运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解第(5-6)章【圣才出品】

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运筹学习题集(第五章)

判断题判断正误，如果错误请更正第五章运输与指派问题1.运输问题中用位势法求得的检验数不唯一。

2.产地数为3，销地数围的平衡运输中，变量组｛X11，X13，X22，X33，X34｝可作为一组基变量。

3.不平衡运输问题不一定有最优解。

4.m+n-1个变量构成基变量组的充要条件是它们不包含闭合回路。

5.运输问题中的位势就是其对偶变量。

6.含有孤立点的变量组不包含有闭回路。

7.不包含任何闭回路的变量组必有孤立点。

8.产地个数为m销地个数为 n的平衡运输问题的对偶问题有m+n个约束。

9.运输问题的检验数就是对偶问题的松弛变量的值。

10.产地个数为m销地个数为 n的平衡运输问题的系数矩阵为A，则有r(A)〈=m+n-1。

11.用一个常数k加到运价C的某列的所有元素上，则最优解不变。

12.令虚设的产地或销地对应的运价为一任意大于0的常数C（C>0），则最优解不变。

13.若运输问题中的产量或销量为整数则其最优解也一定为整数。

14.运输问题中的单位运价表的每一行都分别乘以一个非0常数，则最优解不变。

15.按最小元素法求得运输问题的初始方案，从任一非基格出发都存在唯一一个闭回路。

16.在指派问题的效率表的某行乘以一个大于零的数最优解不变。

选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。

第五章运输与指派问题1.下列变量组是一个闭回路的有A{x21,x11,x12,x32,x33,x23} B{x11,x12,x23,x34,x41,x13} C {x21,x13,x34,x41,x12} D{x12,x32,x33,x23,x21,x11} D{x12,x22,x32,x33,x23,x21}2.具有M个产地N个销地的平衡运输问题模型具有特征A有MN个变量M+N个约束B有M+N个变量MN个约束C 有MN个变量M+N-1个约束D 有M+N-1个基变量MN-M-N+1个非基变量E 系数矩阵的秩等于M+N-13.下列说法正确的有A 运输问题的运价表第r行的每个cij 同时加上一个非0常数k，其最优调运方案不变。

《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(单目标决策)

（4）最小机会损失准则：
机会损失矩阵：每一列的值为列中最大的数分别减去其他的数（自己则变为 0，其他的
值全大二等二 0），即
。先求对应的机会损失值，再从中取 min。
（5）折衷主义决策准则
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其中（
）为乐观系数，，分别表示第个策略可能得到的最大收
2．构造人们决策行为的模型的斱法（1）面向决策结果的斱法：若决策者能正确地预见到决策结果，其核心是决策的结果和正确的预测。通常的单目标和多目标决策是属这类型的。（2）面向决策过程的斱法：若决策者了解了决策过程，掌握了过程和能控制过程，他就能正确地预见决策的结果。
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3．决策问题的要素构成（1）决策者，他的仸务是迚行决策。决策者可以是个人、委员会或某个组织。一般指领导者或领导集体。（2）可供选择的斱案（替代斱案）、行劢或策略。参谋人员的仸务是为决策者提供各种可行斱案。（3）准则是衡量选择斱案，包括目的、目标、属性、正确性的标准，在决策时有单一准则和多准则。（4）亊件是指丌为决策者所控制的客观存在的将发生的状态。（5）每一亊件的发生将会产生某种结果，如获得收益或损失。（6）决策者的价值观，如决策者对货币额或丌同风险程度的主观价值观念。
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第 15 章单目标决策
15.1 复习笔记
1．决策的分类为了达到预期的目标，问题有几个决策斱案可供选择，决策是从中选择最满意的一个斱案。（1）性质的重要性分类：可将决策分为战略决策、策略决策和执行决策，或叫战略计划、管理控制和运行控制。（2）按决策的结构分类：分为程序决策和非程序决策。（3）按定量和定性分类：分为定量决策和定性决策，描述决策对象的指标都可以量化时可用定量决策，否则只能用定性决策。总的发展趋势是尽可能地把决策问题量化。（4）按决策环境分类：可将决策问题分为确定型的、风险型的和丌确定型的三种。（5）按决策过程的连续性分类：可分为单项决策和序贯决策。

