)证明：连接OC，∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∴∠ACE+∠A=90°，∵OD⊥AB，∴∠ODA+∠A=90°，∵∠ODA=∠CDE，∴∠CDE+∠A=90°，∴∠CDE=∠ACE，∴EC=ED；(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF=90°，∠DCE=∠CDE，∴∠CDE+∠ECF=90°，∵∠CDE+∠F=90°，∴∠ECF=∠F，∴EC=EF，∵EF=3，∴EC=DE=3，∴OE==5，∴OD=OE﹣DE=2，在Rt△OAD中，AD==2，在Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A=∠A，∠ACB=∠AOD，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∴AC=．6.解：（1）证明：连接OA，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠C+∠B=90°，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∴∠BAD=∠OAC，∵F是弧BC中点，∴∠BAF=∠CAF，∴∠DAE=∠OAE，即AE平分∠DAO；（2）解：连接OF，∵∠BOF=2∠BAF=∠BAC=90°，∴OF⊥BC，∵AD⊥BC，∴OF∥AD，∴DE：OE=AD：OF，∵AB=6，AC=8，∴BC=AB2+AC2=10，∴AD=AB•ACBC=4.8，∴BD=AB2−AD2=3.6，∴OD=OB-BD=5-3.6=1.4，∴DE：OE=4.8：5=24：25，∴OE=5/7.7.解：(1)证明略；(2)AB=25.8.解：9.（1）证明：连接CE，如图1所示：∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；又∵AC=BC，∴AE=BE．（2）证明：连接OE，如图2所示：∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3，∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=．10.解：（1）连结OM.∵BM平分∠ABC∴∠1=∠2 又OM=OB∴∠2=∠3∴OM∥BC∵AE是BC边上的高线∴AE⊥BC，∴AM⊥OM∴AM是⊙O的切线（2）∵AB=AC∴∠ABC=∠C，AE⊥BC，∴E是BC中点∴EC=BE=3∵cosC==∴AC=EC=∵OM∥BC，∠AOM=∠ABE∴△AOM∽△ABE∴又∵∠ABC=∠C∴∠AOM=∠C在Rt△AOM中cos∠AOM=cosC=，∴∴AO=AB=+OB=而AB=AC=∴=∴OM=∴⊙O的半径是11.解：（1）连接OE，∵OE=OA，∴∠OEA=∠OAE，∵PD∥AB，∴∠PEA=∠BAE，∵KB=AB，∴∠AKB=∠BAE，∴∠PEA=∠AKB，∵BF⊥AC，H为垂足，∴∠OAE+∠AKB=90°∴∠OEA+∠PEA=90°，即OE⊥PD，∴PD是⊙O的切线；（2）解：∵tan∠BAH=，BF⊥AC，H为垂足，且KB=AB，在Rt△ABH和Rt△AKH中，设AH=3n，则BH=4n，AB=5n，KH=n，∴由AH2+KH2=AK2，即（3n）2+n2=（）2，解得n=1，∴AH=3，BH=4，设⊙O半径为R，则在Rt△OBH中，OH=R﹣3，由OH2+BH2=OB2，即（R﹣3）2+42=R2，解得：R=，∴⊙O半径的长为．12.（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，根据勾股定理得：PD==5，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=3，∴DC=PD﹣PC=5﹣3=2，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4﹣r，根据勾股定理得：（4﹣r）2=r2+22，解得：r=，∴OP==，∵∠E=∠PCO，∠CPO=∠CPO，∴△DEP∽△OBP，∴，∴DE=．13.解：14.解：（1）∵，∴∠BAD=∠ACD，∵∠DCE=∠BAD，∴∠ACD=∠DCE，即CD平分∠ACE；（2）直线ED与⊙O相切．理由如下：连结OD，如图，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，而∠OCD=∠DCE，∴∠DCE=∠ODC，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（3）作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，∴OD=EH，∵CE=1，AC=4，∴OC=OD=2，∴CH=HE﹣CE=2﹣1=1，在Rt△OHC中，∠HOC=30°，∴∠COD=60°，∴阴影部分的面积=S扇形OCD﹣S△== OCD．15.解：（1）证明：连接BD，如图1所示：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°，∵BA=BC，∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD∵∠ABC=2∠CAF，∴∠ABD=∠CAF，∵∠ABD+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，∴AF是⊙O的切线；（2）解：连接AE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°，即△AEB为直角三角形，∵CE：EB=1：3，设CE长为x，则EB长为3x，BC长为4x．则AB长为4x，在Rt△AEB中由勾股定理可得 AE=，在Rt△AEC中，AC=4，AE=，CE=x，由勾股定理得：，解得：，∵x＞0∴，即CE长为．一、综合题16.