追赶法
微分方程数值解追赶法
微分方程数值解追赶法追赶法，也称为三对角矩阵算法，是一种用于求解线性微分方程的数值方法。
这种方法主要基于矩阵分解和迭代的思想，能够有效地解决微分方程的数值求解问题。
在微分方程的数值解法中，追赶法通常用于求解形如 (y' = f(x, y)) 的常微分方程。
其基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后通过迭代的方式逐步逼近微分方程的解。
具体来说，追赶法的步骤如下：矩阵分解：首先，将微分方程 (y' = f(x, y)) 转化为差分方程的形式。
然后，将差分方程中的系数矩阵进行分解，将其分解为一个下三角矩阵 (L)、一个对角矩阵 (D) 和一个上三角矩阵 (U)。
这样，差分方程可以转化为(D^{-1}Lx = D^{-1}b) 的形式。
迭代求解：接下来，使用迭代法求解 (D^{-1}Lx = D^{-1}b)。
通常，可以选择Gauss-Seidel迭代法或者SOR（Successive Over-Relaxation）迭代法等。
在每次迭代中，先求解下三角矩阵 (L) 的部分，然后求解对角矩阵(D) 的部分，最后求解上三角矩阵 (U) 的部分。
通过不断迭代，逐步逼近差分方程的解。
收敛性判断：在迭代求解的过程中，需要判断迭代的解是否收敛。
通常，可以通过比较相邻两次迭代的解的差值来判断是否收敛。
当差值小于某个预设的阈值时，认为迭代收敛。
解的输出：当迭代收敛后，可以得到微分方程的数值解。
此时，可以将解输出到控制台或者保存到文件中。
追赶法的优点在于其算法简单、易于实现，并且对于大规模的微分方程求解问题具有较高的计算效率和精度。
然而，追赶法也存在一些局限性，例如对于某些特殊类型的微分方程可能不适用，需要进行特殊处理。
追赶法
追赶法/平方根法 例2.4.1 设4阶方程组AX=B 为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------121653342231124321x x x x这就是一个三对角方程组，既系数矩阵除了对角线的“三斜线”以外的元素均为0。
用追赶法求解三对角方程组的一种做法是把系数矩阵A 写成下列形式的LU 分解（这里采用Doolittle 分解，类似地也可以采用Crout 分解）：()1.4.2321111153342231124321432⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------u u u u l l l 即L 为单位上三角阵，两斜行，主对角线元素为1，其下方的斜行元素特定；U 为上三角阵，也是两斜行，主对角线元素特定，其上方斜行的元素与A 对应的斜行元素相同（直接验算可知道）。
利用矩阵乘法规则，按顺序依次考虑A 的11a ->21a ->22a ->32a ->33a ->43a ->44a ，并对比（2.4.1）式两端可得2=1u → 1u =2 -1=12u l → 2l =-1/1u =-1/23=-2l +2u →2u =3+2l =5/2-2=23u l → 3l =-2/2u =-4/5 4=-23l +3u → 3u =4+23l =12/5-3=34u l →4l =-3/3u =-5/45=-34l +4u 4u =5+3⨯(-5/4)=5/4即得分解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4/535/1222/51214/515/412/115334223112于是用前推过程求解下三角方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---121614/515/412/114321y y y y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+-==+==2/54/515/65/4242/1163423121y y y y y y y再用回代过程求解上三角方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---2/55/6464/535/1222/5124321x x x x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+==+===52/)6(4)2/5/()24(3)5/12/()35/6(2)4/5/()2/5(2132434x x x x x x x 即的方程组的解()T x 2,3,4,5=.从实例看到，三对角方程组的追赶法是三角分解发的一种特殊应用，因此，一般地，如果对三角矩阵n n R A ⨯∈非奇异，其顺序主子式)1,...,2,1(0-=≠∆n i i ，则解三对角方程组Ax=d:()2.4.2...............12112111122211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----n n n n n nn n n d d d d x x x x b a c b a c b a c b 的追赶法可描述如下：令A=LU ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----n n n nn nn n n u c u c u c u l l l b a c b a c b a c b 1122113211122211......1 (1)11.........利用矩阵乘法规则，可求L 和U 的计算公式：⎩⎨⎧=-===--)),...3,2((/1111n i c l b u u a l b u i i i i i i i （2.4.3）于是，求解LY=D 得⎩⎨⎧=-==-)),...3,2(111n i y l d y d y i i i i （2.4.4）再求解UX=Y ，得三对方程组的解⎩⎨⎧=-==+)),...3,2(/)(/1n i u x c y x u y x i i i i i n n n （2.4.5）上述3个公式便组成解三角方程组的追赶法，国外称Thomas 算法。
