沪教版高三数学周末练习4(基础卷第二版)

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沪教版高三数学周末练习1(基础卷第二版)

高三数学周末练习1 姓名1、若集合{}2|1==-M y y x ，{}|1=≤N x x ，则MN = 2、条件:01<-x p x ，条件2:2≥-q x x ，则p 是q 的____________________条件 3、已知集合{}2|210=-+=A x mx x ，若A 中只有一个元素，则m 的取值范围是_________4、不等式897+<x 和不等式22+>ax bx 的解集相同，则实数+a b 的值为___________5、已知0,0>>a b ，且满足24,+=a b 则ab 有最大值是_________________.6、不等式22711+>++x x x 的解集为_______________________. 7、已知,0>x y ，且211+=x y ，那么+x y 有最小值__________ 8、若对任意正实数x ，不等式21<+ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是9、已知集合{ ||1|, 0}, { ||3|4}=-≤>=->A x x a a B x x }，且=∅AB ，则a 的取值范围是______________ 10、若(1,)∈+∞x ,则函数2221-+=-x x y x 的最小值是__________. 11、已知不等式()()21110-+-+>a x a x 的解集为R ,则实数a 的取值范围是__________ 12、条件“1<x ”是条件“|1|2+<x ”的--------------------- ( ) （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件13、若2=x 是方程222160++-=x ax b 的解，则22+a b 的最小值是-----（）（A ）16 （B ）8 （C ）4 （D ）214、解不等式组|2|1132-≥⎧⎪⎨≥⎪-⎩x x15、某工厂建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/ m 2，房屋侧面的造价为800元/ m 2，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用，试求建造此小房的最低总造价．16、记函数()=f x 的定义域为A ，不等式()()()1201---<<x a x a a 的解集为B .（1）求A ；（2）若⊆B A ，求实数a 的取值范围.17、已知集合2{|0}=-+->A x x ax x a ，1{|1}1=≤---B x x a ，∈a R ，（1）求,A B ；（2）是否存在实数a ，使=AB R ？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.。

