合肥工业大学新编第二学期《高等数学》试卷A试题

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合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题

合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题

合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】一、填空题(每小题3分,共15分) 1、椭球面∑:222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________.2、设曲线L 的方程为221x y +=,则2[()]Lx y y ds +-=⎰ .3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 . 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 . 5、设23(,,)2f x y z x y z =++,则(1,1,1)grad f = .二、选择题(每小题3分,共15分) 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( ) 2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为( )3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为( ).(A )*()sin cos y x ax b A x B x =+++ (B )*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ (C )*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ (D )*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是( ))(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=,1∑为∑在第一卦限的部分,则下列结论不正确...的是( ).(A )0xdS ∑=⎰⎰(B )0zdS ∑=⎰⎰(C )1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D )22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、(本题满分10分)设(,)sin xz f xy y y=+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z x x y ∂∂∂∂∂. 四、(本题满分12分)求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D :2214y x +≤上的最大值和最小值.五、(本题满分10分)计算二重积分:2DI y x d σ=-⎰⎰,其中:11,02D x y -≤≤≤≤.六、(本题满分12分)已知积分22(5())()x xLy ye f x dx e f x d ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、(本题满分12分)计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰,其中∑是上半球面z =,取上侧.八、(本题满分10分).求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数,并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和.九、(本题满分4分)设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛。

《高等数学》A试卷A答案

《高等数学》A试卷A答案

《⾼等数学》A试卷A答案⼀、填空题(每⼩题4分,共20分): 1.设ln(y x =,则1d 2x y dx ==. 2.曲线sin ,1cos x t t y t =-??=-? 在 2t π= 处的切线斜率为1.3.若1lim ()x f x →存在,且111()2lim ()x x f x xf x -→=+,则1()2x f x x e -=-.4.若01()f x '=,则000(2)()lim arctan u f x u f x u u→+--=3.5.若2lim 8xx x a x a →∞+??= ?-??,则a =ln 2.⼆、选择题(每⼩题4分,共20分):1.设()232x x f x =+-,则当0x →时( D ). (A )()f x 与x 是等价⽆穷⼩量(B )()f x 是⽐x 较低阶的⽆穷⼩量(C )()f x 是⽐x 较⾼阶的⽆穷⼩量(D )()f x 与x 是同阶但⾮等价⽆穷⼩量2.若函数()f x 在0x 点存在左、右导数,则()f x 在点0x ( A ).(A )连续(B )可导(C )不可导(D )不连续3.当1x →时,12111x x e x ---的极限( C ). (A )等于2 (B )等于0 (C )不存在但不为∞ (D )为∞4.设函数21()1lim nn xf x x →∞+=+,讨论()f x 的间断点,其结论为( A ).(A )存在间断点1x = (B )存在间断点1x =-(C )存在间断点0x = (D )不存在间断点5.设对任意的x ,总有()()()x f x x ?ψ≤≤,且[]lim ()()0x x x ψ?→∞-=,则lim ()x f x →∞( C ).(A )存在且等于0 (B )存在但不⼀定等于0(C )不⼀定存在(D )⼀定不存在三、计算题(本题共4题,共计24分): 1.(5分)设tan y x y =+,求d y ;解:(tan )()d y d x y =+ 22s c 1e 1sec d ydy dx y d d xyy ==-+2.(6分)求极限:)lim x xx →-∞;解:)lim x xx →-∞limlim 05x x ==-=3.(6分)求极限:lim x +→;解:01lim lim 1()2x x x x ++→→=?22lim lim 212x x x x ++→→===4.(7分)设2(cos )y f x =,且f ⼆阶可导,求22d d yx.解:22(cos )2cos (sin )sin 2(cos )dyf x x x xf x dx''=?-=- (2cos 2)2sin )((cos 2sin )(cos 2cos 2'2''2'2 2xf x x xf x xf dx yd -=---=四、解答题(本题共3⼩题,共计24分): 1.(6分)设1x =1n x +=列{}n x 的极限存在,并求其极限.证明:单调性:当1n =时,1x =,21x x =>,假设当n k =时有1k k x x +>,则当1n k =+时仍然有,21k k x x ++=即,数列}{n x 是单调增加数列。

高数(2)A

高数(2)A

高数(2)模拟卷(A )一、填空题1、设()f x 在1x =连续,且1()lim21x f x x →=-,则 (1)______________f '=。

22、设2()2,()x f x g x x ==,则(())_________________________f g x ''=。

4ln 4x3、121(sin 1)___________________x x x dx -+-=⎰。

2π 4、曲线2y x =(0)x ≥与直线2x =及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是__________________。

π45、函数ln[ln()]z y x =-的定义域是---------。

{}1|,>-x y y x )(6、设22ln(1)z x y =++,则12___________________________x y dz ===。

dy dx 3231+7、改变积分次序420(,)________________________x xI dx f x y dy ==⎰⎰。

⎰⎰442),(yy dx y x f dy8、点(1,2,1)到平面22100x y z ++-=的距离为___________________。

1 9、幂级数1!nnn n x n∞=∑的收敛半径是_________________________。

e 10、微分方程sin cos x y y x e -'+=的通解为____________________。

)(sin c x e y x +=-二、选择题:11、设()()()f x x a x ϕ=-,其中()x ϕ在x a =处连续,则必有 ( C ) A 、()()f x x ϕ'=;B 、()()()()f x x x a x ϕϕ''=+-;C 、()()f a a ϕ'=; D 、()()f a a ϕ''= 12、arcsin d x =⎰( )C A 、arccos x ;B 、arcsin x ;C 、arcsin x c +;D、arccos x c +13、设zy ux=,则uz∂=∂( )A A 、ln ln zy z x y x y ⋅;B 、ln zy x y x ; C 、1ln zz yy x y -;D 、ln y z x x x14、平面032=+-+z y x 与空间直线21020x y z x y z +-+=⎧⎨+-=⎩的位置关系是 ( B )A 、互相垂直;B 、互相平行但直线不在平面上C 、既不平行也不垂直;D 、直线在平面上15、对于微分方程32x y y y e -'''++=,利用待定系数法求其特解*y 时,下列特解设法正确的是( )C A 、*x y Ae -=;B 、*()x y Ax B e -=+;C 、*x y Axe -=;D、2*x y Ax e -=。

