第27章 相似三角形复习课1

A
O
D
画一画
1、 在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格 点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图4×4的 格纸中, △ABC是一个格点三角形
(1)在右图中,请你画一个格点三角
形,使它与△ABC相似(相似比不为1)
(2)在右图中,请你再画一个格
点三角形,使它与△ABC相似(相 似比不为1),但与图1中所画的 三角形大小不一样.
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离 之比等于位似比. 位似图形的对应点和位似中心在 同一条直线上, 3.位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，如果 位似变换是以原点为位似中 心，相似比为k，那么位似 图形对应点的坐标的比等于 k或－k.
1.找一找:
A D
E B N C
M
8.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O， B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐 （0，1.5）或（0，2/3） 标是__________________.
y
· P
O
· B
C
·
x
· A
9、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
A
B C
2,2 2,2 5
A
2B 5
2,2, 10
C
A
2
5
1
B
1
C
5, 10,5
A
2 5
B1 C
1 例1、如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 4
求证: AE⊥EF
证明:∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90° ∵E是BC中点，FC=
DE 1 CF 1 ∴ = AD 2 CE = 2 ∴ DE = CF AD CE
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A
25
E
∴△ADE∽△EFC
S ∴ S
ADE
∵DE∥BC
S ∴ S
36
B
F
C
=
EFC
AE2 EC2
=
25 36
∴△ADE∽△ABC
ADE EFC
∴
AE 5 = CE 6
25 = = 2 121 AC
AE2
AE 5 = ∴ AC 11
∵ S△ADE=25 ∴S
△ABC=121
1、如图，小明在打网球时，使球恰好能 打过网，而且落在离网5米的位置上， 求球拍击球的高度h.
A
P
2
1
B
∠ACP=∠B
C
或∠APC=∠ACB
或AP:AC=AC:AB
14、如图,点C,D在线段AB上, △PCD是等边三角形.
(1)当AC,CD,DB满足怎样关系时, △PCA∽△BDP.
(2)当△PCA∽ △BDP时,求∠APB的度数.
P
A
C
D
B
15、 如图D,E分别AB,AC是上的点, ∠AED=72o， ∠A=58o，∠B=50o, 那么△ADE和△ABC相似吗？ 若AE=2,AC=4,则BC是DE的 A 倍.
1. 成比例的数（线段）：
a c = 或a : b = c : d , 那么 a ,b, c , d 叫做四个数成比例。 若 b d
若 a、b、c、d 为四条线段 ，如果
a
b （或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段，简称比例线段.
=d
c
a∶b=c∶d
其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项， a、d 叫做比例外项， b、c 叫做比例内项，
6.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放 成如图所示的样子,假设图形中的所有点, 线都在同一平面内,试写出一对相似三角形 (不全等) △ADE、△BAE、△CDA都相似 .
A
1
B F
E D
C
G
7.如图，正方形ABCD的边长为8，E是 AB的中点，点M，N分别在BC，CD上， 1或4 且CM=2，则当CN=_________时， △CMN与△ADE相似。
12、在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边 向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以 4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经 几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
B
4cm/秒
Q
8
2cm/秒
A
P
16
C
13、如图点P是△ABC的AB边上的一点,要使 △APC∽△ACB,则需补上哪一个条件?
比例的性质：
=d b
a
c ad bc; =
练习:
1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d= 2、下列各组线段的长度成比例的是（ D） A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 D. 1 , ,2.5 ,6.5 , 4.5 2 , 2 , 4
6
C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4
4
A D 1 B 3 E 2 C
4.若如图所示，△ABC∽△ADB，那么下列关系成立的是 ( B ) A.∠ADB=∠ACB B.∠ADB=∠ABC C.∠CDB=∠CAB D.∠ABD=∠BDC
5.△ABC中，AC=6，BC=4，CA=9，△ABC∽△A′B′C′， △A′B′C′最短为12，则它的最长边的长度为( C ) A.16 B.18 C.27 D.24
点 ∠ACB=Rt∠ CD⊥AB
B
C A D
D B
E C
B
C
相似三角形的性质： 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例
2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高、
对应角平分线，对应中线的比都等于相似比
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似多边形的判定：对应角相等、对应边的比相等
定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形 叫做相似多边形. 相似多边形的性质：
(2)以正方形的边长等量过渡.
27 AE : CH = 16
练一练
18、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.
若S△AEF=6cm2,则S△CDF = S =____cm2 △ADF 18
D F A E B C
54
cm2
19、如图（６）， △ＡＢＣ中，ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ，
ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边 形ＦＢＣＧ=_________
（1）平行于三角形一边的直线截其 它两边(或两边的延长线)相交；（2） 两角对应相等；（3）两边对应成比 例且夹角相等；（4）三边对应成比 例； （5）一条斜边和一条直角边对 应成比例。
相似三角形基本图形的回顾：
A D B A D E B C E
E A B
D C
C
△ADE绕点A
E
旋转 A
D
点
重 移 合 到 A 与
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
8 5 或 △ABC相似,那么AF=________ 5 2
A E
.
