苏教版高一数学第一学期期末试卷好题精选
江苏省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．函数的定义域为（ ） ()ln 1y x =+A ． B ． ()1,+∞()1,-+∞C ． D ．[)1,-+∞(),1-∞-【答案】B【分析】根据对数的真数大于零可得出关于x 的不等式，即可解得函数的定义域. ()ln 1y x =+【详解】令，解得， 10x +>1x >-故函数的定义域为. ()ln 1y x =+()1,-+∞故选：B.2．“”是“”的（ ） 1x >21x >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不1x >21x >21x >1x >1x >21x >必要条件． 故选：A ．3．在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表： x0.500.99 2.01 3.98y 0.99-0.010.982.00则下列选项中对x ，y 最适合的拟合函数是（ ）A ． B ． C ．2y x =21y x =-22y x =-D ．2log y x =【答案】D【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论． 【详解】解：根据，，代入计算，可以排除； 0.50x =0.99y =-A 根据，，代入计算，可以排除、； 2.01x =0.98y =B C 将各数据代入检验，函数最接近，可知满足题意 2log y x =故选：．D【点睛】本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十1R 2R α二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.1R 2R α1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩6α=故选：C5．已知函数，则的值为（ ）()12cos ,0,0x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪≥⎩π3f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ABC ．4D ．14【答案】B【分析】根据分段函数运算求解.【详解】由题意可得：，故πππ1cos cos 3332f ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12π11322f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B.6．函数的图像大致为（ ）()2sin f x x x =A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数是奇函数，且函数在时函数值的正负，从而得出结论．()2sin f x x x =()0,πx ∈【详解】由函数定义域为,,故()2sin f x x x =R ()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-()2sin f x x x=为奇函数，故它的图像关于原点对称，可以排除C 和D ；又函数在时,函数，可以排除B ，所以只有A 符合．()2sin f x x x =()0,πx ∈()2sin 0f x x x =>故选:A ．7．在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，e 2.71828...=3e 20≈，则（ ）7e 1100≈ln 55≈A ．B ．C ．4D ．673113【答案】C【分析】根据题意结合指、对数运算求解.【详解】由题意可得：.7431100e ln 55ln ln ln e 420e =≈==故选：C.8．函数的零点为，函数的零点为，若()2log 4f x x x =+-1x ()()()log 151a g x x x a =+-->2x ，则实数的取值范围是（ ） 211x x ->aA ．B ．C ．D ．(()1,2)+∞()2,+∞【答案】D【分析】根据函数单调性,再由确定范围,即可确定实数的取值范围. 211x x ->a 【详解】已知,, ()2log 4f x x x =+-()()()log 151a g x x x a =+-->函数的零点为，()2log 4f x x x =+-1x函数的零点为， ()()()log 151a g x x x a =+-->2x 则()12122log 4log 150a x x x x +-=+--=()12122log 41log 14a x x x x +-=-+--()12122log 1log 1a x x x x +=-+-121x x <-又因为,这两函数均单调递增， 2log y x x =+()()log 111a y x x a =+-->当时，,解得. 121x x <-()212log >log 1a x x -2a >故选:D.二、多选题9．已知角的终边经过点，则（ ） θ()()2,0P a a a >A ．B ．sin θ=cos θ=C ．D ．1tan 2θ=tan 2θ=【答案】AC【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】因为角的终边经过点， θ()()2,0P a a a >所以，故A 正确；sin θ=B 错误；cos θ==，故C 正确，D 错误. 1tan 22a a θ==故选：AC.10．若，则（ ） 01m a b <<<<A ． B ． a b m m <m m a b <C ．D ．log log m m a b >b aa mb m>++【答案】BCD【分析】对于A ：构造函数，利用单调性判断；对于B ：构造函数，利用单调()x f x m =()mg x x =性判断；对于C ：构造函数，利用单调性判断；对于D ：利用作差法比较大小.()log m h x x =【详解】对于A ：因为，所以单调递减.01m <<()xf x m =因为，所以.故A 错误；a b <a b m m >对于B ：因为，所以单调递增.01m <<()mg x x =因为，所以.故B 正确；a b <m m a b <对于C ：因为，所以单调递减. 01m <<()log m h x x =因为，所以.故C 正确；a b <log log m m a b >对于D ：因为，所以.故D 正()()()()()()220b a b a m b a b bm a am a m b m a m b m a m b m -+-+---==>++++++b aa mb m>++确. 故选：BCD11．已知函数，则（ ） ()1tan tan f x x x=+A ．的最小正周期为B ．的图象关于轴对称()f x π()f x y C ．的最小值为2 D ．在上为增函数()f x ()f x ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AD【分析】先利用三角函数基本关系式化简得，再利用周期函数的定义与诱导公式即可()2sin 2f x x=判断A 正确；举反例即可排除B ；取特殊值计算即可判断C 错误；利用三角函数的单调性与复合函数的单调性即可判断D 正确.【详解】对于A ，因为， ()221sin cos sin cos 2tan tan cos sin sin cos sin 2x x x x f x x x x x x x x+=+=+==设的正周期为，则，即， ()f x T ()()f x T f x +=()22sin 2sin 2T x x =+所以，()sin 22sin 2T x x +=由诱导公式可得，即， 22π,Z T k k =∈π,Z T k k =∈又，故，即，则，故， 0T >π0k >0k >1k ≥ππT k =≥所以的最小值为，即的最小正周期为，故A 正确；T π()f x π对于B ，因为， ππ1ππ1tan 2,tan 2ππ4444tan tan 44f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭又与不关于轴对称， π,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,24⎛⎫⎪⎝⎭y 所以的图象关于轴对称，故B 错误；()f x y 对于C ，因为，所以2不是的最小值，故C 错误；π24f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()f x 对于D ，因为，所以，故在上单调递减，且，ππ42x <<π2π2x <<sin 2y x =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭sin 20x >又在上单调递减， 2y x=()0,∞+所以在单调递增，故D 正确. ()2sin 2f x x =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭故选：AD.12．已知函数，对于任意，，则（ ） ()y f x =,R x y ∈()()()f x f x y f y =-A ． B ．()01f =()()22f x f x =C ． D ．()0f x >()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥【答案】ACD【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可. 【详解】令，故A 正确； ()()()()001f x x y f f f x =⇒=⇒=由已知，① ()()()()()()()()()f x f x y f x f y f x y f x y f x f y f y =-⇒=-⇒+=令满足题干要求，则，故B 错()()(),0,11,x f x a a =∈+∞ ()()2222,,x xf x a f x a ==()()22f x f x ≠误；由①可知，令，则，2x x y ==()2222x x x f x f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦又因为，则，所以，故C 正确； ()()()f x f x y f y =-02x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭()202x f x f ⎡⎤⎛⎫=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦因为，所以，()0f x>()()f x f y +≥=又由①，令，则， 2x y x y +==()2222x y x y x y f x y f f f ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，故D 正确.()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥故选：ACD.三、填空题13．函数的图象关于点_________中心对称.（写出一个正确的点坐标即可） 2cos y x =【答案】（答案不唯一）π,02⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对称中心的横坐标满足，取得到2cos y x =ππ,Z 2x k k =+Î0k =【详解】对称中心的横坐标满足：，取得到对称中心为.2cos y x =ππ,Z 2x k k =+Î0k =π,02⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：π,02⎛⎫⎪⎝⎭14．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为x 0ax b +>()3,-+∞x 20ax bx +<_________. 【答案】()3,0-【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. ,a b a 【详解】由的解集为， 0ax b +>()3,-+∞可得，且方程的解为， 0a >0ax b +=3-所以，则， 3ba-=-3b a =所以，()222303030ax bx a x x x x x +=+<⇒+<⇒-<<即关于的不等式的解集为. x 20ax bx +<()3,0-故答案为：.()3,0-15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若R ()f x ()()4f x f x +=[)0,4x ∈()2xf x m =+，则___________.()()202331f f =m =【答案】1【分析】由题意可得函数的周期为4，根据题意结合周期性可得答案.【详解】由可得的函数周期为4，则， ()()4f x f x +=()f x ()()()20235054338f f f m =⨯+==+由，则，解得.()()202331f f =()832m m +=+1m =故答案为：1.四、双空题16．对于非空集合，定义，若，是两个非空集合，且，则M ()0,Φ1,x Mx x M ∉⎧=⎨∈⎩A B A B ⊆___________；若，，且存在，()()1A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦1sin 2A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭(),2B a a =x R ∈，则实数的取值范围是_______________.()()2A B x x Φ+Φ=a 【答案】 0513,,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】第一空分，和且三种情况来研究，第二空根据已知分析出a 的大致x A ∈x B ∉x A ∉x B ∈范围，最后列出不等式求解即可.【详解】即则一定有，所以分三段研究：A B ⊆x A ∈x B ∈时，，，即； x A ∈()1A x Φ=()1B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦时，，，即； x B ∉()0A x Φ=()0B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦且时，，，即.x A ∉x B ∈()0A x Φ=()1B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦综上所述，；()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦由已知()()()()21A B A B x x x x Φ+Φ=⇒Φ=Φ=且， 522,66A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(),20B a a a =⇒>要满足题意则，此时区间长度时一定满足，故下研究时，（其中A B ⋂≠∅43a π≥403a π<<，即为集合的补集中一段的区间长） 452366ππππ=+-A 此时，因此满足题意的反面情况有或，8023a a π<<<026a a π<<≤513266a a ππ<≤≤解得或，因此满足题意的范围为. 012a π<≤513612a ππ≤≤a 513,,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭五、解答题17．求下列各式的值：(1)； 6213222⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(2).ln3213log 8log 9e -+【答案】(1)128 (2)8【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数和指数的运算性质求解.【详解】（1）.612216723322222128⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭（2）. ln3213log 8log 9e 3238-+=++=18．若.()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭(1)求的值； sin cos αα⋅(2)若，求的值. ()0,πα∈tan α【答案】(1) 12sin cos 25αα=-(2)43-【分析】（1）化简得到，平方得到，得到答案. 1sin cos 5αα+=112sin cos 25αα+=（2）根据得到，解得，得到答案.12sin cos 025αα=-<7sin cos 5αα-=4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【详解】（1），则，()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭5sin 4cos cos 1ααα+=-+，，，则；1sin cos 5αα+=()21sin cos 25αα+=112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα=-（2），所以，即，， 12sin cos 025αα=-<2απ<<πsin 0α>cos 0α<. 7sin cos 5αα-===，解得， 7sin cos 51sin cos 5αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩sin tan s 43co ααα==-19．已知集合，. 14x A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭()(){}230B x x m x m =---<(1)若，求；3m =-A B ⋃(2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.若A B B = A B ⋂=∅_________，求实数的取值范围.m 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(),0A B ⋃=-∞(2)选①；若选②. (]{},73-∞-⋃[)2,-+∞【分析】(1)代入的值，求出集合B ，用并集的运算性质计算即可.m (2)若选①，即，则对的值进行分类讨论，根据集合包含关系即可得到的取值A B B = B A ⊆m m 范围.若选②，对的值进行分类讨论，依次根据，求实数的取值范围. m A B ⋂=∅m 【详解】（1），即， ()36060m x x x =-⇒+<⇒-<<()6,0B =-而，即，所以； 441004444x x x x x x x -->⇒>⇒<⇒<-+++(),4A =-∞-(),0A B ⋃=-∞（2）若选①即A B B = B A ⊆时，，即，要满足题意则，与前提矛盾，舍； 3m >23m m >+()3,2B m m =+24m ≤-时，，即，符合题意；3m =23m m =+B =∅时，，即，要满足题意则，即.3m <23m m <+()2,3B m m =+34m +≤-7m ≤-综上所述，实数的取值范围是. m (]{},73-∞-⋃若选②，若，A B ⋂=∅时，，即，要满足题意则，则满足，解得3m >23m m >+()3,2B m m =+A B ⋂=∅34m +≥-，则；7m ≥-3m >若时，，即，满足；3m =23m m =+B =∅A B ⋂=∅时，，即，要满足题意则解得，即；3m <23m m <+()2,3B m m =+24,m ≥-2m ≥-23m -≤<综上，实数的取值范围是.m [)2,-+∞20．函数（，）在一个周期内的图象如图所示.()()sin f x A x =+ωϕ0,0A ω>>0πϕ<<(1)求的解析式； ()f x (2)将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：()f x 2π3()g x ()()()h x f x g x =-为偶函数.()h x 【答案】(1)()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由图得到，求得，代入点，求得，2,πA T ==2ω=π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z 结合题意得到，即可求得函数的解析式；23ϕπ=（2）由三角函数的图象变换求得，根据偶函数的定义证明即可.()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】（1）由最值得， 2A =由相邻两条对称轴距离得，则，即，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2ππT ω==2ω=此时，()()2sin 2f x x ϕ=+代入点得：，π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin 16ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则，即， ()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z ()2π2π3k k ϕ=+∈Z 又因为，所以， 0πϕ<<230,k πϕ==故.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意得， ()2π2π2π2sin 22sin 2333g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则， ()2π2π2sin 22sin 233h x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为， ()()2π2π2π2π2sin 22sin 22sin 22sin 23333h x x x x x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+---=--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以为偶函数.()h x 21．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单x C 位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与x ()()2005C x x x =>+安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. y (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； y x (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ x y 【答案】(1)[]11,20(2)设备占地面积为时，的值最小. 215m y【分析】（1）由题意解不等式，即可求得； 800.27.25x x ++≤（2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得. ()800.205y x x x =+>+要满足题意,则， 7.2y ≤即，解得：. 800.27.25x x ++≤1120x ≤≤即设备占地面积的取值范围为.x []11,20（2）， 805800.21117555x y x x x +=+=+--=++≥=当且仅当时等号成立. 5801555x x x +=⇒=+所以设备占地面积为时，的值最小. 215m y 22．已知函数，. ()()1222x x f x -=+()()1222x x g x -=-(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数； ()f x [)0,∞(2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实()()()2449F x fx mf x =-+m []20,log x m ∈()0F x ≥数的取值范围； m (3)当，判断与的大小，并注明你的结论. 0a ≥()()g x f x ()()1af x a +-【答案】(1)证明见解析 (2)(]1,3(3) ()()()()1g x af x a f x <+-【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；（2）先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数的取值范围； m （3）采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小. 【详解】（1）解：， 120x x ∀>≥()()()()11221211222222x x x x f x f x ---=+-+ 2112121212121222222222221212222x x x x x x x x x x x x x x --++--+-+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭因为，所以，，所以， 120x x >≥12220x x ->1221x x +>()()120f x f x ->即在上是增函数.()f x [)0,∞+（2）解：由已知 ()2222244922x x x xF x m --⎛⎫⎛⎫++=⋅-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭设，由（1）得在上单调递增，即，222xxt -+=()f x []20,log m 11,2m m t ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以， ()229044904494F x t mt mt t m t t⇔-+⇔+⇔+≥≥≤≤①时，，即，当且仅当时取等， m 1322m m +≥934t t+=≥32t =此时要满足恒成立，即；94m t t +≤min 934m t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭≤3m ≤②，此时在上单调递减， 1m <<1322m m +<94y t t =+11,2m m ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦即， min119,1222m m m m t ym m ++==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭此时要满足恒成立，即，化简得， 94m t t+≤min 1991422m m m t t m m +⎛⎫+=+⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭≤42910m m --≤此时因为，此时恒成立211m m <<⇒<<42910m m --≤综上所述，实数的取值范围是.m (]1,3（3）解：()()()()112222111222x xx x xxg x af x a a a f x -+---=-⋅-++ 2112222222111222222x xxxxx xxxx a a a ⎛⎫++ ⎪=--⋅=--⎪⎪++⎝⎭因为（当且仅当时取等），所以，即， 1222xx +≥0x =12212x x +≥122102x x+-≤由已知，所以， 0a ≥122102xx a ⎛⎫+ ⎪- ⎪⎪⎝⎭≤又因为，所以，即，20x >220122xxx>+220122xxx-<+因此，所以. ()()()()122221101222xx x x x g x af x a a f x ⎛⎫+ ⎪---=--< ⎪⎪+⎝⎭()()()()1g x af x a f x <+-。