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A (1)课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….( ) A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….( ). A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….( ) A .0 B .1 C .21D .∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….( )A .0B .1C .2D .∞5.当0→x 时,下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….( )A .)1(3-xe x B .x cos 1- C .x x sin tan - D .)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ,则当0→x 时,有…………………………………………………………………………..…….( ). A .)(x f 与x 是等价无穷小 B .)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C .)(x f 是比x 高阶的无穷小 D .)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..( ) A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ,则下述结论正确的是……………………………………….( )A .在0=x ,1=x 处间断B .在0=x ,1=x 处连续C .在0=x 处间断,在1=x 处连续D .在1=x 处间断,在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….( )A .1B .e -C .e1D .e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为(用区间表示) . 11. 函数xxy -+=11的定义域为(用区间表示) . 12. 已知x xx f +=1)(,则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时,αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→,则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ,则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续,则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限 (1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n (2))12(lim +-+∞→n n n n (3)⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim (4)n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限(1)15723lim 2323+++-∞→x x x x x (2)134lim 22++∞→x x x(3)503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x (4)11lim 31--→x x x (5)28lim 32--→x x x (6))1311(lim 31x x x ---→ (7))1(lim x x x -++∞→ (8)xx x x ln )1(lim1-→(9)xx x sin ln lim 0→ (10)x xx 3sin 2sin lim 0→(11)30sin tan lim xx x x -→ (12)x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ,求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ,求a,b 值. 24. 当 a 取何值时,函数)(x f 在 x =0 处连续:(1)⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明(1)方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.(2)方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导,则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( ).(A ) )(0x f '-; (B) )(0x f '; (C) )(20x f '; (D) )(20x f '-. 2、设函数)(x f 是可导函数,且13)1()1(lim-=--→xx f f x ,则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( ). (A) 3; (B) 1- ; (C) 13 ; (D) 3-.3、设)()()(x a x x f ϕ-=,其中)(x ϕ在a x =处连续,则)(a f '= ………( ). (A) )(a ϕ ; (B)0; (C)a ; (D))(a a ϕ.4、若0x 为函数)(x f 的极值点,则…………………………………………( ). (A)0)(0='x f ; (B)0)(0≠'x f ; (C)0)(0='x f 或不存在; (D))(0x f '不存在.5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ,则y ''= ( ).(A)22)1(ax a +; (B)2)1(ax a +; (C)22)1(ax a +-; (D)2)1(ax a +-. 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( ). (A)1-y y xe e ; (B)y y xe e -1; (C)yy e xe -1; (D)y y e xe 1-.7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→= ……………………………………… ( ).(A)2; (B)1; (C)3; (D)极限不存在.8、设x x y =)0(>x 则='y ( ).(A)x x ; (B) x x x ln ; (C) 1-x x ; (D))1(ln +x x x .9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( ). (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10.下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、 设x x y 2sin 2+=,则=dy .12、已知x x y n ln )3(=-,(N n n ∈≥,3),则)(n y = .13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =,则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ,则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是 . 17.设函数)(x f 在0x 处可导,则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= .18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ,当a =_____时,)(x f 在x = 0处可导.19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增,则a 的取值范围为 .20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =,则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=,求y '. 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =,求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+,求y ''23. 求曲线21x y =在点(4,2)处的切线方程和法线方程. 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性:(1) 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f , (2) 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f . 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy. 26. 求极限: (1)]1)1ln(1[lim 0x x x -+→; (2)30sin tan lim xx x x -→; (3))arctan 2(lim x x x -+∞→π; (4)x x x +→0lim ;(5))1sin 1(lim 0x x x -→; (6)200sin lim xdt t xx ⎰→. 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定,求22dx yd .28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点. 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值; (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+,求()n y 32.设b a <<0,证明:a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续,0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加,证明:当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明:当0>x 时,x x x x<+<+)1ln(1. 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题:1.下列凑微分正确的一个是 ( ) A .)2(sin cos x d xdx = ; B. )11(arctan 2xd xdx += C .)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2.若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= ( )A .2-3x+c ; B. c x +-31; C. x+c ; D. c x +-2)32(213.在以下等式中,正确的一个是 ( ) A .⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C .⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(=',则⎰dx x f )(是 ( )A .cos3x ; B. cos3x+c ; C.c x +-3cos 31; D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩,则21()d f x x -=⎰( ). A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是( )(A )dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a,则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ,则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d ( ) (A )x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ,则=)(x f ( ) (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题: 1.x d xdx 3(arcsin ________312=-).2.⎰=+________________912dx x .3.若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f (x )= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ;7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8.设()f x 连续,(0)1f =,则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是 ;三、解答题:1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰;13.40d 1cos2xx xπ+⎰;14.41x ⎰;15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰;17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A (1)复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . (2)2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . (3)因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ,而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n , 所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . (4)因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=,110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ,故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21(1)15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.(2)331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . (3)503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. (4)11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .(5)12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . (6)112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . (7))1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .(8)11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .(9)0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . (10)x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . (11)30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. (12)xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解 由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ,即06232=+⨯-a ,从而3-=a .23 解 因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a (1)故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a(2) 由(1)(2)解得1,0-==b a .24 解 (1)因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0,1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ,而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =,须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时,函数)(x f 在0=x 处连续.(2)因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x , a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→,而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =, 须且只须 21cos =a ,即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时,函数)(x f 在0=x 处连续.25 证 (1)令14)(23+-=x x x f ,则)(x f 在[0,1]上连续, 且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知,),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ,所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.(2)设x e x f x3)(-=,则)(x f 在]1,0[上连续,且03)1(,01)0(<-=>=e f f ,故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1. 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解:1-+='e x ex e y .22、解:(1)(sin cos )xy e x x '=+,(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=.(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解:2121-='x y ,所以4121)4(421=='=-x x y , 所以切线方程为)4(412-=-x y ,法线方程为)4(42--=-x y . 24、解:(1)因为0)(lim 0=+→x f x ,0)(lim 0=-→x f x ,所以,0)(lim 0=→x f x .且0)0(=f ,因此,函数在0=x 处连续.10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ,10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ,所以函数在0=x 处可导. (2)因为0)(lim 0=+→x f x ,0)(lim 0=-→x f x ,所以,0)(lim 0=→x f x .且0)0(=f ,因此,函数在0=x 处连续.01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x , 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ,所以函数在0=x 处不可导.25、解:两边同时对x 求导得,11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+,所以,1ln xyxy yye x y x xe--'=+. 26、解:(1)原式=)1ln()1ln(limx x x x x ++-→=20)1ln(lim xx x x +-→=xx x 2111lim 0+-→=)1(21lim 0x x +→=21.(2)30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21. (3))arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .(4)xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→,0ln lim 0=+→x x x ,所以原极限10=e .(5))1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=. (6)2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21.27、解:22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解:函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =,令'()0f x =,得驻点1=x ,1x =-为不可导点.由上表可以看出,函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降;函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ,在1=x 处取得极小值343)1(-=f , 29、解:函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-, 令0y ''=,得x =1.当1x >时,0y ''>;当1x <时,0y ''<,所以函数的拐点为(1,3),在(-∞,1)上是凸的;在(1,+∞)上是凹的. 30、解:(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件,有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413,解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ,函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ,得稳定点 11-=x ,32=x . 又012)1(<-=-''f ,012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值,极大值为19)1(=-f , 在点3=x 处取极小值,极小值为13)3(-=f .31. 解:122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+,()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明:令x x f ln )(=, 则)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知,),(b a ∈∃ξ,使)()()(ξf ab a f b f '=--,即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ,故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明:1)令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时,'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明:令)1ln()(u u f +=,则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件,故),0(x ∈∃ξ,使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ,即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ,即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ,故x xx x <+<+ξ11,即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明:令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数,0x e e e ξ∴<<,故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1.3 2. 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4. 221()+C 4f x5. -2 6. -1 7. 0 8.y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239.令t x tan =,则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示,解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩,得交点(0,1),所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解:∵1D :⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路: 该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D :⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ,减去2D :⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得,见图解: πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解:12y '==, ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。

高等数学A(下册)期末考试试题

高等数学A(下册)期末考试试题

高等数学A(下册)期末考试试题大题 一 二 三 四 五 六 七 小题1 234 5得分一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上)1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ,2a =r ,2b =r ,则a b ⋅=r r .2、设ln()z x xy =,则32zx y∂=∂∂ . 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 .4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 .5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰ .※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分)1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程. 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积.3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z zx x y∂∂∂∂∂. 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部. 三、(本题满分9分) 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分10分)计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰,其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>.四、(本题满分10分)求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数.五、(本题满分10分)计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰,其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧.六、(本题满分6分)设()f x 为连续函数,(0)f a =,222()[()]t F t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域,求 3()lim t F t t +→.-------------------------------------备注:①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交; 不得带走试卷。

