数学建模最优化理论共31页
数学建模最优化模型优秀课件 (2)
xmax=x fmax=-fval
MATLAB(wliti2)
运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边 长为0.5m时水槽的容积最大,最大容积为2m3.
2.多元函数无约束优化问题
标准 fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f (x) x1 x x2
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
（3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…） （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…）
x =1.0000 1.0000 fval =1.9151e-010 exitflag = 1
output= iterations: 108 funcCount: 202
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
最优化问题的数学模型
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练 的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模 型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
f1='-2*exp(-x).*sin (x)';
[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
数学建模～最优化模型(课件ppt)
几个概念
• 最优化是从所有可能方案中选择最合理的一种
以达到最优目标的学科。
• 最优方案是达到最优目标的方案。 • 最优化方法是搜寻最优方案的方法。 • 最优化理论就是最优化方法的理论。
经典极值问题
包括：
①无约束极值问题
②约束条件下的极值问题
1、无约束极值问题的数学模型
min f ( x)
x
2、约束条件下极值问题的数学模型
问：每种产品各应该每季度生产多少，才能使这 个工厂每季度生产利润达到最大。
生产单位 产品所需 车间的工 作小时数
甲 乙 丙 丁 利润 (百元)
A
B
C
D
E
F
每个车间 一个季度 工作小时 的上限
500 500
1 2 4
1
1 5
3 5
2
3
2 1 3
5 8
500 500
4.0
2.4
5.5
5.0
4.5
8.5
控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检 验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为：
MATLAB(wliti2)
运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边 长为0.5m时水槽的容积最大,最大容积为2m3.
2.多元函数无约束优化问题
标准型为：min F ( X )
命令格式为: （1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （3）[x，fval]= fminunc（...）； 或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）； 或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）； 或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
数学建模-最优化
min cij xij Fi yi i i, j
掌握建立和分析规划模型的方法
• 例2 加工问题 m台机床，n种零件在机床加工，工时 为a1, a2, …, an。问如何分配使各机床的总 加工任务尽可能均衡。
掌握建立和分析规划模型的方法
• 设aj在机床i上加工，有xij=1； aj在机床i上加工，有xij=0 。
i 1 i 1 i 1
1000
1000
10000
知道线性规划的求解方法
• • • • • • • Lindo程序 min0x1-1x2+2x3 subject to 1x1-2x2+1x3=2 0x1+1x2-3x3<1 0x1+1x2-1x3<2 end
知道线性规划的求解方法
• • • • • • • • • • Lingo程序 model: sets: E/1..5/:c,x; F/1..3/:b; link(F,E):a; endsets min=@sum(E(j):c(j)*x(j)); @for(F(i):@sum(E(j):a(i,j)*x(j))=b(i)); @for(E(j):x(j)>0);
掌握非线性问题线性化的技巧
• 2、会员租赁数量的约束 ： • 因为会员在一个月内的租赁DVD的数量只 能为0、3、6。 • 若用Zi表示第个会员在第i个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ期中是否被 服务， 则有
掌握非线性问题线性化的技巧
x
j 1
100
ij
3(1 yi )Zi
非线性方程 引入0-1变量 pi和qi ，有
data: • c=0,-1,2,0,0; • b=2,1,2; • a=1,-2,1,0,0, • 0,1,-3,1,0, • 0,1,-1,0,1; • enddata • end
05 第五节数学建模——最优化