苏教版高一上册数学期末综合试题及答案
苏教版高一上册数学期末综合试题及答案1.已知向量a=(cos75°,sin75°),b=(cos15°,sin15°)，求|a-b|的值。
解：|a-b|=|(cos75°-cos15°,sin75°-sin15°)|=√[(cos75°-cos15°)²+(sin75°-sin15°)²]2-2cos60°]=√32.函数y=sin(2x+π/6)的图象的对称中心的坐标是？解：sin(2x+π/6)=sin(2x+π/3-π/6)=sin(2(x+π/6))，所以函数y=sin(2x+π/6)的图象以x=-π/6为对称中心。
3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P,且x∉Q}，如果P={x|log2x<1}，Q={x|x(x-2)<1}，那么P-Q=？解：P={x|log2x<1}={x|0<x<2}，Q={x|x(x-2)<1}={x|1<x<2}，所以P-Q={x|0<x<1}。
4.定义在R上的函数f(x)满足关系式：f(x)+f(1-x)=2，则f(1/2)+f(1/4)+…+f(1/2^n)的值等于多少？解：将x=1/2代入关系式得f(1/2)+f(1/2)=2，所以f(1/2)=1.将x=1/4代入关系式得f(1/4)+f(3/4)=2，所以f(1/4)=f(3/4)=3/4.以此类推，可以得到f(1/2^n)=1/2^n。
所以f(1/2)+f(1/4)+…+f(1/2^n)=1+3/4+5/8+…+(2n-1)/2^n=2-1/2^n。
5.已知向量a=(1,1,1),b=(2,2,-1)，则向量a+b,a-b,a·b的夹角的大小分别是多少？解：a+b=(3,3,0)，a-b=(-1,-1,2)，a·b=1×2+1×2+1×(-1)=3.所以a+b与a-b的夹角的cos值为(a+b)·(a-b)/(∣a+b∣∣a-b∣)=0，即它们垂直；a与b的夹角的cos值为a·b/(∣a∣∣b∣)=1/√3，所以它们的夹角的大小为arccos(1/√3)。
苏教版高一数学第一学期期末试卷--好题精选
高一上学期期末测试题第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题 5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的.1 .设集合 X ={0,1,2,4,5,7}, Y ={1,3,6,8,9}, Z ={3,7,8}，那么集合（XnY ）UZ 是（（湖南版必修一 P 69第2题）2 .设集合A 和集合B 都是自然数集 N ,映射f : A T B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的则f （7.5）等于（湖南版必修一P 47第20题）22 227.如果方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)所表示的曲线关于直线 y= x10. 一个封闭的立方体，它的六个表面各标出 ABCDEF 这六个字母.现放成下面三中不同的位置,所看见的表面上字母已标明， 则字母A 、B 、C 对面的字母分别为（A. {0,1,2,6,8}B. {3,7,8}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}元素n2+n ,则在映射f 下，像20的原像是（）（湖南版必修一 P 7i 第15题）A. 2B. 3C.D. 53.与函数y = x 有相同的图像的函数是（ （湖南版必修一 P|44第2题）A. y = . x 2B.2x y =一 xlOg a xC. y — a (a A0且a #1)D.y =log a a x4.方程lg x =3 — x 的解所在区间为（ ）（苏教版必修一 P 78例2改编）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.设f （x ）是（㈤,收）上的奇函数，且 f (x+2) = - f (x),当 0WxW1 时，f(x) = x,A. 0.5B. -0.5C. 1.5 6.下面直线中，与直线 2x-y-3 = 0相交的直线是（ A. 4x -2y-6 =0 B . y =2xC. y = 2x 5D. -1.5(苏教版必修二 P 90第1题)D. y - -2x 3对称，那么必有（ A. D = E）（苏教版必修二 P 05第6题）B. D = FC. E = FD. D = E = F8.如果直线a//直线b,且a//平面a ,那么 山"的位置关系是（北师大版必修二P 37第2题） A.相交9.在空间直角坐标系中,第3题改编）B. b//：C. bD. A. (3,2,-1) 点P （3, -2,1）关于x 轴的对称点坐标为B. (-3,- 2,1)C. (-3,2,-1)D. b 〃0t 或 b ua）（北师大版必修二 P 13(3,2,1)）（苏教版必修二P 65第第二部分非选择题(共100分)11 .募函数y=f(x)的图象过点(2,巫)，则f(x)的解析式为2一&第10题)12 .直线过点P(5, 6),它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则此直线方程为 (苏教版必修二P 120第5题)13 .集合 M ={( x, y)| x 2+y 2<4}, N ={( x, y)| (x -1)2 +( y -1)2< r 2, r >0},若 M门 N = N , 则实数r 的取值范围为 (苏教版必修二 P 20第12题)14 .已知函数f(x), g(x)分别由下表给出，则 f[g(2)]=, g[f(3)]=.(苏教版必修一 P 29第8题)三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程 .(其中15题和18题每题12分，其他每题14分)15 .已知函数f(x)=x 2-2|x|-1 ,作出函数的图象，并判断函数的奇偶性.(苏教版必修一 P 43第 6题)x16 .已知函数 f(x)=log a (a -1)(a A0,a #1).(1)求函数f (x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的单调性.A. D 、E 、FB. E 、D 、FC. E 、 F 、 DD. F 、D 、E二、填空题：本大题共 4小题,每小题5分，满分20分.(人教A 版必修17.正方体ABCD —ABC1D1 中，求证：(1) AC_L 平而B1D1DB ; (2) BD1 _L 平面ACB1 .(17题图)18. 一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,在其中有一个高为x cm的内接圆柱(1)试用x表示圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？2 219.求二次函数f(x)=x —2(2a—1)x+5a -4a +2在［0,1］上的取小值g(a)的解析式.20.已知圆C : (x-1)2+( y -2)2 =25 ,直线l: (2m+1)x+ (m+1)y -7m -4 =0 .(1)求证：直线l恒过定点；(2)判断直线l被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.高一上学期期末复习题参考答案及评分标准、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题，每小题5分，满分5 0分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CCDCBDADAB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共4小题，每小题5分，？t 分2 0分.111 . f (x) = x 212 . 6x —5y =0或 x+2y —17 =0 13 . (0, 2 - ,2] 14 . 2;3三、解答题：15 .本小题主要考查分段函数的图象，考查函数奇偶性的判断.满分12分.2 一一解：f(x)=1一211, (x -0)x 2x -1, (x :: 0)函数f (x)的定义域为Rf (x) = x 2-2 | x| -1f (-x) =( -x)? -2| -x| T二x2-2|x| -1 = f(x)所以f (x)为偶函数.16 .本小题主要考查指数函数和对数函数的性质，考查函数的单调性 .满分14分.解：(1)函数f(x)有意义，则ax—1A0 ……2分当a A1时，由a x—1 A0解得x>0； 当 0 <a <1 时，由 a x-1 >0解得 x<0. 所以当a >1时，函数的定义域为(0, 十至)；函数f (x)的图象如右图 12分当0<a <1时，函数的定义域为(㈤,0). ……6分⑵ 当 a >1 时，任取x1,x2w (0,七c),且x1 > x2,则a* a a x2上 ( x x a占一1 a x1- a x2f(X)— f(x2)-log a (a -1) -log a(a -1)-log a^—=log a(1 . 片 )a 2-1 a 2-1a x1_a x27 a x1>a x2,二f (x1) — f (x2) =log a(1+—x2—-) >log a1 =0，即f (x1)> f (x2) a - 1由函数单调性定义知：当a>1时，f(x)在(0,十比)上是单调递增的. ……10分当0 <a 父1 时，任取％,x2w (-°o,0),且x1A x2,贝U a x1<a x2( ( x x2a x1-1 a x1- a x2f(X) — f(x2) -log a (a -1) -log a(a -1)-lOg a^—=log a(1 - x2 d )a 2-1 a 2-1x1 x27 a x1<a", 「. f (x1) - f (x2) =log a(1+ —x2—^) >log a1=0，即f(X)A f (x2)a 1由函数单调性定义知：当0<a<1时，f (x)在(-8,0)上是单调递增的. ……14分17.本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能力和推理证明能力.满分14分.证明：（1）正方体ABCD -A1B1C1D1中，B〔B_L 平面ABCD, AC 二平面ABCD ,AC _L B〔B ……3 分又：*AC_LBD, BD D B^M B,AC _L 平面BDQB ……7 分（2）连接AD3BC1, D1C1 _L平面BCC1B1 , B〔C u 平面BCC1B1 ,二B〔C _L DG又；B1c _L BC1 , BC1「口&=&, B1C _L 平面ABC1D1；BD1u 平面ABC[D1，二BD〔_L B1c ……10 分由（1）知AC _L 平面B1D1DB , BD1仁平面ABCD, A BD1 .L ACVAC PB1C =C, BD〔_L 平面ACB1 ……14 分18.本小题主要考查空间想象能力，运算能力与函数知识的综合运用.满分12分.解：（1）如图：|_POB中，-DB =OB,即？旦=2 ……2分D1D PO x 6p r - 1 " - r- c 1DB = — x, OD=OB-DB=2 x 3 31圆枉的侧面积S=2二OD D1D=2二(2 --x) xc 2 二, S =——(6 -x) x ( 0 < x < 6) 32 二 2 二 2(2) S = — (6-x) x = -— (x-3)2+6n3 3，x=3时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积为6ncm2……12分19.本小题以二次函数在闭区间上的最值为载体，主要考查分类讨论的思想和数形结合的思想满分14分.2 2 2 2斛：f(x)=x -2(2a—1)x 5a -4a 2 = [x-(2a-1)] a 1所以二次函数的对称轴x=2a—1 ……3分1 ....当2a -1 <0,即a <5时，f (x)在[0,1]上单调递增，,、-一_ 2 一g(a)= f(0) =5a -4a +2 ……6分当2a—1至1,即a至1时，f(x)在[0,1]上单调递减,二g(a) = f (1) =5a2 -8a+5 ……9 分1. - 2当0<2a—1<1,即万<a<1 时，g (a) = f (2a-1) = a +1 ……12 分1、J 2 .八 ,5a -4a +2, (a <-)…… 2 1综上所述g(a)=4a +1, (- <a <1) ……14分25a2-4a+2, (a>1)20.本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查综合运用数学知识分析和解决问题能力满分14分. (1)证明：直线l的方程可化为(2x + y -7)m+(x + y -4) = 0 . ……2分工2x y-7=0 J x=3联立i y解得ix y -4 = 0 y =1所以直线l恒过定点P(3,1). ……4分(2)当直线l过圆心C时，直线l被圆C截得的弦彳S]■时最长. ……5分当直线l与CP垂直时，直线l被圆C截得的弦彳S]■时最短. ……6分设此时直线与圆交与A, B 两点.，mmmmmmmmmmmmmm2m 1 1-2 1直线l 的斜率k = _2m3，k CP2 2m 1 1 /3 八由―------ (--) = -1解得m = —一 . ……8分m 1 2 4此时直线l的方程为2x —y—5=0.圆心C(1,2)到2x —y—5=0的距离d =|2-35| =而.……仅分.5| AP|=|BP|= . r2-d2 = , 25-5 =2.5.所以最短弦长|AB |=2| AP |=4j5. ……14分。
(重点名校)苏教版高中数学必修一期末试卷(含答案)
（重点名校）苏教版高中数学必修一期末试卷（含答案）一、单选题1．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是( )A．任意，使方程无实根B．任意，使方程有实根C．存在，使方程无实根D．存在，使方程有实根2．已知函数的上单调递减，则的取值范围是（）A．B．C．D．3．若正数，满足，则的最小值为（）A．B．C．D．4．把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，最后把图像向左平移个单位长度，则所得图像表示的函数的解析式为（）A．B．C．D．5．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，6．若，则等于（）A．B．C．D．7．已知集合，，则（）A ．B．C．D．8．用列举法表示集合，则下列表示正确的是（）A ．B．C．D．9．下列四个等式:①;②;③若,则;④若,则.其中正确的是( )A．①③B．②④C．①②D．③④10．设，则的值为（）A ．B．C．D．11．已知，，则（）A ．B．C．D．12．已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题13．关于函数的性质的描述，正确的是（）A ．的定义域为B．的值域为C ．的图象关于轴对称D．在定义域上是增函数14．把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是（）A．g(x)在上单调递增B．g(x)的图象关于对称C．g(x)的最小正周期为4πD．g(x)的图象关于y轴对称15．若，，则下列选项正确的是（）A ．B．C．D．16．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）A．；q：方程的曲线是椭圆.B．；q：对不等式恒成立.C ．设是首项为正数的等比数列，p：公比小于0；q：对任意的正整数n，.D ．已知空间向量，，；q：向量与的夹角是. 17．下列说法中，正确的有（）A ．若任意、，当时，，则在上是增函数B ．函数在上是增函数C．函数在定义域上是减函数D．函数的单调区间是18．已知命题，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（）A ．B．C．D．19．已知函数的图象经过点，且在上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是（）A．B．C．在上单调递增D．在上有3个极小值点20．在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是A．函数在，上有两个零点B．函数是偶函数C．函数在，上单调递增D．对任意的，都有三、填空题21．函数的最小正周期是________．22．集合，若，则实数的取值范围是________．23．已知函数f(x)＝若f(m)＝1，则m＝________.24．已知，，且，则的最小值是______．25．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过后茶水的温度为℃，且.当茶水温度降至55℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为______（结果保留整数）.（参考数据：，，）四、双空题26．已知函数，则____.若存在，使得，则_________.27．命题“已知、、，，若且，则”．（1）其逆命题是________________________________________________________________．（2）其否命题是________________________________________________________________．28．若等腰三角形顶角的余弦值是，则底角的正弦值为________，正切值为________.五、解答题29．计算下列各式的值；．30．已知函数，.（1）若函数有且仅有一个零点，求实数m的取值范围（2）任取，，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.31．解关于x的不等式x2＋3ax－4a2<0(a∈R).32．已知：，：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.33．已知函数.（1）求函数的最小正周期.（2）求函数在上的单调增区间.34．用列举法表示下列集合：（1）方程组的解集；（2）不大于的非负奇数集；（3）．35．函数为R上的奇函数，（1）求m的值（2）若在上有解，求实数k的取值范围．36．某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留框的通道，沿前侧内墙保留宽的空地，设矩形温室的一边长为，蔬菜种植面积为（如图所示.）（1）建立关于的函数关系式；（2）当矩形室温的长和宽分别为多少时，蔬菜的种植面积大，并求出最大值.参考答案1．A2．C3．B4．B5．C6．A7．D8．B9．C10．D11．A12．D13．AC14．BCD15．ABCD16．ABC17．AC18．AD19．AC20．AB21．22．23．或24．425．726． 627．逆命题：已知、、，，若，则且否命题：已知、、，，若或，则28．29．(1) ；(2)30．（1）；（2）31．当a＝0时，不等式的解集为∅；当a>0时，不等式的解集为{x|－4a<x<a}；当a<0时，不等式的解集为{x|a<x<－4a}.32．33．（1）最小正周期为；（2）单调增区间为：，.34．(1){(2,1)}.(2){1,3,5,7,9}.(3){-2,1,2,3}35．（1）；（2）．36．(1) (2) 当矩形温室的长为，宽为时，蔬菜的种植面积最大，最大值为。
江苏省高一(上)期末数学试卷(附参考答案)
江苏省高一（上）期末数学试卷（附参考答案）一、单选题（共8小题）.1．集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{0，1}，则集合A∩B中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1}，∴A∩B＝{0，1}，∴集合A∩B中元素的个数是2．故选：B．2．函数y＝tan（2x﹣）的周期为（）A．2πB．πC．D．解：函数y＝tan（2x﹣），所以T＝＝．故选：C．3．方程的解的个数为（）A．0B．1C．2D．3解：因为方程的解的个数即为函数y＝与函数y＝log x的交点个数，在同一直角坐标系中，画出草图可得：交点个数只有一个，故方程的解的个数为1，故选：B．4．对于全集U，命题甲“所有集合A都满足A∪∁U A＝U”，命题乙为命题甲的否定，则命题甲、乙真假判断正确的是（）A．甲、乙都是真命题B．甲、乙都不是真命题C．甲为真命题，乙为假命题D．甲为假命题，乙为真命题解：因为命题乙为命题甲的否定，所以命题乙“存在集合A都满足A∪∁U A≠U”．对于A，因为命题与命题的否定只有一个为真，所以A错；对于B，因为A∪∁U A＝U对任何U的子集都成立，所以B错；对于C，因为任何集合A，A∪∁U A＝U都成立，但不存在集合A使A∪∁U A≠U，所以C 对；对于D，由C知，D错；故选：C．5．如图，有一个“鼓形”烧水壶正在接水．水壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起．已知单位时间内注水量不变，壶中水面始终为圆形，当注水t＝t0时，壶中水面高度h达到最高h0．在以下图中，最能近似的表示壶中水面高度h与注水时间t的关系是（）A．B．C．D．解：由于壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起，则注水过程中，水面逐步增加，一开始递增速度较慢，超过中间部分后，单位时间内递增速度较快，则对应的图象为B，故选：B．6．函数f（x）＝log3（x+2）+x﹣1的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：∵f（x）＝log3（x+2）+x﹣1，∴f（0）＝log32﹣1＜0，f（1）＝1，∴f（0）f（1）＜0，∴f（x）在（0，1）上存在零点．故选：A．7．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质．已知函数的图象可能为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B，C，当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除D，故选：A．8．为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求．假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是（）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）A．2025年B．2026年C．2027年D．2028年解：设经过n年后的投入资金为y万元，则y＝500（1+20%）n，令y≥1600，即500（1+20%）n≥1600，故，所以＝，所以第7年即2027年市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元．故选：C．二、多项选择题9．下列命题中正确的是（）A．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bdB．若a＞b，则ka＞kbC．若a＜b，则|a|＜|b|D．若a＞b＞0，则解：对于A，若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd，故A正确；对于B，当k≤0时，不等式ka＞kb不成立，故B不正确；对于C，若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故C不正确；对于D，若a＞b＞0，则显然成立，故D正确．故选：AD．10．已知点P（1，t）在角θ的终边上，下列关于θ的论述正确的是（）A．如果，B．如果，则t＝2C．如果t＝3，则sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝2D．