锐角三角函数单元测试及答案

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【初三数学】滁州市九年级数学下(人教版)第二十八章《锐角三角函数》单元综合练习题(含答案解析)

九年级数学人教版《锐角三角函数》单元测试题（Word 版有答案）一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值( )A ．扩大2倍B ．缩小12 C ．不变 D ．无法确定2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则∠A 的余弦值是( )A.35B.34C.43D.453．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AB 的长等于( )A.2sin α B ．2sin α C.2cos αD ．2cos α 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm 5．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，tanA ＝512，则cosA ＝( )A.125 B.1213 C.513 D.5126．三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则最小角的正切值是( )A ．1 B.22 C.33D. 3 7．(－sin60°，cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )A ．(32，12) B ．(－32，12) C ．(－32，－12) D ．(－12，－32) 8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2 B.255 C.55 D.129．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D.若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 310．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CDAC11．将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是( )A.23 3 cm B.433 cm C. 5 cm D ．2 cm12．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13 m 至坡顶B 处，再沿水平方向行走6 m 至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，那么大树CD 的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A ．8.1 mB ．17.2 mC ．19.7 mD ．25.5 m13．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC ＝2BF ，连接AE ，EF.若AB ＝2，AD ＝3，则cos ∠AEF 的值是( )A. 3B.32 C.22 D.1214．如图，以坐标原点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(sin α，cos α)D ．(cos α，sin α)15．如图，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米16．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，点P 在四边形ABCD 的边上，若点P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．计算：cos 245°＋3tan60°＋cos30°＋2sin30°－2tan45°＝．18．张丽不慎将一道数学题沾上了污渍，变为“如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝63，tanC ＝，求BC 的长度”．张丽翻看答案后，得知BC ＝6＋33，则部分为． 19．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝113，…，按此规律，写出tan ∠BA n C ＝．(用含n 的代数式表示)三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝0.8，b＝0.4，解这个直角三角形．解：21．(本小题满分9分)△ABC中，(3·tanA－3)2＋|2cosB－3|＝0.(1) 判断△ABC的形状；(2) 若AB＝10，求BC，AC的长．解：22．(本小题满分9分)如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°.若房屋的高BC＝6 m．求树高DE.解：23．(本小题满分9分)如图，某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值( D ) A．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D 处后进球.已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB=1.7米，视线AD 与水平线AE 的夹角为a ，如图所示.若tana=310，则点D 到地面的距离CD 是( C )A.2.7米B.3.0米C.3.2米D.3.4米3.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ． 144 cmB ． 180 cmC ． 240 cmD ． 360 cm4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝，则∠A 的度数是( A )A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 70°5.如图，有两个全等的正方形ABCD 和BEFC ，则tan(∠BAF ＋∠AFB)=( A )A.1B.56 C. 23D. 6.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得到Rt △A ′B ′C ′，那么锐角∠A 、∠A ′的余弦值的关系是( B )A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定7.如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是( A )海里/时 /时海里/时海里/时8.如图，在△ABC 中，AB =2，BC =4，∠ABC =30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ A ） A.B.C.D.9.如图，△ABD 和△BDC 都是直角三角形，且∠ABD=∠BDC=90°，∠BAD=30°，∠DBC=45°，则tan ∠DAC 的值为( C )A.B. C. D. 310.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( D )A ．26米B ．28米 C.30米 D ．46米11.如图，△ABC 内接于⊙0，AD 为⊙0的直径，交BC 于点E ，若DE=2，0E=3，则tan ∠ACB ·tan ∠ABC=( C )A.2B.3C.4D.5二、填空题12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ∶BC ＝1∶2，则sinB ＝________． [答案] 3413.如图，在半径为3的⊙0中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC=2，则tanD=____.[答案]14.已知对任意锐角α，β均有cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，则cos75°＝________．【答案】6－2415.如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE=∠B=a ，DE 交AC 于点E ，且cosa=45，则线段CE 的最大值为____.【答案】6.416.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D ，再爬倾斜角为60度的山坡200米，这座山的高度为______________(结果保留根号)【答案】(150＋100)米17.如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20 m，则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414≈1.732)【答案】54.618.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．【答案】5三、解答题19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，求cos A的值．【答案】解在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴cos A＝sin B＝.20.被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“玉米楼”)坐落在风景如画的如意湖畔，是来郑州观光的游客留影的最佳景点.学完了三角函数知识后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度.如图，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上的D处测得楼顶的仰角为40°.若高台DE的高为5米，点D到点C的水平距离EC为47.4米，A，C，E三点共线，求“玉米楼”AB的高度.(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数)【解析】如图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，交BC 于点F ，过点C 作CG ⊥DM 于点G ，设BM=x 米，由题意，得DG=47.4米，CG=5米，∠BFM=45°，∠BDM=40°，则FM=BM=x 米，GF=CG=5米，∴DF=DG ＋GF=52.4米，∴DM=BM tan BDM ∠=x tan 40︒≈x0.84(米)，∵DM －FM=DF ，∴x0.84－x=52.4，解得x≈275.1，∴AB=BM ＋AM=BM ＋DE ≈280米. 答：“玉米楼”AB 的高约为280米.21.计算：sin 45°＋cos 230°＋2sin 60°. 【答案】解原式＝×＋2＋2×＝＋＋＝1＋. 22.如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 至P ，使BP=OB ，BD 垂直于弦BC ，垂足为点B ，点D 在PC 上，设∠PCB=α，∠P0C=β，求证tan α·tan β=13【解析】如图，连接AC ，则∠A=12∠POC=2β. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴tan 2β=BCAC.∵BD ⊥BC ，tan α=BD BC ，BD ∥AC ，∴△PBD ∽△PAC ，∴BD AC =PBPA.∵PB=OB=OA ，∴PB PA =13.∴BD AC =13.∴tan α·tan 2β=BD BC ·BC AC =BDAC人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数检测卷一、选择题(每小题3分，共30分)1.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，BC ＝5，那么下列式子中正确的是( A )A.sin A ＝58B.cos A ＝58C.tan A ＝58 D.以上都不对 2.若cos A ＝32，则∠A 的大小是( A ) A.30° B.45° C.60° D.90°3.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝37，BC ＝4，则AB 的长度为( D ) A.43 B.74 C.8103 D.2834.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( A )A.2＋ 3B.2 3C.3＋ 3D.3 35.△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是( C )A.sin α＝cos αB.tan C ＝2C.sin β＝cos βD.tan α＝16.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2 海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是( C )A.2 海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里7.Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，那么c 等于( B )A.a cos A＋b sin BB.a sin A＋b sin BC.asin A＋bsin B D.acos A＋bsin B8.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( D )A.4sinθ米2 B.4cosθ米2 C.(4＋tanθ4)米2 D.(4＋4tanθ)米29.如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD 垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心时照明效果最佳.此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( D )A.(11－22)米B.(113－22)米C.(11－23)米D.(113－4)米10.如图，小明爬山，在山脚下B处看山顶A的仰角为30°，小明在坡度为i＝512的山坡BD上去走1300米到达D处，此时小明看山顶A的仰角为60°，则山高AC为( B )A.600－250 3B.6003－250C.350＋350 3D.500 3二、填空题(每小题4分，共24分)11.计算：2sin60°12.如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于13.传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶0.75，它把物体从地面送到离地面高8米的地方，物体在传送带上所经过的路程为10米.14.如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米(假设拉线是直的)，且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平(结果保留根号).15.如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝12 .16.△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是三、解答题(共66分)17.(6分)计算：2cos 245°－(tan60°－2)2－(sin60°－1)0＋(12)－2 解：原式＝2×(22)2－|3－2|－1＋4＝1－(2－3)－1＋4＝3＋2.18.(6分)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值.解：∵在直角△ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213.19.(6分)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12米，求大厅两层之间的距离BC 的长.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60)解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB·sin∠BAC＝12×0.515≈6.2(米).即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.20.(8分)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m).(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.21.(8分)王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示.已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由.(提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内.理由：作AD⊥BC于点D，∵∠C＝50°，AC＝20 cm，∴AD＝AC·sin50°＝20×0.8＝16 cm，CD＝AC·cos50°＝20×0.6＝12 cm，∵BC＝18 cm，∴DB＝BC－CD＝18－12＝6 cm，∴AB＝AD2＋BD2＝162＋62＝292，∵17＝289＜292，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内.22.(10分)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73)人教新版九年级下学期单元测试卷：《锐角三角函数》一．选择题1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tan A ＝（）A．B．1C．D．2．若0°＜∠A＜45°，那么sin A﹣cos A的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．04．关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1利用上述公式计算下列三角函数①s in105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）7．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB＝60°，OA＝OB＝14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm8．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米9．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°已知侧倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米）（）A．30米B．18.9米C．32.6米D．30.6米10．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时二．填空题11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝37°，则BC的长为（注：tan ∠B＝0.75，sin∠B＝0.6，c os∠B＝0.8）12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．13．若tanα＝1（0°＜α＜90°），则sinα＝．14．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，则cos A＝．15．在△ABC中，若|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，则∠C的度数是．16．请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A：一个正多边形的一个外角为36°，则这个多边形的对角线有条．B：在△ABC中AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，则∠A的度数约为．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°．）17．如图，点A（t，2）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，则t＝18．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（点B，F，C在同一条直线上），则AE之间的长为米．（结果精确到lm，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）三．解答题19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．20．我们知道：sin30°＝，tan30°＝，sin45°＝，tan45°＝1，sin60°＝，tan60°＝，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝．求cos A，sin B，tan B的值．22．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．23．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．24．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（6，y），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为．求：（1）y的值；（2）角α的正弦值．25．某建筑物的金属支架如图所示，根据要求AB长为4m，C为AB的中点，点B到D的距离比立柱CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，求立柱CD长．26．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD（结果果保留根号）．参考答案一．选择题1．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE＝90°．∴BE∥AC．∵AB＝BD，∴AC＝2BE．又∵tan∠BCD＝，设BE＝x，则AC＝2x，∴tan A＝＝＝，故选：A．2．【解答】解：∵cos A＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，∴当0°＜∠A＜45°时，sin A＜cos A，即sin A﹣cos A＜0．故选：B．3．【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．4．【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°＝×+×＝，故此选项正确；②tan105°＝tan（60°+45°）＝＝＝＝﹣2﹣，故此选项正确；③sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°＝×﹣×＝，故此选项正确；④cos90°＝cos（45°+45°）＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°＝×﹣×＝0，故此选项正确；故正确的有4个．故选：D．5．【解答】解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．6．【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC＝＝2，∵∠CBH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠OAB＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，∵∠CHB＝∠AOB＝90°，∴△CBH∽△BAO，∴＝＝＝2，∴BH＝﹣2a，CH＝2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴＝，∴＝，∴FH＝2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b＝﹣2a，∴2b＝﹣2a﹣2c，b＝﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选：C．7．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA＝OB＝14厘米，∠AOB＝60°，∴∠AOG＝∠BOG＝30°，AG＝BG，∴OG＝OA•cos30°＝7厘米，故选：D．8．【解答】解：作BC⊥AC．在Rt△ABC中，∵AB＝13m，BC：AC＝5：12，∴可以假设：BC＝5k，AC＝12k，∵AB2＝BC2+AC2，∴132＝（5k）2+（12k）2，∴k＝1，∴BC＝5m，故选：A．9．【解答】解：过B作BF⊥CD，作FG⊥BD，∵∠BDF＝∠FDC＝30°，∴EF＝FH，∵∠BGF＝90°，∴EF＝FH＝10，∴DF＝20，∴DC＝DH+HC＝10+1.6≈18.9．故选：B．10．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝45°+（90°﹣75°）＝60°，∴BD＝AB•cos60°＝AB＝6，AD＝AB•sin60°＝6，∴CD＝10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．故选：B．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tan B＝，∴BC＝＝＝4．故答案为4．12．【解答】解：∵cos50°＝sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．13．【解答】解：∵tanα＝1（0°＜α＜90°），∴∠α＝45°，则sinα＝，故答案为．14．【解答】解：如图，由tan B＝，得AC＝4k，BC＝3k，由勾股定理，得AB＝5k，cos A＝＝＝，故答案为：．15．【解答】解：∵在△ABC中，|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．故答案为：90°．16．【解答】解：A、由一个正多边形的一个外角为36°，得360÷36＝10，则这个多边形的对角线有＝35，B、由AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，得cos A＝≈0.667，A＝42.5故答案为：35，42.5°．17．【解答】解：过A作AB⊥x轴于B．∴sinα＝，∵sinα＝，∴＝，∵A（t，2），∴AB＝2，∴OA＝，∴t＝，故答案为：．18．【解答】解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为xm，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴BC＝BF+FC＝（x+13）m，在Rt△AEM中，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝（x﹣2）m，又tan∠AEM＝，∠AEM＝22°，∴＝0.4，解得x≈12，则ME＝BC＝BF+13≈12+13＝25（m）．在Rt△AEM中，cos∠AEM＝，∴AE＝≈≈27（m），故AE的长约为27m．故答案为：27．三．解答题（共8小题）19．【解答】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x，∴EM2+CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM＝＝．20．【解答】解：对于任意锐角α，都有tanα＞sinα，理由如下：如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设∠A＝α．则tanα＝，sinα＝，∵b＜c，∴＞，∴tanα＞sinα．21．【解答】解：∵sin A＝＝，∴设AB＝13x，BC＝12x，由勾股定理得：AC＝＝＝5x，∴cos A＝＝，sin B＝cos A＝，tan B＝＝．22．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°＝＝＝．23．【解答】解：（1）∵2sin30°•cos30°＝2××＝，sin60°＝．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，∴2sin30°•cos30°＝sin60°，2sin22.5°•cos22.5＝sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；故结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α．24．【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C．∵t anα＝，OC＝6，∴PC＝8，即y＝8．（2）∵OP＝＝10．则sinα＝＝＝．25．【解答】解：连接BD，作OB⊥CD于点O，∵在直角三角形BCO中，∠BCD＝60°，AB长为4m，C为AB的中点，∴OC＝m，OB＝OC＝m，在直角三角形BOD中，设CD为x，OD＝DC﹣OC＝x﹣1，BD＝CD﹣0.5＝x﹣0.5，OB＝，可得：，解得：x＝3.75，答：CD的长为3.75m．26．【解答】解：过B作BF⊥AD于F．在Rt △ABF 中，AB ＝5，BF ＝CE ＝4．∴AF ＝3．在Rt △CDE 中，tan α＝＝i ＝． ∴∠α＝30°且DE ＝＝4，∴AD ＝AF +FE +ED ＝3+4.5+4＝7.5+4．答：坡角α等于30°，坝底宽AD 为7.5+4．人教版九年级下学期第28章锐角三角函数单元过关测试卷含参考答案一、选择题（每小题3分，共18分）1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，b=53c ，则sinB 的值是（） A 、53 B 、54 C 、43 D 、34 2、在△ABC中，若1sin 02A B -=，则△ABC 是（） A 、等腰三角形 B 、等腰直角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=53，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（） A 、21 B 、2 C 、25 D 、554、如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（）A ．32 m B．62 m C ．（32﹣2）m D ．（62﹣2）m5、一人乘雪橇沿坡度为i=１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间的关（第3题）（第4题）（第6题） E D C B A D B C A B D C E A系为Ｓ＝2210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）A 、72米B 、36米C 、336米D 、318米6、某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A ．8.1米B ．17.2米C ．19.7米D ．25.5米二、填空题（每小题3分，共21分）7、在△ABC 中，∠C ＝90°，若sinB ＝31，则sinA 的值为 8、如图，P 是∠α 的边OA 上一点，且点P 的坐标为（3，4），则sin α=9、升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为 . （取3=1.732，结果精确到0.1m ）10、如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A 测得D 点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC= 米.11、如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤高BC=5m ，则坡面AB 的长度是米．12、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为13、四边形的对角线的长分别为，可以证明当时（如图1），四边形的面积，那么当所夹的锐角为θ时（如图2），四边形的面积．（用含的式子表示）三、解答题（共61分）14、计算：（8分）（145sin 60)︒-︒（2）3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•tan45°．（第10题）（第11题）（第13题）Ｄ图1 Ｃ图215、（8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，求高压电线杆CD 的高度（结果保留0.1m，1.732）.16、（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB=AD ，BD 平分∠ABC ，若CD=3，BD=62，sin ∠DBC=33，求对角线AC 的长．17、（8分）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）18、（8分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (≈1.411.73≈2.45， )AB19、（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。

人教版九年级下册数学第28章锐角三角函数单元测试卷(有答案)

2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定2．用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是（）A．tan26°＜cos27°＜sin28°B．tan26°＜sin28°＜cos27°C．sin28°＜tan26°＜cos27°D．cos27°＜sin28°＜tan26°3．已知锐角α满足cosα＝，则tanα是（）A．B．C．2D．24．在直角三角形中不能求解的是（）A．已知一直角边和一锐角B．已知斜边和一锐角C．已知两边D．已知两角5．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（AC⊥BA）测得∠C＝50°，则A、B间的距离应为（）A．15sin50°米B．15cos50°米C．15tan50°米D．米6．如图，在高为2m，坡比为1：的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为（）A．4m B．6m C．m D．m 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．28．△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则△ABC为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，用计算器求∠A约等于（）A．14°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′10．如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°．若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m，当时的水位是+3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是（）A．50m B．50m C．5m D．53m二．填空题11．比较大小：sin87°tan47°．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，则tan B＝．13．在△ABC中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，则∠C＝，sin A+cos B+tan C ≈．14．计算：tan45°+sin260°＝．15．已知：∠α是锐角，且sinα•cosα＝，则sinα+cosα＝．16．一船向西航行，上午9时30分在小岛A的南偏东30°，距小岛A60海里的B处，上午11时，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为．17．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为m．（小明身高忽略不计，≈1.732）18．如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为，∠α＝60°，则AB＝．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A＝，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB的垂直平分线MN交AC于D，且CD：DA ＝3：5，则sin A＝．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm．求∠A，∠B的正弦、余弦和正切的值．22．如图，梯子AB的长为2.8m．当α＝60°时，求梯子顶端离地面的高度AD和两梯脚之间的距离BC．当α＝45°时呢？23．已知∠A为锐角，且cos A＝，求sin A、tan A．24．观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．25．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m，在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，求气球A离地面的高度AD（精确到0.1m）．26．在直角坐标系中，点P（x，6）在第一象限，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是．求x的值，及角α的正弦和余弦值．27．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．参考答案与试题解析一．选择题1．解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：A．2．解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469．故sin28°＜tan26°＜cos27°．故选：C．3．解：∵cosα＝＝，∴可设b＝x，则c＝3x，∵a2+b2＝c2，∴a＝2x，∴tanα＝＝＝2．故选：D．4．解：A、已知一直角边和一锐角能够求解；B、已知斜边和一锐角能够求解；C、已知两边能求解；D、已知两角不能求解．故选：D．5．解：因为AC＝15米，∠C＝50°，在直角△ABC中tan50°＝，所以AB＝15•tan50°米．故选：C．6．解：如图，根据题意得：AC＝2m，i＝AC：BC＝1：，∴BC＝AC＝2m，∴地毯的长度应为：AC+BC＝2+2（m）．故选：D．7．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则sin B＝cos A＝．故选：A．8．解：由tan A＝1，cos B＝，得A＝45°，B＝30°，由三角形内角和定理，得C＝180°﹣A﹣B＝105°，故选：B．9．解：sin A＝＝≈0.385，A＝sin﹣10.385＝22.64°＝22°37′，故选：D．10．解：由题意得，AC＝50米，∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC cot∠ABC＝50（米）．故选：B．二．填空题11．解：∵sin87°＜1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin87°＜tan47°，故答案为：＜．12．解：∵∠C＝90°，AB＝，BC＝1，∴AC＝＝2，∴tan B＝＝2，故答案为：2．13．解；∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣135°＝45°．sin A+cos B+tan C≈0.86935+0.26527+1≈2.1346．故答案为：45°；2.1346．14．解：tan45°+sin260°＝1+（）2＝1．故答案为：1．15．解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinα•cosα+cos2α＝1+2sinα•cosα，∴当sinα•cosα＝时，原式＝1+＝，则sinα+cosα＝±＝±，∵∠α是锐角，sinα，cosα都为正数，∴sinα+cosα＝．故答案为：．16．解：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，AB＝60海里，故BC＝30海里，11时﹣9时30分＝1.5小时，船航行的速度为30÷1.5＝20海里/时．故答案为：20海里/时．17．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝20m．∴DC＝BD•sin60°＝20×≈17.32（m）．故答案为：17.32．18．解：如图，过点B作BC⊥l2于点C，则BC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝α＝60°，BC＝，所以AB＝＝＝2．故答案是：2．19．解：设c＝5k，a＝3k．由勾股定理得：b＝＝＝4k．∴tan A＝＝．∵△ABC的周长为48，∴5k+3k+4k＝48．解得：k＝4．∴3k＝3×4＝12，4k＝4×4＝16．∴△ABC的面积＝＝96．故答案为：；96．20．解：如图，连BD，设CD＝3x，则DA＝5x，又∵MN垂直平分AB，∴DB＝DA＝5x，在Rt△BCD中，BC＝4，∵BD2＝CD2+BC2，∴（5x）2＝（3x）2+42，∴x＝1，∴AC＝AD+DC＝5x+3x＝8x＝8，在Rt△ABC中，AB＝＝＝4．sin A＝．故答案为：三．解答题21．解：由勾股定理得：AB＝＝＝7（cm）．∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝，sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝＝．22．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠ABD＝∠ACD．当α＝60°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝60°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝1.4m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝2.8m；当α＝45°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝45°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝m．23．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sin A＝或﹣（舍去），∴sin A＝，∵tan A＝，∴tan A＝＝．24．解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°＝1+1+…1+＝44+＝．25．解：根据题意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣20，在Rt△ADC中，∠ACD＝56°，∴tan56°＝，即1.48≈，解得AD≈61.7（m）．答：气球A离地面的高度AD约为61.7m．26．解：如图所示，过点P作PQ⊥x轴于点Q，由P（x，6）且P在第一象限知OQ＝x，PQ＝6，∵tan∠POQ＝tanα＝，∴＝，即＝，解得x＝9，则OP＝＝＝3，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝．27．解：∵75°＞60°＞30°＞15°，∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．。

(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试卷(有答案解析)(5)

