第11章稳恒磁场
11稳恒电流和稳恒磁场习题解答讲解
第十一章 稳恒电流和稳恒磁场一 选择题1. 边长为l 的正方形线圈中通有电流I ，此线圈在A 点（如图）产生的磁感应强度B 的大小为（ ）A. l I μπ420B. lIμπ20 C .lIμπ20 D. 0 解：设线圈四个端点为ABCD ，则AB 、AD 线段在A 点产生的磁感应强度为零，BC 、CD 在A 点产生的磁感应强度由)cos (cos π4210θθμ-=dIB ，可得 lIl IB BC π82)2πcos 4π(cosπ400μμ=-=，方向垂直纸面向里lI l I B CD π82)2πcos 4π(cos π400μμ=-=，方向垂直纸面向里合磁感应强度 lIB B B CD BC π420μ=+=所以选（A ）2. 如图所示，有两根载有相同电流的无限长直导线，分别通过x 1=1、x 2=3的点，且平行于y 轴，则磁感应强度B 等于零的地方是：( )A. x =2的直线上B. 在x >2的区域C. 在x <1的区域D. 不在x 、y 平面上 解：本题选（A ）3. 图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大？( )A. Ⅰ区域B. Ⅱ区域 C ．Ⅲ区域D ．Ⅳ区域E ．最大不止一个解：本题选（B ）选择题2图Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 选择题3图选择题1图4. 如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知：（ ）A. ∮L B ·d l =0，且环路上任意一点B =0B. ∮L B ·d l =0，且环路上任意一点B ≠0C. ∮L B ·d l ≠0，且环路上任意一点B ≠0D. ∮L B ·d l ≠0，且环路上任意一点B =常量解：本题选（B ）5. 无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流，设圆柱体内（r <R ）的磁感应强度为B i ，圆柱体外（r >R ）的磁感应强度为B e ，则有：（ ）A. B t 、B e 均与r 成正比B. B i 、B e 均与r 成反比C. B i 与r 成反比，B e 与r 成正比D. B i 与r 成正比，B e 与r 成反比解：导体横截面上的电流密度2πR IJ =，以圆柱体轴线为圆心，半径为r的同心圆作为安培环路，当r <R ，20ππ2r J r B i ⋅=⋅μ，20π2R IrB i μ=r <R ，I r B e ⋅=⋅0π2μ， rIB e π20μ=所以选（D ）6. 有三个质量相同的质点a 、b 、c ，带有等量的正电荷，它们从相同的高度自由下落，在下落过程中带电质点b 、c 分别进入如图所示的匀强电场与匀强磁场中，设它们落到同一水平面的动能分别为E a 、E b 、E c ，则（ ）A. E a <E b =E cB. E a =E b =E cC. E b >E a =E cD. E b >E c >E a解：由于洛伦兹力不做功，当它们落到同一水平面上时，对a 、c 只有重力做功， 则E a =E c ，在此过程中，对b 不仅有重力做功，电场力也要做正功，所以E b >E a =E c所以选（C ）7. 图为四个带电粒子在O 点沿相同方向垂直于磁力线射入均匀磁场后的偏转轨迹的照片，磁场方向垂直纸面向外，四个粒子的质量相等，电量大小也相等，则其中动能最大的带负电的粒子的轨迹是：( )A. OaB. ObC. Oc D . Od解：根据B F ⨯=v q ，从图示位置出发，带负选择题7图c dba B O• B× × × × × × Ea bc 选择题6图 选择题4图电粒子要向下偏转，所以只有Oc 、Od 满足条件，又带电粒子偏转半径Bqm R v=，22k 22qB m E R =∴，质量相同、带电量也相等的粒子，动能大的偏转半径大，所以选Oc 轨迹所以选（C ）8. 如图，一矩形样品，放在一均匀磁场中，当样品中的电流I 沿X 轴正向流过时，实验测得样品A 、A '两侧的电势差V A -V A '>0，设此样品的载流子带负电荷，则磁场方向为：（ ）A ． 沿X 轴正方向B ．沿X 轴负方向C ．沿Z 轴正方向D ．沿Z 轴负方向 解：本题选（C ）9. 长直电流I 2与圆形电流I 1共面，并与其一直径相重合如图（但两者间绝缘），设长直电流不动，则圆形电流将：（ ）A. 绕I 2旋转B. 向左运动C. 向右运动D. 向上运动E. 不动 解：圆形电流左半圆和右半圆受到长直电流安培力的方向均向右，所以圆形电流将向右运动所以选（C ）二 填空题1. 成直角的无限长直导线，流有电流I =10A ，在直角决定的平面内，距两段导线的距离都是a =20cm 处的磁感应强度B = 。
11-4 安培环路定理
是否回路 L 内无电流穿过？
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
讨论
安培环路定理只是说明了B矢量的环流与闭合路径 所围绕电流有关，并非说其中的磁感应强度只与所围 绕电流有关。磁场中任一点的磁感应强度是由激发这 磁场的全部电流所决定的，不管这些电流是否被所取 闭合回路所围绕。只不过回路外的产生的磁场对该沿 回路的B的环路积分无贡献罢了。
L B dl 0
L B dl BL
4、定出
Ii ；
5、应用定理
B dl
l
0
I。
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
例1 ： 求长直密绕螺线管内磁场
AB
解 1、对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿
轴向, 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 。
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
