第2讲 一元二次方程实数根与韦达定理
九年级数学 第二 一元二次方程 第8课时 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
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课前学习(xuéxí)任务单
2. 不解方程，求下列(xiàliè)方程的两根之和与两根之积： （1）x2-6x-15=0； （2）3x2+7x-9=0； （3）5x-1=4x2.
解：（1）x1+x2=6，x1·x2=-15.
（2）x1+x2=
，x1·x2=-3.
∴
＝（x1＋x2）2－2x1·x2＝（－6）2－2×3
＝3612/－7/20261 ＝30.
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内容(nèiróng)总结
第二十一章 一元二次方程。*第8课时 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。1. （1） 一元二次方程的一般(yībān)形式为：____________________。2x2-3x-2=0。2. 不解方程，求下列方程
解：依题意,得Δ=（－2m）2－4m（m－2）≥0且 m≠0. 解得m＞0.
∴m的取值范围为m＞0.
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课堂(kètáng)小测
当堂高效(ɡāo 测 xiào)
1. （10分）已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则
另一个根为（
）
C
A. 2 C. 4
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=（x1+x2）2－2x1·x2=32－2×（－
=
=－3.
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课前学习(xuéxí)任务单
2. 已知方程(fāngchéng)2x2+kx-9=0的一个根是-3，求另一个根 及k的值.
解：设另一个根为x0，根据根与系数的关系，得
-3·x0=__________，-3+x0=__________.
韦达定理：一元二次方程根与系数的关系
ax2 bx c 0(a 0)
的两个根分别是
、
1
， 那么你可以
2
一元二次方程根与系数关系的证明：
∵ x1 b b2 4ac 2a
b x2
b2 4ac 2a
∴x1+x2= =
b b2 4ac
2a
2b = - b
2a
a
b b2 4ac
+
2a
x1x2=
b b2 4ac
注：能用韦达定理的前提条件为△≥0，
求下列方程的两根之和与两根之积。
1、 x2 - 2x - 1=0
x1+x2=2
x1x2= -1
2、 2x2 - 6x =0
x1+x2=3
x1x2=0
3、 3x2 = 4
x1+x2=0
4
x1x2= - 3
注意：应用一元二次方程的根与系数关系时首先要把方程化为一般形式
填写下表：
方程
两个根
两根 之和
两根 之积
a与b a与c 之间 之间 关系 关系
x1
x2 x1 x2 x1 • x2
b a
c a
x2 3x 2 0
x2 5x 6 0
3x2 x 2 0
观察：方程的两根之和以及两根之积与系数有怎样的关系？
x x 猜想： 如果一元二次方程
发现什么结论？
●
2a
=
(b)2 ( b2 4ac )2 4a 2
b b2 4ac
2a
c
a =
4ac 4a 2
=
韦达（1540－1603）
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1、 x2 ，那么：
一元二次方程根与系数的关系和韦达定理应用探讨
∴k=1,
2若方程 的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。
解：两根则m²≠0，x1+x2=(2m-3)/m²，x1x2=1/m²
S=1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=2m-3
（1）证明：
∵
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。
（2）解：∵ 是方程①的两个实数根
∴方程②
∵a是方程②的根，∴
6、已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．证明：
（1）则实数m的取值范围是m≤ （2）当x12-x22=0时，则m=考点：根的判别式Fra bibliotek根与系数的关系．
即实数m的取值范围是；m≤
（2）由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得，m=
∵ ＞ ，
∴m= 不合题意，舍去；
若x1-x2=0，即x1=x2∴△=0，由（1）知；m=
故当x12-x22=0时，m= ．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
A、19% B、20% C、21% D、22%
6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A、 B、3 C、6 D、9
7、如果 是一元二次方程 的一个根， 是一元二次方程 的一个根，那么 的值是（）A、1或2 B、0或 C、 或 D、0或3
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 浙教版八年级下册培优讲义(含解析)
第2讲 韦达定理命题点一：利用判别式求值例1若关于x 的方程ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，则实数a 的取值范围是 a ≥－1 .例2(1)如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( D ) A ．k ＜12 B ．k ＜12且k ≠0 C ．－12≤k ＜12 D ．－12≤k ＜12且k ≠0 (2)若关于x 的一元二次方程12x 2－2mx －4m ＋1＝0有两个相等的实数根，则(m －2)2－2m (m －1)的值为 72． 命题点二：巧用韦达定理妙解代数式例3若m ，n 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，则m 2＋2m ＋n 的值为 0 .例4(1)已知α，β是方程x 2－x －1＝0的两个实数根，则代数式α2＋α(β2－2)的值为 0 ．(2)若关于x 的一元二次方程2x 2－2x ＋3m －1＝0的两个实数根为x 1，x 2，且x 1x 2>x 1＋x 2－4，则实数m 的取值范围是( D )A ．m >－53B ．m ≤12C ．m ＜－53D ．－53＜m ≤12命题点三：根据根的范围求值例5已知关于x 的方程ax 2＋(a ＋1)x ＋6a ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜1＜x 2)，则实数a 的取值范围是( C )A ．－1＜a ＜0B ．a ＜－1C ．－18＜a ＜0D ．a ＜－18例6已知关于x 的方程x 2＋2px ＋1＝0的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数p 的取值范围是 p ＜－1 ．