(奥数班)一元二次方程奥数题

x2
5 2004
（降次） （尽可能去分母）
23. 已知 a b 8 ， ab c2 16 0 ，则a b c __ 0 ______
24. 若 ab 1 ，且 5a 2 2005a 7 0 ， 7b2 2005b 5 0 ，则 a b

7。 5
a=___________。
故a可取1，3或5．
35. 关于 x 的一元二次方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0 有两个自然数根，求整数 k 的值。（2 或 5） 36. 已知关于 x 的方程 x2-2x-2n=0 有两个不相等的实数根。
（1）求 n 的取值范围；( n＞-1/2) （2）若 n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求 n 的值。(0 或 4) 37. 若关于 x 的方程（x－2）（x2－4x＋m）=0 有三个整数根，且这三个整数根恰好可以作为一个三角形
注：不能用十字相乘法求根时，就用求根公式求解
3.韦达定理：在方程有根的情况下，设方程的两根为 x1 ，x2，则：

b2 4ac 0
x 1

x2

b a
，
x1 x 2

c a
变形式xxx11122

x 22 x2 x 22

x
3 1
x23

x
3 1

x
3 2

4.根的分布情况：要用二次函数的图像或韦达定理解决
解方程：（1）
1

1
2 （x1=0，x2=-4）
(x 1)(x 2) (x 2)(x 3) 3
（2）
（3）
（x1=-4/3（舍去），x2=12/7）
（x1=162（舍去），x2=2）
2.一元二次方程：ax 2 bx c 0 （注意：a 0 ）
（奥数班）
A 知识点：
对 x 的一元二次方程：ax 2 bx c 0 （a 0） 有：
1.判别式： b2 4ac，用于判断根的情况
2.求根公式： x1,2

b 2a


b
b2 2a

4ac ，
杂例：解复杂方程： 46.
47.
48. 实数 x、y 满足 x2 xy y 2 2 ，记 u x2 xy y 2 ，则 u 的取值范围是
49. 设 x1，x2 关于 x 的一元二次方程 x2 ax a 2 的两个实数根，则 x1 2x2 x2 2x1 的最大值
27.
已知实数 m，n 满足 m2
1 m 2009 0 ， n 2

1 n

2009

0mn

1
，则
1
m
n

1. 2009
28. 已知 m2 m 1 0, n2 n 1 0 ，且 mn 1．求 mn 1 的值。 （ 1 ） n
5
29.
已知：a
，b，c
42. 方程 x 2 +kx-1=0 和方程 x 2+x +k-2 =0 有且仅有一个相同的实数根，求系数 k 的值（k=0）
43. 是否存在某个实数 x 2 mx 2 0 ，使得方程 x 2 mx 2 0 和 x 2 2x m 0 有且只有一个公 共的实根？如果存在，求出这个实数 m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。（m=-3，

k
6
n
1
解得 k1

45 2
(不是整数，舍去)， k2
15, k3
12
k2 15 时， a b 17, ab 60 a 5,b 12, c 13
k3 12 时， a b 14, ab 48 a 6,b 8, c 10
三数满足方程组
ab

a c2

b 8
8 2c

，试求方程 bx2+cx-a=0 的根。
48
解：由方程组得：a、b 是方程 x2-8x+c2- 8 2 c+48=0 的两根
△=-4(c- 4 2 )2≥0，c=4 2 a=b=4
所以原方程为 x2+ 2 x-1=0
x1=
2 2
6 ，x2=
思路1：降次；
x 1 1
x3 1
16. 若 x ，则
x3 的值为 4
。
17. 已知x2 5x 1 0，那么 x
1
x2 x 1
4
18. 若 m n 2 ，则 2m2 4mn 2n2 1 的值为
7
．（降次） ．
19. 已知 m2 m 1 0 ，则 m 3 2m 2 2006 2005 （降次）
思路 2：构造新方程后-----用韦达定理（若方程的系数相同或相似，可想此法）
25.
已知实数x、y满足 4 x4
2 x2
3, y 4 y2

3
,则
4 x4
y 4的值为（ A
）
A. 7 B 1 13 C 7 13
2
2
D.5 (全国初中数学竞赛题)
26. 已知实数 、 满足 2 3 1 0 ， 2 3 1 0 ，且 1 ，则 2 3 的值为 10
1
B 常考题型
一：判断方程根的情况：用判别式（ b2 4ac）易
1. 已知方程 2x2 2ax 3a 4 0 没有实数根，则代数式 a 2 8a 16 2 a ___ 2 __ 2a x ax 1
2. 若关于 x 的方程 x 1 x 2 x x 只有一解，求 a 的值。（a=0 或 2 或 2/3） 3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2-2kx+ 1 k2-2=0.
数，设 (k 2)2 16k n2 k 6 nk 6 n 132 216 48 ， k 6 n k 6 n,