一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（）A ．4B ．5C ．163D ．832．在Rt ABC 中，90,C a b c ∠=︒、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，如果3,4a b ==，那么下列等式中正确的是( )A ．4sin 3A =B ．4cos 3A =C ．4tan 3A =D ．4cot 3A =3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为（）题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒4．如图，O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为1，则弦BC 的长为（）A ．12B ．32C ．1D ．35．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（） A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα6．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30度，C 为OA 的中点，BC=1，则A 点的坐标为（）A ．()3,3B ．()3,1C ．()2,1D ．()2,37．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BC ⊥于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．8．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若BC=3，则此时OG的长度为（）A．322B．332C．32D．333229．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE 的长为5m，则树AB的高度是（）m．A．10 B．15 C．3D．3510．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2AC ，则cos A ＝（）A ．12B ．52C ．255D ．5511．在半径为1的O 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（）度．A ．75B ．15或30C ．75或15D ．15或4512．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（）A ．23B ．4C ．2.8D ．2.5二、填空题13．如图，河宽CD 为1003米，在C 处测得对岸A 点在C 点南偏西30°方向、对岸B 点在C 点南偏东45°方向，则A 、B 两点间的距离是_____米．（结果保留根号）14．先将一矩形ABCD 置于直角坐标系中，使点A 与坐标系的原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若4AB =，3BC =，则图1和图2中点B 点的坐标为_________，点C 的坐标_________．15．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，直径AD 交BC 于点E ，若1DE =，2cos 3BAC ∠=，则弦BC 的长为______．16．如图，在矩形ABCD 中，6BC =，4cos 5CAB ∠=， P 为对角线AC 上一动点，过线段BP 上的点M 作EF BP ⊥，交AB 边于点E ，交BC 边于点 F ，点N 为线段EF 的中点，若四边形BEPF 的面积为18，则线段BN 的最大值为 ________ ．17．3cosA ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是_________ 18．如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1．点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0）．设点M 转过的路程为m （01m <<），，随着点M 的转动，当m 从13变化到23时，点N 相应移动的路径长为___．19．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2m，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要_____________平方米．20．如图，矩形ABCD中，AD=1，CD=3，连接AC，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF，线段AE与弧BF交于点G，连接CG，则图中阴影部分面积为__.三、解答题21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠A＝30°，O为线段AC上一点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆恰好经过点B，与AC的另一个交点为D．（1）求证：AB是圆O的切线；（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．22．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．（1）求该圆的半径；（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 AB 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 23．计算；（1）4sin 302cos 453tan 302sin 60--+︒︒︒︒ （2）()213tan 308cos 451tan 60cos60-++-︒︒︒︒24．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边6,12AB BC ==，直线32y x m =-+与y 轴交于点P ，与边BC 交于点E ，与边OA 交于点D ．（1）已知矩形ABCO 为中心对称图形，对称中心(点F )为对角线AC OB ，的交点，若直线32y x m =-+恰好经过点F ，求点F 的坐标和m 的值﹒ （2）在（1）的条件下，过点P 的一条直线绕点P 顺时针旋转时，与直线BC 和x 轴分别交于点,N M 、试问是否存在ON 平分CNM ∠的情况．若存在，求线段AM 的长，若不存在，说明理由﹒（3）将矩形ABCO 落在（1）条件下的直线32y x m =-+折叠，若点О落在边CB 上，求出该点坐标，若不在边CB 上，请你说明将（1）中的直线32y x m =-+沿y 轴进行怎样的平移，使矩形ABCO 沿平移后的直线折叠，点O 恰好落在边CB 上．25．如图，在ABC 中，60ABC ∠=，23AB =，8BC =，以AC 为腰，点A 为顶点作等腰ACD △，且120DAC ∠=，则BD =______．26．如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，C 是AD 中点，弦CE AB ⊥于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD ．（1）求证：P 是线段AQ 的中点；（2）若O 的半径为5，D 是BC 的中点，求弦CE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图，过D 作DP CE ⊥于,P 证明：,EP CP EDP CDP =∠=∠，,DEC DCE ∠=∠再证明,AEF BCG EDP ∠=∠=∠ 结合矩形的性质证明：,AFG EFA ∽利用相似三角形的性质可得4EF =，再求解,AG AE ，设,BG x = 可得2,DE x AD x =+= 利用勾股定理求解,x 再由,BCG EDP ∠=∠可得：1,2EP DP =设,EP m = 则2,DP m = 由勾股定理求解m ，从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠ 90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠ ,AEF BCG EDP ∴∠=∠=∠,,90AGF CGB AF CG B ∠=∠⊥∠=︒， ,FAG BCG ∴∠=∠ ,FAG AEF ∴∠=∠90AFG EFA ∠=∠=︒，,AFG EFA ∴∽ ,AF FGEF FA∴= 21AF FG ==，，21,2EF ∴= 4EF ∴=，AE ∴== AG == 设BG x =，则,AB CD x DE ==+= AEF BCG ∠=∠，1tan tan ,2AF AEF BCG EF ∴∠=∠== 1,2BG BC ∴= 2,BC x AD ∴== ()((2222,x x ∴=+235250,x x ∴--=55x ∴=5x = 55855DE ∴== ,EDP BCG ∠=∠ 1,2EP DP ∴= 设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,m m ∴=⎝⎭83m ∴=（负根舍去）162.3EC EP ∴==故选：.C 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．2．D解析：D 【分析】分别算出∠A 的各个三角函数值即可得到正确选项．【详解】解：由题意可得：2222345c a b =++=，∴3434sin ,cos ,tan ,,5543a b a b A A A cotA c c b a ======== ∴正确答案应该是D ，故选D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．3．A解析：A【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x−10，得到CE＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x−10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x−10，∴CE＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EFCE ＝-10xx，∴x＝（x−10）tan 50°，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．D解析：D【分析】先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝12BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，进而可求BC．【详解】解：如右图所示，作OD⊥BC于D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BD＝12BC，∴BD＝sin60°×OB∴BC＝2BD＝故答案是【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD⊥BC，并求出BD．5．B解析：B【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，∵cotαAC=，BC∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.6．B解析：B【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．【详解】⊥轴于D点，解：如图，过A点作AD x∆的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30．Rt OAB30AOD ∴∠=︒， 12AD OA ∴=， C 为OA 的中点，1AD AC OC BC ∴====， 2OA ∴=，3OD ∴=，则点A 的坐标为：(3，1)．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．7．A解析：A 【分析】分两段来分析：①点P 从点A 出发运动到点D 时，写出此段的函数解析式，则可排除C 和D ；②P 点过了D 点向C 点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，22AC BC ==，∴45A ∠=︒，4AB =，又∵CD AB ⊥，∴2AD BD CD ===，45ACD BCD ∠=∠=︒，∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，∴四边形CEPF 是矩形，I ．当P 在线段AD 上时，即02x <≤时，如解图1∴2sin 2AE PE AP A x ===， ∴222CE x =， ∴四边形CEPF 的面积为2221222222y x x x x ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD 错误；II ．当P 在线段CD 上时，即24x <≤时，如解图2：依题意得：4CP x =-，∵45ACD BCD ∠=∠=︒，PE AC ⊥，∴sin CE PE CP ECP ==⨯∠，∴())24sin 4542CE PE x x ==-︒=-， ∴四边形CEPF 的面积为()222144822x x x y ⎤-=-+⎥⎣⎦=，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．8．A解析：A【分析】分别过O 作OH ⊥BC ，过G 作GI ⊥OH ，由O 是中点，根据平行线等分线段定理，可得H为BC 的中点，则可得BH=32，再由三个角都是直角的四边形是矩形，可得GI=BH=32，在等腰直角三角形OGI 中，即可求解．【详解】解：过O 作OH ⊥BC 于H ，过G 作GI ⊥OH 于I ∵∠ABC=90°，∴AB ⊥BC ，∴OH ∥AB ，又O 为中点，∴H 为BC 的中点，∴BH=12BC=32∵GI ⊥OH ，∴四边形BHIG 为矩形，∴GI ∥BH ，GI=BH=32, 又∠F=45°，∴∠OGI=45°，∴在Rt △OGI 中，32cos 2GI OG OGI ==∠．故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形及平行线等分线段定理，构造合适的辅助线是解题关键． 9．B解析：B【分析】先根据CD ＝10m ，DE ＝5m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBE ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：在Rt △CDE 中，∵CD ＝10m ，DE ＝5m ，∴sin ∠DCE ＝51102DE CD ==， ∴∠DCE ＝30°．∵∠ACB ＝60°，DF ∥AE ，∴∠BGF ＝60°∴∠ABC ＝30°，∠DCB ＝90°．∵∠BDF ＝30°，∴∠DBF ＝60°，∴∠DBC ＝30°，∴BC ＝103tan303CD ==︒（m ）， ∴AB ＝BC •sin60°＝1033⨯＝15（m ）．故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．10．D解析：D【分析】此题根据已知可设AC ＝x ，则BC ＝2x ，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：∵BC ＝2AC ，∴设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵∠C ＝90°，∴AB ＝225AC BC a +=， ∴cosA ＝555AC AB a==，故选：D ．【点睛】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．11．C解析：C【分析】根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=32AE =，．sin ∠AOD=2，∴∠AOD=60°；sin ∠AOE=2，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.12．C解析：C【分析】连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，根据勾股定理可得AC ，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得EC 的长．判断△EAB ≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得EB ＝EC ，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ，从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F 是BC 中点，BF ＝CF EF ⊥BC ，由勾股定理可得EF 的长，继而列出关于R 的一元二次方程，解方程即可解答．【详解】如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2∵BC＝AB ＝2由勾股定理可得：AC 4∴sin ∠ACB ＝24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°∵△ADE 是正三角形 ∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,∴△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得：EC∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°∴∠EAB ＝∠EDC∵EA ＝ED ，AB ＝DC∴△EAB ≌△EDC ∴EB ＝EC ＝27即△EBC 是等腰三角形∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，∵F 是BC 中点∴BF ＝CF ＝3，EF ⊥BC在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：EF ＝22EB BF -＝()()22273-＝5 ∴OF ＝EF －OE ＝5－R在Rt △OBF 中，222BF OF OB 即()()22235R R +-= 解得：R ＝2.8∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的半径为2.8．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识．二、填空题13．100+100【分析】根据正切的定义求出AD 根据等腰直角三角形的性质求出BD进而得到AB的长【详解】在Rt△ACD中tan∠ACD＝则AD＝CD×tan∠ACD＝100×＝100（米）在Rt△CDB解析：【分析】根据正切的定义求出AD，根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而得到AB的长．【详解】在Rt△ACD中，tan∠ACD＝AD CD，则AD＝CD×tan∠ACD＝100（米），在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝∴AB＝AD+BD＝（故答案为：（【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．14．【分析】根据旋转的性质求解【详解】解：∵AB=4在x轴正半轴上∴图1中B坐标为（40）在图2中过B作BE⊥x轴于点E那么OE=4×cos30°=2BE=2在图2中B点的坐标为（22）；易知图1中点C解析：()2⎝⎭【分析】根据旋转的性质求解．【详解】解：∵AB=4，在x轴正半轴上，∴图1中B坐标为（4，0），在图2中过B作BE⊥x轴于点E，那么OE=4×cos30°BE=2，在图2中B点的坐标为（2）；易知图1中点C 的坐标为（4，3），在图2中，设CD 与y 轴交于点M ，作CN ⊥y 轴于点N ，那么∠DOM=30°，OD=3， ∴DM=3•tan30°=3，OM=3÷cos30°=23，那么CM=4-3，易知∠NCM=30°，∴MN=CM•sin30°=43-，CN=CM•cos30°=433-，则ON=OM+MN=334+， ∴图2中C 点的坐标为（433-，334+）．【点睛】此题主要考查了旋转性质的应用，旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造直角三角形求解．15．【分析】连接OBOC 由题意易得AE ⊥BC 则有BE=EC ∠BOD=∠BAC 设OB=3rOE=2r 然后根据勾股定理可求解【详解】解：连接OBOC 如图所示：∵内接于AD 过圆心O ∴AE ⊥BC ∴BE=EC ∴∠解析：25【分析】连接OB 、OC ，由题意易得AE ⊥BC ，则有BE=EC ，∠BOD=∠BAC ，设OB=3r ，OE=2r ，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：连接OB 、OC ，如图所示：∵ABC 内接于O ，AB AC =，AD 过圆心O ，∴AE ⊥BC ，∴BE=EC ，BD DC =，∴∠BAD=∠CAD ，∵∠BOD=2∠BAD ，∴∠BAC=∠BOD ， ∵2cos 3BAC ∠=， ∴2cos 3BOD ∠=， ∵DE=1，∴设OB=3r ，OE=2r ，则有： 321r r =+，解得：1r =，∴3,2OB OE ==，∴在Rt △BEO 中，BE =， ∴BC =故答案为【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理是解题的关键．16．【分析】在△ABC 中求出AC 与AB 的长点P 在AC 上则6≤BP≤8由点N 为线段EF 的中点∠ABC=90º则EF=2BN 根据四边形BEPF 的面积为18利用对角线乘积的一半求面积得BN 与PB 成反比例PB 最解析：154【分析】在△ABC 中，6BC =，4cos 5CAB ∠=求出AC 与AB 的长，点P 在AC 上则6≤BP≤8，由点N 为线段EF 的中点，∠ABC=90º，则EF=2BN ，根据四边形BEPF 的面积为18，EF BP ⊥利用对角线乘积的一半求面积得，PB BN=18，BN 与PB 成反比例， PB 最小时，BN 最大，当PB ⊥AC 时，PB 最小，求出最小值即可．【详解】在△ABC 中，6BC =，4cos 5CAB ∠=， ∵22sin cos 1CAB CAB ∠+∠=，∴3sin 5CAB ∠=，由正弦函数定义BC sin=ACCAB∠，∴AC=BC6==103sin5CAB∠，由勾股定理得AB=2222AC1068BC-=-=，点P在AC上则6≤BP≤8，∵点N为线段EF的中点，由∠ABC=90º，∴EF=2BN，∵四边形BEPF的面积为18，EF BP⊥，∴S四边形EBFP=11PB EF=PB2BN=PB BN=1822⨯，∴PB BN=18，∴18BN=PB，当PB最小时，BN最大，当PB⊥AC时，PB最小，即S△ABC=11AB BC=AC BP 22BP最小=AB BC8624== AC105⨯BN最大=1815= 2445故答案为：154．【点睛】本题考查锐角三角函数解直角三角形与点到直线距离最短问题，掌握锐角三角函数及其之间的关系，会用锐角三角函数解直角三角形，掌握垂线段最短，会利用面积或勾股定理求BP的最小值，解题时要理解BP最小，BN最大是解题关键．17．20°＜∠A＜30°【详解】∵＜cosA＜sin70°sin70°=cos20°∴cos30°＜cosA＜cos20°∴20°＜∠A＜30°解析：20°＜∠A＜30°．【详解】∵3＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．18．【分析】当m从变化到时点N相应移动的路经是一条线段只需考虑始点和终点位置即可解决问题当m=时连接PM如图1点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的从而可得到旋转角为120°则∠APM=120°根据PA=解析：23 3【分析】当m从13变化到23时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m=13时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的13，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m=23时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的23，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．【详解】解：①当m=13时，连接PM，如图1，∠APM=13×360°=120°．∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1×33=33．②当m=23时，连接PM，如图2，∠APM=360°-23×360°=120°，同理可得：3综合①、②可得：点N相应移动的路径长为33+33=33．23【点睛】本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．19．（）【分析】由三角函数的定义得到AC得出AC+BC的长度由矩形的面积即可得出结果【详解】在Rt△ABC中（米）∴AC+BC=米∴地毯的面积至少需要1×（）=（）（米2）；故答案为：（）【点睛】本题考解析：（2+23【分析】由三角函数的定义得到AC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．【详解】在Rt△ABC中，2333BCACtanθ===∴AC+BC=(2+23)米，∴地毯的面积至少需要1×（2+23=（2+232）；故答案为：（2+23）．【点睛】本题考查了勾股定理、矩形面积的计算；由三角函数求出BC是解决问题的关键．20．﹣【分析】由勾股定理得到AC=2由三角函数的定义得到∠CAB=30°根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°求得∠BAG=60°然后根据图形的面积即可求得【详解】在矩形ABCD中∵AD=1CD=解析：2π﹣2【分析】由勾股定理得到AC=2，由三角函数的定义得到∠CAB=30°，根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°，求得∠BAG=60°，然后根据图形的面积即可求得．【详解】在矩形ABCD 中，∵AD=1，，∵AC=2，tan ∠CAB=BC AD AB CD == ∴∠CAB=30°，∵线段AC 、AB 分别绕点A 顺时针旋转90°至AE 、AF ，∴∠CAE=∠BAF=90°，∴∠BAG=60°，∵，∴阴影部分面积=S △ABC +S 扇形ABG -S △ACG 21601122360222ππ⋅⨯=+-=-．故答案为：2π﹣2．【点睛】考查了扇形的面积计算，解题关键是灵活运用矩形、旋转的性质和熟记扇形的面积计算公式．三、解答题21．（1）见解析；（26π- 【分析】（1）连接OB ，根据等边对等角可求得∠OBA=90°，根据切线的判定即可求出答案．（2）分别求出△ABO 与扇形OBD 的面积后即可求出阴影部分面积．【详解】解：（1）连接OB ，∵AB ＝BC ，∴∠C ＝∠A ＝30°，∠CBA ＝120°，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠C ＝30°，∴∠OBA ＝∠CAB ﹣∠OBC =90°，∵OB 是⊙O 的半径，∴AB 是圆O 的切线；（2）∵∠A ＝30°，OB ＝1，∴AB ＝tan 30OB =3=3， ∴S △ABO ＝12×1×3＝3， ∵∠AOB =2∠C=60°，∴S 扇形OBD ＝601360π︒︒⨯＝6π， ∴S 阴影＝S △ABO ﹣S 扇形OBD ＝326π-．【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、锐角的三角函数、三角形的面积公式、扇形的面积公式，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．22．（1）该圆的半径为5m ．；（2）2米．【分析】（1）连接OC ，延长CO 交AB 于点D ，利用垂径定理求出AD ，再利用勾股定理求出圆的半径．（2）过点O 作OE ⊥AB'，利用垂径定理求出A'E 的长，再利用勾股定理求出OE 的长，然后求出水面上涨的高度．【详解】（1）解：连接OC ，延长CO 交AB 于点D ，∴CD ⊥AB∴116322AD AB ==⨯= ，设圆的半径为r ，OD=r-1在Rt △AOD 中 OD 2+AD 2=AO 2即（r-1）2+9=r 2．解之：r=5．∴该圆的半径为5m ．（2）解：过点O 作OE ⊥AB'∴A'E=1''2A B =4，∴2222''543OEA O A E ， ∴水面上涨的高度为5-3=2米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．23．（132）231【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式123342322232=⨯-+⨯ 2113=--+ 3=（2）原式()23123221312=-+-32231=+ 231=．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值及实数运算法则是解本题的关键． 24．（1）F （6，3），m=12；（2）存在，1243+或1243-；（3）不在，需将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94个单位长度．【分析】（1）由题意得矩形的中心F 坐标为（6，3），代入32y x m =-+，得m=12；（2）分,M N 在y 轴左、右两侧两种情况，证明MON ∆是等边三角形即可得到结论；（3）假设沿直线3122y x =-+将矩形ABCO 折叠，点O 落在边AB 上O′处．连接PO′，OO′．则有PO′=OP ，由（1）得AB 垂直平分OP ，所以PO′=OO′，则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE ＞30°所以沿直线3122y x =-+将矩形ABCO 折叠，点O 不可能落在边AB 上．设沿直线32y x a =-+将矩形ABCO 折叠，点O 恰好落在边AB 上O′处．连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a ，则由题意得：AP′=a -6，∠OPE=∠AO′O ，Rt △OPE 中，OE OA OP AO '=，即8612AO =所以AO′=9，在Rt △AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a 2解得：394a =，所以将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94单位得直线，将矩形ABCO 沿直线折叠，点O 恰好落在边AB 上．【详解】()1四边形ABCO 是矩形，6,12,AB BC ==()()()12,012,6,,0,6A B C ∴，F 是,AC OB 的交点，FO ∴是OB 的中点，()6,3P ，将()6,3F 代入32y m =-+，得:363,2m -⨯+= 解得12,m = ∴点F 的坐标为()6,3，m 的值为12．（2）存在，①当,M N 在y 轴左侧时，如图1，直线3122y x =-+与y 轴交于点P ， (),0,1212,P OP ∴=,PC OC MG ∴==过M 点作MG BC ⊥交BC 的延长线于点,G,,MNG PNC PCN MGN PC GM ∠=∠∠=∠=，()MGN PCN AAS ∴∆≅∆，,PN MN ∴=点N 是PM 的中点，1,2ON PM MN ∴== ON 平分,//,CNM BC AM ∠,MNO CNO NOM ∴∠=∠=∠MON ∴∆是等边三角形，60,NMO ∴∠=︒4333MO ∴=== 4312AM MO OA ∴=+=+．②当,M N 在y 轴右侧时，如图2，同理可得3,OM =1243,AM AO OM ∴=-=-综上所述，线段AM 的长为123+1243-()3不在，理由如下：假设沿直线y=-32x+12将矩形ABCO折叠，点O落在边AB上O′处．连接PO′，OO′，则有PO′=OP，由（1）得AB垂直平分OP，所以PO′=OO′，则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE＞30°，所以沿直线y=-32x+12将矩形ABCO折叠，点O不可能落在边AB上．设沿直线y=-32x+a将矩形ABCO折叠，点O恰好落在边AB上O′处．连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a，则由题意得：AP′=a-6，∠OPE=∠AO′O，在Rt△OPE中，tanOEOPEOP∠=，在Rt△OAO′中，tanOAAO OAO'∠='，所以OE OAOP AO'=，即8612AO='，所以AO′=9，在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a2解得：a=394，所以将直线y=-32x+12沿y轴向下平移94单位得直线y=-32x+394，将矩形ABCO沿直线y=-32x+394折叠，点O恰好落在边AB上．【点睛】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．25．10．【分析】以A 为旋转中心，把△BAC 逆时针旋转120°，得到△EAD ，连接BE ，作AP ⊥BE 于P ，根据等腰三角形的性质、余弦的概念求出BE ，根据旋转变换的性质得到∠DEB ＝90°，根据勾股定理计算即可．【详解】解：以A 为旋转中心，把△BAC 逆时针旋转120°，得到△EAD ，连接BE ，作AP ⊥BE 于P ，则∠BAE ＝120°，AB ＝AE ，DE ＝BC ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴BP ＝AB•cos ∠ABP ＝3，∠DEA ＝∠ABC ＝60°，∴∠DEB ＝30°＋60°＝90°，BE ＝2BP ＝6，在Rt △BED 中，BD 22ED BE ＋＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理、旋转性质以及等腰三角形的性质等知识的综合运用，综合熟练掌握相关知识并利用旋转构造直角三角形和等腰三角形模型是解题的关键．26．（1）见解析；（2）53CE= 【分析】（1）先证明CAD ACE ∠=∠可得PA=PC ，然再证明PC=PQ ，即可得到P 是AQ 的中点；（2）首先证明：△CAQC0△CB4，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC 、BC 的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH 的长，则可以求得CE 的长．【详解】（1）证明：∵CE AB ⊥，AB 是直径∴AC AE =又∵AC CD =∴AE CD =∴CAD ACE ∠=∠∴AP CP =∵AB 是O 的直径∴90ACB ∠=︒，∴90ACE BCP CAD CQA ∠+∠=∠+∠=°∴BCP CQA ∠=∠∴CP PQ =∴AP PQ =即P 是线段AQ 的中点；（2）∵C 是AD 中点, D 是BC 的中点∴==AC CD DB ，AB 是直径∴90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∠CAB=60°又∵5210AB =⨯=∴5AC =，∴BC ==又∵CE AB ⊥,∠CAB=60°∴CH=AC·sin60°∴22CE CH === 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、弧的中点的性质以及三角形的面积公式，灵活应用相关相关性质是解答本题的关键．。

湘教版九年级上册数学《第4章锐角三角函数》单元测试题含答案

第4章锐角三角函数一、选择题1.tan60°的值等于（）A. B. C. D.2.在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=4，AB=5，则sinB的值是 ( )A. B. C. D.3.如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角，则cosα的值是（）A. B. C. 1 D.4.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米．则放水后水面上升的高度是（）米．A. 1.2B. 1.1C. 0.8D. 2.25.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（）A. 45B. 5C.D.6.王芳同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王芳同学离A地（）A. 50mB. 100mC. 150mD. 100m7.计算sin45°的结果是( )A. B. 1 C. D.8.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4）（）A. B. C. D.9.如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A. B. 1 C. D.10.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（）A. 56米B. 66米C. （56+20）米D. （50+20）米二、填空题11.若，则锐角α=________．12.一条斜坡长4米，高度为2米，那么这条斜坡坡比i=________ ．13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CD=4，cosA=，那么BC=________14.如图,河堤横断面如图所示,迎水坡AB的坡比为1：,则坡角∠A的度数为________15.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=37°,BC=32,则AC=________.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)16.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度为200米，点A、B、C在同一直线上，则AB两点间的距离是________米（结果保留根号）．17.在Rt 中，，，则的值为________．18.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为________．19.如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°．则垂直支架CD的长度为________厘米（结果保留根号）．三、解答题20.如图，已知∠B=90°，AB=2cm，BC=2cm，CD=3cm，AD=5cm，求四边形ABCD的面积．21.马航MH370 客机“失联”，我国“海巡01号”前往搜寻。

锐角三角函数测试题(含答案)

九年级下册《锐角三角函数》单元测试一、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐角,且，则为 ( ) 933425543A B C D ．．．． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A ．10B ．22C ．10或27D ．无法确定4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（） A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan aA5、45cos 45sin +的值等于（）A.2B.213+ C.3D. 16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( )A. 3B. 300C. 503 D. 157．当锐角α>30°时，则cos α的值是（） A ．大于12 B ．小于12C ．大于32D ．小于328．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ．2339．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）（A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ）83310．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，则AC 等于（） A ．6 B ．323C ．10D ．12 二、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 12．若sin28°=cos α，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______． 14．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝54，则BC 的长为_______cm . 16.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的高度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰角α＝60°，则旗杆AB 的高度为．（计算结果保留根号）（16题） (17题) 三、解答题18．由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，（2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 245°+2sin60°·tan45°；（2）22cos 30cos 60tan 60tan 30︒+︒︒⨯︒+ sin45°（45︒30︒BAD C四、解下列各题20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？21．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

济南市九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(含答案解析)