命题点四：解绝对值方程例7设方程||x 2＋ax ＝4只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根．解：方程等价于如下两个方程：x 2＋ax －4＝0，① x 2＋ax ＋4＝0. ②∵原方程只有3个不相等的实根，又∵两个方程不可能有公共根，∴必有且只有方程①或②有重根，Δ1＝a 2＋16≥0，Δ2＝a 2－16≥0.由于Δ1>Δ2，故只可能是Δ2＝0，即a ＝±4.∴当a ＝4时，相应的根为－2，－2±22；∴当a ＝－4时，相应的根为2，2±2 2.例8若关于x 的方程x 2－(m ＋5)||x ＋4＝m 恰好有3个实数解，则实数m ＝ 4 .命题点五：构造方程求值例9已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n 的值为 3 ． 例10已知mn ≠1，且5m 2＋2 018m ＋9＝0，9n 2＋2 018n ＋5＝0，则m n值为( B ) A.59 B.95 C.6703D ．－402 命题点六：三角形边的问题例11如果方程(x －1)(x 2－2x ＋m )＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( C ) A ．0≤m ≤1 B ．m ≥34 C.34＜m ≤1 D.34≤m ≤1 例12△ABC 的一边长为5，另外两边长恰为方程2x 2－12x ＋m ＝0的两个根，则m 的取值范围是112<m ≤18 ． 命题点七：整数根问题例13已知整数p ，q 满足p ＋q ＝2 010，且关于x 的一元二次方程67x 2＋px ＋q ＝0的两个根均为正整数，则p ＝ －2278 ．例14求满足如下条件的所有k 的值：使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数．解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论．当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.当k ≠0时，所给方程为二次方程．设两个整数根为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－k ＋1k ＝－1－1k ，① x 1·x 2＝k －1k ＝1－1k .② 由①－②，得x 1＋x 2－x 1·x 2＝－2，整理，得(x 1－1)(x 2－1)＝3.∵方程的根都是整数，∴(x 1－1)(x 2－1)＝3＝1×3＝(－1)×(－3)．有x 1－1＝1，x 2－1＝3或x 1－1＝－1，x 2－1＝－3.故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即－1－1k＝6或－1－1k ＝－2，解得k ＝－17或k ＝1. 又∵Δ＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－17或k ＝1时，都有Δ＞0.∴满足要求的k 值为0，－17，1. 课后练习1．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值为( A )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2．已知关于x 的方程x 2－(a 2－2a －15)x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是( B )A ．5B ．－3C ．5或－3D ．13．已知四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足(a 2012－c 2012)(a 2012－d 2012)＝2 012，(b 2012－c 2012)(b 2012－d 2012)＝2 012，则(ab )2012－(cd )2012的值为( A )A ．－2 012B ．－2 011C ．2 012D ．2 0114．若实数a ，b 满足12a －ab ＋b 2＋2＝0，则实数a 的取值范围是( C ) A ．a ≤－2 B ．a ≥4 C ．a ≤－2或a ≥4 D ．－2≤a ≤45．已知关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋5－k ＝0有两个大于2的实数根，则k 的取值范围是( A )A ．－5＜k ≤－4B ．k >－5C ．k ≤－4D ．－4≤k ＜－26．关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2－k ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝4，则x 21－x 1x 2＋x 22的值为 4 ．7．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2－m ＝3，n 2－n ＝3，那么代数式2n 2－mn ＋2m ＋2 015＝ 2026 .8．设a ，b 是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个根，则3a 3＋4b ＋2a 2的值为 11 ． 9．若方程||x 2－5x ＝a 有且只有相异的两个实数根，则a 的取值范围是 a ＝0或a >254． 10．若p ＋q ＝198，则方程x 2＋px ＋q ＝0的最大整数解为 200 ．11．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝7，求下列代数式的值：(1)(x 1－x 2)2. (2)x 2x 1＋2＋x 1x 2. 解：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝2m －1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2－2×(2m －1)＝7， ∴m 2－4m －5＝0.∴m 1＝5，m 2＝－1.当m 1＝5时，Δ＝m 2－4(2m －1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)；当m 2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0.∴m ＝－1.∴x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－3.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝13，x 2x 1＋2＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2x 1·x 2＝－13.12．已知方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知a ，b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋b a的值． (2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．解：(1)当a ≠b 时，则a ，b 为方程x 2－15x －5＝0的两个根，∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴原式＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47. 