多角星多边形转角算法总结
漂亮小海龟画正多边形及多角星教案
漂亮小海龟画正多边形及多角星教案小海龟画正多边形及多角星一教学目标1.熟练掌握6个命令home pu pd pe ht st2.利用演示法，让学生掌握多边形的快捷方法3.提高学生的数学和逻辑思维能力二教学重点掌握6个PC Logo命令的使用三教学难点转角的确定和重复嵌套命令的使用方法四教法演示法、任务驱动法五学法自主探究法六教学准备多媒体七课时安排两课时八教学过程师：上两节课我们通过学习以及实践上机操作，学习到了PC Logo的几个基本命令，下面请同学来回忆一下。
（随机提问FD前进BK后退LT左转RT右转BYE退出）师评价师：这节课我们也来学习几个简单的命令回家命令：格式：HOME功能：让小海龟回到初始点。
小海龟在回家的路上会留下足迹。
描述：无论小海龟移到哪个位置上，只要输入HOME命令，小海龟都会迅速跑回他的“家”中。
所以画小海龟当前位置与原点之间的线段时，可以用HOME命令快速完成。
抬笔命令：格式：PU功能：命令小海龟抬起它手中的笔。
小海龟再移动的时候就不会留下痕迹了。
（不会划线）落笔命令：格式：PD功能：命令小海龟放下手中的笔，这时的小海龟就又可以画图了。
做一做例一橡皮擦：格式：PE功能：命令小海龟拿起橡皮擦除它经过的线一点通：执行PE命令后，其实呢，是让小海龟的笔变成了和当前的背景色，如果想要继续用原来的颜色画图呢，就要执行落笔命令（PD）隐藏小海龟：格式：HT功能：命令小海龟隐藏起来显示小海龟：格式：ST功能：命令隐藏起来的小海龟重新显示在屏幕上。
笔粗命令：WETW＿N功能：设置画笔的粗细，N是笔头的型号，范围是1-999，N越大，画出的线越粗。
Logo 系统默认的N是1。
下面我们根据今天学习的命令做一下我们P16页的练习。
带学生一起做练习习题一习题二，这段程序很眼熟呀，谁知道这段程序画的是什么吗？正方形有没有人发现这段程序的特点呢？（编写程序内容有重复部分）那么，重复的内容是什么呢？重复了几次呢？（FD 100 RT 90 重复了四次）重复命令格式：REPEAT_N[需要重复的命令]功能：将方括号内的命令重复执行N次。
多边形知识点总结
多边形知识点总结多边形知识点总结多边形按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。
由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。
在不同平面上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形也被称为多边形，是广义的多边形。
组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形。
组成多边形的每一条线段叫做多边形的边;相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点;多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角;连接多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。
多边形还可以分为正多边形和非正多边形。
正多边形各边相等且各内角相等。
多边形也可以分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形上面的此定理只适用于凸多边形，即平面多边形，空间多边形不适用。
一、多边形1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。
2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。
4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。
6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。
说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。
今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。
7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。
8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。