2024年上海市松江区高三数学4月二模考试卷附答案解析

2024年上海市松江区高三数学4月二模考试卷（满分150分，完卷时间120分钟）2024.4考生注意:1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分.2.答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号.3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．函数lg(2)y x =-的定义域为2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=.3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且(35)0.3P X ≤≤=，则(5)P X >=.4．已知点A 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.5．已知7270127(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，则5a =．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则此圆锥的体积为.（结果中保留π）7．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，则使得n n S a <成立的n 的最大值为.8．已知函数()2log f x x =，若()()()1212f x f x x x =≠，则124x x +的最小值为．9．12,F F 是双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为10．已知正三角形ABC 的边长为2，点D 满足CD mCA nCB =+，且0m >，0n >，21m n +=，则||CD 的取值范围是.11．已知02a <<，函数()1241,22,2x a x a x y a x -⎧-++≤=⎨>⎩，若该函数存在最小值，则实数a 的取值范围是.12．某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1，2，3，…，30，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有种不同的选择方法.二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分.13．已知集合{|04}A x x =≤≤，{|2,Z}B x x n n ==∈，则A B = （）A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{0,1,2}D ．{0,2,4}14．垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精细化管理､保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x =+，则下列说法错误的是（）x2345y22.33.4mA ．变量x 、y 之间呈正相关关系B ．可以预测当8x =时，y 的值为6C ． 3.9m =D ．由表格中数据知样本中心点为()3.5,2.8515．已知某个三角形的三边长为a 、b 及c ，其中a b <.若a ，b 是函数2y ax bx c =-+的两个零点，则a 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15122⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．51,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列且N k ∈，2k ≥，则12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件；②若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=.那么（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，①是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．设2()sinsin(0)222f x x x x ωωωω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a、b 及c ，若a =b ，3()2f A =，求角C ．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)设平面ABE 与直线PC 相交于点F ，求证：//EF CD ；(2)若2AB =，60DAB ∠=︒，PD =，求直线BE 与平面PAD 所成角的大小.19．某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为1p 、2p 、3p ，假定1p 、2p 、3p 互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若13p 4=，223p =，312p =，求该小组比赛胜利的概率；(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X 的分布，并求X 的期望()E X ；(3)已知1231p p p >>>，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出.20．如图，椭圆22:12y x Γ+=的上、下焦点分别为1F 、2F ，过上焦点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆于M 、N两点，动点P 、Q 分别在直线MN 与椭圆Γ上.(1)求线段MN 的长；(2)若线段PQ 的中点在x 轴上，求2F PQ △的面积；(3)是否存在以2F Q 、2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆Γ上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由.21．已知函数ln y x x a =⋅+（a 为常数），记()()y f x x g x ==⋅.(1)若函数()y g x =在1x =处的切线过原点，求实数a 的值；(2)对于正实数t ，求证：()()()ln 2f x f t x f t t a +-≥-+；(3)当1a =时，求证：e ()cos xg x x x +<.1．2+∞（，）【详解】要使函数lg(2)y x =-有意义，则202x x ->⇒>，所以函数lg(2)y x =-的定义域为2+∞（，），故答案为2+∞（，）.2．2i -+##i-2【分析】根据复数的乘法运算求解即可.【详解】由题意知，12z i =+，则i i (12i)2i z ⋅=⋅+=-+，故答案为：2i -+3．0.2##15【分析】根据题意，结合正态分布的对称性，即可求解.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且(35)0.3P X ≤≤=，可得(5)0.5(35)0.50.30.2P X P X >=-≤≤=-=.故答案为：0.2.4．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意可求π3xOA ∠=，5π326ππxOP ∠=+=，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【详解】因为点A 的坐标为12⎛ ⎝⎭，可得π3xOA ∠=，所以5π326ππxOP ∠=+=，可得5πcos6P x ==，5π1sin 62P y ==，所以点P 的坐标为12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.5．21【分析】先将7x 变形为7[1(1)]x +-的形式，再应用二项式定理求解即可.【详解】77[1(1)]x x =+-，由二项式定理得：5567C (1)T x =-，所以5257776C C 2121a ⨯====⨯.故答案为：21.6【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【详解】由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则212ππ2l =，所以2l =，则半圆的弧长为2π，所有圆锥的底面半径为2π2πr =，1r =，所以圆锥的体积为：21π1π33⨯⨯=．．7．5【分析】根据题意，列出方程求得14a =-，得到25n S n n =-且26n a n =-，结合n n S a <，列出不等式，即可求解.【详解】由等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，可得115422522a a ⨯+=+⨯⨯，解得14a =-，所以2(1)4252n n n S n n n -=-+⨯=-，且3(1)226n a n n =-+-⨯=-，因为n n S a <，即2526n n n -<-，整理得27+60n n -<，解得16n <<，因为N n *∈，所以使得n n S a <成立的n 的最大值为5.故答案为：5.8．4【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得121x x ⋅=，利用基本不等式即可求解．【详解】()222log ,01log log ,1x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，若()()()1212f x f x x x =≠，不妨设1201x x <<≤，则2122log log x x -=，所以2122212log log log 0x x x x +=⋅=，即121x x ⋅=，所以1244x x +≥=，当且仅当112x =，22x =时，等号成立．故答案为：4．9【分析】根据双曲线的定义可求得1a =，290ABF ∠=︒，再利用勾股定理可求得122||c F F =，从而可求得双曲线的离心率．【详解】解：22||:||:||3:4:5AB BF AF = ，不妨令||3AB =，2||4BF =，2||5AF =，22222||||||AB BF AF += ，290ABF ∴∠=︒，又由双曲线的定义得：12||||2BF BF a -=，21||||2AF AF a -=，11||345||AF AF ∴+-=-，1||3AF ∴=．12||||3342BF BF a ∴-=+-=，1a ∴=．在Rt △12BF F 中，222221212||||||6452F F BF BF =+=+=，2212||4F F c = ，2452c ∴=，13c ∴=．∴双曲线的离心率13c e a==．故答案为：13．10．()1,2【分析】取AC 的中点E ，由题意可得2CD mCE nCB =+，从而推得,,B D E 三点共线，进而得出CE CD CB <<，即可得出答案.【详解】取AC 的中点E ，则2CA CE =，又2CD mCA nCB mCE nCB =+=+，又因为21m n +=，故,,B D E 三点共线，即点D 在中线BE 上运动，在正三角形ABC 中，BE AC ⊥，又0m >，0n >，则CE CD CB <<，故()1,2CD ∈ .故答案为：()1,211．1{|02a a <≤或1}a =【分析】令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，分类讨论a 的取值范围，判断()g x ，()h x 的单调性，结合()f x 存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．【详解】由题意，令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，当01a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递减，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，因为()f x 存在最小值，故需()2(2)2410g a a =-⨯++≤，解得12a ≤，结合01a <<，此时102a <≤；当12a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递增，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(2,)a +∞，因为()f x 存在最小值，故需()22g a ≤，即(2)2412a a a -⨯++≤，解得34a ≤，这与12a <<矛盾；当1a =时，()5g x x =-+在(],2-∞上单调递减，且在(],2-∞上的值域为[)3,+∞，()2h x =，此时存在最小值2；则实数a 的取值范围为1{|02a a <≤或1}a =．故答案为：1{|02a a <≤或1}a =．12．1540【分析】根据题意，设挑选出的三名学生的学号分别为x ，y ，z ，不妨设x y z <<，结合题意转化为()()()443123x y x z y z +--+--+-=，进而转化为四个正整数的和为23，结合隔板法，即可求解.【详解】设挑选出的三名学生的学号分别为x ，y ，z ，不妨设x y z <<，则有恒等式()()()()3030*x y x z y z +-+-+-=，其中1x ≥，5y x -≥，5z y -≥，300z -≥，即1x ≥，41y x --≥，41z y --≥，311z -≥，故()*式为()()()443123x y x z y z +--+--+-=，上式四个正整数的和为23，相当于23个1分成四组，运用隔板法，在22个空中放3块板，故有322C 1540=种方法．故答案为：1540．13．D【分析】直接根据交集概念求解.【详解】因为集合{|04}A x x =≤≤，{|2,Z}B x x n n ==∈，所以{0,2,4}A B = .故选：D.14．C【分析】利用回归直线方程可判断A 选项；将8x =代入回归直线方程可判断B 选项；计算出样本的中心点坐标，结合平均数公式可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为回归直线方程0.70.4y x =+，故变量x 、y 之间呈正相关关系，A 对；对于B 选项，当8x =时，0.780.46y =⨯+=，B 对；对于CD 选项，23453.54x +++== ，则0.7 3.50.4 2.85y =⨯+=，故样本的中心点的坐标为()3.5,2.85，另一方面，2 2.3 3.4 2.854my +++==，解得 3.7m =，C 错D 对.故选：C.15．B【分析】由a ，b 为函数2()f x ax bx c =-+的两个零点可得()222ax a a b x a b ax bx c -++=-+，即可得21a b a =-、41a c a =-，由两边之和大于第三边，结合题意可得15122a <<.【详解】由,ab 为函数2()f x ax bxc =-+的两个零点，故有()()2a x a xb ax bxc --=-+，即()222ax a a b x a b ax bx c -++=-+恒成立，故()a a b b +=，2a b c =，则21a b a =-，242211a a c a b a a a==⨯=--，由a ，b ，c 为某三角形的三边长，且a b <，故10a ->，且21a a a<-，则112a <<，因为b c a +>必然成立，所以a c b a b c +>⎧⎨+>⎩，即42241111a a a a a a a a a a⎧+>⎪⎪--⎨⎪+>⎪--⎩，解得10201a a ⎧<<⎪⎨⎪<<⎩，所以1122a <<，故a的取值范围是：11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B.16．C【分析】根据题意，由等差数列和等差数列的前n 项和性质分析①的真假，由等比数列和等比数列的前n 项和性质分析②的真假，综合可得答案.【详解】根据题意，对于命题①，{}n a 是公差不为零的等差数列，若120k a a a ⋅= ，则在12,,,k a a a 中，至少有一项为0，假设()0,1m a m k =≤≤，则()()()12121212102m m m m a a S m a ---+==-=，必有12210k S S S -⋅= ，反之，在等差数列{}n a 中，若23n a n =-，则121,1a a =-=，有20S =，则120k S S S ⋅= 成立，但120k a a a ⋅= 不成立，故12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件，故①正确；对于命题②，若{}n a 是等比数列，设其公比为q ，若N k ∈，2k ≥时，有120k S S S ⋅= ，则12,,,k S S S 中，至少有一项为0，则1q ≠，假设0,m S =则有()110,1mm a q S q-==-必有1mq=，又由1q ≠，必有m 为偶数且1q =-，故10k k a a ++=，反之，若10k k a a ++=，则1q =-，必有20S =，则有N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= ，若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=，故②正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点是，熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，从而分析得解.17．(1)π1()sin(62f x x =-+(2)π12【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简()f x ，再根据()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π求出ω即可；（2）由3()2f A =得出2π3A =，过点C 作AB CD ⊥于点D ，得出π6ACD ∠=，分别求出,AD CD 的长，结合AB即可得出BD CD =，进而得出BCD ∠，根据ACB BCD ACD ∠=∠-∠即可求得答案．【详解】（1）1cos 3π1()sin sin()2262x f x x x ωωω-=+=-+，因为函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以π2T =,则2π2πT ω==，解得1ω=，所以π1()sin()62f x x =-+．（2）由3()2f A =得，π13ππ()sin(2π,Z 62262f A A A k k =-+=⇒-=+∈，因为(0,π)A ∈，所以ππ62A -=，即2π3A =，22221cos22b c a A bc +-===-，解得622c =(舍负)，过点C 作AB CD ⊥于点D ，如图所示，由π2π,23D BAC ∠=∠=得，π6ACD ∠=，则1π,cos 2262AD AC CD AC ===⨯=，所以BD AB AD =+=BD CD =，所以π4BCD ∠=，则πππ4612ACB BCD ACD ∠=∠-∠=-=．18．(1)证明见解析(2)π6【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出//AB 平面PCD ，然后根据平面ABE ⋂平面PCD EF =，利用线面平行的性质定理证出//EF CD ；（2）连接BD ，取AD 中点H ，连接BH 、EH ，根据线面垂直的判定定理，证出BH ⊥平面PAD ，可得BEH ∠是直线BE 与平面PAD 的所成角，然后在Rt BEH △中利用锐角三角函数的定义算出答案．【详解】（1）证明：平面ABE 与直线PC 相交于点F ，∴平面ABE ⋂平面PCD EF =，四边形ABCD 是菱形，//AB CD ∴，AB ⊄ 平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，AB ⊂ 平面ABE ，平面ABE ⋂平面PCD EF =，//EF CD ∴；（2）连接BD ，取AD 中点H ，连接BH 、EH ，菱形ABCD 中，AB AD =，60DAB ∠=︒，ABD ∴ 是等边三角形，H 是AD 中点，BH AD ∴⊥，PD ⊥ 平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，BH PD ∴⊥，PD 、AD ⊂平面PAD ，PD AD D = ，BH ∴⊥平面PAD ．BEH ∴∠是直线BE 与平面PAD 的所成角，E 是PD 中点，PD =12DE PD ∴==PD ⊥ 平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PD AD ∴⊥，H 为AD 中点，112DH AD ∴==，Rt DEH △中，3EH =，等边ABD △中，高BH AD ==Rt BEH ∴ 中，tan BH BEH EH ∠=可得π6BEH ∠=，即直线BE 与平面PAD 的所成角等于π6．19．(1)2324(2)121223p p p p --+(3)先派出甲【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；（2）由题意可知，X 的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到X 的分布，再结合期望公式求解；（3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可．【详解】（1）设事件A 表示“该小组比赛胜利”，则()3121112344343224P A =+⨯+⨯⨯=；（2）由题意可知，X 的所有可能取值为1，2，3，则1(1)P X p ==，12(2)(1)P X p p ==-，12(3)(1)(1)P X p p ==--，所以X 的分布为：X123P 1p 12(1)p p -12(1)(1)p p --所以112121212()2(1)3(1)(1)23E X p p p p p p p p p =+-+--=--+；（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为1E ，由（2）可知，1121223E p p p p =--+，若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为2E ，则2323223E p p p p =--+，则1212123232121323(23)(23)22E E p p p p p p p p p p p p p p -=--+---+=--+21313132()2()()(2)p p p p p p p p =---=--，因为1231p p p >>>，所以130p p ->，220p -<，所以120E E -<，即12E E <，所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．20．(1)MN =22(3)2-1-.【分析】（1）根据已知求出点N 的横坐标，根据对称性可得线段MN 的长；；（2）线段PQ 的中点在x 轴上，得Q 点纵坐标，代入椭圆方程得Q 点横坐标，此时1QF x ⊥轴，易得其面积；（3）假设存在2F Q ，2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆C 上，设0(,1)P x ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，由平行四边形对角线互相平分把E 点坐标用,P Q 点坐标表示，然后把,Q E 坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出110,,x y x 的关系，结合起来可得00x =或01x x =-，再分别代入求得1y ，得结论．【详解】（1）由22:12y x Γ+=可得：a =1b =，从而1c ==，所以令1y =，则2112x +=，解得：22x =±，所以MN =（2）线段PQ 的中点在x 轴上，则1P y =，所以1Q y =-，即2QF y ⊥轴，所以令1y =-，则2112x +=，解得：x =所以221211222POF S F Q F F =⋅==（3）22121122222POF S F Q F F =⋅=⨯= ，假设存在以2F Q ，2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆C 上，设0(,1)P x ，11(,)Q x y ，22(,)E x y ，2(0,1)F -，因为四边形2F QEP 是矩形，一定为平行四边形，所以222F P F Q F E +=，则021x x x =+，212y y =+，所以011(,2)E x x y ++，,Q E 都在椭圆上，()()22112211012212y x y x x ⎧+=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，变形得201012220x x x y +++=①，又22QF PF ⊥，所以220F Q F P ⋅=，即110110(,1)(,2)2(1)0x y x y x x +⋅=++=，则11022y x x +=-②，②代入①得20010x x x +=，解得：00x =或01x x =-，若00x =时，11y =-，122x =±，此时P 与1F 重合，Q 点坐标为2(,1)2±-；若01x x =-时，联立()()22112211012212y x y x x ⎧+=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩，消去1x 可得：211420y y ++=，解得：12y =-因为1y ⎡∈⎣，所以12y =-所以存在满足题意的Q点，其纵坐标为2-1-..【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中探索性问题，求解步骤如下：第一步：假设结论存在；第二步：结合已知条件进行推理求解；第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．21．(1)12(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题以，得到()ln ,0a g x x x x=+>，求得2()x a g x x -'=，结合导数的几何意义，求得切线方程，将原点代入切线方程，即可求解；（2）设函数()()(),0h x f x f t x t =+->，求得()lnx h x t x '=-，求得函数()h x 的单调性和最小值为(2t h ，得到()(2t h x h ≥，即可得证；（3）根据题意，得到1e ln cos xx x x x +<-，结合cos [1,1]x ∈-，把转化为1e ln 1x x x x +<-，设()1e ln 1,0x k x x x x x=+-+>，利用导数求得()k x 的单调性和最大值()12e k =-，即可得证.【详解】（1）解：由题意，函数ln y x x a =⋅+，且()()y f x x g x ==⋅，可得()()ln ,0f x a g x x x x x ==+>，则221()a x a g x x x x-'=-=，所以(1)1g a '=-，又因为(1)ln1g a a =+=，所以()g x 在1x =处的切线方程为(1)(1)y a x a =--+，又因为函数()y g x =在1x =处的切线过原点，可得0(1)(01)a a =-⋅-+，解得12a =.（2）解：设函数()()(),0h x f x f t x t =+->，可得()ln ()ln()2h x x x t x t x a =+--+，其中0x t <<，则()ln 1ln()1lnx h x x t x t x'=+---=-，令()0h x '>，可得1x t x >-，即20x t t x ->-，即20x t x t-<-，解得2t x t <<，令()0h x '<，可得01x t x <<-，解得02t x <<，所以()h x 在(,)2t t 上单调递增，在(0,)2t 上单调递减，可得()h x 的最小值为(2t h ，所以()(2t h x h ≥，又由()()()(ln 2ln 22222t t t t h f f t t a f t t a =+-=+=-+，所以()()()ln 2f x f t x f t t a +-≥-+.（3）解：当1a =时，即证1e ln cos xx x x x+<-，由于cos [1,1]x ∈-，所以e e cos 1x x x x x -≥-，只需证1e ln 1xx x x+<-，令()1e ln 1,0xk x x x x x=+-+>，只需证明()0k x <，又由()22211e (1)(1e )(1)x x x x k x x x x x ---'=--=，因为0x >，可得1e 0x -<，令()0k x '>，解得01x <<；令()0k x '<，解得1x >，所以()k x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()k x 在1x =处取得极大值，也时最大值，所以()()max 12e 0k x k ==-<，即()0k x <，即1a =时，不等式e ()cos x g x x x +<恒成立.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

2019-2020年上海进才中学高三下数学周练四

3
3
众图像，且 f x 的解析式型如 ax b (a , b R) ，则有序实数对 a , b x
。
12．已知 f x ax2 bx c 在 0，1 上满足 f x 1 ，则 a b c 的最大值是
公二、选择题（本题满分 20 分，共有 4 题，每小题 5 分）信 13．过点 (1，2) 且与直线 x 1 y 1 有相同方向向量的直线的一般式方程是（
微13．过点 (1，2) 且与直线 x 1 y 1 有相同方向向量的直线的一般式方程是 5 3
（ A） x 1 y 2
（ B ） 5x 3y 11 0
（ D ）。
5 3
（ C ） 3(x 1) 5( y 2) 0
（ D ） 3x 5y 13 0
14．若函数 y x2 4x 2 的定义域为 0 ，m ，值域为 6 ， 2 ，则 m 的取值范围是（ B ）。
：平面 PCD 所成的角为 45 ， PB 与平面 ABD 成 30 角，求：
号（1）求 PB 与 CD 所成的角；
（2）求二面角 C PB D 的余弦值。
众
公
信
微
2
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分如图，已知 A , B , C 是长轴为 4 的椭圆上三点，点 A 是
SHXINGAOKAO 可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由。：
号众公信微
4
上海市进才中学 2019 学年第二学期高三数学周练四
命题教师、审题教师
20200314
一、填空题（本题满分 54 分，共有 14 题，1~6 每小题 4 分，7~12 每小题 5 分）