一、选择题1．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，则sin ∠BOD 的值等于（）A ．1010B ．31010C ．2105D ．105 2．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD 的平台BC 上（如图），测得52.5,5AED BC ︒∠＝＝米，35CD =米，19DE =米，则铁塔AB的高度约为（）（参考数据：52.50.79,52.50.61,52.5 1.30sin cos tan ︒︒︒≈≈≈）A ．7.6 米B ．27.5 米C ．30.5 米D ．58.5 米 3．在Rt ABC 中，90,C a b c ∠=︒、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，如果3,4a b ==，那么下列等式中正确的是( )A ．4sin 3A =B ．4cos 3A =C ．4tan 3A = D ．4cot 3A = 4．如图，O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为1，则弦BC 的长为（）A ．12B ．32C ．1D 35．已知二次函数y ＝ax 2＋6ax ＋c （a ＜0），设抛物线与x 轴的交点为A （﹣7，0）和B ，与y 轴的交点为C ，若∠ACO ＝∠CBO ，则tan ∠CAB 的值为（）A ．142B ．22C ．73D ．776．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )A ．8(31)+mB ．8(31)-mC ．16(31)+mD ．16(31)-m7．一把5m 长的梯子AB 斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为34，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA '的长度是（）A ．34mB ．13mC ．23mD ．12m 8．如图，ABC ∆的三个项点均在格点上，则tan A 的值为（）A ．12B ．5C ．2D ．25 9．如图，在Rt ABC ∆中，BC=4，AC=3，90C ∠=︒，则sinB 的值为（）A．45B．34C．35D．4310．在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝12，则sinB＝（）A．12B．32C．55D．25511．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则cos A＝（）A．12B．5C．25D．512．如图，在扇形OAB中，120AOB∠=︒，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B 重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π二、填空题13．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm．14．如图，在边长为10的菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC=60°，M、N分别是边BC，CD上的点，BM=CN，连接MN交AC于P点，当MN最短时，PC长度为_____．15．在ABCD 中，若30B ∠=︒，BC 10cm =，6AB cm =，则ABCD 的面积是__________.16．如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，点E 在AC 上，AE 23=AC ，D 是BC 延长线上一点，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°得到线段FE ，当AF ∥BD 时，线段AF 的长为____．17．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，F 为DA 上一点，连接BF ，E 为BF 中点，CD=6，sin ∠ADB=1010，若△AEF 的周长为18，则S △BOE =_____．18．如图，已知直线l ：y ＝33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为_____．19．乐乐同学的身高为166cm ，测得他站立在阳光下的影长为83cm ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为103cm ，那么乐乐竖直举起的手臂超出头顶的长度约为___________cm ．20．如图，在ABC ∆中，3AB AC cm ==，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交,AB BC 于,D E ，则EC 的长为_________．三、解答题21．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°，然后沿MP 方向前进16m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m 求观星台最高点A 距离地面的高度（结果精确到0.1m ．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）．22．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，O 是BEF 的外接圆．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ，求证：CD HF =．（3）若1CD =，3EH =，求BF 及AF 长．23．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长50cm AB =，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒A ，A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ，设AF ∥MN ．（1）求A 的半径长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，64CAF ∠=︒，求此时拉杆BC 的伸长距离．（精确到1cm ，参考数据：sin 640.90︒≈，cos640.39︒≈，tan64 2.1︒≈）24．如图，某乡村有一块菱形空地ABCD ，∠A ＝60°，AB ＝40米，现计划在内部修建一个四个顶点分别落在菱形四条边上的矩形鱼池EFGH ，其余部分种花草，园林公司修建鱼池，设AE 为x 米．(1)填空：ED ＝米，EH ＝米，(用含x 的代数式表示)；(2)若矩形鱼池EFGH 的面积是3003m 2，求EF 的长度；(3)若草坪的造价为每平方米60元，鱼池造价为每平方米50元，EF 的长度为多少时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价为多少元？25．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边6,12AB BC ==，直线32y x m =-+与y 轴交于点P ，与边BC 交于点E ，与边OA 交于点D ．（1）已知矩形ABCO 为中心对称图形，对称中心(点F )为对角线AC OB ，的交点，若直线32y x m =-+恰好经过点F ，求点F 的坐标和m 的值﹒ （2）在（1）的条件下，过点P 的一条直线绕点P 顺时针旋转时，与直线BC 和x 轴分别交于点,N M 、试问是否存在ON 平分CNM ∠的情况．若存在，求线段AM 的长，若不存在，说明理由﹒（3）将矩形ABCO 落在（1）条件下的直线32y x m =-+折叠，若点О落在边CB 上，求出该点坐标，若不在边CB 上，请你说明将（1）中的直线32y x m =-+沿y 轴进行怎样的平移，使矩形ABCO 沿平移后的直线折叠，点O 恰好落在边CB 上．26．如图，在ABC 中，60ABC ∠=，23AB =，8BC =，以AC 为腰，点A 为顶点作等腰ACD △，且120DAC ∠=，则BD =______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据平行线的性质和锐角三角函数定义以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin ∠BOD 的值，本题得以解决．【详解】解：连接AE 、EF ，如图所示，则AE ∥CD ，∴∠FAE=∠BOD ，∵每个小正方形的边长为1，则222222112,2425,3332,AE AF EF =+==+==+=∴△FAE 是直角三角形，∠FEA=90°， ∴32310sin 1025EF FAE AF ∠=== ∴310sin 10BOD ∠=故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数定义、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．C解析：C【分析】延长AB 交ED 于G ，过C 作CF ⊥DE 于F ，得到GF=BC=5，设DF=3k ，CF=4k ，解直角三角形得到结论．【详解】解：延长AB 交ED 于G ，过C 作CF ⊥DE 于F ，则四边形BGFC 是矩形∴GF=BC=5，∵山坡CD 的坡度为1：0.75，∴设DF=3k ，CF=4k ，∴CD=5k=35，∴k=7，∴DF=21，BG=CF=28，∴EG=GF+DF+DE=5+21+19=45，∵∠AED=52.5°，∴AG=EG•tan52.5°=45×1.30=58.5，∴AB=AG-BG=30.5米，答：铁塔AB 的高度约为30.5米．故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键． 3．D解析：D【分析】分别算出∠A 的各个三角函数值即可得到正确选项．【详解】解：由题意可得：2222345c a b =++=， ∴3434sin ,cos ,tan ,,5543a b a b A A A cotA c c b a ======== ∴正确答案应该是D ，故选D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．4．D解析：D【分析】先作OD ⊥BC 于D ，由于∠BAC ＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC ＝120°，又OD ⊥BC ，根据垂径定理可知∠BOD ＝60°，BD ＝12BC ，在Rt △BOD 中，利用特殊三角函数值易求BD ，进而可求BC ．【详解】解：如右图所示，作OD ⊥BC 于D ，∵∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝120°，又∵OD ⊥BC ，∴∠BOD ＝60°，BD ＝12BC ， ∴BD ＝sin60°×OB 3∴BC ＝2BD ＝3故答案是23．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD ⊥BC ，并求出BD ．5．D解析：D【分析】根据根和系数的关系，求出点B （1，0），利用tan ∠ACO ＝tan ∠CBO ，求出OC ＝7±，进而求解．【详解】解：如图所示，∵A （﹣7，0），则OA ＝7，设点B 的横坐标为b ，根据根和系数的关系，则﹣7＋b ＝﹣6a a ＝﹣6，解得b ＝1，∴ 点B （1，0），则OB ＝1，∵∠ACO ＝∠CBO ，∴tan ∠ACO ＝tan ∠CBO ，∴AO OC OC OB =，即71OC OC =，解得OC ＝7 tan ∠CAB ＝OC OA ＝77，故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点、三角函数公式，利用根和系数的关系求出点B 的坐标，是解题的关键．6．A解析：A【解析】设MN=xm，在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中,tan∠MAN=MN AN，∴tan30∘=16xx+=3√3，解得：，则建筑物MN的高度等于 +1)m；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.7．D解析：D【分析】设AC＝3k，BC＝4k，根据勾股定理得到AB5k＝5，求得AC＝3m，BC＝4m，根据直角三角形的性质健康得到结论．【详解】解：如图，∵梯子倾斜角α的正切值为34，∴设AC＝3k，BC＝4k，∴AB5k＝5，∴k＝1，∴AC＝3m，BC＝4m，∵A′B′＝AB＝5，∠A′B′C＝30°，∴A′C＝12A′B′＝52，∴AA′＝AC﹣A′C＝3﹣52＝12m，故梯子下滑的距离AA'的长度是12 m，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型．8．A解析：A【分析】连接格点BD,根据格点的长度求出BD 、CD 边的长度，根据勾股定理证明∠BDC=90°，再计算BD tan A=AD计算即可．【详解】解：如图所示，连接格点BD ，根据格点的性质，可得BD=CD=2，BC=2，∴∠BDC=90°，故ABD 为在直角三角形，且AD=22， ∴BD 21tan A=AD 222，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理及锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握格点三角形边长的求解办法．9．C解析：C【分析】由勾股定理求出AB 的长度，即可求出sinB 的值．【详解】解：在Rt ABC ∆中，BC=4，AC=3，90C ∠=︒，∴22345AB =+=，∴35AC sinB AB ==，故选：C ．【点睛】本题考查了求角的正弦值，以及勾股定理，解题的关键是正确求出AB 的值．10．D解析：D【分析】作出草图，根据∠A 的正切值设出两直角边分别为k ，2k ，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B 的正弦值即可求出．【详解】解：如图，∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝12， ∴设AC ＝2k ，BC ＝k ，则AB ＝22(2k)k +＝5k ，∴sinB ＝AC AB＝5k ＝25．故选：D ．【点睛】考核知识点：勾股定理，三角函数．理解正弦、正切定义是关键．11．D解析：D【分析】此题根据已知可设AC ＝x ，则BC ＝2x ，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：∵BC ＝2AC ，∴设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵∠C ＝90°，∴AB 225AC BC a +=， ∴cosA ＝555AC AB a==，故选：D ．【点睛】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．12．A解析：A【分析】如图，作OH ⊥AB 于H ．利用三角形中位线定理求出AB 的长，解直角三角形求出OB 即可解决问题．【详解】解：如图作OH ⊥AB 于H ．∵C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点．∴CD 是△APB 的中位线，∴AB ＝2CD ＝63∵OH ⊥AB ，∴BH ＝AH ＝33∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO， ∴AO ＝336sin 3AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2120612360ππ=，故选：A ．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题13．64【分析】连接ABCD 过点A 作AE ⊥CD 于E 过点B 作BF ⊥CD 于F 求出CEEFDF 即可解決问题；【详解】解：如图连接ABCD 过点A 作AE ⊥CD 于E 过点B 作BF ⊥CD 于F ∵AB//EFAE//BF ∴解析：64【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出 CE , EF , DF 即可解決问题；【详解】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．∵AB//EF，AE//BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵∠AEF＝90°，∴四边形AEFB是矩形，∴EF＝AB＝10（cm），∵AE//PC，∴∠PCA＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），同法可得DF＝27（cm），∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），故答案为64．【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．14．【分析】连接AMAN证明△AMB≌△ANC推出△AMN为等边三角形当AM⊥BC时AM最短即MN最短在Rt△ABM中求出AM的长在Rt△AMP中求出AP的长即可解决问题【详解】解：连接AMAN∵ABC解析：5 2【分析】连接AM，AN，证明△AMB≌△ANC，推出△AMN为等边三角形，当AM⊥BC时，AM最短，即MN最短，在Rt△ABM中求出AM的长，在Rt△AMP中求出AP的长，即可解决问题．【详解】解：连接AM，AN，∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC=10，同理可证∠ACN=60°，在△AMB 和△ANC 中，AB AC B ACN BM NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB ≌△ANC ，∴AM=AN ，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，∴∠MAN=60°，∴△AMN 为等边三角形，∴MN=AM ，∠MAN=60°，当AM ⊥BC 时，AM 最短，即MN 最短，∵sinB=AM AB ， ∴AM=sin60°×10=53．∵∠ABC=60°，∴∠BAM=30°，∴∠MAC=30°，∴∠NAC=30°，∴AP ⊥MN ．∵sin ∠AMN=AP AM， ∴AP=sin60°×53=152， ∴CP=10-152=52．故答案为：52．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．15．【分析】连接AC 利用求出的面积再求出的面积【详解】解：连接AC 如图：∵∴；∴故答案为：30【点睛】本题考查了解直角三角形平行四边形的性质以及求三角形的面积解题的关键是利用求出三角形的面积解析：30【分析】连接AC ，利用1sin 2ABC S AB BC B ∆=••求出ABC ∆的面积，再求出ABCD 的面积．【详解】解：连接AC ，如图：∵30B ∠=︒，BC 10cm =，6AB cm =，∴111sin 61015222ABC S AB BC B ∆=••=⨯⨯⨯=； ∴215230ABCD ABC S S ∆==⨯=．故答案为：30．【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，以及求三角形的面积，解题的关键是利用1sin 2ABC S AB BC B ∆=••求出三角形的面积． 16．1【分析】过点E 作EM ⊥AF 于M 交BD 于N 根据30°直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN 的长再依据△EMF ≌△DNE （AAS ）得出MF=EN 据此可得当AF ∥BD 时线段AF 的解析：13+．【分析】过点E 作EM ⊥AF 于M ，交BD 于N ，根据30°直角三角形的性质求出AM =1，再根据∠60°的三角函数值求出EN 的长，再依据△EMF ≌△DNE （AAS ）得出MF =EN 3=得，当AF ∥BD 时，线段AF 的长为13+. 【详解】如图过点E 作EM ⊥AF 于M ，交BD 于N ．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°．∵AE23=AC，∴AE=2，EC=1．∵AF∥BD，∴∠EAM=∠ACB=60°．∵EM⊥AF，∴∠AME=90°，∴∠AEM=30°，∴AM12=AE=1．∵AF∥BD，EM⊥AF，∴EN⊥BC，∴EN=EC•sin60°32=，∵∠EMF=∠END=∠FED=90°，∴∠MEF+∠MFE=90°，∠MEF+∠DEN=90°，∴∠EFM=∠DEN．∵ED=EF，∴△EMF≌△DNE（AAS），∴MF=EN32=，∴AF=AM+MF=13．故答案为：13．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、特殊角的三角函数值和全等三角形的判定的综合运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，熟记特殊角的三角函数值. 17．【分析】根据题意求出AD=18设AF=则BF=在Rt△ABF中利用勾股定理可求得求出DF=10可求出S△BDF由三角形中位线定理可求出答案【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=6∠BAD=90解析：152【分析】根据题意求出AD=18，设AF=a ，则BF=18a -，在Rt △ABF 中，利用勾股定理可求得8a =，求出DF=10，可求出S △BDF ，由三角形中位线定理可求出答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=6，∠BAD=90°，OB=OD ，∵sin ∠，∴610AB BD BD ==， ∴BD =∴18DA ===，∵E 为BF 中点，∴AE=BE=EF ，∵△AEF 的周长为18，∴AE+EF+AF=BE+EF+AF=BF+AF=18，设AF=a ，则BF=18a -，在Rt △ABF 中，AB 2+AF 2=BF 2，∴62+a 2=(18a -)2，解得：8a =，∴DF=18-8=10．∵E 为BF 中点，O 为BD 的中点， ∴OE ∥DF ，OE=12DF ， ∴△BOE ∽△BDF ，∴BOE BDF 14S S =， ∵BDF 12S =DF•AB=12×6×10=30， ∴S △BOE =BDF 111530442S =⨯=．故答案为：152．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，中位线定理，三角形的面积等知识，熟练掌握几何基本图形的性质是解题的关键．18．（0256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到的坐标利用规律直接得到答案【详解】解：∵l ：y ＝x ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB ＝∵A1B ⊥l ∴∠ABA1＝6解析：（0，256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到12,A A 的坐标，利用规律直接得到答案．【详解】解：∵l ：y ＝3x ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB∵A 1B ⊥l∴∠ABA 1＝60°∴AA 1＝3∴A 1（0，4）同理可得A 2（0，16）…∴A 4纵坐标为44＝256∴A 4（0，256）故答案为：（0，256）．【点睛】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x 轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到123,,A A A …的点的坐标是解决本题的关键．19．40【分析】如下图利用∠BCA=∠E 可得对应的正切值相等转化为线段比可得BD 长【详解】如下图AB 为乐乐身高BD 是乐乐手臂超出头顶部分AC 是乐乐站立在阳光下的影长AE 是乐乐举起手臂后的影长根据题意AC解析：40【分析】如下图，利用∠BCA=∠E ，可得对应的正切值相等，转化为线段比可得BD 长．【详解】如下图，AB 为乐乐身高，BD 是乐乐手臂超出头顶部分，AC 是乐乐站立在阳光下的影长，AE 是乐乐举起手臂后的影长根据题意，AC=83cm ，AB=166cm ，AE=103cm∵是阳光照射的影长，∴CB ∥ED∴∠BCA=∠E∴tan ∠BCA=tan ∠E ，即：166********BD += 解得：BD=40故答案为：40【点睛】本题考查三角函数的运用，解题关键是将题干抽象成数学模型，然后再利用三角函数的特点求解． 20．【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数连接AE 可得出AE=BE 推出解直角三角形即可得出答案【详解】解：∵∴连接AE ∵ED 垂直平分AB ∴AE=BE ∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查的知识点是等腰解析：3【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数，连接AE ，可得出AE=BE ，30EAD =∠°，推出90EAC ∠=︒，解直角三角形即可得出答案．【详解】解：∵3AB AC cm ==，120A ∠=︒， ∴1(180120)302B C ，连接AE ，∵ED 垂直平分AB ，∴AE=BE ，30EAD =∠°，∵120A ∠=︒，∴90EAC ∠=︒， ∴23cos3032AC CE ===︒故答案为：23．【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质、解直角三角形、垂直平分线的性质，综合性较强，但难度不大．三、解答题21．约为12.3m【分析】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC=MN=16m，DE=CN=BM=1.6m，求得CE=AE，设AE=CE=x，得到BE=16+x，解直角三角形即可得到答案．【详解】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°＝AEBE ＝16xx≈0.40，解得：x≈10.7（m），经检验x≈10.7是原分式方程的解∴AD≈10.7+1.6＝12.3（m），答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10BF =，54AF =．【分析】（1）连接OE ，由于BE 是角平分线，则有∠CBE=∠OBE ；而OB=OE ，就有∠OBE=∠OEB ，等量代换有∠OEB=∠CBE ，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE ∥BC ；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC 是⊙O 的切线；（2）连结DE ，先根据AAS 证明△CDE ≌△HFE ，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF ．（3）先证得△EHF ∽△BEF ，根据相似三角形的性质求得BF=10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH ，然后解直角三角形即可求得OA ，得出AF ．【详解】解：（1）证明：如图，连接OE ．∵BE EF ⊥，∴90BEF ∠=︒，∴BF 是圆O 的直径．∵BE 平分ABC ∠，∴CBE OBE ∠=∠，∵OB OE =，∴OBE OEB ∠=∠，∴OEB CBE ∠=∠，∴//OE BC ，∴90AEO C ∠=∠=︒，∴AC 是O 的切线．（2）如图，连结DE ．∵CBE OBE ∠=∠，EC BC ⊥于C ，EH AB ⊥于H ，∴EC EH =．∵180CDE BDE ∠+∠=︒，180HFE BDE ∠+∠=︒，∴CDE HFE ∠=∠．在CDE △与HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CDE HFE ≅△△，∴CD HF =．（3）由（2）得CD HF =，又1CD =，∴1HF =，在Rt HFE中，EF ==，∵EF BE ⊥，∴90BEF ∠=︒，∴90EHF BEF ∠=∠=︒，∵EFH BFE ∠=∠，∴EHF BEF △△， ∴EF HF BF EF == ∴10BF =， ∴152OE BF ==，514OH =-=， ∴Rt OHE △中，4cos 5EOA ∠=， ∴Rt EOA △中，4cos 5OE EOA OA ∠==， ∴545OA =， ∴254OA =， ∴255544AF =-=．【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23．（1）圆形滚轮的半径AD 的长是8cm ；（2）拉杆BC 的伸长距离为30cm ．【分析】（1）作BH ⊥AF 于点K ，交MN 于点H ，则△ABK ∽△ACG ，设圆形滚轮的半径AD 的长是xcm ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x 的值；（2）求得CG 的长，然后在直角△ACG 中，求得AC 即可解决问题；【详解】（1）作BH AF ⊥于点K ，交MN 于点H .则BK CG ，ABK ACG ∆∆∽.设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x . 则BK AB CG AC =，即3850595035x x -=-+，解得：8x =. 则圆形滚轮的半径AD 的长是8cm ；（2）在Rt ACG ∆中，80872(cm)CG =-=.则sin CG CAF AC ∠=∴AC=72=sin 0.9CG CAF ∠=80(cm) ∴805030(cm)BC AC AB =-=-=.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．24．（1）40x -)340x -；（2）EF 的长度10m 或30m ；（3）EF 的长度为20m 时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价3【分析】（1）根据菱形的性质及锐角三角函数的应用求解可得；（2）连接DB ，知EF ∥DB ，由AE AF AD AB=知AF=AE=x ，证△AEF 是等边三角形得EF=AE=x ，由3（3）根据菱形的面积计算公式以及二次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，且AB=40，∴AD=AB=40，∵AE=x ，则DE=40-x ，如图，过点D 作DP ⊥EH 于点P ，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°，则∠DEH=∠DHE=30°，∴EH=2EP=2DEcos30°=2×(40-x)×332=(40-x)；故答案为：40x -，()340x -；（2）如图，连接DB ，则EF ∥DB ，∴AE AF AD AB=， ∵AD=AB ，∴AF=AE=x ，又∠A=60°， ∴△AEF 是等边三角形，∴EF=AE=x ，由（1）可知EH 3=，∴EF•EH x =•33，整理，得：2403000x x -+=，解得121030x x ==，经检验均符合题意，答：EF 的长度10m 或30m ；（3）∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=40m ，∴BD=40，3∴菱形ABCD 的面积是：14040380032⨯⨯=2m )， ∵矩形EFGH 的面积是：EF•EH )23403403x x x x =-=-+，∴草坪的面积是：()228003340334038003x x x x --+=-+， ∴总造价为：()()225034036034038003x x x x -++-+ 21034003480003x x =-+()210320440003x =-+，∵1030>，∴当20x =时，总造价最小，最小值为440003，答：EF 的长度为20m 时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价440003．【点睛】本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的应用，菱形的性质，矩形的性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．25．（1）F （6，3），m=12；（2）存在，1243+或1243-；（3）不在，需将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94个单位长度．【分析】（1）由题意得矩形的中心F 坐标为（6，3），代入32y x m =-+，得m=12；（2）分,M N 在y 轴左、右两侧两种情况，证明MON ∆是等边三角形即可得到结论；（3）假设沿直线3122y x =-+将矩形ABCO 折叠，点O 落在边AB 上O′处．连接PO′，OO′．则有PO′=OP ，由（1）得AB 垂直平分OP ，所以PO′=OO′，则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE ＞30°所以沿直线3122y x =-+将矩形ABCO 折叠，点O 不可能落在边AB 上．设沿直线32y x a =-+将矩形ABCO 折叠，点O 恰好落在边AB 上O′处．连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a ，则由题意得：AP′=a -6，∠OPE=∠AO′O ，Rt △OPE 中，OE OA OP AO '=，即8612AO =所以AO′=9，在Rt △AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a 2解得：394a =，所以将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94单位得直线，将矩形ABCO 沿直线折叠，点O 恰好落在边AB 上．【详解】()1四边形ABCO 是矩形，6,12,AB BC ==()()()12,012,6,,0,6A B C ∴，F 是,AC OB 的交点，FO ∴是OB 的中点，()6,3P ，将()6,3F 代入32y m =-+，得:363,2m -⨯+= 解得12,m = ∴点F 的坐标为()6,3，m 的值为12．（2）存在，①当,M N 在y 轴左侧时，如图1，直线3122y x =-+与y 轴交于点P ， (),0,1212,P OP ∴=,PC OC MG ∴==过M 点作MG BC ⊥交BC 的延长线于点,G,,MNG PNC PCN MGN PC GM ∠=∠∠=∠=，()MGN PCN AAS ∴∆≅∆，,PN MN ∴=点N 是PM 的中点，1,2ON PM MN ∴== ON 平分,//,CNM BC AM ∠,MNO CNO NOM ∴∠=∠=∠MON ∴∆是等边三角形，60,NMO ∴∠=︒4333MO ∴===4312AM MO OA ∴=+=．②当,M N 在y 轴右侧时，如图2，同理可得3,OM =1243,AM AO OM ∴=-=-综上所述，线段AM 的长为123+1243-()3不在，理由如下：假设沿直线y=-32x+12将矩形ABCO 折叠，点O 落在边AB 上O′处．连接PO′，OO′，则有PO′=OP ，由（1）得AB 垂直平分OP ，所以PO′=OO′，则△OPO′为等边三角形．则∠OPE=30°，则（2）知∠OPE ＞30°，所以沿直线y=-32x+12将矩形ABCO 折叠，点O 不可能落在边AB 上．设沿直线y=-32x+a 将矩形ABCO 折叠，点O 恰好落在边AB 上O′处．连接P′O′，OO′．则有P′O′=OP′=a ，则由题意得：AP′=a -6，∠OPE=∠AO′O ，在Rt △OPE 中，tan OE OPE OP ∠=，在Rt △OAO′中，tan OA AO O AO '∠='，所以OE OA OP AO '=，即8612AO ='，所以AO′=9，在Rt △AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）2+92=a 2解得：a=394，所以将直线y=-32x+12沿y 轴向下平移94单位得直线y=-32x+394，将矩形ABCO 沿直线y=-32x+394折叠，点O 恰好落在边AB 上．【点睛】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．26．10．【分析】以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，根据等腰三角形的性质、余弦的概念求出BE，根据旋转变换的性质得到∠DEB＝90°，根据勾股定理计算即可．【详解】解：以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，则∠BAE＝120°，AB＝AE，DE＝BC，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，∴BP＝AB•cos∠ABP＝3，∠DEA＝∠ABC＝60°，∴∠DEB＝30°＋60°＝90°，BE＝2BP＝6，在Rt△BED中，BD22＋＝10，ED BE故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理、旋转性质以及等腰三角形的性质等知识的综合运用，综合熟练掌握相关知识并利用旋转构造直角三角形和等腰三角形模型是解题的关键．。