注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。
二、平行四边形1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。
例说“星形”角度求和
求“星形”角度数和学习了多边形的内角和计算公式：（n-2）·180°，不仅可以用来计算一些规则多边形的度数问题，而且还可以用来解决一些不规则的多边形的角度和的计算问题.所谓星角，就是有封闭的折线首尾相连，交错而成的图形.由于星角的各角比较分散，要求它们的和，就需要把这些分散的角集中到一起构成多边形，借助多边形内角和求解，请看几例.【例1】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.【思考与分析】我们观察整个图形，里面包含着三角形和四边形，我们可以借助四边形的内角和解决问题.解:四边形ABPO的内角和为∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°.因为∠BPO是△PDC的外角，所以∠BPO=∠C+∠D.因为∠POA是△OEF的外角，所以∠POA=∠E+∠F.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.【例2】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.【思考与分析】我们观察图形可知，图形中包含着四个三角形,我们可以借助三角形的内角和求解.解：因为∠A+∠B+∠1=180°，∠C+∠D+∠3=180°，∠E+∠F+∠5=180°，所以∠A+∠B+∠1+∠C+∠D+∠3+∠E+∠F+∠5=540°.又因为∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠2+∠4+∠6=180°，所以∠1+∠3+∠5=180°.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=540°-180°=360°.【例3】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.【思考与分析】我们观察已知图形知此图形为不规则的图形，学习了多边形的内角和，我们可试想将这7个角的和转化为一个多边形的内角和求解.如果连结BF，则可得到一个五边形，借助五边形的内角和解决问题.解：如图连结BF，则∠A+∠G+∠1=∠2+∠3+∠4.因为∠1=∠2，所以∠A+∠G=∠3+∠4.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠D+∠C+∠CBF+∠BFE+∠E=（5-2）×180°=540°.【小结】在做这类题的时候，我们要善于利用转化思想，把星角转化为多边形内角，再利用n边形内角和求解.【例4】如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值．【思考与分析】处理不规则图形时，我们通常将其转化为三角形或多边形来做，特别是对于求度数和的问题，此法尤为佳妙．解连结AD．因为在△AOD和△EOF中，∠AOD与∠EOF为对顶角．所以∠E＋∠F＝∠1＋∠2（都等于180°－∠BOF）从而∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠B＋∠C＋∠CDA＋∠DAB＝360°.练习1、如图（1）、（2）．任作两个七角星形（不必是正七角星），试分别计算它们的七角之和．2、如图为一个八角星形，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G、∠H共八个角的和．答案：1、解（1）对图（1），分别连结AF与DF，由对顶三角形的性质，知∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝△AFD的内角和＝180°；（2）对图（2），分别连结GD与FE，由三角形角的关系，知∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E＋∠F＋∠G＝△GDB的内角和＋四边形AFEC的内角和＝540°．2、分别连结CB和GF，由三角形角的关系，知∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=四边形CBGF的内角和=360°。