沪教版高三数学周末练习6(基础卷第二版)

周末作业（数列的极限）姓名________班级________1. 已知{}n a 为等差数列，若16a =，350a a +=，则数列{}n a 的通项公式为2. （1）3321lim _______4n n n n n →∞+-=- （2）1123lim _______23n n n n n -+→∞+=- 3. 求极限：22212lim(...)_______n n n n n→∞+++= 4. 求极限：111lim(++...+)______38n(n+2)n →∞= 5. 已知132lim 323n n n n a +→∞=+，则实数______a =. 6.“lim ,lim n n n n a b →∞→∞极限都存在”是“lim()n n n a b →∞+存在”的______条件 7. 计算：991lim(1)n n→∞+= 8. 已知无穷等比数列{}n a 的各项之和为32，首项112a =，则该数列的公比为______ 9. 设首项为1的无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且234lim(...)3n n a a a a →∞++++=，则其前n 项和______n S =10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213n n S a =-*()n N ∈，则lim n n S →∞= 11. 已知数列{}n a 满足132,n n a a +=+则该数列的前n 项和=_______n S12. 已知无穷等比数列{}n a 的各项和为12，则其首首项1a 的取值范围是（） A. (0,2) B. (0,1)(1,2) C. (0,1] D. (0,1)(1,2]13. 等差数列{}n a 中， 34574,6a a a a +=+=求其通项公式n a 及其前n 项和n S14. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31246,,,S a a a =成等比数列（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设2n a n b =，求该数列{}n b 的前n 项和n T15. 已知数列{}n a 的前n 项和1(1)n n S k a k =+⋅≠常数（1）用n ，k 表示n a（2）若lim 1n n S →∞=，求实数k 的取值范围16. 已知数列{}n a 为等差数列，公差为d ，{}n b 为等比数列，公比为q ，且2,d q ==31015b a +==，且n n n c a b =（1）求数列{}n c 的通项公式（2）设数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S 与lim n n n nb S →∞的值。

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（二模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若():1,2x α∈，[]:0,2x β∈，则α是β的______条件．【正确答案】充分非必要【分析】判断集合()1,2和[]0,2之间的关系，即可判断出答案.【详解】由于()1,2是[]0,2的真子集，故α是β的充分非必要条件，故充分非必要2.若34(sin )(cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为__________．【正确答案】34-【详解】分析：由纯虚数的概念得305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，结合221sin cos θθ+=可得解.详解：若34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，又由221sin cos θθ+=，可得34sin cos 55θθ==-.所以sin 3tan cos 4θθθ==-.故答案为34-.点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性）【正确答案】偶【分析】根据幂函数的概念设出()f x 的解析式()f x x α=，然后代点求出α，再用函数奇偶性定义判断奇偶性．【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以可设()f x x α=，又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，∴()2f x x =，∴()()22()f x x x f x -=-==，∴f（x）为偶函数．故答案为偶．本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若双曲线经过点，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________．【正确答案】2219x y -=【分析】利用渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，代入点即可求解【详解】根据渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，因为双曲线过点，所以9219λ=-=，所以双曲线的方程为2219x y -=故2219x y -=5.已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③M 中有P 的元素；④存在x M ∈，使得x P ∉；其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.【正确答案】①④【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则命题：“非空集合M 的元素不都是集合P 的元素”是真命题，说明集合M 中至少有一个元素不属于集合P ，或者M 中就没有集合P 中的元素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．6.一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，则()E X =______．【正确答案】4.5【分析】求出X 可能取值和概率，再根据()E X 公式进行计算即可.【详解】从中任取3个球，共有()123，，，()124，，，()125，，，()134，，，()135，，，()145，，，()234，，，()235，，，()245，，，()345，，10中情况，所以X 可能取值为345，，，()1310P X ==，()3410==P X ，()635105===P X ，所以()1339345101052E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为.4.57.函数tan(42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan(42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．【正确答案】32【分析】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O ，作出图形，分析可知ABC 为等边三角形，求出AB ，利用圆锥的侧面积公式以及球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O，如下图所示：设圆O 分别切AB 、AC 于点E 、D ，则D 为BC 的中点，由题意可得OD OE r ==，3AD r =，则322AO AD OD r r r OE =-=-==，又因为OE AB ⊥，所以，π6BAD ∠=，同理可得π6CAD ∠=，所以，π3BAC ∠=，又因为AB AC =，故ABC为等边三角形，故π3sin 32AD AB ===，所以，圆锥的侧面积为2ππ6πAB BD r ⨯⨯=⨯=，因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为226π34π2r r =.故答案为.329.已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为110和910，供应商A 提供的该部件的良品率为910，供应商B 提供的该部件的良品率为710．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B 的概率为______（用分数作答）【正确答案】2728【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.【详解】设“某件部件不是良品”为事件A ，“这个部件来自供应商B ”为事件B ，()11932810101010100P A =⨯+⨯= ，()93271010100P AB =⨯=，()()()2728P AB P B A P A ∴==.故272810.已知()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =，x ∈R 的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移π02ϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值是______．【正确答案】π8##1π8【分析】由周期求出ω，即可求出()f x 的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到ϕ的值.【详解】 ()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =的最小正周期为2ππT ω==，2ω∴=，π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，可得πsin 224y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，根据所得图像关于y 轴对称，可得ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈，解得ππ28k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，则令0k =，可得ϕ的值为π8．故π8．11.如图，椭圆的中心在原点，长轴1AA 在x 轴上．以A 、1A 为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、1D 、1C 四点，且112CD AA =．椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设AEECλ=，当2334λ≤≤时，双曲线的离心率的取值范围为______．e ≤≤【分析】由题意设()()1,0,,0A c A c -，则可设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据向量的共线求得E 点坐标，代入双曲线的方程22221x y a b-=，结合离心率化简可得2221e e λλ+=-，求出λ的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.【详解】设()()1,0,,0A c A c -，则设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(其中c 为双曲线的半焦距，h 为C .D 到x 轴的距离)，AE EC λ= ，则AE EC λ∴= ，即(,)()2,E E E E x c y h x cy λ--+=，()()˙22,1211E E c c c y h x λλλλλλ-+-∴===+++，即E 点坐标为()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，设双曲线的方程为22221x y a b -=，将c a e =代入方程，得222221e x y c b-=①，将(,)2c C h ，E ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭代入①式，整理得2˙2222222)()121,(1441e h e h b b λλλλ--=-+=+，消去22h b ，得2221e e λλ+=-，所以22213122e e e λ-==-++，由于2334λ≤≤.所以22331324e ≤-≤+，故2710,e e ≤≤≤≤e ≤≤12.将关于x 的方程()2sin 2π1x t +=（t 为实常数，01t <<）在区间[)0,∞+上的解从小到大依次记为12,,,,n x x x ，设数列{}n x 的前n 项和为n T ，若20100πT ≤，则t 的取值范围是______．【正确答案】1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先根据三角函数的周期性得出12,x x 满足的关系，然后再根据12,x x 的对称性可得结果.【详解】由()2sin 2π1x t +=得()1sin 2π2x t +=，则方程()2sin 2π1x t +=的解即为函数()sin 2πy x t =+图象与直线12y =交点的横坐标，因为函数()sin 2πy x t =+的周期为πT =，所以135,,x x x 是以x 1为首项，π为公差的等差数列，246,,,x x x 是以x 2为首项，π为公差的等差数列，所以201234201210()90π100πT x x x x x x x =+++++=++≤ ，所以12πx x +≤，令π2π=π()2x t k k ++∈Z 得πππ=242k t x +-，因为[)0,x ∈+∞，所以[)2ππ,x t t +∈+∞，由函数()sin 2πy x t =+图象的对称性知，x 1与2x 对应的点关于函数()sin 2πy x t =+图象的某条对称轴对称，因为01t <<，所以当π0π6t <≤，即106t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线ππ=42t x -对称，此时满足12πx x +≤成立；当π5ππ66t <≤，即1566t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线3ππ=42t x -对称，此时由123πππ2x x t +=-≤得12t ≥，所以1526t ≤≤；当5πππ6t <<，即516t <<时，可知x 1与2x 对应的点关于直线5ππ=42t x -对称，此时不满足12πx x +≤；综上，106t <≤或1526t ≤≤.故答案为.1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）13.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．14.已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ⋂=，则A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直【正确答案】D【详解】选D.由α⊥β，α∩β＝l ，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l 的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B 不正确；垂直于平面β的平面与l 的关系有l ⊂β，l ∥β，l 与β相交，故C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．15.已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为（）A.13B.14C.19D.12【正确答案】A【分析】由152p+=得抛物线方程，M 在抛物线上求得M 坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM 平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线2px =-的距离也为5，即152p +=，解得8p =，所以抛物线的方程为216y x =，则216m =，所以4m =，即M 的坐标为14（，），又双曲线2221x y a-=的左顶点(),0A a -，一条渐近线为1y x a =，而41AM k a =+，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有411a a =+，解得13a =.故选：A16.已知函数()y f x =是定义域在R 上的奇函数，且当0x >时，()()()230.02f x x x =--+，则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是（）A.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内B.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内，两个在()2,3内C.有5个零点，都不在()0,2内D.有5个零点，其中只有一个零点在()0,2内，一个在()3,+∞【正确答案】C【分析】解法一：先研究0x >时，零点的情况，根据()()23y x x =--零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程()0f x =，也可以得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究(1)0x >的情况，()f x 是把抛物线()()23y x x =--与x 轴交点为()()2,0,3,0向上平移了0.02，则与x 轴交点变至()2,3之间了，所以在()2,3之间有两个零点；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.解法二：(1)直接解方程()()230.020x x --+=的两根也可以得两根为52x =，都在()2,3之间；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.故选：C.方法点睛：先求出0x >时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x （单位：万元）与月销量y （单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x /万元1234567月销量y /万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）【正确答案】（1）0.99r =，线性相关程度相当高；75151ˆ147yx =+.（2）当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.【分析】（1）利用相关系数的公式求得r 的值，得出相关性相当高，再求得ˆb和ˆa 的值，即可求得回归直线的方程；（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由表格中的数据，可得1(1234567)47x =⨯++++++=，1(28323545495270)437y =⨯++++++=，77722111()28,()820,()()150ii i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑，可相关系数为7()0.99ix x y y r --==∑，所以y 与x 的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合y 与x 的关系，又由71721()()7514(ii ii x x y y r x x ==--==-∑∑，可得75151ˆˆ434147a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为75151ˆ147yx =+.【小问2详解】解：要使得月销售量突破70万件，则7515170147x +>，解得2269.0425x >≈，所以当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90,ACB PA ∠=⊥ 平面,1,ABCD PA BC AB F ===是BC 的中点.（1）求证:DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ,使//CG 平面PAF ,并求三棱锥A CDG -的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）112.【分析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以90ACB DAC ∠=∠= ，所以DA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，则,PA DA ⊥又AC PA A ⋂=，故DA ⊥平面PAC .（2）取PD 的中点为G ，构造平行四边形，可证得//CG 平面PAF .此时，高为PA 的一半，所以体积为1111111332212A CDG G ACD ACD V V S h --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.【小问1详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，90,,ACB DAC DA AC PA ∴∠=∠=∴⊥⊥ 平面ABCD ,DA ⊂平面ABCD ，,PA DA ∴⊥又,AC PA A DA =∴⊥ 平面PAC ，【小问2详解】设PD 的中点为G ，连接,AG CG ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于点H ,则//GH AD ，且12GH AD =,由已知可得////FC AD GH ,且12FC AD GH ==,连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，//,GC FH FH ∴⊂ 平面,PAF CG ⊄平面PAF ,//CG ∴平面PAF ,G ∴为PD 的中点时,//CG 平面PAF ,设S 为AD 的中点,连接GS ,则//GS PA ,且11,22GS PA PA ==⊥ 平面ABCD ,GS ∴⊥平面ABCD ,11111··11332212A CDG G ACD ACDV V SGS --∴===⨯⨯⨯⨯=.19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a 元()0a >．（1）把全部运输成本y 元表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【正确答案】（1）(]()2100420,120a y v v v ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭（2）答案见解析【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域；（2）对210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的速度.【小问1详解】由题意得，每小时运输成本为()32a v +,全程行驶时间为1004v小时，所以全部运输成本(]()3210042001004(2),12a y v v v a v v ⎛⎫+⎪=∈+ ⎝=⎭；【小问2详解】由（1）知210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求导得3224100441004a v a y v v v -⎛⎫'=-+=⨯ ⎪⎝⎭，令30,40y v a '=-=，解得v =，120<，即304120a <<⨯时，0v <<，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝>⎭'递增，此时，当v =，y有最小值；120≥，即34120a ≥⨯时，0120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；此时，当120v =，y 有最小值.综上，为了使全部运输成本最小，当304120a <<⨯时，汽车应以v =千米/小时行驶；当34120a ≥⨯时，汽车应以120v =千米/小时行驶.20.已知A B 、是平面内的两个定点，且8AB =，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.（1）试求P 点的轨迹C 的方程;（2）直线()40R mx y m m --=∈与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求AEF △的面积的最大值.【正确答案】（1）221259x y +=（2）15【分析】（1）根据几何关系将距离转化为10PA PB +=，结合椭圆定义即可求解；（2）先判断直线过定点且斜率不能为0，则三角形的底为定值，即求三角形的高12y y -的最大值，联立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式求解即可.【小问1详解】以AB 为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则()()4,0,4,0A B -，由题意得，108PA PB PA PM AB +=+==＞，所以P 点的轨迹是以,A B 为左右焦点，长轴长为10的椭圆，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，所以22221028a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得534a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以P 点的轨迹C 的方程为221259x y +=【小问2详解】由40mx y m --=得()4y m x =-过定点()4,0B ，显然0m ≠，联立()224,1259y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2297225810,Δ0y y m m ⎛⎫++-=>⎪⎝⎭恒成立.所以12227272925925m my y m m+=-=-++，212228181925259m y y m m =-=-++，所以12y y -===因为m 为直线斜率，所以令tan ,tan 0,m θθ=≠所以22122290tan 90tan 125tan 925tan 9sin y y θθθθθ-==⋅++2222290sin 190sin 19015.99cos 25sin sin 916sin sin 416sin sin θθθθθθθθθ=⋅=⋅=≤=+++当且仅当916sin ,sin θθ=即3sin ,4θ=时1215,4max y y -=()115815.24AEF max S =⨯⨯=△思路点睛：圆锥曲线的面积最值问题多采用直线与圆锥曲线联立方程组，运用韦达定理结合基本不等式计算的方法，本题为简化计算，还可以采用三角换元，将直线斜率与三角函数巧妙联系从而更快求解。