讨论
两无限大平行载流平面，电流密度为 j ，求
两平面之间和之外空间的磁感强度：
B内
1 2
0
j
1 2
0
j
0
j
B外
1 2
0
j
1 2
0
j
0
如果电流同向，结果如何？
11 – 4 安培环路定理
第十一章 稳恒磁场
若两无限大平行平面上都有均匀分布的面电流，面电
流密度分别为i1和i2，若i1和i2之间夹角为θ，试求：
oR
l
d
B
dl
Ir
l
若回路绕向为逆时针时，则
B dl
l
l
0 I
2πR
dl
0I
（2）对任意形状的回路
B dl Bdl cos 0I rd
大学物理 稳恒磁场
第十一章稳恒磁场磁场由运动电荷产生。
磁场与电场性质有对称性,学习中应注意对比.§11－1 基本磁现象磁性，磁力，磁现象;磁极，磁极指向性,N极，S极，同极相斥，异极相吸。
磁极不可分与磁单极。
一、电流的磁效应1819年，丹麦科学家奥斯特发现电流的磁效应;1820年，法国科学家安培发现磁场对电流的作用。
二、物质磁性的电本质磁性来自于运动电荷，磁场是电流的场。
注:1932年,英国物理学家狄拉克预言存在“磁单极”，至今科学家一直在努力寻找其存在的证据。
§11－2 磁场磁感强度一、磁场磁力通过磁场传递,磁场是又一个以场的形式存在的物质。
二、磁感强度磁感强度B 的定义：（1）规定小磁针在磁场中N 极的指向为该点磁感强度B 的方向。
若正电荷沿此方向运动,其所受磁力为零。
（2）正运动电荷沿与磁感强度B 垂直的方向运动时,其所受最大磁力F max 与电荷电量q 和运动速度大小v 的乘积的比值，规定为磁场中某点磁感强度的大小。
即：qvF B max=磁感强度B 是描写磁场性质的基本物理量。
若空间各点B 的大小和方向均相等,则该磁场为均匀磁场．．．．；若空间各点B 的大小和方向均不随时间改变，称该磁场为稳恒磁场．．．．。
磁感强度B 的单位:特斯拉(T)。
§11－3 毕奥－萨伐尔定律 一、毕－萨定律电流元: l Id电流在空间的磁场可看成是组成电流的所有电流元l Id 在空间产生元磁感强度的矢量和。
式中μ0:真空磁导率, μ0＝4π×10－7NA 2 dB 的大小： 20sin 4rIdl dB θπμ=d B 的方向： d B 总是垂直于Id l 与r 组成的平面，并服从右手定则.一段有限长电流的磁场： ⎰⎰⨯==l l r r l Id B d B 304πμ二、应用1。
一段载流直导线的磁场 )cos (cos 42100θθπμ-=r IB 说明:(1)导线“无限长"：002r I B πμ=（2）半“无限长”： 00004221r I r IB πμπμ==2.圆电流轴线上的磁场 磁偶极矩232220)(2x R R IB +=μ讨论：（1）圆心处的磁场：x = 0 RIB 20μ=；（2）半圆圆心处的磁场： RIR I B 422100μμ==（3）远场:x >>R ,引进新概念 磁偶极矩0n IS m =则: m xB 3012πμ=3.载流螺线管轴线上的磁场)cos (cos 2120ββμ-=nIB讨论：（1)“无限长”螺线管：nI B 0μ=（2）半“无限长”螺线管：nI B 021μ=例：求圆心处的B .§11－4 磁通量 磁场的高斯定理 一、磁感线作法类似电场线。
第十一章稳恒电流的磁场(一)作业解答
一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度毕奥—萨法尔定律：304r rl Id B d⨯=πμ1.有限长载流直导线的磁场)cos (cos 4210ααπμ-=a I B ,无限长载流直导线a IB πμ20=半无限长载流直导线a IB πμ40=,直导线延长线上0=B2. 圆环电流的磁场232220)(2x R IR B +=μ，圆环中心R I B 20μ=，圆弧中心πθμ220∙=R I B电荷转动形成的电流：πωωπ22q q T q I === 【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 通有相同电流I ．如图若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感强度B的大小为(A))(20b a I+πμ． (B)b b a aI +πln20μ．(C) b b a b I +πln 20μ． (D) )2(0b a I+πμ． 解法：【 】自测提高2、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为 (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 解法：根据直线电流的磁场公式和圆弧电流产生磁场公式可得【 】自测提高7、边长为a 的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q 的点电荷．此正方形以角速度ω 绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω 绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为 (A) B 1 = B 2． (B) B 1 = 2B 2． (C) B 1 = 21B 2． (D) B 1 = B 2 /4． 解法：设正方形边长为a ω 相同，所以每个点电荷随着正方形旋转时形成的等效电流相同， 为当正方形绕AC 轴旋转时，一个点电荷在O 旋转产生电流，在O 点产生的总磁感小为O 点产生的磁感应强度的大小为基础训练12、一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原点O 处取一电流元l Id ，则该电流元在(a ，0，0)点处的磁感强度的大小为 ，方向为 。
11稳恒电流和稳恒磁场习题解答