D
C
F1 F2
C
B
A
B
10、
如图, 在直角梯形中, ∠BAD=∠D=∠ACB=90 。， 则 AC=______ 6
CD= 4, AB= 9,
11、如图, 已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点， 且PB=3，BF⊥BP. 试问在射线BF上是否存在一点E， 使以点B、E、C为顶点的三角形与△ABP相似?若存在, 请求出BE的长;若不存在,请说明理由. A P B Ｅ Ｅ C F D
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等. 相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比 等于相似比的平方.
1、 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的 连线相交于一点，这样的相似叫做位似,点O 叫做位似中心．
2、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或
缩小
3.如何作位似图形(放大).
E′ A B C D G F E
2、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在 某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某 一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?
定义：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似比：
相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。
ABC A’B’C’,如果BC=3,B’C’=1.5,那么 A’B’C’与 ∽
1 ABC的相似比为_________. 2
三角形相似的判定方法有哪几种? 预备定理
A D E E A D
(3) 若
a+b b
=
6 5
a
，
求
b，
a-b
b
1/5,-4/5
3 1 x y z x- y+z y = _____, = ______. 5 1 = = , 则 3 5 x+ y+z 2 3 4 2 x + y - 3z
11 x - 2 xy + 3 y 2已知， + y : 4 = y : 3, 则 x = _______ . 5 2 2 x +y
B
C
B
C
∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC
相似三角形判定定理1：三边对应成比例的两 个三角形相似. A D C E F
B
AB AC BC △ABC∽△DEF = = DE DF EF
相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等
的两个三角形相似. A D C E F
B
AB AC = DE DF A=D
△ABC∽△DEF
相似三角形判定定理3：两个角对应相等的两个三角 形相似 A D
B
C
E
F
A=D B=E
△ABC∽△DEF
相似三角形判定定理4：在直角三角形中，一条斜边 和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 A D
B
C
E
F
A=D B=E
△ABC∽△DEF
相似三角形的判定：
1 4
A
1
3
D
E
BC
B F
2
C
∵∠D=90° ∴∠1+ ∠3=90 ° ∴∠2+ ∠3=90° ∴ AE⊥EF
∴△ADE∽△ECF ∴∠1=∠2
例2、如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36.
求△ABC的面积.
解：∵DE∥BC，EF∥AB
∴∠A=∠CEF，∠AED=∠C
D
m n ,求 m 的值. 已知 3、 = n 6 5
解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：
m 6 n = 5 m n ,所以5m=6n 方法(2)因为 6 = 5 m 6 所以 n = 5
4、已知 (1) x：(x+2)=(2—x)：3，求x。 1或-4 x 1 (2)若 2x - 3y ， 求 。 y 7/3 = 2 x+ y
(1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有 _____对三角形相似. 3
(2) 如图2,已知:△ABC中, ∠ACB=900 ,CD⊥ AB于 4 D,DE⊥BC于E,则图中共有_____个三角形和△ABC 相似.
A
A
D E
D
B
F
C
如图(1)
C
E
如图(2)
B
3、如图，1 = 2 = 3，则图中 相似三角形的组数为 ____.
2 2
已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个 数，写出一个比例式。
6
6或2/3或1.5
2.比例中项：
当两个比例内项相等时， 即
a b (或 = c ， a：b=b：c)， b
那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.
即： b = ac
2
4 数2与8的比例中项是____.线段2cm与8cm的
4cm 比例中项是____.
E D B C
16、若△ ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=_______， 6
△ ACP与△ABC的相似比是_______，周长之比是 2 : 3
2 : 3 _______，面积之比是_______。 4 : 9 A A P
B C
5 3
C D B
11、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，
BC=3cm，当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似？
AF 1 CG 1 17、如图，在正方形ABCD中， = , = . AB 3 CB 4 求： EF : FG : GH ; AE : CH . 1 2
（3）请找出图中的相似三角形
D C G A F E B H
EF : FG : GH = 3 : 6 : 2
答案：１：３：５
20、已知梯形ABCD中， AD∥BC，对角线AC、BD
交于点O，若△AOD的面积为4cm2, △BOC的面积
25 为9cm2, 则梯形ABCD的面积为_________cm2 解: ∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB ∴OD:OB=2:3 B ∴S△AOD : S△AOB =2:3 ∴S△AOB =6cm2 ∴梯形ＡＢＣＤ的面积为25cm2 C S△AOD :S△COB =4:9
●
D′ B′ C′
A′ G′ B F′ C D
A G F E
●
P
P
G′
F′ A′
C′
B′
D′
E′
4.如何作位似图形(缩小).
5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.
O
P
1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线 都交于一点,对应边互相平行，那么这样的两 个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似 比. 2.位似图形有以下性质：