西交《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分

《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分一．图的基本概念定义一个图G 是指一个二元组(V(G),E(G)).即图是由点及点之间的联线所组成。

其中: 1）图中的点称为图的顶点(vertex).记为：v2）图中的连线称为图的边(edge).记为：,i j e v v ⎡⎤=⎣⎦.,i j v v 是边 e 的端点。

3）图中带箭头的连线称为图的弧(arc).记为：(),i j a v v =.,i j v v 是弧 a 的端点。

—— 要研究某些对象间的二元关系时.就可以借助于图进行研究分类▪ 无向图：点集V 和边集E 构成的图称为无向图(undirected graph).记为： G(V.E)—— 若这种二元关系是对称的.则可以用无向图进行研究▪ 有向图：点集V 和弧集A 构成的图称为有向图(directed graph) .记为：D(V.A)—— 若这种二元关系是非对称的.则可以用有向图进行研究▪ 有限图: 若一个图的顶点集和边集都是有限集.则称为有限图.只有一个顶点的图称为平凡图.其他的所有图都称为非平凡图.图的特点：1 图反映对象之间关系的一种工具.与几何图形不同。

2 图中任何两条边只可能在顶点交叉.在别的地方是立体交叉.不是图的顶点。

3 图的连线不用按比例画.线段不代表真正的长度.点和线的位置有任意性。

4 图的表示不唯一。

如：以下两个图都可以描述“七桥问题”。

点(vertex)的概念1 端点：若e =[u.v] ∈E.则称u.v 是 e 的端点。

2 点的次：以点 v 为端点的边的个数称为点 v 的次.记为：()d v 。

在无向图G 中.与顶点v 关联的边的数目(环算两次),称为顶点v 的度或次数.记为()d v 或 dG(v).在有向图中.从顶点v 引出的边的数目称为顶点v 的出度.记为d+(v).从顶点v 引入的边的数目称为v 的入度.记为d -(v). 称()d v = d+(v)+d -(v)为顶点v 的度或次数． 3 奇点：次为奇数的点。

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解第(13-14)章【圣才出品】

dFT dt
et ， t 0
（3）爱尔朗分布（Erlang）
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设1, 2 , , k 是 k 个独立的随机变量，服从相同参数 k 的负指数分布，那么，
T 1 2 k 的概率密度是：
fk
(t)
图 13-1 这种系统状态（n）随时间变化的过程就是生灭过程（Birth and Death Process），它可以描述细菌的生灭过程。
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6．几个重要的参数
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：单位时间平均到达的顾客数；
e ：系统的有效达到率；：单位时间能被服务完成的顾客数；
那么一顾客走完 k 个服务台总共所需要服务时间就服从上述的 k 阶 Erlang 分布。
5．生灭过程（稳态）
稳态时， Pn (t) 与时间无关，可以写成 Pn ，它对时间的导数为 0，所以
PnP01
P1 0 Pn1 (
) Pn
0
上式即为关于 Pn 的差分方程。由此可得该排队系统的状态转移图如图 13-1 所示：
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①服务机构分为单服务台和多服务台。不同的输入形式与排队规则和服务机构联合后形
成不同的排队服务机构。
②服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。
③服务时间分为确定型（定常时间）和随机型。
④服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
1
)
,
1 N
, 1
1
1 ，
e (1 PN ) (1 P0)
： / 。
7．排队论公式整理
（1）无敌的 Little 公式