当a ＝b 时，原式＝2.综上所述，a b ＋b a的值为－47或2. (2)由条件，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，则a ，b 为方程x 2＋cx ＋16c＝0的两个实数根， ∴Δ＝c 2－4×16c≥0，c 3≥64，即c ≥4. 故正数c 的最小值为4.13．(自主招生模拟题)已知x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)为关于x 的方程x 3－3x 2＋(a ＋2)x －a ＝0的三个实数根，则4x 1－x 21＋x 22＋x 23的值为( A )A ．5B ．6C ．7 D.814．(自主招生模拟题)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的根，c ，d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的根，则a ＋b ＋c ＋d ＝ 1210 ．15．(自主招生真题)设x 为正数，求分式x (x ＋1)2的最大值． 解：设k ＝x (x ＋1)2. 整理，得kx 2＋(2k －1)x ＋k ＝0.由Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，得k ≤14， 即分式x (x ＋1)2的最大值为14.。
一元二次方程根的判别式与韦达定理
于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q
例1
(1)已知关于x的一元二次方程x2Байду номын сангаас2x＋m＝0有解，求m的范围．
(2)己知关于x的一元二次方程x2－ x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．
(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根
(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围
(2)己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，
求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．
练习
己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
模块二一元二次方程根与系数关系
知识导航：
练习
(1)方程x2—2x－1＝0的两个实数根分别为x1、x2，(x1－l)(x2－1)＝______________
cz，设x1、x2是方程2x2—6x+l＝o的两个实数根，则(x1－ )(x2－ )的值为__________
【总结】
1、用韦达定理，常见的恒等变形有：
＋ ＝ ,x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2,(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
(2)一元二次方程x2—4x－c＝0的一个根是3，则另一个根是____，c＝___________
利用韦达定理求一元二次方程的根
利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .（法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式） 按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0 对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得 (x －32)(x ＋2)＝0，解得， x 1＝32， x 2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二） a ＝1，b ＝－22，c ＝－6，∴ b 2－4ac ＝8＋24＝32，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝22±422＝2±22， 于是有 x 1＝32， x 2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝2 2∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a2＝48，则a2＝1，因此a＝1∴x1＝7＋1＝8，x2＝7－1＝6.例4：解方程x2＋18x＋40＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－18，x1x2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－9＋a，x2＝－9－a，（满足条件x1＋x2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92）且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52）于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5.（法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝9±114， 于是有x 1＝12， x 2＝－5.当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。
一元二次方程的根与系数韦达定理
二次方程的根与系数（韦达定理）考点一：一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算ac b 42-的值；④根据的符号判定方程根的情况.2.一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0. 例：1.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 。
2、若方程（x －2）2=a －4有实数根，则a 的取值范围是________3、若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10＝0有实数根, 则K 的最大整数值为_______4、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；5、当m 为何值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m有实根。
6、已知关于x 的方程x k x k 2211410-+++=()，k 取什么值时，方程有两个实数根？考点二：一元二次方程的根与系数的关系c b a .,ac b 42-()002≠=++a c bx ax ⇒ac b 42-⇒ac b 42-⇒ac b 42-1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么12x +x =___ ______，12x x =_____ ___.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③； ④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-； ⑥22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==例：1如果x x 12、是方程x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。