第十一章 稳恒电流和稳恒磁场一 选择题1. 边长为l 的正方形线圈中通有电流I ，此线圈在A 点（如图）产生的磁感应强度B 的大小为（ ）A. l I μπ420B. lIμπ20 C .lIμπ20 D. 0 解：设线圈四个端点为ABCD ，则AB 、AD 线段在A 点产生的磁感应强度为零，BC 、CD 在A 点产生的磁感应强度由)cos (cos π4210θθμ-=dIB ，可得 lI lIB BC π82)2πcos 4π(cosπ400μμ=-=，方向垂直纸面向里 lI l IB CD π82)2πcos 4π(cosπ400μμ=-=，方向垂直纸面向里 合磁感应强度 lIB B B CD BC π420μ=+=所以选（A ）2. 如图所示，有两根载有相同电流的无限长直导线，分别通过x 1=1、x 2=3的点，且平行于y 轴，则磁感应强度B 等于零的地方是：( )A. x =2的直线上B. 在x >2的区域C. 在x <1的区域D. 不在x 、y 平面上 解：本题选（A ）3. 图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大？( )A. Ⅰ区域B. Ⅱ区域 C ．Ⅲ区域D ．Ⅳ区域E ．最大不止一个解：本题选（B ）选择题2图Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 选择题3图选择题1图4. 如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知：（ ）A. ∮L B ·d l =0，且环路上任意一点B =0B. ∮L B ·d l =0，且环路上任意一点B ≠0C. ∮L B ·d l ≠0，且环路上任意一点B ≠0D. ∮L B ·d l ≠0，且环路上任意一点B =常量解：本题选（B ）5. 无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流，设圆柱体内（r <R ）的磁感应强度为B i ，圆柱体外（r >R ）的磁感应强度为B e ，则有：（ ）A. B t 、B e 均与r 成正比B. B i 、B e 均与r 成反比C. B i 与r 成反比，B e 与r 成正比D. B i 与r 成正比，B e 与r 成反比解：导体横截面上的电流密度2πRIJ =，以圆柱体轴线为圆心，半径为r 的同心圆作为安培环路，当r <R ，20ππ2r J r B i ⋅=⋅μ，20π2R IrB i μ=r <R ，I r B e ⋅=⋅0π2μ， rIB e π20μ=所以选（D ）6. 有三个质量相同的质点a 、b 、c ，带有等量的正电荷，它们从相同的高度自由下落，在下落过程中带电质点b 、c 分别进入如图所示的匀强电场与匀强磁场中，设它们落到同一水平面的动能分别为E a 、E b 、E c ，则（ ）A. E a <E b =E cB. E a =E b =E cC. E b >E a =E cD. E b >E c >E a解：由于洛伦兹力不做功，当它们落到同一水平面上时，对a 、c 只有重力做功， 则E a =E c ，在此过程中，对b 不仅有重力做功，电场力也要做正功，所以E b >E a =E c所以选（C ）7. 图为四个带电粒子在O 点沿相同方向垂直于磁力线射入均匀磁场后的偏转轨迹的照片，磁场方向垂直纸面向外，四个粒子的质量相等，电量大小也相等，则其中动能最大的带负电的粒子的轨迹是：( )A. OaB. ObC. Oc D . Od解：根据B F ⨯=v q ，从图示位置出发，带负选择题7图c db a B O• B× × × × × × Ea bc 选择题6图 选择题4图电粒子要向下偏转，所以只有Oc 、Od 满足条件，又带电粒子偏转半径Bqm R v =，22k 22q B m E R =∴，质量相同、带电量也相等的粒子，动能大的偏转半径大，所以选Oc 轨迹所以选（C ）8. 如图，一矩形样品，放在一均匀磁场中，当样品中的电流I 沿X 轴正向流过时，实验测得样品A 、A '两侧的电势差V A -V A '>0，设此样品的载流子带负电荷，则磁场方向为：（ ）A ． 沿X 轴正方向B ．沿X 轴负方向C ．沿Z 轴正方向D ．沿Z 轴负方向 解：本题选（C ）9. 长直电流I 2与圆形电流I 1共面，并与其一直径相重合如图（但两者间绝缘），设长直电流不动，则圆形电流将：（ ）A. 绕I 2旋转B. 向左运动C. 向右运动D. 向上运动E. 不动 解：圆形电流左半圆和右半圆受到长直电流安培力的方向均向右，所以圆形电流将向右运动所以选（C ）二 填空题1. 成直角的无限长直导线，流有电流I =10A ，在直角决定的平面内，距两段导线的距离都是a =20cm 处的磁感应强度B = 。
第11章-恒定磁场
3、当带电粒子在磁场中 垂直于此特定方向运动时 受力最大.
Fmax 大小与 q, v 无关
qv
13
11-3
磁场
磁感强度
磁感强度 B的定义：
➢ 方向：若带电粒子在磁场中某点向某方向运动
不受力，且该方向与小磁针在该点指向一致，此特
定方向定义为该点的 B 的方向.
➢ 大小：B F / qv
Fmax
➢ 运动电F荷在q磁v 场B中 受力
Idl er r2
真空磁导率 0 4π 107 N A2
P * r
Idl
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度叠加原理
B
dB
0I dl er
4π r2
15
11-4 毕奥—萨伐尔定律
dB 0 Idl er 毕奥—萨伐尔定律
4π r2
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
1、5 点 ：dB 0
30
11-5 磁通量 磁场的高斯定理
二 磁通量 磁场的高斯定理
磁感线密度：磁场中某点处垂直于 B矢量的单位 面积上通过的磁感线数目 N / S
磁场中某点处的磁感线密度等于该点 B矢量的大小
B N S
S B
31
11-5 磁通量 磁场的高斯定理
enB B
磁通量：通过某一曲面的 磁感线数为通过此曲面的 磁通量.