人教版九年级下册数学锐角三角函数单元测试卷附详细解析

人教版九年级下册数学锐角三角函数单元测试卷附详细解析一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）tan30°的值等于（）A．√3B．√33C．√22D．12．（3分）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，⊙APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（）A．3B．4C．2√3D．2√23．（3分）已知Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，⊙A＝50°，AB＝2，则AC＝（）A．2sin50°B．2sin40°C．2tan50°D．2tan40°4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，tanA=34.以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1B．75C．32D．25．（3分）如图，在扇形AOB中，⊙AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC⌢交AB⌢于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．23π−√3B．√3−13πC．13πD．√3+13π6．（3分）如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40√2海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（）A．80海里B．120海里C．(40+40√2)海里D．(40+40√3)海里7．（3分）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin⊙ABC的值（）A．√22B．1C．√33D．√28．（3分）在⊙ABC中，(2cosA－√2)2＋| √3－tanB|＝0，则⊙ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形9．（3分）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin⊙OBD=（）A．12B．34C．45D．3510．（10分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P 沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，⊙BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）A．AB：AD=3：4B．当⊙BPQ是等边三角形时，t=5秒C．当⊙ABE⊙⊙QBP时，t=7秒D．当⊙BPQ的面积为4cm2时，t的值是√10或475秒二、填空题(共5题；共15分)11．（3分）cos245∘−tan30∘⋅sin60∘=．12．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为．13．（3分）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是cm.14．（3分）如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB=90°，CD是高，如果⊙A=α，AC=4，那么BD=．（用锐角α的三角比表示）15．（3分）如图，Rt⊙AOB中，⊙OAB＝90°，⊙OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝−4x图象上，若Rt⊙AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为.三、解答题(共8题；共78分)16．（8分）先化简，再求代数式(aa2−1−1a+1)⋅(a−1)的值，其中a=tan60°−2sin30°．17．（9分）居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）18．（9分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 √2海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）19．（9分）如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB=40m．求乙楼CD的高度，（结果精确到1m）20．（10分）如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01，√3≈1.732，√2≈1.414）21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊙AB于E，设⊙ABC＝α(60°≤α＜90°)．(1)当α＝60°时，求CE的长；(2)当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得⊙EFD＝k⊙AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan⊙DCF的值．22．（11分）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）（5分）求楼间距AB；（2）（6分）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C.（1）（4分）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）（4分）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求⊙ACD的正切值；（3）（4分）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当⊙OCD＝⊙CAP时，求点P的坐标.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：tan30°=√33．故答案为：B【分析】利用特殊角的三角函数值直接求解即可。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

【单元练】北京市北京四中九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径长为6，圆锥的高与母线的夹角为α，则（）A ．圆锥的底面半径为3B ．2tan 2α=C ．该圆锥的主视图的面积为82D ．圆锥的表面积为12πC解析：C【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，可知2πr ＝180n l π，求出r 以及圆锥的母线l 和高h 即可解决问题．【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ．A 选项，由题意：2πr ＝1206180π⨯⨯，解得r ＝2，故错误； B 选项，h ＝226242-=，所以tanα＝22442=，故错误； C 选项，圆锥的主视图的面积＝12×4×42＝82，故正确； D 选项，表面积＝4π+2π×6＝16π，故错误．故选：C ．【点睛】本题考查圆锥的有关知识，记住圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，即2πr ＝180n l π，圆锥的表面积＝πr 2+πrl 是解决问题的关键，属于中考常考题型． 2．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（）A ．4B ．5C ．163D ．83C 解析：C【分析】如图，过D 作DP CE ⊥于,P 证明：,EP CP EDP CDP =∠=∠，,DEC DCE ∠=∠再证明,AEF BCG EDP ∠=∠=∠ 结合矩形的性质证明：,AFG EFA ∽利用相似三角形的性质可得4EF =，再求解,AG AE ，设,BG x = 可得2,DE x AD x =+= 利用勾股定理求解,x 再由,BCG EDP ∠=∠可得：1,2EP DP =设,EP m = 则2,DP m = 由勾股定理求解m ，从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠,AEF BCG EDP ∴∠=∠=∠,,90AGF CGB AF CG B ∠=∠⊥∠=︒，,FAG BCG ∴∠=∠,FAG AEF ∴∠=∠90AFG EFA ∠=∠=︒，,AFG EFA ∴∽,AF FG EF FA∴= 21AF FG ==，，21,2EF ∴= 4EF ∴=，AE ∴== AG == 设BG x =，则,AB CD x DE ==+=AEF BCG ∠=∠，1tan tan ,2AF AEF BCG EF ∴∠=∠== 1,2BG BC ∴=2,BC x AD ∴==()()()2222255,x x ∴=++2325250,x x ∴--=553x ∴=或5x =-（舍去） 5585533DE ∴=+=， ,EDP BCG ∠=∠1,2EP DP ∴= 设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,3m m ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ 83m ∴=（负根舍去） 162.3EC EP ∴==故选：.C【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．3．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )A ．31)mB ．31)mC．1)m D．1)m A 解析：A【解析】设MN=xm，在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中,tan∠MAN=MN AN，∴tan30∘=16xx+=3√3，解得：，则建筑物MN的高度等于 +1)m；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.4．在ABC中，(2sinA-1)2=0，则ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定C解析：C【分析】根据非负数的性质可得sinA和cosB的值，进而可得∠A和∠B的度数，即可知△ABC的形状．【详解】解：∵(2sinA-1)2=0，∴2sinA-1=0，cosB-12=0，∴sinA=12，cosB=12，∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，故△ABC为直角三角形．故选C．【点睛】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，根据两个非负数的和为零，则这两个数都为零求出sinA和cosB的值是解决此题的关键．5．某兴趣小组想测量一座大楼 AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC的长为12 米它的坡度1:3i=．在离 C点 40 米的 D处，用测量仪测得大楼顶端 A的仰角为 37度，测角仪DE的高度为 1.5米，求大楼AB 的高度约为（）米（sin370.60,cos370.80,tan370.75,3 1.73︒=︒=︒==）A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7C解析：C【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．【详解】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，BFCF =3 i=∴设BF=k，则3k，BC=2k．又∵BC=12，∴k=6，∴BF=6，CF=63∵DF=DC+CF，∴DF=40+3∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=AHEH，∴AH=tan37°×（40+63≈37.785（米），∵BH=BF-FH，∴BH=6-1.5=4.5．∵AB=AH-HB，∴AB=37.785-4.5≈33.3．故选C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．6．如图，在△ABC 中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC 的长为（）A ．2B ．52C ．5D ．2B解析：B【分析】过A 点作AH ⊥BC 于H 点，先由sin ∠B 及AB=3算出AH 的长，再由tan ∠C 算出CH 的长，最后在Rt △ACH 中由勾股定理即可算出AC 的长．【详解】解：过A 点作AH ⊥BC 于H 点，如下图所示：由1sin =3∠=AH B AB ，且=3AB 可知，=1AH ，由tan =2∠=AH C CH ，且=1AH 可知，12CH =， ∴在Rt ACH ∆中，由勾股定理有：2222151()2=+=+=AC AH CH ．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．7．如图，菱形ABCD 的边长为2，且∠ABC ＝120°，E 是BC 的中点，P 为BD 上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（）A．3+1 B．7+1 C．23+1 D．27+1B解析：B【分析】由菱形ABCD中，∠ABC＝120°，易得△BCD是等边三角形，继而求得∠ADE的度数；连接AE，交BD于点P；首先由勾股定理求得AE的长，即可得△PCE周长的最小值＝AE+EC．【详解】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴BC＝CD＝AD＝2，∠C＝180°﹣∠ABC＝60°，∠ADC＝∠ABC＝120°，∴∠ADB＝∠BDC＝1∠ADC＝60°，2∴△BCD是等边三角形，∵点E是BC的中点，∠BDC＝30°，∴∠BDE＝12∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴PA＝PC，++，∵△PCE的周长=PC PE CE若△PCE的周长最小，即PC+PE最小，也就是PA+PE最小，即A，P，E三点共线时，∵DE＝CD•sin60°＝3，CE＝1BC＝1，2∴在Rt△ADE中，227=+=，AE AD DE∴△PCE周长为：PC+PE+CE＝PA+PE+CE＝AE+CE＝71+，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、最短路线问题、等边三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．8．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两个邻角的比为（）A ．6:1B ．5:1C ．4:1D ．3:1B解析：B【分析】由锐角函数可求∠B 的度数，可求∠DAB 的度数，即可求解．【详解】如图，∵四边形ABCD 是菱形，菱形的周长为16，∴AB=BC=CD=DA=4，∵AE=2，AE ⊥BC ，∴sin ∠B=12BE AB ＝ ∴∠B=30° ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB+∠B=180°，∴∠DAB=150°，∴菱形两邻角的度数比为150°：30°=5：1，故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，能求出∠B 的度数是解决问题的关键． 9．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，点P 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），C 、D 分别是弦AP ，BP 的中点．若33CD =，则扇形AOB 的面积为（）A ．12πB ．2πC ．4πD ．24πA解析：A【分析】如图，作OH ⊥AB 于H ．利用三角形中位线定理求出AB 的长，解直角三角形求出OB 即可解决问题．【详解】解：如图作OH ⊥AB 于H ．∵C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点．∴CD 是△APB 的中位线，∴AB ＝2CD ＝63， ∵OH ⊥AB ， ∴BH ＝AH ＝33，∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO， ∴AO ＝336sin 32AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2120612360ππ=，故选：A ．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10．在半径为1的O 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（）度． A ．75B ．15或30C ．75或15D ．15或45C解析：C【分析】根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=3222AE =，．sin ∠AOD=32，∴∠AOD=60°； sin ∠AOE=22，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.二、填空题11．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC 解析：3或3【分析】如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可．【详解】解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒，∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===，∴△BPC 是等边三角形，当D′是PB 中点时，AD′=123ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，∴CD′= PD′tan 60︒3PD′=3，当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件，∴3，∴满足条件的CD 的长为3或3．故答案为：3或3．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．12．如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为______km ．【分析】BE ⊥AC 于点E 根据题意计算可得解直角三角形ABE 可得BE=AE=30根据平行线性质计算可得解直角三角形CEB 可得AE+CE 的值即是AC 两港之间的距离【详解】解：设过A 点正北方向直线为AD 过解析：30103+【分析】BE ⊥AC 于点E ，根据题意计算可得45EAB ∠=︒，解直角三角形ABE ，可得BE=AE=30，根据平行线性质计算可得60C ∠=°，解直角三角形CEB 可得，103CE =，AE+CE 的值即是AC 两港之间的距离．【详解】解：设过A 点正北方向直线为AD ，过B 点正北方向直线为BG ，过B 作BE ⊥AC 于E ，过C 作CF ∥AD ，如图:∵由题意得：∠CAB =65°﹣20°=45°，∠AEB =∠CEB =90°，AB 2km ．∴在Rt ABE △中，∠ABE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形．∵AB 2km ，∴AE=BE=22AB=30（km）．∵CF∥AD∥BG，∴∠ACF=∠CAD=20°，∠BCF=∠CBG=40°，∴∠ACB=20°+40°=60°，∵在Rt CBE中，∠ACB=60°，tan∠ACB=BECE，∴CE=30tan603BE︒==103（km），∴AC=AE+CE=30+103（km），∴A、C两港之间的距离为（30+103）km．故答案为：（30+103）．【点睛】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，添加辅助线构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的方法是解题关键．13．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为3，则AH=__．1【分析】连接BH证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL）得出∠ABH=30°在Rt△ABH中解直角三角形即可【详解】解：连接BH如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形∴∠BAH=∠AB解析：1【分析】连接BH，证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），得出∠ABH =30°，在Rt△ABH中解直角三角形即可．【详解】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB ，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt △ABH 和Rt △EBH 中，∵BH=BH ，AB=EB ，∴Rt △ABH ≌△Rt △EBH （HL ），∴∠ABH=∠EBH=12∠ABE=30°， ∴AH=AB•tan ∠ABH=333⨯=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形．能正确作出辅助线得出Rt △ABH ≌△Rt △EBH ，从而求得∠ABH =30°是解题关键．14．如图，已知在Rt ABC 中，C 90,AC BC 2∠=︒==，点D 在边BC 上，将ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C '处，联结AC '，直线AC '与边CB 的廷长线相交于点F ，如果DAB BAF ∠∠=，那么BF =_________．【分析】首先根据题意画出图形再根据折叠的性质和可求出各角的度数再利用解直角三角形的知识分别求出CDDFBD 的长度最后根据线段之间的和差关系即可求出结果【详解】解：如图所示：∵△ADC 是由△ACD 翻折解析：32【分析】首先根据题意画出图形，再根据折叠的性质和DAB BAF ∠∠=，可求出各角的度数，再利用解直角三角形的知识分别求出CD ，DF ，BD 的长度，最后根据线段之间的和差关系即可求出结果．【详解】解：如图所示：∵△ADC’是由△ACD 翻折得到，∴DAC 'DAC ∠∠=， ∵DAB BAF ∠∠=， ∴DAC 2DAB ∠∠=． ∵AC 45B ∠=︒， ∴DAB BAF=15∠∠=︒．∴30CAD ∠=︒．在Rt △ACD 中，AC=2 ∴23tan 30CD AC =⋅︒= ，43cos30AC AD ==︒ ． ∵'ADC F DAC ∠=∠+∠∴'30F DAC ∠=∠=︒ ． ∴433DF AD ==． 23432232BF CD DF BC∴=+-=-= 故答案为32．【点睛】本题考查了翻折的性质和解直角三角形的知识，根据题意画出图形是解题的关键． 15．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为_____．【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC所以tan∠AED=tan∠ABC=故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数解析：1 2【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=12 ACAB．故答案为：12．【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数．16．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠D=60°，∠A＝105°，∠B＝120°，则ADBC的值为__________．【分析】沿AB作垂线与C的延长线相交于M点可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形根据三角函数求解即可【详解】解：如图连接AC并过B点作BM⊥CM设BM=k∵AD＝CD∠D=60°∴△ACD是解析：6 2【分析】沿AB作垂线与C的延长线相交于M点，可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形，根据三角函数求解即可.【详解】解：如图连接AC 并过B 点作BM ⊥CM ，设BM=k ，∵AD ＝CD ，∠D=60°,∴△ACD 是等边三角形，AD=AC ，∵∠A ＝105°，∠B ＝120°，∠DAC=60°,∴∠MBC=60°，∠BCM=30°，∠BAC=45°，∵BM=k ，∴BC=2k ，MC=BM tan 30=3k ， ∵∠BAC=45°，∠MCA=45°， ∴AD=AC=MC 3k sin 4522==6k ，∴6k 62k 2==AD BC . 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和公式的应用，正确应用公式和作出辅助线是解题的关键.3tan 303=，sin45=22. 17．如图，在2×2的网格中，以顶点O 为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A ，则tan ∠ABO 的值为_____．2+【分析】连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点C 由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB ﹣OC=2﹣在Rt △ABC 中根据tan ∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点解析：3．【分析】连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC=22OA AC -=3、BC=OB ﹣OC=2﹣3，在Rt △ABC 中，根据tan ∠ABO=AC BC 可得答案．【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC 中，OC=222221OA AC -=-=3，∴BC=OB ﹣OC=2﹣3，∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABO=123AC BC =-=2+3．故答案是：2+3．【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键． 18．如图，已知直线l ：33y x =，过点()0,1A 作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点1A ；过点1A 作y 轴的垂线交直线l 于点1B ，过点1B 作直线l 的垂线交y 轴于点2A ；…；按此作法继续下去，则点2020A 的坐标为__________．【分析】先求出点B 的坐标为（1）得到OA=1OB=求出∠AOB=60°再求出∠得到求出(04)；同理得到（0）；由此得到规律求出答案【详解】将y=1代入中得x=∴B （1）∴OA=1OB=∴tan ∠A解析：()20200,4【分析】先求出点B 31），得到OA=1，3∠AOB=60°，再求出∠130OA B =得到133AA =，求出1A (0，4)；同理得到1143A B =1211312A A A B ==，2A （0，24）；由此得到规律求出答案.【详解】将y=1代入33y x =中得x=3， ∴B （3，1），∴OA=1，OB=3，∴tan ∠AOB=3AB OA=， ∴∠AOB=60°，∵∠A 1BO=90°， ∴∠130OA B =,∴133AA AB ==,∴14OA =,∴1A (0，4)；同理：1143A B =，1211312A A AB ==， ∴2OA =1624=，∴2A （0，24）；，∴点2020A 的坐标为()20200,4，故答案为：()20200,4. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键.19．如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，点E 在AC 上，AE 23=AC ，D 是BC 延长线上一点，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°得到线段FE ，当AF ∥BD 时，线段AF 的长为____．1【分析】过点E 作EM ⊥AF 于M 交BD 于N 根据30°直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN 的长再依据△EMF ≌△DNE （AAS ）得出MF=EN 据此可得当AF ∥BD 时线段AF 的解析：13+．【分析】过点E作EM⊥AF于M，交BD于N，根据30°直角三角形的性质求出AM =1，再根据∠60°的三角函数值求出EN的长，再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN32=，据此可得，当AF∥BD时，线段AF的长为132 +.【详解】如图过点E作EM⊥AF于M，交BD于N．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°．∵AE23=AC，∴AE=2，EC=1．∵AF∥BD，∴∠EAM=∠ACB=60°．∵EM⊥AF，∴∠AME=90°，∴∠AEM=30°，∴AM12=AE=1．∵AF∥BD，EM⊥AF，∴EN⊥BC，∴EN=EC•sin60°3=∵∠EMF=∠END=∠FED=90°，∴∠MEF+∠MFE=90°，∠MEF+∠DEN=90°，∴∠EFM=∠DEN．∵ED=EF，∴△EMF≌△DNE（AAS），∴MF=EN3=∴AF=AM+MF=132+．故答案为：132+．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、特殊角的三角函数值和全等三角形的判定的综合运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，熟记特殊角的三角函数值. 20．如图：在矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE AC ⊥交AD 于点E ．求OE 的长是．【分析】利用矩形的性质求解再证明利用锐角三角函数可得答案【详解】矩形矩形故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质解直角三角形知识掌握以上知识点是解题关键 5【分析】利用矩形的性质求解AC ，再证明OAE ACB ∠=∠，利用锐角三角函数可得答案．【详解】矩形ABCD ，4AB =，8BC =，222290,4845,ABC AC AB BC ∴∠=︒=++= 4125,,82OA OC tan ACB ==∠== 矩形ABCD ，//,AD BC ∴,OAE ACB ∴∠=∠,OE OA ⊥ 1tan tan ,2OAE ACB ∴∠=∠= 1,225= 5,OE ∴=5.【点睛】本题考查的是矩形的性质，解直角三角形知识，掌握以上知识点是解题关键．三、解答题21．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，O 是BEF 的外接圆．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ，求证：CD HF =．（3）若1CD =，3EH =，求BF 及AF 长．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10BF =，54AF =．【分析】（1）连接OE ，由于BE 是角平分线，则有∠CBE=∠OBE ；而OB=OE ，就有∠OBE=∠OEB ，等量代换有∠OEB=∠CBE ，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE ∥BC ；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC 是⊙O 的切线；（2）连结DE ，先根据AAS 证明△CDE ≌△HFE ，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF ．（3）先证得△EHF ∽△BEF ，根据相似三角形的性质求得BF=10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH ，然后解直角三角形即可求得OA ，得出AF ．【详解】解：（1）证明：如图，连接OE ．∵BE EF ⊥，∴90BEF ∠=︒，∴BF 是圆O 的直径．∵BE 平分ABC ∠，∴CBE OBE ∠=∠，∵OB OE =，∴OBE OEB ∠=∠，∴OEB CBE ∠=∠，∴//OE BC ，∴90AEO C ∠=∠=︒，∴AC 是O 的切线．（2）如图，连结DE ．∵CBE OBE ∠=∠，EC BC ⊥于C ，EH AB ⊥于H ，∴EC EH =．∵180CDE BDE ∠+∠=︒，180HFE BDE ∠+∠=︒，∴CDE HFE ∠=∠．在CDE △与HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CDE HFE ≅△△，∴CD HF =．（3）由（2）得CD HF =，又1CD =，∴1HF =，在Rt HFE中，EF ==，∵EF BE ⊥，∴90BEF ∠=︒，∴90EHF BEF ∠=∠=︒，∵EFH BFE ∠=∠，∴EHF BEF △△， ∴EF HF BF EF == ∴10BF =， ∴152OE BF ==，514OH =-=， ∴Rt OHE △中，4cos 5EOA ∠=， ∴Rt EOA △中，4cos 5OE EOA OA ∠==， ∴545OA =， ∴254OA =， ∴255544AF =-=．【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．22．材料：如图①，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），,BC AB >点M 是弧ABC 的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+（1）如图②，已知等边ABC ∆内接于,12,O AB D =为弧AC 上--点，45,ABD AE BD ︒∠=⊥于点E ，求BDC ∆的周长（2）求证：CD AB BD =+．解析：（1）△BDC 的周长为12212；（2）证明见解析【分析】（1）由题意，A 为弧BDC 的中点，所以AE 把折弦CDB 平分，所以△BDC 的周长等于BC+2BE ，由已知算出BE 即可得到解答；（2）在CB 上截取CG=AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ，首先证明△MBA ≌△MGC （SAS ），进而得出MB=MG ，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD ，即可得出答案．【详解】（1）解：∵AE ⊥BD ，∠ABD=45°，∴△AEB 是等腰直角三角形，∴126222AB BE ===，又∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∴A 为弧BDC 的中点，∴AE 平分折弦CDB ，即BE=ED+DC ，∴BD+DC=2BE=122；∴△BDC 的周长=BD+CD+BC=12212+；（2）证明：如图，在CB 上截取CG=AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ，∵M 是弧ABC 的中点，∴MA=MC ．在△MBA 和△MGC 中，BA GC A C MA MC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△MGC （SAS ），∴MB=MG ，又∵MD ⊥BC ，∴BD=GD ，∴DC=GC+GD=AB+BD ．【点睛】本题考查圆的综合运用，综合并灵活运用圆弧和弦的关系、三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识是解题关键．23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得ADE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 上，（1）求DBC ∠的度数；（2）求tan ∠BDE 的值．解析：（1）135°；（2）23【分析】（1）根据旋转的性质得到ABD △是等腰三角形和顶角BAD ∠的度数，再算出ABD ∠的度数，就可以算出DBC ∠的度数；（2）设2AD AB x ==，根据特殊角的三角函数值用x 表示出BE 和DE ，就可以求出tan ∠BDE 的值．【详解】解：（1）∵90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，∴30BAC DAB ∠=∠=︒，∵AD AB =， ∴()118030752ABD ADB ∠=∠=︒-︒=︒， ∴7560135DBC ABD ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）设2AD AB x ==，则12DE AD x ==，3AE x =， ∴23BE x x =-， ∴()23tan 23x BE BDE DE x-∠===-．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些性质定理进行求解．24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF ．（1）求∠CDE 的度数；（2）求证：DF 是⊙O 的切线；（3）若AC =25DE ，求tan ∠ABD 的值．参考答案解析：（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．【分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE 的度数；（2）连接DO ，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF 是⊙O 的切线；（3）根据已知条件易证△CDE ∽△ADC ，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD ，DC 的长，再利用圆周角定理得出tan ∠ABD 的值即可．【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴DC DEAD DC=，∴DC2=AD•DE∵AC=25DE，∴设DE=x，则AC=25x，则AC2﹣AD2=AD•DE，期（25x）2﹣AD2=AD•x，整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则DC=22(25)(4)2x x x-=，故tan∠ABD=tan∠ACD=422AD xDC x==．25．（1）sin6045260 cos30tan tan︒-︒+︒︒．（2）tan45cos6030sin60tan︒-︒⨯︒︒．解析：（1）2）13．【分析】（1）首先求出特殊角的三角函数值，然后根据实数加减混合运算法则计算即可；（2）首先求出特殊角的三角函数值，然后化简，然后根据实数加减混合运算法则计算即可．【详解】（1）sin6045260 cos30tan tan︒-︒+︒︒=1-+（2）tan45cos6030sin60tan︒-︒⨯︒︒=11-=3=13．【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值的混合运算，关键是记忆30 º、45 º和60º的三角函数值．26．（1）计算：(﹣2)﹣32sin30°+(2020﹣π)0﹣4|；（2）解不等式组3(1)(5)01223x xx x---≥⎧⎪+⎨>⎪⎩，并求出正整数解．解析：（1）638；（2）-1≤x＜3；1，2【分析】（1）根据实数的性质进行化简即可求解；（2）分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解．【详解】解：（1）原式＝﹣18+4﹣2×12+1+4﹣3 ＝﹣18+4﹣1+1+4﹣3 ＝638﹣3；（2）3(1)(5)01223x x x x ---≥⎧⎪⎨+>⎪⎩①②，由①，得x ≥﹣1；由②，得x ＜3．所以不等式组的解集是﹣1≤x ＜3．则该不等式组的正整数解为：1，2．【点睛】此题主要考查实数与不等式组的求解，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 27．已知：直线3y kx k =+，交x 轴于B ，交y 轴于A ，且3OA OB =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点D 在AO 上且AD t =连接BD ，过BD 作DE BD ⊥于D ，过A 作AE y ⊥轴于A ，E 点的横坐标为m ，求m 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，点P 在BD 的延长线上，P 的横坐标为t ，点F 在EA 的延长线上，点N 在AD 上，连接FN ，连接PF 并延长交直线AB 于点M ，若E BPM ∠=，2ANF ADE ∠=∠，2AN DN =，求点M 的坐标．解析：（1）y=3x+9；（2）m=2133t t -；（3）M(1，10)．【分析】（1）先设OB b =，表示出A 、B 的坐标，代入求解即可；（2）根据lBD lDE k k ⋅= -1，得出93t -·t m=-1，变形求解即可；（3）首先得出直线BD 的解析式，再得出直线NF 为：y=222mt m t -，设F(n ，9)，得出直线FD ，再根据直线AB 求解即可．【详解】解：（1）设OB b =，∴B(-b,0)，∵OA=3OB ，∴A(0,3b)，∵A 、B 在直线y=kx+k 上，代入得3033bk k k b -+=⎧⎨=-⎩，解得：33k b =⎧⎨=⎩，∴y=3x+9；（2）由（1）知A(0，9)，B(-3，0)，∵AE ⊥y 轴，∴E(m ，9)，∵AD=t ，∴D(0，9-t)，∵BD ⊥DE ，∴lBD lDE k k ⋅= -1，而lBD k =93t -，lDE k =t m， ∴93t -·t m=-1， ∴-t²+9t+3m=0， ∴m=2133t t -；（3）由（2）和（1）知：直线BD 为：y=993t x t -+- ， ∵P 在直线BD 上且横坐标为t ， ∴P(t ，26273t t -++)， ∵AN=2DN ，∴N(0，9-t)，∵∠ANF=2∠ADE 且lDE k =t m，则直线NF 为：y=222mt m t - ，设F(n ，9)，则22223t mt n m t =-，解得n=223m t m-， ∴F(223m t m-，9)，由F 、P 得FP l ：y=222222()933m t m t x m t mt m---+--①，由（1）得：AB l :y=3x+9②，∵∠E=∠BPM ，∴tan ∠E=tan ∠BPM③，由M 为AB 和PF 的交点，联立①②③得：M(1，10)．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数、构建方程解决问题．28．如图，在△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到△A′BC′，连接A C '，求A C '的长．解析：433A C '=+【分析】利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，再判断出△BCC'是等边三角形，即可得到BC=C'C ，进而判断出A'C 是线段BC'的垂直平分线，最后用勾股定理和三角函数求解即可．【详解】解：如图，连接CC'，∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△A′BC′，∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，∴△BCC'是等边三角形，∴BC=C'C ，∵A'B=A'C'，∴A'C 是BC'的垂直平分线，垂足为D ，∴BD=12BC'=3，在Rt△A'BD中，A'B=5，BD=3，根据勾股定理得，A'D=4，在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=6，∴CD=BC•cos∠CBD=6×sin60°∴【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是判断出A'C是线段BC'的垂直平分线．。