用追赶法解方程组步骤
用追赶法解方程组步骤方程组是数学中常见的问题之一，解方程组的方法有很多种，其中一种常用的方法是追赶法。
下面我们来详细介绍用追赶法解方程组的步骤。
步骤一：给定方程组我们需要给定一个方程组。
方程组可以由多个方程组成，每个方程中包含多个未知数和常数项。
我们的目标是求解出方程组中的未知数。
步骤二：将方程组转换为矩阵形式为了方便计算，我们将方程组转换为矩阵形式。
即将每个方程的未知数和常数项放在一个矩阵中，方程组的系数矩阵和常数矩阵分别用A和B表示。
步骤三：进行初等行变换接下来，我们需要进行初等行变换。
初等行变换包括交换两行、用非零常数乘以某一行、将某一行的倍数加到另一行上。
通过初等行变换，我们可以将方程组转化为一个三角矩阵或者行最简形。
步骤四：回代求解在经过初等行变换后，我们得到了一个三角矩阵或者行最简形。
接下来，我们可以通过回代的方式求解出未知数的值。
回代的过程就是从最后一行开始，依次代入求解出上一行的未知数，直到求解出所有的未知数。
步骤五：检验解的正确性在求解出未知数的值后，我们需要检验解的正确性。
即将求解出的未知数代入原方程组中，检查等式是否成立。
如果方程组中的每个等式都成立，则我们得到了方程组的解。
追赶法是一种有效的求解方程组的方法，它可以通过化简方程组的形式，将复杂的计算转化为简单的计算，从而节省时间和精力。
通过追赶法，我们可以快速求解出方程组中的未知数，并检验解的正确性。
在实际应用中，追赶法广泛应用于线性方程组的求解。
线性方程组是一种常见的方程组，它包含线性关系，可以用来描述很多实际问题，如电路分析、力学问题等。
追赶法的优势在于其简单易行、计算速度快的特点，使得它成为解决线性方程组的常用方法之一。
总结起来，用追赶法解方程组的步骤包括给定方程组、将方程组转换为矩阵形式、进行初等行变换、回代求解和检验解的正确性。
通过这一系列步骤，我们可以快速求解出方程组中的未知数，并验证解的正确性。
追赶法在线性方程组的求解中具有重要的应用价值，它不仅能够提高计算效率，还能够简化计算过程，使得解方程组变得更加简单和直观。
追赶法(Thomas算法)
二、解三对角线性方程组的追赶法 定理1：满足引理1条件的三对角方阵A有如下形式的 唯一的克劳特分解。
p1 a2 A= pn
p2 a3 pn 1 an
1 q1 1 q2 =PQ 1 qn 1 1
其中
p1 = b1 (i = 1,2,, n 1) qi = ci pi p = b a q (i = 2,3,, n ) i i i 1 i
解三对角线方程组Ax = f可化为求解两个三角形 方程组
Py = f
Qx = y
(1) 解 Py = f
p1 a2 ( P, f ) = p2 a3 pn 1 an f1 f2 f3 pn f n
得
{
y1 = f1 / p1
yi = ( f i ai yi 1 ) / piຫໍສະໝຸດ (i = 2,3,, n )
( 2) 解 Qx = y
1 q1 1 q2 1 qn 1 1
x1 y1 x2 = y2 x y n n
得
xn = y n
xi = yi qi xi +1
i = n 1 , , 2 ,1
作业： P50 习题11
§2-4
追赶法(Thomas算法 算法) 追赶法 算法
一、对角占优矩阵
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii |> ∑|aij |
j =1 j ≠i ≠i
n
i = 1 , 2 , , n
则称A为严格对角占优矩阵.
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii | ∑|aij | ≥
j =1 j ≠i
n
i = 1 , 2 , , n
则称A为弱对角占优矩阵.
matlab追赶法解101阶三对角方程组
在探讨MATLAB追赶法解101阶三对角方程组之前，我们首先需要了解什么是追赶法和什么是三对角方程组。
追赶法又称托马斯算法，是一种用于求解带状矩阵（即只有主对角线和两条相邻的对角线上有非零元素的矩阵）的线性方程组的方法。
而三对角矩阵就是只有主对角线和两条相邻的对角线上有非零元素的矩阵。
在实际应用中，求解带状矩阵的线性方程组是非常常见的，特别是在数值计算和科学工程领域。
现在，让我们深入探讨MATLAB追赶法解101阶三对角方程组的方法和具体步骤。
一、MATLAB追赶法解101阶三对角方程组1. 概念介绍101阶三对角方程组是一个非常大的线性方程组，通常使用传统的高斯消元法来求解会耗费大量的时间和计算资源。
而MATLAB追赶法通过利用三对角矩阵的特殊性质，可以有效地简化计算过程，并且节省大量的内存和计算资源。
2. 追赶法步骤（1）将原方程组化为追赶法所需的形式；（2）利用追赶法求解三对角线性方程组。
二、追赶法求解101阶三对角方程组的实现过程1. 将原方程组化为追赶法所需的形式对于101阶三对角方程组，我们首先需要将其化为追赶法所需的形式。