上海中学高三数学综合练习四

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{ OAn OBn} 的前 n 项和为 _
_
2(n 1)
12. 在正三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，各棱长都相等， M 是 BB 1 的中点，则 BC 1 与平面 AC 1 M 所成角的大小是 __________.
13. 设抛物线 y=ax 2(a>0)与直线 y=kx+b 有两个公共点，其横坐标是 x 1,x2,而 x 3是直线与 x 轴交点的横坐标，则 x1,x2,x3 的关系是 _________.
DEA=90°． G 为 PE 的中点。 (1) 求 AG 与平面 PDE 所成角的大小 (2) 求点 C 到平面 PDE 的距离
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19.(1) 如图，设点 P，Q 是线段 AB 的三等分点，若 OA a ，OB b ，试用 a ，b 表示 OP ，OQ ，
并判断 OP OQ 与 OA OB 的关系；
8．如图 , 在杨辉三角中 , 斜线 l 上方 , 从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿数列 : 1, 3, 3, 4, 6, 5, 10, , ,
记其前 n 项和为 Sn, 则 S19 等于 ____________.
1
1
1l
121
1331
14641
15101051
,
,
,
,
,
,
,
4
9. 在△ ABC中，a、b、c 分别为∠ A、∠ B、∠Ｃ的对边，若 a、b、c 成ຫໍສະໝຸດ 差数列， sinB= 且△ ABC
时，都有
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答案及错误率一．选择题 1.C (0.03) 2.A (0.22) 3
．A (0.17) 4 ． B (0.28)

2024年上海市高考高三数学模拟试卷试题及答案详解

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

2024届上海市浦东新区高三二模数学试题及答案

上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 0,1,2A ，集合23xB x ，则A B．2.若复数12z i （i 是虚数单位），则z z z ．3.已知等差数列 n a 满足1612a a ，47a ，则3a．4.23x5.6.已知y7.比为6现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一8.已知圆9.已知f 10.沿着上底面圆周运动半周时，11.为双曲线上一点，若122F MF ，3OM b，则双曲线的离心率为．12.正三棱锥S ABC 中，底面边长2AB ，侧棱3AS ，向量a 、b满足 a a AC a AB ，b b AC b AS，则a b 的最大值为．第10题图第15题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.“1a ”是“直线220ax y 与直线 110x a y 平行”的（）.A 充分非必要条件；.B 必要非充分条件；.C 充要条件；.D 既非充分又非必要条件．14.已知a R ，则下列结论不恒成立的是（）.A 114a a ；.B 12a a；.C 123a a ；.D 1sin 02sin a a．15.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．若去掉图中右下方的点A 后，下列说法正确的是（）.A “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关；.B “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变；.C “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大；.D “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小．16.设 10110mm m m f x a x a xa x a （0m a ，10m ，m Z ），记1n n f x f x （1,2,,1n m ），令有穷数列n b 为 n f x 零点的个数（1,2,,1n m ），则有以下两个结论：①存在 0f x ，使得n b 为常数列；②存在 0f x ，使得n b 为公差不为零的等差数列．那么（）.A ①正确，②错误；.B ①错误，②正确；.C ①②都正确；.D ①②都错误．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 sin f x x ．（1）求42f x在 0,x 上的解；（2）已知2g x x f x f x f x，若关于x 的方程 12g x m 在0,2x时有解，求实数m 的取值范围．18.在四棱其中//AD BC ，2AD BC （1）（2）某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下： 0,200， 200,400， 400,600，…，1000,2000(单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．（1）800元；（2）人中随机抽取2人（3）次当天消费金额可已知椭圆22:12x C y ，点1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点．（1）若椭圆上点P 满足212PF F F ，求1PF 的值；（2）点A 为椭圆的右顶点，定点 ,0T t 在x 轴上，若点S 为椭圆上一动点，当ST 取得最小值时点S 恰与点A 重合，求实数t 的取值范围；（3）已知m 为常数，过点2F 且法向量为 1,m 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若椭圆C 上存在点R满足OR OM ON（,R ），求的最大值．已知函数 y f x 及其导函数 'y f x 的定义域均为D ．设0x D ，曲线 y f x 在点00,x f x 处的切线交x 轴于点 1,0x ．当1n 时，设曲线 y f x 在点,n n x f x 处的切线交x 轴于点 1,0n x ．依此类推，称得到的数列 n x 为函数 y f x 关于0x 的“N 数列”．（1）若 ln f x x ， n x 是函数 y f x 关于01x e的“N 数列”，求1x 的值；（2）若 24f x x ， n x 是函数 y f x 关于03x 的“N 数列”，记32log 2n n n x a x ，证明： n a 是等比数列，并求出其公比；（3）若 2xf x a x，则对任意给定的非零实数a ，是否存在00x ，使得函数 y f x 关于0x 的“N 数列” n x 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的0x ；若不存在，请说明理由．上海市浦东新区2024届高三二模数学试卷-简答1答案一、填空题1．{2}．2．42 i ．3．5． 4.270．5．0.3．6．425．7．0.18．8．．9． 1,2．10．2．11．2．12．4．二、选择题13．C 14．B 15．D 16．C三、解答题从而有ππ2π+43x k或π2π2π+43x k ，Z k 解得7π2π+12x k 或11π2π+12x k ，Z k 又 0,πx ，所以7π12x或11π12x .因此π4f x在 0,πx 上的解为7π12、11π12.2cos sin x x x1cos 2sin 222xx2π1sin 262x故1()2g x m在π0,2x时有解等价于πsin 26m x在π0,2x时有解.所以，EC ∥平面PAB .3（2）取AD 中点H ，过P 作 PG AB ，垂足为G ，连接GH由题，PA PD ，H 为AD 的中点，所以PH AD .又平面 PAD 底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD ，且 PH 平面PAD ，因而PH 平面ABCD ,故PH AB ,PH GH .又PG AB ，故AB 平面PGH .得AB GH .又 PG AB ，所 PGH 就是二面角 P AB D 的平面角.经计算，在△PAD中，PH 在△ABH 中，3BH AB ，2AH，故122ABH S 又11322ABH S AB GH GH,得AB因而，在△PGH 中,3tan 2PH PGH GH所以二面角 P AB D 的大小3arctan 2.（法二）（1）取AD 中点O ，因为PA PD ，O 为AD 中点，所以PO AD .又平面 PAD 底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD ， PO 平面PAD ，所以PO ABCD 平面.取BC 中点M ，显然，OM OD .如图，以点O 为坐标原点，分别以射线OM 、OD 、OP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意得， E、 C，故 EC.又 P 、 0,2,0A、1,0B ，故 AP，AB.设平面PAB 的法向量 ,, n u v w，则有20v v 不妨取1u，则v 2 ,即1,n.经计算得0 n EC ，故 n EC.又EC 在平面PAB 外，所以EC ∥平面PAB .（2）由题（1）知，平面PAB的法向量11, n ，平面ABCD 的法向量 200,1 ，n，从而121212cos ,13n n n n n n,因此，二面角 P AB D的大小为.19．【解析】因为850840.7 ，所以应选择第二种促销方案.20．【解析】（1）由题得，2(1,0)F ，设点(1,)P P y ，代入椭圆方程，得212Py ，因而22PF.由12PF PF12PF .（2）设动点(,)S x y ，则22222222()212122x x ST x t y x tx t tx t 221(2)12x t t 由题，ST 取得最小值时点S 恰与点A 重合，即函数221(2)12y x t t在x 处取得最小值，又[x，因而2t2t.因此，实数t 的取值范围为[,)2.（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)R x y 由OR OM ON ,得1212x x x y y y ，又点R 在椭圆上，代入得221212()2()2x x y y ，化简得22222211221212(2)(2)2(2)2x y x y x x y y ，又点M 、N 在椭圆上，得221212222(2)2x x y y （*）.由题，可设直线:(1)0l x my .联列直线与椭圆方程，得22122x my x y ，得22(2)210m y my .故12222m y y m，12212y y m 因而22121212122221222(1)(1)2(2)1222m m x x y y my my y y m m m m m .代入（*）式，得222222422m m ,因而22221222m m ，（等号当且仅当时成立）即224m （等号当且仅当时成立）.所以，的最大值为224m .21．【解析】（1）曲线ln y x 在点 00,ln x x 处的切线斜率为01x ，又1ln 1e故曲线ln y x 在点1,1e 处的切线方程为11y e x e，令0y ，得2x e.所以12x e.（2）由题， y f x 在n x 处的切线方程为n n n y f x f x x x 令0y ，可得 1n n n n f x x x f x ，即2142n n n x x x .故 21212222n n n n x x x x ，即12n n a a .又1136x，故13log 25a .因此 n a 是以3log 25为首项，2为公比的等比数列.（3）由题，222a x f x a x，故以0020,x x a x 为切点的切线方程为 200022200x a x y x x a x a x .令0y ,可得到301202x x x a.1当0a 时，函数 2xf x a x的大致图像如图所示:因为300202x x x a等价于20x a ,因此，当20x a 时，数列 n x 严格增；同理，当20x a 时，数列 n x 严格减.所以不存在0x 使得 n x 是周期数列.②当0a 时，函数 2xf x a x的大致图像如图所示:令10x x ,可得300202x x x a ，即20=3ax .依此类推，显然可得21x x ，…，-1n n x x .所以，当0x 时，数列 n x 为周期数列，且周期2T .下证唯一性：当203ax 时，322000000222000222<x x x x x x x a x a a x ；因此,数列 n x 严格减；当203ax 时， 202200222,12,x a x a x a ，所以320000220022>--x x x x x a x a ，因此数列 n x 严格增.综上,当0a 时，不存在0x ,使得 n x 为周期数列；当0a时，当且仅当03x a 时，函数 y f x 关于0x 的“N 数列” n x 为周期数列，且周期2T .。