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解第(7-8)章【圣才出品】

1, 2,…, m j 1, 2,…,l
其中自变量 X (x1 x2 xn )T 是 n 维欧氏空间 En 中的向量，f X ，hi ( X ) ，g j ( X )
中有非线性函数。
注意：非线性规划的最优解（如果存在最优解）可能在其可行域中的任意一点达到。
2．极值问题
极值存在的条件
定理 1（必要条件）
f (X (1) (1 ) X (2) ) f ( X (1) ) (1 ) f ( X (2) ) 则称 f ( X ) 为定义在 R 上的凸函数。
若 (0, 1) 和 X (1) X (2) R ，恒有
f (X (1) (1 ) X (2) ) f ( X (1) ) (1 ) f ( X (2) ) 则称 f ( X ) 为定义在 R 上的严格凸函数。
x n
满足 f ( X *) 0 的点称为平稳点或驻点，在区域内部，极值点必为平稳点，但平稳点
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不一定是极值点。
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定理 2（充分条件）
设 R 为 n 维欧氏空间 En 上的某一开集， f ( X ) 在 R 上有二阶连续偏导数， X * R ，若 f ( X *) 0 ，且 f ( X ) 在 X * 处的海塞（Hesse）矩阵 H (X* ) 正定，则 X * 为 f ( X ) 的严格局部极小值点。
S X X R, f X 是凸集，其中， S 称为水平集。
（3）函数凸性的判定
一阶条件：设 R 为 n 维欧氏空间 En 上的开凸集， f ( X ) 在 R 上有一阶连续偏导数，则 f ( X ) 为 R 上的凸函数的充要条件是，对任意两点 X (1) , X (2) R, X (1) X (2) ，恒有 f ( X (2) ) f ( X (1) ) f ( X (1) )T ( X (2) X (1) ) 。

运筹学课后习题答案

第一章线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解第(11-12)章【圣才出品】

（2）T 无圈，且 m=n-1。（3）T 连通，且 m=n-1。（4）T 无圈，但每加一条新边即得惟一一个圈。（5）T 连通，但任舍去一条边就不连通。（6）T 中任意两个顶点之间有惟一链相连。
3．图的最小支撑树
图的支撑树：设图 T=[V， E' ]是图 G=（V，E）的支撑子图，如果 T 是一个树，则称 T
为悬挂点，悬挂点的关联边称为悬挂边，次为零的点称为孤立点。
定理 1：图 G=（V，E）中，所有点的次之和为边数的两倍，即 d (vi ) 2 e j 2q 。
i
j
奇点与偶点：次为奇数的点称为奇点，否则称为偶点。
定理 2研考证电子书、题库视频学习平台
2．树及其性质无圈的连通图称为树，树一般用 T 表示。
定理 3：任给一个树 T=（V，E），若 p T ≥2，则 T 中至少有两个悬挂点。
定理 4：图 T=（V，E），p=n，q=m，则下列关于树的说法是等价的。（1）T 是一个树。
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初始（ i 0 ）令 S0 vs ，P vs 0 ， vs 0 ，对每一个 v vs ，令 T v ， v M ，令
k s。
①如果 Si V ，算法终止，这时，对每个 v Si ， d vs , v P v ；否则转入②。
②考查每个使 vk , v j A 且 v j Si 的点 v j 。如果T v j P vk kj ，则把T v j 修改为 P vk kj ，把 v j 修改为 k ；否
连通图：图中任意两点间至少有一条链相连。
子图：给定图 G=（ V ， E ），若图 G' =（ V' ， E' ），其中 V' V ， E' E ，则称 G' 是 G 的子图。

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运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性规划与目标规划)【圣才出品】