合肥工业大学高数下部分课后习题参考答案

合肥工业大学高数下部分课后习题参考答案

AB 7 , AC 7 , BC 7 2 ; 等腰直角三角形.
14 3. M 0, 0, . 9
4. 5.
2x 6 y 6z 3 0 .
a b a b a b a b ; ; ; . 2 2 2 2
1 2 1 , cos ; 7. AB 2 ; cos , cos 2 2 2
5. 8x 9 y 22 z 59 0 . 6.
3 2 . 2
习题 8-5
1. (1)直线,平面; (2)抛物线,抛物柱面; (3)圆,圆柱面; (4)双曲线,双曲柱面. 2. (1)将 xOy 平面上双曲线 x2 y2 1绕 x 轴旋转一周;
(2)将 yOz 平面上直线 z y a 绕 z 轴旋转一周.
12. (1)见图 8-9;
(2)见图 8-10;


图 8-9
图 8-10
(3)见图 8-11;
(4)见图 8-12.
图 8-11 习题 9-1
图 8-12
1. ( 1 )为有界开区域;聚点为集合 {(x, y ) | x 2 + y 2 1} ,边界点为集合 {(x, y ) | x 2 + y 2 =1} {(0, 0)} ;
4
x2 y 2 1, ( 2 ) 在 xOy 面 投 影 曲 线 方 程 : 在 yOz 面 投 影 曲 线 方 程 : z 0;
z z y sin , x cos , 2 在 zOx 面投影曲线方程: 2 y 0. x 0;
3020max21minminmaxmax上的点到原点的距离的最大值与最小值分别为15max16总复习题九11122sincoscossincos10

07-08高数A2答案(A卷)

07-08高数A2答案(A卷)

安徽工业大学高等数学A2期末试卷(A卷)参考答案与评分标准一、单项选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分)二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)9.7 10. π411. 4 12.π813.2e14. 1三、判断题(本题共5小题,每小题2分, 共10分)22222(1)(1))11(1)11n n nn nn nnnn nnn n∞∞==∞=∞∞===---=-=----∑∑∑∑∑四、解答题(本题共6小题,满分48分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.)20. (本题满分8分)解:设c o s,s i nx r y rθθ==, ------------------------------------ 2分222222)0,0(),(lnlim)ln()(limrryxyxryx+→→=++---------------------------------------------5分由洛必达法则原式22lim1ln2lim32=-==+→+→rrrrrr------------------------------------- 8分说明:本题解法较多,可参照上述标准给分,如令22r x y=+代换与洛必达法则结合使用。

21. (本题满分8分)解:解法一:由题意得121/212000x yxV dx dy dz---=⎰⎰⎰-----------------------------------2分1/21200(12)xdx x y dy-=--⎰⎰-----------------------------------4分dxyxyyx21212)212(-⎰--=----------------------------------6分⎰+-=212)2122(dxxx121)2132(2123=+-=xxx--------------- -------------------8分解:解法二:由题意得⎰⎰---=xdyyxdxV212/1)21(-----------------------------------3分dxyxyyx21212)212(-⎰--=----------------------------------6分⎰+-=212)2122(dxxx121)2132(2123=+-=xxx--------------- -------------------8分说明:其它形式的二重三重积分表达式也对。

合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A试题

合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= .2、设2arctan()y x x =,则y ' . 3、设()f x 的一个原函数为2x e-,则()________xf x dx '=⎰.4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________. 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________.二、选择题(每小题3分,共15分) 1、当1x →-时,31x +与3(1)x +为()(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是( )(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续,且0()lim 11cos x f x x→=-,则在点0x =处( ). (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=,且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在,且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=,且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是( )(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-()(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题(每小题6分,共36分)1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L . 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→. 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '. 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x . 5、2arctan x dx x ⎰. 6、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩,求20(1)f x dx -⎰. 四、(本题满分10分)设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性.五、(本题满分10分)设曲线2xe y =,切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ,求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、(本题满分8分)证明不等式:0>x 时,有11ln ≥+xx . 七、(本题满分6分)设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,0)(≠x f (01x <<),且0)1()0(==f f ,证明:在)1,0(内至少存在一点ξ,使()2015()f f ξξ'=.。

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题(每小题3分,共15分)1、椭球面∑:222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________. 2、设曲线L 的方程为221x y +=,则2[()]Lx y y ds +-=⎰.3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 .4、微分方程220y y y '''++=的通解为 .5、设23(,,)2f x y z x y z =++,则(1,1,1)grad f =u u u u u r.二、选择题(每小题3分,共15分) 1、设222zx y ze ++=,则11x y dz===( ))(A 2(dx dy)-+ )(B 22(z 1)e (z 1)e z zdx dy --+++)(C 22dx dy + )(D 22dx dy -+2、二次积分2(,)dx f x y dy ⎰化为极坐标下累次积分为( )drr F d D drr F d C drr F d B dr r F d A ),(2)(),()(),()(),()(cos 202cos 2022cos 20cos 200θθθθθθθθθπθππθππθπ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为( ).(A )*()sin cos y x ax b A x B x =+++ (B )*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ (C )*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ (D )*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是( ) )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=,1∑为∑在第一卦限的部分,则下列结论不正确...的是( ).(A )0xdS ∑=⎰⎰ (B )0zdS ∑=⎰⎰(C )1224zdS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D )22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、(本题满分10分)设(,)sin xz f xy y y=+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z x x y ∂∂∂∂∂. 四、(本题满分12分)求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D :2214y x +≤上的最大值和最小值.五、(本题满分10分)计算二重积分:2D I y xd σ=-⎰⎰,其中:11,02D x y -≤≤≤≤.六、(本题满分12分)已知积分22(5())()xx Ly yef x dx e f x dy ---+⎰与路径无关,且6(0)5f =.求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy --=-+⎰.七、(本题满分12分)计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdyI x y z ∑+-++=++⎰⎰,其中∑是上半球面z =,取上侧.八、(本题满分10分).求幂级数∑∞=---12112)1(n n n x n 的收敛域及和函数,并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和.九、(本题满分4分)设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?。

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、椭球面∑:222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________.2、设曲线L 的方程为221x y +=,则2[()]Lx y y ds +-=⎰ .3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 . 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 . 5、设23(,,)2f x y z x y z =++,则(1,1,1)grad f = .二、选择题(每小题3分,共15分) 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( )2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为( )3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为( ).(A )*()sin cos y x ax b A x B x =+++ (B )*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ (C )*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ (D )*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是( ))(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=,1∑为∑在第一卦限的部分,则下列结论不正确...的是( ).(A )0xdS ∑=⎰⎰ (B )0zdS ∑=⎰⎰(C )1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D )22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、(本题满分10分)设(,)sin xz f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z zx x y∂∂∂∂∂.四、(本题满分12分)求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D :2214y x +≤上的最大值和最小值.五、(本题满分10分)计算二重积分:2DI y x d σ=-⎰⎰,其中:11,02D x y -≤≤≤≤.六、(本题满分12分)已知积分22(5())(x xLy ye f x dx e f x ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、(本题满分12分)计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰,其中∑是上半球面z =,取上侧.八、(本题满分10分).求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数,并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和.九、(本题满分4分)设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛。