上海市重点中学2022-2023学年高三下学期数学周测4及答案

上海市重点中学2022学年第二学期高三年级数学周练4一、填空题 1．若4sin 16x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．2．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若X 表示摸出白球的个数，则[]E X =______．3．点()1,1A 到直线cos sin 20x y θθ+-=的距离的最大值是______．4．已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：2z z +=；乙：23i z z -=；丙：4z z ⋅=；丁：22z z z =．在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z =______．5．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别为12，23，p ，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为78，则p =______．6．将一钢球放入底面半径为3cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm ，则钢球的半径是______cm ．7．一个单位方格的四条边中，若存在三条边染了三种不同的颜色，则称该单位方格是“多彩”的．如图，一个13⨯的方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红黄蓝三色之一，使得三个单位方格都是多彩的，这样的染色方式种数为______（答案用数值表示）． 8．已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()()()112220222022,,,,,x y x y x y ，则()20221i i i x y =+=∑______．9．在数列{}n a 中，13a =，11231n n a a a a a +=+++++，记n T 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则lim n n T →+∞=______．10．定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()10f =．当0x >时，()()tan 0f x x f x '->，则不等式()0f x <的解集为______．11．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，2c =，01λ≤≤．若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---的取值范围是______．12．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．定义在平面直角坐标系xOy 中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20aa >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点．下列说法中正确的有______． ①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a ay -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO 的最大值为2a ．二、选择题13．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AB 、BC 、1BB 、CD 的中点，连接1A S 、1B D ，对空间任意两点M 、N ，若线段MN 与线段1A S 、1B D 都不相交，则称M 、N 两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（） A ．点P B ．点QC ．点RD ．点B14．如图所示，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()()0g x kx m m =+>，则对函数()()()F x g x f x =-描述正确的是（）A ．有极小值点，没有极大值点B ．有极大值点，没有极小值点C ．至少有两个极小值点和一个极大值点D ．至少有一个极小值点和两个极大值点15．函数()2ln 11f x x x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭的图像大致为（）16．设集合()()(){}222,|4,x y x k y k k k Ω=-+-=∈Z ①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧；②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上（） A ．①成立②成立 B ．①成立②不成立 C ．①不成立②成立 D ．①不成立②不成立三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA 垂直于平面ABCD ，4AB =，3AD =，34PC =，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，其中E 是AB 中点，PMMCλ=，连接ME ．（1）当1λ=时，证明：直线ME 平行于平面PAD ；（2）当2λ=时，求三棱锥M BCD -的体积．18．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos cos cos 3sin cos B A C aB C b+=．（1）求角C 的大小；（2）若6c =，且AB 边上的中线4CD =，求ABC △的面积．19．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm ）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为μ，标准差为σ．（1）求μ和σ；（2）已知这批零件的内径X （单位：mm ）服从正态分布()2,N μσ，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm ）分别为181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．参考数据：若()2~,X N μσ，则：()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈，()330.9974P X μσμσ-<≤+≈，40.99740.99≈．20．设有椭圆方程()2222:10x y a b a bΓ+=>>，直线:0l x y +-=，Γ下端点为A ，M在l 上，左、右焦点分别为()1F ，)2F ．（1）2a =，AM 的中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM △中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆Γ上存在一点P 到l 距离为d ，使126PF PF d ++=，随a 的变化，求d 的最小值．21．若函数()f x 和()g x 的图象均连续不断，()f x 和()g x 均在任意的区间上不恒为0，()f x 的定义域为1I ，()g x 的定义域为2I ，存在非空区间()12A I I ⊆⋂，满足：x A ∀∈，均有()()0f x g x ≤，则称区间A 为()f x 和()g x 的“Ω区间”．（1）写出()sin f x x =和()cos g x x =在[]0,π上的一个“Ω区间”（无需证明）；（2）若()3f x x =，[]1,1-是()f x 和()g x 的“Ω区间”，证明：()g x 不是偶函数；（3）若()1eln sin 2ex xf x x x π-=++，且()f x 在区间(]0,1上单调递增，()0,+∞是()f x 和()g x 的“Ω区间”，证明：()g x 在区间()0,+∞上存在零点．参考答案一、填空题1.78；2.23； 3.22+； 4.1i +； 5.14； 6.3； 7.5184； 8.2022； 9.56； 10.()1012π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，，； 11.2-13⎡⎤⎣⎦，； 12.①②④；11.11．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，2c =，01λ≤≤．若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---的取值范围是______．【答案】【解析】设()1n b c λλ=+-,则()1,a b c a n λλ---=- 因为||n aa n n a --+,所以||11n a n n --+,因为()()()222222|1|121n b c b c b c λλλλλλ=+-=+-+-⋅()22221441884822λλλλλ⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭又因为01λ,所以,22||4n ,故22n ,得{}()2113a b c λλ----.故答案为:21,3⎡⎤-⎣⎦12．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．定义在平面直角坐标系xOy 中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20aa >的点的轨迹称为双纽线C ．已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点．下列说法中正确的有______． ①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a ay -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO 的最大值为2a ．【答案】①②④【解析】对于①,因为定义在平面直角坐标系xOy 中,把到定点()()12,0,,0F a F a -,距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ,所以()()22222x a y x a y a ++⨯-+=,用(),x y --替换方程中的(),x y ,原方程不变,所以双纽线C 关于原点O 中心对称,所以①正确;对于②,根据三角形的等面积法可知1212011sin 222PF PF F PF a y ⨯⨯∠=⨯⨯ 即012sin 22a a y F PF =∠≤,所以022a ay -≤≤,所以②正确;对于③,若双纽线③上的点P 满足12PF PF =,则点P 在y 轴上,即0x =, 所以22222a y a y a +⨯+=,得0y =,所以这样的点P 只有一个,所以③错误; 对于④, 因为 ()1212PO PF PF =+, 所以()22211212212cos 4PO PF PF PF F PF PF =+⋅∠+∣ 由余弦定理得22211212242cos a PF PF PF F PF PF =+⋅∠+ 22222121212cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+⋅∠=+∠所以∣所以PO ∣的最大值为2a , 所以④正确.二、选择题13.B ； 14.C ； 15.A ； 16.B 15．函数()2ln 11f x x x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭的图像大致为（）【答案】A【解析】根据题意,函数,则,排除;,排除三、解答题17.【解析】(1)证明:取PD 中点N ,联结MN AN 、MN 是PCD ∆的中位线,故//MN CD ,且12MN CD =,又//AE CD ,且12AE CD =,∴四边形AEMN 为平行四边形,//,,,//;ME AN ME PAD AN PAD ME PAD ∴⊄⊂⊂∴又平面平面平面()24,3,,,AB AD PC PA ABCD AC ABCD ===⊂垂直于平面平面,3,2,PMPA AC PA MC∴⊥=== 111,431 2.32M BCD M ABCD V -∴∴=⨯⨯⨯⨯=点到平面的距离为18.（1）3C π= （2）S =19.（1）略（2）略20.设有椭圆方程()2222:10x y a b a bΓ+=>>，直线:0l x y +-=，Γ下端点为A ，M在l 上，左、右焦点分别为()1F ，)2F ．（1）2a =，AM 的中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM △中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆Γ上存在一点P 到l 距离为d ，使126PF PF d ++=，随a 的变化，求d 的最小值．【解析】(1)由题意可得2,a b c ===(22:1,0,42x y A Γ+=,AM 的中点在x轴上,M ∴,代入0x y +-=得(M .(2)由直线方程可知(B ,①若3cos 5BAM ∠=,则4tan 3BAM ∠=,即24tan 3OAF ∠=,234OA OF ∴==b ∴=.②若3cos 5BMA ∠=,则4sin 5BMA ∠=,4MBA π∠=, ()34cos 55MBA AMB ∴∠+∠=-=2cos tan 7.tan 7,10BAM BAM OAF ∴∠=∴∠=∠=即777OA b b ∴=∴==综上 ()()3cos ,sin ,62,P a b a θθ=-设很明显椭圆在直线的左下方,则62,a =-()22 2.a b θϕ+==+即()θϕ+=-()22a θϕ+=-,()sin 1,θϕ+=≤整理可得()()1350a a --,即513a ≤≤ 从而58626233d a =-≥-⨯=.即d 的最小值为83. 21．若函数()f x 和()g x 的图象均连续不断，()f x 和()g x 均在任意的区间上不恒为0，()f x 的定义域为1I ，()g x 的定义域为2I ，存在非空区间()12A I I ⊆⋂，满足：x A ∀∈，均有()()0f x g x ≤，则称区间A 为()f x 和()g x 的“Ω区间”．（1）写出()sin f x x =和()cos g x x =在[]0,π上的一个“Ω区间”（无需证明）；（2）若()3f x x =，[]1,1-是()f x 和()g x 的“Ω区间”，证明：()g x 不是偶函数；（3）若()1eln sin 2ex xf x x x π-=++，且()f x 在区间(]0,1上单调递增，()0,+∞是()f x 和()g x 的“Ω区间”，证明：()g x 在区间()0,+∞上存在零点．【解析】（1）由题意得:()sin f x x =得()cos g x x =的定义域是R ,当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()0,0f x g x ,满足“Ω区间”的定义, 故在区间[]0,π上的一个“Ω区间”可以是,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦及其非空子集。