解：(1)∵OA=2，OC=6∴A(﹣2，0)，C(0，﹣6)∵抛物线y=x2+bx+c过点A、C∴解得：∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣6(2)∵当y=0时，x2﹣x﹣6=0，解得：x1=﹣2，x2=3∴B(3，0)，抛物线对称轴为直线x=∵点D在直线x=上，点A、B关于直线x=对称∴x D=，AD=BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC最小设直线BC解析式为y=kx﹣6∴3k﹣6=0，解得：k=2∴直线BC：y=2x﹣6∴y D=2×﹣6=﹣5∴D(，﹣5)故答案为：(，﹣5)(3)过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设E(t，t2﹣t﹣6)(0＜t＜3)，则F(t，2t﹣6)∴EF=2t﹣6﹣(t2﹣t﹣6)=﹣t2+3t∴S△BCE=S△BEF+S△CEF=EF•BG+EF•OG=EF(BG+OG)=EF•OB=×3(﹣t2+3t)=﹣(t﹣)2+∴当t=时，△BCE面积最大∴y E=()2﹣﹣6=﹣∴点E坐标为(，﹣)时，△BCE面积最大，最大值为．(4)存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A(﹣2，0)，C(0，﹣6)∴AC=①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN=AC=2∴N 1(﹣2，2)，N2(﹣2，﹣2)，N3(2，0)②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4=CN4设N4(﹣2，n)∴﹣n=解得：n=﹣∴N4(﹣2，﹣)综上所述，点N坐标为(﹣2，2)，(﹣2，﹣2)，(2，0)，(﹣2，﹣)．17.解：(1)用交点式函数表达式得：y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y=x2﹣4x+3；(2)①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB=PE=2，则点P坐标为(4，3)，当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P(4，3)或(0，3)；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为(2，0)设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：=2，解得：m=2，故点P(2，﹣1)；故：点P(4，3)或(0，3)或(2，﹣1)；(3)直线BC的表达式为：y=﹣x+3，设点E坐标为(x，x2﹣4x+3)，则点D(x，﹣x+3)，S四边形AEBD=AB(y D﹣y E)=﹣x+3﹣x2+4x﹣3=﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x=，其最大值为，此时点E(，﹣)．18.解：(1))∵抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1，0)，B(3，0)，把A、B两点坐标代入上式，，解得：，故抛物线函数关系表达式为y=x2﹣2x﹣3；(2)∵A(﹣1，0)，点B(3，0)，∴AB=OA+OB=1+3=4，∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，PC⊥BE，∴∠OPE+∠CPB=90°，∠CPB+∠PCB=90°，∴∠OPE=∠PCB，又∵∠EOP=∠PBC=90°，∴△POE∽△CBP，∴，设OP=x，则PB=3﹣x，∴，∴OE=，∵0＜x＜3，∴时，线段OE长有最大值，最大值为．即OP=时，线段OE有最大值．最大值是．(3)存在．如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴x=0，y=﹣3，∴N点坐标为(0，﹣3)，设直线BN的解析式为y=kx+b，∴，∴，∴直线BN的解析式为y=x﹣3，设M(a，a2﹣2a﹣3)，则H(a，a﹣3)，∴MH=a﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)=﹣a2+3a，∴S△MNB=S△BMH+S△MNH===，∵，∴a=时，△MBN的面积有最大值，最大值是，此时M点的坐标为()．19.20.解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+8；（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA=2，OC=8，∵l⊥x轴，∴∠PEA=∠AOC=90°，∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PEA=∠AOC时，PEA△∽AOC，此时，即：，∴AE=4PE，设点P的纵坐标为k，则PE=k，AE=4k，∴OE=4k﹣2，将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：k=0或（舍去0），则点P（，）；（3）在Rt△PFD中，∠PFD=∠COB=90°，∵l∥y轴，∴∠PDF=∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴，∴S△PDF=•S△BOC，而S△BOC=OB•OC==16，BC==4，∴S△PDF=•S△BOC=PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y=﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD=﹣m2+2m+8+2m﹣8=﹣（m﹣2）2+4，当m=2时，PD的最大值为4，故当PD=4时，∴S△PDF=PD2=．。
九年级中考复习二次函数与圆的提高类综合练习(含答案解析)
二次函数与圆的综合习题种类一圆的基天性质应用例 1：如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-）2+与⊙M交于A，B，C，D四点，点 A， B 在 x 轴上，点 C 坐标为（ 0，-2）．（1）求 a 值及 A， B 两点坐标；（2）点 P（m， n）是抛物线上的动点，当∠ CPD 为锐角时，恳求出 m 的取值范围；（3）点 E 是抛物线的极点，⊙M 沿 CD 所在直线平移，点 C，D 的对应点分别为点C′，D′，按序连结A， C′，D′，E 四点，四边形AC′D′E（只需考虑凸四边形）的周长能否存在最小值？若存在，恳求出此时圆心M ′的坐标；若不存在，请说明原因．【答案】（ 1）A（ 1，0），B（ 4，0）．（ 2）m＜ 0 或 1＜ m＜ 4 或 m＞5．（ 3）存在．M（′，-2）【分析】解：（ 1）∵抛物线y=a（x- ）2+ 经过点 C（ 0， -2），∴-2=a（ 0- ）2+ ，∴a=- ，∴y=- （ x- ）2+ ，当 y=0 时， - （x- ）2+ =0，∴x1 =4， x2=1，∵A 、 B 在 x 轴上，∴A（ 1，0），B（4， 0）．