苏科版信息技术五上第6课《画星星》教案
第6课《画多角星》【教学目标与要求】1.知识与技能(1)认识奇数正多角星。
(2)学会重复命令画正多角形的使用方法。
(3)熟练使用重复命令画出任意奇数正多角星。
2.过程与方法采用不完全归纳法总结出画奇数正多角星的公式。
3.情感态度与价值观通过采用不完成归纳法总结画正奇数多角星的方法，进一步激发学生探究新知的学习热情。
4.行为与创新通过新知的探究学习，培养学生学会学习和的个性化创作能力。
【教学重点与难点】教学重点:学会用repeat画正奇数多角星的方法。
教学难点:熟练使用重复命令画出任意奇数正多角星。
【教学方法与手段】教师演示法、归纳法、学生自主探究学习法。
【课时安排】安排1课时。
【教学准备】多媒体课件。
【教学过程】教学环节教师活动设计意图一、复习导入同学们，上节课我们学习了画正多边形，它的命令格式是？学生回顾旧知,口述命令板书：REPEAT 边数 [FD 边长 RT 360/边数]（圆、半圆）完成实践园第四题（分析：两个半圆组合而成）学生动手操作（口述命令）利用这个命令还可以画出很多漂亮图形，最近小海龟又有了一个新爱好——看星星，它觉得这些星星可漂亮了，想画下它们却不知如何画，我们同学想帮帮它吗？（想）那我们这节课就学习如何画星星（板书课题）正多边形语句的复习，一是帮助学生熟悉repeat语句画正多边形的使用；二是为本课学习新知作好铺垫。
二、新知学习1、学习画正五角星出示：正五角星问：这就是小海龟想要画的五角星，大家观察一下，它有什么特点？（学生观察：角、边相等）能用画正多边形的命令画吗？动手尝试有正五边形引向正五角星，让学生通过尝试、探索，明反馈：用repeat 5[fd 100 rt 360/5]不成功强调：这是画正多边形的方法。
这个星星虽然是边等角也等，但它和正多边形有区别，不属于正多边形。
而是一个正多角形。
问：正多角形应该怎样来处理呢？白二者是有区别，因此正多边形的公式不适合正多角形，从而引出对新知探究的学习欲望。
发现多边形的特性与运算规律
发现多边形的特性与运算规律知识点：多边形的特性与运算规律一、多边形的定义与分类1.多边形是由多条线段组成的封闭平面图形。
2.根据边数的不同，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、六边形等。
3.根据角的大小，多边形可以分为锐角多边形、直角多边形和钝角多边形。
二、多边形的特性1.多边形的内角和公式：（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
2.多边形的外角和公式：360°，即任意多边形的外角和为360°。
3.多边形的对角线：连接多边形任意两非相邻顶点的线段。
4.多边形的重心：对角线的交点，将多边形分成面积相等的两部分。
5.多边形的对称性：多边形可以绕着对称轴进行翻折，使得两部分完全重合。
三、多边形的运算规律1.多边形的周长：多边形各边长之和。
2.多边形的面积：根据多边形的类型和边长，使用相应的面积公式计算。
3.多边形的对角线长度：使用公式计算，如正n边形的对角线长度为。
4.多边形的重心到顶点的距离：使用公式计算，如正n边形的重心到顶点的距离为。
四、多边形的应用1.平面几何中的多边形问题：求解多边形的面积、周长、对角线长度等。
2.实际问题中的多边形应用：如计算农田的面积、设计图案等。
五、多边形与圆的关系1.圆的内接多边形：圆内切于多边形，且多边形的顶点都在圆上。
2.圆外切多边形：圆外切于多边形，且多边形的顶点都在圆上。
3.多边形的对角线与圆的关系：对角线的一半是圆的弦，且圆的直径等于对角线的一半。
六、多边形的扩展知识1.多边形的对称性：研究多边形的对称轴和对称点。
2.多边形的组合：研究多个多边形的组合特性，如镶嵌、嵌套等。
3.多边形的极限：研究多边形边数无限增加时的特性，如圆的产生。
以上是对“发现多边形的特性与运算规律”的知识点的总结，希望对您的学习有所帮助。
习题及方法：1.习题：一个正三角形的三边长都是6cm，求这个正三角形的周长。
答案：正三角形的周长 = 6cm × 3 = 18cm。
多边形圆划分规律和处理技巧
多边形圆划分规律和处理技巧在图形学中，多边形是一种重要的几何基础形状。
这种形状的图形的处理需要一定的技巧。
本文将介绍多边形圆划分规律和处理技巧。
1. 多边形圆划分规律多边形圆划分指的是将一个多边形划分成许多个圆形，从而更容易地对多边形进行处理。
其划分规律主要有以下几种：1.1 角度划分角度划分是指将多边形的每个角度平均分成若干个小角度，以这些小角度为圆心，连接相邻角度所在圆的切点即可完成多边形的圆划分。
