第4章振动与波动习题课

(2)
x 0.06cos(πt π) m x x 0.06cos π(t ) π m 2
(3)
λ uT 4 m
第四章习题解答
4-22. 沿着一绳子传播的平面简谐波的波动方程为：
y 0.05 cos(10t 4x )SI
求（1）波的波速，频率和波长；（2）绳上各质点振动的最大速度 和最大加速度。（3）波的传播方向。
试求：（1）形成该驻波的两个反向传播的行波的波长和频率； （2）相邻两波节之间的距离。
解：(1)
(2)

x
2π


2
2m


2π
第四章习题解答
4-27. 如图所示，一列向x轴负方向传播的平面简谐波在t=0时的波 形图，设此简谐波的频率为1.25Hz，求：（1）该波的波动方程； （2）在距原点O为x=50m处质点的振动方程及t=0时该点的振动速 度。（3）图上所画此时质点P的运动方向是否正确？ (1) λ 20 m 2 250 π A 0.10 m 解： y/m
π x 0.5 cos(8t ) cm 的规律做自由振动。求（1）此振动的角 3
速度、加速度；（3）弹簧的劲度系数。 2π 1 解：(1) 8π rad/s T s 4
1 4 Hz T
4-1. 质量m=50g的小球与轻质弹簧组成振动系统，按
频率、周期、频率、振幅和初相位；（2）t=2s时，小球振动的
第四章习题解答
解： A 4 cm
4-5. 已知物体做简谐运动的图线，如图所示。试根据该图线写出 振动方程。 x/cm
T 2.0 2 4.0 s
2π π T 2 1 2π cos ，v0 0 2 3 π 2π x A cos(t ) 4 cos( t ) cm 2 3
2π 4π 解： T 1 π (1) cos ，v0 0 2 3
x 2.0 10 cos(4πt
2

1 4π (2) cos ，v0 0 2 3 4π 2 x 2.0 10 cos(4πt ) m 3
第四章习题解答
3
)m
4-11. 已知质量为10g的质点m做简谐运动，振幅A=12cm，角频 率 。开始时质点位于 x0 6 cm 处，向x轴正方向运动。求 ：（1）此时刻简谐振子系统的总能量；（2）质点从 x1 6 cm 运 动到 x2 6 cm 处系统能量的变化。
解： (1) k 2 m
m1 m2 m1 m2 T ' 2π T k m1
变大 变大
(2)
A' A
不变
m1 m2 m1 m2 T ' 2π T k m1
第四章习题解答
4-19. 两个同方向、同频率的谐振动运动方程分别为 x1 0.4 cos(3t )m 3 和 x 2 0.3 cos(3t )m 。（1）求合振动表达式；（2）若另有一简谐 6 x1 x 3 的合振幅最大？当 运动 x3 0.5 cos(3t )m ，当 等于多少时，
4 2 -2 -4
0 2.0
t/s
第四章习题解答
4-7. 一水平弹簧振子，振幅 A 2.0 10 2 m ，周期为T=0.5s。试求以 下两种情况下的振动方程。（1）当t=0时，物体经过 x 1.0 102 m 且沿 x 轴负方向运动；（2）当t=0时，物体经过 x 1.0 10 2 m 且 沿 x 轴正方向运动。
2π
.
A
.
B

其中
π ( 2rA 30) π rA π 16π 2kπ π 2 0 rA 30 m，k 1,2,3......
rA 1m,3m,5m......27m,29m
第四章习题解答
4-35. 一在弦线上产生的稳定驻波的驻波方程为：
y 0.1 cos x cos 90t (SI)
此时， v 0 ，方向向下
(3) F kx mg 160 0.03 4.05 9.8 44.5 N
方向向上
第四章习题解答
4-13. 一给定弹簧，在50N的拉力下伸长0.50m，今将一质量4.0kg物 体悬在弹簧下端并使其静止，再把物体拉下0.1m，然后释放。求： （1）振动周期；（2）振动方程； （3）设向下为x轴正方向，当物 体在平衡位置上方5.0cm处，并向上运动时，物体加速度的大小和 方向； （4）物体在平衡位置上方5.0cm处，弹簧的拉力。 F 解： (1) k 100 N/m x k 2π 2π 5 rad/s T s 5 m (2) A 0.10 m cos 1 0 x 0.10 cos 5t m (3) a 2 x 1.25m s 2
解：
λ 4m
T 2s
A 0 .2 m
0.2
Fra Baidu bibliotek
π -1 k m 2 π cos 0，v0 0 2
2π π T
2π
0 2 4 6
x/m
-0.2
(a)
y/m
0.2
π π y 0.2 cos(πt x ) m 2 2
y/m
0.2
0 1 2 3
-0.1
第四章习题解答
4-32. 两个相干波源位于同一介质中的A、B两点，相距30.0m。如 图所示。其振幅相等、振动频率均为100Hz。已知波速为400m/s， 且B的相位比A的相位超前 。试求在AB连线上因干涉而静止的各 点的位置。
解：
u