（2）由（ 1）可知抛物线分析式为 y=- （ x- ）2+ ，∴C、 D 对于对称轴 x= 对称，∵C（ 0，-2），∴D（ 5，-2），如图 1 中，连结 AD 、 AC 、 CD，则 CD=5 ，∵A （ 1，0），C（0， -2），D（5，-2），∴AC=，AD=2，∴AC 2+AD 2=CD 2，∴∠ CAD=90°，∴CD 为⊙ M 的直径，∴当点 P 在圆外面的抛物线上运动时，∠CPD 为锐角，∴m＜ 0 或 1＜m＜4 或 m＞ 5．（3）存在．如图 2 中，将线段C′A平移至 D′F，则 AF=C′D′=CD=5，∵A （ 1，0），∴F（6，0），作点 E 对于直线 CD 的对称点 E′，连结 EE′正好经过点 M ，交 x 轴于点 N，∵抛物线极点（，），直线 CD 为 y=-2，∴E′（，-），连结 E′F交直线 CD 于 H，∵AE ， C′D′是定值，∴AC′+ED′最小时，四边形AC′D′E的周长最小，∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥， E′F则当点 D′与点 H 重合时，四边形 AC′D′E的周长最小，设直线 E′F的分析式为 y=kx+b ，∵E′（，-），F（6，0），∴可得 y= x-，当 y=-2 时， x=，∴H（，-2），∵ M（，-2），∴DD′=5- =，∵- = ，∴M′（，-2）针对训练1．已知二次函数 y＝ax2－ 2ax＋c(a＜ 0)的图像与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 BC 与它的对称轴交于点 F，且 CF： FB＝1： 3．(1) 求 A 、 B 两点的坐标；(2) 若△COB 的心里 I 在对称轴上，求这个二次函数的关系式；(3) 在(2)的条件下， Q(m，0)是 x 轴上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与直线 BC 交于点M ，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN 沿直线CN 翻折， M 的对应点为M′，能否存在点Q，使得M′恰巧落在y 轴上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 (1)B(4 ， 0)， A( －2，0)；(2)y=x2+ x+3 ；(3)存在， Q( ， 0)或 Q(，0) 【分析】（1）以下图：对称轴为：直线，∴OE=1 ，∵OC∥EF，∴，∴E B=3 ，由对称性得： BE=AE=3 ，∴A( - 2,0),B(4,0) ；(2)如图，是△的内切圆，过点I 作于点D，∴设，则在 Rt△OCB 中， OB=4 ，即解得∴C(0,3) ，∴c=3，把 A( - 2,0), C(0,3)代入抛物线 y=ax2-2ax+c 中得：解得：∴抛物线的分析式为：y=x2+ x+3；(3)如图 ,由题意∠ M′ CN=∠ NCB ，∵MN ∥ OM′，∴∠ M′CN=∠ CNM,∴∠ CNM = ∠NCB，∴MN=CM ，∵直线 BC 分析式为，∴,∵，∴，∴，，作 ME ⊥OC 于 E，①当 N 在直线解得： m= 或∴Q( ，0)，②当 N 在直线BC 上方时 ,0(舍弃 )，BC 下方时 ,，，解得 m=或0(舍弃)，∴Q(，0)综上所述：点 Q 坐标为( ，0)或 Q( ，0).2．对于平面直角坐标系xOy 中的点 P，Q 和图形 G，给出以下定义：点P，Q 都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标交换后获得点Q，则称点P，Q是图形G “的一对关联点”．比如，点 P（1，2）和点 Q（2， 1）是直线 y＝﹣ x+3 的一对关系点．（1）请写出反比率函数y＝的图象上的一对关系点的坐标：；（2）抛物线 y＝ x2+bx+c 的对称轴为直线 x＝ 1，与 y 轴交于点 C（ 0，﹣ 1）．点 A，B 是抛物线 y＝x2 +bx+c 的一对关系点，直线 AB 与 x 轴交于点 D（1，0）．求 A，B 两点坐标．（3）⊙ T 的半径为 3，点 M ，N 是⊙ T 的一对关系点，且点 M 的坐标为（ 1，m）（m＞ 1），请直接写出m 的取值范围．【答案】（ 1）（2，3），（3，2）．（ 2） A，B 两点坐标为（﹣ 1，2）和（ 2，﹣1）．（3）1＜m≤1+3 ．【分析】解：（ 1）∵ 2×3＝3×2＝ 6，∴点（ 2， 3），（3， 2）是反比率函数y＝的图象上的一对关系点．故答案为：（2，3），（ 3， 2）．（2）∵抛物线 y＝ x2＋ bx＋ c 的对称轴为直线 x＝1，∴﹣＝1，解得： b＝﹣ 2．∵抛物线 y＝ x2＋ bx＋c 与 y 轴交于点 C（ 0，﹣ 1），∴c＝﹣ 1，∴抛物线的分析式为y＝ x2﹣ 2x﹣1．由关系点定义，可知：点 A ， B 对于直线 y＝ x 对称．又∵直线 AB 与 x 轴交于点 D（1，0），∴直线 AB 的分析式为y＝﹣ x＋ 1．联立直线AB 及抛物线分析式成方程组，得：＝﹣＋＝﹣﹣，解得：∴A，B，两点坐标为（﹣，1， 2）和（2，﹣ 1）．（3）由关系点定义，可知：点M ， N 对于直线y＝ x 对称，∴⊙ T 的圆心在直线y＝ x 上．∵⊙ T 的半径为 3，∴M1M2 ＝×2×3＝3，∴m 的取值范围为1＜ m≤1＋ 3．.种类二与圆相关的地点关系例 2．如图，已知点A（2，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为 B，过 B 作⊙ A 的切线 l ．（1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A ，抛物线与 x 轴的另一个交点为点 C，抛物线的极点为点 E，假如 CO=2BE ，求此抛物线的分析式；（2）过点 C 作⊙ A 的切线 CD，D 为切点，求此切线长；（3）点 F 是切线 CD 上的一个动点，当△BFC 与△CAD 相像时，求出 BF 的长．【答案】（ 1） y= （ x-2）（x-6）；（2）CD=2；（3）BF的长为或．【分析】（1）∵ A （ 2， 0），⊙ A 与 y 轴切于原点，∴⊙ A 的半径为 2．∴点 B 的坐标为为（ 4，0）．∵点 A 、C 对于 x=4 对称，∴C（ 6，0）．又 CO=2BE ，∴E（4，-3）设抛物线的分析式为 y=a（ x-2）（x-6），（a≠0）；∵抛物线经过点 E（ 4， -3）∴-3=a（ 4-2）（ 4-6），解得： a= ．