第五节数学建模——最优化在实际应用中，常常会遇到最大值和最小值的问题．如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等．此类问题在数学上往往可归纳为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题．分布图示★ 最大值最小值的求法★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6★例7★ 对抛射体运动建模 ★例8 ★例9★ 在经济学中的应用★例10★例11★例12★例13★例14★例15★例16★ 内容小结★课堂练习★ 习题3-5返回内容要点一、求函数的最大值与最小值在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在],[b a 上的最大（小）值的步骤如下：（1）计算函数)(x f 在一切可能极值点的函数值，并将它们与),(a f )(b f 相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2）对于闭区间],[b a 上的连续函数)(x f ，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.二、对抛射体运动建模 三、光的折射原理四、在经济学中的应用例题选讲例1(E01)求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值.解),1)(2(6)(-+='x x x f 解方程,0)(='x f 得.1,221=-=x x 计算;23)3(=-f ;34)2(=-f ;7)1(=f ;142)4(=f 比较得最大值,142)4(=f 最小值.7)1(=f例2求函数x x y -=2sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的最大值及最小值.解函数x x y -=2sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,,12cos 2)(-='='x y x f令,0='y 得.6π±=x,22ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,6236ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .6236ππ+-=⎪⎭⎫⎝⎛-f故y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上最大值为,2π最小值为.2π-例3(E02)设工厂A 到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B .铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C ,如图3-5-4.现在要在铁路BC 中间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每km 的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省?解x BD =(km),x CD -=100(km),.2022x AD +=铁路每公里运费,3k 公路每公里,5k 记那里目标函数(总运费)y 的函数关系式:CD k AD k y ⋅+⋅=35即).1000()100(340052≤≤-++⋅=x x k x k y 问题归结为：x 取何值时目标函数y 最小.求导得,340052⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+='x xk y 令0='y 得15=x (km). 因为.26100)100(,380)15(,400)0(k y k y k y ===从而当15=BD (km)时，总运费最省.例4(E03)某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?解设房租为每月x 元，租出去的房子有⎪⎭⎫⎝⎛--1018050x 套，每月总收入为,1068)20(1018050)20()(⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=x x x x x R,570101)20(1068)(x x x x R -=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='解,0)(='x R 得350=x (唯一驻点).故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为10890)350(=R (元). 求函数的最大值最小值例5求内接于椭圆12222=+by a x 而面积最大的矩形的各边之长.解设),(y x M 为椭圆上第一象限内任意一点，则 以点M 为一顶点的内接矩形的面积为,0,422)(22a x x a x aby x x S ≤≤-=⋅= 且.0)()0(==a S S22222222244)(x a x a a b x a x xx a a b x S --=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=' 由,0)(='x S 求得驻点20a x =为唯一的极值可疑点.依题意,)(x S 存在最大值,故20a x =是)(x S 的最大值,最大值ab a a aa b S 222422max=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=对应的y 值为,2b 即当矩形的边长分别为,2a b 2时面积最大.例6由直线8,0==x y 及抛物线2x y =围成一个曲边三角形,在曲边2x y =上求一点,使曲线在该点处的切线与直线0=y 及8=x 所围成三角形面积最大.解根据几何分析,所求三角形面积为),80)(16(2182102000≤≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x S由,0)1616643(41020=⨯+-='x x S解得,3160=x 160=x (舍去). ,08316<-=⎪⎭⎫⎝⎛n S274096316=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴S 为极大值.