k 6 n 32

k
6n 1
或
k 6 n 16

k

6

n

2
或
k 6 n 32
20.
已知 a2 2004a 1 0 ，则 2a 2

4007a

2004 a2 1

_____
2002
____ （降次）
21.
x2 已知 是方程
x1 4
Leabharlann Baidu
3 1

0 的一个根，则

3

的值为
22. 已知 x2 5x 2000 0 ，则 x 23 x 12 1 的值是
为
。 63
8
8
15. 设ｍ是不小于－1 的实数，使得关于ｘ的方程ｘ2＋2（ｍ－2）ｘ＋ｍ2－3ｍ＋3＝0 有两个不相等的
实数根ｘ1，ｘ2．（1）若ｘ12＋ｘ22＝6，求ｍ的值；（2）求
的最大值．
解：因为方程有两个不相等的实数根，所以 Δ＝4·（ｍ－2）2－4（ｍ2－3ｍ＋3）＝－4ｍ＋4＞0，
1．结合题设知－1≤ｍ＜1． （1）因为ｘ12＋ｘ22＝（ｘ1＋ｘ2）2－2ｘ1ｘ2＝4（ｍ－2）2－2（ｍ2－3ｍ＋3）＝2ｍ2－10ｍ＋10，
2
a) 求证:不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根. b) 设 x1,x2 是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5, 求 k 的值. （ k 14 ）
4. 关于 x 的方程 kx 2 +(k+2)x+ k =0 有两个不相等的实数根， 4
a) 求 k 的取值范围； k＞-1 ,且 k≠0 b) 是否存在实数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在求出 k 的值；不存在说明理由。
2
二、韦达定理的应用 6. 已知、 是关于 x 的一元二次方程 x2 (2m 3)x m2 0 的两个不相等的实数根，且满足
1 1 1，则 m 的值是 3
7. 已知方程 x2 2k 1x k 2 2 0 的两实根的平方和等于 11，k 的取值是 1
x=1） 44. 已知 a，b 是方程 x2-4x+m=0 的两根，b,c 是方程 x2-8x+5m=0 的两根，则 m= 0 或 3
7
六、一元二次方程根的分布 45. 求 k 为何值时，一元二次方程 x 2 (2k 3)x 2k 4 0 ，
（1） 有两个异号根，且正根的绝对值较大； （2） 一根比 3 大，另一根比 3 小。
39.
（k=6,）
（k=-5/4,）
五、方程“公共根”的问题，思路：两方程相减，找出公共根
40. 方程 x2+ax+1=0 和 x2－x－a=0 有一个公共根，则 a 的值是
2
41. 若两个方程 x 2 ax b 0 和 x 2 bx a 0 只有一个公共根，则（ D ）
A. a b B. a b 0 C. a b 1 D. a b 1
3
2ｍ2－10ｍ＋10＝6 2）
1≤ｍ＜1，故ｍ＝
．
＝2（ｍ2－3ｍ＋1）． 2（ｍ2－3ｍ＋1）＝2（ｍ－3／2）2－5／2，－1≤ｍ＜1．因为ｙ在－1≤ｍ＜1 上是递
减的，所以当ｍ＝－1 时，ｙ的最大值为 10．故
的最大值为 10．
4
三、由方程求代数式的值-----思路1：降次；思路2：构造新方程后用韦达定理。
8. 关于 x 的方程 2x2-2x+3m-1=0 的两实根为 x1、x2，且 x1x2>x1+x2-4，求 m 的范围。-5/3＜m≤1/2
降次 9. 设 a、b 是方程 x2+x-2011=0 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为
2010
（降次）
10. 已知α、β是方程 x2 2x 1 0 的两根，则 3 5 10 的值为 -2
32. 求所有有理数 q，使得方程 qx2 q 1x q 1 0 的所有根都是整数。（-1/7 或 1）
33. 若方程 ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0 至少有一个整数解，求正整数 a 的值。（a=1，,3,6，10）
34. 已知方程 a2x2 3a2 8a x 2a2 13a 15 0 （其中 a 是非负整数），至少有一个整数根，那么
（降次）
11. 已知是 、 方程 x2 x 1 0 的两个实根，则 4 3 __ _ 5 _ ___ .（降次）
12. 已知关于 x 的方程 ax2 bx c 0 的两根分别为 3 和 1，则方程 bx2 cx a 0 的两根为 1 或 1/2
13. 已知 m 、 n 是有理数，方程 x 2 mx n 0 有一个根是 5 2 ，则 m n 的值为___3____ 14. 设 a，b 是整数，方程 x2 ax b 0 有一个实数根是 7 4 3 ，则a b ___ 3 ___ .
2 2
6
四、方程“整数根”、“有理根”的问题，思路1：韦达定理，思路2：换主元；思路3： 用因式分解求出 x。
30. 已知关于ｘ的方程（ａ－1）ｘ2＋2ｘ－ａ－1＝0 的根都是整数，那么符合条件的整数ａ有_5__个． 31. 试确定一切有理数 r，使得关于 x 的方程 rx2+(r+2)x+r-1=0 有且只有整数根。 （ 1）
6
的三条边的长，则 m 的值是____4____，此时这个三角形是 等边 三角形。
38. 边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程 x2 (k 2)x 4k 0 的两根，求 k 的值
并确定直角三角形三边之长．
解：设直角边为 a, b ，（ a b ）则 a b k 2, ab 4k ，因方程的根为整数，故其判别式为完全平方
（k=-2 不符合要求，故 k 不存在）
5. 已知四边形 ABCD 中，AB ∥ CD ，且 AB 、CD 的长是关于 x 的方程 x 2 2mx (m 1 )2 7 0 24
的两个根。
⑴当 m =2 和 m 2 时，四边形 ABCD 分别是哪种四边形？并说明理由。（平行四边形，梯形） ⑵若 M 、 N 分别是 AD 、 BC 的中点，线段 MN 分别交 AC 、 BD 于点 P 、 Q , PQ 1,且 AB CD ,求 AB 、 CD 的长。（AB=2,CD=4,m=3）