换元积分法(第二类换元法)

§4.2 换元积分法（第二类）

Ⅰ 授课题目（章节）：

§4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求：

1.了解第二类换元法的基本思想

2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：

重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：

第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰

时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么

()

()[()]()[()]()

()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰

()F u C =+[()]F x C ϕ=+

所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如⎰

-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要

学习的第二类换元积分法。

第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为

有理式[()]()f t t ψψ'的积分

[()]()f t t dt ψψ'⎰。即

()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰

若上面的等式右端的被积函数[()]

()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰,

然后再把()t Φ中的t 还原成1

()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。

定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则

⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1

分析 要证明

1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰

，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，

1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dt

dx

=

证明 )(t x ψ= 单调、可导，∴

()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且

)

(11t dt

dx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.

第二换元法，常用于如下基本类型 类型1：被积函数中含有

22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22

t ππ

∈-

）则

t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.

例1 求

⎰

-dx x a 22

)0(>a

解 令t a x sin = ，(,)22

t ππ

∈-

，则t a x a cos 22=- tdt a dx cos = cos cos a ta tdt ∴=⎰22

2

11(cos 2)sin 222

24

a a a t dt t t C =+=++⎰

222sin cos arcsin 222a a a x t t

t C

C a =++=+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.

例2 求

⎰

-dx x

x 2

24

解 令t x sin 2=，(,)22

t ππ

∈-

，则t x cos 242=-，tdt dx cos 2=

2

24sin 1cos22cos =42cos 2t t tdt dt t -∴=⋅⎰⎰ =(22cos2)2sin 2t dt t t C -=-+⎰

22sin cos 2arcsin

2x t t t C C =-+=-+ 类型2：被积函数中含有

)0(2

2>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22

t ππ

∈-

，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec = ；可将原积分化为三角有理函数的积分.

例3 求

⎰

+2

2

a

x dx )0(>a

解 令t a x tan =，)2

,2(π

π-

∈t

sec a t =，2sec dx a tdt =

sec tdt ∴=⎰ln sec tan t t C =++

1ln x

C x C a

=++=++

.

例4 求

⎰+2

2

4x

x

dx

解 令t x tan 2=，)2

,2(π

π-

∈t

2sec t =，tdt dx 2sec 2=

222sec 4tan 2sec t dt t t ∴=⋅⎰1cos 22sin 2cos 1sec 14tan 4t t t

t dt dt t ==⎰⎰

221cos 11111sin 4sin 4sin 4sin 4t dt d t C C t t t x

===-⋅+=-⋅+⎰⎰ 例5求

⎰+22)9(x dx

（分母是二次质因式的平方）

解 令t x tan 3=，则t x 2

2

sec 99=+， tdt dx 2

sec 3=

22

2243sec 1cos (9)81sec 27dx t dt tdt x t ==+⎰⎰⎰