故274096316=⎪⎭⎫ ⎝⎛S 三角形为所有中面积的最大者.例7求数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=n n e n n a 122}{2的最大项(已知3723>e ). 解令,1),122()(22+∞≤≤--=-x x x e x f x则)86(21)(22---='-x x e x f x由,0)(='x f 得唯一驻点.173+=x当)173,1(+∈x 时,;0)(>'x f 当),173(+∞+∈x 时,;0)(<'x f 所以当时,173+=x 时,函数)(x f 取得极大值, 因为,81737<+<又,23)7(7e f =,36)8(4ef =,136373623)8()7(>>=e f f 因此当7=n 时,得数列的最大项,7a .23)7(77ef a ==例8(E04)在地面上以400m/s 的初速度和3π的抛射角发射一个抛射体.求发射10秒后抛射体的位置.解由400=v m/s ，3πα=，10=t ，则()2000103cos 40010=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=πx()2974108.921103sin 400102≈⨯⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=πy即发射10秒后抛射体离开发射点的水平距离为2000米，在空中的高度为2974米.虽然由参数方程确定的运动轨迹能够解决理想抛射体的大部分问题.但是有时我们还需要知道关于它的飞行时间、射程（即从发射点到水平地面的碰撞点的距离）和最大高度.由抛射体在时刻0≥t 的竖直位置解出t .021sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-gt v t α⇒0=t ，g v t αsin 2=． 因为抛射体在时刻0=t 发射，故gv t αsin 2=必然是抛射体碰到地面的时刻.此时抛射体的水平距离，即射程为()()αααα2sin cos 2sin 2sin 2gv tv t x gv t gv t ====. 当12sin =α时即4πα=时射程最大.抛射体在它的竖直速度为零时，即()0sin =-='gt v x y α从而gv t αsin =，故最大高度 ()()()g v g v g g v v x y gv t 2sin sin 21sin sin 22sin ααααα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==. 根据以上分析，不难求得例８中的抛射体的飞行时间、射程和最大高度： 飞行时间70.703sin 8.94002sin 2≈⨯==παg v t （秒） 射程1413932sin 8.94002sin 22max≈==παg v x （米） 最大高度()()61228.923sin 4002sin 22max≈⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==παgv x y （米）例9(E05)在1992年巴塞罗那夏季奥运会开幕式上的奥运火炬是由射箭铜牌获得者安东尼奥·雷波罗用一枝燃烧的箭点燃的,奥运火炬位于高约21米的火炬台顶端的圆盘中,假定雷波罗在地面以上2米距火炬台顶端圆盘约70米处的位置射出火箭,若火箭恰好在达到其最大飞行高度1秒后落入火炬圆盘中,试确定火箭的发射角α和初速度0v .(假定火箭射出后在空中的运动过程中受到的阻力为零,且，2/10s m g =， 5.469.2022arctan ≈≈ 5.46sin 0.725) 解建立如图所示坐标系,设火箭被射向空中的初速度为0v 米/秒,即）（ααsin ,cos 000v v v =,则火箭在空中运动t 秒后的位移方程为()()()()t y t x t s ,==），（2005sin 2cos t t v t v -+αα.火箭在其速度的竖直分量为零时达到最高点,故有()()010sin 5sin 2020=-='-+=t v t t v dt t dy αααsin 100v t =⇒,于是可得出当火箭达到最高点1秒后的时刻其水平位移和竖直位移分别为22000110sin 2170cos 2.31sin 10cos )(0-==+=+=ααααv vv t x v t ）（21320sin )(220110sin 0=-=+=ααv t y v t解得：22sin 0≈αv ,9.20cos 0≈αv ,从而9.2022tan =α⇒ 5.46≈α 又5.4622sin 0≈≈αα，v ⇒3.300≈v (米/秒)所以,火箭的发射角α和初速度0v 分别约为5.46和3.30米/秒. 例10(E06)设每月产量为x 吨时,总成本函数为4900841)(2++=x x x C (元)， 求最低平均成本和相应产量的边际成本.解又.09800)140(3>=''xC 故140=x 是)(x C 的极小值点，也是最低平均成本为7814049008)140(41)140(=++⨯=C (元).边际成本函数为.821)(+='x x C故当产量为140吨时，边际成本为78)140(='C (元).例11(E07)某人利用原材料每天要制作5个贮藏橱.假设外来木材的运送成本为6000元，而贮存每个单位材料的成本为8元.为使他在两次运送期间的制作周期内平均每天的成本最小，每次他应该订多少原材料以及多长时间订一次货？解设每x 天订一次货，那么在运送周期内必须订x 5单位材料.而平均贮存量大约为运送数量的一半，即25x.因此每个周期的成本=运送成本+贮存成本=8256000⋅⋅+x x平均成本()x xx x C 206000+==每个周期的成本，0>x由()2060002+-='x x C 解方程()0='x C ，得驻点 32.173101≈=x ，32.173102-≈-=x （舍去）.因()312000xx C =''，则()01>''x C ，所以在32.173101≈=x 天处取得最小值. 贮藏橱制作者应该安排每隔17天运送外来木材85175=⨯单位材料.