高等数学(下)历试题解答

高等数学(下)历试题解答

合肥工业大学高等数学<下)试卷参考解答2001-2002学年第二学期一、填空题<每小题3分,满分15分) 1.设12zxez y ,则0,1dz2edx dy .2.空间曲面1532:222zyx 在点(1,1,2)处的法线方程为1122412x y z .二、选择题<每小题3分,满分15分)1.考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质:①),(y x f 在点00(,)x y 处连续,②),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续,③),(y x f 在点00(,)x y 处可微,④),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“Q p”表示可由性质P推出性质Q ,则有< .A ).A ②③① .B ③②① .C ③④① .D ③①④2.设函数(,)zf x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在,则),(00y x f x =0,),(00y x f y =0是),(y x f 在点00(,)x y 处取得极值的<.B ).A 充分但非必要条件.B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要,也不是充分条件4.0)(22yx y 是<.C )微分方程.A 一阶.B 二阶.C 三阶.D 四阶5.微分方程xe x y y y 2)13(6的特解形式为< .B ).A xeb ax y 2)(*.B xeb ax x y 2)(*.C xeb ax x y 22)(*.D xxeC eC y 3221*三、<8分)设),(22yxy xf z,其中f 具有二阶连续偏导数,求2z x y. 解:1212z xf f xy,2111222122222112[2()][2()]z x x x yf f f f y f x yyyyy21112222232214(2)xx xyf f f f y y y.七、<10分)求微分方程0)(22y x y 满足初始条件(0)0,(0)1y y 的特解.解:令yp ,原方程化为220pxp,即212dpxdx p,积分得:21xCp,21pxC.又(0)1y ,得1C.211yx,12111ln 211x ydx C x x,将(0)0y 代入得10C ,所以特解为11ln 21x yx .八<10分)求函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z 在球面2225xyz(0,0,0)x y z 上的最大值.解:令222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y zxyz.由2220,0,0, 5.xyzF F F xy z 得222120,120,320, 5.x x y y z z x y z ,解得1,1,3.x y z 由于问题的解是唯一存在的.所以此驻点就是所求的最大值点(1,1,3).此时最大值为3ln 32. 合肥工业大学试卷高等数学<下)参考解答2002-2003学年第二学期一、填空题<每小题3分,满分15分)1.设函数ln(32)xyz xye ,则(1,0)dz 3144dxdy .5.微分方程0yyx 的通解为12ln yC x C .二、选择题<每小题3分,共15分)1.设,0,0,0,,),(222222,yxy x y xxy y x f 则<.C ).A ),(lim 0y x f yx 存在.B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f 都存在.D ),(y x f 在点(0,0)处可微2.曲线632,922222zyxzex y 在点(3,0,2)处的切线方程为<.B ).A 32x yz .B 326y x z .C 32214x y z .D 3(2)0x z y5.设xxxxxe ey e x y xe y 2321,)1(,为某二阶线性非齐次微分方程的三个特解,则该方程的通解为< .D ),其中321,,C C C 为任意常数..A 332211y C y C y C.B 11223C y C y y .C xxxxe eeC eC 2221.D xxxxeeC eC 221三、设),)((2xy y xf z,其中f 具有二阶连续偏导数,求2zx y.<本题10分)解:122()z xy f yf x,212(2())z x y f yf x yy1111222()[2()]f xy xy f xf 22122[2()]f y yx f xf 221111222224()2()f xy f xy f xyf f .四<10分)、求函数)1(),(y x y x f 在由上半圆周)0(322yyx与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值. 解:在闭区域D 内,由10x y f y f x 得驻点(0,1),(0,1)0f .在D 的边界)0(322y yx 上,令22(,,)(1)(3)F x y x y xy,由22120,20,3.xy F y xF x yx y 得2,1,xy(2,1)0f . 在D 的边界x 轴上,3,0,3,0,3,03f,3,03f,比较以上各函数值,知最大值为3,03f,最小值为3,03f.合肥工业大学试卷高等数学<下)参考解答2003-2004学年第二学期一、填空题 <每小题3分,满分15分) 1.微分方程02)(3xdydx x y满足56|1xy 的特解为315yx x .5.曲面22y xz与平面042zyx平行的切平面方程是245xyz.二、选择题<每小题3分,满分15分) 1.函数),(y x f 在点),(00y x 处连续是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的< .D ).A 充分但非必要条件.B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要,也不是充分条件2.微分方程xe xy y y 2323的特解形式为< .D ).A ()xax b e.B ()xax b xe.C ()xaxb ce .D ()xax b cxe4..若),(y x f 函数在),(00y x 的某邻域内具有二阶连续偏导数,且满足2000000[(,)](,)(,)0xy xx yy f x y f x y f x y ,则),(00y x (.A >.A 必不为),(y x f 的极值点.B 必为),(y x f 的极大值点.C 必为),(y x f 的极小值点.D 可能不是),(y x f 的极值点。