锐角三角函数检测卷及答案

锐角三角函数单元检测时间：100分钟班级：姓名：分数：一、单选题1．已知△ABC 中， ∠C =90°，tan A =12，D 是 AC 上一点， ∠CBD =∠A ，则 cos∠CDB 的值为（）A ．12B C D ．22．如图，正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，且3CD DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE △．延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．下列结论：∠ABG AFG △△≌；∠45GAE ∠=︒；∠BG GC =；∠AG CF ∥；∠GCF 是等边三角形，其中正确结论有（）个．A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，将边长6cm 的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（）A ．（3cm B ．（3﹣cm C ．（6cm D ．（6﹣cm4．三角函数sin40cos16tan50︒︒︒、、之间的大小关系是（） A ．tan50cos16sin40︒>︒>︒ B ．cos16sin40tan50︒>︒>︒ C ．cos16tan50sin40︒>︒>︒D ．tan50sin40cos16︒>︒>︒5．如图，在网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 都在格点上，则sin A 的值为（）A B ．35C ．45D 6．如图，已知窗户高AB m =米，窗户外面上方0.2米的点C 处安装水平遮阳板CD n =米，当太阳光线与水平线成α角时，光线刚好不能直接射入室内，则m n ，的关系式是（）A ．n =m tan α-0.2B ．n =m tan α+0.2C ．m =n tan α-0.2D ．m =n tan α+0.27．如图，已知楼高AB 为50m ，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD 为50m ，塔高DC ，下列结论中，正确的是（）A ．由楼顶望塔顶仰角为60°B ．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°8．先化简，再求代数式的值：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭＝（），其中tan602sin30a =︒-︒．ABCD 9．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（）（精确到1m ．参考数据：sin 220.37︒≈，tan220.40︒≈，sin580.85︒≈，tan58 1.60︒≈）A ．28mB ．34mC ．37mD ．46m10．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1AB 的高度为( )（精确到0.1）A ．30.4B ．36.4C ．39.4D ．45.411．如图所示一座楼梯的示意图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA =6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（）A ．24sin θ米2 B ．24cos θ米2 C ．2424tan θ⎛⎫+⎪⎝⎭米2D ．()2424tan θ+米212．如图，在长方形ABCD 中，5AB =，3AD =，点E 在AB 上，点F 在BC 上．若2AE =，1CF =，则()sin 12∠+∠=（）A ．12B C D 13．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在小正方形的顶点上，则∠AOB 的正弦值是（）A B C ．13D ．1214．式子2cos30tan 45︒-︒ ）A ．0B ．C ．2D ．2-15．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（）A ．12B C ．35D 16．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，B ，则cos BOD ∠的值等于（）A ．14B ．13C D 17．如图，在44⨯网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC 的顶点均是格点，则cos BAC ∠的值是（）A B C D ．4518．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为（）A ．B ．3CD ．219．在直角三角形ABC 中，90,4,C AB BC =∠=︒=3tan 2A的值是（）AB ．C ．D ．320．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，若4CF =，3tan 4EFC ∠=，则折痕AE =（）A ．B ．C ．8D ．1021．已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC ，点A 的坐标为（10，0），对角线OB 、AC 相交于点D ，双曲线y=kx（x ＞0）经过点D ，交BC 的延长线于点E ，且OB •AC =160，有下列四个结论：∠双曲线的解析式为y =40x （x ＞0）；∠点E 的坐标是（4，8）；∠sin∠COA =45；∠AC +OB 其中正确的结论有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．如图，在矩形纸片ABCD 中，5AB =，3BC =，将BCD △沿BD 折叠到BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ADF ∠的值为（）A ．817B ．715C ．1517D ．81523．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A 到刮断点P 的距离是4米，折断部分PB 与地面成40︒的夹角，那么原来这棵树的高度是（）A ．44cos 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．44sin 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．()44sin 40+︒米D ．()44tan 40+︒米24．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（）A ．2B ．32C ．12D 25．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点P ，则cos∠APC 的值为（）A B C ．25D 26．如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分EAD ∠交CD 于点F ， FG AD ∥ 交AE 于点G ，若1cos 4B =，则FG 的长是（）A ．3B ．83C D ．52第II 卷（非选择题）二、解答题27．如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB ，且90BHE ∠=︒，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断()A C D --倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面().AB AC CD =+已知山坡的坡角30AEF ∠=︒，量得树干倾斜角45BAC ∠=︒，大树被折断部分CD 和坡面所成的角60ADC ∠=︒，4AD =米．(1)求CAD ∠的度数；(2)求这棵大树折断前AB 的高度.(结果保留根号)28．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB 进行实地测量．如图所示，他在地面上点C 处测得隧道一端点A 在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D ，此时测得点A 在他的东北方向上，端点B 在他的北偏西60︒方向上，（点A 、B 、C 、D 在同一平面内）(1)求点D 与点A 的距离；(2)求隧道AB 的长度．（结果保留根号） 29．（1）已知：对于锐角α满足sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+，求tan15°的值；（2）如图，△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，延长CA 到D ，使AD =AB ，连接BD ，请利用这个图形求tan15°的值．30．某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图∠是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图∠是其示意图，其中AB 、CD 都与地面l 平行，车轮半径为32cm ，∠BCD ＝64°，BC ＝60cm ，坐垫E 与点B 的距离BE 为15cm ．(1)求坐垫E 到地面的距离；(2)根据经验，当坐垫E 到CD 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm ，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置E '，求E E '的长．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 31．计算：1202203(1)|2cos308|(3)π--︒--- 32．在遵义市科技馆楼前，在A 点观测楼顶K 的仰角为30°，然后将观测点沿石梯向楼的水平方向移动了28m ，上升4m ，到达最上一层平台，用高为1.4m 的测角仪，在C 点观测楼顶K 的仰角为45°．(1)求：A ，C 间的距离；（结果保留根号）(2)求：科技馆的楼高KF 的值．1.7）33．计算：212)4cos30|32-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭．34．如图，是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图；为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB ，BC ，CA 跑步（小路的宽度不计），观测得点B 在点A 的南偏东30°方向上，点C 在点A 的南偏东60°的方向上，点B 在点C 的北偏西75°方向上，AC 间距离为400米．小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（结果精确到1 1.4≈ 1.7≈）35．图1是笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点B ，C ，D 处可转动，支撑架AB ＝BC ＝CD ＝28cm ，面板DE ＝28cm ，若DE 始终与AB 平行．(1)直接写出∠ABC ，∠BCD ，∠CDE 之间的数量关系；(2)若ABC BCD CDE ∠=∠=∠，电脑显示屏宽EF ＝26cm ．且105DEF ∠=︒，求笔记本电脑显示屏的端点F 到AB 的距离．（结果精确到0.1cm ．参考数据sin750.97︒≈，cos750.26︒≈ 1.73≈）36．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB ＝50cm ，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒∠A ，∠A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ．设AF ∥MN ．(1)求∠A 的半径长；(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，∠CAF ＝60°．求此时拉杆BC 的伸长距离．37．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离； (2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈ 2.24≈）38．深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响．（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈34，cos42°≈2940，tan42°≈910）39．如图，港口B 位于港口A 的南偏西45︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向港口B 的南偏东45︒方向的D 处，它沿正北方向航行21km 到达E 处，此时测得灯塔C 在E 的南偏西70︒方向上，E 处距离港口A 有多远？（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）40．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A 处时，船上游客发现岸上P 1处的临皋亭和P 2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m 到达B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P 1处与遗爱亭P 2处之间的距离为 _____．（计算结果保留根号）41．如图，线段EF 与MN 表示某一段河的两岸，EF 平行MN ．综合实践课上，同学们需要在河岸MN 上测量这段河的宽度（EF 与MN 之间的距离），已知河对岸EF 上有建筑物C 、D ，且CD ＝30米，同学们首先在河岸MN 上选取点A 处，用测角仪测得C 建筑物位于A 北偏东45°方向，再沿河岸走10米到达B 处，测得D 建筑物位于B 北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）42．图1是某小型汽车的示意图，图2是其后备厢的箱盖打开过程侧面简化示意图，五边形ABCDE 表示该车的后备厢的厢体侧面，在打开后备厢的过程中，箱盖AED 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖AED 落在AE D ''的位置．若90EAB ABC BCD ∠=∠=∠=︒，150AED ∠=︒，AE ＝80厘米，ED ＝40厘米，DC ＝25厘米，且后备厢底部BC 离地面的高CN ＝25厘米．(1)求点D 到地面MN 的距离（结果保留根号）；(2)求箱盖打开60°时的宽D ，D 1.73≈ 2.91116.3，结果取整数）．43．如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C 在主轴AB 上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变，已知支脚DE ＝AB ．底座CD ∠AB ，BG ∠AB ，且CD ＝BG ，F 是DE 上的固定点，且EF ：DF ＝2：3．（1）当点B ，G ，E 三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan∠BED ＝2．设BC ＝5a ，则FG ＝__（用含a 的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若将点C 向下移动24cm ，则点B ，G ，F 三点在同一直线上（如图2），此时点A 离地面的高度是__cm ．44．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC ＝OD ＝10分米，展开角∠COD ＝60°，晾衣臂OA ＝OB ＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE ＝6分米，且HO ＝FO ＝4分米．（参考数据：）(1)当90AOC ∠=︒时，求点A 离地面的距离AM 约为多少分米；（结果精确到0.1）(2)当OB 从水平状态旋转到OB '（在CO 延长线上）时，点E 绕点F 随之旋转至OB '上的点E '处，求B E BE ''-为多少分米．45．海绵拖把一般由长杆、U 型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A 、B 是拖把上的两个固定点，拉杆AP 一端固定在点A ，点P 与点B 重合（如图1），拉动点P 可使拉杆绕着点A 转动，此时点C 沿着AB 所在直线上下移动（如图2）．已知AB ＝10cm ，连杆PC 为40cm ，FG ＝4cm ，MN ＝8cm ．当P 点转动到射线BA 上时（如图3），FG 落在MN 上，此时点D 与点E 重合，点I 与点H 重合．(1)求ME 的长；(2)转动AP ，当∠P AC ＝53°时，∠求点C 的上升高度；∠求点D 与点I 之间的距离（结果精确到0.1）．（sin53°≈45，cos53°≈35≈2.45）参考答案：1．B【分析】由已知条件CBD A ∠=∠，可得1tan tan 2CBD A ∠==，设CD a =，由题意可得1tan 2CD CBD BC ∠==，即可算出2BC a =，在t ΔR CBD 中，根据勾股定理可得BD 答案．【详解】解：CBD A ，1tan tan 2CBD A ∴∠==，设CD a =，1tan 2CD CBD BC ∴∠==， 2BC a ∴=，在Rt ΔCBD 中，BD ，cosCD CDB BD ∴∠===．故选：B 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．2．C【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG AFG △△≌；在直角ECG 中，根据勾股定理可证BG GC =；通过证明===∠∠∠∠AGB AGF GFC GCF ，由平行线的判定可得AG CF ∥；由于BG CG =，得到tan 2AGB ∠=，求得60AGB ∠≠︒，根据平行线的性质得到60FCG AGB ∠=∠≠︒，求得GCF 不是等边三角形．【详解】解：由翻折变换可知，AD AF =，DAE FAE ∠=∠，DE FE =，D AFE ∠=∠，∠18090AFG AFE B ∠=︒-∠=︒=∠，在Rt ABG 和Rt AFG 中，AF AB AG AG =⎧⎨=⎩， ∠()≌Rt ABG Rt AFG HL ，因此∠正确；∠BAG FAG ∠=∠，又∠90BAG FAG DAE FAE ∠+∠+∠+∠=︒， ∠190452GAE FAG FAE ∠=∠+=︒∠⨯=︒，因此∠正确；由翻折变换可知，DE EF =，由全等三角形可知BG GF =，设正方形的边长为a ，BG x =，13DE EF a ==，则CG a x =-，13GE x a =+，1233EC a a a =-=，在Rt ECG 中，由勾股定理得，222EC GC EG +=，即()22221=33a a x x a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12x a =，即1122BG a BC ==， ∠BG CG =，因此∠正确；∠BG CG FG ==，∠GCF GFC ∠=∠，由三角形全等可得，AGB AGF ∠=∠，又∠180AGB AGF FGC FGC GCF GFC ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，∠ABG FCG ∠=∠，∠AG FC ∥，因此∠正确，∠BG CG =， ∠12BG AB =， ∠tan 2AGB ∠=，∠60AGB ∠≠︒，∠AG FC ∥，∠60FCG AGB ∠=∠≠︒，∠GCF 不是等边三角形，因此∠不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，求一个角的正切值，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．3．A【分析】过M 点作ME ∠AD 于E 点，根据四边形ABCD 是正方形，有AD =CD =6，∠C =∠D =90°，由裁剪的两个梯形全等，可得AN =MC ；再证明四边形MCDE 是矩形，即有MC =ED ，ME =CD =6，进而有AN =ED ，在Rt ∠MNE 中，解直角三角形可得NE =3AN =【详解】如图，过M 点作ME ∠AD 于E 点，∠四边形ABCD 是正方形，边长为6，∠AD =CD =6，∠C =∠D =90°，∠裁剪的两个梯形全等，∠AN =MC ，∠ME ∠AD ，∠四边形MCDE 是矩形，∠MC =ED ，ME =CD =6，∠AN =ED ，根据题意有∠MNE =60°，∠在Rt ∠MNE 中，62tan tan 60ME NE MNE ===∠∠∠6AN ED AD NE +=-=-∠3AN =即梯形中较短的底为3cm ），故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的、矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识，根据梯形全等得出AN =MC 是解答本题的关键．4．A【分析】首先把sin 40cos16︒︒、转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道1sin74sin 40︒︒＞＞，又根据正切值随着角度增大而增大，因此tan50tan 451︒︒=＞，即可得出正确选项．【详解】解：∠()sin cos 90αα=︒-（090α≤≤︒），∠()cos16sin 9016sin74︒=︒-︒=︒，sin901︒=∠1sin74sin 40︒︒＞＞，∠tan50tan 451︒︒=＞，∠tan50sin74sin 40︒>︒>︒，∠tan50cos16sin40︒>︒>︒，故选：A ．【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键．5．C【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，连接BC ，利用面积法求出BD 的长，然后由sin BD A AB=即可获得答案．【详解】解：过点B 作BD AC ⊥于点D ，连接BC ，如下图，∠小正方形的边长为1，∠AB AC == ∠111333*********ABC S=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∠11422ABC S AC BD BD =⋅==，∠BD =∠4sin5BD A AB ===．故选：C ．【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形、勾股定理的应用等知识，解题关键是正确作出直角三角形并熟记正弦函数的定义．6．C【分析】根据CB =CA +AB 求出CB 的长，再利用三角函数求出m 的值即可．【详解】解：∠窗子高AB =m 米，窗子外面上方0.2米的点C 处安装水平遮阳板CD =n 米，∠CB =CA +AB =（m +0.2）米，∠光线与水平线成α角，∠∠BDC =α，∠tan∠BDC =CB CD， ∠CB =n •tan α，∠m =n tan α-0.2，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．7．C【分析】求CE ，进而求得∠CAE 的正切值即可求得∠CAE 的度数；同理可求得∠EAD 的正切值，得到∠EAD 的度数．【详解】解：过点A 作水平线AE ，则∠EAD 为楼顶望塔基俯角，∠CAE 为由楼顶望塔顶仰角．∠AB ＝50m∠DE ＝50m∠CE ＝CD 50(m)∠tan∠CAE ＝CE ：AE ＝CE ：BD ∠∠CAE ＝30°．故C 正确，D 错误；∠tan∠EAD ＝DE ：AE ＝50：BD ＝1，∠∠EAD ＝45°．故A 、B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义，特殊角的三角函数值是解题的关键．8．A【分析】先将题目中的式子化简，再根据锐角三角函数求得a 的值，代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭ ()()()212111a a a a a a-++-=⨯+-()()3111a a a a a -=⨯+- 31a =+，当tan602sin30a =︒-︒1212=⨯=时，原式= 故选：A ．【点睛】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确它们各自的计算方法．9．C【分析】在Rt △ABD 中，解直角三角形求出58DB AB =，在Rt △ABC 中，解直角三角形可求出AB ．【详解】解：在Rt △ABD 中，tan∠ADB ＝AB DB ， ∠5tan 58 1.68AB AB DB AB =≈=︒，在Rt △ABC 中，tan∠ACB ＝AB CB ， ∠tan 220.45708AB AB ︒=≈+，解得：112373AB =≈m ，故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．10．C【分析】延长AB 交DC 于H ，作EG ∠AB 于G ，则GH =DE =15米，EG =DH ，设BH =x 米，则CH米，在Rt ∠BCH中，BC =12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH =6米，CHBG 、EG 的长度，证明∠AEG 是等腰直角三角形，得出AG =EG =（）（米），即可得出大楼AB 的高度．【详解】解：如图，延长AB 交DC 于H ，作EG ∠AB 于G ，则GH ＝DE ＝15米，EG ＝DH ，∠梯坎坡度i ＝1∠BH ：CH ＝1设BH ＝x 米，则CH米，）2＝122，由勾股定理得：x2+解得：x＝6，∠BH＝6米，CH＝∠BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（）（米），∠∠α＝45°，∠∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∠∠AEG是等腰直角三角形，∠AG＝EG＝（）（米），∠AB＝AG+BG＝（米）；故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．11．D【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而求出地毯的面积．【详解】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ，∠tanθ=BC，AC∠BC=AC tanθ=6tanθ（米），∠在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米，∠地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．12．B【分析】连接EF，求证∠DEF是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以1+245∠∠=，即可求解．【详解】解：连接EF，∠四边形ABCD是长方形，∠∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，BC=AD=3，CD=AB=5，∠22222=+=+=，DE AD AE3213∠AB=5，∠BE=AB-AE=3，∠CF=1，∠BF=BC-CF=2，在在Rt∠EBF中，∠22222=+=+=，EF BE BF3213∠EF=DE在Rt∠CDF中，∠22222=+=+=，DF DC CF5126∠26=13+13，即：222=+，DF DE EF∠∠DEF=90°，∠∠EDF=∠DFE=45°，∠1+2=45∠∠∠-∠=，ADC EDF∠()2∠+∠=sin12sin45=2故选B．【点睛】本题考查长方形的性质、勾股定理及其逆定理、正弦函数，根据勾股定理的逆定理证明出∠DEF是等腰直角三角形是解题的关键．13．B【分析】过点B作BC∠OA于点C．先利用勾股定理求出BO、AO的长，再利用∠AOB的面积求出BC的长，最后在直角∠BCO中求出∠AOB的正弦值．【详解】解：过点B作BC∠OA于点C．BO=，AO==,∠S △AOB 12=×2×2＝2， ∠12AO •BC ＝2,∠BC==sinBC AOB BO ∴∠=== 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，利用∠的面积求出OA 边上的高是解决本题的关键． 14．A【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式21=-11)=-11==0故选：A ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 15．D【分析】根据勾股定理计算得出AB AC BC CE BE =====可得出AE BC ⊥，由勾股定理得AE =从而可得出sin ABC ∠= 【详解】解：如图，连接AE ，由勾股定理得，AB AC ∠AB AC =又BC CE BE ===∠点E 为BC 的中点，∠AE BC ⊥，∠AE ==∠sin AE ABC AB ∠== 故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理，利用勾股定理求出AE 的长度是解题的关键．16．D【分析】根据网格的特点找到格点E ，使得AE CD ∥，则BOD A ∠=∠，构造Rt AEF ，即可求解．【详解】如图，5DG CG ==，90G ∠=︒，45CDG ∴∠=︒，1AG GE ==，45AEG ∴∠=︒，∴AE CD ∥，∴BOD A ∠=∠，2,AE AF EF ===22218220,20AE EF AF +=+==， 222AE EF AF ∴+=， ∠∠AEF 是直角三角形，∠AEF =90°，cos cosAE BOD A AF ∴∠=== 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理与网格，勾股定理的逆定理，求余弦，构造直角三角形是解题的关键．17．C【分析】过点C 作AB 的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：过点C 作AB 的垂线交AB 于一点D ，如图所示，∠每个小正方形的边长为1，∠5AC BC AB ===，设AD x =，则5BD x =-，在Rt ACD △中，222DC AC AD =-,在Rt BCD 中，222DC BC BD =-,∠2210(5)5x x --=-，解得2x =，∠cosAD BAC AC ∠== 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．18．C 【分析】先根据锐角三角函数值求出AC =5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE =，再由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得AD 可求出CD ．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC = ∠1tan 2BC A AC ∠==∠2AC BC ==由勾股定理得,5AB ==过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图，∠1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=， ∠11,,23DE DE AE BE ==∠11,,23DE AE DE BE == ∠1123AE BE = ∠32BE AE =∠5,AE BE += ∠352AE AE += ∠2,AE =∠1DE =,在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+ ∠AD∠AD CD AC +==∠CD AC AD =-==故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键． 19．A【分析】由勾股定理求出AB =2，再由三角函数的意义求出60,A ∠=︒进一步可得出结论．【详解】解：如图，∠90,4,C AB BC =∠=︒=∠2AC ===又tan BC A AC ∠=== ∠60A ∠=︒ ∠302A ∠=︒∠3tan3tan 3032A =︒== 故选：A【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，正确求得AC 的长是解题关键．20．B【分析】首先根据折叠及3tan 4EFC ∠=求得EF 的值，进一步知道DC 的长度，后根据BAF EFC ∠=∠，其正切值相同解三角形ABF 得BF 的长度，从而知道AD 的长度，后根据勾股定理求得AE 的长度．【详解】解：由题意4CF =，∠C =90°，3tan 4EC EFC FC ∠== ∠CE =3∠Rt EFC 中，∠C =90°，∠5EF =∠AEF 是ADE 折叠而来∠5ED EF ==，538DC AB ==+=∠矩形ABCD∠90C B AFE ∠=∠=∠=︒∠90BAF AFB ∠+∠=︒，90AFB EFC ∠+∠=︒∠BAF EFC ∠=∠ ∠tan∠BAF =tan∠EFC =34，即34BF AB =， ∠364BF AB == ∠6410AD BC ==+=∠AE 故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，矩形的性质，翻折的性质，根据等量变换得到BAF EFC ∠=∠并运用其锐角三角函数相等，求线段长是解决本题的关键．21．C【分析】过点B 作BF x ⊥轴于点F ，先根据菱形的性质可得10AB OA ==，1802OA BF OB AC ⋅=⋅=，OD BD =，从而可得8BF =，再在Rt ABF 中，利用勾股定理可得6AF =，从而可得点B 的坐标，然后根据中点的坐标公式可得点D 的坐标，最后利用待定系数法可得双曲线的解析式，由此可判断∠；根据点E 的纵坐标为8，代入反比例函数即可判断∠；先根据平行线的性质可得COA BAF ∠=∠，再根据正弦的定义即可判断∠；先在Rt OBF △中，利用勾股定理可得OB =160OB AC ⋅=可得AC =AC OB +的值，由此即可判断∠．【详解】解：如图，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，点A 的坐标为(10,0)，10OA ∴=，四边形OABC 是菱形，且160OB AC ⋅=，10AB OA ∴==，1802OA BF OB AC ⋅=⋅=，OD BD =，AD CD =，解得8BF =，在Rt ABF 中，6AF ==，16OF OA AF ∴=+=，(16,8)B ∴，又OD BD =，即点D 是OB 的中点，01608(,)22D ++∴，即(8,4)D ，将点(8,4)D 代入反比例函数k y x =得：8432k =⨯=，则该双曲线解析式为32y x=，结论∠错误；四边形OABC 是菱形，BC OA ∴，OC AB ∥，∴点E 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，即为8，当8y =时，3248x ==，则点E 的坐标是(4,8)，结论∠正确；OC AB ，COA BAF ∴∠=∠，84sin sin 105BF COA BAF AB ∴∠=∠===，结论∠正确；在Rt OBF △中，OB =160OB AC ⋅=，160AC OB∴==，AC OB ∴+==，结论∠正确；综上，正确的结论有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、反比例函数、正弦等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 22．C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明AFD EFB ∆∆≌，得出AF EF =，DF BF =，设AF EF x ==，则5BF x =-，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∠四边形ABCD 为矩形，∠CD =AB =5，AB =BC =3，90A C ∠=∠=︒，根据折叠可知，3BE BC ==，5DE DE ==，90∠=∠=︒E C ，∠在∠AFD 和∠EFB 中903A E AFD EFB AD BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩，∠AFD EFB ∆∆≌（AAS ），∠AF EF =，DF BF =，设AF EF x ==，则5BF x =-，在Rt BEF ∆中，222BF EF BE =+，即()22253x x -=+，解得：85x =，则817555DF BF ==-=， ∠315cos 17175AD ADF DF ∠===，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明AFD EFB ∆∆≌，是解题的关键．23．B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在Rt ABP △中，4==sin sin 40AP BP ABP ∠︒，故原来这棵树的高度为：4=4sin 40AP BP ⎛⎫++ ⎪︒⎝⎭(米)，故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．24．A【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，再接着利用勾股定理得到关于a 的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tan α的值即可．【详解】∠小正方形与每个直角三角形面积均为1，∠大正方形的面积为5，∠小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，其中a >0，∠a 2+(a +1)2=5，其中a >0，解得：a 1=1，a 2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2，故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 25．B【分析】把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，则DE ∠AB ，由勾股定理逆定理可以证明△DCE 为直角三角形，所以cos∠APC ＝cos∠EDC 即可得答案．【详解】解：把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，如图．则DE ∠AB ，∠∠APC ＝∠EDC ．在△DCE 中，有EC DC =5DE =，∠22252025EC DC DE +=+==，∠DCE ∆是直角三角形，且90DCE ∠=︒，∠cos∠APC ＝cos∠EDC ＝DC DE = 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．26．B【分析】过点A 作AH 垂直BC 于点H ，延长FG 交AB 于点P ，由题干所给条件可知，AG =FG ，EG =GP ，利用∠AGP =∠B 可得到cos∠AGP =14，即可得到FG 的长；【详解】过点A 作AH 垂直BC 于点H ，延长FG 交AB 于点P ，由题意可知，AB =BC =4，E 是BC 的中点，∠BE =2，又∠1cos 4B =， ∠BH =1，即H 是BE 的中点，∠AB =AE =4，又∠AF 是∠DAE 的角平分线，FG AD ∥，∠∠F AG =∠AFG ，即AG =FG ，又∠PF AD ∥，AP DF ∥，∠PF =AD =4，设FG =x ，则AG =x ，EG =PG =4-x ，∠PF BC ∥，∠∠AGP =∠AEB =∠B ，∠cos∠AGP =12PG AG =22x x-=14，解得x =83；故选B ．【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．27．(1)75︒(2)()2米【分析】（1）根据直角三角形的性质求出EAH ∠，根据平角的定义计算，求出CAD ∠；（2）过点A 作AM CD ⊥，垂足为M ，根据正弦的定义求出AM 、根据余弦的定义求出DM ，根据直角三角形的性质求出CM ，根据正弦的定义求出AC ，结合图形计算，得到答案．（1）解：在Rt AHE 中，30AEH ∠=︒， 60EAH ∴∠=︒，45BAC ∠=︒，180604575CAD ∴∠=︒-︒-︒=︒；（2）过点A 作AM CD ⊥，垂足为M ，在Rt ADM △中，60ADC ∠=︒，4AD =米，cos 4cos602DM AD ADC ∠∴=⋅=︒=（米），sin 4sin 60AM AD ADC ∠=⋅=︒=，在Rt ACM △中，180756045C ∠=︒-︒-︒=︒，CM AM ∴==，sin AM AC C==， ()2AB AC CD ∴=+=米，答：这棵大树折断前高为()2米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．28．(1)点D 与点A 的距离为300米(2)隧道AB 的长为米【分析】（1）根据方位角图，易知60ACD ∠=︒，90ADC ∠=︒，解Rt ADC 即可求解；（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ．分别解Rt ADE △，Rt BDE 求出AE 和BE ，即可求出隧道AB 的长（1）由题意可知：154560ACD ∠=︒+︒=︒，180454590ADC ∠=︒-︒-︒=︒在Rt ADC 中，∠tan tan 60300AD DC ACD =⨯∠=︒=（米）答：点D 与点A 的距离为300米．（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ．。