方向有关。
➢ 实验结论
1、带电粒子在磁场中某 点P 沿某一特定方向（或 其反方向）运动时不受力， 此特定方向与小磁针指向 一致.
y
F 0
v +* v
P
o
z
x
12
11-3 磁场 磁感强度
2、带电粒子在磁场中沿
11-6 安培环路定理
∫ B dl
= 0 ∑ Ii
i =1
n
(非保守场 非保守场) 非保守场
第十一章 稳恒磁场 强调 1. 电流 I 正负的规定 ： L 与 I 成右螺旋时， 成右螺旋时， I 为正；反之为负. 为正；反之为负 2. B 是空间所有电流（L内外）在积分路径上产生 是空间所有电流（ 内外 内外） 的磁感强度。 的磁感强度。 3. ∑ I 是被闭合回路L所包围的，并且与L相互套 是被闭合回路L所包围的 并且与L相互套 所包围的， 链的电流的代数和. 链的电流的代数和 4.若 若 的可能情况： ∫ B d l = 0 的可能情况：
B
∫ Bdl
=0
∫ Bdl
L
=0
第十一章 稳恒磁场 例2 求载流螺绕环内的磁场 解 1）载流螺绕环内 B ）载流螺绕环内 线为同心圆， 为零. 线为同心圆，环外 B 为零 2）选回路 ）
∫
L
B d l = 2π RB = 0 NI
B=
0 NI
2π R
非均匀场
d
当 2R0 >> d 时，螺绕 环内可视为均匀场 .
=
0 I
2π
l
与 I 成右螺旋
∫ π dφ = I
2
第十一章 稳恒磁场 （4）电流在回路之外 ）
B1 =
0 I
2π r1Leabharlann ， B2 =l1 1 1
0 I
2π r2
l2
dφ
B1
B2
dl2 l dl1 2
l1
∫ B dl = ∫ B dl + ∫
l
B2 dl2
=
0 I
2π
( ∫ dφ ∫ dφ )
L
第11章 稳恒磁场
z
D
无限长载流长直导线的磁场 无限长载流长直导线的磁场. 载流长直导线的磁场
θ2
v B
B=
4 π r0
（cosθ 1 − cosθ 2 ）
B=
I
o
µ0 I
2 π r0
θ1 → 0 θ2 → π
x
C
θ1
P y
无限长载流长直导线的磁场
B=
µ0I
2πr
I B
I
X
B
电流与磁感应 电流与磁感应强度成右螺旋关系 半无限长载流长直导线的磁场
=
I
2π R
v B
o
l
R
v v ∫ B ⋅ dl =
l
∫ 2πR
µ0 I
v dl
dl
v v µ0 I ∫l B ⋅ d l = 2 π R ∫l d l v v 设闭合回路 l 为圆形 ∫l B ⋅ dl = µ0 I 回路（ 成右螺旋） 回路（ l 与 I 成右螺旋）
I
o
v B
R
若回路绕向为顺时针时， 若回路绕向为顺时针时，则
z
带电粒子在磁场中沿其他方向运动时 F 垂直于 v 与特定直线所组成的平面 与特定直线所组成的平面. 当带电粒子在磁场中垂直于此特定直线运动 时受力最大. 时受力最大
F = Fmax = F⊥
Fmax ∝ qv
Fmax q , v 无关 qv 大小与
磁感应 的定义： 磁感应强度 B 的定义：当 正电荷垂直于 特定直线运动 时，受力 Fmax 将 Fmax ×v 方向 的方向. 定义为该点的 B 的方向
I I I
I S S N I N
磁通量 磁场的高斯定理
v ∆S B
11-7 磁场对载流线圈的作用
三. 均匀磁场对载流线圈的作用
第十一章 稳恒磁场
均匀磁场中有一矩形载流线圈 如图 均匀磁场中有一矩形载流线圈MNOP
MN = l2 NO = l1 v v F1 = BIl2 F1 = F2
v F3
M
P v
F3 = BIl1 sin(π φ ) v v F3 = F4 v 4 v F = ∑ Fi = 0
结论: 均匀磁场中 任意形状刚性闭合平面 磁场中， 结论 均匀磁场中，任意形状刚性闭合平面 通电线圈所受的力和力矩为
v F = 0,
v v M = m× B
稳定平衡 稳定平衡 非稳定平衡 非稳定平衡
θ =0 v v v m // B, M = 0 θ =π
v v m ⊥ B , M = M max = mB, θ = π / 2
3）方向垂直 ） 力矩最大
v F
. I .v . + + + + + + F . . . v
+ F + + + + + o + + + + +B+
I
I
.
θ = 0 ,M = 0
π θ = π , M = 0 θ = 2 , M = Mmax
.
.
.B .
v F
.
B
11－7 磁场对载流线圈的作用
第十一章 稳恒磁场
磁矩
v v m = N ISn
11－7 磁场对载流线圈的作用
第十一章 稳恒磁场
边长为0.2m的正方形线圈，共有 匝 ，通 的正方形线圈， 例1 边长为 的正方形线圈 共有50 以电流2A 以电流 ，把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁 的均匀磁 场中. 问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？ 场中 问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁 力矩等于多少？ 力矩等于多少？ 解
第十一章 稳恒磁场
B d l 0
l
多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
l
以上结果对任意形状 的闭合回路（伸向无限远 的电流）均成立.
n B dl 0 Ii i 1
安培环路定理
的正负。
二、定理应用 1、螺线管内的磁场
解：对称性分析，选回路
（1）长直密绕螺线管内磁场
L.