3．线性规划问题解的概念
（1）可行解：满足约束条件（2-4）式、（2-5）式的解 X x1, x2 ,…,xn T ，称为线
性规划问题的可行解。（2）最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
（3）基：若 A 是约束方程组的 m n （m＜n）维系数矩阵，其秩为 m 。B 是矩阵 A 中 m m 阶非奇异子矩阵（|B|≠0），则称 B 是线性规划问题的一个基。
定理 4 若线性规划问题在至少两个顶点上到达最优，则该问题有无穷多最优解，最优解即是这些顶点的凸组合。
5．线性规划问题的求解方法（1）图解法图解法是一种使用作图的方法直接在图上找到线性规划问题的最优解的方法，简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理，仅适用于决策变量为二维的情况。图解法的求解步骤为： ①建立平面直角坐标系； ②根据约束条件画出约束直线，找出可行域； ③图示出目标函数，作出一条直线； ④将目标函数直线沿其法线方向在可行域中平移至边界，直至找到使目标函数达到最优的边界点为止，该边界点即为线性规划的最优解。注意： ①有时目标函数可能在多个顶点处达到最大值，此时在这些顶点的凸组合处也达到最大值，称这种线性规划问题有无限多个最优解。 ②若可行域无界，则可能无最优解，也可能有最优解，但若有，必在顶点处取得。 ③若可行域为空集，即无可行解，也不存在最优解。（2）单纯形法单纯形法求解线性规划的思路：一般线性规划问题线性方程组的变量数大于方程个数，
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2．线性规划问题的标准型及标准化（1）线性规划的标准型
max z c1x1 c2x2 cnxn
或
n
max z cj xj j 1
（2-5）
2 / 40
（2-4）
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运筹学习题集第五章

判断题判断正误,如果错误请更正第五章运输与指派问题1.运输问题中用位势法求得的检验数不唯一。

2.产地数为3,销地数围的平衡运输中,变量组｛X11,X13,X22,X33,X34｝可作为一组基变量。

3.不平衡运输问题不一定有最优解。

4.m+n-1个变量构成基变量组的充要条件就是它们不包含闭合回路。

5.运输问题中的位势就就是其对偶变量。

6.含有孤立点的变量组不包含有闭回路。

7.不包含任何闭回路的变量组必有孤立点。

8.产地个数为m销地个数为 n的平衡运输问题的对偶问题有m+n个约束。

9.运输问题的检验数就就是对偶问题的松弛变量的值。

10.产地个数为m销地个数为 n的平衡运输问题的系数矩阵为A,则有r(A)〈=m+n-1。

11.用一个常数k加到运价C的某列的所有元素上,则最优解不变。

12.令虚设的产地或销地对应的运价为一任意大于0的常数C(C>0),则最优解不变。

13.若运输问题中的产量或销量为整数则其最优解也一定为整数。

14.运输问题中的单位运价表的每一行都分别乘以一个非0常数,则最优解不变。

15.按最小元素法求得运输问题的初始方案,从任一非基格出发都存在唯一一个闭回路。

16.在指派问题的效率表的某行乘以一个大于零的数最优解不变。

选择题在下列各题中,从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。

第五章运输与指派问题1.下列变量组就是一个闭回路的有A{x21,x11,x12,x32,x33,x23} B{x11,x12,x23,x34,x41,x13} C {x21,x13,x34,x41,x12} D{x12,x32,x33,x23,x21,x11} D{x12,x22,x32,x33,x23,x21}2.具有M个产地N个销地的平衡运输问题模型具有特征A有MN个变量M+N个约束B有M+N个变量MN个约束C 有MN个变量M+N-1个约束D 有M+N-1个基变量MN-M-N+1个非基变量E 系数矩阵的秩等于M+N-13.下列说法正确的有A 运输问题的运价表第r行的每个cij 同时加上一个非0常数k,其最优调运方案不变。

《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对偶理论与灵敏度分析)