例12（E08）某计算器零售商店每年销售360台计算器.库存一台计算器一年的费用是8元.为再订购，需付10元的固定成本，以及每台计算器另加8元.为最小化存贷成本，商店每年应订购计算器几次？每次批量是多少？解设x 表示批量.存货成本表示为=)(x C (年度持产成本)+(年度再订购成本).我们分别讨论年度持产成本和年度再订购成本.现有平均存货量是2/x ,并且每台库存花费10元.因而.428)()(x x=⋅=⋅=平均台数每台年度成本年度持产成本 已知x 表示批量.又假定每年再订购n 次.于是⇒=360nx ./360x n =因而 年度再订购成本=(每次订购成本)∙(再订购次数).28803600360)810(+=+=x x x因此.288036004)(++=xx x C 令,036004)(2=-='xx C 解得驻点.30±=x又.0100000)(3>=''x x C 因为在区间[1,360]内只有一个驻点,即,30=x 所以在30=x 处有最小值.因此,为了最小化存货成本,商店应每年订货1230360=（次）. 例13（E09）再讨论例12,除了把存货成本8元改为9元,采用例3给出的所有数据.为使存货成本最小化,商店应按多大的批量再订购计算器且每年应订购几次?解把这个例子与例6作比较,求其存货成本,它变成.3240360029360)910(29)(++=++⋅=xx x x x x C 然后求),(x C '令它等于0来求解:x0360029)(2=-='xx C .2.28800≈=⇒x 因为每次再订购28.2台没有意义,考虑与28.2最接近的两个整数,它们是28和29.现在有57.3494)28(≈C 元和64.3494)29(≈C 元.由此可得,最小化存货成本的批量是28,尽管相差0.07元并不重要.(注意:这一步骤不是对所有类型的函数都能行得通,但是对于这里正在讨论的函数是可行的.)应再订购的次数是,1328/360≈所以仍然涉及某个近似值.例14（E10）某服装有限公司确定，为卖出x 套服装,其单价应为x p 5.0150-=.同时还确定，生产x 套服装的总成本可表示成225.04000)(x x C +=.(1)求总收入).(x R (2)求总利润).(x L(3)为使利润最大化,公司必须生产并销售多少套服装? (4)最大利润是多少?(5)为实现这一最大利润,其服装的单价应定为多少?解（1）总收入p x x R ⋅=⋅=单价服装套数)()(.5.0150)5.0150(2x x x x -=-= （2）总利润.400015075.0)25.04000()5.0150()()()(222-+-=+--=-=x x x x x x C x R x L（3）为求)(x L 的最大值,先求.1505.1)(+-='x x L 解方程0)(='x L ，得.100=x注意到05.1)(<-=''x P ,因为只有一个驻点,所以)100(L 是最大值.（4）最大利润是3500400010015010075.0)100(2=-⨯+⨯-=L （元）由此公司必须生产并销售100套服装来实现3500元的最大利润.（5）实现最大利润所需单价是1001005.0150=⨯-=p （元）.例15（E11）某大学正试图为足球票定价.如果每张票价为6元，则平均每场比赛有70000名观众.每提高1元，就要从平均人数中失去10000名观众.每名观众在让价上平均花费1.5元.为使收入最大化，每张票应定价多少？按该票定价，将有多少名观众观看比赛？解设每张票应提价的金额x (如果x 是负值,则票价下跌).首先把总收入R 表示成x 的函数.)(5.1)()()()()(人数票价人数让价收益票价收益+⋅=+=x R)1000070000(5.1)6)(1000070000(x x x -++-= 5250005000100002+--=x x .为求使)(x R 最大的,x 先求:)(x R '.500020000)(--='x x R解方程0)(='x R ，得25.0-=x 元.注意到020000)(<-=''x R ，因为这是唯一的驻点,所以)25.0(-R 是最大值.因此,为使收入最大化,足球票定价为75.525.06=-元.也就是说，下调后的票价将吸引更多的观众去看球赛，其人数是72500)25.0(1000070000=-⨯-这将带来最大的收入.例16（E12）录像带商店设计出一个关于其录像带租金的需求函数，并把它表示为P Q 20120-=其中Q 是当每盒租金是P 元时每天出租录像带的数量.求解下列各题： （1） 求当2=P 元和4=P 元时的弹性，并说明其经济意义. （2） 求()1=P η时P 的值，并说明其经济意义. （3） 求总收益最大时的价格P . 解（1）首先求出需求弹性()PP P P Q Q P P --=--⋅='⋅=62012020η当2=P 元，有()212622-=--=η. ()1212<=η，表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率小于1.价格的小幅度增加所引起出租数量百分比的减少小于价格改变量的百分比. 当4=P 元，有()24644-=--=η. ()122>=η，表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率大于1.价格的小幅度增加所引起出租数量百分比的减少大于价格改变量的百分比. （2）令()1=P η，即316=⇒=--P PP因此，当每盒租金是3元时，出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率是1.（3）总收益是()220120P P PQ P R -==()P P R 40120-='，()40-=''P R令()0='P R ，解得3=P .又()040<-=''P R ，所以3=P 为()2P R 的极大值点，也是最大值点.即当每盒租金是3元时，总收益最大.在上例中得到，使()1=P η的P 值与使总收益最大的P 值是相同的.这一事实总是成立的.课堂练习1.下列命题正确吗?若0x 为)(x f 的极小值点,则必存在0x 的某领域,在此领域内,)(x f 在0x 的左侧下降,而在0x 的右侧上升.2.若)(a f 是)(x f 在[a ,b ]上的最大值或最小值,且)(a f '存在,是否一定有0)(='a f ?。