高数下期末考试试题及答案解析

高数下期末考试试题及答案解析

WORD 格式整理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯.⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡.三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A)注意:1、本试卷共3页;2、考试时间110 分钟; 3 、姓名、学号必须写在指定地方题号一二三四总分得分阅卷人得分一、单项选择题( 8 个小题,每小题 2 分,共 16 分)将每题的正确答案的代号A、 B、 C或 D 填入下表中.号12345678答案1.已知 a 与b都是非零向量,且满足a b a b ,则必有().(A)a b 0(B)a b0(C) a b0(D)a b02. 极限lim( x2y2 )sin12().x0x2yy0(A) 0(B) 1(C) 2(D)不存在3.下列函数中,df f 的是().( A)f (x, y)xy( B)f (x, y)x y c0 ,c0为实数( C)f (x, y)x2y2( D)f (x, y)e x y4.函数f ( x, y)xy (3x y) ,原点 (0,0)是 f ( x, y) 的().( A)驻点与极值点( B)驻点,非极值点( C)极值点,非驻点( D)非驻点,非极值点5 .设平面区域D : (x1)2( y 1)22,若I1x y d, I 2x yd ,D4D4I 33x y,则有() .dD4(A)I1I 2I 3(B)I1I 2I 3(C)I2I1I 3(D)I3I1I 26.设椭圆L:x2y 21的周长为l,则(3x2 4 y2 )ds() .43L(A)l(B)3l(C)4l(D)12l7.设级数a n为交错级数,a n0 (n) ,则().n 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C) 该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中,正确的命题是().( A)若级数a n发散,则级数a n2也发散n 1n 1( B)若级数a n2发散,则级数a n也发散n 1n 1( C)若级数a n2收敛,则级数a n也收敛n 1n 1( D)若级数| a n |收敛,则级数a n2也收敛n 1n 1阅卷人得分二、填空题 (7 个小题,每小题2分,共 14分).3x 4 y2z60a 为.1. 直线3y z a与 z 轴相交,则常数x02.设f ( x, y)ln( xy), 则f y(1,0)___________.x3.函数f (x, y)x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.4.设D : x2y22x ,二重积分( x y)d=.D5.设f x是连续函数,{( x, y ,z) | 0z9x2y2 } , f ( x2y2 )dv 在的三次积分为.6. 幂级数( 1)n 1x n的收敛域是.n!n 17. 将函数 f ( x)1,x01x2,0 x以 2为周期延拓后,其傅里叶级数在点于.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯.⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡.三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分三、综合解答题一( 5 个小题,每小题7 分,共 35 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.设 u xf ( x,x) ,其中 f 有连续的一阶偏导数,求u ,u.y x y解:4.设是由曲面z xy, y x, x 1及z0 所围成的空间闭区域,求 I解:2.求曲面 e z z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程.解:5.求幂级数nx n 1的和函数 S(x) ,并求级数nn的和.n 1n 12解:3. 交换积分次序,并计算二次积分dxxsin y dy.0y解:⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯.⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡.三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分四、综合解答题二( 5 个小题,每小题7 分,共 35 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.解4.计算xdS ,为平面x y z 1在第一卦限部分.解:2.计算积分( x2y2 )ds ,其中L为圆周 x2y2ax (a0 ).L解:5.利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy + dydz + dzdx,S其中为圆锥面 z2x2y2介于平面z0 及 z 1 之间的部分的下侧.解:3.利用格林公式,计算曲线积分I(x2y2)dx (x 2xy)dy ,其中 L 是由抛物线y x2和Lx y2所围成的区域D的正向边界曲线.y y x2x y22017 学年春季学期《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题(8 个小题,每小题 2 分,共 16 分)题号12345678答案D A B B A D C D1.已知a 与b都是非零向量,且满足a b a b ,则必有(D)(A) a b0 ;(B)a b 0 ;(C) a b0 ;(D)a b0 .2. 极限lim( x2y2 )sin212( A )x0x yy0(A) 0;(B) 1;(C) 2;(D)不存在 . 3.下列函数中,df f 的是( B );( A) f ( x, y)xy ;( B)f ( x, y)x y c0 , c0为实数;( C) f (x, y)x2y2;( D)f (x, y)e x y .4.函数f ( x, y)xy (3x y) ,原点 (0,0)是 f ( x, y) 的( B).(A)驻点与极值点;(B)驻点,非极值点;(C)极值点,非驻点;( D)非驻点,非极值点 .5 .设平面区域 D:( x 1)2( y 1)22,若I1x yd ,I2x y dD4D4WORD 格式整理3xyd,则有( A)I 34D(A)I1I 2I3;(B) I1I 2I 3;(C)I2I1I3;(D)I36.设椭圆L:x2y 21的周长为l,则(3x24y2 )ds( D)43L(A) l;(B)3l;(C)4l ;(D)127.设级数a n为交错级数, a n0 (n) ,则(C)n 1(A) 该级数收敛;(B)该级数发散;(C) 该级数可能收敛也可能发散;(D)该级数绝对收敛.8. 下列四个命题中,正确的命题是(D)( A)若级数a n发散,则级数a n2也发散;n1n 1( B)若级数n1a n2发散,则级数n 1a n也发散;( C)若级数a n2收敛,则级数a n也收敛;n1n 1( D)若级数| a n |收敛,则级数a n2也收敛.n1n1二、填空题 (7 个小题,每小题 2 分,共14 分).3x 4 y2z60a 为31. 直线3y z a与 z 轴相交,则常数。

大学高等数学A-2试卷答案

大学高等数学A-2试卷答案

《高等数学》考试试卷A-2参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分, 共15分)1.B 2.C 3.C 4.D 5.B二、填空题(每小题3分,共15分)1.12dx dy + 2.533.2(,)x f a b ' 4.230+-=y z 5.18π三、计算题(每题7分;共56分)1.解: 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D根据题意有000+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩A B C D B C D A B C (4分)所以有0=D ;::2:1:1=-A B C所求平面方程为 20--=x y z (3分)2.解:21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x u x v x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++-= (3分) ()21212()2()4.z z u z v u v x y x y y y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-=+--= (4分)3解:D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域也就是{}22(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x (3分)(){}22221111120212240(2)(2)223221415++-+=+==+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x D x y dxdyD dx x y dy dx ydyx x dx (4分)4.解:计算三重积分:zdxdydz Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域. 解: {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D :222x y z +≤ (+2分)故10z D zdxdydz zdz dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12022 3z dz ππ==⎰ (+5分) 5.解: 设2222(,),(,)y x P x y Q x y x y x y ==-++,因为()()22:111L x y -+-=, 所以220x y +≠,而且有()22222Q x y P x y x y ∂-∂==∂∂+, .(3分) 故由格林公式得22 L ydx xdy I x y -=+⎰0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ .(4分) 6.解:计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222,∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有限部分的下侧。

高等数学(A)下期末试卷及答案

高等数学(A)下期末试卷及答案

南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下)期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题(本大题分5小题,每题3分,共15分)1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为(c )(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e ey(C )⎰⎰e e ydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 (D )(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛,则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x (B ) (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 (A )(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析,则实常数a 的值 为 (c )(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题(本大题分5小题,每题4分,共20分)1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ,则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域,在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑,收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分)设),()(22xy y xg y x f z ++=,其中函数)(t f 二阶可导,),(v u g 具有二阶连续偏导数,求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解:2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分)在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体(各边分别平行坐标轴)中,求最大的内接长方体体积。