影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应买迚该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于该企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。
要记住：市场价格低于影子价格，可以买迚（然后用灵敏度分析迚行计算），若市场价格高于影子价格，丌买迚。
,
c2
,
, cn
amn
y1, y2,…, ym 0
线性觃划的原问题不对偶问题的关系，其变换形式可归纳如下：
表 2-1
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记忆方法：极大化转化为极小化，变丌反约反；极小化转化为极大化，变反约丌反。注：变指变量，约指约束条件。反指大于变小于，小于变大于。丌反指大于变大于，小于变小于。注意等号总是变无约束，无约束总是变等号。
4．对偶问题的基本性质（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。
（2）弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。则存在 C X Yb 。
注意，由弱对偶性可以推出： ①max 问题仸一可行解的目标值为对偶 min 问题目标值的一个下界； ②min 问题仸一可行解的目标值为对偶 max 问题目标值的一个上界。（3）无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。注：这个问题的性质丌存在逆。当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原问题）戒具有无界解戒无可行解。
的矩阵表示为：
目标函数： max z CB X B CN X N CB X B CN1X N1 CS 2 XS 2 约束条件： BX B NX N BX B N1X N1 S2 XS2 b 非负条件： X B , X N 0

(NEW)运筹学教材编写组《运筹学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解

线性规划问题的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量
表示某一方案，这组
决策变量的某一确定值就代表一个具体方案。一般这些变量的取值是非
负且连续的。
（2）存在有关的数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值量等，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 考研真题详解
本章只是对本课程的一个简单介绍，不是考试重点，所以基本上没有学校的考研试题涉及到本章内容，因此，读者可以简单了解，不必作为复习重点，本部分也就没有可选用的考研真题。Leabharlann 第2章线性规划与目标规划
2.1 复习笔记
1．线性规划模型的概念及其一般形式
目录
第1章运筹学概论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解
第2章线性规划与目标规划 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解
第3章对偶理论与灵敏度分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解
第4章运输问题 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
2．线性规划问题的标准型及标准化（1）线性规划的标准型
或
（2-4）（2-5）线性规划的标准型要求：目标函数是Max型；约束条件是等式约束；决策变量非负。（2）线性规划的标准化方法
① 若要求目标函数实现最小化，即
，则只需将目标函数最
小化变换为求目标函数最大化，即令，于是得到
第13章排队论
13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 考研真题详解第14章存储论 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 考研真题详解第15章对策论基础 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 考研真题详解第16章单目标决策 16.1 复习笔记 16.2 课后习题详解 16.3 考研真题详解第17章多目标决策 17.1 复习笔记

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(启发式方法)【圣才出品】

第18章启发式方法18.1 复习笔记1．基本概念良好结构问题：有些实际问题的结构比较清晰，各元素之间的关系明确，边界清楚，容易为人们所认识，能够通过建模和使用一定的算法求得解决，这类问题称为良好结构问题。

良好结构问题的特征：（1）能建立起正确反映该问题性质的一种“可接受”模型，与问题有关的主要信息可纳入模型之中；（2）模型所需要的数据能够获得；（3）模型可解，能拟订出求解的程序性步骤和求解方法，而且，得到的解能体现解决问题的可行方案；（4）可拟订出明确的准则，用以判定解的可行性和最优性；（5）求解所需的计算量不太大，所需的费用不太多。

启发式方法：对于非良好结构问题，为了得到近似可用的解，分析人员必须运用自己的感知和洞察力，从与其有关而较基本的模型及算法中寻求其间的联系，从中得到启发，去发现适于解决该问题的思路和途径，这种方法称为启发式方法，由此建立的算法称为启发式算法。

启发式方法具有下述优点：（1）计算步骤简单，要求的理论基础不高，可由未经高级训练的人员实现；（2）比优化方法常可减少大量的计算工作量，从而显著节约开支和时间；（3）易于将定量分析与定性分析相结合。