这个过程涉及到选取合适的追赶元和追赶子以及对原方程组的变形，将其化为追赶法能够直接处理的形式。
2. 利用追赶法求解线性方程组一旦将原方程组化为追赶法所需的形式，我们就可以利用追赶法对其进行求解。
追赶法的核心是通过追赶子的迭代计算，逐步求得线性方程组的解。
在MATLAB中，可以使用内置的追赶法求解函数，也可以编写自定义的追赶法算法来实现对101阶三对角方程组的求解。
三、个人观点和理解在实际工程和科学计算中，追赶法是一种非常有效的求解带状矩阵线性方程组的方法。
对于大规模的三对角方程组，特别是高阶的情况，传统的直接求解方法往往会遇到内存和计算资源的限制，而追赶法能够通过精巧的迭代计算，在保证解的精度的显著提高计算效率。
在MATLAB中，通过调用内置的追赶法函数，可以快速地求解大规模的三对角方程组，极大地方便了工程实践中的数值计算工作。
matlab追赶法
Matlab追赶法1. 简介追赶法是一种求解特殊线性方程组的数值计算方法。
在Matlab中，我们可以利用追赶法求解带有追赶矩阵的线性方程组，该方法在某些情况下比直接使用高斯消元法更加高效。
2. 追赶法原理追赶法是基于矩阵的三对角性质进行求解的。
三对角矩阵是指除主对角线外，只有上对角线和下对角线上存在非零元素的矩阵。
对于一个n阶的三对角矩阵A，我们有以下形式的线性方程组：A * x = b其中，A是一个n阶的三对角矩阵，x是未知向量，b是已知向量。
3. 算法步骤追赶法的求解过程可以分为以下步骤：3.1. 利用追赶法将矩阵化为上三角矩阵追赶法的第一步是将三对角矩阵A转化为上三角矩阵U。
这可以通过以下迭代公式实现：u[i] = a[i] (i = 1)u[i] = a[i] - c[i-1]*b[i-1]/u[i-1] (i = 2, 3, ..., n-1)3.2. 求解中间向量利用上一步得到的上三角矩阵U，我们可以通过以下迭代公式求解中间向量y：y[i] = b[i] - c[i-1]*y[i-1]/u[i-1] (i = 2, 3, ..., n)3.3. 求解未知向量最后一步是通过回代求解未知向量x。
根据回代公式，我们可以得到：x[n] = y[n]/u[n]x[i] = (y[i] - b[i]*x[i+1])/u[i] (i = n-1, n-2, ..., 1)4. Matlab代码示例以下是使用Matlab实现追赶法的示例代码：function x = tridiag_solver(a, b, c, d)n = length(d);u = zeros(n, 1);y = zeros(n, 1);x = zeros(n, 1);u(1) = a(1);for i = 2:nu(i) = a(i) - c(i-1)*b(i-1)/u(i-1);endy(1) = d(1);for i = 2:ny(i) = d(i) - c(i-1)*y(i-1)/u(i-1);endx(n) = y(n)/u(n);for i = n-1:-1:1x(i) = (y(i) - b(i)*x(i+1))/u(i);endend5. 总结追赶法是一种求解特殊线性方程组的有效方法，特别适用于三对角矩阵。
追赶法
追赶法（续）
定理：设三对角方程组系数矩阵满足下列条件： b1 c1 0 bi ai ci b a 0 n n 则它可分解为 1 u1 c1 l 1 u c 2 2 2 A LU l3 1 cn 1 ln 1 un 其中ci (i 1, 2, , n 1)为已给出的，且分解是唯一的
追赶法
在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法解常微分方 程边值问题，常常会遇到求解以下形式的方程组 b1 c1 x1 d1 a b c x d 2 2 2 2 2 a b c i i i xi di 简记 Ax d . an 1 bn 1 cn 1 xn 1 d n 1 x d a b n n n n 此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线 上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组。
2
ai ci 0(i 2,3, , n 1)
追赶法的计算公式
u1 b1 A LU 分解公式： li ai / ui 1 (i 2,3, , m) u b c l i i i 1 i y1 d1 解Ly d 得： yk d k lk yk 1 (k 2,3, , n) xn yn / un 再解Ux y得: xk ( yk ck xk 1 ) / uk (k n 1, n 2, ,1) 追赶法的基本思想与Gause消去法及三角分解法相同,只 是由于系数中出现了大量的零,可使计算公式简化,减少了计 算量。可证,当系数矩阵为严格对角占优时,此方法具有良好的 数值稳定性。解过程就是将系数矩阵
追赶法求解三对角方程组
追赶法求解三对角方程组追赶法，这个名字听起来就像是一种竞赛，其实它是一种解决三对角方程组的好办法，简单得让人想笑。
想象一下，你在一个热闹的市场，身边是熙熙攘攘的人群，突然你的朋友向你喊：“嘿，快来帮我算这个方程组！”你心里想，什么方程组啊，我可不想被这复杂的数学问题给吓倒。
别担心，追赶法就像你身边的超级英雄，轻松搞定这些棘手的问题。
三对角方程组的形状其实就像个台阶，每一层都有自己的高度。