这种方法比较简单，但是它会在多边形的角处产生大量小圆，影响多边形的美观度和处理效率。
1.2 边长划分边长划分是指以多边形的每个边中点为圆心，连接相邻边所在圆的切点完成圆划分。
这种方法可以有效地减少多边形中圆形的数量，提高处理效率。
1.3 交点划分交点划分是指以多边形中每个交点为圆心，连接相邻交点所在圆的切点完成圆划分。
这种方法可以将多边形划分成若干小区域，使得处理时更加方便。
2. 处理技巧在完成多边形圆划分后，可以采用以下几种技巧来处理多边形。
2.1 填充填充是指将多边形内部的区域都填充上颜色。
填充技术可以使得多边形更加美观，也有利于识别多边形边缘以及区域相交的情况。
2.2 裁剪裁剪是指在处理多边形时，将其裁剪成多个小块，以便更好地控制多边形的形态和大小。
裁剪技术可以应用在许多领域中，如计算机辅助设计、机器视觉等。
2.3 变形变形是指通过改变多边形的形状和位置，使其达到某种预定的效果。
变形技术可以在动画制作、游戏设计等领域得到应用。
3. 总结多边形的处理在图形学中是一个非常重要的领域，其划分和处理技巧可以使得多边形在应用中更加实用。
本文介绍了多边形圆划分规律和处理技巧，希望对读者有所帮助。
正多边形的计算技巧
正多边形的计算技巧正多边形是一个有着相等边长和相等内角的多边形。
它在数学中有着重要的地位，不仅在几何学中被广泛研究，也在其他学科中有着应用。
在本文中，我将介绍一些与正多边形相关的计算技巧，希望能为读者提供一些有用的知识。
一、正多边形的边长计算要计算正多边形的边长，我们可以利用正多边形的内角和边数之间的关系。
对于一个正n边形来说，它的内角和为180°*(n-2)，而每个内角都相等，所以每个内角的度数为(180°*(n-2))/n。
由于正多边形的内角和为360°，我们可以得到以下计算边长的公式：边长= 2 * R * sin(π/n)其中，R为正多边形的外接圆半径，n为边数，π为圆周率。
通过这个公式，我们可以根据正多边形的半径和边数来计算出其边长。
二、正多边形的面积计算正多边形的面积计算可以通过将其分割成若干个等腰三角形来进行。
对于一个正n边形来说，我们可以将其分割成n个等腰三角形，每个三角形的底边长为正多边形的边长，高为正多边形的外接圆半径。
因此，正多边形的面积可以通过以下公式计算：面积 = n * (1/2) * 边长 * R其中，n为边数，边长为正多边形的边长，R为正多边形的外接圆半径。
通过这个公式，我们可以根据正多边形的边长和半径来计算出其面积。
三、正多边形的内角计算正多边形的内角是一个重要的概念，它与正多边形的对称性和对角线有着密切的关系。
对于一个正n边形来说，它的内角度数可以通过以下公式计算：每个内角的度数 = (180°*(n-2))/n这个公式可以帮助我们计算出正多边形每个内角的度数，从而更好地理解正多边形的性质和特点。
四、正多边形的对角线计算正多边形的对角线是连接正多边形任意两个非相邻顶点的线段。
对于一个正n边形来说，它的对角线数量可以通过以下公式计算：对角线数量 = n * (n-3) / 2这个公式可以帮助我们计算出正多边形的对角线数量，从而更好地理解正多边形的结构和形状。
“多角星的顶角度数之和”问题的方法探讨(一)----五角星的顶角度数之和
“多角星的顶角度数之和”问题的方法探讨（一）----五角星的顶角度数之和----焦作老常20221210 又学到了三角形内角和与外角和的相关知识，不可避免的又遇到了这个老生常谈的问题。
每次都想把各种解决办法整理一下，但总是被各种杂事无情打扰而使该项工作潦草而过，这一次必须做些整理。
整理之前须知：n边形的内角和为：(n−2)∙180°.n边形的外角和为：360°.首先，来看最基本的“五角星“的五个顶角之和：一、如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E.W1：利用外角转化角.（转化进一个三角形内）解：如图： ∵∠A+∠D=∠1，∠B+∠E=∠2.∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠C=180°同样的，可知：把五个顶角转化进任意一个三角形内均可，如下图：W2：利用“8”字三角形转化角.（转化进一个三角形内）解：如图： ∵∠A+∠D=∠1+∠2∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠EBD+∠ECA+∠2+∠E=∠E+∠EBC+∠ECB=180°W3：利用组合图形内角和转化角.