如果sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1），则解：对于A，＜0⇒θ角终边在三、四象限，又因为点P（1，t）在角θ的终边，所以θ在第四象限，所以A对；对于B，当t＝﹣2时，也有，所以B错；对于C，t＝3⇒cosθ＝，sinθ＝⇒sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝＝2，所以C对；对于D，sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1）⇒sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ＝a2⇒＜0，又⇒sinθ＜0⇒sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，sin3θ﹣cos3θ＝（sinθ﹣cosθ）•（sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）＝（sinθ﹣cosθ）（1+sinθcosθ）＝﹣[1+]⇒，所以D对．故选：ACD．11．若2x＝3，3y＝4，则下列说法正确的是（）A．xy＝2B．C．D．x＞y解：∵2x＝3，3y＝4，∴x＝log23，y＝log34，∴xy＝log23•log34＝2，故A正确；x＝log23＞＝，故B错误；x+y＝log23+log34＞＝2，故C正确；x﹣y＝log23﹣log34＝﹣＝＞＞＝0，即x＞y，故D正确．故选：ACD．12．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米．已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，经过t秒后，水车旋转到P点，则下列说法正确的是（）A．在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒B．当t＝[0，15]时，点P距水面的最大距离为6米C．当t＝10秒时，PP0＝6D．若P第二次到达最高点大约需要时间为80秒解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，以平行于水面的直线为x 轴建立平面直角坐标系，点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h＝f（t）＝A sin（ωt+φ）+B．则，解A＝6，B＝3，又水轮每分钟转动一周，则，∴f（t）＝6sin（φ）+3，由f（0）＝6sinφ+3＝0，得sinφ＝，∴φ＝，则f（t）＝6sin（）+3．对于A，由f（t）＝6sin（）+3＞3，得0π，解得5＜t＜35，则在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为35﹣5＝30秒，故A正确；对于B，f（15）＝6sin（）+3＝＞6米，故B错误；对于C，当t＝10时，，又OP＝6，∴，故C正确；对于D，由6sin（）+3＝9，得，即t＝20，则P第二次到达最高点大约需要时间为60+20＝80秒，故D正确．故选：ACD．三、填空题13．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）的值为．解：设幂函数为：y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），∴2＝4a，∴a＝，∴f（2）＝．故答案为：14．函数在上的值域为．解：对于函数，当x∈时，2x﹣∈[﹣，π]，故当2x﹣＝时，y取得最大值为2，当2x﹣＝﹣时，y取得最小值为﹣，∴函数在上的值域为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．15．若正数a，b满足a+b＝2，则ab的最大值为1；的最小值为．解：∵正数a，b满足a+b＝2，∴2≥2，解得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴ab有最大值为1．＝（+）（a+b）＝（5++）（5+2）＝，当且仅当b＝2a＝时取等号．∴的最小值为，故答案为：1，．16．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为（40+30）π米．解：由题意，如图所示，可得QT＝60米，PQ＝60米，连接PO，可得PO⊥QT，因为sin∠QPO＝，所以∠QPO＝，∠QPT＝，所以绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为L＝2π×（）+60×＝（40+30）π米．故答案为：（40+30）π．四、解答题17．求下列各式的值．（1）（e为自然对数的底数）；（2）．解：（1）＝＝．（2）＝＝＝．18．已知函数定义域为A，集B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}．（1）求集合A，B；（2）若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知：，解得x＞3或x＜1，∴集合A＝（﹣∞，1]∪（3，+∞），对于集合B满足：x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，其中m﹣2＜m+2，∴B＝[m﹣2，m+2]；（2）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则集合B是A的真子集，由（1）知，只需满足m+2＜1或m﹣2＞3即可，此时解得m＜﹣1或m＞5，综述，满足题意的m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．19．设函数．（1）解不等式．（2）若x∈[1，9]，求函数f（x）的最大值．解：（1）令，则原式变为，而t2﹣t+2＞0恒成立，∴，即，所以2t＞t2﹣t+2，即t2﹣3t+2＜0，解得t∈（1，2），∴，解得x∈（3，9）；（2）当x∈[1，9]时，由（1）中换元知t∈[0，2]．当t＝0时，f（t）＝0；当t＝（0，2]时，∵，当且仅当时取等，∴f（x）的最大值为，经检验满足题意，综上所述，f（x）的最大值为．21．已知函数f（x）＝x3﹣3x．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）用定义证明函数f（x）在[0，1]上为减函数；（3）已知x∈[0，2π]，且f（sin x）＝f（cos x），求x的值．【解答】解．（1）奇函数；证明：函数f（x）＝x3﹣3x，定义域x∈Rf（﹣x）＝（﹣x）3﹣3（﹣x）＝﹣（x3﹣3x）＝﹣f（x）故f（x）为奇函数（2）任取0≤x1＜x2≤1，＝，因为，，0≤x1x2＜1所以则f（x1）﹣f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2）所以f（x）在[0，1]上为减函数．（3）x∈[0，2π]，﹣1≤sin≤1，﹣﹣1≤cos x≤1f（x）在R上为奇函数且f（x）在[0，1]为减函数，则有f（x）在[﹣1，1]也是减函数，又f（sin x）＝f（cos x）⇒sin x＝cos x，又x∈[0，2π]，则或．22．已知函数（a为常数，且a≠0，a∈R）．请在下面四个函数：①g1（x）＝2x，②g2（x）＝log2x，③，④中选择一个函数作为g（x），使得f（x）具有奇偶性．（1）请写出g（x）表达式，并求a的值；（2）当f（x）为奇函数时，若对任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，求实数m的取值范围；（3）当f（x）为偶函数时，请讨论关于x的方程f（2x）＝mf（x）解的个数．解：（1）若选①g1（x）＝2x，则f（x）＝，定义域为R，当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝＝＝，整理得2a＝不是常数，不满足条件．若选②g2（x）＝log2x，则函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．若选③，则f（x）＝．定义域为R，当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），即＝＝＝，整理得a＝＝﹣＝﹣不是常数，不满足条件．若选④g（x）＝8x，，，当f（x）为奇函数，f（x）＝﹣f（﹣x）⇒a＝﹣1；当f（x）为偶函数，f（x）＝f（﹣x）⇒a＝1．（2）当f（x）为奇函数时，f（x）＝2x﹣2﹣x，x∈[1，2]，2x∈[2，4]，，若对于任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，，所以m的取值范围是．（3）当f（x）为偶函数时，f（x）＝2x+2﹣x，f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2，令t＝2x+2﹣x≥2，则t2﹣2＝mt（t≥2），，又在[2，+∞）单调递增，所以h（t）≥1，1．当m＜1，此时方程无解；2．当m≥1，存在唯一解t0∈[2，+∞），又因为f（x）＝2x+2﹣x为偶函数，不防设0≤x1＜x2，，所以f（x）在[0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0]单调递减，①当m＝1时，t0＝2，此时方程有唯一解x0＝0；②当m＞1时，t0＞2，此时方程有两个解，下证必要性：令h（x）＝2x+2﹣x﹣t0，h（x）为偶函数，h（x）在[0，+∞）单调递增，h（0）＝2﹣t0＜0，所以h（x）在有一个零点，又因为函数时偶函数，则在也有一个零点，所以当m＞1，t0＞2时一共有2两个零点．。
2022-2023年江苏苏州高一数学上学期期末试卷及答案
2022-2023年江苏苏州高一数学上学期期末试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知角，那么的终边在( ) 563α=︒αA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C2. 命题“”的否定为( ) 22,4x x ∀≥≥A. “” B. “”22,4x x ∀≤≥2002,4x x ∃<<C. “” D. “”22,4x x ∀≥<20024x x ∃≥<,【答案】D3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为( ) ππA. B.C. 2D.12π2π【答案】B4. 已知，，则“”是“”成立的( ) αR β∈αβ=sin sin αβ=A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( ) ππ,π2⎛⎫⎪⎝⎭A.B.C.D.sin y x =|sin |y x =cos 2y x =tan y x =【答案】B6. 已知A ，集合，若，则实数()f x ={12}B x ax =∈<<R ∣B A ⊆a 的取值范围是( )A.B.C.D.[2,1]-[1,1]-(,2][1,)-∞-+∞(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B7. 三个数， 之间的大小关系为( ) 220.81log 1.41a b ==，0.312c =A. B. b a c <<a b c <<C. D.a cb <<b<c<a 【答案】A8. 已知函数，若函数有两个零点，则实数1221,()log (1),1x x a f x x x a ⎧-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩()()2g x f x =-a 的取值范围是( )A.B.C. D.21log 3a -<≤21log 3a -≤<23log 34a -≤< 23log 34a -<≤【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 设集合，集合，则下列对应关系中是从集合A 到集合B{}*2,A xx k k ==∈N ∣*B =N 的一个函数的有( ) A. B.C. D.12y x =2log y x =2x y =2y x =【答案】ACD10. 已知函数，则下列结论中正确的有( ) π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A. B. 的定义域为7π3π244f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π5π,Z 212k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣C. 在区间上单调递增 D. 若，则()f x ππ,123⎛⎫-⎪⎝⎭()()1212,f x f x x x =≠的最小值为12x x -π【答案】BC11. 若a ，b 均为正数，且满足，则( ) 24a b +=A. 的最大值为2B. 的最小值为4 ab 11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C.的最小值是6 D. 的最小值为4aa b+22a b +165【答案】AD12. 已知指数函数(，且)与对数函数(，且)互为x y a =0a >1a ≠log ay x =0a >1a ≠反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，e 2x x +=ln 2x x +=1x ，则( )2x A.B.C.D.122x x +=211x x ->1122e ln xx x x = 1212ln e x x x x =【答案】ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 求值：__________．22351lg 2lg 2822-⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭【答案】114. 已知幂函数满足：①是偶函数；②在区间上单调递减，请写出一个这样的()f x (0,)+∞函数__________． ()=f x 【答案】(答案不唯一) 2x -15. 已知，则__________． 1sin cos ,(0,π)5ααα+=∈(sin 1)(cos 1)αα-+=【答案】 225-16. 我们知道，设函数的定义域为I ，如果对任意，都有，()f x x I ∈,a x I a x I +∈-∈且，那么函数的图象关于点成中心对称图()()2f a x f a x b ++-=()y f x =(,)P a b 形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c 的值为3()2e 1xcf x x =-++(0,1)__________；若，则实数t 的取值范围是__________．()2(56)2f tf t -++>【答案】 ①. 2 ②.()(),16,-∞-⋃+∞四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 设集合． {}22216,05xx A x M B x x -⎧⎫=∈≤≤=<⎨⎬-⎩⎭∣∣(1)若，；M =N A B ⋂(2)若，．M =R (),A B A B R ð【答案】(1){}3,4A B = (2){}(){}5|12|1,A B x x A B x x =≤⋃=≤<≤R ð18. 已知．πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭(1)若角的终边过点，求； α(12,5)P -()f α(2)若，分别求和的值．()2f α=sin cos sin cos αααα-+24sin 3sin cos ααα-【答案】(1)512(2)，sin cos 3sin cos αααα-=+2224sin 3sin cos 5ααα-=19. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y (单位：万元)是销售利润x (单位：万元)的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x 为0万元时，总奖金y 为0万元；③销售利润x 为30万元时，总奖金y 为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：A ．；B ．；C ．． (0)y kx b k =+> 1.5(0)x y k b k =⋅+>2log 2(0)15⎛⎫=++>⎪⎝⎭x y k n k (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在(1)中选择的函数模型，解决如下问题：①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 【答案】(1)模型C,理由见解析 (2)①210万元; ②不会.20. 已知函数的图象经过点． ()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<5π,38⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求在区间上的最大值和最小值；()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)记关于x 的方程在区间上的解从小到大依次为，π282x f ⎛⎫+=⎪⎝⎭25π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,,,n x x x试确定正整数n 的值，并求的值． 1231222n n x x x x x -+++++【答案】(1)最大值为，最小值为 3(2)，. 4n =12π21. 已知为奇函数． 24()1x af x x +=+(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；()f x (0,)+∞(2)若关于x 的方程有8个不同的解，求实数m 的取值范22()(21)|()|0f x m f x m -++=围．【答案】(1)在单调递增，在上单调递减；证明见解析. ()f x (0,1)(1,)+∞(2)11(0,(,2)2222. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． ()f x ()g x R ()()2x f x g x +=(1)求和的解析式；()f x ()g x (2)若函数在上的值域为，求正实数a 的值； 2()log [(2)()]h x g x a f x =-⋅R [1,)-+∞(3)证明：对任意实数k ，曲线与曲线总存在公共点． ()()f x y g x =12y kx =+【答案】(1)，()222x x f x --=()222x xg x -+=(2)2a =(3)由(1)知，所以 2222()4121()4141x x x xx x x f x y g x ---====-+-++与曲线总存在公共点， ()()f x y g x =12y kx =+即在有实数根，令， 210412x kx +-=+(),-∞+∞()21412x k G x x +=-+当时，易知为函数的零点， 0k =4log 3x =()G x 当时，易知函数在单调递减， 0k <()21412xk G x x +=-+(),-∞+∞又因为，，由零点存在性定理可知: ()1002G =>()11010G k =-<,使得成立.()00,1x ∃∈()00G x =当时，， 0k >()2113241222x kx G x kx kx +-<+-=++=又因为，，所以.()1002G =>223122G k k k ⎛⎫⎛⎫-<⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20G k ⎛⎫-< ⎪⎝⎭由零点存在性定理可知:,使得成立. 12,0x k ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭()10G x =故对任意实数函数在有零点. k ()21412x k G x x +=-+(),-∞+∞即对任意实数曲线与曲线总存在公共点.k ()()f x y g x =12y kx =+。
高一年级上学期数学期末试题(苏教版)
高一年级上学期数学期末试题〔苏教版〕数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
小编准备了高一年级上学期数学期末试题，希望你喜欢。
一、填空题(每题5分，共70分)1. 不等式x21的解集为________。
2. 甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是__________。
3. 给定以下四个命题：①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行;点击进入???高一数学期末试卷②假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直;③垂直于同一直线的两条直线互相平行;④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中，为真命题的是________(填序号)。
4. 设点P(x，y)在圆x2+(y-1)2=1上，那么的最小值是__________。
5. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，那么这个多面体最长的一条棱的长为________。
6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，假设a1=-11，a4+a6=-6，那么当Sn取最小值时，n等于________7. 设x，y满足约束条件，那么z=x-2y的取值范围为________。
8. 直线y=x+b，b[-2，3]，那么直线在y轴上的截距大于1的概率是________。
9. 等比数列中，各项都是正数，且a1、a3、2a2成等差数列，那么的值为________。
10. 一个算法：(1)m=a。
(2)假如b(3)假如c假如a=3，b=6，c=2，那么执行这个算法的结果是________。
11. 在边长为a的等边三角形ABC中，ADBC于点D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=a，这时二面角B-AD-C的大小为________。
12. M(x0，y0)为圆x2+y2=a2 (a0)内异于圆心的一点，那么直线x0 x+y0 y=a2与该圆的位置关系为________。
最新苏教版高一数学第一学期期末试卷--好题精选