上海市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)摸底(备考卷)完整试卷

上海市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）摸底(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．20第(2)题已知等差数列的公差为，集合，若，则（）A．－1B．C．0D．第(3)题如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（）A．图（1）的平均数=中位数=众数B．图（2）的众数<中位数<平均数C．图（2）的平均数<众数<中位数D．图（3）的平均数<中位数<众数第(4)题如图放置的边长为1的正方形沿轴顺时针滚动一周，设顶点的运动轨迹与轴所围区域为，若在平面区域内任意取一点，则所取的点恰好落在区域内部的概率为A．B．C．D．第(5)题若．则（）A．B．C．D．第(6)题数形结合思想是数学领域中一种核心的思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相结合，从而使抽象的数学问题具体化，复杂的几何问题直观化.“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合简洁而有力的表达.数与形是不可分割的统一体，彼此相互依存.已知函数，则的图象大致是（）A．B．C．D．第(7)题年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在年提出的个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（）A．B．C．D．第(8)题已知的顶点都在球O的球面上，且，，球心O到平面ABC的距离为2．则球O的表面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是空间中两条互相垂直的异面直线，则下列说法正确的是（）A．存在平面，使得且B．存在平面，使得且C．存在平面，使得D．存在平面，使得第(2)题函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．下列结论正确的有（）A．函数与函数无公共点B．若，则C．D．所有满足的点组成区域的面积为第(3)题已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（）A．周长为4B．面积的最大值为C．的最小值为D．若面积为2，则点P横坐标为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，若函数仅有1个零点，则实数的取值范围为_____.第(2)题在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形与六个正八边形组成，共有个面，个顶点以及条边，是一种阿基米德立体，属于半正多面体.下图是一个所有棱长均为的截角立方体，则该截角立方体的外接球的表面积为_____.第(3)题在二项式的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，项的系数是__________．（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，且的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过抛物线上的一点能作椭圆的两条互相垂直的切线，求此时的值.第(2)题已知函数．(1)解不等式；(2)若恒成立，求实数的取值范围．第(3)题已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）若，求的值．第(4)题设，恒成立.（Ⅰ）求的取值集合；（Ⅱ）设，证明：是增函数，且（为自然对数的底数）.第(5)题已知函数的首项，且满足．(1)求证为等比数列，并求．(2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值．。

10.沪教版高三数学周末练习11(基础卷第一版)

高三数学周末练习11姓名：一、填空题1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α=3. 函数()1f x =的反函数是4. 已知()3,2),4,1(=-=b a ，则与b a 43+平行的单位向量的坐标为________5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为6. 若对任意正实数x ，不等式21x a >+恒成立，则实数a 的最大值为7. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =8. 若数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-++（*n N ∈），则lim3n n a n →∞=9. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为，则该双曲线焦距等于 10. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞= 11. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y +=，则22x y +的取值范围是 12. 给出函数2()g x x bx =-+，2()4h x mx x =-+-，这里,,b m x R ∈，若不等式()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()()()()()g x x t f x h x x t ≤⎧=⎨>⎩恰有两个零点，则实数t 的取值范围为二、选择题13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+ C. cos(2)3y x π=- D. cos(2)6y x π=- 14 “21=m ”是直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件15. 已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（） A.110x y -> B.11()()022x y -< C.22log log 0x y +> D.sin sin 0x y -> 16. 设θ是两个非零向量a 、b 的夹角，若对任意实数t ，||a tb +的最小值为1，则下列判断正确的是（）A. 若||a 确定，则θ唯一确定B. 若||b 确定，则θ唯一确定C. 若θ确定，则||b 唯一确定D. 若θ确定，则||a 唯一确定三、选择题17. 已知函数()9233x x f x a =-⋅+；（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最大值()h a ；18. 已知函数2sin ()1x x f x x -=；（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2Af =，4a =，5b c +=，求△ABC 的面积；-；19. 已知椭圆C的长轴长为(2,0)（1）求C的标准方程；AB=（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且||试求直线l的倾斜角；20. 某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%，同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）。