锐角三角函数单元测试题

人教版数学九年级下学期第28章《锐角三角函数》单元测试卷（满分120分，限时120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A ．12 B C D2.已知α为锐角，sin （α﹣20°）α=（） A ．20° B ．40°C ．60°D ．80°3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A B C ．12 D ．24.在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列各式成立的是（）A ．b=a•sinB B ．a=b•cosBC ．a=b•tanBD ．b=a•tanB5.在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（）A ．不变B ．扩大5倍C ．缩小5倍D ．不能确定6.在△ABC 中，∠C=90°，tanA=13，则cosA 的值为（）A B ．23 C ．34 D7.在△ABC 中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB 的值是（）A B C D8.如图，山顶一铁塔AB 在阳光下的投影CD 的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB 的高为（）BAA．3米 B．63米C．33米D．23米9.坡度等于1：3的斜坡的坡角等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A．47m B．51m C．53m D．54m二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.求值：sin60°﹣tan30°=．12.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，3AB=10，则∠A=度．C BA13.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则cos∠AOB的值是．O BA14.△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=13，则S△ABC=．15.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）．16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成_________________．三、解答题(共8题，共72分)17.（本题8分）已知α为一锐角，sinα=45，求tanα．18.（本题8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，求sinA的值．CBA19.（本题8分）如图，已知AC=4，求AB和BC的长．105°30°CAB于点D，根据三角函数的定义在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD，从而求解．20.（本题8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）21.（本题8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为42米．求新传送带AC的长度．22.（本题10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．23.（本题10分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是2（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP3/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24.（本题12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）第28章《锐角三角函数》单元测试卷解析一、选择题1. 【答案】sin60°．故选C．2.【答案】∵α为锐角，sin（α﹣20°），∴α﹣20°=60°，∴α=80°，故选D．3.【答案】由图可得，tanα=2÷1=2．故选D．4.【答案】A、∵sinB=bc，∴b=c•sinB，故选项错误；B、∵cosB=ac，∴a=c•cosB，故选项错误；C、∵tanB=ba，∴a=btan B，故选项错误；D、∵tanB=ba，∴b=a•tanB，故选项正确．故选D．5.【答案】∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选A．6.【答案】如图，A∵tanA=13，∴设BC=x，则AC=3x，∴x，∴故选D．7.【答案】延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，BD=5，∴sinB=CD BC．故选：B ． D8.【答案】设直线AB 与CD 的交点为点O ． ∴BO DO AB CD =．∴AB=BO CD DO⨯．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．在Rt △BDO 中，tan60°=BO DO ． ∵CD=6．∴AB=BO DO× 故选B ．A9.【答案】坡角α，则tanα=1α=30°．故选A ．10.【答案】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC ⊥AC ，∴∠ADB=∠DBC ﹣∠A=30°，∴∠ADB=∠A=30°，∴BD=AB=60m，∴CD=BD•sin60°=6051（m ）．故选B ．二、填空题11.【答案】原式12.【答案】∵∠C=90°，AB=10，∴cosA=AC AB， ∴∠A=30°，故答案为：30°．13.【答案】由图可得cos ∠AOB=32．故答案为：32．B14.【答案】在Rt △ABC 中，∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．∵sinA=13，∴BC=4，S △ABC =1215. 【答案】由题意得：AD=6m ，在Rt △ACD 中，∴AB=1.6m∴CE=CD +DE=CD + 1.6，所以树的高度为（ 1.6）m ．16.【答案】过点A 作AC ⊥x 轴于C ．在直角△OAC 中，∠AOC=90°﹣60°=30°，OA=14千米，则AC=12OA=7千米，因而小岛A 所在位置的坐标是（7）．故答案为：（7）．三、解答题17.【解答】由sinα=45，设a=4x ，c=5x ，则b=3x ，故tanα=43．αca18.【解答】sinA=BCAB=12．19.【解答】作CD⊥AB于点D，105°30°CD B A在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，CD=12AC=2，AD=AC•cosA=23．在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴BC=22，∴AB=AD+BD=2+23．20.【解答】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵α+∠DAF=180 º-∠BAD=180 º-90 º=90 º, ∠ADF+∠DAF=90 º, ∴∠ADF=36 º.根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．在Rt△ABE中，sinα=BEAB，∴AB=oBEsin36=240.60=40mm在Rt△ADF中，cos∠ADF==DFAD，∴AD=oDFcos36=48600.80=mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．21.【解答】如图，在Rt△ABD中，AD=ABsin45°22=4．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．即新传送带AC的长度约为8米；22.【解答】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABG中，i=tan∠BAG=3，∴∠BAG=30°，∴BG=12AB=5，AG=53．∴BF=AG+AE=53+15．在Rt△BFC中，∵∠CBF=30°，∴CF：BF=3，∴CF=5+53．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CF+FE﹣DE=5+53+5﹣15=（53﹣5）m．答：宣传牌CD高约（53﹣5）米．23.【解答】（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=3千米．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴AD=3PD=33千米，PA=6千米．∴AB=BD+AD=3+33（千米）；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=12AB=333+千米，AF=3AB=3+3 千米．在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴CF=BF=333+千米，∴PC=AF+CF﹣AP=33千米．故小船沿途考察的时间为：33÷3=3（小时）．24.【解答】（1）如图，过点E 作EM ⊥AB ，垂足为M ．设AB 为x ．Rt △ABF 中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x ，∴BC=BF +FC=x +25，在Rt △AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB ﹣BM=AB ﹣CE=x ﹣2，tan22°=AM ME ，则x 22x 255-=+，解得：x=20．即教学楼的高20m ．（2）由（1）可得ME=BC=x +25=20+25=45．在Rt △AME 中，cos22°=ME AE ．∴AE=oME cos 22，即A 、E 之间的距离约为48m 第二十八章锐角三角函数基础知识反馈卡·28.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．如图J2811，若cos α＝1010，则sin α的值为( )图J2811A.1010B.23C.34D.31010 2．已知∠A 为锐角，且sin A ＝12，那么∠A ＝( ) A ．15° B．30° C．45° D．60°二、填空题(每小题4分，共8分)3．计算：(1)2cos30°－tan60°＝________；(2)用计算器计算：①sin13°15′＝________；②cos________°＝0.857 2.4．如图J2812，△ABC 是等边三角形，边长为2，AD ⊥BC ，则sin B ＝________，可得sin60°＝________.图J2812三、解答题(共11分)5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，b ＝5，c ＝7，求sin A ，cos A ，tan A 的值．基础知识反馈卡·28.2时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．如图J2821，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则cos∠BCD＝( )图J2821A.34B.1225C.35D.452．小明由A出发向正东方向走10米到达B点，再由B点向东南方向走10米到达C点，则∠ABC＝( ) A．22.5° B．45° C．67.5° D．135°二、填空题(每小题4分，共8分)3．在倾斜角为30°的斜坡上植树，若要求两棵树的水平距离为6 m，则斜坡上相邻两树的坡面距离为________m.4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3 3，c＝6，则b＝________，∠B＝________.三、解答题(共11分)5．如图J2822，若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分(参考数据：3≈1.7)．图J2822基础知识反馈卡·28.1 1．D 2.B 3．(1)0 (2)①0.229 2 ②314.AD AB 325．解：∵∠C ＝90°，b ＝5，c ＝7，∴a ＝c 2－b 2＝2 6.∴sin A ＝a c ＝2 67， cos A ＝b c ＝57， tan A ＝a b ＝2 65. 基础知识反馈卡·28.21．D 2.D 3.4 3 4.3 30°5．解：如图DJ5，过点B 作BC 垂直对岸，垂足为C ，则图DJ5在Rt △ACB 中，有AB ＝BC sin ∠BAC ＝900sin60°＝600 3. ∴t ＝600 35×60＝2 3≈3.4(分)．答：船从A 处到B 处需时间3.4分．附赠材料：如何提高答题的准确率审题三原则如何提高答题的准确率?这是很多初中生想要解决的一个问题。

人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案

第二十八章锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)．故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ，即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )，所以OC ＝OB ，所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB，则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)．则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ，设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。

锐角三角函数单元测试卷

锐角三角函数单元测试卷考试时间：100分钟总分为：120分某某一、单项选择题〔每题3分，共8题,共24分〕1. 在中，，AB=15，sinA=，如此BC等于〔〕A．45B．5C．D．2. 某人沿坡度i ＝1：的坡面向上走50米，如此此人离地面的高度为( )A．25米B．50米C．25米D．50米3. 小明沿着与地面成30º的坡面向下走了2米，那么他下降〔〕A．1米B．米C．2米D．米4. 在正方形网格中，的位置如下列图，如此的值为〔〕A．B．C．D． 5. Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，如此AC等于( )A．6B．C．10D．126. 计算5sin30°+2cos245°-tan260°的值是( )A．B．C．-D．17. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，如此sin∠ABC等于〔〕A．B．C．D．8. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度约是A．米B．米C．米D．米二、填空题〔每题3分，共6题,共18分〕9. ．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，如此tanA=．10. 在△ABC中，∠C=，cosA=，AB=6，那么AC= .11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，如此sinA="______," tanA=" _______," cosA=_______12. 上午九时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，如此B处船与小岛M的距离是海?13. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，如此tanA等于．14. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE=8cm，，如此菱形ABCD的面积是__________．三、计算题〔每题6分，共4题,共24分〕15. 计算：．16. 计算：．17. 计算：18. 计算：四、解答题19. 〔7分〕如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：〔1〕BC的长；〔2〕sin∠ADC的值．20.〔7分〕如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是〔6，y〕，且OP与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．21.〔8分〕：如图，在ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AC= 6．求BC的长.(结果保存根号)22.〔9分〕如图，在中，AD是BC边上的高，。

初三数学锐角三角函数测试题及答案

ACOP D B图3锐角三角函数（一）测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD=（）A 、35B 、32C 、552D 、252、如图1，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B 的距离AB 为（） A 、1200m B 、2400m C 、4003m D 、12003m3、（08）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（）A ．12B ．22C ．32D ．334、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=43，则sinA=（）A 、34B 、43C 、35D 、535、如图2，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11，则tan α的值为（）A 、311B 、113C 、119D 、9116、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22ABC 三个角的大小关系是（）A 、∠C ＞∠A ＞∠B B 、∠B ＞∠C ＞∠A C 、∠A ＞∠B ＞∠CD 、∠C ＞∠B ＞∠A7、若关于x 的方程x 2-2x+cos α=0有两个相等的实数根，则锐角α为（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、0°8、如图3，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥DB ，如果PC=6，那么PD 等于（） A 、4 B 、3 C 、2 D 、19、已知∠A 为锐角，且cosA ≤21，则（）A 、 0°≤A ≤60°B 、60°≤A ＜90°C 、0°＜A ≤30°D 、30°≤A ≤90°10、如图4，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于点E ，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则 tan α的值为（）ABC（ α 图1CEDAB图2（αA 、21B 、34C 、43D 、2二、填空题（每小题3分，共30分）11、直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为21，则k 的值为。

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．在Rt△ABC中，如果各边的长度同时扩大2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值（）A．都扩大2倍B．都缩小2倍C．都不变D．不能确定2．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A等于（）A．1B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC交BC于点D，若AB＝4，tan∠CAD＝，则BC＝（）A．6B．6C．7D．75．在△ABC中，BC＝+1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（）A．B．+1C．D．+16．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（）A．米B．米C．50sin40°米D．50cos40°米7．如图，河堤横断面迎水坡AB坡比是1：2，堤高BC＝4m，则坡面AB的长度是（）mA．8B．16C．4D．48．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．比较大小：tan50°tan60°．10．若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是．11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠P AB+tan∠PBA ＝．12．如图所示，某河提的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且AB边的坡度为，则河堤的高BE为米．13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A 为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为．14．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是．15．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CN＝AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC ＝2，BN＝15，则CH的长为．16．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．计算：﹣2（1+sin60°）18．（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD ＝6．求AD的长．19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tan A＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．20．如图，楼房AB后有一假山CD，CD的坡度为i＝1：2，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离CE＝8米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．（1）求点E到水平地面的距离；（2）求楼房AB的高．21．某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A 处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.414，＝1.732）22．如图，为测量某建筑物BC的高度，采用了如下方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD（坡度i＝1：2.4）行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，底端B 的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内．根据测量数据，计算出建筑物BC 的高度．（参考数据：）23．阅读以下材料，并解决相应问题：在学习了直角三角形的边角关系后，我们可以继续探究任意锐角三角形的边角关系，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．如图1，过点A作AD⊥BC于点D，则根据定义得sin B＝，sin C＝，于是AD＝c sin B，AD＝b sin C，也就是c sin B ＝b sin C，即．同理有，，即最终得到．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）在锐角△ABC中，若∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB．（2）仿照证明过程，借助图2或图3，证明和中的其中一个．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，∴边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，∴锐角A的正弦值和余弦值没有改变．故选：C．2．解：∵∠A为锐角，且sin A＝，∴∠A＝60°，∴cos A＝cos60°＝，故选：D．3．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴tan A＝＝，故选：D．4．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB＝4，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝4×＝4，BD＝AB cos45°＝4×＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴CD＝AD tan∠CAD＝4×＝3，∴BC＝BD+DC＝4+3＝7，故选：C．5．解：过A点作AD⊥BC于点D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°＝∠B，∴AD＝BD，设BD＝x，则AD＝x，∵∠C＝30°，∴tan C＝，∴，∵BC＝+1，∴x+x＝+1，∴x＝1，即AD＝1，∴．故选：A．6．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝40°，BC＝50米，∴sin40°＝，∴AB＝＝米，故选：A．7．解：Rt△ABC中，BC＝4m，tan A＝1：2；∴AC＝＝8m，∴AB＝＝＝4（m）．故选：C．8．解：延长AC到D，连接BD，如图：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴sin∠BAC＝．故选：A．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵50°＜60°，∴tan50°＜tan60°，故答案为：＜．10．解：∵（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，∴3tan A﹣＝0，2sin B﹣＝0，则tan A＝，sin B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．11．解：设小正方形的边长是a，∵tan∠P AB＝＝＝，tan∠PBA＝＝＝，∴tan∠P AB+tan∠PBA＝+＝．12．解：由已知斜坡AB的坡度，得：BE：AE＝12：5，设AE＝5x米，则BE＝12x米，在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：132＝5x2+（12x）2，即169x2＝169，解得：x＝1或x＝﹣1（舍去），5x＝5，12x＝12即河堤高BE等于12米．故答案为：12．13．解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝＝5，∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，∴CO＝5﹣4＝1，BC＝＝，∴sin∠C＝＝＝，故答案为：．14．解：过点F作直线F A∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥F A于点H，则∠F AE＝90°，∵F A∥OG，∴∠FGO＝∠HFG．∵∠EFG＝90°，∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，∵cos∠FGO＝，∴cos∠FEA＝，在Rt△AEF中，EF＝10，∴AE＝EF cos∠FEA＝10×＝6，∴根据勾股定理得，AF＝8，∵∠F AE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，∴四边形OGHA为矩形，∴AH＝OG，∵OG＝17，∴AH＝17，∴FH＝17﹣8＝9，∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，∴FG＝9÷＝15，∴由勾股定理得：HG＝＝12，∴F（8，12）．故答案为：（8，12）．15．解：如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵tan∠ABH＝＝2，∴可以假设BH＝k，2k，∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，∴∠HAC＝∠KCH，∵NJ⊥BC，∴∠AHC＝∠CJN＝90°，∴△AHC∽△CJN，∴＝＝＝2，∴CJ＝k，∴CH＝x+k，JN＝（x+k），∴tan∠NBJ＝＝，设NJ＝y，BJ＝2y，∵BN＝15，∴5y2＝152，∴y＝3，∴NJ＝3，∴CH＝2NJ＝6．16．解：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，CD2＝22+42＝20，∴CN2+DN2＝CD2，∴△CND是直角三角形，∴tan∠NCD＝＝＝3，∴∠APD的正切值为：3，故答案为：3．三．解答题（共7小题，满分56分）17．解：原式＝﹣2（1+）＝+﹣2﹣＝﹣2．18．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∵tan A＝，∴a＝b tan A，∴a＝4×＝12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sin A＝，∴AB＝＝10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．19．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tan A＝＝，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB•CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cos B＝＝＝，∴∠B的余弦值为．20．解：（1）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，∵CD的坡度i＝EF：CF＝1：2，∴设EF＝a米，则CF＝2a米，在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE＝＝＝a（米），∵CE＝8米，∴a＝8，∴a＝8，∴EF＝8米，CF＝2a＝16（米），∴点E到水平地面的距离为8米；（2）如图：延长FE交AG于点H，由题意得：∠HAE＝45°，AH＝BF＝BC+CF＝24+16＝40（米），AB＝FH，在Rt△AHE中，HE＝AH•tan45°＝40×1＝40（米），∴AB＝HF＝HE+EF＝40+8＝48（米），∴楼房AB的高为48米．21．解：作AE⊥CD于E，∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝10海里，∵向北的方向线是平行的，∴∠ACF＝∠CAB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝AC＝5海里，AE＝AC＝5海里，∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴DE＝AE＝5海里，∴CD＝5+5≈13.66（海里），轮船航行的速度为：13.66÷＝27.3（海里/时），答：轮船航行的速度是27.3海里/时，22．解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH，在RtADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∴BF＝DH＝50米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°＝＝，∴CF＝EF＝50＝86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．答：建筑物BC的高度约为136.6米．23．解：（1）根据阅读材料可知，，∵∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，∴＝，∴AB＝＝2；（2）证明．理由如下：如图，连接CO并延长交⊙O于D，连接AD、BD，则∠DAC＝∠DBC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠ABC＝∠ADC．在Rt△ADC中，sin∠ADC＝，∴CD＝．在Rt△BDC中，sin∠BDC＝，∴CD＝，∴＝，∴＝，即在△ABC中，．。