我们通常会遇到的就是那种对角线上的元素大于零，旁边的元素都比较小，这样一来，整个方程组就像是在给你发出信号：“来吧，来解决我！”在这个市场里，你得学会怎么“追赶”那些神秘的数。
追赶法的核心就是把复杂的问题变得简单，想想如果你能把一个巨大的蛋糕切成小块，那你就能轻松吃掉它。
咳咳，数学也是这样！你得确定你的三对角矩阵。
这个矩阵就像是你的地图，告诉你哪里有高地，哪里有低洼。
然后，你需要开始你的追赶之旅，逐步解决每一个未知数。
听上去是不是有点像探险？这就对了！在这个过程中，你需要运用一些聪明的小技巧，比如把当前的未知数用前一个已知数来表达，仿佛在追赶一个流动的目标。
哇，数学原来可以这么有趣，仿佛在和未知数玩捉迷藏。
我们就来谈谈如何进行具体的计算。
假设你有一个三对角矩阵，分为主对角线和两条副对角线。
你得把这个矩阵转化成一个更易处理的形式。
就像你把一堆衣服整理成一个个小堆，清晰明了。
通过一些简单的运算，你可以得到一个新的方程组。
这个时候，你会发现，原本复杂的问题似乎在慢慢迎刃而解，简直就像是阳光透过云层。
然后，进入最终的“追赶”阶段。
你得逐步代入已知的值，像是在追逐那只一直跑的兔子，直到抓到为止。
这一步可能需要一些耐心，但你可以想象自己正在追逐一场美妙的冒险，哪怕有点小曲折也没关系。
在这个过程中，你会体会到一种成就感，仿佛自己是数学界的超级英雄，成功解出了一个又一个的未知数。
好啦，最后我们来总结一下追赶法的魅力。
它不仅让复杂的三对角方程组变得简单，还让整个过程充满乐趣。
chase追赶法(算法)
信科08—1 0811620106 黄席路上机报告实践——chase追赶法1算法：设Ax=b，其中A∈R n∗n，b∈R n，未知x∈R n，记为a(1)c(1)⋱b(2)⋱c(n−1)⋱b(n)a(n)x(1)⋮x(n)=d(1)⋮d(n).分解：a(1)c(1)⋱b(2)⋱c(n−1)⋱b(n)a(n)doolittle=1⋱α(2)⋱⋱α(n)1β(1)c(1)⋱⋱c(n−1)⋱β(n)比较两边系数，得步骤Ⅰ：计算系数公式β(1)= α(1).for i = 2,3,…,nα(i)=b(i)/β(i−1)β(i)=a(i)-α(i)*c(i)步骤Ⅱ：①解Ly=d即1⋱α(2)⋱⋱α(n)1y(1)⋮y(n)=d(1)⋮d(n)y(1)=d(1). for i = 2,3,…,ny(i)=d(i)-α(i)*y(i−1)②解Ux=y即β(1)c(1)⋱⋱c(n−1)⋱β(n)x(1)⋮x(n)=y(1)⋮y(n)x(n)=y(n)/β(nfor i = 2,3,…,nx(i)=y i−c i∗x(n+1)/β(i)2程序：function chase(A,f)L=zeros(size(A));U=eye(size(A));L(1,1)=A(1,1);U(1,2)=A(1,2)/A(1,1);n=length(A(:,1));for i=2:n-1U(i,i+1)=A(i,i+1)/(A(i,i)-A(i,i-1)*U(i-1,i));endfor i=2:nL(i,i-1)=A(i,i-1);endfor i=2:n-1L(i,i)=A(i,i+1)/U(i,i+1);endL(n,n)=A(n,n)-L(n,n-1)*U(n-1,n);Y=zeros(size(f));Y(1)=f(1)/A(1,1);for i=2:nY(i)=(f(i)-A(i,i-1)*Y(i-1))/(A(i,i)-A(i,i-1)*U(i-1,i));endX=zeros(size(f));X(n)=Y(n);for i=n-1:-1:1X(i)=Y(i)-U(i,i+1)*X(i+1);enddisp(L);disp(U);disp(Y);disp(X);程序运行及结果：举例如下：>> A=[2 7 0;3 2 9;0 4 5]；>> f=[5 6 7]；>> chase(A,f)；2.0000 0 03.0000 -8.5000 00 4.0000 9.23531.0000 3.5000 00 1.0000 -1.05880 0 1.00002.5000 0.1765 0.6815-0.6433 0.8981 0.6815上机心得：通过对追赶法的原理分析，编写出Matlab程序实现了对三对角方程组的求解。
Ch3.2.3 追赶法
1 b1 （ 1 ） ， c b 1 1 1
解（7.1）的追赶法计算公式 1 r （1）分解计算公式( A LU)： 2 2 1 c1 b1 a ai i i )) , ( i 2, , n 1) i ri i 11 i ci (bii （2）求解Ly f 逆推公式
三次样条插值问题中得到的三转弯方程组(8.9)、 (8.10)、(8.11)及三弯矩方程组(8.19)或(8.20) 三对角线 方程组
用差分法解二阶线性常微分方程边值问题， 解法：追赶法 若用三点插值格式也得到三对角线方程组 本节介绍该类方程组中的特例及该种方程组的解法：追赶法。 优点： 1.计算量小（仅5n-4次乘除法运算）。 2.方法简单，存贮量小。 3.数值稳定（对舍入误差来说）。
LU
1 b1 c1 1 a b c r 2 2 2 2 2 a b c r aii bii cii rii i i an bn rn n n a l u 由矩阵乘法 ij ik kj ， 得:
b3 a 4
c3 b4
b1 c1 x1 f 1 x3 f 3 x f 与 a b x f c x 。 2 3 2 2 2 2 4 4
§7 解三对交线方程组的追赶法
k 1
1 1 2 1 i2 11 ii 11 i 1 i 1 1 n 1 1