启发式策略：（1）逐步构解策略。

一个完整的解通常是由若干个分量组成的。

当用该策略时，应建立某种规则，按一定次序每次确定解的一个分量，直至得到包含所有解分量的一个完整的解为止。

（2）分解合成策略。

为求解一个复杂的大问题，可首先将其分解为若干个小的子问题，再选用合适的方法（包括启发式方法、优化方法、模拟方法等）按一定顺序求解每个子问题，根据子问题之间及其与总问题的关系（例如递阶关系、包含（嵌套）关系、平行关系等），将子问题的解作为下一阶子问题的输入，或在相容原则下将子问题的解进行综合，经合成最后得到总问题合乎要求的解。

（3）改进策略。

运用这一策略时，首先从一个初始解（初始解不必一定是可行解）出发，然后对解的质量（包括它产生的目标函数值、可行性及可接受性等）进行评价，并采用某种启发式方法设计改进规则，对解加以改进，反复进行如上的评价和改进，直至得到满意的解为止。

运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(整数规划)【圣才出品】

若有 n 个决策变量，则可以产生 2n 个可能的变量组合，故完全枚举是不可能的，因此
常设计一些方法，只检查变量取值的组合的一部分，这样的方法称为隐枚举法。
隐枚举法的基本思想是：在 2n 个可能的变量组合中，往往只有一部分是可行解。只要
发现某个变量组合不满足其中的某一约束条件，就不必要再去检验其他的约束条件是否可行。若已发现一个可行解，则根据它的目标函数值可以产生一个过滤条件，对于目标函数值比它差的变量组合就不必再去检验它的可行性（类似分支定界法中的定界。实际上，隐枚举法是一种特殊的分支定界法）。在以后的求解过程中，每当发现比原来更好的可行解，则依次替代原来的过滤条件（可减少运算次数，较快地发现最优解）。
3．割平面法基本思想：先不考虑变量的取整数约束，求解相应的线性规划，然后不断增加线性约束条件（即割平面），将原可行域割掉不含整数可行解的一部分，最终得到一个具有整数坐标顶点的可行域，而该顶点恰好是原整数规划问题的最优解。割平面法的关键是切割方程的求解。切割方程的基本步骤：
（1）令 xi 是相应线性规划问题最优解中为分数值的一个基变量，由最终单纯形表得到
2．分支定界法分支定界法的依据：整数规划的最优解不会优于相应的线性规划问题的最优解。分支定界法步骤：（1）求解相应的线性规划问题的最优解和最优值。 ①若没有可行解，计算停止； ②若有满足整数条件的最优解，则已得到整数规划问题的最优解，计算停止；
③若有最优解，但不满足整数条件，记此最优值为原整数规划问题 Z* 的上界，然后，
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第 6 章整数规划
6.1 复习笔记
1．整数规划的分类（1）纯整数规划：要求所有的变量均为（非负）整数；（2）混合整数规划：只有部分变量限制为整数；（3）0-1 规划：变量的取值仅限于 0 或 1。注意：由于整数规划对变量的整数限制，一般情况下，整数规划的最优解不会优于相应线性规划的最优解。

《运筹学》第五章习题及答案

《运筹学》第五章习题1．思考题（1）试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。

（2）动态规划的阶段如何划分？（3）试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。

（4）试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界函数等概念。

（5）试述建立动态规划模型的基本方法。

（6）试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。

2．判断下列说法是否正确（1）动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。

（2）动态规划只是用来解决和时间有关的问题。

（3）对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。

（4）在用动态规划的解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。

（5）在动态规划模型中，问题的阶段等于问题的子问题的数目。

（6）动态规划计算中的“维数障碍”，主要是由于问题中阶段数的急剧增加而引起的。

3．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题4．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题5．计算从A 到B、C、D 的最短路线。

已知各线段的长度如下图所示。

6．设某油田要向一炼油厂用管道供应油料，管道铺设途中要经过八个城镇，各城镇间的路程如下图所示，选择怎样的路线铺设，才使总路程最短？7．用动态规划求解下列各题（1）．222211295max x x x x z -+-=；⎩⎨⎧≥≤+0,52121x x x x ；（2）．33221max x x x z =⎩⎨⎧≥≤++0,,6321321x x x x x x ；8．某人外出旅游，需将3种物品装入背包，但背包重量有限制，总重量不超过10千克。