深圳市上沙中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试(答案解析)

一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（）A ．4B ．5C ．163D ．83 2．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，则sin ∠BOD 的值等于（）A ．1010B ．31010C ．2105D ．1053．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE CE的值是（）A ．3B ．3C ．2D ．3 4．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A=35°，则直角边AC 的长是（）A ．m·sin35°B ．cos35m ︒C ．sin 35m ︒D ．m·cos35°5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1：3，坝高BC ＝3m ，则AB 的长度为（）A ．6mB ．33mC ．9mD ．63m 6．在ABC 中，(2sinA-1)2+1cos 2B -=0，则ABC 是（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定 7．在△ABC 中，若cosA=22，tanB=3，则这个三角形一定是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10213+；则以上结论正确的是（）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③9．如图，反比例函数k y x=(0)k ≠第一象限内的图象经过ABC ∆的顶点A ，C ，AB AC =，且BC y ⊥轴，点A ，C ，的横坐标分别为1，3，若120BAC ∠=︒，则k 的值为（）A ．1B 2C 3D ．210．如图，为测量瀑布AB 的高度，测量人员在瀑布对面山上的D 点处测得瀑布顶端A 点的仰角是30，测得瀑布底端B 点的俯角是10︒，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得27.0CG m =，17.6GF m =（注：C 、G 、F 三点在同一直线上，CF AB ⊥于点F ），斜坡20.0CD m =，坡角40ECD ∠=︒，那么瀑布AB 的高度约为（）．（精确到0.1m ，参考数据：3 1.73≈，sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈）A ．44.8mB ．45.4mC ．47.4mD ．114.6m 11．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40︒，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）A ．78.6米B ．78.7米C ．78.8米D ．78.9米 12．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A 、1122DE E B 、2222A B C D 、2343D E E B 、3333A B C D …按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2C 、3E 、4E 、3C …在x 轴上，已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ∠=︒，112233B C B C B C …则正方形2019201920192019A B C D 的边长是（）A ．201812⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．201912⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．201933⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．201833⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题13．点A 、B 、C 都在半径为6的O 上，且120AOC ∠=︒，点M 是弦AB 的中点，则CM 的长度的最大值为______．14．如图所示，ABO 中，AB OB ⊥，OA=2，AB=1，把ABO 绕点O 旋转150°后得到11A B O ，则点1A 的坐标为_______15．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若正方形ABCD 边长为3，则AH=__．16．计算：112tan 6032()2-+---____． 17．如图，已知∠AOB =60°，点P 在边OA 上，OP =12，点M ，N 在边OB 上，PM =PN ，若MN =2，则OM =____．18．如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2016的坐标是______．19．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果tan ∠A =33，那么cos ∠B =_____． 20．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD ，小明在斜坡上B 处测得标识牌顶部C 的仰角为45︒，沿斜坡走下来在地面A 处测得标识牌底部D 的仰角为60°，已知斜坡AB 的坡角为30°，10AB AE ==米．则标识牌CD 的高度是米__________．三、解答题21．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°，然后沿MP 方向前进16m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m 求观星台最高点A 距离地面的高度（结果精确到0.1m ．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）．22．定义：如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”．显然，“特征轴三角形”是等腰三角形．（1）抛物线y ＝x 2﹣3对应的“特征轴三角形”是；抛物线y ＝12x 2﹣2对应的“特征轴三角形”是．（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形．）（2）若抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出a 的值．（3）如图，面积为3ABCO 的对角线OB 在x 轴的正半轴上，AC 与OB 相交于点E ，若△ABE 是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式．23．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到与底面CD 垂直的OM 位置时的示意图，已知AC 0.66=米，BD 0.26=米，α30=︒(参考数据：3 1.732,2 1.414==)（1）求AB 的长（2）若ON 0.6=米，求M N 、两点的距离（精确0.01)24．如图，O 为ABC 的外接圆，AB 为O 的直径，点D 为BC 的中点．（1）连接OD ．求证：//OD AC ．（2）设OD 交BC 于E ，若43BC=2DE =．求阴影部分面积． 25．25864sin 453︒ 26．如图，在△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到△A′BC′，连接A C '，求A C '的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】如图，过D 作DP CE ⊥于,P 证明：,EP CP EDP CDP =∠=∠，,DEC DCE ∠=∠再证明,AEF BCG EDP ∠=∠=∠ 结合矩形的性质证明：,AFG EFA ∽利用相似三角形的性质可得4EF =，再求解,AG AE ，设,BG x = 可得5,2,DE x AD x =+= 利用勾股定理求解,x 再由,BCG EDP ∠=∠可得：1,2EP DP =设,EP m = 则2,DP m = 由勾股定理求解m ，从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠,AEF BCG EDP ∴∠=∠=∠,,90AGF CGB AF CG B ∠=∠⊥∠=︒，,FAG BCG ∴∠=∠,FAG AEF ∴∠=∠90AFG EFA ∠=∠=︒，,AFG EFA ∴∽,AF FG EF FA∴= 21AF FG ==，，21,2EF ∴=4EF ∴=，2225AE AF EF ∴=+=， 225,AG AF FG =+= 设BG x =，则5,AB CD x DE ==+=AEF BCG ∠=∠， 1tan tan ,2AF AEF BCG EF ∴∠=∠== 1,2BG BC ∴= 2,BC x AD ∴== ()()()2222255,x x ∴=++235250,x x ∴--=553x ∴=5x = 5585533DE ∴== ,EDP BCG ∠=∠1,2EP DP ∴= 设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,3m m ⎛∴= ⎝⎭ 83m ∴=（负根舍去） 162.3EC EP ∴==故选：.C【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据平行线的性质和锐角三角函数定义以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin ∠BOD 的值，本题得以解决．【详解】解：连接AE 、EF ，如图所示，则AE ∥CD ，∴∠FAE=∠BOD ，∵每个小正方形的边长为1，则222222112,2425,3332,AE AF EF =+==+==+=∴△FAE 是直角三角形，∠FEA=90°， ∴32310sin 25EF FAE AF ∠=== ∴310sin BOD ∠=故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数定义、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．B解析：B【分析】设AC=AB=x ，求得3tan 3AC CD x D ===，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：设AC=AB=x ，则3tan 3AC CD x D ===， ∵∠BAC=∠ACD=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴BE AB CE CD === 故选：B ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据Rt △ABC 中cos35AC AB AC m ︒==，即可得到AC 的长. 【详解】在Rt △ABC 中， AB=m ，∠A=35°，cos35AC AB AC m ︒==， ∴AC=cos35m ⋅︒，故选：D.【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，正确掌握各三角函数对应边的比值是解题的关键. 5．A解析：A【分析】根据坡比的概念求出AC ，根据勾股定理求出AB ．【详解】解：∵迎水坡AB 的坡比为1 ∴BC AC =3AC =解得，AC ＝由勾股定理得，AB ==6（m ），故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 6．C解析：C【分析】根据非负数的性质可得sinA 和cosB 的值，进而可得∠A 和∠B 的度数，即可知△ABC 的形状．【详解】解：∵(2sinA-1)2=0，∴2sinA-1=0，cosB-12=0，∴sinA=12，cosB=12，∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，故△ABC为直角三角形．故选C．【点睛】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，根据两个非负数的和为零，则这两个数都为零求出sinA和cosB的值是解决此题的关键．7．A解析：A【解析】试题∵cos A=2，tan B，∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC为锐角三角形．故选A．8．A解析：A【分析】证明AC∥DE，再由条件CE∥AD可证明四边形ACED是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=出AB长可得四边形ACEB的周长是10+【详解】①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；②∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EC=EB ，∴△BCE 是等腰三角形，故②正确；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=cos30AD ⋅︒=∵四边形ACED 是平行四边形，∴CE=AD=4，∵CE=EB ，∴EB=4，DB=∴BC=∴==∴四边形ACEB 的周长是10+③正确；综上，①②③均正确，故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法．9．C解析：C【分析】先表示出CD ，AD 的长，然后在Rt △ACD 中利用∠ACD 的正切列方程求解即可．【详解】过点A 作AD BC ⊥，∵点A 、点C 的横坐标分别为1，3，且A ，C 均在反比例函数k y x =第一象限内的图象上， ∴(1,)A k ，3,3k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴CD=2，AD=k-3k ， ∵AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，∴30ACD ∠=︒，90ADC ∠=︒，∵tan ∠ACD=AD DC，∴DC =，即23k k ⎫=-⎪⎭，∴k = 故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．10．B解析：B【分析】如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，在Rt△DCN中，求出CN即可得到FN的长，由四边形DMFN是矩形可得DM的长，然后分别在Rt△ADM和Rt△DMB中，解直角三角形求出AM，BM即可解决问题．【详解】解：如图，作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，在Rt△DCN中，CN＝CD•cos40°≈20.0×0.77＝15.4（米），∵CF＝CG＋GF＝44.6（米），∴FN＝CN＋CF＝60.0（米），易得四边形DMFN是矩形，∴DM＝FN＝60.0（米），在Rt△ADM中，AM＝DM•tan30°＝3 1.7360.060.0=34.633（米），在Rt△DMB中，BM＝DM•tan10°≈60.0×0.18＝10.8（米），∴AB＝AM＋BM＝45.4（米），即瀑布AB的高度约为45.4米，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是灵活运用三角函数解决问题，属于中考常考题型．11．C解析：C【分析】如下图，先在Rt△CBF中求得BF、CF的长，再利用Rt△ADG求AG的长，进而得到AB的长度【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F，延长DE交AB延长线于点G∵BC的坡度为1:0.75∴设CF为xm，则BF为0.75xm∵BC=140m∴在Rt△BCF中，()2220.75140x x+=，解得：x=112∴CF=112m，BF=84m∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ADG是直角三角形∵DE=55m，CE=FG=36m∴DG=167m，BG=120m设AB=ym∵∠DAB=40°∴tan40°=1670.84120DGAG y==+解得：y=78.8故选：C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.12．D解析：D【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【详解】解：∵∠B1C1O=60°，B1C1//B2C2//B3C3，∴∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°= 12，则B 2C 2= 2230B E cos = 1232= 13()，同理可得：B 3C 3= 13= 23()，故正方形A n B n C n D n 的边长是：13()n -．则正方形2019201920192019A B C D 的边长是：20183()．故选D ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键.二、填空题13．【分析】如图取AO 的中点J 连接JMJC 过点J 作JH ⊥OC 交CO 的延长线于H 求出MJCJ 根据CM≤MJ+CJ 即可解决问题【详解】解：如图取的中点连接过点作交的延长线于的最大值为故答案为：【点睛】本题考解析：337+【分析】如图，取AO 的中点J ，连接JM ，JC ，过点J 作JH ⊥OC ，交CO 的延长线于H ．求出MJ ，CJ ，根据CM≤MJ+CJ 即可解决问题．【详解】解：如图，取AO 的中点J ，连接JM ，JC ，过点J 作JH OC ⊥，交CO 的延长线于H ．120AOC ∠=︒，60JOH ∴∠=︒，JH OH ⊥，90JHO ∴∠=︒，132AJ JO OA ===，3cos602OH OJ ∴=︒=，sin 60JH OJ =︒=， 315622CH OH OC ∴=+=+=，CJ ∴===， AM MB =，AJ JO =，132MJ OB ∴==， CM MJ JC +，337CM ∴+，CM ∴的最大值为3+故答案为：3+【点睛】本题考查轨迹，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．14．或(-20)【分析】需要分类讨论：在把绕点顺时针旋转和逆时针旋转后得到时点的坐标【详解】解：中∴如图1当绕点顺时针旋转后得到△过作轴交于点则则可得：即有因为在第三象限则的坐标是；如图2当绕点逆时针旋解析：(1,-或(-2，0)【分析】需要分类讨论：在把ABO 绕点O 顺时针旋转150︒和逆时针旋转150︒后得到11A B O 时点1A 的坐标．【详解】解：ABO ∆中，AB OB ⊥，2OA =，1AB =，∴sin 21OB AOB OA ∠==， 30AOB ∴∠=︒．如图1，当ABO ∆绕点O 顺时针旋转150︒后得到△11A B O ，过1A 作1AC y ⊥轴交于C 点则1150150309030AOC AOB BOC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，则可得：111AOB AOB AOC ≅≅ 即有2222213OC OB OA AB ==-=-=，11AC AB == 因为1A 在第三象限，则1A 的坐标是(1,3)--；如图2，当ABO ∆绕点O 逆时针旋转150︒后得到△11A B O ，则1150********AOB AOB ∠=︒+∠=︒+︒=︒，即1A 在x 轴上，并有：12OA OAB ==，因为1A 在第二象限，则1A 的坐标是(2,0)-；综上所述，点1A 的坐标为(1,3)-或(2,0)-．故答案是：(1,3)-或(2,0)-．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转．能进行分类讨论，是解题的关键．15．1【分析】连接BH 证明Rt △ABH ≌△Rt △EBH （HL ）得出∠ABH=30°在Rt △ABH 中解直角三角形即可【详解】解：连接BH 如图所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是正方形∴∠BAH=∠AB解析：1【分析】连接BH ，证明Rt △ABH ≌△Rt △EBH （HL ），得出∠ABH =30°，在Rt △ABH 中解直角三角形即可．【详解】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，∵BH=BH，AB=EB，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=1∠ABE=30°，2∴AH=AB•tan∠33，故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形．能正确作出辅助线得出Rt△ABH≌△Rt△EBH，从而求得∠ABH =30°是解题关键．16．【分析】先利用特殊的三角函数值计算再利用绝对值和负指数得出结论【详解】解:原式=故答案为：【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值绝对值负整数指数幂3个考点在计算时需要针对每个考点分别进行计算然后根据实数解析：43【分析】先利用特殊的三角函数值计算，再利用绝对值和负指数得出结论．【详解】=+=+解:原式=23+2322332243故答案为：43．【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂3个考点．在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果．17．5【分析】过P作PD⊥OB交OB于点D在直角三角形POD中利用锐角三角函数定义求出OD的长再由PM=PN利用三线合一得到D为MN中点根据MN求出MD的长由OD-MD即可求出OM的长【详解】过P作PD解析：5．【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD-MD 即可求出OM的长．【详解】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°12 OD OP==，OP=12，∴OD=6．∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND12=MN=1，∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．故答案为：5．【点晴】本题考查的是勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．18．（10091008）【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为y=x进而得出OB1B2B3坐标进而得出坐标变化规律进而得出答案【详解】过B1向x轴作垂线B1C垂足为C由题意可得：A（10）AO∥A1B解析：（1009，3【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为3，进而得出O，B1，B2，B3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【详解】过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（1，0），AO∥A1B1，∠B1OC＝30°，∴CB1＝OB1cos30°3∴B1的横坐标为：12，则B13∴点B1，B2，B3，…都在直线y3x上，∴B 1（12，32），同理可得出：A 的横坐标为：1，∴y ＝3，∴A 2（2，3），…A n （1+2n ，3n ）． ∴A 2016（1009，10083），故答案为：（1009，10083）【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律探究，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=30°进而得出∠B 的度数进而得出答案【详解】∵tan ∠A=∴∠A=30°∵∠C=90°∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°∴cos ∠B=故答案为：【点解析：12【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A =30°，进而得出∠B 的度数，进而得出答案．【详解】∵tan ∠A =33， ∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =180°﹣30°﹣90°=60°，∴cos ∠B =12．故答案为：12．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的计算公式是解题关键．20．【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M过点B作BN⊥CE于点N通过解直角三角形可求出BMAMCNDE的长再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M过点B作解析：1553【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋E N−DE即可求出结论．【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos30°＝3BM＝AB•sin30°＝5（米）．在Rt△ADE中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan60°＝3在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋3∠CBN＝45°，∴CN＝BN•tan45°＝10＋3（米），∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋33＝3故答案为：3【点睛】此题考查解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．三、解答题21．约为12.3m【分析】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC=MN=16m，DE=CN=BM=1.6m，求得CE=AE，设AE=CE=x，得到BE=16+x，解直角三角形即可得到答案．【详解】过A 作AD ⊥PM 于D ，延长BC 交AD 于E ，则四边形BMNC ，四边形BMDE 是矩形，∴BC ＝MN ＝16m ，DE ＝CN ＝BM ＝1.6m ，∵∠AEC ＝90°，∠ACE ＝45°，∴△ACE 是等腰直角三角形，∴CE ＝AE ，设AE ＝CE ＝x ，∴BE ＝16+x ，∵∠ABE ＝22°，∴tan22°＝AE BE ＝16x x+≈0.40，解得：x ≈10.7（m ），经检验x ≈10.7是原分式方程的解∴AD≈10.7+1.6＝12.3（m ），答：观星台最高点A 距离地面的高度约为12.3m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．（1）②；④；（2）12±；（3）y ＝﹣x 23x ﹣24．【分析】（1）根据题意先求出这两个抛物线的顶点及与x 轴的交点坐标，然后进行求解即可；（2）由题意易得抛物线的顶点及与x 轴的交点坐标，然后根据题意列方程求解即可；（3）如图，过点A 作AH ⊥x 轴，交于点H ，由题意易得S △ABE ＝14ABCD S 矩形＝143334BE 2＝3A （3，3），E （3，0），B （30），然后利用待定系数法求解即可．【详解】解：（1）由抛物线y ＝x 2﹣3可得顶点坐标为：)3,3-，与x 轴的交点坐标为：()()0,0,23,0， ∴抛物线y ＝x 2﹣3对应的“特征轴三角形”是等边三角形；由抛物线y ＝12x 2﹣2可得顶点坐标为：()0,2-，与x 轴的交点坐标为：()()2,0,2,0-， ∴抛物线y ＝12x 2﹣2对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形；故答案为②；④；（2）设抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3a 与x 轴的交点坐标为A ，B ，顶点为D ，∴A （﹣3，0），B （1，0），D （﹣1，﹣4a ），∵抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3a 对应的“特征轴三角形”是直角三角形，∴AB 2＝AD 2+BD 2，∴16＝4+16a 2+4+16a 2，∴a ＝12±；（3）如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ＝CE ＝OE ＝BE ，∴S △ABE ＝14ABCD S 矩形＝143＝3 ∵△ABE 是抛物线的“特征轴三角形”，根据抛物线的对称性得，AE ＝AB ，∴AE ＝AB ＝BE ，∴△ABE 是等边三角形，过点A 作AH ⊥BE ，∴AH ＝AB sin ∠ABE 33， ∴32＝3 ∴BE ＝3∴AH ＝3，EH 3∴A （33），E （3，0），B （30），设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣3）2+3，将点E （30）代入得，a ＝﹣1， ∴y ＝﹣（x ﹣32+3＝﹣x 23﹣24．∴过点A ，B ，E 三点的抛物线的解析式y ＝﹣x 23x ﹣24．【点睛】本题主要考查二次函数的综合及三角函数，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解题的关键．23．（1）0.8；（2）1.04 m【分析】（1）已知AC与BD，求AB，为此过D作BE⊥AC于E，可求AE，由∠ABE已知，利用30角所对直角．边等于斜边的一半，可求AB即可，（2）过N作NF⊥MO交射线MO于F点，则FN∥EB，∠ONF=α=30°，利用外角有∠M=∠MNO=12∠FON=30º，在30 º Rt△OFN 中，OF=12ON，易求MF，利用Rt△MFN中MN=MFcos30︒即可．【详解】（1）过B作BE⊥AC于E，则四边形CDBE为矩形，CE=BD=0.26米，AC=0.66米，∴AE=AC-EC=0.66-0.26=0.40米，在Rt△AEB中，α=30°，AB=2AE=2×0.40=0.80米，（2）过N作NF⊥MO交射线MO于F点，则FN∥EB，∴∠ONF=α=30°，∵ON=0,6米，∴OF=12ON=0,3米，∵OM=ON=0.6米，∴MF=0.9米，∴∠FON=90º-30º=60º，∴∠M=∠MNO=12∠FON=30º，在Rt△MFN中，MN=MF==1.039 1.04 cos303≈︒．【点睛】本题考查求斜面长，MN长，关键是掌握把要求的线段置于Rt △中,用三角函数来解决问题．24．（1）证明见解析；（2）163π- 【分析】（1）先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据垂径定理的推论可得OD 垂直平分BC ，然后根据平行线的判定即可得证；（2）设O 的半径为r ，从而可得,2OB r OE r ==-，再根据垂径定理的推论可得12BE BC ==Rt OBE 中，利用勾股定理可得r 的值，从而可得OBC ∠的度数，最后利用扇形和三角形的面积公式即可得．【详解】（1）AB 为O 的直径， 90ACB ∴∠=︒，即AC BC ⊥，点D 为BC 的中点，OD ∴垂直平分BC ，//OD AC ∴；（2）设O 的半径为r ，则OB OD OC r ===，2DE =，2OE OD DE r ∴=-=-，由（1）已证：OD 垂直平分BC ，1122BE BC ∴==⨯=在Rt OBE 中，222OE BE OB +=，即222(2)r r -+=，解得4r =，4,2OB OE ∴==，在Rt OBE 中，1sin 2OE OBC OB ∠==， 30OBC ∴∠=︒，又OB OC =，30OCB OBC ，180120BOC OCB OBC ∴∠=︒-∠-∠=︒，则阴影部分面积为21204116236023OBC OBC S Sππ⨯-=-⨯=-扇形【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理的推论、扇形的面积公式、正弦三角函数等知识点，熟练掌握并灵活运用各定理和公式是解题关键．25．【分析】先代入特殊角三角函数值和进行二次根式的混合运算，再进行合并即可得到结果．【详解】解：25864sin453+⨯-︒=62 2225432 +⨯-⨯=225222+-=52．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算以及特殊角三角函数值，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式再运算．26．433A C'=+【分析】利用旋转的性质得B C=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，再判断出△BCC'是等边三角形，即可得到BC=C'C，进而判断出A'C是线段BC'的垂直平分线，最后用勾股定理和三角函数求解即可．【详解】解：如图，连接CC'，∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，∴△BCC'是等边三角形，∴BC=C'C，∵A'B=A'C'，∴A'C是BC'的垂直平分线，垂足为D，∴BD=12BC'=3，在Rt△A'BD中，A'B=5，BD=3，根据勾股定理得，A'D=4，在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=6，∴CD=BC•cos∠CBD=6×sin60°3∴3【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是判断出A'C是线段BC'的垂直平分线．。

【初三数学】南通市九年级数学下(人教版)第二十八章《锐角三角函数》单元综合练习卷(含答案解析)