2011-2012学年合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷和参考答案

2011-2012学年合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷和参考答案

2011----2012学年第二学期期末考题解答一.填空题(每小题3分, 满分15分)1. 过直线L:x-1y+2z-2==且垂直于平面3x+2y-z=5的平面方程是2-32_________.【解】应填:x-8y-13z+9=0.直线L的方向向量s={2,-3,2}.已知平面的法向量n1={3,2,-1},设所求平面的法向量为n,由题意知n⊥s且n⊥n1,故可取ijk n=s⨯n1=2-32={-1,8,13},32-由条件知,所求平面过点P0(1,-2,2)于是所求平面方程为,-(x-1)+8(y+2)+13(z-2)=0,即x-8y-13z+9=0.2. 设x2+2xy+y+zez=1,则dz【解】应填:-2dx-dy.由x+2xy+y+ze=1,两边求全微分,得 2z(0,1)=2xdx+2ydx+2xdy+dy+(1+z)ezdz=0,当x=0,y=1时,代入原方程得z=0,所以dz(0,1)=-2dx-dy.3. 椭圆抛物面∑:z=2x+y在点P0(1,-1,3)处的法线方程是___________.【解】应填:22x-1y+1z-3==. 4-2-1曲面∑在点P0(1,-1,3)处的法向量可取为n={4x,2y,-1}(1,-1,3)={4,-2,-1},于是曲面∑在点P0(1,-1,3)处的法线方程为x-1y+1z-4=-2=3-1.4.曲面z=与z=x2+y2所围立体的体积为.【解】应填:6. V=⎰⎰⎰dv=2π0dθ1rπΩ⎰⎰0rdr⎰r2dz=6.5. 设L为上半圆周y=⎰(xL-xy+y2)ds=____________.【解】应填:π.由对称性,代入技巧及几何意义可得⎰2L(x-xy+y2)ds=⎰Lds+0=π二.选择题(每小题3分, 满分15分)1.方程y''-3y'+2y=1+2x-3ex的特解形式为(). (A)(ax+b)ex (B) (ax+b)xex(C) ax+b+cex(D) ax+b+cxex【解】选(D)2.设unn=(-1),则级数().(A)∑∞∞∞u2n与∑un都收敛(B)n=1n=1∑u2n与n=1∑un都发散n=1 (C)∑∞∞∞∞u2n收敛,而n发散(D)u2n发散,而n收敛n=1∑un=1∑n=1∑u【解】选(C)3.二元函数f(x,y)的两个偏导数fx¢(x,y),fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)处都连续是f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分的()(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件【解】若fx¢(x,y),fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)都连续,则f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分,选(A)4.⎰10dx⎰2x1=()(A)121 (B))131 (C)(D【解】原积分=⎰dy0101121==⎰231.选(B) )⎧x2-π≤x<05. 设f(x)=⎨,则周期为2π的函数f(x)的傅立叶级数在x=2π处⎩x-π0≤x<π收敛于.(A)-π2 (B)-π (C)0 (D)π 2【解】选(A)三. (10分) 设z=f(xy,xy)+g(),其中f有二阶连续偏导数,g有二阶导yx∂2z数,求.∂x∂y【解】根据复合函数求偏导公式得∂z1y=f1'⋅y+f2'⋅+g'⋅(-2), ∂xyx∂2z∂⎛∂z⎫∂⎛1y⎫= ⎪= f1'⋅y+f2'⋅+g'⋅(-2)⎪∂x∂y∂y⎝∂x⎭∂y⎝yx⎭x11xy1=f1'+y[f11''x+f12''⋅(-2)]-2f2'+[f21''x+f22''⋅(-2)]-g''⋅3-g'⋅2yyyyxx1xy1=f1'+xyf11''-2f2'-3f22''-3g''-2g'yyxxx2四. (10分) 求z=f(x,y)=x-y在闭区域D:+y2≤1上的最大值和最小值.22【解】在D的内部,⎧fx'=2x=0⇒(0,0)为驻点,且f(0,0)=0 ⎨'f=-2y=0⎩y在D的边界上,x2x25x22222+y=1⇒y=1-⇒z=x-y=-1由444(-2≤x≤2)dz5x==0⇒x=0,此时,y=±1,,则有f(0,±1)=-1,dx2比较上述函数值知,f(±2,0)=4函数z=f(x,y)=x-y在D上的最大值为4,最小值为-1.五. (10分) 求微分方程y''=22y'+xex的通解. x1p=xex, x【解】不显含y,故令y'=p,则y''=p',代入原方程得p'-利用通解公式求得通解为p=x(ex+C1),积分得原方程通解为1y=(x-1)ex+C1x2+C2.2六. (12分)(Ⅰ)试确定可导函数f(x),使在右半平面内,y[2-f(x)]dx+xf(x)dy为某函数u(x,y)的全微分,其中f(1)=2;(Ⅱ)求u(x,y);【解】(Ⅰ)P=y[2-f(x)],Q=xf(x).因为y[2-f(x)]dx+xf(x)dy是函数u(x,y)的全微分,所以有即∂Q∂P, =∂x∂yf(x)+xf'(x)=2-f(x),故xf'(x)+2f(x)=2.上述微分方程的通解为f(x)=1+所以C.由f(1)=2得C=1, x21. x2f(x)=1+(Ⅱ)在右半平面内取(x0,y0)=(1,0),则11u(x,y)=⎰P(x,0)dx+⎰Q(x,y)dy=⎰0(x+)dy=y(x+).10xxxyy七. (12分) 求幂级数∞∑n(n+1)xn=1∞n的收敛域及和函数.【解】易求得其收敛域为(-1,1),令S(x)=∑n(n+1)x=x∑n(n+1)xnn=1n=1∞n-1=x⋅S1(x),其中S1(x)=∑n(n+1)xn-1,n=1∞∞两边积分⎰再积分xS1(x)dx=∑⎰n(n+1)xn=1∞xn-1dx=∑(n+1)xn,n=1⎰(⎰xxS1(x)dx)dx=∑⎰(n+1)xdx=∑xnn=1∞x∞n+1n=1x2. =1-x因此x22S1(x)=()''=,1-x(1-x)3故原级数的和S(x)=2x,x∈(-1,1).(1-x)3八. (12分) 计算积分I=⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy∑,其中∑是抛物面z=x2+y2(0≤z≤1),取下侧.【解】补S0:z=1(x2+y2 1),取上侧,设∑与∑0围成空间区域Ω, Ω及∑0在xOy平面上的投影区域Dxy:x+y≤1.由Gauss公式,I=22∑+∑0 ⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy ∑0=⎰⎰⎰[Ω∂∂(y-z)+(x+2z)]dv-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy ∂y∂z∑0∑0=3⎰⎰⎰dv-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy. Ω因为∑0垂直于zOx平面,∑0在zOx平面上的投影区域面积为零,所以⎰⎰(y-z)dzdx=0.∑0I=3⎰⎰[⎰2Dxy1x+y2dz]dxdy-⎰⎰[x+2(x2+y2)]dxdy Dxy2π1=⎰⎰(3-5x2-5y2)dxdy=⎰dθ⎰(3-5r2)rdr=Dxy00π.2九. (4分) 设函数ϕ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分ϕ(y)dx+2xydy2x+y24L的值恒为同一常数.证明:对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有ϕ(y)dx+2xydy2x+y24C=0;【证明】将C分解为:C=l1+l2,另作一条曲线l3围绕原点且与C相接,则ϕ(y)dx+2xydy2x+y24C=ϕ(y)dx+2xydy2x+y24l1+l3-ϕ(y)dx+2xydy2x+y24l2+l3=0.。

合肥工业大学高数习题册上下册答案详解

合肥工业大学高数习题册上下册答案详解
(1) lim (2)n 3n ; n (2) n 1 3n 1
极限
【解】分之分母同除 3n ,利用四则运算极限法则和幂极限可得
2 ( ) n 1 1 3 L lim 。■ n 2 (2)( ) n 3 3 3 1 1 1 (2) lim(1 2 )(1 2 ) (1 2 ) ; n 2 3 n
1 cos(sin x) . x 0 x2 1 2 sin x 1 sin x 2 1 2 (lim ) 。■ 【解】 L lim 2 x 0 x 0 x 2 x 2 (3) lim
ln(1 2 x) , x 0, x f ( x) 存在. 2.设 f ( x) 确定正数 a 的值,使得 lim x 0 a x a x , 1 x 0, x
1 1 1 1 n 1 n 1 , 2 1 1 1 n 2n n 1 1 lim 。■ ∴L n 2n 2
(3) lim[(1 r )(1 r 2 )
n
(1 r 2 )] ( r 1) ;
n
n
(1 r )(1 r )(1 r 2 )(1 r 2 ) 【解】∵ (1 r )(1 r )(1 r ) 1 r
1
1
从而, l i mf ( x) l i m
x 0

1 e 1 e
1 x 1 x
1
x 0


1 l i m ex
x 0
1 l i m e
x 0
t 1 x
1 x
1,
1 1 1 lim t 1 t 1 et t e lim f ( x) lim lim lim e 1, 1 t 1 e t t 1 1 x 0 x 0 x 1 lim t 1 1 e t e et