∴抛物线的分析式为y= （x-2 ）（ x-6）；（2）如图 1 所示：连结AD ，∵AD 是⊙ A 的切线，∴∠ ADC=90°，AD=2 ，由（ 1）知， C（6，0）．∵A （ 2，0），∴AC=4 ，在 Rt△ACD 中， CD2=AC2-AD2=42-22=12 ，∴CD=2 ．（3）如图 2 所示：当 FB⊥AD 时，连结 AD ．∵∠ FBC= ∠ ADC=90°，∠ FCB= ∠ ACD ，∴△ FBC∽△ ADC ，∴=，即=．解得： CF=．如图 3 所示：当 BF⊥ CD 时，连结 AD 、过点 B 作 BF ⊥CD，垂足为 F．∵AD ⊥CD，∴BF∥AD ，∴△ BFC∽△ ADC ，∴=，即=．∴C F= ．综上所述， BF 的长为或．针对训练1．如图，抛物线 y=x 2﹣ 4x﹣ 1 极点为 D，与 x 轴订交于 A 、B 两点，与 y 轴订交于点C．（1）求这条抛物线的极点 D 的坐标；（2）经过点（ 0，4）且与x 轴平行的直线与抛物线y=x 2﹣ 4x﹣ 1 订交于M 、N 两点（ M 在 N 的左边），以 MN 为直径作⊙ P，过点 D 作⊙ P 的切线，切点为 E，求点 DE 的长；（3）上下平移（ 2）中的直线 MN ，以 MN 为直径的⊙ P 可否与 x 轴相切？假如能够，求出⊙P 的半径；假如不可以，请说明原因．【答案】（ 1）点 D 的坐标为（ 2， -5）；（2）DE=6；（3）能够相切，原因看法析. 【分析】（1）∵ y=x2-4x-1=x2-4x+4-5= （ x-2 ）2-5，∴点 D 的坐标为（ 2，-5）；（2）∵当 y=4 时， x2-4x-1=4 ，解得 x=-1 或 x=5 ，∴M 坐标为（ -1，4），点 N 坐标为（ 5， 4），∴MN=6 ．P 的半径为 3，点 P 的坐标为（ 2，4），连结 PE，则 PE⊥ DE，∵PD=9，PE=3，依据勾股定理得 DE=6 ；（3）能够相切．原因：设⊙ P 的半径为 r，依据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r ）或（ 2+r， -r），代入抛物线分析式得：（ 2+r） 2-4（ 2+r） -1=r，解得 r= 或 r= （舍去），把（ 2+r， -r）代入抛物线得：（ 2+r）2-4（2+r ）-1=-r ，解得： r= ，或 r= （舍去）．2．如图，⊙ P 的圆心 P（ m，n）在抛物线 y＝上．（1）写出 m 与 n 之间的关系式；（2）当⊙ P 与两坐标轴都相切时，求出⊙ P 的半径；（3）若⊙ P 的半径是 8，且它在 x 轴上截得的弦 MN ，知足0≤MN≤2时，求出 m、n的范围．1 n P23 ；7≤ ≤8．【答案】（）＝ m2 2）⊙的半径为）≤ m≤4或﹣4≤ m≤﹣；（；（【分析】解：（ 1）∵点 P（ m， n）在抛物线 y＝上，∴n＝ m2；（2）当点 P（ m，m2）在第一象限时，由⊙ P 与两坐标轴都相切知m＝ m2，解得： m＝0（舍）或 m＝2，∴⊙ P 的半径为 2；当点 P（ m， m2）在第三象限时，由⊙ P 与两坐标轴都相切知﹣m＝ m2，解得： m＝0 或 m＝﹣ 2，∴⊙ P 的半径为 2；（3）如图，作PK⊥MN 于点 K ，连结 PM，当 MN＝2 时，MK＝ MN＝，∵PM＝8，则 PK＝＝＝ 7，当 MN ＝0 时， PK＝8，∴7≤PK≤8，即7≤≤8，∵n＝ m2，∴7≤ m2≤8，解得：≤ m≤4或﹣ 4≤ m≤﹣．种类三结构圆与隐形圆例 3：已知：如图1，抛物线与 x 轴交于，两点，与 y 轴交于点 C，点 D 为极点．求抛物线分析式及点 D 的坐标；若直线 l 过点 D，P 为直线 l 上的动点，当以A、B、P 为极点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的分析式；如图 2，E 为 OB 的中点，将线段OE 绕点O 顺时针旋转获得，旋转角为，连结、，当获得最小值时，求直线与抛物线的交点坐标．1 2）或3 ）.【答案】（）；（；（【分析】抛物线与 x 轴交于，两点，．，抛物线的极点坐标为．过点 A 、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 老是有交点的，即2个点 Q．以 AB 为直径的假如与直线 l 订交，那么就有 2 个点 Q；假如圆与直线l 相切，就只有 1个点 Q了．以下图：以 AB 为直径作，作QD与相切，则，过 Q作．，．．，又，．，，．点设 l Q 的坐标为的分析式为．，则，解得：，，直线 l 的分析式为由图形的对称性可知：当直线则，解得：，l 经过点，．时，直线l 与相切，直线 l 的分析式为综上所述，直线l 的分析式为．或．以下图：取M 使，连结．，，，，．又，△∽ △，．．，当 M 、、 B 在一条直线上时，有最小值，的最小值．针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点A（﹣ 1，0），B（0，﹣）， C（2， 0），其对称轴与x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式及其极点坐标；（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连结PD，求 PB+PD 的最小值；（3） M （ x， t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以 A ，B， M ， N 为极点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个；②连结 MA ，MB ，若∠ AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围．【答案】（ 1）抛物线分析式为 y= x2﹣x﹣，极点坐标（，﹣）；（ 2） PB+PD 的最小值为；（ 3）① 5;②取值范围是【分析】（1）方法一：设二次函数的表达式为，B（0，- ）代入解得∴∴极点坐标为方法二：也能够用三点式设代入三点或许极点式设代入两点求得。
九上二次函数与圆的综合题大题
