离散数学期末复习题

p(qr) pqr
(pq)r (pq)r(pq)r
更容易看出前面的两个赋值分别是左边的成真赋值和 右边的成假赋值
用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) (2) (pq)(qp) (3) ((pq)(pq))r)
• 解 (1) q(pq)
•
q(pq) （蕴涵等值式）
•
q(pq) （德摩根律）
• 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值.
•
⑤, ⑥代入④ 并排序，得
•
(pq)r M0M2M4
（主合取范式）
4. 解实际问题
例9 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足 下述条件:(1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不 能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种 可能的选派方案?
000
1
1
001
1
1
010
0
1
011
1
1
100
1
1
101
1
1
110
0
0
111
1
1
• 结论: p(qr) (pq) r
(2) p(qr) 与 (pq) r
pqr
000 001 010 011 100 101 110 111
qr
•1 •1 •0 •1 •1 •1 •0 •1
p(qr)
•1 •1 •1 •1 •1 •1 •0 •1
(3) (pq) (pr) 非永真式的可满足式
p q r pq pr (pq) (pr)
000 1
1
001 1
1
010 1
1
011 1
1
100 0
0
101 0
1
110 1
0
111 1
1
1
•
1
•
1
•
1
•
1
•
0
•
0
•
1
•
•
判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
pqr
qr
p(qr)
1. 写出下列公式的真值表, 并求它们的成 真赋值和成假赋值:
(1) (pq) r
(2) (qp) qp
(3) (pq) q
(1) A = (pq) r
p q r p r (pq)
q
r
000 0 1
1
001 0 0
1
010 1 1
1
011 1 0
0
100 1 1
1
101 1 0
0
110 1 1
1
111 1 0
是成假赋值.
• 例5 求下列公式的析取范式与合取范式
•
(1) (pq)r
•
(2) (pq)r
• 解 (1) (pq)r
•
(pq)r （消去）
•
pqr （结合律）
• 最后结果既是析取范式(由3个简单合取式组成的析 取式)，又
• 是合取范式(由一个简单析取式组成的合取式)
(2) (pq)r (pq)r （消去第一个）
解 ：(1) A ( pq)q ( pq)q 0 矛盾式
•
(pqr)(pqr)
•
m6m7
②
•
r
•
(pp)(qq)r
(2) B p(pq) 1 m0m1m2m3 (3) C (pq)r (pq)r (pqr)(pqr)(pqr)
重言式
•
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
•
pr
•
p(qq)r
•
(pqr)(pqr)
• ⑴ p(qr) 与 (pq)r • ⑵ p(qr) 与 (pq)r
•
M0M2
⑤
• 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7
•
qr
•
(pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7
•
(pp)qr
•
(pqr)(pqr)
•
M0M4
⑥
•
(pq)r = m1m3 m4m5 m7
(pq)q
00 1
1
0
0
01 1
1
0
0
10 0
0
1
0
11 0
1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
3. 用真值表判断下面公式的类型
(1) pr(qp) (2) ((pq) (qp)) r (3) (pq) (pr)
解：(1) pr(qp) 矛盾式
pqr
qp
(qp)
000
1
0
001
1
0
•
p(qq) （交换律，结合律）
•
p0
（矛盾律）
• 0
（零律）
• 矛盾式
• (2) (pq)(qp) • (pq)(qp) （蕴涵等值式） • (pq)(pq) （交换律）
• 1 • 重言式
(3) ((pq)(pq))r)
(p(qq))r （分配律）
p1r
（排中律）
pr
（同一律）
可满足式，101和111是成真赋值，000和010等
•
m1m3m5m7
③
•
②, ③代入①并排序，得
(pqr)(pqr)(pqr)
m0m1m3 m5m7
非重言式的可满足式
•
(pq)r m1m3m5 m6m7 （主析取范式）
• 3. 判断两个公式是否等值
•
(pqຫໍສະໝຸດ Baidur
•
(pr)(qr) （合取范式） ④
• 例8 用主析取范式判以下每一组公式是否 等值
(pq)r （消去第二个）
(pq)r
（否定号内移——德摩根律) 析取范式
(pr)(qr) （对分配律） 合取范式
• 例6 (1) 求公式 A=(pq)r的主析取范式和主合取 范式
• 解 (pq)r
•
(pq)r
（析取范式） ①
•
(pq)
•
(pq)(rr)
例7 用主析取范式判断公式的类型:
(1) A (pq)q (2) B p(pq) (3) C (pq)r
0
成真赋值:000,001,010,100,110; 成假赋 值:011,101,111
(2) B＝(qp)qp
p q qp (qp)q (qp)q p
00 1
0
1
01 0
0
1
10 1
0
1
11 1
1
1
成真赋值:00,01,10,11; 无成假赋值
(3) C＝ (pq)q的真值表 p q p pq (pq)
010
0
1
011
0
1
100
1
0
101
1
0
110
1
0
111
1
0
pr(qp)
0 0 0 0 0 0 0 0
(2) ((pq) (qp)) r 永真式
pqr
000 001 010 011 100 101 110 111
pq
1 1 1 1 0 0 1 1
q 1p 1 1 1 0 0 1 1
((pq) (qp)) 1 r 1 1 1 1 1 1 1
pq 0 0 0 0 0 0 1 1
pq •1 •1 •1 •1 •0 •0 •1 •1
(pq)r 1 1 1 1 1 1 0 1
(pq)r •0 •1 •0 •1 •1 •1 •0 •1
• 结论: p(qr) 与 (pq) r 不等值
证明 p(qr) (pq)r • 证 ： p(qr) • p(qr) （蕴涵等值式，置换规
则）
• (pq)r （结合律，置换规则） • (pq)r （德摩根律，置换规则） • (pq)r （蕴涵等值式，置换规则）
证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值
证 ： 方法一 真值表法
方法1 观察法. 观察到000, 010是左边的成真赋 值，是右边的成假赋值
方法2 先用等值演算化简公式，然后再观察