高一上学期期末测试题第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设集合{0,1,2,4,5,7},{1,3,6,8,9},{3,7,8}X Y Z ===，那么集合()X Y Z I U 是（ ）（湖南版必修一69P 第2题）A. {0,1,2,6,8}B. {3,7,8}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}2. 设集合A 和集合B 都是自然数集N ，映射:f A B →把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n n +，则在映射f 下，像20的原像是（ ）（湖南版必修一71P 第15题） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 与函数y x =有相同的图像的函数是（ ）（湖南版必修一144P 第2题）A. y =B. 2x y x=C. log a xy a=01)a a >≠（且 D.log xa y a = 01)a a >≠（且 4. 方程lg 3x x =-的解所在区间为（ ）（苏教版必修一78P 例2改编） A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 5. 设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =， 则(7.5)f 等于（湖南版必修一147P 第20题）A. 0.5B. 0.5-C. 1.5D. 1.5-6. 下面直线中，与直线230x y --=相交的直线是（ ）（苏教版必修二90P 第1 题） A. 4260x y --= B. 2y x = C. 25y x =+ D.23y x =-+7. 如果方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x = 对称，那么必有（ ）（苏教版必修二105P 第6题）A. D E =B. D F =C. E F =D. D E F ==8. 如果直线//,//a b a α直线且平面，那么b α与的位置关系是（ ）（北师大版必修二37P 第2题）A. 相交B. //b αC. b α⊂D. //b α或b α⊂ 9. 在空间直角坐标系中，点(3,2,1)P -关于x 轴的对称点坐标为（ ）（北师大版必修二113P 第3题改编）A. (3,2,1)-B. (3,2,1)--C. (3,2,1)--D. (3,2,1)10. 一个封闭的立方体，它的六个表面各标出ABCDEF 这六个字母.现放成下面三中不同的位置，所看见的表面上字母已标明，则字母A 、B 、C 对面的字母分别为( ) （苏教版必修二65P 第4题）A. D 、E 、FB. E 、D 、FC. E 、F 、DD. F 、D 、E第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，满分20分.11. 幂函数()y f x =的图象过点(2,2，则()f x 的解析式为_______________（人教A 版必修一91P 第10题）12. 直线过点(5,6)P ，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则此直线方程为__________________________（苏教版必修二120P 第5题）13.集合22222{(,)|4},{(,)|(1)(1),0}M x y x y N x y x y r r =+≤=-+-≤>，若M N N =I ，则实数r 的取值范围为_____________（苏教版必修二120P 第12题）（苏教版必修一29P 第8题）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.（其中15题和18题每题12分，其他每题14分）15. 已知函数2()2||1f x x x =--，作出函数的图象，并判断函数的奇偶性.（苏教版必修一43P 第6题）16. 已知函数()log (1)(0,1)xa f x a a a =->≠.（1）求函数()f x 的定义域； （2）讨论函数()f x 的单调性.17. 正方体1111ABCD A B C D -中，求证：（1）11AC B D DB ⊥平面；（2）11BD ACB ⊥平面.（17题图） （18题图）18. 一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其中有一个高为x cm 的内接圆柱. （1）试用x 表示圆柱的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？19. 求二次函数22()2(21)542f x x a x a a =--+-+在[0,1]上的最小值()g a 的解析式.20. 已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=.（1）求证：直线l 恒过定点；（2）判断直线l 被圆C 截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短弦长.高一上学期期末复习题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算. 共10小题，每小题5分，满分5 0分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CCDCBDADAB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算. 共4小题，每小题5分，满分2 0分．11. 12()f x x-=12. 650x y -=或2170x y +-= 13. (0,22]- 14. 2； 3三、解答题：15. 本小题主要考查分段函数的图象，考查函数奇偶性的判断. 满分12分.解：2221,(0)()21,(0)x x x f x x x x ⎧--≥=⎨+-<⎩ ……2分函数()f x 的图象如右图 ……6分函数()f x 的定义域为R ……8分Q 2()2||1f x x x =--22()2||12||1()f x x x x x f x -=----=--=（）所以()f x 为偶函数. ……12分16. 本小题主要考查指数函数和对数函数的性质，考查函数的单调性. 满分14分. 解：（1）函数()f x 有意义，则10xa -> ……2分当1a >时，由10xa ->解得0x >；当01a <<时，由10x a ->解得0x <.所以当1a >时，函数的定义域为(0,)+∞； ……4分当01a <<时，函数的定义域为(,0)-∞. ……6分 （2）当1a >时，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x >，则12xxa a >1121222121()()log (1)log (1)log log (1)11x x x x x a a a a x x a a a f x f x a a a a ---=---==+--1212212,()()log (1)log 101x x x x a a x a a a a f x f x a ->∴-=+>=-Q ，即12()()f x f x >由函数单调性定义知：当1a >时，()f x 在(0,)+∞上是单调递增的. ……10分 当01a <<时，任取12,(,0)x x ∈-∞，且12x x >，则12xxa a <1121222121()()log (1)log (1)log log (1)11x x x x x a a a a x x a a a f x f x a a a a ---=---==+--1212212,()()log (1)log 101x x x x a a x a a a a f x f x a -<∴-=+>=-Q ，即12()()f x f x >由函数单调性定义知：当01a <<时，()f x 在(,0)-∞上是单调递增的. ……14分 17. 本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能力和推理证明能力. 满分14分. 证明：（1）正方体1111ABCD A B C D -中，1B B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC B B ∴⊥ ……3分又AC BD ⊥Q ，1BD B B B =I ，∴11AC B D DB ⊥平面 ……7分（2）连接11,AD BC ，11D C ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，111B C D C ∴⊥ 又11B C BC ⊥Q ，1111BC D C C =I ，∴111B C ABC D ⊥平面1BD ⊂Q 11ABC D 平面，11BD B C ∴⊥ ……10分由（1）知11AC B D DB ⊥平面，1BD ⊂平面ABCD ，1BD AC ∴⊥1,AC B C C =∴Q I 11BD ACB ⊥平面 ……14分18. 本小题主要考查空间想象能力，运算能力与函数知识的综合运用. 满分12分. 解：（1）如图：POB V 中，1DB OB D D PO =，即26DB x = ……2分 13DB x ∴=，123OD OB DB x =-=- ……4分 圆柱的侧面积1122(2)3S OD D D x x ππ=⋅⋅=-⋅∴2(6)3S x x π=-⋅ （06x <<） ……8分（2）222(6)(3)633S x x x πππ=-⋅=--+3x ∴=时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积为26cm π ……12分19. 本小题以二次函数在闭区间上的最值为载体，主要考查分类讨论的思想和数形结合的思想. 满分14分.解：22()2(21)542f x x a x a a =--+-+=22[(21)]1x a a --++ 所以二次函数的对称轴21x a =- ……3分 当210a -≤，即12a ≤时，()f x 在[0,1]上单调递增， 2()(0)542g a f a a ∴==-+ ……6分当211a -≥，即1a ≥时，()f x 在[0,1]上单调递减，2()(1)585g a f a a ∴==-+ ……9分当0211a <-<，即112a <<时，2()(21)1g a f a a =-=+ ……12分 综上所述2221542,()21()1,(1)2542,(1)a a a g a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-+≥⎪⎪⎩……14分20. 本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查综合运用数学知识分析和解决问题能力. 满分14分.（1）证明：直线l 的方程可化为(27)(4)0x y m x y +-++-=. ……2分联立27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩ 解得31x y =⎧⎨=⎩所以直线l 恒过定点(3,1)P . ……4分 （2）当直线l 过圆心C 时，直线l 被圆C 截得的弦何时最长. ……5分 当直线l 与CP 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦何时最短. ……6分设此时直线与圆交与,A B 两点. ,mmmmmmmmmmmmmm直线l 的斜率211m k m +=-+，121312CP k -==--. 由 211()112m m +-⋅-=-+ 解得 34m =-. ……8分此时直线l 的方程为 250x y --=.圆心(1,2)C 到250x y --=的距离d == ……10分||||AP BP ====所以最短弦长 ||2||AB AP == ……14分。
高一年级数学上学期期末测试卷01(苏教版)(解析版)
2020-2021学年第一学期期末测试卷01高一数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共23题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号，用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷相对应的位置上，并认真核对；2．答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；3．考生答题必须答在答题卷上，保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。
一、单选题（共12小题）1.设{a n}为等比数列，则“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：对任意的m∈N*，a m+2＞a m，必有，即q＞1，所以{a n}为递增数列；反之，若{a n}为递增数列，则a m+2＞a m+1＞a m，故为充要条件，故选：C．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件2.已知[x]表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]＝3，[﹣4.2]＝﹣5，方程[2x2﹣x]＝0的解集为A，集合B＝{x|6x2﹣5ax+a2＞0}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤0或B．﹣1＜a＜0或C．﹣1＜a≤0或D．﹣1≤a≤0或【解答】解：由[2x2﹣x]＝0，得0⩽2x2﹣x＜1，即，解得或，所以或，6x2﹣5ax+a2＝（2x﹣a）（3x﹣a）＞0，当a＞0时，或，由A∪B＝R，得，解得；当a＜0时，或，由A∪B＝R，得，解得﹣1＜a＜0；当a＝0时，B＝{x|x≠0}，满足A∪B＝R，综上所述实数a的取值范围是﹣1＜a≤0或，故选：C．【知识点】并集及其运算3.若二次函数f（x）＝ax2+2ax+1在区间[﹣2，3]上的最大值为6，则a＝（）A．B．或5C．或﹣5D．【解答】解：显然a≠0，有f（x）＝a（x+1）2﹣a+1，当a＞0时，f（x）在[﹣2，3]上的最大值为f（3）＝15a+1，由15a+1＝6，解得，符合题意；当a＜0时，f（x）在[﹣3，2]上的最大值为f（﹣1）＝1﹣a，由1﹣a＝6，解得a＝﹣5，所以，a的值为或﹣5．故选：C．【知识点】二次函数的性质与图象4.已知＝1，且a＞0，b＞0，则3a+b的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：已知＝1，且a＞0，b＞0，则，故＝1++，当且仅当a＝，b＝，等号成立．故选：C．【知识点】基本不等式及其应用5.已知幂函数f（x）＝mx n的图象过点（，2），设a＝f（m），b＝f（n），c＝f（ln2），则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解答】解：∵函数f（x）＝mx n为幂函数，故m＝1，由函数f（x）＝mx n的图象过点（，2），故，解得：n＝3，故函数f（x）＝x3，则函数为增函数，∵n＞m＞ln2，故c＜a＜b，故选：B．【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域6.已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），有＞0，且f（x+2）是偶函数，不等式f（m+1）≥f（2x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣4，6]B．[﹣4，3]C．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）【解答】解：对任意的x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），有＞0，故f（x）在[2，+∞）递增，而f（x+2）是偶函数，故f（x）的对称轴是：x＝2，故f（x）在（﹣∞，2]递减，在（2，+∞）递增，不等式f（m+1）≥f（2x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，且﹣3≤2x﹣1≤﹣1，故只需f（m+1）≥f（2x﹣1）max＝f（﹣3）即可，由对称性得：f（m+1）≥f（7），故m+1≤﹣3或m+1≥7，解得：m≤﹣4或m≥6，故选：C．【知识点】函数单调性的性质与判断7.定义在R上的偶函数满足f（x）＝f（x+2），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）＝lgx，则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点的个数是（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：由f（x+2）＝f（x），可得f（x）为周期为2的偶函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，画出函数y＝f（x）的图象；函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）＝lgx，可得x＝0时，g（0）＝0，x＜0时，g（x）＝﹣lg（﹣x），作出y＝g（x）的图象，由lg10＝1，f（x）的最大值1，可得x＞0时，y＝f（x）和y＝g（x）的图象有9个交点；x＝0时，f（0）＝g（0）＝0；x＜0时，y＝f（x）和y＝g（x）的图象有1个交点；综上可得y＝f（x）和y＝g（x）的图象共有11个交点，即有h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点的个数是11．故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系8.已知函数，若函数的图象与x轴恰好有3个交点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．（1，+∞）【解答】解：由题意画出函数的图象如图，函数的图象与x轴恰好有3个交点，即函数y＝f（x）与y＝mx+m的图象有三个交点，直线y＝mx+m过定点P（，0），P A所在直线的斜率k＝，直线y＝x+2的斜率为1，∴要使函数的图象与x轴恰好有3个交点，则实数m的取值范围为．故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系9.将函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，g（x）的图象在x＝处切线垂直于y轴，且g（π）+g（）＞0，则当φ取最小正数时，不等式g（x）≥的解集是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣π，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）＝sin（2x++φ）＝cos（2x+φ）的图象，g（x）的图象在x＝处切线垂直于y轴，即g（x）的图象在x＝处切线斜率为零，即g′（）＝﹣2sin（2×+φ）＝0，∴φ的值可以为，此时，f（x）＝sin（2x+），g（x）＝cos（2x+）．此时，g（π）+g（）＝﹣﹣＜0，不满足条件．若取φ＝﹣，g（x）＝cos（2x﹣），g（π）+g（）＝+＞0，满足条件．则当φ取最小正数时，不等式g（x）＝cos（2x+）≥，即cos（2x+）≥，故+2kπ≤2x+≤+2kπ，求得kπ≤x≤kπ+．由于函数f（x）的周期为π，故kπ≤x≤kπ+，即kπ﹣π≤x≤kπ﹣．故不等式的解集为{x|kπ﹣π≤x≤kπ﹣，k∈Z}，故选：C．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换10.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，记关于x的方程f（x）＝t（﹣2＜t＜﹣1）在区间[0，]上所有解的和为θ，则tanθ＝（）A．﹣B．C．﹣D．tan2t【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A＝2，2sinφ＝，∴φ＝．再根据五点法作图可得ω×+＝π，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+）．根据方程f（x）＝t（﹣2＜t＜﹣1）在区间[0，]上所有解的和为θ，可得sin（2x+）＝在区间[0，]上所有解的和为θ，当x∈[0，]，2x+∈[，2π]．故方程的解共有2个，设这两个解x1、x2，则2x1++（2x2+）＝2×，求得x1+x2＝＝θ，故tan θ＝tan＝tan＝，故选：B．【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式11.已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣b，h（x）＝f[f（x）]﹣b，记函数g（x）和h（x）的零点个数分别是M，N，则（）A．若M＝1，则N≤2B．若M＝2，则N≥2C．若M＝3，则N＝4D．若M＝3，则N＝2【解答】解：若f（x）＝2e2x﹣e x时，令f′（x）＝4e2x﹣e x＝0，解得x＝ln，易知此时f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增；作出函数y＝2e2x﹣e x及函数y＝x的图象如下图所示，由图象可知，函数f（x）最多有两个零点x＝0或x＝ln，不妨令b＝0，则①当a≤ln时，此时函数g（x）的零点为x＝0，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln有1个解，则N＝2；②当ln＜a≤0时，此时函数g（x）的零点为0，ln，则M＝2，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有两个解，f（x）＝ln无解，则N＝2；③当a＞0时，此时函数g（x）的零点为ln，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln无解，则N＝1；由以上分析可知，故选：A．【知识点】函数的零点与方程根的关系12.设M，N是R的两个非空子集，如果存在一个从M到N的函数y＝f（x）同时满足：（ⅰ）N＝{y|y＝f（x），x∈M}；（ⅱ）对任意x1，x2∈M，当x1≠x2时，恒有＞0，那么称这两个集合为“TF”集合，以下集合对不是“TF”集合的个数为（）（1）M＝{x|﹣10＜x＜10}，N＝R；（2）M＝{x|1＜x＜4}，N＝{x|﹣2＜x＜1}；（3）M＝R，N＝{x|x＞0}；（4）M＝Z，N＝Q．A．0B．1C．2D．3【解答】解：由“TF集合的定义可得：（i）表示的含义是y＝f（x）的定义域是M，值域是N，（ii）表示的是y＝f（x）是增函数．对于（1）：存在函数f（x）＝tan满足题意，故（1）中M、N是“TF”集合；对于（2）：存在函数f（x）＝x﹣3满足题意，故（2）中M、N是“TF”集合；对于（3）：存在函数f（x）＝2x满足题意，故（3）中M、N是“TF”集合；对于（4）：不存在一个函数是以整数Z为定义域以有理数Q为值域的增函数．故：（1）（2）（3）（4）中不是“TF”集合的个数为1个．故选：B．【知识点】函数单调性的性质与判断、函数的单调性及单调区间二、填空题（共4小题）13.已知集合A＝{x|x+3＞0，x∈R}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}，则A∩B＝．【解答】解：∵A＝{x|x+3＞0，x∈R}＝{x|x＞﹣3}，B＝{x|x2+2x﹣8＜0，x∈R}＝{x|﹣4＜x＜2}∴A∩B＝{x|﹣3＜x＜2}，故答案为：（﹣3，2）．【知识点】交集及其运算14.已知x，y是正实数，且x+y＝3，则+的最小值是．【解答】解：∵x，y是正实数，且x+y＝3，∴（x+1）+（y+4）＝8，∴+＝[（x+1）+（y+4）]（+）＝[5++]≥（5+2）＝，当且仅当时取“＝“，故答案为：．【知识点】基本不等式及其应用15.将函数的图象向右平移a（a＞0）个单位得到函数g（x）的图象，若存在x0∈R使得f（x0）﹣g（x0）＝﹣4，则a的最小值为．【解答】解：将函数的图象向右平移a（a＞0）个单位得到函数g（x）＝2sin（2x ﹣2a+）的图象，若存在x0∈R使得f（x0）﹣g（x0）＝﹣4，则f（x0）＝﹣2，g（x0）＝2，则a的最小值为f（x）的半个周期，即a＝＝，故答案为：．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换16.已知函数f（x），g（x）均为周期为2的函数，，g（x），若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[0，5]有10个零点，则实数m的取值范围是．【解答】解：做出f（x）的图象，如图作出g（x）在区间和区间上的图象，易知在区间和区间上f（x）和g（x）共有两个交点，∵f（x）和g（x）在区间[0，5]上共有10个交点，∴f（x）和g（x）在区间[0，]，[2，]，[4，5]共有8个交点，又f（x）和g（x）的周期均为2，则f（x）和g（x）在区间[0，1]上有2个交点，在区间上有1个交点，在区间[0，1]上有2个交点，由上式可知：，令t＝4x+1，则t∈[1，5]，，由基本不等式可知，当且仅当t＝3时等号成立；当t＝1时，m＝0；当t＝5时，，所以时有两解，在区间有1个交点，由上式可知：，令s＝x﹣1，则，，令，则，令f′（s）＝0，解得，当，时，f（s）在区间上是增加的，当时，f（s）在区间是减少的，，所以，当s＝2时，，当时，，所以，或，综上，．故答案为：．【知识点】函数的零点与方程根的关系三、解答题（共7小题）17.（1）计算：；（2）解不等式：x（x﹣4）+40＞5（2x﹣1）．【解答】解：（1）＝×1+×+＝++32×23＝2+2+72＝76；（2）不等式x（x﹣4）+40＞5（2x﹣1）可化为x2﹣14x+45＞0，即（x﹣5）（x﹣9）＞0，解得x＜5或x＞9，所以不等式的解集为{x|x＜5或x＞9}．【知识点】一元二次不等式及其应用、有理数指数幂及根式18.计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝．（2）由，可得，即．故原式＝0．【知识点】运用诱导公式化简求值、三角函数的恒等变换及化简求值19.已知集合A＝{x|x﹣4＞0}，集合B＝{x|3﹣2x≤x≤10﹣x}，集合C＝{x|m＜x＜2m﹣3}．（1）求（∁R A）∩B；（2）若A∪C＝A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A＝{x|x＞4}，B＝{x|1≤x≤5}，∴∁R A＝{x|x≤4}，（∁R A）∩B＝[1，4]；（2）∵A∪C＝A，∴C⊆A，∴①C＝∅时，m≥2m﹣3，解得m≤3；②C≠∅时，，解得m≥4，∴m的取值范围为{m|m≤3或m≥4}．【知识点】交、并、补集的混合运算20.已知函数f（x）＝sin2x+2sin x cos x﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求f（x）的最小值．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），（Ⅰ）函数周期为T＝＝π；（Ⅱ）因为x，所以2x﹣，所以当2x﹣＝﹣，即x＝0时，f（x）min＝＝﹣1，故函数f（x）在区间[0，]上的最小值为﹣1．【知识点】三角函数的最值、三角函数的周期性、三角函数中的恒等变换应用21.某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f （x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．【解答】解：（1）依题意，a＝2，y＝，要使y≥0.4，则f（x）≥2．当0≤x≤2时，，得1≤x≤2；当2＜x≤7时，7﹣x≥2，得2＜x≤5．∴1≤x≤5，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）设再次投放m亿元消费券x天，则，，0≤x≤2，由≥0.4，得m≥，令t＝3+x，t∈[3，5]，t∈N*，则m≥＝，而＝，当且仅当，即t＝2，即x＝时，上式等号成立，∴m的最小值为20﹣．【知识点】根据实际问题选择函数类型、分段函数的应用22.已知函数h（x）＝x+．（1）直接写出h（x）在上的单调区间（无需证明）；（2）求h（x）在上的最大值；（3）设函数f（x）的定义域为I，若存在区间A⊆I，满足：∀x1∈A，∃x2∈∁U A，使得f（x1）＝f（x2），则称区间A为f（x）的“Γ区间”．已知f（x）＝x+（x∈[，2]），若是函数f（x）的“Γ区间”，求实数b的最大值．【解答】解：（1）h（x）在区间上单调递减；h（x）在区间[1，2]上单调递增．（2）由题意知，，①若，则h（x）在上单调递减，∴h（x）的最大值为；②若1＜a≤2，则h（x）在上单调递减，在[1，a]上单调递增，∵，∴h（x）的最大值为；③若a＞2，则h（x）在上单调递减，在[1，a]上单调递增，∵，∴h（x）的最大值为，综上，若，则h（x）的最大值为；若a＞2，则h（x）的最大值为．（3）由（1）（2）知①当时，f（x）在上的值域为，f（x）在[b，2]上的值域为，∵，∴满足，∃x2∈[b，2]，使得f（x1）＝f（x2），∴此时是f（x）的“Γ区间”；②当1＜b≤2时，f（x）在上的值域为，f（x）在[b，2]上的值域为，∵当x1∈[1，b）时，，∴∃x1∈[1，b），使得，即∃x1∈[1，b），∀x2∈[b，2]，f（x1）≠f（x2）∴此时不是f（x）的“Γ区间”∴实数b的最大值为1．【知识点】函数的最值及其几何意义23.若函数f（x）的定义域为D，集合M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且f（x+t）＞f（x），则称f（x）为M上的t﹣增长函数．（1）已知函数g（x）＝x，函数h（x）＝x2，判断g（x）和h（x）是否为区间[﹣1，0]上的﹣增长函数，并说明理由；（2）已知函数f（x）＝|x|，且f（x）是区间[﹣4，﹣2]上的n﹣增长函数，求正整数n的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分）①如果对任意正有理数q，f（x）都是R上的q﹣增长函数，判断f（x）是否一定为R上的单调递增函数，并说明理由；②如果f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4﹣增长函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）g（x）＝x是：因为∀x∈[﹣1，0]，g（x+）﹣g（x）＝（x+）﹣x＝＞0；h（x）＝x2不是，反例：当x＝﹣1时，h（﹣1+）＝h（）＝＜h（﹣1）＝1．（2）由题意得，|x+n|＞|x|对于x∈[﹣4，﹣2]恒成立，等价于x2+2nx+n2＞x2，即2nx+n2＞0对x∈[﹣4，﹣2]恒成立，因为n＞0，所以2nx+n2是关于x的一次函数且单调递增，于是只需﹣8n+n2＞0，解得n＞8，所以满足题意的最小正整数n为9．（3）①不是构造，则对任意的正有理数q，若x∈Q，则x+q∈Q，因此f（x+q）＝x+q＞x＝f（x）；若x∈∁R Q，则x+q∈∁R Q，因此f（x+q）＝x+q﹣1＞x﹣1＝f（x）．因此f（x）是R上的q﹣增函数，但f（x）不是增函数．②根据题意，当x≥0时，f（x）＝|x﹣a2|﹣a2，则当x≥a2时，f（x）＝x﹣2a2，当0≤x≤a2时，f（x）＝﹣x，由奇函数的对称性可知：当x≤﹣a2时，f（x）＝x+2a2，当﹣a2≤x≤0时，f（x）＝﹣x，则可得函数图象如图：易知图象与x轴交点为M（﹣2a2，0），N（2a2，0），因此函数f（x）在[﹣a2，a2]上是减函数，其余区间上是增函数，f（x）是R上的4﹣增长函数，则对任意的x，都有f（x+4）＞f（x），易知当﹣2a2≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）＞f（x），必有f（x+4）＞0，即x+4＞2a2，故﹣2a2≤x≤0且x+4＞2a2，所以4＞4a2，解得﹣1＜a＜1，故答案为a∈（﹣1，1）．【知识点】函数单调性的性质与判断。