1 b1 ， (1) b1 1 ，c1 1 1 , ( 1 c1 1 ) 1 c1 b1
用追赶法求解三对角方程组
用追赶法求解三对角方程组1. 三对角方程组的背景大家好，今天咱们来聊聊一个有点学术味儿的话题——三对角方程组。
不过别担心，我会尽量让这件事情变得轻松有趣，就像跟朋友聊天一样。
三对角方程组呢，其实就是那些系数在对角线附近的线性方程组，听起来是不是有点复杂？别急，咱们慢慢来，打个比方，它就像是一个田字格，只在主要的对角线上有数字，其他地方都是零。
哎，生活中有很多时候我们会遇到这样的方程，比如在物理、工程或者计算机科学里。
这时候，咱们就得想办法求解它们。
2. 追赶法的简介2.1 追赶法是什么好啦，接下来咱们来介绍一下追赶法。
这法子听上去是不是有点像小时候玩捉迷藏的感觉？其实它就是一种巧妙的迭代算法，专门用来解决那些三对角的线性方程组。
为什么叫追赶法呢？因为它能快速“追赶”到正确的解，就像小兔子在草地上跑得飞快一样。
它的基本思路就是把这个三对角方程组转化为一个更简单的形式，从而一步一步找到答案。
2.2 为什么用追赶法那为什么不直接用其他的方法呢？哦，朋友们，真相是，追赶法在处理这类方程的时候特别高效，速度快得像闪电！想象一下，如果你在一场马拉松里，你会选择走路还是飞奔？当然是飞奔啦！同样的道理，追赶法能节省大量的计算资源和时间，让我们轻松愉快地拿到想要的解。
3. 追赶法的步骤3.1 初始准备咱们要开始追赶了，首先得准备一下。
你需要把方程组写成标准的形式，通常我们可以把它表示成一个矩阵。
这样一来，咱们就能更清晰地看到那些三角形的结构。
接着，得设定好初始条件，这就好比你出发前检查好背包里有没有水、食物和地图。
没有这些东西，你可不敢贸然出门啊！3.2 逐步追赶准备好之后，追赶法就开始工作了。
第一步，咱们需要对三角形的每一行进行“消元”，也就是让下面的元素逐渐变为零。
听起来是不是有点复杂？其实就像在厨房里切菜，先把最上面的部分处理掉，然后逐步往下进行。
一步一步来，绝对不能急，这样才能确保每一刀都精准无误。
接着，咱们要开始反向代入，也就是从最后一行开始，逐行算出未知数。
追赶法_上机实验报告
一、实验目的1. 理解追赶法的原理及其在数值计算中的应用。
2. 掌握追赶法的编程实现，并能够运用追赶法求解线性方程组。
3. 通过实验，加深对追赶法计算过程的理解，提高数值计算能力。
二、实验设备、仪器及材料1. 计算机一台，安装有C/C++编译环境。
2. 需要编写的程序代码。
3. 实验指导书。
三、实验内容3.1 实验方案设计与选择本次实验选择追赶法（亦称对称高斯消去法）求解三对角线性方程组。
追赶法是一种高效且稳定的算法，特别适用于三对角线性方程组的求解。
3.2 实验原理及实验步骤原理：追赶法是一种直接方法，用于求解三对角线性方程组：\[ a_{11}x_1 + b_{11}x_2 + c_{11}x_3 = d_1 \]\[ a_{21}x_2 + b_{21}x_3 + c_{21}x_4 = d_2 \]\[ a_{31}x_3 + b_{31}x_4 + c_{31}x_5 = d_3 \]\[ \vdots \]\[ a_{n-1,1}x_{n-1} + b_{n-1,1}x_n + c_{n-1,1}x_{n+1} = d_{n-1} \]\[ a_{n1}x_n + b_{n1}x_{n+1} + c_{n1}x_{n+2} = d_n \]追赶法的基本思想是，通过迭代计算，逐步消去方程组中的未知数，直到求解出所有未知数的值。
步骤：1. 初始化系数矩阵和常数项。
2. 迭代计算，逐步消去方程组中的未知数。
3. 输出计算结果。
3.3 实验记录核心代码：```c#include <stdio.h>#include <math.h>#define N 5 // 线性方程组的未知数个数void追赶法(double a[N][N+1], double x[N], double b[N]) { double m[N], n[N];m[0] = b[0] / a[0][0];x[0] = m[0];for (int i = 1; i < N; i++) {n[i] = b[i] - a[i][i-1] m[i-1];m[i] = n[i] / a[i][i];x[i] = m[i] - a[i][i+1] m[i+1];}}int main() {double a[N][N+1] = {{2, 1, -1, 0, 0},{-1, 2, 1, -1, 0},{0, -1, 2, 1, -1},{0, 0, -1, 2, 1},{0, 0, 0, -1, 2}};double x[N], b[N] = {1, 2, 3, 4, 5};追赶法(a, x, b);printf("解为：\n");for (int i = 0; i < N; i++) {printf("x[%d] = %.2f\n", i, x[i]);}return 0;}```调试过程：1. 编译程序，确保没有语法错误。
追赶法
§2 解三对角方程组的追赶法 在实际问题中，经常遇到以下形式的方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+-------+-nn n n n n n n n n n n k k k k k k k d x b x a d x c x b x a d x c x b x a d x c x b x a d x c x b 111112111232221212111 （3.12）这种方程组的系数矩阵称为三对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---n nn n n k k k b a c b a c b a c b a c b A 11122211以下针对这种方程组的特点提供一种简便有效的算法—追赶法。