（“三角形”+“三角形”）解：如图： ∵∠1=∠4+∠B，∠2=∠3+∠B.∴∠1+∠2=∠4+∠B+∠3+∠B=180°+∠B∵∠A+∠D+∠2=180°，∠C+∠E+∠1=180°∴∠A+∠D+∠C+∠E=360°−(∠1+∠2)=360°−(180°+∠B)=180°-∠B∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.W4：利用内部五边形内角和减去五边形外角和解：如图： ∵∠A=∠6−∠1，∠B=∠7−∠2，∠C=∠8−∠3，∠D=∠9−∠4. ∠E=∠10−∠5∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（∠6−∠1）+（∠7−∠2）+（∠8−∠3）+（∠9−∠4）+(∠10−∠2)=(∠6+∠7+∠8+∠9+∠10)−(∠1+∠2+∠3+∠4+∠5)=540°−360°=180°W5：补成大五边形.（利用大五边形内角和减去小五边形外角和）解：如图：∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA) –[(∠1+∠2）+（∠3+∠4）+（∠5+∠6）+（∠7+∠8）+（∠9+∠10)]=540°−（∠11+∠12+∠13+∠14+∠15）=540°−360°=180°当然，方法还有很多，不再一一阐述，其最终思路只有两个字：转化。
星形跟角形的原理跟作用
星形跟角形的原理跟作用星形和角形分别是数学中的两种图形，它们具有不同的原理和作用。
一、星形的原理和作用星形是指由多条直线或曲线连接在一起形成的图形。
根据连接方式的不同，星形可以分为多角星和蝴蝶星等形状。
下面重点讨论多角星的原理和作用。
1. 原理多角星由一条连续的线连接而成，线的每个顶点相互连接成一条边。
多角星的原理可以通过数学中的连线原理进行解释。
连线原理指的是，通过连接不同的点，可以形成直线、曲线、折线等不同形状的图形。
2. 作用多角星作为一种特殊的图形，在实际应用中具有以下几种常见的作用：（1）美学作用：多角星具有独特的外观和对称性，因此常常被用于设计艺术品、节日装饰、建筑装饰等领域，可以增加美感和吸引力。
（2）符号化作用：多角星在不同文化中具有不同的象征意义。
例如，在中国传统文化中，五角星常被用来表示金木水火土五行，具有象征吉祥、平衡五行等意义。
在西方文化中，五角星则常被用来表示五颗星较多的国旗，如美国国旗。
（3）标志作用：多角星也被广泛应用于标志中。
例如，许多酒店、汽车等公司在商标中都使用多角星作为标志，以增强品牌形象和标识度。
二、角形的原理和作用角形是指由多条直线或曲线连接在一起形成的具有尖角特征的图形。
下面重点讨论三角形的原理和作用。
1. 原理三角形是由三条直线相连接而成的图形。
三角形的原理可以通过几何学中的角度原理进行解释。
角度原理指的是，通过连接不同的点，可以形成不同大小和形状的角。
2. 作用三角形作为一种简单而常见的图形，在实际应用中具有以下几种常见的作用：（1）几何学基础：三角形是平面几何中最基本的图形之一，具有很多性质和定理。
它是构成其他更复杂图形的基础，在数学研究和应用中具有重要的地位。
（2）测量作用：由于三角形具有简单的形状和明确的性质，因此在测量长度、角度、面积等方面有着广泛的应用。
例如，可以利用三角形的相似性质推导出物体的间接测量方法，如三角测量、三角高程测量等。
（3）工程应用：在工程中，三角形可以用来设计和构建建筑物、桥梁、道路等。
等边多角形的计算与应用
a=5.1962 又 ，r=Rcosφ， 将 R代 入 得：r=1.500 0 S=3×a/2×r， 将 a，r代 入 得：S=3×3.897 2=11.691 5
又 ，r=Rcosφ，将 R代 入 得：r=2.121 3 又 ，S=4×a/2×r，将 a，r代 入 得：S=4×4.499 9=17.999 7 【例三：正五边形】 如 图3所 示 ， 已 知 R=3，φ=36°， 由 公 式 2Rsinφ=a可 得 ： a=3.526 7 又 ，r=Rcosφ，将 R代 入 得：r=2.427 1 又 ，S=5×a/2×r，将 a，r代 入 得：S=5×4.279 8=21.399 1
【例二：正方形】 如 图2所 示 ， 已 知R=3，φ=45°， 由 公 式
2பைடு நூலகம்sinφ=a可 得 ： a=4.242 6
由以上三例可知，当已知量为等边距a而 非外接圆半径R时，同样可以求出各项数值。 此外，由于圆心角由正多边形的边数唯一确 定，故φ可视为已知。 同理，对于任意边数的 等边多角形，以上计算方法均适用。