苏教版高一数学第一学期期末试卷好题精选
高一上学期期末测试题第一局部选择题〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.设集合，那么集合是〔〕〔湖南版必修一第2题〕A. B. C. D.2. 设集合与集合都是自然数集，映射把集合中元素映射到集合中元素，那么在映射下，像20原像是〔〕〔湖南版必修一第15题〕A. 2B. 3C. 4D. 53. 与函数有一样图像函数是〔〕〔湖南版必修一第2题〕A. B.C. D.4. 方程解所在区间为〔〕〔苏教版必修一例2改编〕A. B. C. D.5. 设是上奇函数，且，当时，，那么等于〔湖南版必修一第20题〕A. B. C. D.6. 下面直线中，与直线相交直线是〔〕〔苏教版必修二第1 题〕A. B. C.D.7. 如果方程所表示曲线关于直线对称，那么必有〔〕〔苏教版必修二第6题〕A. B. C. D.8. 如果直线，那么位置关系是〔〕〔北师大版必修二第2题〕A. 相交B.C.D.或9. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点坐标为〔〕〔北师大版必修二第3题改编〕A. B. C. D.10. 一个封闭立方体，它六个外表各标出ABCDEF这六个字母.现放成下面三中不同位置，所看见外表上字母已标明，那么字母A、B、C对面字母分别为( ) 〔苏教版必修二第4题〕B D BA C C A C EA. D、E、FB. E、D、FC. E、F、DD.F、D、E第二局部非选择题〔共100分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分.11. 幂函数图象过点，那么解析式为_______________〔人教A版必修一第10题〕12. 直线过点，它在轴上截距是在轴上截距2倍，那么此直线方程为__________________________〔苏教版必修二第5题〕13.集合，假设，那么实数取值范围为_____________〔苏教版必修二第12题〕14. 函数分别由下表给出，那么_______，________.1234123423412143〔苏教版必修一第8题〕三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明、演算步骤或推证过程.〔其中15题与18题每题12分，其他每题14分〕15. 函数，作出函数图象，并判断函数奇偶性.〔苏教版必修一第6题〕16. 函数.〔1〕求函数定义域；〔2〕讨论函数单调性.17. 正方体中，求证：〔1〕；〔2〕.〔17题图〕〔18题图〕18. 一个圆锥底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为cm内接圆柱.〔1〕试用表示圆柱侧面积；〔2〕当为何值时，圆柱侧面积最大？19. 求二次函数在上最小值解析式.20. 圆，直线.〔1〕求证：直线恒过定点；〔2〕判断直线被圆截得弦何时最长，何时最短？并求截得弦长最短时值以及最短弦长.高一上学期期末复习题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考察根本知识与根本运算. 共10小题，每题5分，总分值5 0分．题号12345678910答案 C C D C B D A D A B 二、填空题：本大题主要考察根本知识与根本运算. 共4小题，每题5分，总分值2 0分．11.12. 或13.14. 2； 3三、解答题：15.本小题主要考察分段函数图象，考察函数奇偶性判断. 总分值12分.解：……2分函数图象如右图……6分函数定义域为……8分所以为偶函数. ……12分16. 本小题主要考察指数函数与对数函数性质，考察函数单调性. 总分值14分.解：〔1〕函数有意义，那么……2分当时，由解得；当时，由解得.所以当时，函数定义域为；……4分当时，函数定义域为. ……6分〔2〕当时，任取，且，那么，即由函数单调性定义知：当时，在上是单调递增. ……10分当时，任取，且，那么，即由函数单调性定义知：当时，在上是单调递增. ……14分17. 本小题主要考察空间线面关系，考察空间想象能力与推理证明能力. 总分值14分.证明：〔1〕正方体中，平面，平面，……3分又，，……7分〔2〕连接，平面，平面，又，，，……10分由〔1〕知，平面，……14分18. 本小题主要考察空间想象能力，运算能力与函数知识综合运用.总分值12分.解：〔1〕如图：中，，即……2分，……4分圆柱侧面积〔〕……8分〔2〕时，圆柱侧面积最大，最大侧面积为……12分19.本小题以二次函数在闭区间上最值为载体，主要考察分类讨论思想与数形结合思想. 总分值14分.解：=所以二次函数对称轴 (3)分当，即时，在上单调递增，……6分当，即时，在上单调递减，……9分当，即时，……12分综上所述……14分20. 本小题主要考察直线与圆位置关系，考察综合运用数学知识分析与解决问题能力.总分值14分.〔1〕证明：直线方程可化为. ……2分联立解得所以直线恒过定点. ……4分〔2〕当直线过圆心时，直线被圆截得弦何时最长. ……5分当直线与垂直时，直线被圆截得弦何时最短. (6)分设此时直线与圆交与两点. ,mmmmmmmmmmmmmm直线斜率，.由解得. ……8分此时直线方程为.圆心到距离. ……10分所以最短弦长. (14)分。
苏教版高一上期末数学试卷1(附答案及详细解析)
苏教版高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知角的终边经过点，则x的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．﹣42．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝，BC＝，则C＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（5分）下列函数中，不满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x﹣|x|C．f（x）＝x+1D．f（x）＝﹣x4．（5分）函数y＝2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[]C．[0，]D．[]5．（5分）函数y＝|sin x|+|cos x|，x∈R的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”也把这种方法称为“三斜求积术”，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则S＝．若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积术”求得的△ABC的面积为（）A．B．2C．D．47．（5分）△ABC的内角A，C的对边分别为a，c，若∠C＝45°，，且满足条件的三角形有两个，则a的取值范围为（）A．B．C．（1，2）D．8．（5分）已知函数f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，若f（x）+g（x）＝e x，则f（1）等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知曲线C1：y＝sin x，，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C210．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．211．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或12．（5分）设a＝log0.12，b＝log302，则（）A．2ab＞a+b＞ab B．2ab＜a+b＜abC．ab＜a+b＜ab D．ab＞a+b＞ab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）如图，将三个相同的正方形并列，则∠AOB+∠AOC＝．14．（5分）若三角形的一内角θ满足，则＝．15．（5分）已知sin10°+m cos10°＝2cos140°，则m＝．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出下列命题：①若a2+b2＜c2，则C＞；②若ab＞c2，则C＞；③若a3+b3＝c3，则C＜；④若2ab＞（a+b）c，则C＞；⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＜．其中正确的是．（写出所有正确命题的编号）三、解答题：共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式和对称中心；（2）设g（x）＝f（x）+8sin2x，求g（x）≤7的解集．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）若b2＝ac，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若，求△ABC周长l的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）当λ＝时，求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝0有解，求实数λ的取值范围．21．（12分）如图，游客从某旅游景区的景点A处上山至景点C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处出发，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发1min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min 后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为10m/min，山路AC长为1260m，经测量得，．（参考数据：，，第（3）问结果精确到0.1）（1）求索道AB的长；（2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少min？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，问乙步行的速度应控制在什么范围内？22．（12分）如图，边长为2的等边三角形ABC中，O是BC的中点，D，E分别是边AB，AC上的动点（不含端点），记∠BOD＝θ．（1）在图①中，∠DOE＝120°，试将AD，AE分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD+AE为定值；（2）在图②中，∠DOE＝60°，问此时AD+AE是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AD+AE 的取值范围．苏教版高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知角的终边经过点，则x的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．﹣4【解答】解：∵已知角的终边经过点，∴tan＝tan＝﹣tan＝﹣＝，则x＝﹣2，故选：C．2．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝，BC＝，则C＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由正弦定理得：，∴，∴，又∵a＞b，∴A＞B，且0＜B＜π，∴B＝300，∴C＝1800﹣A﹣B＝900，故选：D．3．（5分）下列函数中，不满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x﹣|x|C．f（x）＝x+1D．f（x）＝﹣x【解答】解：f（x）＝|x|，f（2x）＝|2x|＝2|x|＝2f（x），故满足条件；f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2（x﹣|x|）＝2f（x），故满足条件；f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1≠2（x+1）＝2f（x），故不满足条件；f（x）＝﹣x，f（2x）＝﹣2x＝2（﹣x）＝2f（x），故满足条件；故选：C．4．（5分）函数y＝2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[]C．[0，]D．[]【解答】解：y＝2sin（）＝﹣2sin（2x﹣），求y＝2sin（）的递增区间，等价于求y＝2sin（2x﹣）的递减区间，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，当k＝0时，≤x≤，即函数y＝2sin（2x﹣）的递减区间为[]，则函数y＝2sin（），x∈[0，π]的单调递增区间为[]，故选：B．5．（5分）函数y＝|sin x|+|cos x|，x∈R的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：当0≤x≤时，f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），当≤x≤π时，f（x）＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），当π≤x≤时，f（x）＝﹣sin x﹣cos x＝﹣sin（x+），当≤x≤2π时，f（x）＝﹣sin x+cos x＝﹣sin（x﹣），则对应的图象为D，故选：D．6．（5分）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”也把这种方法称为“三斜求积术”，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则S＝．若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积术”求得的△ABC的面积为（）A．B．2C．D．4【解答】解：∵c2sin A＝4sin C，∴ac2＝4c，∴ac＝4，又∵B＝，∴，∴a2+c2﹣b2＝ac＝4，则S＝＝，故选：A．7．（5分）△ABC的内角A，C的对边分别为a，c，若∠C＝45°，，且满足条件的三角形有两个，则a的取值范围为（）A．B．C．（1，2）D．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得：，可得：sin A＝a，由题意得：当A∈（45°，135°）且A≠90°时，满足条件的△ABC有两个，所以＜a＜1，解得：＜a＜2，则a的取值范围是（，2）．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，若f（x）+g（x）＝e x，则f（1）等于（）A．B．C．D．【解答】解：数f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，由f（x）+g（x）＝e x，f（1）+g（1）＝ef（﹣1）+g（﹣1）＝﹣f（1）+g（1）＝，联立解上面方程组，得f（1）＝，故选：C．9．（5分）已知曲线C1：y＝sin x，，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2【解答】解：对于A，，对于B，，对于C，，对于D，，，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．2【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ＝．所以：f（x）＝cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k＝0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．11．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α＝＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α＝﹣＝﹣；又sin （β﹣α）＝，∴β﹣α∈（，π），∴cos （β﹣α）＝﹣＝﹣，∴cos （α+β）＝cos[2α+（β﹣α）]＝cos2αcos （β﹣α）﹣sin2αsin （β﹣α）＝﹣×（﹣）﹣×＝． 又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β＝，故选：A ．12．（5分）设a ＝log 0.12，b ＝log 302，则（ ） A ．2ab ＞a +b ＞ab B ．2ab ＜a +b ＜ab C ．ab ＜a +b ＜abD ．ab ＞a +b ＞ab【解答】解：a ＝log 0.12，b ＝log 302，则2ab ﹣（a +b ）＝2﹣（﹣lg 2+）＝﹣lg 2（﹣1+）＝﹣lg 2•＜0，∴2ab ＜a +b ．ab ﹣（a +b ）＝﹣（﹣lg 2+）＝﹣lg 2（﹣1+）＝﹣lg 2•＞0，∴ab＞a +b ．a +b ﹣a b ＝（﹣lg 2+）﹣×＝lg 2（﹣1++）＝lg 2•＜0，∴a+b＜ab．∴2ab＜a+b＜ab．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）如图，将三个相同的正方形并列，则∠AOB+∠AOC＝．【解答】解：设∠AOB＝α，∠AOC＝β，由题意可得tanα＝，tanβ＝，故tan（α+β）＝＝＝1，因为，，故α+β∈（0，π），所以α+β＝．故答案为：14．（5分）若三角形的一内角θ满足，则＝．【解答】解：由，可得sinθ+cosθ＝，两边同时平方可得，1+2sinθcosθ＝即2sinθcosθ＝﹣因为θ∈（0，π），所以sinθ＞0，cosθ＜0，解可得sinθ＝，cosθ＝﹣则＝＝．故答案为：15．（5分）已知sin10°+m cos10°＝2cos140°，则m＝﹣．【解答】解：由题意可得m＝＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出下列命题：①若a2+b2＜c2，则C＞；②若ab＞c2，则C＞；③若a3+b3＝c3，则C＜；④若2ab＞（a+b）c，则C＞；⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＜．其中正确的是①③⑤．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：①由余弦定理得，＜0，则C＞，即①正确；②，则0＜C＜，即②错误；③因为a3+b3＝c3，所以c最大，所以＜，即有a2+b2＞c2，则C＜，即③正确；④不妨取a＝b＝2，c＝1，满足2ab＞（a+b）c，此时，所以C＜，即④错误；⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则，由②中的推导可知，0＜C＜，即⑤正确．故答案为：①③⑤．三、解答题：共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为x＞0，y＞0，由基本不等式，得．又因为2x+5y＝20，所以，xy≤10，当且仅当，即时，等号成立．此时xy的最大值为10．所以u＝lgx+lgy＝lgxy≤1g10＝1．所以当x＝5，y＝2时，u＝lgx+lgy的最大值为1；（2）因为x＞0，y＞0，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为．不等式恒成立，只要，解得．所以m的取值范围是．18．（12分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式和对称中心；（2）设g（x）＝f（x）+8sin2x，求g（x）≤7的解集．【解答】解：（1）由图可得A＝2，＝•，所以T＝π，所以ω＝2．当时，f（x）＝2，可得，因为，所以．所以函数f（x）的解析式为，令 2x﹣＝kπ+，k∈Z，则x＝+，所以函数f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z．（2）＝＝＝．g（x）≤7，即为，所以，.．所以，g（x）≤7的解集为．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）若b2＝ac，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若，求△ABC周长l的取值范围．【解答】解：（1）由题设，及正弦定理得，，因为sin A≠0，所以，由A+B+C＝π，可得，故．因为，故，所以，因为b2＝ac，又由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac，所以a2+c2﹣ac＝ac，即（a﹣c）2＝0，所以a＝c，故，所以△ABC是等边三角形；（2）解法一：△ABC的周长．由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，，故（a+c）2≤24，，所以，当且仅当时，等号成立．又在△ABC中a+c＞b，所以，所以△ABC周长l的取值范围为．解法二：因为，，由正弦定理，得，所以△ABC的周长＝＝＝，因为，所以，，．所以△ABC周长l的取值范围为．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）当λ＝时，求函数f（x）的值域；（2）若方程f（x）＝0有解，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1），设，得g（t）＝3t2﹣2λt+8，，当时，，，所以，g（t）max＝g（2）＝14，所以函数f（x）的值域为；（2）方程f（x）＝0有解等价于函数g（t）＝3t2﹣2λt+8在上有零点，也即在上有解，而函数在上的值域为；所以实数λ的取值范围为．21．（12分）如图，游客从某旅游景区的景点A处上山至景点C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处出发，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发1min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min 后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为10m/min，山路AC长为1260m，经测量得，．（参考数据：，，第（3）问结果精确到0.1）（1）求索道AB的长；（2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少min？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，问乙步行的速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）在△ABC中，由，，可得，，所以，由正弦定理得，；（2）设乙出发tmin，甲、乙的距离为d，由余弦定理得，，即d2＝500（13t2﹣2t+5），因为，即0≤t≤5，所以当时，d取得最小值，所以当乙出发了后，乙在缆车上与甲的距离最短；（3）由正弦定理得，乙从B出发时，甲已经走了50（1+5+1）＝350m，还需走910m才能到达C，设乙步行的速度为vm/min，则，所以，解得，即49.1≤v≤68.4，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在[49.1，68.4]范围内．22．（12分）如图，边长为2的等边三角形ABC中，O是BC的中点，D，E分别是边AB，AC上的动点（不含端点），记∠BOD＝θ．（1）在图①中，∠DOE＝120°，试将AD，AE分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD+AE为定值；（2）在图②中，∠DOE＝60°，问此时AD+AE是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AD+AE 的取值范围．【解答】解：（1）由∠DOE＝120°，∠BOD＝θ，则∠BDO＝120°﹣θ，∠COE＝60°﹣θ，∠CEO ＝60°+θ，在△BOD和△COE中，分别应用正弦定理可得，，，故，，所以，，θ∈（0，60°）．从而＝＝＝，从而AD+AE＝3为定值；（2）当∠DOE＝60°，∠BOD＝θ，则∠BDO＝120°﹣θ，∠COE＝120°﹣θ，∠CEO＝θ，在△BOD和△COE中，分别应用正弦定理可得，，，故，，所以，，θ∈（30°，90°），，θ∈（30°，90°）．令，θ∈（30°，90°），下面先求y的取值范围：解法一：＝＝＝＝＝＝，由于θ∈（30°，90°），2θ﹣30°∈（30°，150°），2sin（2θ﹣30°）+1∈（2，3]，所以，因此；解法二：，设，则，＝，由θ∈（30°，90°），，，，又在上单调递减，在（1，2）上单调递增，而当或2时，，当u＝1时，y＝2，所以，因此．。