追赶法实际上是高斯消去法的一种简化形式，它同样分消元与回代两个过程。
先将（3.12）第一个方程中x 1的系数化为1112111b d x b c x =+记 111111b d y b c r == （3.13）有 1211y x r x =+注意到剩下的方程中，实际上只有第二个方程中含有变量x 1，因此消元手续可以简化。
利用（3.13）可将第二个方程化为2312y x r x =+这样一步一步地顺序加工（3.12）的每个方程，设第k – 1个方程已经变成111---=+k k k k y x r x（3.14）再利用（3.14）从第k 个方程中消去x k -1，得：k k k k k k k k k a y d x c x a r b 111)(-+--=+-同除()k k k a r b 1--，得n k a r b a y d x a r b c x kk k k k k k kk k kk ,,3,21111 =--=-+--+-记kk k k k k k kk k kk a r b a y d y a r b c r 111-----=-=则有 k k k k y x r x =++1 这样做n – 1步以后，便得到：111---=+n n n n y x r x将上式与（3.12）中第11个方程联立，即可解出 x n = y n 这里nn n n n n n a r b a y d y 11----=于是，通过消元过程，所给方程组（3.12）可归结为以下更为简单的形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=++nn k k k k y x y x r x y x r x11211 （3.15）这种方程组称作二对角型方程组，其系数矩阵中的非零元素集中分步在主对角线和一条次主对角线上⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111121n k r r r r 对加工得到的方程组（3.15）自下而上逐步回代，即可依次求出x n ，x n -1，…，x 1，计算公式为：⎩⎨⎧--=-==+1,,2,11n n k x r y x y x k k k k n n （3.16）上述算法就是追赶法，它的消元过程与回代过程分别称作“追”过程与“赶”过程。
lu分解追赶法
lu分解追赶法我们先来了解一下什么是"lu分解追赶法"。
它是一种用于求解线性方程组的数值计算方法。
通常我们会遇到类似于Ax=b的线性方程组，其中A是一个n×n的矩阵，x和b分别是n维向量。
而lu分解追赶法就是将矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU，然后通过追赶法求解这个分解后的方程组。
那么，如何进行lu分解呢？首先，我们需要将矩阵A进行行变换，使得其主元（即对角线上的元素）都不为0。
然后，我们可以通过高斯消元法来将矩阵A转化为一个上三角矩阵U，同时记录下所做的行变换操作。
接着，我们就可以通过这些行变换操作来构建下三角矩阵L，使得A=LU成立。
接下来，我们来看一下如何使用追赶法求解分解后的方程组。
假设我们已经得到了LU分解，即A=LU。
我们可以首先解Ly=b，得到向量y，然后再解Ux=y，得到我们想要的解x。
在解Ly=b的过程中，我们可以使用前向追赶法，而在解Ux=y的过程中，我们可以使用后向追赶法。
通过这样的追赶法，我们可以高效地求解出线性方程组的解。
那么，lu分解追赶法有什么应用呢？它在科学计算领域有着广泛的应用。
例如，在工程领域中，我们经常需要求解大规模的线性方程组，而使用直接求解方法的复杂度很高。
而lu分解追赶法可以将复杂度降低到O(n^2)，大大提高了计算效率。
此外，lu分解追赶法还可以用于求解矩阵的逆、计算行列式等问题。
总结一下，lu分解追赶法是一种用于求解线性方程组的数值计算方法。
通过将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，然后使用追赶法求解分解后的方程组，我们可以高效地求解线性方程组的解。
lu分解追赶法在科学计算中具有重要的应用价值，可以大大提高计算效率。
用追赶法解方程组步骤
用追赶法解方程组步骤用追赶法解方程组的步骤追赶法是一种常用于解线性方程组的方法，也被称为托马斯算法。
它适用于系数矩阵为三对角矩阵的方程组，即只有主对角线和两个相邻的副对角线上有非零元素的方程组。
下面将介绍用追赶法解方程组的具体步骤。
1. 确定方程组的形式我们需要将线性方程组转化为矩阵形式，即AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数向量，B是常数向量。
在追赶法中，系数矩阵A 应为三对角矩阵。
2. 分解系数矩阵接下来，我们需要对系数矩阵A进行分解。
将系数矩阵A分解为L、D、U三个矩阵的乘积，即A=LDU分解。
其中L是下三角矩阵，D 是对角矩阵，U是上三角矩阵。
分解的目的是简化方程组的求解过程。
3. 前向追赶在前向追赶过程中，我们需要解决方程组LY=B，其中Y是辅助向量。
首先，我们可以从第一个方程开始，直接求解出Y的第一个分量。
然后，利用递推关系式，依次求解出Y的其他分量。