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●施工计算
等边多角形的 计算与应用
□杨学义
等边图形是日常生产生活中经常遇到
的几何图形，要准确计算其各项数值并不容 易 ，但 如 果 灵 活 运 用 公 式 2Rsinφ=a， 可 计 算 出 等 边 多 角 形 的 外 接 圆 半 径 R、内 切 圆 半 径 r及 等 边 多 角 形 面 积S和 等 边 距 a，列 举 三 例 以 供 参考。 【例一：正三角形】
正多边形的计算
正多边形的计算之万法归宗解直角三角形仪陇县银山初级中学董兴胜各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形，正多边形的外接圆和内切圆的圆心重合叫正多边形的中心。
外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距。
正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是n360。
笔者在教学中，发现学生对涉及有关正多边形的计算时，比如计算正多边形的边长，半径，正多边形的周长，正多边形的面积，或者是两个正多边形有关比值的计算，往往无从下手，表现在一遇到题就去画图，下手就算，既费时，又方向不清，结果往往是无功而返。
通过多年的教学经验总结，提出了化归思想，即任何正多边形的计算问题都可以转化为一个重要的直角三角形，从而将正多边形的问题转化为解直角三角形的问题。
首先来认识一下正多边形的基本知识，仅以N＝３，４５６为例。
一计算正N边形的内角（如下图）很容易知道正n边形的每个内角都等于二将正N边形分割成等腰三角形（如下图所示）设O 为各正多边形的中心，即外接圆和内切圆的圆心，正n 边形的n 条半径分正n 边形为n 个全等的等腰三角形．三 将正N 边形分割成直角三角形（如下图所示）这一步只需要作正多边形的边心距，边心距又把上一步n 个等腰三角形分成了个２N 个直角三角形，这些直角三角形也是全等的．因此正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。
通过这三步，实质是把正多边形的问题向直角三角形转化．由于这些直角三角形的斜边都是正n 边形的半径R ，一条直角边是正n 边形的边心距r n ，另一条直角边是正n 边形边长a n 的一半，一个锐角是正n 边形中心角 的一半，即 ，所以，就把正n 边形的有关计算归结为解直角三角形问题．为了让学生理解深刻，容易记忆，笔者特总结出如下的口诀和图形：一个中心，两条半径，两半径之夹角等于中心角之一半，半径夹角之对边等于边长之一半说明：一个中心指外接圆和内切圆二心合一，两条半径指外接圆半径Rｎ为直角三角形斜边，内切圆半径ｒｎ为一直角边，夹角度数为180/n。
专题08 正多边形拓展运算的4种压轴题型全攻略(解析版)
专题08正多边形拓展运算的4种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一正多边形中边心距的计算】 (1)【考点二正多边形边长的计算】 (2)【考点三正多边形中有关面积的计算】 (2)【考点四正多边形应用的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一正多边形中边心距的计算】A．2B．2【分析】连接OA是等边三角形，则证明OAB∵多边形ABCDEF是正六边形，正六边形的周长是【答案】【分析】本题考查正多边形与圆、是等边三角形，求出【详解】解：如图，连接∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠=︒==60,BOC OB OC△是等边三角形，∴OBC∴===，4BC OB OC，⊥OM BC∴==，2BM CM在Rt OBM△中，OM=【分析】连接AD ，OE 22AD AG DG =+=形，得出60OAF ∠=︒，OG EF ⊥，12NF EF =∵四边形AHDG 为正方形，∴90AGD ∠=︒，AG DG =，∴AD 为O 的直径，AD =∴12OE OF OG OA AD ====正六边形ABCDEF 中AFE ∠(1)求正六边形的边心距．(2)求正六边形ABCDEF六边形ABCDEF 是正六边形，60COD ∴∠=︒，30COH ∴∠=︒，COD △∴cos cos30OH COH OC=∠=A ．2sin 20R ︒B ．