A B C O YXM 二次函数与圆的综合题1如图, 抛物线的与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,D 是抛物线上一点,其坐标为(,),B 点的坐标为(1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)经过A 、B 、D 三点的圆交AC 于点F,交直线y=x+3于点E,试判断△BEF 的形状,并加以证明.2．已知：如图，抛物线2323333y x x =--+的图象与x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，⊙M 经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）．（1）求抛物线的顶点E 的坐标；（2）求⊙M 的面积；（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与⊙M 相切，并请说明理由．3.如图，已知二次函数2(3)3y mx m x =+-- (m ＞0) (1)求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点,(2)这条抛物线与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x （1x ＜2x ），与y 轴交于点C ，且AB=4，⊙M 过A ，B ，C 三点，求扇形MAC 的面积S 。
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，PD ⊥x 轴于D,使△PBD 被直线BC 分成面积比为1：2的两部分?若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
c bx x y ++=22147-yFA B CO E xD4.如图2-4-25，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，，以斜边AB 所在直线为轴，以斜边AB 上的高所在的直线为轴，建立直角坐标系，若，且线段OA 、OB 的长是关于的一元二次方程的两根．（1）求点C 的坐标．（2）以斜边AB 为直径作圆与轴交于另一点E ，求过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图．（3）在抛物线的解析式上是否存在点P ，使△ABP 和△ABC 全等？若相聚在，求出符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，抛物线与轴交于7.两点，与轴交于C 点，且经过点，对称轴是直线，顶点是． （1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线与y 轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；（4）当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．B C A C >x y2217O AO B +=x22(3)0x m x m -+-=y23y ax bx =+-x A B ，y (23)a -，1x =M C,M x N P P A C N ，，，P 3y x =-+D BD E B D ，AB E ，，BC F AEF △E 3y x =-+OBxyA MC1。
中考数学复习：二次函数和圆的综合题（含答案）
1 二次函数和圆中考综合题【例题1】已知圆P 的圆心在反比例函数ky x =(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．(1)求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式; (2)若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．【例题2】在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，是矩形，OA=4OA=4OA=4，，AB=2AB=2，直线，直线32y x =-+与坐标轴交于D 、E 。
设M 是AB 的中点，的中点，P P 是线段DE 上的动点上的动点. .（1）求M 、D 两点的坐标；（2）当P 在什么位置时，在什么位置时，PA=PB PA=PB PA=PB？求出此时？求出此时P 点的坐标；（3）过P 作PH PH⊥⊥BC BC，垂足为，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙为直径的⊙F F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积的面积. .【例题3】在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y 轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．的解析式；（1）求直线CB的解析式；（2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？是否在抛物线上？相似？直接写出两组这样的点． （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．【例题4】如图，已知抛物线y= ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．的值及抛物线的解析式；（1）求m的值及抛物线的解析式；（a－b）的值；）的值；sin（（2）设∠DBC = a，∠CBE = b，求sin（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指的坐标；若不存在，请说明理由．出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例题5】如图，点M （4，0），以点M 为圆心、为圆心、22为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．最小值．（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．所在直线的解析式．【例题6】如图所示，如图所示，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，M 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于A （-8,0），B （0，-6）两点．）两点．（1）请求出直线AB 的函数表达式；的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数表达式；函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D E ，两点，在抛物线上是否存在点P ，使得115PDE ABC S S =△△？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点H 是抛物线对称轴上的一个动点，且在点M 的下方，请问抛物线上是否存在另一点Q ，使得△ABH 与△ABQ 全等。
