全等三角形辅助线专题

1、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AC＝AB＋BD，求证：∠B＝2∠C

证明：在AC上截取AE＝AB，连结DE

∵AD是∠BAC的角平分线

∴∠BAD＝∠EAD

在△BAD与△EAD中，有：

AB＝AE （已知）

∠BAD＝∠EAD （已证）

AD＝AD （公共边）

∴△BAD≌△EAD （SAS）

∴∠B＝∠AED （全等三角形对应角相等）

∵∠AED＝∠EDC＋∠C （三角形的外角等于不相邻的内角和）

∴∠B＝∠EDC＋∠C （等量代换）

∵△BAD≌△EAD （已证）

∴BD＝ED （全等三角形对应边相等）

∵AC＝AB＋BD （已知）

AB＝AE （已知）

BD＝ED （已证）

∴ED＝CE （等量代换）

∴∠C＝∠EDC （等边对等角）

∵∠B＝∠EDC＋∠C （已证）

∴∠B＝2∠C

2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB＞AC，试判断AB－AC与BD－CD

的大小并说明理由。

证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE

∵AD是∠CAB的角平分线

∴∠CAD＝∠EAD

在△CAD与△EAD中，有：

AC＝AE （已知）

∠CAD＝∠EAD （已证）

AD＝AD （公共边）

∴△CAD≌△EAD （SAS）

∴CD＝ED （全等三角形对应边相等）

∵AC＝AE （已知）

∴AB－AC＝AB－AE＝BE （等量代换）

∵BD－CD＝BD－DE＜BE （三角形两边之差少于第三边）

∴BD－CD＝AB－AC

3、如图，O为∠BAC内一点，且AB＝AC，OB＝OC，反向延长OB

交AC于D，反向延长OC交AB于E，求证：AD＝AE

证明方法一：连结BC

∵AB＝AC，OB=OC

∴∠ABC＝∠ACB，∠OBC＝∠OCB （等边对等角）

∴∠ABC－∠OBC＝∠ACB－∠OBC

∴∠ABD＝∠ACE

在△ABD与△ACE中，有：

∠ABD＝∠ACE （已证）

AB＝AC （已知）

∠A＝∠A （公共角）

∴△ABD≌△ACE （ASA）

∴AD＝AE （全等三角形对应边相等）

证明方法二：连结AO

在△AOB与△AOC中，有：

OB＝OC （已知）

AB＝AC （已知）

AO＝AO （公共边）

∴△AOB≌△AOC （SSS）

∴∠ABD＝∠ACE （全等三角形对应角相等）

在△ABD与△ACE中，有：

∠ABD＝∠ACE （已证）

AB＝AC （已知）

∠BAC＝∠CAB （公共角）

∴△ABD≌△ACE （ASA）

∴AD＝AE （全等三角形对应边相等）

4、在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点。请判断中线AD的取值范围。

解：延长AD到E，使AD＝ED

在△ABD与△ECD中，有：

BD＝CD （D是BC的中点）

∠ADB＝∠EDC （对顶角相等）

AD＝ED （已知）

∴△ABD≌△ECD （SAS）

∴CE＝AB＝6 （全等三角形对应边相等）

在△AEC中，

∵AD＝ED

∴AE＝2AD

∵AC＋CE＞AE＞AC－AE

∴8＋6＞2AD＞8－6

∴7＞AD＞1

5、如图，△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝BD，求证：CD⊥AD 证明：在AB上截取AE＝AC

∵AB＝2AC，∵AE＝AC

∴E为AB的中点

即DE是等腰△ADB底边上的中线

∴DE⊥AB （等腰三角形三线合一）

∴∠AED=90o

在△AED与△ACD中，有：

AE＝AC （已知）

∠EAD＝∠CAD （AD是∠BAC角平分线）

AD＝AD （公共边）

∴△AED≌△ACD （SAS）

∴∠AED＝∠ACD=90o（全等三角形对应边相等）

即CD⊥AC

6、如图，△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的角平分线，P是线段AD上任一点除A、

D外的任意一点。求证：AB－AC＞PB－PC

证明：在AB是截取AE＝AC

在△ACP与△AEP中，有：

AC＝AE （已知）

∠EAP＝∠CAP （已知AD是∠BAC角平分线）

AP＝AP （公共边）

∴△ACP≌△AEP （SAS）

∴PC＝PE （全等三角形对应边相等）

∵BE＞PB－PE （三角形两边差小于第三边）

∴BE＞PB－PC （等量代换）

∵BE＝AB－AE

AC＝AE

BE＞PB－PC

∴AB－AC＞PB－PC

7、如图，四边形ABCD中，AD＝CD，BC＞AB，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180o 证明：在BC是截取BE＝BA

在△ABD与△EBD中，有：

AB＝BE （已知）

∠ABD＝∠EBD （已知BD平分∠ABC）

BD＝BD （公共边）

∴△ABD≌△EBD （SAS）

∴AD＝ED，∠A＝∠BED （全等三角形对应边相等、对应角相等）

∵AD＝CD （已知）

∴ED＝CD （等量代换）

∴∠DEC＝∠C （等边对等角）

∵∠BED＋∠DEC＝∠BEC＝180o言之（B、E、C三点共线）

∠C＝∠DEC （已证）

∠A＝∠BED （已证）

∴∠A＋∠C＝180o （等量代换）