M N +++ + + + ++++++ L O P
B
B d l B d l B d l B d l B d l
2
dB
0 Id l
r R x
2 2
2
B
0 IR
2
2 2 3
（x R ）2 2
I
o
R
x
*
B
x
B
0 IR
2
2 2 3
（x R ）2 2
N 0 IR
2 2 2 3
讨 论
1）若线圈有 N 匝
B
2）x 0 B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系）
3）x
（x R ）2 2
l MN NO OP PM
B MN 0nMNI
B 0 nI
（2）环形螺线管
解 1） 对称性分析；环内 B 线为同心圆，环外 B 为零.
l B d l 2π RB 0 NI 0 NI B 2π R
令 当
第十一章 稳恒磁场-PPT精品
3
由离子或自由电子（带电粒子）的定向运动而引起的 电流称为传导电流。
解：圆中心处的磁场可视为许多半径不等的圆电流磁场的
叠加。设半径为ｒ的圆形电流，圆形电流为dI，则在中
心的
dB 0dI
2r
方向：垂直盘面向外
R
o
r
dI dq 2rdrrdr
dr
2 2
R
Bd
B R0d I0 Rd r0R
0
02r 2 0
若螺线管为无限长，则有β1=π，β2 =0 方向沿OX轴正向
B 0n I
若点P位于半无限长载流螺线管一端β1=π/2，β2=0
或β1=π/2，β2=π
B
1 2
0nI
长直螺线管内轴线上磁感应强度 分布：中部的磁场可看成均匀
29
§11-5 磁通量、磁场的高斯定理
一、磁感线 1.定义：用来描述磁场分布的一系列曲线。
是位置的函数。磁场力的方向永远垂直 于上述特殊方向与速度组成的平面。
13
磁感应强度的定义
大小
B F max qv
其方向磁场力为零时电荷的运动方向，且磁场力与 速度和磁场强度满足右手螺旋定则。所以，磁场
力又可写为 F qvB
单位：特斯拉 T 1T=1N·A1·m-1
高斯 G 1G=10-4T
r2R2x2R2cs2c
运动电荷
v
222222 222vvvvvBvBBBBBBBFBFFmF2FFmamFxamaxmaFxmxmxmaaxa axmxqqaqvqxvqqvvqvvqqv方vv方q方方方 v向向方向向方 B向方：v：向 向v：v方：向 ：vv向：vB： FvBB向：vBB： mvB： avBxBBBqv
q + B 000,0,,0,,,,,00,00,,,2,,,2,,,222,,222 2FFFF0FF,Fqq,qFvqvvsqvvs2iqqvinqsnsvvisvinisnnsqi sniivn方n方方si方向方n向方向方：向v向：方 v方向F向 ：v：：vvB向 B方 ：向 v： vBBB： 向 v： BvqBv：vBsBin
S
S
三、高斯定理
B d S 0 穿过任一闭合曲面的磁通量为零
S
? 比较
S
1
EdS
S
0
qi
静电场:电力线起于正电荷、止于负电荷. 稳恒磁场: 磁力线闭合,无自由磁荷.
例1 两无限长平行载流直导线
求: 两线中点的磁场 B A
过图中矩形的磁通量. 解： 两线在中点处的磁场：
I1 r
A
dr • B A
0I1l ln r1 r2 0 I2l ln d r1
2
r1
2 d r1 r2
2.26 106Wb
r1 r3 10cm I1 I2 20A
11-4 安培环路定理及其应用
I
一、安培环路定理
静电场: E d l 0
l
磁 场: B d l ?