上海市2023年各地区高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(16套)-04填空题基础题③

上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-04填空题基础题③一．基本不等式及其应用（共1小题）...................................................................................................1一．基本不等式及其应用（共1小题）...................................................................................................6一十三．正弦定理（共2小题）.............................................................................................................14一十六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）................................................................................15一十九．频率分布直方图（共1小题）.................................................................................................18二十．线性回归方程（共1小题）.........................................................................................................18二十一．组合及组合数公式（共1小题）............................................................................................19二十二．二项式定理（共2小题）.........................................................................................................19二十三．进行简单的合情推理（共1小题）. (20)一．基本不等式及其应用（共1小题）1．（2023•嘉定区二模）已知函数128y x x=+，定义域为(0,)+∞，则该函数的最小值为．二．其他不等式的解法（共2小题）2．（2023•宝山区二模）已知函数11()(012x f x a a =->+且1)a ≠，若关于x 的不等式2()0f ax bx c ++>的解集为(1,2)，其中(6,1)b ∈-，则实数a 的取值范围是．3．（2023•嘉定区二模）已知1|0x A x x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭…，{|1}B x x =…，则A B =I ．三．指、对数不等式的解法（共1小题）4．（2023•杨浦区二模）由函数的观点，不等式33x lgx +…的解集是．四．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）5．（2023•长宁区二模）若函数(1)(1)y ln x aln x =+--为奇函数，则实数a 的值为．五．三角函数的周期性（共1小题）6．（2023•崇明区二模）已知函数sin(2)y x ωϕ=+，(0)ω>的最小正周期为1，则ω= ．六．余弦函数的图象（共1小题）7．（2023•杨浦区二模）若存在实数ϕ，使函数1()cos()(0)2f x x ωϕω=+->在[x π∈，3]π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为．七．分段函数的应用（共1小题）8．（2023•崇明区二模）若函数32,0,0x x x y e ax x ⎧⎪=⎨⎪<⎩…的图像上点A 与点B 、点C 与点D 分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a 的取值范围是．八．根据实际问题选择函数类型（共2小题）9．（2023•嘉定区二模）如图，线段AB 的长为8，点C 在线段AB 上，2AC =．点P 为线段CB 上任意一点，点A 绕着点C 顺时针旋转，点B 绕着点P 逆时针旋转．若它们恰重合于点D ，则CDP ∆的面积的最大值为．10．（2023•长宁区二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围成一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图，则至少需要米栅栏．九．数列的极限（共1小题）11．（2023•嘉定区二模）已知数列{}n a 的通项公式为2,1,2,2,n n n n a n -=⎧=⎨⎩…前n 项和为n S ，则lim n n S →+∞= ．一十．导数的运算（共1小题）12．（2023•长宁区二模）若函数()f x ，()g x 满足2()()1f x xg x x +=-，且f （1）1=，则f '（1）g +'（1）= ．一十一．两向量的和或差的模的最值（共1小题）13．（2023•杨浦区二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r 满足||5a =r ，2||||b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则||b r的最小值是．一十二．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）14．（2023•宝山区二模）已知非零平面向量,a b rr 不平行，且满足24a b a ⋅==r r r ，记3144c a b =+r r r ，则当b r 与c r的夹角最大时，||a b -r r 的值为．15．（2023•嘉定区二模）ABC ∆是边长为1的等边三角形，点M 为边AB 的中点，则AC AM ⋅=u u u r u u u u r ．16．（2023•崇明区二模）设平面向量,,a b c r r r满足：||2a =r ，||||b c =r r ，||1a b -=r r ，b c ⊥r r ，则||b c -r r的取值范围是．一十三．正弦定理（共2小题）17．（2023•宝山区二模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=，则B = ．18．（2023•杨浦区二模）ABC ∆内角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，若3a =，b =，3A π∠=，则B ∠= ．一十四．复数的运算（共1小题）19．（2023•崇明区二模）设复数z 满足(1)2(i z i i -=是虚数单位），则z = ．一十五．复数的模（共1小题）20．（2023•嘉定区二模）已知复数34(z i i =+为虚数单位），则||z = ．一十六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）21．（2023•嘉定区二模）已知四棱锥P ABCD -的正方形，侧棱长均为．若点A 、B 、C 、D 在圆柱的一个底面圆周上，点P 在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为．22．（2023•长宁区二模）已知圆锥侧面展开图的圆心角为23π，底面周长为2π．则这个圆锥的体积为．一十七．双曲线的性质（共2小题）23．（2023•杨浦区二模）1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b -=的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为．24．（2023•嘉定区二模）双曲线22197x y -=的离心率为．一十八．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共1小题）25．（2023•嘉定区二模）已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为13和23，供应商A 提供的部件的良品率为0.96．若该部件的总体良品率为0.92，则供应商B 提供的部件的良品率为．一十九．频率分布直方图（共1小题）26．（2023•宝山区二模）如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出[50，60)，[90，100)的数据）和频率分布直方图，则x y -= ．二十．线性回归方程（共1小题）27．（2023•崇明区二模）某单位为了了解用电量y 度与气温C x ︒之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温(C)︒141286用电量（度)22263438由表中数据所得回归直线方程为ˆ2y x b=-+，据此预测当气温为5C ︒时，用电量的度数约为 C ︒．二十一．组合及组合数公式（共1小题）28．（2023•嘉定区二模）已知n N ∈，若265n C A =，则n = ．二十二．二项式定理（共2小题）29．（2023•杨浦区二模）设554354310(21)x a x a x a x a x a +=+++++L ，则3a = ．30．（2006•全国卷Ⅱ）在4101()x x+的展开式中常数项为（用数字作答）．二十三．进行简单的合情推理（共1小题）31．（2023•崇明区二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设．上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-04填空题基础题③参考答案与试题解析一．基本不等式及其应用（共1小题）1．（2023•嘉定区二模）已知函数128y x x=+，定义域为(0,)+∞，则该函数的最小值为 1　．【答案】1．【解答】解：0x >Q ，1218y x x ∴=+=，当且仅当128x x =，即14x =时，等号成立，即该函数的最小值为1．故答案为：1．二．其他不等式的解法（共2小题）2．（2023•宝山区二模）已知函数11()(012x f x a a =->+且1)a ≠，若关于x 的不等式2()0f ax bx c ++>的解集为(1,2)，其中(6,1)b ∈-，则实数a 的取值范围是 (1,2)　．【答案】(1,2)．【解答】解：若()0f x >，则11012xa ->+，1x a ∴<，∴当01a <<时，0x >；当1a >时，0x <，Q 不等式2()0f ax bx c ++>的解集为(1,2)，1a ∴>，20ax bx c ++<，且20ax bx c ++<的解集为(1,2)，1∴和2是方程20ax bx c ++=的两个根，123b a ∴-=+=，13a b ∴=-，(6,1)b ∈-Q ，1(3a ∴∈-，2)，又1a >Q ，(1,2)a ∴∈，即实数a 的取值范围是(1,2)．故答案为：(1,2)．3．（2023•嘉定区二模）已知1|0x A x x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭…，{|1}B x x =…，则A B =I {1}　．【答案】{1}．【解答】解：由10x x-…，可得01x <…，所以{|01}A x x =<…，又因为{|1}B x x =…，所以{1}A B =I ．故答案为：{1}．三．指、对数不等式的解法（共1小题）4．（2023•杨浦区二模）由函数的观点，不等式33x lgx +…的解集是 (0,1)　．【答案】(0，1]．【解答】解：不等式33x lgx +…可化为33x lgx -…，在同一坐标系内画出3x y =和3y lgx =-的图象，如图所示：由33x lgx =-，得1x =，所以由函数的观点知，不等式33x lgx +…的解集是(0，1]．故答案为：(0，1]．四．函数奇偶性的性质与判断（共1小题）5．（2023•长宁区二模）若函数(1)(1)y ln x aln x =+--为奇函数，则实数a 的值为 1　．【答案】1．【解答】解：Q 1010x x +>⎧⎨->⎩，11x ∴-<<，又函数()(1)(1)y f x ln x aln x ==+--为(1,1)-上的奇函数，()()0f x f x ∴-+=在(1,1)-上恒成立，即(1)(1)(1)(1)0ln x aln x ln x aln x --+++--=在(1,1)-上恒成立，22(1)(1)0ln x aln x ∴---=在(1,1)-上恒成立，2(1)(1)0a ln x ∴--=在(1,1)-上恒成立，1a ∴=．故答案为：1．五．三角函数的周期性（共1小题）6．（2023•崇明区二模）已知函数sin(2)y x ωϕ=+，(0)ω>的最小正周期为1，则ω=　π　．【答案】π．【解答】解：212T πω==，依题意1T =，ωπ∴=；故答案为：π．六．余弦函数的图象（共1小题）7．（2023•杨浦区二模）若存在实数ϕ，使函数1()cos()(0)2f x x ωϕω=+->在[x π∈，3]π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为 1[3，53　．【答案】1[3，53．【解答】解：因为1()cos()(0)2f x x ωϕω=+->，由()0f x =，得到1cos()2x ωϕ+=，所以2()3x k k Z πωϕπ+=+∈或2()3x k k Z πωϕπ+=-+∈，所以()()2233k k x k Z x k Z ππϕπϕπωω-+--+=∈=∈或，又因为存在实数ϕ，使函数()f x 在[x π∈，3]π上有且仅有2个零点，所以75112222333322k k k k ππππϕπϕπϕπϕπππωωωω-+-+-+-+-->且…，即232ππω…且1032ππω>，解得1533ω<…．故答案为：1[3，5)3．七．分段函数的应用（共1小题）8．（2023•崇明区二模）若函数32,0,0x x x y e ax x ⎧⎪=⎨⎪<⎩…的图像上点A 与点B 、点C 与点D 分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a 的取值范围是 1(,0)e -　．【答案】1(,0)e-．【解答】解：若()f x 有两组点关于原点对称，则()f x 在(,0)-∞的图像关于原点对称后与(0,)+∞的图像有两个交点，由0x <时，2()f x ax =；得其关于原点对称后的解析式为2y ax =-，问题转化为3x x y e =与2y ax =-在(0,)+∞上有两个交点，即方程32x x ax e =-有两根，化简得x x a e -=，即y a =-与x xy e =在(0,)+∞上有两个交点．对于x x y e =，求导1x x y e -'=，令10x xy e-'=>，解得1x <，即：当(0,1)x ∈时，xxy e =单调递增；令10x xy e-'=<，解得：1x >．即：当(1,)x ∈+∞时，xxy e =单调递减，1x ∴=为其极大值点，1max y e=，x →+∞时，0y →；画出其大致图像：欲使y a =-与x x y e =在0x >时有两个交点，则1(0,)a e -∈，即1(,0)a e∈-．故答案为：1(,0)e-．八．根据实际问题选择函数类型（共2小题）9．（2023•嘉定区二模）如图，线段AB 的长为8，点C 在线段AB 上，2AC =．点P 为线段CB 上任意一点，点A 绕着点C 顺时针旋转，点B 绕着点P 逆时针旋转．若它们恰重合于点D ，则CDP ∆的面积的最大值为【答案】【解答】解：由题意，设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．2DC =，CP x =，6DP x =-，根据三角形的构成条件可得6?226?26?x x x x x x +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩，解得24x <<；三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来，即()f x422x x--+==当且仅当42x x -=-+，即3x =时，()f x的最大值为故答案为：10．（2023•长宁区二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围成一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图，则至少需要　4　米栅栏．【答案】4．【解答】解：设该矩形的长为a 米，宽为b 米，由题意可知，2ab =，故24a b +=…，当且仅当22a bab =⎧⎨=⎩，即2a =，1b =时，等号成立，故至少需要4米栅栏．故答案为：4．九．数列的极限（共1小题）11．（2023•嘉定区二模）已知数列{}n a 的通项公式为2,1,2,2,n n n n a n -=⎧=⎨⎩…前n 项和为n S ，则lim n n S →+∞=　52　．【答案】52．【解答】解：数列{}n a 的通项公式为2,1,2,2,n n n n a n -=⎧=⎨⎩…前n 项和为12,111(1),222n n n S n -=⎧⎪=⎨-⎪⎩…，1115lim(2(1222n n -→∞+-=．故答案为：52．一十．导数的运算（共1小题）12．（2023•长宁区二模）若函数()f x ，()g x 满足2()()1f x xg x x +=-，且f （1）1=，则f '（1）g +'（1）=　3　．【答案】3．【解答】解：因为f （1）1=，所以f （1）g +（1）0=，则g （1）1=-，因为2()()1f x xg x x +=-，所以()()()2f x g x xgx x ''++=，故f '（1）g +（1）g '+（1）2=，所以f '（1）g +'（1）2g =-（1）3=．故答案为：3．一十一．两向量的和或差的模的最值（共1小题）13．（2023•杨浦区二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r满足||5a =r ，2||||b c =r r ，且()()0b a c a -⋅-=r r r r ，则||b r的最小值是　．．【解答】解：如图,,AC a AD b AB c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则,b a CD c a CB -=-=u u ur u u u r r r r r ，已知()()0b a c a -⋅-=r r r r ，即0CD CB ⋅=u u u r u u u r，所以CD CB ⊥，取BD 的中点O ，则有11||22OC BD b c ==-r r，而1||2OA b c =+r r，根据三角形的三边关系可知OA OC AC +…，则11||||||522b c b c a ++-=r r r r r…，所以||||10b c b c ++-r r r r …，当A ，O ，C 三点共线时取等号，记,b c r r向量的夹角为θ，则|||b c b +===r r r同理||||b c b -=r rr ，由||||10b c b c ++-r r r r …，可得||10b +r…，则22||5b ==r…，当cos 0θ=，即b c ⊥r时取等号，所以||b r…||b r，．一十二．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）14．（2023•宝山区二模）已知非零平面向量,a b rr 不平行，且满足24a b a ⋅==r r r ，记3144c a b =+r r r ，则当b r 与c r的夹角最大时，||a b -r r 的值为 4　．【答案】4．【解答】解：由非零平面向量,a b rr 不共线，且满足24a b a ⋅==r r r ，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0)A ，(2,)B b ，0b >，则(2,0),(2,)a b b ==r r ，由3144c a b =+rr r ，则(2,)4b C ，则直线OB ，OC 的斜率分别为,28b b ，由两直线的夹角公式可得：3328tan 841282b bBOC b b b b -∠===+⨯+，当且仅当82bb =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-r r ，所以||4a b -=rr ．故答案为：4．15．（2023•嘉定区二模）ABC ∆是边长为1的等边三角形，点M 为边AB的中点，则AC AM ⋅=u u u r u u u u r 14　．【答案】14．【解答】解：已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点M 为边AB 的中点，则CM AB ⊥，则2211||||cos ||()24AC AM AM AC CAM AM ⋅=∠===u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ．故答案为：14．16．（2023•崇明区二模）设平面向量,,a b c r r r满足：||2a =r ，||||b c =r r ，||1a b -=r r ，b c ⊥r r ，则||b c -r r的取值范围是．【答案】．【解答】解：依题意，设(2cos ,2sin )a θθ=r，(,0),(0,)b t c t ==r r ，t R ∈．根据||1a b -=rr ，即|(2cos ,2sin )|1t θθ-=，即22(2cos )(2sin )1t θθ-+=，整理得234cos t t θ+=．显然0t ≠，否则(0,0)0b ==r r ，||||1a b a -==r r r，与已知矛盾，故234cos t t θ+=，可得23cos 4t tθ+=．由23|cos |14||t t θ+=…，即24||30t t -+…，则有2||4||30t t -+…，故(||1)(||3)0t t --…，解得1||3t ……．故|||(,)||b c t t t -=-=∈r r．故答案为：．一十三．正弦定理（共2小题）17．（2023•宝山区二模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A C a b A +=，则B =　3π　．【解答】解：由题设可知：利用正弦定理有：sin sinsin sin 2A CA B A +=g g ，又由(0,)A π∈，则sin 0A ≠，则sin sin 2A CB +=，即sincos2sin cos 2222BB B B π-==，又由(0,)B π∈，则cos 02B≠，即2sin12B=，由0B π<<，解得3B π=．故答案为：3π．18．（2023•杨浦区二模）ABC ∆内角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，若3a =，b =，3A π∠=，则B ∠=　4π　．【答案】4π．【解答】解：若3a=，b =，3A π∠=，则sin sin b AB a∠∠===，又a b >，可得A B ∠>∠，则4B π∠=．故答案为：4π．一十四．复数的运算（共1小题）19．（2023•崇明区二模）设复数z 满足(1)2(i z i i -=是虚数单位），则z =　1i -+　．【解答】解：(1)2i z i -=Q ，∴22(1)2211(1)(1)2i i i iz i i i i +-+====-+--+．故答案为：1i -+．一十五．复数的模（共1小题）20．（2023•嘉定区二模）已知复数34(z i i =+为虚数单位），则||z =　5　．【解答】解：34z i =+Q，||5z ∴==．故答案为：5．一十六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题）21．（2023•嘉定区二模）已知四棱锥P ABCD -的正方形，侧棱长均为．若点A 、B 、C 、D 在圆柱的一个底面圆周上，点P 在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为 2π　．【答案】2π．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2，点A 、B 、C 、D 在圆柱的一个底面圆周上，即圆柱的底面圆半径等于1，圆柱的高即为正四棱锥的高，则该圆柱的体积为：2122V S h ππ=⋅=⨯⨯=．故答案为：2π．22．（2023•长宁区二模）已知圆锥侧面展开图的圆心角为23π，底面周长为2π．则这个圆锥的体积为．．【解答】解：设该圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，则根据题意可得2223lr πππ==，1r ∴=，3l =，h ∴==∴这个圆锥的体积为211133r h ππ=⨯⨯⨯=．．一十七．双曲线的性质（共2小题）23．（2023•杨浦区二模）1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b -=的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为【解答】解：由题意可得22||||||BF AB AF ==，由双曲线的定义可得112||||||2AF BF BF a =-=，又21||||2AF AF a -=，即2||4AF a =，在△12BF F 中由余弦定理22212121212||||||2||||cos F F BF BF BF BF F BF =+-∠可得：2221436162642c a a a a =+-⨯⨯⨯，即227c a =，即c =，即ce a==．．24．（2023•嘉定区二模）双曲线22197x y -=的离心率为 43　．【答案】43．【解答】解：由双曲线22197x y -=，得3a =，b =，4c ∴==，∴双曲线22197x y-=的离心率为43．故答案为：43．一十八．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共1小题）25．（2023•嘉定区二模）已知某产品的一类部件由供应商A和B提供，占比分别为13和23，供应商A提供的部件的良品率为0.96．若该部件的总体良品率为0.92，则供应商B提供的部件的良品率为　0.9　．【答案】0.9．【解答】解：设供应商B提供的部件的良品率为x，由题意可知，120.960.9233x⨯+=，解得0.9x=．故答案为：0.9．一十九．频率分布直方图（共1小题）26．（2023•宝山区二模）如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出[50，60)，[90，100)的数据）和频率分布直方图，则x y-=　0.004　．【答案】0.004．【解答】解：分数在[50，60)的频率为0.020100.2⨯=，由茎叶图得分数在[50，60)之间的频数为5，所以全班人数为5250.2=（人)，分数在[90，100)之间的频数为2，所以2250.00810y==，由10110(0.0360.0240.0200.008)x =-⨯+++，解得0.012x =．所以0.004x y -=．故答案为：0.004．二十．线性回归方程（共1小题）27．（2023•崇明区二模）某单位为了了解用电量y 度与气温C x ︒之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温(C)︒141286用电量（度)22263438由表中数据所得回归直线方程为ˆ2y x b =-+，据此预测当气温为5C ︒时，用电量的度数约为 40　C ︒．【答案】40．【解答】解：根据表格数据可得，141286104x +++==，22263438304y +++==，则样本中心点为(10,30)根据回归直线性质，ˆ2y x b =-+经过样本点中心(,x y ，则有ˆ2030b-+=，得ˆ50b =，故回归直线为250y x =-+，当5x =，40y =．故答案为：40．二十一．组合及组合数公式（共1小题）28．（2023•嘉定区二模）已知n N ∈，若265n C A =，则n =　3　．【答案】3．【解答】解：Q 265n C A =，65420n C ∴=⨯=，n N ∈Q ，3n ∴=．故答案为：3．二十二．二项式定理（共2小题）29．（2023•杨浦区二模）设554354310(21)x a x a x a x a x a +=+++++L ，则3a =　80　．【答案】80．【解答】解：554354310(21)x a x a x a x a x a +=+++++L ，则2335280a C =⋅=．故答案为：80．30．（2006•全国卷Ⅱ）在4101()x x +的展开式中常数项为　45　（用数字作答）．【解答】解：410405110101()()r r r r rr T C x C xx--+==要求常数项，即4050r -=，可得8r =代入通项公式可得821101045r T C C +===故答案为：45．二十三．进行简单的合情推理（共1小题）31．（2023•崇明区二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（答案不唯一）　．【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）（答案不唯一，只要写出一个即可）．【解答】解：根据题意和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等．故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（答案不唯一）．。