人教版九年级数学上册综合训练题(圆与二次函数)
九年级数学综合训练题（圆与二次函数）姓名一、选择题1、在⊙O 中，同弦所对的圆周角( )A 、相等B 、互补C 、相等或互补D 、都不对2、两圆的半径R 、r 分别是方程x 2－3x ＋2=0的两根，且圆心距d=3，则两圆的位置关系为( )A 、外切B 、内切C 、外离D 、相交3、两圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，1)，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是( )A 、相离B 、相交C 、外切D 、内切4、在二次函数221y x x =-++的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是（ ） A 、1x < B 、1x > C 、1x <- D 、1x >-5、如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）A 、6.5米B 、9米C 、13米D 、15米6、如图，是二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，则下列结论中正确的是（ ） A 、ac ＞0 B 、当x ＞1时，y 随x 的增大而减小C 、b ﹣2a=0D 、x=3是关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的一个根7、如图，要拧开一个边长为a=6cm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为（ ）A 、62mmB 、12mmC 、63mmD 、43mm8、如图，是二次函数2y x bx c =-++的图象：若点1122(,),(,)A x y B x y 在此函数图象上，且121x x <<，则1y 与2y 的大小关系是（ ）A 、12y y ≤B 、12y y <C 、12y y ≥D 、12y y >9、如图，ABC △内接于圆O ，50A =∠，60ABC =∠，BD 是圆O 的直径，BD 交AC 于点E ，连结DC ，则AEB ∠等于（ ）A 、70B 、110C 、90D 、12010、如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m 的圆两两相垒立在水平的 地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（ ）第5题E A BCDO 第9题第6题第7题第8题A 、232+B 、233+C 、222+D 、 223+二、填空题 11、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 12、若一次函数y ＝ax ＋b （a ≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（－2，0），则抛物线y ＝ax 2＋b 的对称轴为13、已知Rt△ABC 的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm.(1)以C 为圆心，2 cm 长为半径的圆和AB 的位置关系是_________； (2)以C 为圆心，4 cm 长为半径的圆和AB 的位置关系是_________； (3)如果以C 为圆心的圆和AB 相切，则半径长为_________.14、为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环放在水平书 桌面上，用一个锐角为30º的三角板和一个刻度尺，按照如图所示的方法得到 相关的数据，进而可求得铁环的半径，若测得PA=5cm ，则铁环的半径是______cm 。
2024年九年级中考数学专题复习：圆与二次函数的综合压轴题(含答案)
2024年九年级中考数学专题复习：圆与二次函数的综合压轴题（1）求抛物线的解析式．3．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（B、C两点（点B在点C的左侧），已知（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图所示：在平面直角坐标系中,圆M经过原点O且与X轴Y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点（1）请写出直线AB的解析式（2）若有一抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M，顶点C在圆M上,开口向下且经过点B．求此抛物线的函数表达式(3)设（2）中的抛物线交X轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得．若存在，请直接写出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由5．如图，二次函数y=a ＋bx ＋c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．且B （1，0），若将△BOC 绕点O 逆时针旋转90°，所得△DOE 的顶点E 恰好与点A 重合，且△ACD 的面积为3．（1）求这个二次函数的关系式．（2）设这个二次函数图象的顶点为M ，请在y 轴上找一点P ，使得△PAM 的周长最小，并求出点P 的坐标．（3）设这个函数图象的对称轴l 交x 轴于点N ，问：A 、M 、C 、D 、N 这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明；若不可能，请说明理由．6．如图，在直角坐标系中，以点A （，0 ）为圆心，以2为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E （1）若抛物线经过C 、D 两点，求抛物线的表达式，并判断点B 是否在该抛物线上（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小（3）设Q 为（1）中的抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由2x7．