人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元练习含答案人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元练习1. 在Rt △ABC 中，若∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，则下列各式中成立的是( )A ．sinB ＝23 B ．cos B ＝23C ．tan B ＝23D ．sin A ＝23 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为AB 上一点，且AE ∶BE ＝4∶1，EF ⊥AC 于点F ，连接BF ，则tan ∠CFB 的值是( )A.33B.233C.533 D ．5 33. 为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得数据如图所示，则该坡道倾斜角α的正切值是( )A.117B ．4 C.14 D.417 4. 计算4sin60°－3tan30°的值为( ) A.3 B ．23C ．33D ．05. 计算sin 245°＋cos 245°的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．36. sin α＝0.231 6，cos β＝0.231 6，则锐角α与锐角β之间的关系是( )A ．α＝βB ．α＋β＝180°C ．α＋β＝90°D ．α－β＝90°7. 在△ABC 中，∠C ＝90°，下列各式中不正确的是( )A ．b ＝a ·tanB B ．a ＝b ·cosAC ．c ＝b sinBD ．c ＝acosB 8. 如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔(图中点A 处)在她家北偏东60°方向500 m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 长是( )A ．250 mB ．250 3 m C.500 33 m D ．250 2 m 9. 王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60°，已知水平距离BD ＝10 m ，楼高AB ＝24 m ，则树CD 的高度为( )A ．(24－1033)m B ．(24－103) m C ．(24－53) m D ．9 m10. 河堤横断面如图所示，堤高BC ＝6 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AB的长为( )A．12 m B．4 3 m C．5 3 m D．6 3 m11. 使用计算器计算：sin52°18′≈________．(精确到0.001)12. 已知cosβ＝0.741 6，利用计算器求出β的值约为________．(精确到1°)13. 计算：(1＋sin 40°)(1－cos 50°)＋sin240＝________14. 计算：(4cos30°sin60°)2＋(－2)－1－( 2 017－2 018)0＝________15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，b＝53，则∠A＝________，S△ABC＝________．16. 在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝92，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD＝13，则BD的长为________．17. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是________．18. 在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，AB＝8，则AB边上的高CD的长是________．19. 计算：(1) sin30°＋cos45°；(2) sin260°＋cos260°－tan45°.20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．21. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．22. 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝ 6人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数检测卷一、选择题(每小题3分，共30分)1.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝5，那么下列式子中正确的是( A )A.sin A＝58 B.cos A＝58 C.tan A＝58 D.以上都不对2.若cos A＝32，则∠A的大小是( A )A.30°B.45°C.60°D.90°3.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝37，BC＝4，则AB的长度为( D )A.43 B.74 C.8103 D.2834.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( A )A.2＋ 3B.2 3C.3＋ 3D.3 35.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是( C )A.sinα＝cosαB.tan C＝2C.sinβ＝cosβD.tanα＝16.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2 海里的点A 处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是( C )A.2 海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里7.Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，那么c 等于( B )A.a cos A＋b sin BB.a sin A＋b sin BC.asin A＋bsin B D.acos A＋bsin B8.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( D )A.4sinθ米2 B.4cosθ米2 C.(4＋tanθ4)米2 D.(4＋4tanθ)米29.如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD 垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心时照明效果最佳.此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( D )A.(11－22)米B.(113－22)米C.(11－23)米D.(113－4)米10.如图，小明爬山，在山脚下B处看山顶A的仰角为30°，小明在坡度为i＝512的山坡BD上去走1300米到达D处，此时小明看山顶A的仰角为60°，则山高AC为( B )A.600－250 3B.6003－250C.350＋350 3D.500 3二、填空题(每小题4分，共24分)11.计算：2sin60°12.如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于13.传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶0.75，它把物体从地面送到离地面高8米的地方，物体在传送带上所经过的路程为10米.14.如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米(假设拉线是直的)，且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平(结果保留根号).15.如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝12.16.△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是三、解答题(共66分)17.(6分)计算：2cos 245°－(tan60°－2)2－(sin60°－1)0＋(12)－2 解：原式＝2×(22)2－|3－2|－1＋4＝1－(2－3)－1＋4＝3＋2.18.(6分)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值.解：∵在直角△ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213.19.(6分)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12米，求大厅两层之间的距离BC 的长.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60)解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB·sin∠BAC＝12×0.515≈6.2(米).即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.20.(8分)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m).(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.21.(8分)王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示.已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由.(提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)解：王浩同学能将手机放入卡槽AB 内.理由：作AD ⊥BC 于点D ，∵∠C ＝50°，AC ＝20 cm ，∴AD ＝AC ·sin50°＝20×0.8＝16 cm ，CD ＝AC ·cos50°＝20×0.6＝12 cm ， ∵BC ＝18 cm ，∴DB ＝BC －CD ＝18－12＝6 cm ，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝162＋62＝292， ∵17＝289＜292，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB 内.22.(10分)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD 的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A 处测得五楼顶部点D 的仰角为60°，在B 处测得四楼顶部点E 的仰角为30°，AB ＝14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73)人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数单元测试题（含答案）一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)1．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，tan A ＝12，则下列判断正确的是( )A ．∠A ＝30°B ．AC ＝12C ．AB ＝2D ．AC ＝22．在△ABC 中，∠A ，∠C 都是锐角，且sin A ＝32，tan C ＝3，则△ABC 的形状是( )图1A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能确定3．如图2，直线y ＝34x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，则cos ∠BAO 的值是( )图2A.45B.35C.43D.544．如图3，一河坝的横断面为梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，坝顶BC 宽10米，坝高BE 为12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )图3A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米5．如图4，某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B 处，那么tan∠ABP 的值为( )图4A.12B ．2 C.55D.2 556．如图5，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧在AB的下方交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()图5A.312 B.36 C.33 D.327．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔是本市现存最古老的建筑．如图6，测绘师在离铁塔10米的点C处测得塔顶A的仰角为α，他又在离铁塔25米的点D处测得塔顶A的仰角为β.若tanαtanβ＝1，点D，C，B在同一条直线上，则测绘师测得铁塔的高度约为(参考数据：10≈3.162)()图6A．15.81米B．16.81米C．30.62米D．31.62米二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)8．计算：cos30°＋3sin30°＝________.9．若α为锐角，且tan(α＋20°)＝33，则α＝_____________.10．如图7所示的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是________．图711．如图8，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了________米．图812．如图9，菱形ABCD 的周长为20 cm ，且tan ∠ABD ＝43，则菱形ABCD 的面积为________cm 2.图913．如图10所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝45°，AC 的垂直平分线与AB ，AC 分别交于点D ，E ，连接CD .如果AD ＝1，那么tan ∠BCD ＝________.图1014．如图11所示，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF ∥MN ，则cos E ＝________.图11三、解答题(本大题共4小题，共44分)15．(8分)计算：|－3|＋3tan30°－12－(2020－π)0.16．(10分)如图12，在▱ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10.(1)求证：∠BEC＝90°；(2)求cos∠DAE的值．图1217．(12分)如图13，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为45°，在C，B之间选择一点D(C，D，B三点共线)，测得旗杆顶部A的仰角为75°，且CD＝8 m.(1)求点D到CA的距离；(2)求旗杆AB的高．图1318．(14分)如图14，皋兰山某处有一座信号塔AB，山坡BC的坡度为1∶3，现为了测量塔高AB，测量人员选择山坡C处为一测量点，测得∠DCA＝45°，然后他沿着山坡向上行走100 m到达点E处，再测得∠FEA＝60°.(1)求山坡BC的坡角∠BCD的度数；(2)求塔顶A到CD的铅直高度AD(结果保留整数，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．图14答案1．D2．C3．A4．D5．A6．B7．A[8．[答案] 39．[答案] 10°10．[答案] 1 211．[答案] 100 12．[答案] 24 13．[答案] 2－114．[答案] 1 215．解：原式＝3＋3×33－2 3－1＝3－2 3.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，DC∥AB，∴∠DEA＝∠EAB.∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝10，∴BC＝10.∵62＋82＝102，即CE2＋BE2＝BC2，∴∠BEC＝90°.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝CE＋DE＝16.∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC＝90°，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝162＋82＝8 5， ∴cos ∠DAE ＝cos ∠EAB ＝AB AE ＝168 5＝2 55.17．解：(1)如图，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE ＝CD ·sin45°＝8×22＝4 2(m)．答：点D 到CA 的距离为4 2人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测试卷（有答案）一、单选题（共10题；共30分）1.在中， ∠ ° ，若cosB=，则sinA 的值为 ( )A. B.C.D.2.在中， ∠ °, ∠ °，AB=5，则BC 的长为( ) A. 5tan40° B. 5cos40° C. 5sin40° D. °3.sin60°的值等于（）A.B.C.D.4.已知在R t △ABC 中，∠C = 90°，∠A = ，AB = 2，那么BC 的长等于 A. B. C.D.5.如图，点A 、B 、O 是正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为OA ，点P 是优弧上的一点，则cos ∠APB 的值是（）A. 45°B. 1C.D. 无法确定 6.在Rt △ABC 中，如果∠C=90°，AB=10，BC=8，那么cosB 的值是（） A.B.C.D.7.sin30°+tan45°﹣cos60°的值等于（）A. B. 0 C. 1 D. - 8.如图，菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若sin ∠AOC=，OA=5，则点B的坐标为（）A. （4，3）B. （3，4）C. （9，3）D. （8，4）9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A. B. C. D.10.如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm2二、填空题（共10题；共30分）11.在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB=________．12.如图，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，，则AC=________.13.计算：2cos60°﹣tan45°=________．14.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列式子：①a=c•sinB，②a=c•cosB，③a=c•tanB，④a= ，必定成立的是________．15.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为________．16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，CD是AB上的高，则tan∠BCD的值是________．17.如图，正方形ABCD的边长为12，点O为对角线AC、BD的交点，点E在CD上，tan∠CBE= ，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，将△OCF绕着点O逆时针旋转90°得到△ODG，连接FG、FD，则△DFG的面积是________．18.如图，在8×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点都在图中相应的格点上，则tan∠ACB=________ .19.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC= ，点D是AC上一点，且BC=BD=2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连接AF交射线BD于点G，则AG 的长为________．20.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2．则cos∠MCN=________．三、解答题（共8题；共60分）21.如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．22.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)23.中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）24.我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高BM=17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．25.如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°,然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处,在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°,求两海岛间的距离AB.26.放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A 处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果精确到1米）．27.目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：=1.41，=1.73）28.如图，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速行驶向港口P，乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速行驶驶离岗口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向，求乙船的航行速度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】C二、填空题11.【答案】12.【答案】513.【答案】014.【答案】②15.【答案】16.【答案】17.【答案】18.【答案】19.【答案】20.【答案】三、解答题21.【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，∵S△ABC=27，∴，∴AH=6，∵AB=10，∴BH= = =8，∴tanB= = = ．22.【答案】解：设AC的长为x，那么BC的长就为2x．x2+（2x）2=AB2，x2+（2x）2=（4）2，x=4．答：河床面的宽减少了4米．23.【答案】解：过A作AD⊥CF于D，由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD= ，则AD=AC•sin∠ACD=250 ≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．24.【答案】解：过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，设AB=x米，则AN=x+（17﹣1）=x+16（米），在Rt△AEN中，∠AEN=45°，∴EN=AN=x+16，在Rt△BCN中，∠BCN=37°，BM=17，∴tan∠BCN= =0.75，∴= ，解得：x=1 ≈1.3．经检验：x=1 是原分式方程的解25.【答案】.解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD,交CD的延长线于点F,则四边形ABFE为矩形,所以AB=EF,AE=BF,由题意可知AE=BF=1 100-200=900(米人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）一、选择题1.在△ABC中，若tan A＝1，sin B＝，你认为最确切的判断是( )A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且cos A＝，sin B＝，则△ABC是( )A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定3.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin ∠C＞sin ∠D；②cos ∠C＞cos ∠D；③tan ∠C＞tan ∠D中，正确的结论为( )A．①②B．②③C．①②③D．①③4.如图，小明为测量一条河流的宽度，他在河岸边相距80 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树R的位置，R在Q的正南方向，在P东偏南36°的方向，则河宽( )A．80tan 36°B．80tan 54°C．D．80tan 54°5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的有( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题6.在△ABC中，若|cos A|＋(1－tan B)2＝0，则△ABC的形状是________________．7.△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，那么sin B＝__________.8.如图，某山坡AB的坡角∠BAC＝30°，则该山坡AB的坡度为__________．9.在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝12，那么AC＝__________.10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A ＝；④tan B＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)三、解答题11.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin (180°－α)，cosα＝－cos (180°－α)；若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．12.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据：≈1.414，≈1.732)13.若α，β为直角三角形的两个锐角，若cosα＝，求sinβ的值．14.如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，AC＝3，求AB的长．15.如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．17.已知三角函数值，求锐角(精确到1″)．(1)已知sinα＝0.501 8，求锐角α；(2)已知tanθ＝5，求锐角θ.18.如图，长方形广告牌架在楼房顶部，已知CD＝2 m，经测量得到∠CAH＝37°，∠DBH＝60°，AB＝10 m，求GH的长．(参考数据：tan 37°≈0.75，≈1.732，结果精确到0.1 m)答案解析1.【答案】B【解析】∵tan A＝1，sin B＝，∴∠A＝45°，∠B＝45°.又∵三角形内角和为180°，∴∠C＝90°.∴△ABC是等腰直角三角形．故选B.2.【答案】B【解析】由∠A，∠B都是锐角，且cos A＝，sin B＝，得A＝B＝30°，C＝180°－A－B＝180°－30°－30°＝120°，故选B.3.【答案】D【解析】如图，连接BE，根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，∵∠AEB＝∠D＋∠DBE，∴∠AEB＞∠D，∴∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，可得，sin ∠C＞sin ∠D，故①正确；cos ∠C＜cos ∠D，故②错误；tan ∠C＞tan ∠D，故③正确，故选D.4.【答案】A【解析】∵R在P东偏南36°的方向，∴∠QPR＝36°，tan 36°＝，∵PQ＝80，∴QR＝tan 36°PQ＝80tan 36°，故选A.5.【答案】D【解析】∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝BC，①sin A＝＝；②cos B＝＝；③tan A＝＝；④tan B＝＝，正确的有②③④，故选D.6.【答案】锐角三角形【解析】由题意得：cos A－＝0,1－tan B＝0，解得cos A＝，tan B＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°.∴∠C＝180°－60°－45°＝75°.∴△ABC是锐角三角形．7.【答案】【解析】过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴∠ADB＝90°，BD＝BC＝4，由勾股定理得AD＝＝3，∴sin B＝＝.8.【答案】【解析】根据坡度等于坡角的正切值即可得到结果．根据题意，得该山坡AB的坡度为tan 30°＝.9.【答案】5【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∵sin A＝＝，BC＝12，∴AB＝13，∴AC＝＝5.10.【答案】②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴cos B＝cos 60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tan A＝tan 30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tan B＝tan 60°＝，故④正确．故答案为②③④.11.【答案】解∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，－，将代入方程，得4×2－m×－1＝0，解得m＝0，经检验－是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合题意；②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，，将代入方程得：4×()2－m×－1＝0，解得m＝0，经检验不是方程4x2－1＝0的根．综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°.【解析】分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝30°时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出m的值即可．12.【答案】解不需要移栽，理由：∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝5米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∶3，即∠CDB＝30°，∴DC＝2BC＝10米，BD＝BC＝5米，∴AD＝BD－AB＝(5－5)米≈3.66米，∵2＋3.66＝5.66＜6，∴不需要移栽．【解析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB－AB求出AD的长，然后将AD＋2与6进行比较，若大于则需要移栽，反之不需要移栽．13.【答案】解∵α，β为直角三角形的两个锐角，∴sinβ＝cos (90°－β)＝cosα＝.【解析】根据互余两角三角函数的关系进行解答．14.【答案】解过点C作CD⊥AB于点D，∵∠B＝60°，∠C＝75°，∴∠A＝45°，在△ADC中，AC＝3，∵sin A＝，∴AD＝sin 45°×3＝3＝CD，在△BDC中，∠DCB＝30°，∵tan ∠BCD＝，∴BD＝tan 30°×3＝，∴AB＝＋3.【解析】过点C作CD⊥AB于点D，先根据三角形内角和定理计算出∠A＝45°，在Rt△ADC 中，利用∠A的正弦可计算出CD，进而求得AD，然后在Rt△BDC中，利用∠B的余切可计算出BD，进而就可求得AB.15.【答案】解如图作CH⊥AD于H.设CH＝x km，在Rt△ACH中，∠A＝37°，∵tan 37°＝，∴AH＝＝，在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，∴CH＝EH＝x，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴＝，∵AC＝CB，∴AH＝HD，∴＝x＋5，∴x＝≈15，∴AE＝AH＋HE＝＋15≈35 km，∴E处距离港口A有35 km.【解析】如图作CH⊥AD于H.设CH＝x km，在Rt△ACH中，可得AH＝＝，在Rt△CEH 中，可得CH＝EH＝x，由CH∥BD，推出＝，由AC＝CB，推出AH＝HD，可得＝x ＋5，求出x即可解决问题．16.【答案】解在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝60°，∵tan B＝，∴b＝a×tan B＝5×tan 60°＝5，由勾股定理，得c＝＝10.【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C＝90°则∠A＝90－∠B＝60°，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．17.【答案】解(1)∵sinα＝0.501 8，∴α≈30.119 1°.∴a≈30°7′9″；(2)∵tanθ＝5，∴θ＝78.690 0°≈78°41′24″.【解析】利用计算器进行计算即可，然后将结果化为度分秒的形式即可．18.【答案】解延长CD交AH于点E，如图所示：根据题意得CE⊥AH，设DE＝x m，则CE＝(x＋2)m，在Rt△AEC和Rt△BED中，tan 37°＝，tan 60°＝，∴AE＝，BE＝，∵AE－BE＝AB，∴＝10，即－＝10，解得x≈5.8，∴DE＝5.8 m，∴GH＝CE＝CD＋DE＝2 m＋5.8 m＝7.8 m.答：GH的长为7.8 m.【解析】首先构造直角三角形，设DE＝x m，则CE＝(x＋2)m，由三角函数得出AE和BE，由AE＝BE＝AB得出方程，解方程求出DE，即可得出GH的长．。

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第28章锐角三角函数单元测试一、选择题（每题3分，共30分）1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（）A ．sinA=sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90° 2．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（） A 扩大3倍 B 缩小3倍 C 都不变 D 有的扩大，有的缩小3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（）A ．c =sin a A B ．c =cos a AC ．c =a ·tanAD ．c =a ·cotA 4、若tan(α +10°)=3，则锐角α的度数是 ( )A 、20°B 、30°C 、35°D 、50° 5．已知△ABC 中，∠C=90°，设sinA=m ，当∠A 是最小的内角时，m 的取值范围是（） A ．0＜m ＜12 B ．0＜m ＜22 C ．0＜m ＜33 D ．0＜m ＜326．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（） A ．1米 B ． 3 米 C ．2 3 米 D ．233米7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，则AC 等于（）A ．6B ． 323C ．10D ．128．sin 2θ＋sin 2(90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于（） A 0 B 1 C 2 D 2sin 2θ 9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC于D ，连结BD ，若cos ∠BDC= 35，则BC 的长是（）A 、4 cmB 、6 cmC 、8 cmD 、10 cm 10．以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。

若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为（） A (cos α ,1) B (1 , sin α) C (sin α , cos α) D (cos α , sin α) （附加）小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( ) A ．9米 B ．28米 C ．（7+3）米 D ．（14+23）米二、填空题：（每题3分，共30分） 1．已知∠A 是锐角，且sinA=32，那么∠A ＝ . 2．已知α为锐角，且sin α =cos500，则α ＝ . 3．已知3tan A -3=0，则∠A ＝ .（第9题）（附加题）4．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝，sinB ＝，tanB ＝． 5．直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ . 6．已知tan α＝512，α是锐角，则sin α＝ .7．如图，在坡度为1:2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米。

8．cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ . 9．等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为 . 10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．（附加）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N ，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB 是米。

三、解答题（共60分）1、计算（每题5分，共10分）：(1) 4sin30°－2cos45°＋3tan60° (2) tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°2、(8分) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知c ＝83，∠A ＝60°，解这个直角三角形．ABCDO （第10题）NMA45°75°（附加题）3．（8分）如图，一个等腰梯形的燕尾槽，外口AD 宽10cm ，燕尾槽深10cm ，AB 的坡度i=1:1，求里口宽BC 及燕尾槽的截面积．4．（8分）如图，矩形ABCD 中AB =10，BC =8，E 为AD 边上一点，沿CE 将△CDE 对折，点D 正好落在AB 边上的F 处，求 tan ∠AFE ？5．（8分）如图①，一栋旧楼房由于防火设施较差，需要在侧面墙外修建简易外部楼梯，由地面到二楼，再由二楼到三楼，共两段（图②中AB 、BC 两段），其中BB ′=3.2 m ，BC ′=4.3m ．结合图中所给的信息，求两段楼梯A B 与BC 的长度之和（结果保留到0.1 m ）．（参考数据sin30°≈0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82）A B D CEF①E②6．（8分）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南东34°方向上的B 处。

这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远（精确到1海里）？（参考数据：sin65°≈0.91,cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin34°≈0.56,cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）7．（10分）如图山脚下有一棵树AB ，小强从点B 沿山坡向上走50m 到达点D ，用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°,已知山坡的坡角为15°,求树AB 的高.(精确到0.1m )（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)A B DC E 10°15°P BP C65° 34°A第28章锐角三角函数单元测试(参考答案) 一、选择题:1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．A 7．A 8．B 9．A 10．D （附加题:D ）二、填空题：1．60° 2．40° 3．30° 4．3313；3313； 32 5．45 6．513 7．35 8．09．125 10．35 ；45 （附加题:a ）三、解答题：1．（1）解：原式＝4×12 －2×22＋3×3＝2－1＋3＝4（2）解：原式=33×32＋(32)2－(22)2×1＝12＋34－12＝342.解：∵ ∠A ＝60° ∴∠B ＝90°－∠A ＝30° ∴ b ＝12c ＝12×83＝43∴ a ＝c 2－b 2＝(83)2－(43)2＝123. 解：如图，作DF ⊥BC 于点F ．由条件可得四边形AEFD 是矩形，AD=EF=10．∵ AB 的坡角为1:1，∴ AEBE ＝1，∴ BE=10．同理可得CF=10． ∴ 里口宽BC ＝BE+EF+FC ＝30 cm ．∴ 截面积为 12×（10+30）×10=200 cm 24．解：由题意可知 ∠EFC ＝∠D ＝90°， CF ＝CD ＝10∴ ∠AFE ＋∠BFC ＝90°∵ ∠BCF ＋∠BFC ＝90°∴ ∠AFE ＝∠BCF在Rt △CBF 中，∠B ＝90°，CF ＝10，BC ＝8∴ BF ＝CF 2－BC 2＝102－82＝6∴ tan ∠BCF ＝BF CF ＝68＝34∴ tan ∠AFE ＝tan ∠BCF ＝345．解：在Rt △AB ′B 中，∠AB ′B ＝90°，∠B ′AB ＝30°，B ′B ＝3.2∵ sin30°＝B ′BAB∴ AB ＝B′B sin30°＝3.20.5≈6.4A BD CEF在Rt △BC ′C 中，∠BC ′C ＝90°，∠C BC ′＝35°，BC ′＝4.3∵ cos35°＝ BC ′BC∴ BC ＝BC ′ cos35°≈4.30.82≈5.24∴ AB ＋BC ＝6.4＋5.24＝11.6 （m ）答：两段楼梯A B 与BC 的长度之和约为11.6 m .6．解：在Rt △ACP 中，∠ACP ＝90°，∠A ＝65°，AP ＝80∵ sinA ＝PCAP∴PC ＝AP ·sinA ＝80×sin65°≈80×0.91≈72.8 在Rt △BCP 中，∠BCP ＝90°，∠B ＝34°，PC ＝72.8∵ sin B ＝PCPB∴ PB ＝PC sin B ＝72.8sin 34°≈72.80.56≈130（海里）答：这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 约有130海里.7．解：延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB在Rt △BFD 中，∠BFD ＝90°，∠FBD ＝15°，BD ＝50∵ sin ∠FBD ＝DF BD cos ∠FBD ＝BF BD∴ DF ＝BD ·sin ∠FBD ＝BD ·sin15°≈50×0.26=13.0BF ＝BD ·cos ∠FBD ＝BD ·cos15°≈50×0.97＝48.5 在Rt △AEC 中，∠AEC ＝90°，∠ACE ＝10°，CE ＝BF ＝48.5 ∵tan ∠ACE ＝AE CE∴ AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝CE ·tan10°≈48.5×0.18＝8.73 ∴ AB ＝AE+CD+DF ＝8.73+1.5+13≈23.2（米）答：树AB 高约为23.2米.A。