这个过程类似于追逐，从前往后一步步追赶。
4. 消元接下来，我们需要进行消元操作，将方程组转化为DUX=Y。
这个过程中，我们需要利用到前面分解得到的L、D和U矩阵。
通过将L矩阵与方程组相乘，可以消去X的前面分量。
然后，通过将D矩阵与方程组相乘，可以将X的分量消为1。
最后，通过将U矩阵与方程组相乘，可以将X的后面分量消去。
5. 后向追赶在后向追赶过程中，我们需要解决方程组UX=Y，即通过追逐的方式从后往前求解X的分量。
首先，我们可以从最后一个方程开始，直接求解出X的最后一个分量。
然后，利用递推关系式，依次求解出X的其他分量。
6. 检验解的正确性在求解完成后，我们需要检验解的正确性。
将求得的X代入原方程组中，验证方程组是否成立。
如果方程组成立，那么我们得到的解就是正确的。
总结：追赶法是一种有效解线性方程组的方法，它通过将系数矩阵分解为L、D、U三个矩阵，并利用前向追赶和后向追赶的方式求解未知数。
追赶法的优点是求解过程简单快速，适用于特定类型的方程组。
解三对交线方程组追赶法
算量小，但增加了计算机的内存，则两者各有利弊。这实际上也是 一种计算方法好坏的衡量标准：两者兼顾。
稳定性可由定理17反映：
定理17 设有三对角线方程组 Ax，f其中A满足（7.2）式，则
有 i1 ，因此用归纳法证明。(2)、（3）只要用三角不等式即可证 得。
于是，解 Ax 化f 为解两个方程组：
b3 a4
c3 b4
x3 x4
f4 f4
b1 a2
c1 b2
x1 x2
f1 f2
LU
(7.3)
rn
a n
1
n1
1
由矩阵乘法， 得:
（1）b 1 a 1 ,c 111 ,1 c 1 /b 1
（2）a i r i,b i i r i i 1 a i i 1 ,( i 2 , ,n )
b1
c1
0
0
A
0
b2
c1 b1
a2
a3
c2 b3
c3
b1
0
c1
0 0
A(2)
B
0
0
an bn
显然，deA t) (b1deBt)(
追赶法求热传导方程
追赶法求热传导方程追赶法（Crank-Nicolson法）是一种用于求解热传导方程的数值方法。
热传导方程描述了热能如何通过材料传播的过程，并在许多实际应用中具有重要的作用，例如材料的热学性能分析、建筑物的能耗计算等。
热传导方程可以写成如下形式：\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2u}{\partial x^2}其中 $u(x,t)$ 是待求的温度场，$\alpha$ 是热扩散系数。
我们将区域 $[0, L]$ 进行离散化，将时间区间 $[0, T]$ 进行离散化，得到一系列的离散点：x_i = i \Delta x, \quad i = 0, 1, 2, \ldots, N和t_k = k \Delta t, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, M其中 $\Delta x = \frac{L}{N}$ 和 $\Delta t = \frac{T}{M}$ 是空间和时间的离散步长。
我们使用中心差分近似来离散化热传导方程中的偏导数项。
假设$u_i^k \approx u(x_i, t_k)$ ，则可得到如下差分格式：\frac{u_i^{k+1} - u_i^k}{\Delta t} = \frac{\alpha}{2}\left(\frac{u_{i+1}^{k+1} - 2u_i^{k+1} + u_{i-1}^{k+1}}{\Delta x^2} + \frac{u_{i+1}^k - 2u_i^k + u_{i-1}^k}{\Delta x^2}\right)将上式整理后可得到追赶法的更新公式：-u_{i-1}^{k+1} + 2(1 + \lambda)u_i^{k+1} - u_{i+1}^{k+1} = u_{i-1}^k + 2(1 - \lambda)u_i^k + u_{i+1}^k其中 $\lambda = \frac{\alpha\Delta t}{2\Delta x^2}$。
解三对交线方程组的追赶法
VS
矩阵元素的微小变化
在三对交线方程组中，矩阵元素的微小变 化可能会导致解的巨大变化。这种敏感性 使得追赶法在面对某些问题时表现出数值 不稳定性。
提高数值稳定性和减小误差方法
选择合适的算法参数
在追赶法中，可以通过选择合适的算法参数来提高数值稳定性。例如，可以采用部分选主元策略来避免矩阵元素的微 小变化对解的影响。
优缺点分析
优点
追赶法具有计算量小、存储量低、易于编程实现等优点。对于大规模的三对角 线性方程组，追赶法通常比其他方法更加高效。
缺点
追赶法的适用范围有限，仅适用于系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组。此外， 当系数矩阵不满足对角占优等条件时，追赶法可能无法收敛或收敛速度较慢。
Part
02
三对交线方程组数学模型建立
问题描述与定义
三对交线方程组
在二维平面上，给定三对直线，每对直线相交于一个点，这三对交线构成的方程组称为三对交线方程 组。
求解目标
通过给定的三对交线信息，求解出这三对直线的交点坐标。
数学模型构建方法
直线方程表示
在二维平面上，一条直线可以用一般式方程 $Ax + By + C = 0$ 表示，其中 $A, B$ 不同时为0。
THANKS
感谢您的观看
回代过程
从最后一个方程开始，依次将已知量代入方程求 解，得到未知量的值。此过程称为回代过程。
关键算法实现技巧
存储优化