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B 两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0），B（0，-6）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且（1）求该抛物线的函数关系式及顶点12．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），抛物线的对称轴为直线．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，点C 关于直线的对称点为N ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；（3）点P 在直线上，且以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，求点P 的坐标．13．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交2y ax 2x c =++l l l直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点2）（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标．16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：）（(3)－；（，）（，；最大值为；（3≤m≤．﹣x+x+1=；（，）或（﹣，）185。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学二次函数与圆综合复习练习学习目标：能利用二次函数的有关知识解决二次函数与圆的综合性问题 学习过程： 展示讨论：例1.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵ 点()8Q m ，在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB + 最小值．⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【巩固练习1】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。
（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。
（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。
例2.如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)． ⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．【巩固练习2】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；⑵ 判断以线段tan x CA α=⋅为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x 轴交于M N ，两点，一次函数图象交y 轴于F 点．当t 为何值时，过F M N ，，三点的圆的面积最小？最小面积是多少？例3.如图1,⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为()50，，顶点D 在⊙O 上运动． ⑴ 当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与⊙O 相切； ⑵ 当直线CD 与⊙O 相切时，求OD 所在直线对应的函数关系式；⑶ 设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．【巩固练习3】已知⊙O 的半径为1，以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD ，顶点B的坐标为()0，顶点A 在x 轴上方，顶点D 在⊙O 上运动．⑴ 当点D 运动到与点A 、O 在一条直线上时，CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD 所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；⑵ 设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，并求出S 的最大值和最小值．图1例4.已知：如图，抛物线213y x m =+与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，90ACB ∠=︒⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标；⑵ 过A B C ，，的三点的M ⊙交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交M ⊙于点E ，过E 点的M ⊙的切线分别交x 轴、y 轴于点F G ，，求直线FG 的解析式；⑶ 在条件⑵下，设P 为CBD 上的动点(P 不与C D ，重合)，连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH AP k ⋅=，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．【巩固练习4】如图，已知点A 的坐标是()10-，，点B 的坐标是()90，，以AB 为直径作O '，交y 轴的负半轴于点C ，连接AC 、BC ，过A 、B 、C 三点作抛物线．⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 点E 是AC 延长线上一点，BCE ∠的平分线CD 交O '于点D ，连结BD ，求直线BD 的解析式；⑶ 在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得PDB CBD ∠=∠？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．E课后思考：1.