【分析】本题考查的是解直角三角形的应用及正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，过点则12BD CD BC == 此多边形是正九边形，3609COB ︒∴∠==1【答案】【分析】连接,AO BO 45OBC ∠=︒，进而证得【详解】解：连接AO 正方形ABCD 内接于圆【答案】正△【分析】如图：连接12BD CD BC ==∠，面积．∵正ABC 外接圆是∴AD BC BD ⊥=，∴边心距OD OB =由勾股定理得：2222213BD OB OD =-=-=，∴三角形边长为223BC BD ==，213AD AO OD =+=+=，∴ABC 的周长是332363BC =⨯=；ABC 的面积是112333322BC AD ⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出BD 的长是解题的关键．【考点三正多边形中有关面积的计算】【例题3】如图，已知在⊙O 中，AB=43，AF=6，AC 是直径，AC ⊥BD 于F ，图中阴影部分的面积是（）A ．8233π-B ．16233π-C ．8433π-D ．16433π-【答案】D 【分析】利用勾股定理求得BD=2BF=43，连接OB 、OD 、BC ，先求得∠ABC=90°，进而根据射影定理求得FC=2，从而求得直径的长，根据余弦函数求得∠BAF=30°，进而得出∠BOD=120°，最后根据S 阴影=S 扇形-S △BOD 即可求得阴影的面积．【详解】解：∵AC 是直径，AC ⊥BD 于F ，∴BF=DF ， BCDC =，∴∠BAC=∠DAC ，在RT △ABF 中，2223BF AB AF =-=∴BD=2BF=43，连接OB 、OD 、BC ，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，A ．213cm π-△故选A .A．162π-【答案】D【分析】本题考查求不规则图形的面积，利用三角形【详解】解：∵正方形A．2525π44-B．25π4【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，CE BC = ，45DBC CEB ∴∠=∠=︒A ．3.14B ．3C ．3.1D ．3.141【答案】【分析】过点A 作AD BC ⊥，求出ABC 多边形的面积近似表示圆的面积即可求解．【详解】解：如图，AB 是正十二边形的一条边，点【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．【变式1】我国伟大的数学家刘徽于公元上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图周长就无限逼近圆周长，从而创立六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点,,BG CF BGA．2B．3C．32D．62【答案】【分析】设正六边形ABCDEF的外接圆的圆心为∵AOF AOB BOC ∠=∠=∠∴360180COF ∠=⨯︒=︒∴圆心在CF 上，∵点G 为 CD的中点，A ．32B ．22C ．12D ．322-【答案】B【分析】设正六边形ABCDEF 的外接圆的圆心为所以圆心O 在CF 上，由点G 为 CD的中点，得∠BOC 是等边三角形，得60OCB ∠=︒，则CBG ∠AOF AOB BOC∠=∠=∠360180∴∠=⨯︒=︒COF∴圆心O在CF上，∵点G为 CD的中点，1【分析】连接OB ，OC ，证明BOC 为等边三角形，得出()222132BO BO ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得出2BO =，求出即可．六边形ABCDEF 是正六边形，【过关检测】1．如图，四边形由旋转的性质可得：AD ∴∠=∠=BOC DAC260的直径，是OAB∴∠=︒，ACB90∴∠=∠-∠BCE ACB ACEA ．22π-【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，连接定理和切线的性质可得∵OAB 是等腰直角三角形，∵4,AO BO AOB ==∠242,AB AO ∴==∵AB 是O 的切线，二、填空题26．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：以至于不可割，则与圆周合体，近似值为3.1416.