l
1.圆形积分回路
l
Bdl
三、运动电荷的磁场
电流元: Id l
dB
稳恒磁场11如图11所示两根长直导线互相平行地放置
第十一章 稳恒磁场11-1 如图11-1 所示，两根长直导线互相平行地放置，导线中的电流大小相等，均为A I 10=方向相同，求图中M 、N 两点的磁感应强度B 的大小和方向（图中m r 020.00=）。
解：两导线在M 、N 点产生的磁感应强度如图11-1（a ）所示。
在M 点，1B 和2B 大小相等方向相反，由场强叠加原理可知0B B B 21m =-=在N 点，两导线产生的磁感应强度大小为：002122''r IB B πμ==且21''B B ⊥，由场强叠加原理可得T r IB B N 4001100.12'2-⨯===πμ，方向水平向左。
11-2 已知地球北极磁场强度为B 的大小为T 5100.6-⨯。
如果想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的，此电流大小为多少？流向如何？解：设所求电流为I ，方向如图所示，因为圆形电流在距轴体上的磁感应强度为：232220)(2x R IR B +=μ对于北极点，R x =于是有：RIR R IR B 24)(20232220μμ=+=赤道上的电流强度为：A RBI 901073.124-⨯==μ11-3 如图11-3所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a 、b 两点，并与很远处的电源图11-1图11-2相接。
求环心O 的磁感应强度。
解：设圆环以acb 弧长1l ，其电流为1I ，而adb 弧长为2l ，电流为2I 。
因这两段弧可形成并联电路所以两端电压相等，于是有：2211R I R I =考虑环的截面积和电阻率是一样的，电阻与弧长成正比，所以上式改写为：2211L I L I =1l 弧：一电流在O 点产生的磁感应强度为：dl RI dB 21014πμ=，方向垂直纸面向里。
整个弧在O 点产生的磁感应强度为：210021011441R I dl R I dB B l πμπμ===⎰⎰，方向垂直纸面向里。
第十一章稳恒磁场
式的中 单K位为有比关例。系数，其值与介质的种dB类和选用
14
在国际单位制中， μ0称为真空磁导率，
K
0
0
4
/ 4P
10r7 Tθ
mId lA
I
1
故有：
dB的方向用右手螺旋法则确定：
右手弯曲的四指由Idl的方
向沿小于180°的θ角转向 r的方向，则伸直拇指的指 向就是dB 的方向。
5
一、磁感应强度
为了描述磁场中各点的磁场强弱和方向，引入磁 感应强度。用B表示，
定义
B Fm q0v
单位：特斯拉（T）。
比值B是一个与运动电荷的性质无关、仅与该点 磁场的性质有关的常量。
B为矢量，其方向用右手螺旋法则确定:
6
特斯拉
右手螺旋法则：
将右手拇指与其余四指垂直，先将四指的指向与 7 Fm方向相同，再使其向的v方向弯曲，这时拇指
大多数生物大分子是抗磁质，少数是顺磁质，极少呈铁磁质
43
三、超导体及其磁学特性
1、超导体 超导现象：当物质的温度下降到某一定值时， 该物质的电阻完全消失的现象称为超导现象。 超导性：物质失去电阻的性质叫超导性。 超导体：具有超导性的物质叫超导体。 超导体失去电阻的温度称为临界温度Tc， 可能成为超导体的物质是：①位于元素周期表 中部的金属元素（除一价金属、铁磁质、和抗 磁质）②许多化合物或合金。
磁感应线的特点:
I
I
通电螺线管的磁感应线
磁感应线是闭合的曲线，密集的地方磁场较
强，稀疏的地方磁场较弱。
9
1、磁通量
通过某曲面磁感应线的总数 称为通过该曲面的磁通量。
用Φ表示。
通过面积元dS的磁通量为：
11-1 稳恒磁场
一. 早期的磁现象
第十一章 稳恒磁场
天然磁石具有吸引铁， 天然磁石具有吸引铁，钴，镍的性质，称为磁性。而具有磁 镍的性质，称为磁性。 的物体称为磁体。 性 的物体称为磁体。 磁铁的两端磁性特别集中,磁性集中的区域称为磁极 磁铁的两端磁性特别集中 磁性集中的区域称为磁极 不可能把南,北 两极分开,单个磁极不存在 单个磁极不存在. 不可能把南 北 两极分开 单个磁极不存在 磁极之间有相互作用力,同性磁极互相排斥 同性磁极互相排斥,异性磁极互相吸引 磁极之间有相互作用力 同性磁极互相排斥 异性磁极互相吸引
F = Fmax = F⊥
Fmax ∝ qv
Fmax 大小与 q , v 无关 qv
11 – 1 磁场 磁感强度
第十一章 稳恒磁场 的定义： 磁感强度 B 的定义：当 正电荷垂直于零力 线运动 时，受力 Fmax ,将Fmax × v 方 将 向定义为该点的 磁感强度大小 的方向. B 的方向 Fmax B= qv
安培分子电流假说:一切磁现象都起源于电流,一切物 安培分子电流假说 一切磁现象都起源于电流 一切物
质的磁性都起源于构成物质的分子中存在的环形电流. 质的磁性都起源于构成物质的分子中存在的环形电流
电流 运动电荷
磁场 磁场
电流 运动电荷
11 – 1 磁场 磁感强度
磁感强度
第十一章 稳恒磁场
B的定义
带电粒子在磁场中运 动所受的力与运动方向有 关. 实验发现带电粒子在磁 场中沿某一特定直线方向运 动时不受力，此直线方向与 动时不受力， 电荷无关,由磁场自身的属性 电荷无关 由磁场自身的属性 决定,称为零力线 称为零力线--决定 称为零力线 B的方向
Fmax
11-3 磁通量磁场的高斯定理
B
N B S
11 – 3 磁通量 磁场的高斯定理
I I
第十一章 稳恒磁场 I
I
S
S N
I N
11 – 3 磁通量 磁场的高斯定理 性质： 任何两条磁感线不相交. ①
第十一章 稳恒磁场
②磁感线是闭合曲线，并与闭合载流导线相套合. ③磁感线密处 B 大，即磁场强，反之磁场弱 .
二 磁通量
第十一章 稳恒磁场
B
S
dS1 1 B1
闭合曲面：外法线方向为正
dS2
2
B2
dΦ B1 dS1 0 1 dΦ2 B2 dS 2 0
S
B cosdS 0
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零 （故磁场是无源场.）
11 – 3 磁通量 磁场的高斯定理 一 磁 感 线(magnetic induction lines)
第十一章 稳恒磁场
规定： ① 曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感强 度 B 的方向. ②磁感线的疏密程度表示该点的磁感强度的大小.
磁场中某点处垂直 B 矢量的单位面积上通过的 磁感线数目(磁感线密度)等于该点 B 的数值.