上海复旦附中2024学年高三年级第二学期数学试题周练一(含附加题)

上海复旦附中2024学年高三年级第二学期数学试题周练一（含附加题）注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm2．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（） A ．14B ．13C ．532D ．3163．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．1e 2⎛⎝ B ．12e ⎡⎢⎣C ．12e ⎛⎝⎦D ．12e ⎛⎝⎭4．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．1B ．22C ．624- D ．624+ 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（） A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x8．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC +9．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（）A ．74B ．5627C ．2D ．1648110．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（） A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+12．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第四章数列与数学归纳法本章测试(wd无答案)

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第四章数列与数学归纳法本章测试一、单选题(★★) 1. 无穷等比数列前项和，则各项和为（）.A．B．1C．D．任意实数(★★★) 2. 已知数列是等比数列，，且前项和满足，那么的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 3. 对于一个有限数列，的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中．若一个99项的数列（的蔡查罗和为1000，那么100项数列的蔡查罗和为A．991B．992C．993D．999(★★★) 4. 是等比数列，是等差数列，，公差，公比，则与的大小关系为（）.A．B．C．D．不确定(★★★) 5. 等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差 d的取值范围是A．B．C．D．(★★) 6. 设，其中每一个的值都是0或2这两个值中的某一个，则一定不属于（）.A．B．C．D．(★★) 7. 在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”.下列是对“等差比数列”的判断：① 不可能为；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为.其中正确的判断是（）.A．①②B．②③C．③④D．①④(★★★) 8. 已知数列的通项公式为，则数列中的最小项为（）. A．B．C．D．二、填空题(★) 9. 已知数列6，9，14，21，30，…，对于任意的正整数与之间满足关系式：_______.(★★) 10. 在等差数列{ }中，前15项的和，则 .(★★) 11. 若在等比数列中，，则公比_______.(★★) 12. 对于等差数列有如下性质：若数列是等差数列，，则数列也为等差数列.类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，当__________时，数列也是等比数列．(★★★) 13. 为等差数列的前项和，若，则_______.(★★★) 14. 数列满足，记，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为___________．(★) 15. 等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则 _______ . (★★) 16. 在数列中，若，求_______.(★) 17. 设数列有，则_______.(★★★) 18. 等比数列，设前项和为，则_______.(★★★) 19. 数列前项和，当时单调递增，则的取值范围是_______.(★★★) 20. 如图，以，为顶点作正三角形，再以和的中点为顶点作正三角形，再以和的中点为顶点作正三角形，，如此继续下去.有如下结论：①所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列；②每一个正三角形都有一个顶点在直线上；③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点的坐标是；④第个正三角形的不在第个正三角形边上的顶点的横坐标是，则.其中正确结论的序号是___________.（把你认为正确结论的序号都填上）(★) 21. 在行列矩阵中，记位于第行第列的数为．当时，________．(★★★★) 22. 己知数列满足就：，，，若，写出所有可能的取值为 ______ .(★★★) 23. 设，，，，则数列的通项公式= ．(★★) 24. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。

沪教版高三数学周末练习10(基础卷第二版)

第十一周周末作业姓名______________1、设集合{|1}A x x =>，{|0}3x B x x =<-，则A B = 2、已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=3、设双曲线22192x y -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =4、过点(0,1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是______________5、已知椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，则k 的值为______________ 6、双曲线22172x y -=的左焦点到直线3450x y +-=的距离是 7、若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为 8、若向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 与b 夹角为9、在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则△ABC 的面积= 10、已知函数cos 21()sin 2201x f x x -=.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像先向左平移6π，再向上平移1单位，得到函数()y g x =，求函数()y g x =在[0,]2x π∈的值域.11、已知圆C 的圆心坐标为(1,2)，且与直线34200x y --=相切. （1）求圆C 的标准方程.（2）若圆C 被直线:0l x y b -+=所截得的弦长为6，求b 的值.12、已知双曲线C 的一个焦点坐标为(2,0)，左顶点为(1,0)-.（1）求双曲线C 焦点到渐近线的距离；（2）若直线l 的方程为21y x =-，交曲线C 于A 、B 两点，求AB 的长度.13、已知曲线Γ上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 的距离之和为l 交曲线Γ于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求曲线Γ的方程；（2）若直线l 的方程为10x y -+=，求三角形2AF B 的面积；（3）是否存在l 过点1F 且满足OA OB ⊥，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.。

2024年沪教新版高三数学下册阶段测试试卷483

2024年沪教新版高三数学下册阶段测试试卷483考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、下列说法中。

①②③正数的n次方根有两个。

④a的n次方根就是⑤⑥正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42、已知不等式|y+4|-|y|≤1+a对任意的实数x，y成立，则常数a的最小值为（）A. lB. 2C. 3D. 43、已知F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P是该双曲线和圆x2+y2=a2+b2的一个交点，若sin∠PF1F2=2sin∠PF2F1，则该双曲线的离心率是（）A.B.C.D.4、三个数32.1，3-1.5，的大小关系是（）A.B.C.D.5、函数的最大值与最小值之和为（）。

(A)(B)0 (C)(D)6、执行如图所示的程序框图；若输出的y值的范围为[0，4]，则输入的x的值的范围为（）A. [-1；2]B. [-1；3]C. [0；2]D. [-2；2]7、当时,在同一坐标系中,函数的图象是（）A B C D8、【题文】已知则的取值范围是（）A.B.C.D.9、已知集合A={x|0<x<2}集合B={x|−1<x<1}则A∪B等于()A. {x|0<x<1}B. {x|−1<x<2}C. {x|0<x<2}D. {x|−1<x<1}评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、已知函数f（x）=tan，x∈（-4，4），则满足不等式（a-1）log[f（a-1）+]≤2的实数a的取值范围是____．11、如图，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°且PA=AB=BC=a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于____．12、经过点A（0，3），且与直线y=-x+2垂直的直线方程是____．13、已知A，B是椭圆的左右顶点，点M在椭圆上（异于A，B），直线AM，BM的斜率分别为k1，k2；则k1×k2=____．14、不等式组所确定的平面区域记为D．若点（x，y）是区域D上的点，则2x+y的最大值是____；若圆O：x2+y2=r2上的所有点都在区域D上，则圆O的面积的最大值是____．15、（2013•沈河区校级模拟）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是____．注：将i＜=2010改为i＜=2012．16、在△ABC中，若b=4，cosB=-，sinA=，则a=____，c=____．17、已知函数f（x）=sinx+cos（x+t）为偶函数，且t满足不等式t2-3t-40＜0，则t的值为____．18、已知c= 直线ax+by=2（其中a、b为非零实数）与圆x2+y2=c，（c＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则的最小值为____．评卷人得分三、判断题(共5题，共10分)19、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．20、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）21、已知函数f（x）=4+a x-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（ 1，5 ）____．（判断对错）22、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．23、任一集合必有两个或两个以上子集．____．评卷人得分四、计算题(共2题，共6分)24、实数x，y满足不等式组，则z=的最小值为____．25、在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为（Ⅰ）求sinA+sinC的值；（Ⅱ）求b的值．评卷人得分五、解答题(共1题，共10分)26、【题文】如图；四棱锥G—ABCD中，ABCD是正方形，且边长为2a，面ABCD⊥面ABG，AG=BG。

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高三数学周末练习4 姓名：一、填空题 1.如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么cos()2πα-= 2.不等式111
x ≥-的解集是 3.已知扇形的面积为3π，弧长为3π，则该扇形的圆心角的弧度数是
4.若函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则()f x =
5.已知α为锐角，且3cos()45πα+
=，则cos α= 6.方程)14lg()525lg(-=-⋅x x 的解是=x
7．若函数x
a x x f +=4)(在区间]2,0(上是减函数，则实数a 的取值范围是 8.化简：5sin()tan(
)2cos(2)cot()2ππααππαα-+=-- 9.已知ααcos 31sin -=，则α
απ
2cos )4sin(-的值等于 10.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 11.已知正数x ，y ，z 满足023=-+z y x ，则xy
z 2
的最小值为 12.已知)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的
定义域均为[-3，3]，且它们在]3 ,0[∈x 上的图像如图所
示，则不等式
0)()(<x g x f 的解集是二、选择题
13.二次函数c bx ax y ++=2中，0<ac ，则函数的零点个数是（）
A ．1
B ．2
C ．0
D ．无法确定
14.设角α的始边为x 轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin 0α>”的（）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
x 0 y 1 2 3 y=f(x) y=g(x)
15.已知a 是ABC ∆的一个内角，则“sin 2
α=”是“45α=︒”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
三、解答题
16.（1）已知1cos 3ϕ=-，且32
ππϕ<<， sin 2ϕ、cos 2ϕ和tan 2ϕ的值. （2）已知α为锐角，35sin ,αβ=是第四象求限角，45cos()πβ+=-，求sin()αβ+的值。

17.已知3,(
,)4παβπ∈，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求cos()4
πα+.
18.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2=-b a ，4=c ，B A sin 2sin =；
（1）求ABC ∆的面积S ；
（2）求sin(2)A B -的值.。