追赶法中的系数矩阵是三对角 的，因此可以采用一维数组进 行存储，节省存储空间。
消元技巧
在消元过程中，需要注意消元 顺序和消元系数的选择，以确 保消元过程的稳定性和效率。
回代技巧
在回代过程中，需要按照正 确的顺序将已知量代入方程 求解，避免计算错误。
追赶法解三对角方程组
追赶法解三对角方程组追赶法解三对角方程组，这个话题听起来可能有点复杂，但其实就像我们生活中的许多事情一样，慢慢来就好。
想象一下你在追一个小兔子，兔子在草地上跳来跳去，你得不断调整自己的步伐来追上它。
三对角方程组就是在数学世界里，跟兔子玩追逐游戏。
咱们一般能看到这种方程组，它们的特点就是在主对角线上有一堆数字，旁边的对角线上也有一些数值，但其它地方几乎是空空如也，就像你打麻将时，只留下了几张关键牌，剩下的都是一些废牌。
现在，追赶法就像是一个巧妙的游戏规则，帮助我们一步一步地找到答案。
想象一下，你正在和朋友们进行一场比赛，谁先找到那个隐秘的宝藏。
你得从第一个数开始，就像你起跑一样，注意，别一开始就猛冲。
我们得保持节奏，先一步一步来，找到第一个关键点，然后再往下走。
这个过程里，你可以把每一步都记下来，像是在记录比赛中的每个进展。
你想想，咱们在生活中也常常得这样做，设定目标，逐步达成，每一步都得仔细琢磨。
咱们得来点技巧。
追赶法的核心就是，把大问题分解成小问题，就像吃西瓜时，先切成小块再慢慢享受。
你可以设定一个起始值，这样在解决下一个未知数时，就能依赖上一个已知数，就像你依靠老朋友的支持一样。
不得不提，咱们在追逐的过程中，千万别心急，急了可就容易出错。
就像考试前的复习，细水长流，耐心点，结果自会水到渠成。
这个追赶法就像是打游戏，越玩越熟练。
一开始可能有些不知所措，后来你就会发现，哎呀，其实这没什么大不了的。
你可以通过逐步替换这些值，把复杂的方程组慢慢简化，就像逐步解锁一个个关卡，最终达到终点。
当你完成的时候，心里那种成就感，就像打通了所有关卡，获得了最终大奖，爽得不得了。
在实际应用中，三对角方程组其实也常常出现在工程、物理等等领域。
这就像是大厨在厨房里，调配各种材料做出一道美味佳肴，关键是每种材料的比例得掌握好。
若是调配失误，那可就大功告成后，变成了一锅糊糊。
所以，在应用追赶法时，要时刻保持清晰的思路，别让小问题影响大局。
追赶法(Thomas算法)
定理1：满足引理1条件的三对角方阵A有如下形式的 唯一的克劳特分解。
p1 a2 p2
1 q1
1 q2A Nhomakorabea
a3 pn1
an
pn
=PQ
1 qn1
1
其中
qpi1
b1 ci
pi
i 1,2,, n 1
得
xi yi qi xi1
i n 1,,2,1
作业：
P50 习题11
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yi fi ai yi1 / pi i 2,3,, n
(2) 解Qx y
1
q1 1
q2
1
qn1
1
x1 x2
y1 y2
xn yn
xn yn
pi
bi
aiqi1
i 2,3,, n
解三对角线方程组 Ax f可化为求解两个三角形 方程组
Py f Qx y
(1) 解Py f
p1
f1
a2 p2
f2
(P, f )
a3
f3
pn1 an
pn
f
n
得
y1 f1 / p1
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一、实验题目
用追赶法解线性三对角方程组：
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡322141141141124321x x x x 二、实验目的
1.熟悉掌握追赶法法的基本原理和基本方法。
2.学会用追赶法法解简单的方程组。
三、实验原理
（1）f Ly =，求y ；（2）y Ux =，求x ； 从而得到解三对角线方程组的追赶法公式。
1. 计算的递推公式：
111/b c =β
)/(1--=i i i i i a b c ββ
2. 解：f Ly =
111/b f y =
a a
b y a f y i i i i i i i )/()(11----=β
3. 解：y Ux =
n n y x =
1+-=i i i i x y x β
四、实验内容及结果
原始数据:a=[1,1,1];
b=[2,4,4,4];
c=[1,1,1];
d=[1,-2,2,-3];
追赶法解三对角方程组：
程序源代码
%machase.m
function x=machase(a,b,c,d)
%用途：追赶法解三对角方程组Ax=d
%格式：x= machase(a,b,c,d) a为次下对角线元素向量，b主对角元素
% 向量，c为次上对角线元素向量，d为右端向量，x返回解向量
n=length(a);
for k=2:n
b(k)=b(k)-a(k)/b(k-1)*c(k-1);
d(k)=d(k)-a(k)/b(k-1)*d(k-1);
end
x(n)=d(n)/b(n);
for k=n-1:-1:1
x(k)=(d(k)-c(k)*x(k+1))/b(k);
end
输入：a=[1,1,1];
b=[2,4,4,4];
c=[1,1,1];
d=[1,-2,2,-3];
machase(a,b,c,d)
结果：ans =
0.9615 -0.9231 0.7308
五、实验结果分析
追赶法为一种特殊的LU分解法。
追赶法是求解三对角矩阵的常用方法，但从整体编程角度分析，其程序编写较迭代法复杂，但通用性较好。
追赶法求解三对角矩阵不但节省存储单元，而且可以减少计算量。