11 – 3 磁通量 磁场的高斯定理
第十一章 稳恒磁场
例 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩 形面积的磁通量. 解 先求 ，对变磁场
B
I
d1
d2
o
B // S 0 I dΦ BdS ldx l 2π x 0 Il d 2 dx Φ S B dS d1 2π x 0 Il d 2 x Φ ln 2π d1
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第十一章 稳恒磁场习题（一） 教材外习题一、选择题：1．如图所示，螺线管内轴上放入一小磁针，当电键K 闭合时，小磁针的N 极的指向 （A ）向外转90︒ （B ）向里转90︒（C ）保持图示位置不动 （D ）旋转180︒ （E ）不能确定。
（ ）2i 的大小相等，其方向如图所示，问哪些区域中某些点的磁感应强度B 可能为零？（A）仅在象限Ⅰ （B）仅在象限Ⅱ （C ）仅在象限Ⅰ、Ⅲ（D ）仅在象限Ⅰ、Ⅳ（E ）仅在象限Ⅱ、Ⅳ（ ）3．哪一幅曲线图能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B 随x 的变化关系？（x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O ）（）（A ）（B ）（C ） （D ）（E ）4q 的点电荷。
此正方形以角速度ω绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感应强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为：（A ）B 1=B 2 （B ）B 1=2B 2（C ）B 1=21B 2 （D ）B 1=B 2/4（ ）xBxx BxBx B q qC5．电源由长直导线1沿平行bc 边方向经过a 点流入一电阻均匀分布的正三角形线框，再由b 点沿cb 方向流出，经长直导线2返回电源（如图），已知直导线上的电流为I ，三角框的每一边长为l 。
若载流导线1、2和三角框在三角框中心O 点产生的磁感应强度分别用1B 、2B和3B表示，则O 点的磁感应强度大小（A ）B =0，因为B 1=B 2， B 3=0（B ）B =0，因为021=+B B，B 3=0（C ）B ≠0，因为虽然021=+B B，但B 3≠0。
（D ）B ≠0，因为虽然B 3=0，但021≠+B B。
（ ）6．磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上，图（A ）~（E ）哪一条曲线表示B －x 的关系？（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）（E ）7．A 、B A 电子的速率是B 电子速率的两倍。
设R A 、R B 分别为A 电子与B 电子的轨道半径；T A 、T B 分别为它们各自的周期。
则：（A ）R A ∶R B =2， T A ∶T B =2。
（B ）R A ∶R B =21， T A ∶T B =1。
（C ）R A ∶R B =1， T A ∶T B =21。
（D ）R A ∶R B =2， T A ∶T B =1。
8．把轻的正方形线圈用细线挂在截流直导线AB 的附近，两者在同一平面内，直导线AB 固定，线圈可以活动。
当正方形线圈通以如图所示的电流时线圈将（A ）不动c x BB xx B x Bx B 电流（B ）发生转动，同时靠近导线AB （C ）发生转动，同时离开导线AB （D ）靠近导线AB （E ）离开导线AB（ ） 9．有两个半径相同的圆环形载流导线A 、B垂直的位置上，如图所示，将发生以下哪一种运动 （A ）A 、B 均发生转动和平动，最后两线圈电流同方向并紧靠一起（B ）A不动，B 在磁力作用下发生转动和平动 （C ）A 、B 都在运动，但运动的趋势不能确定（D ）A 和B 都在转动，但不平动，最后两线圈磁矩同方向平行。
（ ）二、填空题：1．半径为0.5cm 的无限长直圆柱形导体上，沿轴线方向均匀地流着I=3A 的电流。
作一个半径r = 5cm 、长l=5cm 且与电流同轴的圆柱形闭合曲面S ，则该曲面上的感应强度B沿曲线的积分⎰⋅S d B=_________________________。
3．在匀强磁场B 中，取一半径为R 的圆，圆面的法线以该圆周为边线的如图所示的任意曲线S 的磁通量⎰⎰⋅=Sm S d BΦ=________________________________。
4．一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I 。
若作一个半径为R=5a 、高为l 的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a （如图）。
则B在圆柱侧面S 上的积分⎰⎰⋅SS d B `=____________________________。
A B V ’5．如图示，XOY 和XOZ 平面与一个球心位于O 点的球面相交，在得到的两个圆形交线上分别流有强度相同的电流，其流向各与y 轴和z 轴的正方向成右手螺旋关系。
则由此形成的磁场在O 方向为________________________________。
5．两根长直导线通有电流I ，图示有三种环路；在每种情况下，⎰⋅l d B等于：___________________________________（对环路a ）； ___________________________________（对环路b ）； ___________________________________（对环路c ）。
6．如图所示，电荷q （>0）均匀地分布在一个半径为R 的薄球壳外表面上，若球壳以恒角速度ω0绕Z 轴转动，则沿着Z 轴从－∞到＋∞磁感应强度的线积分等于_____________。
7．在电场强度E 和磁感应强度B方向一致的匀强电场和匀强磁场中，有一运动着的电子，某一时刻其速度V的方向如图（1）和图（2）所示，则该时刻运动电子的法向和切向加速度的大小分别为（设电子的质量为m ，电量为e ）。