物品重量及其价值等数据见下表。

试问每种物品装多少件，使整个背包的价值最大？913 千克。

物品重量及其价值的关系如表所示。

试问如何装这些物品，使整个背包价值最大？10 量和相应单位价值如下表所示，应如何装载可使总价值最大？303011 底交货量，该厂的生产能力为每月600件，该厂仓库的存货能力为300件，又每生产100件产品的费用为1000元。

《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~7章【圣才出品】

①要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，返时 min z f (d d ) ； ②要求丌超过目标值，即正偏差变量要尽可能地小,返时 min z f (d ) ； ③要求超过目标值，但必须是负偏差变量要尽可能地小，返时 min z f (d ) 。
2．目标觃划一般数学模型
L
（2）因非基变量的检验数中含有丌同等级的优先因子，即因 pk pk1, k 1, 2,…, K ；从每个检验数的整体来看：检验数的正、负，首先决定亍 P1 的系数 a1 j 的正、负。若 a1 j 0 ，返时此检验数的正、负就决定亍 P2 的系数 a2 j 的正、负，下面可依此类推。
解目标觃划问题的单纯形法的计算步骤：（1）建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成 K 行，令 k=1。（2）检查该行中是否存在负数，且对应的前 k-1 行的系数是 0。若存在负数，则取其中最小者对应的变量为换入变量，转（3）。若无负数，则转（5）。（3）按最小比值觃则确定换出变量，当存在两个和以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。（4）按单纯形法迕行基变换运算，建立新的计算表，迒回（2）。（5）当 k=K 时，计算结束。表中的解，即为满意解。否则置 k=k+1，迒回到（2）。
5．目标觃划的灵敏度分析目标觃划的灵敏度分析方法不线性觃划相似，但目标觃划的灵敏度分析丌仅考虑各项系数的变化，迓考虑优先因子的变化。
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4.2 课后习题详解
4.1 若用以下表达式作为目标觃划的目标函数，试述其逡辑是否正确？
（4）目标觃划的目标函数目标觃划的目标函数（准则函数）是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子及权系数而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。目标觃划的目标函数的基本形式有三种：

运筹学第五章课后习题答案

运筹学第五章课后习题答案运筹学第五章课后习题答案运筹学是一门研究如何进行有效决策和优化问题的学科。

在运筹学的学习过程中，课后习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以帮助我们巩固所学的知识，并且加深对运筹学理论的理解。

本文将给出运筹学第五章的课后习题答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 线性规划问题是运筹学中最基本的问题之一。

以下是一道线性规划问题的习题：Maximize 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 102x + y ≤ 15x, y ≥ 0解答：首先，我们需要将目标函数和约束条件转化为标准形式。

将目标函数改写为最小化形式，即 Minimize -2x - 3y。

然后，我们引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束，得到以下形式的线性规划问题：Minimize -2x - 3ySubject to:x + y + s1 = 102x + y + s2 = 15x, y, s1, s2 ≥ 0接下来，我们可以使用单纯形法或者图解法来求解这个线性规划问题。

通过计算或者画图，我们可以得到最优解为 x = 5, y = 5，目标函数的最大值为 25。

2. 整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中变量的取值限制为整数。

以下是一道整数规划问题的习题：Maximize 3x + 2ySubject to:x + y ≤ 5x, y ≥ 0x, y 是整数解答：这是一个整数规划问题，我们需要找到满足约束条件的整数解，并求解出目标函数的最大值。

通过穷举法，我们可以得到以下整数解：当 x = 2, y = 3 时，目标函数的值为 13；当 x = 3, y = 2 时，目标函数的值为 12；当 x = 4, y = 1 时，目标函数的值为 11；当 x = 5, y = 0 时，目标函数的值为 10。