高一数学上学期期末考试试题苏教版
射阳中学 高一上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题纸指定位置）1．已知集合{}3,2,1=A ，集合{}4,3=B ，则=B A ▲ . 2. 函数()cos()5f x x πω=-最小正周期为23π，其中0>ω，则=ω ▲ ． 3．已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），若(2)(3)f f <，则实数a 的取值范围是 ▲ . 4．函数()ln(2)f x x =-的定义域是 ▲ ．5. 求值：11tan3π= ▲ 6. 在△ABC 中，若sin cos ,A BB a b=∠则= ▲ ．7. 如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a 、b 、c 满足x +y =c a b （,R ∈x y ），则x y += ▲ ．8. 已知函数()f x 满足：当4x ≥时，1()()2xf x =；当4x <时，()(1)f x f x =+.则2(2log 3)f += ▲ .9.设方程24xx +=的根为0x ，若0(1,)x k k ∈-，则整数k = ▲10．已知非零向量,a b 满足||||1a a b =+=，a 与b 夹角为120°，则向量b 的模为 ▲ ． 11．设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点P 的横坐标为α，则tan α的值为 ▲ ．12．在等式()()sin 11︒=的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是___▲___.13.已知A 、B 两点是半径为1的圆O 上两点，且3AOB π∠=, 若C 是圆O 上任意一点，则OA BC 的取值范围是[,]s t ，则s t += ▲C(第13题图)14．已知函数()23f x x =-，若021a b <<+，且()()23f a f b =+，则23T a b =+的取值范围是 ▲ .二、解答题：（本大题共6小题，共90分。
苏教版高一第一学期期末复习试卷一
高一数学期末模拟卷一一、填空题1．已知数集{}2,1M x =，则实数x 的取值范围为_________．2．设点(),A x y 是300角终边上异于原点的一点，则y x的值为____________． 3．幂函数()f x 的图象经过点(，则()f x 的解析式是____________．4．方程lg 42x x =-的根(),1x k k ∈+， k Z ∈，则k =____________．5．求值： 1425sin cos =34ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭____________． 6．已知向量()()1,1,1,2a b =-=，且()()2//a b a b λ+-，则=λ____________．7．函数1ln y x=的图像先作关于x 轴对称得到图像1C ，再将1C 向右平移一个单位得到图像2C ，则2C 的解析式为____________．8．已知扇形的周长为8cm ，则该扇形的面积S 的最大值为____________．9．函数y =的定义域为 ___________．10．若1,2a b ==，且()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为____________． 11．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-=)0(,sin )02(,cos )(ππx x x x x f ，则154f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________． 12．已知O 为原点，点A B 、的坐标分别为()(),0,0,a a 其中常数0a >，点P 在线段AB 上，且()01AP t AB t =≤≤，则OA OP ⋅的最大值为___________．13．定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．14．若关于x 的方程2xkx x =-有三个不等实数根，则实数k 的取值范围是____________．二、解答题15．设集合()22{|44,},{|45}A x x a a x a R B x x x =+=+∈=+=． （1）若A B A ⋂=，求实数a 的值；（2）求A B ⋃， A B ⋂．16．（1）已知3tan 2,,2πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求：()()3sin 2sin 2cos 31ππααπα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-+； （2）的值。
江苏省高中高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合，且，则（ ）{}2||2,2a A x x B x x =⎧-≤⎫⎨≤=-⎩≤⎬⎭{}|21A B x x ⋂=-≤≤=a A ．-4 B ．-2 C ．2 D ．4【答案】B【分析】直接根据条件得关于的方程求解即可.a 【详解】集合，且.{}2||2,2a A x x B x x =⎧-≤⎫⎨≤=-⎩≤⎬⎭{}|21A B x x ⋂=-≤≤则，解得.12a-=2a =-故选：B.2．下列命题正确的是（ ） A ．l 是最小的自然数 B ．所有的素数都是奇数C ．D ．对任意一个无理数x ，也是无理数,sin 20x x ∀∈+>R 2x 【答案】C【分析】根据全称量词命题的知识确定正确答案. 【详解】是最小的自然数，所以A 选项错误.0是素数，但是偶数，所以B 选项错误.22由于，所以，C 选项正确.1sin 1x -≤≤,sin 20x x ∀∈+>R是无理数，但是有理数，所以D 选项错误.22=故选：C3．一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.【详解】因为一个扇形的弧长与面积的数值都是4， 即 4,4S l ==所以，所以圆心角为22S r l==2lr =故选：C4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）ππ,π2⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ． cos y x =sin y x =C ．D ．tan y x =cos 2xy =【答案】A【分析】依次判断选项的周期和单调性，即可得到答案．【详解】选项A ，即在轴上方的图象保持不变，下方图象沿轴翻折到上方，cos y x =cos y x =x x 翻折后最小正周期为，在区间上单调递增，正确；ππ,π2⎛⎫⎪⎝⎭选项B ，最小正周期为，不合题意，错误；sin y x =2π选项C ，即在轴上方的图象保持不变，下方图象沿轴翻折到上方，翻折后最小tan y x =tan y x =x x 正周期为，在区间上单调递减，错误；ππ,π2⎛⎫⎪⎝⎭选项D ，最小正周期为，不合题意，错误；cos 2xy =4π故选：A5．若，则（ ） ln ln a b >A ．B ．2211a b >20222022b b a a -<-C ． D ． π3a b a b --<11a b a b->-【答案】D【分析】先求得的大小关系，然后根据作差比较法、函数的单调性能知识确定正确答案. ,a b 【详解】由于，所以，ln ln a b >0a b >>A 选项，， ()()22222222110b a b a b a a b a b a b +---==<所以，A 选项错误.2211a b<B 选项，，()()()20222022202220222022b a a b b b a a a a -----=--()()20222022a b a a -=-无法确定符号，所以B 选项错误.C 选项，，函数在上递增， 0a b ->a b y x -=()0,∞+所以，所以B 选项错误.π3a b a b -->D 选项， 11b a a b a b a b a b a b ab ab --⎛⎫---=--=-+ ⎪⎝⎭，()()()111a b ab a b ab ab -+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭其中，所以，0,10,0a b ab ab ->+>>11110,a b a b a b a b ⎛⎫--->->- ⎪⎝⎭所以D 选项正确. 故选：D6．已知实数x 满足﹐实数x 满足，当时，若q 是p 的充分条:p ()()30x a a x -->:q 302x x +≤+a<0件，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．()2,1--[)2,1--C ． D ．[]2,1--()(),21,-∞-⋃-+∞【答案】B【分析】先解一元二次不等式以及分式不等式，然后根据充分条件的知识求得正确答案. 【详解】对于，由于，所以由解得； p a<0()()30x a a x -->3a x a <<对于，，所以； q ()()32030220x x x x x ⎧++≤+≤⇔⎨++≠⎩32x -≤<-若是的充分条件，则，解得.q p 332a a <-⎧⎨≥-⎩21a -≤<-故选：B7．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度为安全范30.1mg/m ≤围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为，使用了甲醛喷剂并处于良好通风36.05mg/m 环境下时，室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位；()t μ3mg/m ()t t ∈N 天）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安()()7e0.05tt λλμ-=+∈R 全开放标准，至少需要放置的时间为（）（ ） ln 20.7,ln 3 1.1,ln 5 1.6≈≈≈A ．32天 B ．33天 C ．34天 D ．35天【答案】C【分析】先代入计算出值，写出函数关系，再根据题意写出函数表达式解出时间. 0=t λt 【详解】依题意可知当时，， 0=t () 6.05t μ=即， 076.050.056e λλ-=+⇒=所以，()76e 0.05t t μ-=+由，()750.16e 0.0t t μ-≤=+得， 711e ln ln1203ln 2ln 3ln 512071207tt t -≤⇒-≤⇒≥=++即， 3ln 2ln 3ln 530.7 1.1 1.6 4.87t≥++≈⨯++=所以，33.6t ≥至少需要放置的时间为34天， 故选：C.8．设，计算机程序中用表示不超过x 的最大整数，则称为取整函数．例x ∈R ()INT x ()INT y x =如； ．已知函数，则()()INT 2.13,INT 1.21-=-=()()222311log log 42f x x x=⨯++16x <<函数的值域为（ ） ()()INT y f x =A ． B ． {}1,0,1-{}1,0,1,2-C ．D ．121,28⎡⎫-⎪⎢⎣⎭{}0,1,2【答案】B【分析】化简，令，，由二次函数的性质求出函数()f x 2log t x =()21134,,422f t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭()f x 的值域，根据定义求函数的值域.INT(())y f x =【详解】因为()()()22322223111log log 4log log 422f x x x x x -=⨯++=⨯++， ()2221log 3log 42x x =⨯-+令，所以，2log t x =16x <<1,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，()21134,,422f t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭因为的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，()f t 3t =()f t 1,32⎛⎫⎪⎝⎭()3,4当时，，3t =()()min 132f t f ==-当时，. 12t =()max 12128f t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以的值域为.()f x 121,28⎡⎫-⎪⎢⎣⎭当时，，()102f x -≤<()()INT 1y f x ==-当时，， ()01f x ≤<()()INT 0y f x ==当时，， ()12f x ≤<()()INT 1y f x ==当时，， ()2128f x ≤<()()INT 2y f x ==所以函数的值域为， ()()INT y f x ={1,0,1,2}-故选：B .二、多选题9．若函数，则的解析式可能为（ ）()()()2f x f x x +-=∈R ()f x A ．B ．()21f x x =-()1cos f x x =+C ． D ．()1f x x x =+()1e e x xf x -=+-【答案】CD【分析】根据条件逐一代入计算验证即可.【详解】对于A ：，不符合； ()()()2222211f x x x x f x +--=+--=-对于B ：，不符合； ()()()1cos 1cos 22cos x x x f x f x ++-=++-=+对于C ：，符合；()()211f x f x x x x x ++=+--=-对于D ：，符合.()()1e e 1e e 2x x x xf x f x --+-=+-++-=故选：CD.10．设，若，则m 的值可以为（ ） {}5NN ,|403A x B x mx x ⎧⎫=∈∈=-=⎨⎬-⎩⎭A B A ⋃=A ．0 B ．C ．1D ．212【答案】ABC【分析】先求出集合A 中元素，当明显符合，当时，根据可得m 的值. 0m =0m ≠{}44,8m∈【详解】， {}5NN 4,83A x x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭，A B A =Q U 当时，，符合；0m =B =∅当时，，0m ≠4|B x x m ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭或， 44m ∴=48m =或. 1m ∴=12m =故选：ABC. 11．对于函数，下列结论正确的是（ ）()sin cos sin cos 2x x x xf x +--=A ．()cos ,sin cos sin ,sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩B ．的单调递减区间为()f x ()π2π,π2πZ 4k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．的最大值为1()f xD ．若关于x 的方程在上有四个实数解，则()f x a =[)0,2π1a -<<【答案】AD【分析】根据绝对值的性质化简不等式，判断A ，根据正弦函数和余弦函数的单调性判断B ，C ，结合函数图象判断D. 【详解】因为，()sin cos sin cos 2x x x xf x +--=所以当，即，时，， sin cos x x ≥π5π2π2π44k x k +≤≤+Z k ∈()sin cos sin cos cos 2x x x x f x x +-+==当，即，时，， sin cos x x <3ππ2π2π44k x k -<<+Z k ∈()sin cos sin cos sin 2x x x x f x x ++-==所以，A 正确； ()cos ,sin cos sin ,sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩因为函数在，上单调递减， cos y x =[]2π,2ππk k +Z k ∈函数在，上单调递增，cos y x =[]2ππ,2πk k -Z k ∈函数在，上单调递增，sin y x =ππ2π,2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈函数在，上单调递减，sin y x =π3π2π+,2π+22k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Z k ∈又当，时，， 3ππ2π2π44k x k -<<+Z k ∈()sin f x x =当，时，， π5π2π2π44k x k +≤≤+Z k ∈()cos f x x =所以函数的单调递减区间为和，B 错()f x ()3ππ2π,2πZ 42k k k ⎛⎤-+-+∈ ⎥⎝⎦()π2π,π2πZ 4k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦误；当，时，， 3ππ2π2π44k x k -<<+Z k ∈()sin f x x =<当，时， π5π2π2π44k x k +≤≤+Z k ∈()cos f x x =≤当且仅当，时取等号； π2π4x k =+Z k ∈所以，C 错误；()f x 因为方程在上有四个实数解，()f x a =[)0,2π所以函数的图象与函数的图象有四个交点，()y f x =y a =作函数在上的图象如下，()f x [)0,2π观察可得D 正确； 1a -<<故选：AD.12．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．一般地，个税税额的计算方式有两种； 方式一；分级累积计算税额．计算公式；个税税额=应纳税所得额×税率； 方式二；快速计算税额．计算公式；个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数． 假定；应纳税所得额=税前收入-免征额．其中，免征额为每年60000元． 下表为个人所得税率表（2019年1月1日起执行）级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1[]0,36000 3 02 (]36000,14400010 25203(]144000,30000020 169204(]300000,42000025 X5 (]420000,66000030 529206(]660000,96000035 859207()960000,+∞45 181920下列说法正确的是（ ）A ．若小李2021年全年应纳税所得额为30000元，则小李应缴纳个税税额为900元B ．若小林2021年全年应缴纳个税税额为7480元，则小林全年税前收入为160000元C ．按个税计算办法，表中的数30920X =D ．若小华2021年税后所得为200000元，则他的全年应纳税所得额为153850元 【答案】AD【分析】根据已知条件，结合速算法，即可求解各选项对应数值，从而判断正误. 【详解】对于A ，若小李2021年全年应纳税所得额为30000元，则小李应缴纳个税税额为（元），故A 正确；300003%900⨯=对于B ，若小林全年税前收入为160000元，基数为2，则小林全年应纳税所得额为元，16000060000100000-=则小林2021年全年应缴纳个税税额为元， ()1000003600010%360003%25204960-⨯+⨯-=故若小林2021年全年应缴纳个税税额为7480元，则小林全年税前收入不为160000元，故B 不正确；对于C ，假设个人全年应纳税所得额为元，且，可得：x (]300000,420000x ∈，解得，C 不正25%(300000)25%15600020%10800010%360003%x X x -=-⨯+⨯+⨯+⨯31920X =确；对于D ，按照表中，级数3，，按照级数2，300000(30000020%16920)256920-⨯-=；144000(14400010%2520)132120-⨯-=显然， 1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+所以应该参照“级数3”计算，假设他的全年应纳税所得额为元，所以此时，解得t (20%16920)20000060000t t -⨯-=-153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元，故D 正确. 故选：AD .三、填空题13．已知幂函数的图象关于y 轴对称，则的值为_________．()()21mf x m m x =+-m 【答案】2-【分析】先通过函数为幂函数求出的值，再通过图象关于y 轴对称来确定的值. m m 【详解】由已知得，解得或，211m m +-=2m =-1m =当时，，其图象关于y 轴对称，2m =-()2f x x -=当时，，其图象关于原点对称. 1m =()f x x =故答案为：2-14．已知，且的值：_________．[]3π,3πα∈-πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭α【答案】（答案不唯一） π【分析】解三角方程求得正确答案.【详解】由于或，πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭1π5π2π66k α-=+2π5π2π66k α-=-所以或，其中， 12ππk α=+22π2π3k α=-12,Z k k ∈由于，所以一个满足条件的的值为. []3π,3πα∈-απ故答案为：（答案不唯一）π15．已知函数满足；①，都有；②，使得()2–2f x x kx =-[]1,3x ∀∈-()4f x ≤[]01,3x ∃∈-，则k 的值为___________．()04f x =【答案】或. 2-52【分析】根据已知可得函数在的最大值为，由二次函数的性质，分()2–2f x x kx =-[]13,x ∈-4，和三种情况，即可求出k 的值.1k -≤-13k -<-<3k -≥【详解】由题意可得，在的最大值为，()2–2f x x kx =-[]13,x ∈-4因为，对称轴为，开口向下， ()()22–f x x k k =++x k =-当，即，在上单调递减， 1k -≤-1k ≥()f x []1,3-所以，解得：. ()()max 1124f x f k =-=-+=52k =当，即，在上单调递增，在上单调递减，13k -<-<31k -<<()f x []1,k --[],3k -所以，解得：.()()22max 24f x f k k k =-=-+=2k =±因为，所以.31k -<<2k =-当，即，在上单调递增，3k -≥3k ≤-()f x []1,3-所以，解得：，不符合题意. ()()max 3964f x f k ==--=136k =-故k 的值为或. 2-52故答案为：或. 2-52四、双空题16．已知函数． ()()()2ln 3,e1x af x x ag x -=-=-（1）当时，函数的定义域是__________；1a =()f x （2）若对任意的恒成立，则实数__________．