已知：抛物线2:(1)(2)M y x m x m =+-+-与x 轴相交于12(0)(0)A x B x ，，，两点，且12x x <． （Ⅰ）若120x x <，且m 为正整数，求抛物线M 的解析式； （Ⅱ）若1211x x <>，，求m 的取值范围；（Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点(02)C ，，若存在，求出2:(1)(2)M y x m x m =+-+-的值；若不存在，试说明理由；（Ⅳ）若直线:l y kx b =+过点(07)F ，，与（Ⅰ）中的抛物线M 相交于P Q ，两点，且使12PF FQ =，求直线l 的解析式．2.如图，将AOB ∆置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为()30，，60ABO ∠=︒． ⑴ 若AOB ∆的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标．⑵ 若点C 的坐标为()10-，，试猜想过D C ，的直线与AOB ∆的外接圆的位置关系，并加以说明． ⑶ 二次函数的图象经过点O 和A 且顶点在圆上，求此函数的解析式．3.如图，直角坐标系中，已知两点()00O ，，()20A ，，点B 在第一象限且OAB ∆为正三角形，OAB ∆的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ． ⑴ 求B C ，两点的坐标； ⑵ 求直线CD 的函数解析式；⑶ 设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：AEF ∆的最大面积？4.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l 经过点()20A -，和点0B ⎛⎝，直线2l的函数表达式为y =，1l 与2l 相交于点P ．C ⊙是一个动圆，圆心C 在直线1l 上运动，设圆心C 的横坐标是a ．过点C 作CM x ⊥轴，垂足是点M ．⑴ 填空：直线1l 的函数表达式是 ，交点P 的坐标是 ，FPB ∠的度数是 ；⑵ 当C ⊙和直线2l 相切时，证明点P 到直线CM 的距离等于C ⊙的半径R ，并写出2R = 时a 的值． ⑶ 当C ⊙和直线2l 不相离时，已知C ⊙的半径2R =，记四边形NMOB 的面积为S (其中点N 是直线CM 与2l 的交点)．S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a 的值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，抛物线233y x x =--+x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，⊙M 经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）． （1）求抛物线的顶点E 的坐标； （2）求⊙M 的面积；（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与⊙M 相切，并请说明理由．6.如图，已知二次函数2(3)3y mx m x =+-- (m ＞0) 【例1】 求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点,【例2】 这条抛物线与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x （1x ＜2x ），与y 轴交于点C ，且AB=4，⊙M 过A ，B ，C 三点，求扇形MAC 的面积S 。
【例3】 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，PD ⊥x 轴于D,使△PBD 被直线BC 分成面积比为1：2的两部分?若存在，请求出PO xy NCDE F BMA (0, )7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．8..如图，已知抛物线y = ax 2+ bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）判断△OBD 与△CEB 是否相似,并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．ABCxOy l PP 1QQ 19.如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是⊙C 的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．(1)当t ＝1时，得到P 1、Q 1两点，求经过A 、P 1、Q 1三点的抛物线解析式及对称轴l ； (2)当t 为何值时，直线PQ 与⊙C 相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； (3)在(2)的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP ＋NQ 最小，求出点N 的坐标并说明理由．10.在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2，0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ．（1）求直线CB 的解析式；（2）若抛物线y =ax 2+b x +c 的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C 是否在抛物线上？（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC 相似？直接写出两组这样的点．11.如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于7.A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ． 1. 求抛物线对应的函数表达式；2.经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； 3.设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重合），经过A B E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；4. 当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．12.如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。