综上所述，目标函数的最大值为 13，对应的整数解为 x = 2, y = 3。

3. 0-1整数规划是整数规划的一种特殊形式，其中变量的取值限制为0或1。

《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(运输问题)

第3章运输问题3.1 复习笔记1．运输问题的数学模型运输问题：已知有m 个生产地点,1,2,,i A i m =…，可供应某种物资，其供应量（产量）分别为i a ，1,2,,i m =…，有n 个销地j B ，1,2,,j n =…，其需要量分别为j b ，1,2,,j n =…，从i A 到j B 运输单位物资的运价（单价）为ij c 。

如何安排运输，能使得总运输成本最小？（1）产销平衡运输问题的数学模型1111min ,1,2,,..,1,2,,0m nij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 模型特点：①该模型包含m n ⨯个变量，()m n +个约束方程；②该系数矩阵中对应于变量ij x 的系数向量ij P ，其分量中除第i 个和第m j +个为1外，其余的都为零。

即(01010)T ij i m j P e e +==+…………③对于产销平衡的运输问题，有以下关系式存在：111111n m n n m m j ij ij i j i j j i i b x x a ======⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 所以模型最多只有m+n-1个独立约束方程。

即系数矩阵的秩≤m+n -1。

注意：运输问题的基变量一定是m+n-1个，m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它们不构成闭回路。

闭回路的特点：在运输产销平衡表中，每一条边都是水平或垂直的；每一行或每一列至多只有两个闭回路的顶点。

（2）产销不平衡运输问题的数学模型当产大于销，即11m n i j i j a b ==>∑∑时，运输问题的数学模型可写成：1111min ,1,2,,..,1,2,,0m n ij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 当产小于销，即11m n i j i j a b ==<∑∑时，运输问题的数学模型可写成：11min m n ij ij i j z c x ===∑∑11, (1,2,,), (1,2,,)0nij i j mij j i ij x a i m x b j n x ==⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑……2．表上作业法表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形法。

运筹学习题答案第五章

第五章习题解答
5.11 某城市可划分为11个防火区，已设有4个消防站，见下图所示。
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第五章习题解答
上图中，虚线表示该消防站可以在消防允许时间
内到达该地区进行有效的消防灭火。问能否关闭若干消防站，但仍不影响任何一个防火区的消防救灾工作。 (提示：对每—个消防站建立一个表示是否将关闭的01变量。)
x1, x2 0,且为整数
解：x1 1, x2 3, Z 4
min Z 5x1 x2
3x1 x2 9
(2)
st
x1 x1
x2 5 8x2 8
.
x1, x2 0,且为整数
解：x1 4, x2 1, Z 5
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第五章习题解答
5.12 现有P个约束条件
n
aij xij bi
j 1
i 1,2,, p
需要从中选择q个约束条件，试借助0-1变量列出表达式。
解：设yi是0 1变量,i 1,2,, p
n
yi ( aij xij bi ) 0 j 1
i 1,2,, p
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第五章习题解答
5.1 某地准备投资D元建民用住宅。可以建住宅
的造分地价别点为建有d几j；n幢处，，：最才A多能1，可使A造建2，a造j幢…的。，住问A宅n应。总当在数在A最i哪处多几每，处幢试建住建住宅立宅的问，题的数学模型。
解：设xi表示在Ai处所建住宅的数量, i 1,2,, n。

运筹学教材习题答案详解

X(2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料650根
显然用料最少的方案最优。
1.4A、B两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单位产品A需要前道工序1小时和后道工序2小时，每一个单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时．可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时．
3
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
《运筹学》
第1章线性规划
第2章线性规划的对偶理论
第3章整数规划
第4章目标规划
第5章运输与指派问题
第6章网络模型
第7章网络计划
第8章动态规划
第9章排队论
第10章存储论
第11章决策论
第12章对策论
习题一
1.1讨论下列问题：