数学建模讲座之七最优化模型
s.t.
0.5x1 0.2x2 8
x1, x2 0
2024/2/11
第25页/共47页
用Matlab编程求解程序如下：
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) f = -[10 5]; A = [0.3 0.4;0.5 0.2]; B = [9;8]; [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b)
• 最优方案是达到最优目标的方案。 • 最优化方法是搜寻最优方案的方法。 • 最优化理论就是最优化方法的理论。
2024/2/11
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经典极值问题
包括： ①无约束极值问题 ②约束条件下的极值问题
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1、无约束极值问题的数学模型
min f (x) x 2、约束条件下极值问题的数学模型
• 在实际生活当中，人们做任何事情，不管是分析问题，还是进行决策，都 要用一种标准衡量一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会经济问题中，人们总是希望 在有限的资源条件下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。（比如保险）
2024/2/11
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数学家对最优化问题的研究已经有很多年的历史。
s.t.
4x1 16
4x2 12
x1, x2 0
2024/2/11
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问题二： 某厂每日8小时的产量不低于1800件.为了进行质量控 制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为：速 度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的 标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检 验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？
数学建模～最优化模型(课件ppt)
用MATLAB解无约束优化问题 解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
x1 ≤ x ≤ x 2
常用格式如下： 常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) ） （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) ） （3）[x，fval]= fminbnd（…） ） ， （ （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…） ） ， ， （ （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…） ） ， ， ， （ 其中等式（ ）、（ ）、（5）的右边可选用（ ） ）、（4）、（ 其中等式（3）、（ ）、（ ）的右边可选用（1）或（2） ） 的等式右边. 的等式右边 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 函数 的算法基于黄金分割法和二次插值法， 的算法基于黄金分割法和二次插值法 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解. 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解
有约束最优化问题的数学建模
有约束最优化模型一般具有以下形式： 有约束最优化模型一般具有以下形式：
min
x
f (x)
或
max
x
f (x)
st. ...... .
st. ...... .
其中f(x)为目标函数，省略号表示约束式子，可以是 为目标函数，省略号表示约束式子， 其中 为目标函数 等式约束，也可以是不等式约束。 等式约束，也可以是不等式约束。
标准型为： 标准型为：min F ( X ) 命令格式为: 命令格式为 ）；或 （1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） ） （ （ （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； ） （ ）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （ ） （3）[x，fval]= fminunc（...）； ） ， （ ）； 或[x，fval]= fminsearch（...） ， （ ） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）； ） ， ， （ ）； 或[x，fval，exitflag]= fminsearch ， ， （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）； ） ， ， ， （ ）； 或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...） ， ， ， （ ）
《最优化理论》课件
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
谢谢您的聆听
THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。