a n =_______________________，（图1）a t =_______________________，（图1） a n =_______________________，（图2） a t =_______________________，（图2）8．如图，一个均匀磁场B 只存在于垂直于图面的P 平面右侧，B的方向垂直于图面向里。
一质量为m 、电荷为q 的粒子以速度v 射入磁场。
v在图面内与界面P 成某一角度。
那么粒子在从磁场中射出前是做半径为______________________的圆周运动。
如果q>0时，粒子在磁场中的路径与边界围成的平面区域的面积S ，那么q<0时 ，其路径与边界围成的平面区域的面积是__________________________。
9．一个顶角为30︒的扇形区域内有垂直纸面向内的均匀磁场B。
有一质量为m 、电量为q （q>0）的粒子，从一个边界上的距顶点为l 的地方以速率v=l qB/(2m)垂直于边界射入磁场，则粒子从另一边界上的射出的点与顶点的距离为___________________，粒子出射方向与该边界的夹角为_________________________。
三、计算题：1．在无限长直载流导线产生的磁场中，有一个与导线共面的矩形平面线圈cdef ，线圈cd 和ed 边与长直导线平行，线圈尺寸和其与长导线的距离如图示。
若使平面线圈沿其平面法线方向n（平行Z 轴）移动∆Z 距离。
求在此位置上通过线圈的磁通量。
2．将通有电流I 的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D 点的磁感应强度B的大小。
3．有一闭合回路由半径为a 和b 的两个同心共面半圆连接而成，如图其上均匀分布线密度为λ的电荷，当回路以匀角速度ω绕过O 点垂直于回路平面轴转动时，求圆心O 点处 的磁感应强度的大小。
4．一无限长圆柱形铜导体（磁导率μ0），半径为R ，通有均匀分布的电流I 。
今取一矩形平面S （长为1m ，宽为2R ），位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量。
5．在xoy 平面内有一圆心在O 点的圆线圈，通过顺时针绕向的电流I 1，另有一无限长直导线与y 轴重合，通过以电流I 2，方向向上，如图所示。
求此时圆线圈所受的磁力。
6．一无限长载有电流I 的直导线在一处折成直角，P 点位于导线所在平面内，距一条折线的延长线和另一条导线的距离都为a ，如图。
求P 点的磁感强度B。
（二）教材内习题11-1 如图所示，两根长直导线互相平行地放置，导线内电流大小相等均为I=10A，方r=0.020m）.向相同，求图中M，N两点的磁感强度B的大小和方向（图中习题11-1图习题11-3图11-3 如图所示，有两根导线沿半径方向接到铁环的a，b两点，并与很远处的电源相接.求环心O的磁感强度.11-4 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，它们在O点的磁感强度各为多少？习题11-4图11-6 如图所示，一个半径为R的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的电流I在柱面上O 的磁感强度.均匀分布.求半圆柱面轴线O习题11-6图习题11-7图11-7 如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I.求球心处O的磁感强度.11-8 如图所示，一宽为b的薄金属板，其电流为I.试求在薄板的平面上，距板的一边为r的点P的磁感强度.习题11-8图习题11-10图11-10 如图所示，载流长直导线的电流为I.试求通过矩形面积的磁通量.11-13 有一同轴电缆，其尺寸如图所示.两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑.试计算以下各处的磁感强度：（1）r<R1；（2）R1<r<R2；（3）R2<r<R3；（4）r>R3.画出B-r图线.习题11-13图习题11-18图11-18 如图所示，一根半径为R的无限长载流直导体，其中电流I沿轴向流过，并均匀分布在横截面上，现在导体上有一半径为R 的圆柱型空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为d.试用安培环路定理求空腔中心的磁感强度.你能证明空腔中的磁场是均匀磁场吗？11-25 载流子浓度是半导体材料的重要参数，工艺上通过控制三价或五价掺杂原子的浓度，来控制p 型或n 型半导体的载流子浓度.利用霍耳效应可以测量载流子的浓度和类型.如图所示一块半导体材料样品，均匀磁场垂直于样品表面，样品中通过的电流为I ，现测得霍耳电压为U H .证明样品载流子浓度为HedU IBn =习题11-15图习题11-28图11-28 如图所示，一根长直导线载有电流I 1=30A ，矩形回路载有电流I 2=20A.试计算作用在回路上的合力.已知d =1.0cm ，b =8.0cm ，l =0.12m.11-32 通有电流I 1=50A 的无限长直导线，放在如图所示弧形线圈的Oz 轴上，线圈中的电流I 2=20A ，线圈高h =7R/3.求作用在线圈上的力.习题11-32图11-35 一半径为R 的薄圆盘，放在磁感强度为B 的均匀磁场中，B 的方向与盘面平行，在圆盘表面电荷面密度为σ，若圆盘以角速度ω绕通过盘心并垂直盘面的轴转动.求证作用在圆盘上的磁力矩为44BR M σωπ=11-38 如图所示是一种正在研究中的电磁轨道炮的原理图.该装置可用于发射速度高达10km ·s -1的炮弹.炮弹置于两条平行轨道之间并与轨道相接触，轨道是半径为r 的圆柱形导体，轨道间距为d ，炮弹沿轨道可以自由滑动.恒流电源ε，炮弹及轨道构成一闭合回路，回路中电流为I .（1）证明作用在炮弹上的磁场力为rrd I F +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ln 2120πμ （2）假设I =4500kA ，d =120mm ，r =6.7cm ，炮弹从静止起经过一段路程L =40m 的加速后速率为多大？（设炮弹质量m =10.0kg ）习题11-38图。