()()0f x g x ≥,3a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭=a 【答案】 21,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由对数函数的性质可求的定义域，结合对数函数和指数函数性质化简不等式，由此()f x 可求.a 【详解】当时，，由有意义可得， 1a =()()ln 31f x x =-()()ln 31f x x =-310x ->所以函数的定义域为，()()ln 31f x x =-1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭因为对任意的恒成立，()()0f x g x ≥,3a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭又当时，，所以当时，， 031x a <-<()ln 30x a -<133a a x +<<()2e10x ag x -=-≤又当时，，所以当时，， 31x a ->()ln 30x a ->a 1x 3+>()2e10x ag x -=-≥当时，，所以当时，可取任意实数， 31x a -=()ln 30x a -=13a x +=()2e1x ag x -=-又函数在单调递增，()2e 1x ag x -=-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，123e 10a a +⨯--=故.2a =故答案为：；2.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭五、解答题17．如图，以x 轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆O 相交于点P ，已知点ππ2ααæöç÷<<ç÷ç÷èøP 的横坐标为(1)求的值；tan α(2)求的值． ()()πsin 3sin 23πsin sin π2αααα⎛⎫--++ ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭【答案】(1)2-(2) 13-【分析】（1）利用三角函数的定义及同角三角函数基本关系计算即可；（2）利用诱导公式化简，然后转化为用表示，代入的值计算即可.tan αtan α【详解】（1）点P的横坐标为， cosα∴=ππ2α<<， sin α∴==； sin tan 2cos ααα∴===-（2）. ()()πsin 3sin sin 3cos tan 323123πcos sin tan 1213sin sin π2αααααααααα⎛⎫--++ ⎪++-+⎝⎭====--+---⎛⎫++- ⎪⎝⎭18．已知函数． ()π2cos 2,6f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R (1)求函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值；()f x x (2)求函数在区间上的单调递增区间．()f x []0,π【答案】(1)答案见解析(2)和 π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）直接利用余弦函数的性质求最值及取最值时的集合；x （2）先通过求出的范围，再根据余弦函数的性质求解单调增区间.0πx ≤≤π26x -【详解】（1）对于函数， ()π2cos 2,6f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R 当，即时，函数取得最大值； π22π,Z 6x k k -=∈π|π,Z 12x x x k k ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭()f x 2当，即时，函数取得最小值． π2π2π,Z 6x k k -=+∈7π|π,Z 12x x x k k ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭()f x 2-（2），， 0πx ≤≤ ππ11π2666x ∴-≤-≤由和可得 ππ2066x -≤-≤π11ππ266x ≤-≤函数的单调增区间为和. ()f x π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．已知关于x 的不等式对恒成立．20x ax a ++≥x ∀∈R (1)求实数的取值集合；a M (2)已知集合，若“，都有成立”为真命题，求实数m 的取值范{}1|3N x m x m =-<<N x ∀∈R x M ∈ð围．【答案】(1)[]0,4(2)或0m ≤5m ≥【分析】（1）直接通过可得结果；0∆≤（2）根据题意可得，对是否为空集讨论，然后根据包含关系列不等式求解即可.R N M ⊆ðN 【详解】（1）关于x 的不等式对恒成立，20x ax a ++≥x ∀∈R ，240a a ∴∆=-≤解得；[]0,4M =（2）由（1）得，()()R ,04,M =-∞+∞ ð若“，都有成立”为真命题，N x ∀∈R x M ∈ð则，R N M ⊆ð当，即时，，符合 13m m -≥12m ≤-N =∅R N M ⊆ð当，即时，或， 13m m -<12m >-30m ≤14m -≥解得或. 102m -<≤5m ≥综合得或.0m ≤5m ≥20．现有一个无盖长方体形箱体，如图所示，该长方体的长为2米，宽为x 米，高为y 米．(1)如果箱体容积为100立方米，那么至少需要多少平方米制箱材料；(2)如果制箱材料为60平方米，那么怎样设计箱体能使箱体的容积最大?最大容积是多少?【答案】(1)至少需要平方米制箱材料140(2)当米时，箱体的容积最大，最大容积是立方米26x y ==18【分析】（1）先求得几何体的表面积的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.（2）先求得几何体的体积的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】（1）依题意，，2100,50xy xy ==需要材料平方米，()24224100100140x x y x y ++=++≥+=当且仅当且，即时，等号成立，24x y =50=xy 210x y ==所以至少需要平方米制箱材料.140（2）依题意，，()6024224222x x y x y xy xy xy =++=++≥=则，即， 22600+-≤2030≤+所以，故， 0≤018xy <≤<≤所以箱体的容积，221836xy ≤⨯=当且仅当且，即时，等号成立,24x y =60242x y xy =++26x y ==所以当米时，箱体的容积最大，最大容积是立方米.26x y ==1821．已知指数函数的图象过点，令，（b 是常数），且是定义在()f x 13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()1f x b g x f x -=+()g x R 上的奇函数．(1)求b 的值；(2)若关于x 的不等式在上恒成立，求整数m 的最大值．()()()()0g g x g mf x +≤[]0,1x ∈【答案】(1)b 的值为1；(2)整数m 的最大值为-1．【分析】(1)由条件结合指数函数定义求，再根据奇函数的定义求b 的值；()f x (2)判断函数的单调性，根据函数性质化简不等式可得，()g x ()()()()0g g x g mf x +≤()12221xx x m -≤+求函数的最小值确定的范围，由此可得结论. ()12221xx x y -=+m 【详解】（1）因为函数为指数函数，故可设且，()f x ()x f x a =(0a >)1a ≠又函数的图象过点，所以， ()f x 13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭318a -=所以，故，， 2a =()2xf x =()221x x bg x -=+又是定义在上的奇函数，()g x R 所以，即恒成立， ()()g x g x -=-222121x x x x b b ----=-++所以恒成立，所以恒成立， 1221221x x x x b b --=++()112x b b -=-所以；1b =（2）由(1)可得， ()21212121x x x g x -==-++因为函数在上单调递增，值域为，21x y =+R ()1,∞+所以函数在上单调递减， 221x y =+R 所以函数在上单调递增，()g x R 所以不等式可化为，()()()()0g g x g mf x +≤()()()()g g x g mf x ≤-则，即，即， ()()()()g g x g mf x ≤-()()g x mf x ≤-21221x x x m -≤-+所以，()221210x x x m ++-≤由已知在上恒成立，()221210x x x m ++-≤[]0,1x ∈故在上恒成立， ()12221xx x m -≤+[]0,1x ∈令，则在上恒成立， 21xt =-()()21t m t t -≤++[]0,1t ∈当时，， 0=t ()()021t t t -=++当时，， 01t <≤()()12213t t t t t-=-++++设，任取，且， ()23h t t t=++(]12,0,1t t ∈12t t <则， ()()()12121212122221h t h t t t t t t t t t ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭因为，，所以， 12t t <(]12,0,1t t ∈121220,10t t t t -<-<故，所以函数在上单调递减， ()()12h t h t >()23h t t t=++(]0,1所以，故， 236t t++≥()()1216t t t -≥-++所以在上最小值为，故， ()()21t y t t -=++[]0,116-16m ≤-所以整数m 的最大值为-1．22．已知函数． ()[]22,2,212x f x x x -=∈-+(1)判断并证明在定义域上的单调性； ()f x []22-,(2)设，试比较a ，b ，c ，d 的大小并()()()237π34πlog 3,cos ,tan ,sin 3π911a f b f c f d f ⎛⎫⎛⎫====+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭用“<”将它们连接起来；(3)若不等式对于函数定义域内的任意实数恒成()()()()4123kf x f x f x f x ≥++()f x 1234x x x x 、、、立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)函数在定义域上单调递增，证明见解析；()f x []22-,(2)；d c b a <<<(3)k 的取值范围为．(],0-∞【分析】(1)根据函数单调性的定义证明即可；(2)先比较的大小，结合函数单调性比较a ，b ，c ，d 的大小， ()237π34πlog 3,cos ,tan ,sin 3π911+(3)分化简条件，由此可求k 的取值范围．0,0k k ≤>【详解】（1）函数在定义域上单调递增，证明如下：()f x []22-,任取，且，则[]12,2,2x x ∈-12x x < ()()()()()()12121221212222212122122212121212x x x x x x x x f x f x x x x x -------=-=++++所以，()()()()()()()121221222122161212x x x x f x f x x x ----⎡⎤⎣⎦-=++因为，所以，12x x <120x x -<因为，所以，又，[]12,2,2x x ∈-12420,420x x -≤-≤-≤-≤12x x <所以，()()1222160x x ---<所以，()()21f x f x >所以函数在定义域上单调递增；()f x []22-,（2）因为函数在上单调递增，，2log y x =()0,∞+234<<所以，21log 32<<， 37πππcos cos 4πcos 999⎛⎫=+= ⎪⎝⎭又在， cos y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππcos cos cos 0169=<<=， 34πππtan tan 3πtan 111111⎛⎫=+= ⎪⎝⎭又在上单调递增，所以， tan y x=ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ0tan 0tan tan 116=<<=，()()()sin 3πsin 2ππ3sin π3+=--=--⎡⎤⎣⎦因为函数在上单调递增，所以， sin y x =ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦()π10sin 0sin π3sin 62=<-<=故， ()1sin 3π02-<+<所以， ()234π37πsin 3πtan cos log 3119+<<<又函数在定义域上单调递增，()f x []22-,所以， ()()()234π37πsin 3πtan cos log 3119f f f f ⎛⎫⎛⎫+<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；d c b a <<<（3）因为在定义域上单调递增； ()[]22,2,212x f x x x -=∈-+[]22-,所以， ()104f x -≤≤所以当时，对任意实数，0k ≤1234x x x x 、、、，，()40kf x ≥()()()1230f x f x f x ++≤所以满足已知条件，当时，由不等式对任意实数恒成立，0k >()()()()4123kf x f x f x f x ≥++1234x x x x 、、、可得()()min max 3kf x f x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以，满足条件的不存在， 104k -≥k 所以，0k ≤所以k 的取值范围为．(],0-∞【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.。
2022-2023学年江苏省苏州市高一上学期期末考试数学试卷含答案
江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}08U x x =∈<<N ，{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =，则下列结论错误的是（）A ．{}3AB ⋂=B ．{}1,2,3,4,5,6A B ⋃=C ．{}4,5,6,7,8U A =ðD ．{}1,2,7U B =ð2．已知a ，R b ∈，那么“33a b ≤”是“1133log log a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约1050km ，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转rad 3π，昆仑站运动的路程约为（）A ．2200kmB ．1650kmC ．1100kmD ．550km4．用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[]0,1上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A ．5B ．6C ．7D ．85．若实数a ，b 满足12a b+=，则ab 的最小值为（）A B ．2C ．D ．46．设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭．若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为（）A ．13B ．12C ．23D ．17．已知幂函数()223*m m y xm --=∈N 的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上单调递减，则满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围为（）A ．()0,+∞B ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()23,1,32⎛⎫-∞-⋃⎪⎝⎭8．定义：正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=．已知m 为正实数，且22csc tan 15m x x ⋅+≥对任意的实数,2Z x x k k ππ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭均成立，则m 的最小值为（）A ．1B ．4C ．8D ．9二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．下列选项中，与11sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值相等的是（）A ．2sin15sin 75︒︒B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒-︒︒C ．22cos 151︒-D ．2tan 22.51tan 22.5-︒︒10．下列函数中，既是偶函数又是区间(1,)+∞上的增函数有（）A ．13x y +=B ．()()ln 1ln 1y x x =++-C ．22y x =+D ．1y x x=+11．函数()()3sin 2f x x ϕ=+的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．23f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值C ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把函数()y f x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象12．若63b =，62a =，则（）A ．1b a>B ．14ab <C ．2212a b +<D ．110b a ->三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若对任意a ＞0且1a ≠，函数()11x f x a +=+的图象都过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则tan θ=______．14．已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63ππαα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为______．15．设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为偶函数，()1f x +为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2xf x a b =⋅+，若()()014f f +=-，则72f ⎛⎫=⎪⎝⎭______．16．设函数2,0()1,04x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦______，若方程()f x b =有且仅有1个实数根，则实数b 的取值范围是______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合(){}2log 12A x x =-<，{}22210B x x ax a =-+-<．（1）若1a =，求A B ⋃；（2）求实数a 的取值范围，使_____成立．从①R A B ⊆ð，②U B A ⊆ð，③()R B A ⋂=∅ð中选择一个填入横线处并解答．18．（12分）已知二次函数()2f x ax bx c =++（a ，b ，c 均为常数，0a ≠），若1-和3是函数()f x 的两个零点，且()f x 最大值为4．（1）求函数()f x 的解析式；（2）试确定一个区间D ，使得()f x 在区间D 内单调递减，且不等式()f x mx m ≥--()0m >在区间D 上恒成立．19．（12分）已知α，β为锐角，1tan 2α=，()2cos 10αβ+=-．（1）求cos 2α的值；（2）求αβ-的值．20．（12分）设a ，b 为实数，已知定义在R 上的函数()51xb f x a =-+为奇函数，且其图象经过点21,3⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 为R 上的增函数，并求()f x 在(]1,2-上的值域．21．（12分）为了研究其种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为8，14，26．根据实验数据，用y 表示第t （*a ∈N ）天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①2y ax bx c =++；②xy p q r =⋅+，其中0q >且1q ≠．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500．22．（12分）若函数()f x 在定义域内存在实数x 满足()()f x k f x -⋅＝-，k ∈Z ，则称函数()f x 为定义域上的“k 阶局部奇函数”．（1）若函数()tan 2sin f x x x =-，判断()f x 是否为()0,π上的“二阶局部奇函数”并说明理由；（2）若函数()()lg f x m x =-是[]2,2﹣上的“一阶局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）对于任意的实数(],2t ∈-∞，函数()22f x x x t -=+恒为R 上的“k 阶局部奇函数”，求k 的取值集合．江苏省苏州市2022—2023学年高一上学期期末数学试题【参考答案】一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】分别根据交集，并集，补集的定义即可求出．【解答】解：{}{}081,2,3,4,5,6,7U x x =∈<<=N ，{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =，则{}3A B ⋂=，{}1,2,3,4,5,6A B ⋃=，{}4,5,6,7U A =ð，{}1,2,7U B =ð．故选：C ．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础题．2．【分析】由对数不等式和指数不等式的解法，结合充分必要条件的定义，可得结论．【解答】解：33aba b ≤⇔≤，1133log log 0a b a b >⇔<<，由0a b <<可推得a b ≤，但a b ≤，不可推得0a b <<，所以“33a b≤”是“1133log log a b >”的必要不充分条件．故选：B ．【点评】本题考查不等式的解法和充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．3．【分析】利用弧长公式即可求解．【解答】解：因为昆仑站距离地球南极点约1050km ，地球每自转rad 3π，所以由弧长公式得：105011003l π=⨯≈．故选：C ．【点评】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，属于基础题．4．【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过n 次操作后，区间的长度为12n ，据此可得10.012n<，解可得n 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，原来区间[0，1]的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过n 次操作后，区间的长度为12n ，若10.012n<，即7n ≥．故选：C ．【点评】本题考查二分法的定义和运用，注意二分法区间长度的变化，考查运算能力和推理能力，属于基础题．5．【分析】由12a b +=，可判断0a >，0b >，然后利用基础不等式12a b +≥即可求解ab 的最小值【解答】解：∵12a b+=，∴0a >，0b >，∵12a b +≥（当且仅当2b a =时取等号），≥ab ≥ab 的最小值为，故选：C ．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题6．【分析】根据()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，得到当4x π=时，函数()f x 取得最大值，利用最值性质进行求解即可．【解答】解：若()4f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值，即246k ππωπ-=，k ∈Z ，即283k ϖ=+，k ∈Z ，∵0ω>，∴当0k =时，ω取得最小值为23ω=，故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定当4x π=时，函数()f x 取得最大值是解决本题的关键．7．【分析】由条件知2230m m -<-，*m ∈N ，可得1m =．再利用函数13y x =-的单调性，分类讨论可解不等式．【解答】解：幂函数223m m y x--=()*m ∈N 在()0,+∞上单调递减，故2230mm -<-，解得13m <<﹣，又*m ∈N ，故1m =或2，当1m =时，4y x -=的图象关于y 轴对称，满足题意，当2m =时，3y x -=的图象不关于y 轴对称，舍去，故1m =，不等式化为()()1133132a a --+<-，函数13y x-=在(),0-∞和()0,+∞上单调递减，故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<．故选：D ．【点评】本题主要考查函数单调性的性质与判断，属于基础题．8．【分析】先将原不等式化简，再利用均值不等式求最值即可．【解答】解：由已知得222sin 15sin cos m xx x+≥，即422sin 15sin cos xm x x≥-．