安徽大学《高等数学A二卷(二)》2019-2020学年第二学期期末考试

安徽大学《高等数学A二卷(二)》2019-2020学年第二学期期末考试

安徽大学2019—2020学年第二学期高等数学A 二卷(二)(闭卷时间120分钟)考场登记表序号一、填空题(每空2分,共10分)1.绕y 轴旋转而成的椭球面1323222=++z y x 的曲线是______________.2.设()=∂∂=x u xy x z 则,ln _______________________.3.设)(x f 是周期为π2的周期函数,它在区间],ππ-(上的定义为:⎩⎨⎧≤<≤<-=πππx x x x f 0,0,)(,则)(x f 的傅立叶级数在π2=x 收敛于.4.以()()dy y y x dx xy x 42234564-++为全微分的函数是.5.函数()22ln z y x u ++=在点A (1,0,1)处由A 指向B (3,-2,2)的方向的方向导数是.二、选择题(每小题2分,共10分)6.方程()()[()x y x dt t y t t y x ⋅=++⎰0222是().(A)齐次方程;(B)一阶线性方程;(C)伯努利(Bernoulli )方程;(D)可分离变量方程.题号一二三四五总分得分阅卷人得分院/系年级专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------得分7.已知,7,3,2=-==b a b a 则,a b 的夹角为().(A)12;(B)12-;(C)3π;(D)3π-.8.设().arcsin ,yx y x f =则(),1x f x =().)(A ()121+x x ;)B (221x x -;)(C x ;)D (x11+.9.设L 为曲线2x y =上从A(1,1)到B(0,0)的一段弧,则⎰=L xdy ().)(A dx x ⎰1022;)B (dy x ⎰10;)(C dx x ⎰0122;)D (dy y ⎰10.10.幂级数n n n x n212∑∞=的收敛半径为().)(A 2;2)B (;)(C 21;)D (21.三、计算题(每小题9分,共54分)11.求螺旋线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()0,0,a 处的切线方程与法平面方程.12.计算⎰Γ+-ydz dy dx ,其中Γ是有向闭折线ABCA ,这里A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1).得分13.求0324223=-+dy y x y dx y x 的通解.14.计算第一类曲面积分()⎰⎰∑+dS y x 22,其中∑为锥面()2223y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分值.15.利用Gauss 公式计算第二类曲面积分()()zdydz x y dxdy y x -+-⎰⎰∑,其中∑为柱面122=+y x 及平面0=z 和3=z 所围成的空间闭区域V 的整个边界曲面的外侧.16.求级数()()n n x n 111-+∑∞=的收敛域及和函数.院/系年级专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------四、应用题(每小题10分,共20分)17.将周长为p 2的矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体。

高等数学(A)下期末试卷及答案

高等数学(A)下期末试卷及答案

南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A》(下)期末试卷A答案及评分标准得分一、选择题(本大题分5小题,每题3分,共15分)1、交换二次积分的积分次序为()(A) (B)(C) (D)2、锥面在柱面内的那部分面积为()(A) (B)(C) (D)3、若级数在处收敛,则级数在()(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散(D) 收敛性不确定4、下列级数中收敛的级数为()(A) (B)(C) (D)5、若函数在复平面上处处解析,则实常数a的值为()(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2二、填空题(本大题分5小题,每题4分,共20分)1、曲面在点处的切平面方程为2、已知,则3、Ω是由曲面及平面所围成的闭区域,在柱面坐标下化三重积分为三次积分为4、函数展开成以2π为周期的正弦级数为,收敛区间为5、得分得分三、(本题8分)设,其中函数二阶可导,具有二阶连续偏导数,求解:… 3分5分得分四、(本题8分)在已知的椭球面内一切内接的长方体(各边分别平行坐标轴)中,求最大的内接长方体体积。

解:设顶点坐标为,….2分令….2分,,解得:,….3分,….1分五、(本题7分),其中.解: 原式= (5)分….2分六、(本题8分)计算,其中L 为抛物线上由点(0,0)到的一段弧。

得 分得 分装订 线内不要 答 题自 觉 遵守 考 试 规 则,诚信 考 试,绝 不 作证明:,所以曲线积分与路径无关….3分….5分七、(本题8分)计算,其中 为上半球面的上侧。

解:补面下侧原式=……5分=得分=………3分八、(本题8分)讨论级数的敛散性,若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛。

解:原级数不绝对收敛 ……3分又 为交错级数,……2分设当时单调递减,所以当时单调递减,……2分原级数条件收敛。

…1分九、(本题共12分,每题6分) 1、将在区域内展开成洛朗级数。

得 分得 分解:…..3分…..3分2、沿指定曲线的正向计算下列复积分解:原式=…2分……2 分……2 分十、(本题6分)设,其中,(1)求出;(2)求出幂级数的收敛域及和函数。

合工大高数下(复习)

合工大高数下(复习)
L
注:① 两类曲线积分之间的联系

L
P ( x , y )d x Q( x , y )d y P ( x , y )cos Q( x , y )cos d s
② 运用积分曲线方程简化计算!
§3 格林公式
Q P P ( x , y )d x Q( x , y )d y d L x y D 注:① L 封闭正向(补) ;② P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 D 内偏导连续(挖) !
f ( x , y )d y d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
f ( x , y )d x
注:选择积分次序(根据积分区域特点、被积函数特点) 交换积分次序! ② 利用极坐标:
f ( x , y )d f (r cos , r sin )r d r d
x x(t ) ① y y( t ) 在 M 0 x ( t 0 ), y ( t 0 ), z ( t 0 ) 的切向量: x ( t 0 ), y ( t 0 ), z ( t 0 ) z z( t ) x x F ( x, y, z ) 0 ② y y( x ) 在 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的切向量: 1, y( x0 ), z ( x0 ) G( x, y, z ) 0 z z( x )
x x区域连续! §3 偏导数 分段函数在分段点处的偏导数:
f x ( x0 , y0 ) lim
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) x 0 x f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y

合肥学院高数下册试题库(按知识点分)