如图，π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得【答案】3【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过AM OB ⊥于M ，求得积公式得到14AOB S =△，于是得到正十二边形的面积为过A 作AM OB ⊥于M ，在正十二边形中，AOB ∠1122AM OA ∴==，11122AOB S OB AM ∴=⋅=⨯⨯ ∴正十二边形的面积为12【答案】32【分析】本题主要考查了正六边形的性质，角的直角三角形的性质求出【详解】解：设正六边形的边长为连接AD ，交CE 于H ∵六边形ABCDEF 是∴DC DE a ==，CDE ∠∴60,EDH DEH ∠=︒∠∴12DH a =，【答案】2732【分析】本题考查的是正多边形和圆．过点6OAB ABCDEF S S = 正六边形即可求得正六边形【详解】解：如图，过点∵正六边形ABCDEF 内接于∴60AOB ∠=︒，OA OB =∴AOB 是等边三角形，∴3AB =，30AOH ∠=︒【答案】①②③【分析】本题考查了圆的内接正多边形、弧长公式、勾股定理等知识点．确定各弦所对的圆心角度数是解∵AB AC AD，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边，∴136060,6AOB AOC ∠=⨯︒=︒∠∴BOC AOC AOB ∠=∠-∠=【答案】48【分析】本题考查的是正多边形和圆，取=1 2ADE⨯ 的面积6=【详解】解：取AE中点ODE∴ 的面积=12⨯圆内接正八边形ABCDEFGH 则圆内接正八边形ABCDEFGH 故答案为：48．【答案】4π233-【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、扇形面积公式、勾股定理，连接E ，由菱形的性质可得AB ，四边形ABCD 是菱形，2AB BC ∴==，BAD ∠=ABC ∴ 是等边三角形，60BAC ∴∠=︒，AC AB =三、解答题13．如图，在O 的内接正八边形ABCDEFGH 中，2AB =，连接DG ．(1)求证DG AB ∥；(2)DG 的长为．【答案】(1)见解析(2)222+【分析】（1）连接AD ，先证明得结论；1802458BAD ︒∠=⨯=︒，ADG ∠∴BAD ADG ∠=∠，∴DG AB ∥．（2）∵DE EF FG AB ===∴四边形DGFE 为等腰梯形，∵EF DG ∥，∴18013545DGF ∠=︒-︒=︒，在Rt QGF 中，45DGF ∠=2QG QF ∴==，同理可得2DP EP ==，∵EF DG ∥，EP DG ⊥，FQ 【答案】（1）12x =，21x =-【分析】本题考查一元二次方程的解法，圆内接正六边形的边心距问题，掌握公式法解一元二次方程，正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键．，，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若15．如图，AB AC AD（1）弧AC的长为；（2）连接BC CD，，则ABC∵AB 是圆内接正六边形的一边，∴ AB 的度数1360606=⨯︒=︒，∴AOB 是等边三角形，∴2OA AB ==，(1)若P是 CD上的动点，连接△的面积为(2)已知ADF①求DAF∠的度数；的半径．②求O∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AF AB =，AOF ∠=∴1302APF AOF ∠=∠=∵AF AB =，【答案】见解析【分析】设圆的圆心为O 得结论．【详解】证明：设圆的圆心为 五边形ABCDE 是正多边形，72AOB AOE ∴∠=∠=︒，AP PE=，1362AOP AOE ∴∠=∠=︒，BOP AOB AOP ∴∠=∠+∠(1)如图1，如果AC BD =，求弦AC 的长；(2)如图2，如果E 为弦BD 的中点，求tan ABD ∠的值；(3)连接BC ，CD ，DA ，如果BC 是O 的内接正n 边形的一边，CD 是O 的内接正（求ACD 的面积．⊥，AB为直径，OD AC ∴∠=∠=︒，90AFO C∴∥，OD BCBC 是O 的内接正n 边形的一边，360BOC n ∴∠=，AOD ∠则36036021804n n +⨯=+，【点睛】本题考查了切线的判定、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助。