因为2x k ππ≠+()k ∈Z ，所以(]2cos 0,1x ∈，则()()2244222222221cos sin 1cos 2cos 15sin 151cos 1515cos 1515cos 2cos cos cos x x x xx x x x x xx-+--=--=--=-+42221cos 11716cos 179cos cos x x x x +⎛⎫-=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当21cos 4x =时等号成立，故9m ≥．故选：D ．【点评】本题考查三角函数同角关系式，基本不等式，属于基础题．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．【分析】求出11sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A ；利用两角和的余弦求值判断B ；利用二倍角的余弦求值判断C ；利用两角和的正切求值判断D ．【解答】解：111sin sin 2sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.对于A ，12sin15sin 752sin15cos15sin 302︒︒=︒︒=︒=；对于B ，()1cos18cos 42sin18sin 42cos 1842cos602︒︒-︒︒=︒+︒=︒=；对于C ，22cos 151cos302︒-=︒=；对于D ，因为22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒︒==-︒，可得2tan 22.511tan 22.52︒=-︒.∴与11sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值相等的是ABD ．故选：ABD ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数，是基础题．10．【分析】根据指数函数，对数函数，二次函数和对勾函数的性质，逐一进行检验即可求解．【解答】解：||31x y =+，定义域为R ，又()()||3131xx f x f x --=+=+=，故函数为偶函数，当1x >时，()||3131x xf x =+=+单递增，故A 正确；要使函数()()ln 1ln 1y x x =++-有意义，则有x 10x 1x 10+>⎧⇒>⎨->⎩，定义域()1,x ∈+∞不关于()0,0对称．故不为偶函数，故B 错误；22y x =+，对称轴0x =，函数在()0,+∞上单调递增，且为偶函数，故C 正确；1y x x =+，定义域{}0x x ≠关于原点对称，且()()1f x x f x x-=--=-，故不为偶函数，故D 错误．故选：AC ．【点评】本题主要考查指数函数，对数函数，二次函数和对勾函数的性质，属于基础题．11．【分析】由题意()()3sin 2f x x ϕ=+的图象过点,36π⎛⎫⎪⎝⎭，可得sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，利用五点作图法可得φ，可求函数解析式为()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，进而利用正弦函数的性质即可得出结论．【解答】解：由题意()()3sin 2f x x ϕ=+的图象过点,36π⎛⎫⎪⎝⎭，可得3sin 236πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，利用五点作图法可得6πϕ=，可得()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的最小正周期为22T ππ==，正确；对于B ，223sin 23336f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，正确；对于C ，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得()33sin 2,362f x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，错误；对于D ，把函数()y f x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，可得到函数3sin 23sin2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，正确．故选：ABD ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换以及由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于中档题．12．【分析】首先推得1a b +=，01a b <<<，由不等式的性质和二次函数的性质，可得结论．【解答】解：若63b=，62a=，则6log 2a =，6log 3b =，则1a b +=，且01a b <<<，1b a =-，102a <<，故1b a >，()211110,244ab a a a ⎛⎫⎛⎫=-=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确，B 正确；()22222211112212222a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+> ⎪⎝⎭，故C 错误；若0.499a =，0.501b =，则0.0010.1b a -=<，故D 错误．故选：AB ．【点评】本题考查不等式的性质和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【分析】令幂指数等于零，求得x 、y 的值，可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：令10x +=，求得1x =-，2y =，可得函数()11x f x a +=+（0a >，1a ≠）的图象经过定点()1,2P -，所以点P 在角θ的终边上，则2tan 21θ==--．故答案为：2-．【点评】本题主要考查指数函数的特殊点，任意角的三角函数的定义，属于基础题．14．【解答】解：∵1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63ππαα⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin sin 626πππαπα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111399=+-=，故答案为：．【点评】本题主要考查了利用诱导公式及拆角技巧在三角化简求值中的应用，属于中档试题．15．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程，求出()f x 是周期为4的周期函数，根据条件建立方程求出a ，b 的值即可．【解答】解：∵()1f x +是奇函数，()f x 是偶函数，∴()()()111f x f x f x -+=-+=-，则()()2f x f x +=-，则()()4f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，则0x =时，()()11f f =-，则()10f =，∵()()014f f +=-，∴()04f =-，即()()204f f =-=，则()()120244f a b f a b ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，得2a =，4b =-，327711342224422222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--+=-=-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：4-．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质和对应，建立方程求出a ，b 的值是解决本题的关键，是中档题．16．【分析】利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到b 的范围；【解答】解：函数()x 2e ,x 01x x ,x 04f x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，则()()()01014f f f e f ⎡⎤===⎣⎦．0x ≤时，()1f x ≤，0x >，()214f x x x =-++，对称轴为：12x =，开口向下，函数的最大值为：1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，0x →时，()104f →，函数()y f x =的图象如图所示，方程()f x b =有且仅有1个不同的实数根，则函数()y f x =与y b =有且只有1个交点，则实数b 的取值范围是：(]1,0,12⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦．故答案为：14;(]1,0,12⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦．【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．【分析】（1）由对数不等式和二次不等式的解法，化简集合A ，B ，再由并集的定义可得所求集合；（2）选①②，分别求得A ，B 的补集，再由集合的包含关系可得a 的不等式组，可得所求取值范围；选③，求得A 的补集，由交集的定义可得所求取值范围．【解答】解：（1）集合(){}{}{}2log 1201415A x x x x x x =-<=<-<=<<，{}{}22002B x x x x x =-<=<<，所以{}05A B x x ⋃=<<；（2）选①R A B ⊆ð，由{}{}2221011B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+，可得{}11B x x a x a =≥+≤-R C 或，所以15a -≥或11a +≤，解得0a ≤或6a ≥，则a 的取值范围是(](),06,∞⋃+∞选②U B A ⊆ð，由()1,1B a a =-+，{}51U A x x x =≥≤或ð，所以15a -≥或11a +≤，解得0a ≤或6a ≥，则a 的取值范围是()[,06,-∞⋃+∞）；选③()A B ⋂=∅R ð，由{}51U A x x x =≥≤或ð，()1,1B a a =-+，可得1115a a ≤-<+≤，解得24a ≤≤，则a 的取值范围是[]2,4．【点评】本题考查集合的运算、集合的关系和不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．18．【分析】（1）利用零点的定义以及二次函数的性质，列出方程组，求出a ，b ，c 的值，即可得到答案；（2）利用二次函数的性质，求出()f x 的单调区间，将不等式转化为()2230x m x m -+--≤在区间D 上恒成立，求出不等式的解集，结合题意，即可得到答案．【解答】解：（1）二次函数()2f x ax bx c =++且1-和3是函数()f x 的两个零点，且()f x 最大值为4，所以()()()10393014f a b c f a b c f a b c ⎧-=-+=⎪=++=⎨⎪=++=⎩解得1a =-，2b =，3c =，所以()223f x x x =-++；（2）函数()223f x x x =-++的图象开口向下，对称轴为1x =，则函数()f x 在(],1∞上单调递增，在区间[)1,+∞上单调递减，由不等式()()0f x mx m m ≥-->在区间D 上恒成立，则()2230x x mx m m -++≥-->在区间D 上恒成立，即()()()223130x m x m x x m ⎡⎤-+--=+-+≤⎣⎦在区间D 上恒成立，由不等式()()130x x m ⎡⎤+-+≤⎣⎦，可得13x m -≤≤+，所以不等式的解集为[]1,3m -+，要使得()f x 在区间D 内单调递减，且不等式()()0f x mx m m ≥-->在区间D 上恒成立，则[]1,3x m ∈+，故可取区间[]1,3D =．【点评】本题考查了二次函数图象与性质的应用，二次函数解析式的求解，函数零点的理解与应用，二次函数单调性的应用，不等式恒成立的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19．【分析】（1）由同角三角函数的关系，可得sin2α和cos α的值，再由二倍角公式，得解；（2）先由二倍角公式求得sin2α的值，再由同角三角函数的平方关系求得()sin αβ+的值，根据()2αβααβ-=-+，结合两角差的余弦公式，可得()cos αβ-的值，最后确定αβ-的正负性，即可得解．【解答】解：（1）因为α为锐角，且1tan 2α=，所以sin α=，cos α=所以223cos22cos 1215αα=-=⨯-=．（2）由（1）知，4sin22sin cos 25ααα===，因为α，β为锐角，()2cos 10αβ+=-，所以()72sin 10αβ+=，()()()()cos cos 2cos2cos sin2sin αβααβααβααβ⎡⎤-=-+=+++⎣⎦32472510510⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭22=，因为1tan 12α=<，所以04πα<<，因为α，β为锐角，且()cos 010αβ+=-<，所以042ππαβ<<<<，所以4παβ-=-．【点评】本题主要考查三角恒等变换的综合，熟练掌握二倍角公式、两角差的余弦公式和同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．【分析】（1）根据已知可得()00f =，()213f =，列方程组可求解a ，b 的值，从而可得()f x 的解析式；（2）利用定义法即可证明单调性，利用函数的单调性即可求得值域．【解答】解：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，可得02b a -=①，且其图象经过点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()2163b f a =-=②，联立①②，解得1a =，2b =，所以()25115151x x x f x -=-=++，()()x x x x51155115f x f x -----===-++，满足()f x 是奇函数，所以()f x 的解析式为()5151x x f x -=+．（2）证明：设任意12,x x ∈R 且12x x <，则()()()()()12121212255221151515151x x x x x x f x f x -⎛⎫-=---= ⎪++++⎝⎭，因为12x x <，所以1255x x <，所以12550x x -<，1510x +>，2510x+>，所以()()120f x f x -<，()()12f x f x <，所以()f x 为R 上的增函数，()f x 在(]1,2-上单调递增，()213f -=-，()12213f =，所以()f x 在(]1,2-上的值域为212,313⎛⎤- ⎥⎝⎦．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，单调性的证明，函数值域的求法，考查运算求解能力，属于中档题．21．【分析】（1）对于函数模型①：把1,2,3x =及相应y 值代入，能求出函数模型的解析式．对于函数模型②：把1,2,3x =及相应y 值代入，能求出函数模型的解析式．（2）对于模型①，当4x =和5x =代入，得到模型①不符合观测数据；对于模型②，当4x =和5x =代入，得到函数模型②更合适．要使322500x⋅+>，则8x ≥，由此能求出从第8天开始该微生物的群落单位数量超过50．【解答】解：（1）对于函数模型①：把1,2,3x =及相应y 值代入，得842149326a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得3a =，3b =-，8c =，所以2338y x x -=+；对于函数模型②：把1,2,3x =及相应y 值代入得：2381426p q r p q r p q r ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩，解得3p =，2q =，2r =，所以322xy =⋅+．（2）对于模型①，当4x =时，44y =；当5x =时，68y =，故模型①不符合观测数据；对于模型②，当4x =时，50y =；当5x =时，98y =，符合观测数据，所以函数模型②更合适．要使322500x ⋅+>，则8x ≥，即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500．【点评】本题考查函数模型的应用，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，是中档题．22．【分析】（1）根据题意，由“二阶局部奇函数”可得()()20f x f x -+=，即()()tan 2sin 2tan 4sin x x x x ---=-+，变形可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案，（2）根据题意，分析可得()()0f x f x -+=在区间[]2,2-上有解，变形可得()()()22lg lg lg 0m x m x m x ++-=-=，据此分析可得答案；（3）根据题意，可得()()0f x k f x -+⋅=在R 上有解，则有()()()22220x x t k x x t ---++-+=，即()()()212210k x k x k t ++-++=有解，结合二次函数性质分析可得答案．【解答】解：（1）由题意得，()f x 是()0,π上的“二阶局部奇函数”，证明：函数()tan 2sin f x x x =-，若()()2f x f x -=-，即()()20f x f x -+=，即()()tan 2sin 2tan 4sin x x x x ---=-+，变形可得：tan 2sin x x =，即sin 2sin cos x x x =，则1cos 2x =，又由()0,x π∈，则有3x π=，故()f x 是()0,π上的“二阶局部奇函数”，（2）由题意得，函数()()lg f x m x =-是[]2,2-上的“一阶局部奇函数”，即()()0f x f x -+=在区间[]2,2-上有解，又由()()()()()220lg lg lg 0f x f x m x m x m x -+=⇒++-=-=，即[][][]221,2,2 2,2,02,2,0m x x x m x x m x ⎧=+∈-⎪⎪∀∈-+>⎨⎪∀∈-->⎪⎩，[]()[](()[]2max max 1,5,2,22,,2,2m m x x m m x x ⎧∈⎪⎪⇒>-∈-⇒∈⎨⎪>∈-⎪⎩（3）由题意得，函数()22f x x x t =-+恒为R 上的“k 阶局部奇函数”，即()()0f x k f x -+⋅=在R 上有解，则有()()()22220x x t k x x t ---++-+=即()()()212210k x k x k t ++-++=有解，当1k =-时，0x =∈R ，满足题意，当1k ≠-时，对于任意的实数(],2t ∈-∞，()()2222410k k t ∆=--+≥变形可得()()22412220k k +⋅--≤，解可得：33k --≤≤-+，由k ∈Z ，故{}5,4,3,2,1k ∈-----．【点评】本题考查函数与方程的关系，关键是理解“k 阶局部奇函数”的定义，属于综合题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
BDB
A CC AC E
A.D、E、FB.E、D、F C. E、F、DD.F、D、E
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，满分20分.
.
所以最短弦长 .……14分
A. 2B.3 C. 4D. 5
3.与函数 有相同的图像的函数是（）（湖南版必修一 第2题）
A. B.
C. D.
4.方程 的解所在区间为（）（苏教版必修一 例2改编）
A. B. C. D.
5.设 是 上的奇函数，且 ，当 时， ，
则 等于（湖南版必修一 第20题）
A. B. C. D.
6.下面直线中，与直线 相交的直线是（）（苏教版必修二 第1题）
所以直线 恒过定点 .……4分
（2）当直线 过圆心 时，直线 被圆 截得的弦何时最长.……5分
当直线 与 垂直时，直线 被圆 截得的弦何时最短.……6分
设此时直线与圆交与 两点.,mmmmmmmmmmmmmm
直线 的斜率 ， .
由 解得 .……8分
此时直线 的方程为 .
圆心 到 的距离 .……10分
14.已知函数 分别由下表给出，则 _______， ________.
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
4
1
2
1
4
3
（苏教版必修一 第8题）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.（其中15题和18题每题12分，其他每题14分）
15.已知函数 ，作出函数的图象，并判断函数的奇偶性.（苏教版必修一 第6题）
11.幂函数 的图象过点 ，则 的解析式为_______________（人教A版必修一 第10题）
12.直线过点 ，它在 轴上的截距是在 轴上的截距的2倍，则此直线方程为__________________________（苏教版必修二 第5题）
13.集合 ，若 ，则实数 的取值范围为_____________（苏教版必修二 第12题）
20.已知圆 ，直线 .
（1）求证：直线 恒过定点；
（2）判断直线 被圆 截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时 的值以及最短弦长.
高一上学期期末复习题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
C
高一上学期期末测试题
第一部分 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1.设集合 ，那么集合 是（）（湖南版必修一 第2题）
A. B. C. D.
2.设集合 和集合 都是自然数集 ，映射 把集合 中的元素 映射到集合 中的元素 ，则在映射 下，像20的原像是（ ）（湖南版必修一 第15题）
B
D
A
D
A
B
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共4小题，每小题5分，满分20分．
11.
12. 或
13.
14.2；3
三、解答题：
15.本小题主要考查分段函数的图象，考查函数奇偶性的判断.满分12分.
解： ……2分
函数 的图象如右图……6分
函数 的定义域为 ……8分
所以 为偶函数.……12分
16.已知函数 .
（1）求函数 的定义域；
（2）讨论函数 的单调性.
17.正方体 中，求证：（1） ；（2） .
（17题图）（18题图）
18.一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为 cm的内接圆柱.
（1）试用 表示圆柱的侧面积；
（2）当 为何值时，圆柱的侧面积最大？
19.求二次函数 在 上的最小值 的解析式.
16.本小题主要考查指数函数和对数函数 有意义，则 ……2分
当 时，由 解得 ；
当 时，由 解得 .
所以当 时，函数的定义域为 ；……4分
当 时，函数的定义域为 .……6分
（2）当 时，任取 ，且 ，则
，即
由函数单调性定义知：当 时， 在 上是单调递增的.……10分
A. B. C. D.
7.如果方程 所表示的曲线关于直线
对称，那么必有（）（苏教版必修二 第6题）
A. B. C. D.
8.如果直线 ，那么 的位置关系是（）（北师大版必修二 第2题）
A.相交B. C. D. 或
9.在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点坐标为（）（北师大版必修二 第3题改编）
A. B. C. D.
……14分
18.本小题主要考查空间想象能力，运算能力与函数知识的综合运用.满分12分.
解：（1）如图： 中， ，即 ……2分
， ……4分
圆柱的侧面积
（ ）……8分
（2）
时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积为 ……12分
19.本小题以二次函数在闭区间上的最值为载体，主要考查分类讨论的思想和数形结合的思想.满分14分.
当 时，任取 ，且 ，则
，即
由函数单调性定义知：当 时， 在 上是单调递增的.……14分
17.本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能力和推理证明能力.满分14分.
证明：（1）正方体 中，
平面 ， 平面 ， ……3分
又 ， ， ……7分
（2）连接 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， ，
， ……10分
由（1）知 ， 平面 ，
解： =
所以二次函数的对称轴 ……3分
当 ，即 时， 在 上单调递增，
……6分
当 ，即 时， 在 上单调递减，
……9分
当 ，即 时， ……12分
综上所述 ……14分
20.本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查综合运用数学知识分析和解决问题能力.
满分14分.
（1）证明：直线 的方程可化为 .……2分
联立 解得