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高等数学下册试题库一、填空题 1.平面01=+++kz y x 与直线112zy x =-=平行的直线方程是___________2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________3. 设k i b k j i aλ+=-+=2,4,且b a ⊥,则=λ__________4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ,则=∧),(b a ____________5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点,且与平面0526=+-z x 平行,则__________________,_______,===D B A6.设直线)1(221-=+=-z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直,则___________________,==λm7.直线⎩⎨⎧==01y x ,绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是__________ 9. 曲面222y x z+=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________10. 幂级数12nnn n x ∞=∑的收敛半径是____________ 11. 过直线1 3222x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3023x y z +-+==的平面方程是_________________ 12. 设),2ln(),(xyx y x f +=则__________)0,1('=y f13. 设),arctan(xy z =则____________,__________=∂∂=∂∂yz x z 14. 设,),(22y x y x xy f +=+则=),('y x f x ____________________15. 设,yxz =则=dz _____________ 16. 设,),(32y x y x f =则=-)2,1(|dz ______________17. 曲线t t z t y t x cos sin ,sin ,cos +===,在对应的0=t 处的切线与平面0=-+z By x 平行,则=B __________18. 曲面22y x z +=在点)2,1,1(处的法线与平面01=+++z By Ax 垂直,则==B A ________,______________19. 设}2,0,1{-=a ,}1,1,3{-=b ,则b a ⋅=________, b a ⨯=____________ 20. 求通过点)4,1,2(0-M 和z 轴的平面方程为________________21. 求过点)0,1,0(0M 且垂直于平面023=+-y x 的直线方程为_______________22. 向量d 垂直于向量]1,3,2[-=a 和]3,2,1[-=b ,且与]1,1,2[-=c的数量积为6-,则向量d=___________________23. 向量b a 57-分别与b a 27-垂直于向量b a 3+与b a 4-,则向量a 与b的夹角为_______________24. 球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上投影的方程为______________25. 点)1,`1,2(0-M 到直线l :⎩⎨⎧=+-+=-+-032012z y x z y x 的距离d 是_________________26. 一直线l 过点)0,2,1(0M 且平行于平面π:042=-+-z y x ,又与直线l :122112-=-=-x y x 相交,则直线l 的方程是__________________ 27. 设____________b 3a 2则,3πb a 2,b 5,a =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==∧28. 设知量b ,a满足{}a b 3,a b 1,1,1⋅=⨯=-,则____________b ,a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧29. 已知两直线方程13z 02y 11x :L 1--=-=-,1z11y 22x L :2=-=+,则过1L 且平行2L 的平面方程是__________________ 30. 若2=b a ,π()2=a,b ,则=⨯b a 2 ,=⋅b a ____________31. =∂∂=xz,x z y则______________. y z ∂∂=_________________ 32. 设 ()()()____________2,1z ,x y x,sin x 11y z x 32='++-=则33. 设 ()1ylnx x lny y x ,u -+= 则 ______________________du = 34. 由方程2z y x xyz 222=+++确定()y x ,z z =在点()1,0,1-全微分=dz ______35. ()222yx f y z -+= ,其中()u f 可微,则 ___________yzx z y =∂∂+∂∂36. 曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 _________________37. 过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为__________________ 38. 过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 _________________ 39. 与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为______________ 40. )yx(x z 2ϕ=,(u)ϕ可微,则 ____________yz y x z 2=∂∂+∂∂ 41. 已知22lny x z +=,则在点)1,2(处的全微分_________________=dz42. 曲面32=+-xy e z z在点)0,2,1(处的切平面方程为___________________43. 设()y x z z .= 由方程02=+--z xy e z e ,求xz∂∂=________________ 44. 设()()xy x g y x f z,2+-=,其中()t f 二阶可导,()v u g ,具有二阶连续偏导数 有yx z2∂∂∂=___________________45. 已知方程y zln z x =定义了()y x z z .=,求22xz∂∂=_____________46. 设()z y x f u..=,()0..2=Φz e x y ,x y sin =,其中f,Φ都具有一阶连续偏导数,且0z≠∂∂ϕ,求dx dz=______________________47. 交换积分次序=⎰⎰-221),(y ydx y x f dy _______________________________48. 交换积分次序dx y x f dy dx y x f dy y y⎰⎰⎰⎰-+2120100),(),(=___________________49. _________==⎰⎰dxdy xe I Dxy其中}10,10),({≤≤≤≤=y x y x D50.=I ________)23(=+⎰⎰dxdy y x D,其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围51. =I ________1122=++⎰⎰dxdy yx D,其中D 是由422≤+y x 所确定的圆域 52. =I ___________222=--⎰⎰dxdy y x a D,其中D :222a y x ≤+53. =I ________)6(=+⎰⎰dxdy y x D,其中D 是由1,5,===x x y x y 所围成的区域54.⎰⎰-2202xy dy edx = _____________________55. 设L 为922=+y x ,则→→→-+-=j x x i y xy F )4()22(2按L 的逆时针方向运动一周所作的功为.___________ 56. 曲线()⎩⎨⎧+==1,2,7y3x z 2xy 22在点处切线方程为______________________ 57. 曲面22y 2x z +=在(2,1,3)处的法线方程为_____________________ 58.∑∞=11n p n ,当p 满足条件 时收敛 59. 级数()∑∞=---1221n nn n 的敛散性是__________60.nn nx a∑∞=1在x=-3时收敛,则n n n x a ∑∞=1在3<x 时61. 若()∑∞=1ln n n a 收敛,则a 的取值范围是_________62. 级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为63. 求出级数的和()()∑∞=+-112121n n n =___________ 64. 级数∑∞=02)3(ln n nn的和为 _____ 65. 已知级数∑∞=1n n u 的前n 项和1+=n ns n ,则该级数为____________ 66. 幂级数nn n x n∑∞=12的收敛区间为67. ∑∞=--11212n n n x 的收敛区间为 ,和函数)(x s 为68. 幂级数∑∞=≤<0)10(n p np nx 的收敛区间为69. 级数∑∞=+011n na当a 满足条件 时收敛 70. 级数()2124nnn x n ∞=-∑的收敛域为 ______71. 设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 _____72. 231)(2++=x x x f 展开成x+4的幂级数为 ,收敛域为 73. 设函数)21ln()(2x x x f --=关于x 的幂级数展开式为 __________,该幂级数的收敛区间为 ________ 74. 已知1ln ln ln =++x z z y y x ,则=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zyy x x z ______ 75. 设xy y x z )1(22++= y,那么=∂∂xz_____________,=∂∂y z _____________ 76. 设D 是由2=xy及3=+y x 所围成的闭区域,则=⎰⎰Ddxdy _______________77. 设D是由1||=+y x 及1||=-y x 所围成的闭区域,则=⎰⎰Ddxdy _______________78.=+⎰Cds y x )(22________________,其中C为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x79.=-⎰Ldx y x )(22________________,其中L 是抛物线2x y =上从点()0,0到点()4,2的一段弧。

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一、填空题(每小题3分,共15分)
1、椭球面∑:222
216x y z ++=在点
0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________.
2、设曲线L 的方程为2
21x
y +=,则
2
[()
]L
x y y ds +-=⎰ .
3、设
()2
1,
0,1,0,
x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛
于 .
4、微分方程220y y y '''++=的通解为 .
5、设2
3
(,,)2f x y z x y z
=++,则
(1,1,1)grad f =u u u u u r

二、选择题(每小题3分,共15分) 1、设2
2
2z
x y ze ++=,则11
x y dz
===( )
2
、二次积分
2
(,)dx f x y dy ⎰
化为极坐
标下累次积分为( )
3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为( ).
(A )*()sin cos y x ax b A x B x =+++ (B )*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ (C )*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ (D )*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线
1121
410214
x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是( )
)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交
5、设曲面∑的方程为2
22,x
y z z ++=,
1∑为∑
在第一卦限的部分,则下列结论不正
..
确.
的是( ).
(A )
0xdS ∑
=⎰⎰ (B )
0zdS ∑
=⎰⎰
(C )
1
224z dS z dS ∑
∑=⎰⎰⎰⎰ (D )2
2
x dS y dS ∑

=⎰⎰⎰⎰
三、(本题满分10分)设
(,)sin x
z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏
导数,求2,z z x x y
∂∂∂∂∂. 四、(本题满分12分)求
22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D :
2
2
14
y x +≤上的最大值和最小值.
五、(本题满分10分)计算二重积分:
2D
I y x d σ=-⎰⎰,其中
:11,02D x y -≤≤≤≤.
六、(本题满分12分)已知积分
22(5())()x x
L
y ye f x dx e f x dy ---+⎰与路径无关,且
6
(0)5
f =
.求()f x ,并计算
(2,3)
22(1,0)
(5())(x x I y ye f x dx e f x
--=-+⎰
.
七、(本题满分12分)计算积分
223222
()(xz dydz x y z dzdx I x y z ∑
+-+=++⎰⎰
,其中∑是上半球

z =,取上侧.
八、(本题满分10分).求幂级数
∑∞
=---1
2112)1(n n
n x n 的收敛域及和函数,并求数项级数∑∞
=---1
1
12)1(n n n 的和.
九、(本题满分4分)设0(1,2,3,...)n u n ≠=,
且lim
1n n
n
u →∞=,则级数
11
1
11
(1)(
)n n n n u u ∞
+=+-+∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?。

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