4m
( rA rB ) π

解： (1)
π 如图： A点相位为 0，B点相位为 ， 3
0 x/cm
10 5
A B
1.0
C点相位为
π 2π 4π ，D点相位为 ，E点相位为 2 3 3
2.2
t/s
C
-10
D
E
A 10 cm
T 1.2 2 2.4 s
2 π 5π T 6 1 π (2) cos ，v0 0 2 3 5π π x A cos( t ) 10cos( t ) cm 6 3
解： (1)
2π 1 m 4π 2
10π 5 Hz 2π
u 2.5 m/s
(2)
vm A 0.5π m/s am 2 A 5π2 m/s2
(3) x轴负方向。
第四章习题解答
4-25. 图中(a)表示t=0时刻的波形图， (b)表示原点（x=0）处质元 的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的振动曲 线。 y/m
解：
1 2 1 2 kA m v 1 2 2 (1) m1 v ( m1 m2 )v' 1 1 2 2 kA' ( m1 m2 )v' 2 2
k v A m1 m1 k v' A m m m 1 2 1 m1 A ' A 变小 m1 m 2
t/s
0 1 -0.2
t/s
2
-0.2
( b)
x=2m处质元的振动曲线
第四章习题解答
4-26. 一列沿x轴正方向传播的平面简谐波在t=0s时的波形如图所 示，设波速为 u 4 m/s 。求：（1）波长、周期、角频率；（2） 写出此波的波动方程；（3）在图上画出t等于四分之一周期时的波 形图并标出波的传播方向。 y/m u T 5s 解：(1) λ 20 m 0.05 u 2π 2 π 20 x/m 0 10 T 5 π -0.05 (2) cos 0，v0 0 2 x π 2π y 0.05cos ( t ) m 4 2 5 (3)
等于多时，x1 x 3 的合振幅最小？ π 2 解： (1) A A12 A2 2 A1 A2 cos 0.5 m 2 A1 sin1 A2 sin 2 0.2 3 0.15 tan 0.427 A1 cos1 A2 cos 2 0.2 0.15 3

解： x1 x 2 x 3 2 x 2
2
6
π 0.08cos( 120πt ) 2
第四章习题解答
2π (1) A 0.06 m π 解： T cos 1 π
4-21. 某质点做简谐振动，周期为 2s，振幅为0.06m，开始计时 （t=0）质点恰好处在负向最大位移处，求（1）该质点的振动方 u 2 m/s 沿x轴正方向传播时，形成的一 程；（2）此振动以速度 维简谐波的波动方程；（3）该波的波长。
23.13 0.128π
x 0.5 cos(3t 0.128π) m
π (2) 2kπ ( k 0,1,2, ) 时 3 4π 2kπ ( k 0,1,2, ) 时 3 Amax 0.9 m Amin 0.1 m
第四章习题解答
4-20. 三个同方向、同频率谐振动方程分别为 x1 0.04 cos(120t )m， 6 5 x 3 0.04 cos(120t )m，求合振动表达式。 x 2 0.04 cos(120t )m ，
1 2 1 E kA m 2 A2 7.10 104 J 2 2
(2) 不变
第四章习题解答
4-12. 已知40.0N的拉力能使竖直悬挂的弹簧伸长0.25m，试问：（1 ）在弹簧下端挂多大质量的物体时，才能使其周期为1.0s？（2）如 果该弹簧振子的振动周期为1.0s，振幅为0.05m。t=0时，这个物体 正通过平衡位置，并向上运动。试问：t=0.35s时，物体的位移和运 动方向。（3）当该物体运动到平衡位置下方0.03m处时，弹簧对该 物体的作用力大小和方向。 F k 40 解： 160 N/m m 2 2 4.05 k g (1) k 2π x π π (2) cos 0，v0 0 (向上 ) 2 π x 0.050cos(2πt ) m 2 当t 0.35 s时， x 0.050 cos 1.2π 0.04045 m
mg F ma (4) 由受力图得： F mg ma 40 5 35 N 向上
第四章习题解答
4-14. 如图所示，劲度系数为k的轻弹簧，系一质量为m的物体在 水平面上作振幅为A的简谐运动。有一质量为 的黏土，从高度为h 处自由下落。试讨论以下两种情况振动系统的振动周期和振幅的变 化：（1）黏土正好在物体通过平衡位置时落在物体之上；（2）黏 土正好在物体位于最大位移时落在物体之上。
1 π cos ，v0 0 2 3 π π y 0.10cos(250πt x )m 10 3
0.1 0
P
100
x/m
5π (2) x 5.0 m代入： y 0.10cos(250πt ) m 6 5π vy 25π sin( 250πt ) m /s 6 t 0 s代 入 ： vy 12.5π m/s 1 5π cos ， v 0 (3) 正确。 P P P 2 3 10 40 x ( P O ) m π 3
A 0.5 cm
π 3
(2)
π v 4π sin(8πt ) 2 3π cm/s 3
π a 32π 2 cos(8πt ) 16π 2 cm/s2 3
(3)
k m 2 3.2 2 N/m
第四章习题解答
4-4. 已知弹簧振子的振动曲线如图。试求：（1）图中所标 ABCDE各点的相位，并画出旋转矢量图；（2）振动方程的表 达式。