利用韦达定理求一元二次方程的根
利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. （法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式） 按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得(x－32)(x ＋2)＝0，解得，x1＝32，x2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二）a＝1，b＝－22，c＝－6，∴b2－4ac＝8＋24＝32，∴x＝－b±b2－4ac2a＝22±422＝2±22，于是有x1＝32，x2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝22∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）1且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）1且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）1且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a 2＝48， 则a 2＝1， 因此a ＝1∴ x 1＝7＋1＝8， x 2＝7－1＝6.例4：解方程x 2＋18x ＋40＝0，根据韦达定理有x 1＋x 2＝－18，x 1x 2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得 x 1＝－9＋a ， x 2＝－9－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52. 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92） 且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52） 于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5. （法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝9±114，于是有x 1＝12， x 2＝－5. 当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。
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利用韦达定理求一元二次方程的根------------------------------------------作者------------------------------------------日期利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .（法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式）按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得 (x－32)(x＋2)＝0，解得，x1＝32，x2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法. （法二）a＝1，b＝－22，c＝－6，∴b2－4ac＝8＋24＝32，∴x＝－b±b2－4ac2a＝22±422＝2±22，于是有x1＝32，x2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且 (2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝2 2∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）且 (3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）且 (－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x 1＋x 2＝14，x 1x 2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝7＋a ， x 2＝7－a ， （满足条件x 1＋x 2＝14）且 (7＋a )(7－a )＝48. （满足条件x 1x 2＝48）于是有49－a 2＝48， 则a 2＝1， 因此a ＝1∴ x 1＝7＋1＝8， x 2＝7－1＝6.例4：解方程x 2＋18x ＋40＝0，根据韦达定理有x 1＋x 2＝－18，x 1x 2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－9＋a ， x 2＝－9－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52. 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92）且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52）于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴x1＝－94＋114＝12，x2＝－94－114＝－5.（法二）a＝2，b＝9，c＝－5，∴b2－4ac＝81＋40＝121，∴x＝－b±b2－4ac2a＝9±114，于是有x1＝12，x2＝－5.当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
新高一数学衔接课韦达定理
第2讲 一元二次方程根与系数的关系知识要点：1、韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为1x 、2x ， 则有：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩证明：由求根公式可得：1x =，2x =， ∴1222b b x x a a-+==-， c a= . 2、韦达定理的逆定理：若两个实数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12c x x a⋅=，则1x 、2x 必为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根 .证明：由20(0)ax bx c a ++=≠得：20b c x x a a++=， 又12b x x a +=-，12c x x a ⋅=，所以12()b x x a =-+，12c x x a=⋅， 所以21212()0x x x x x x -++=，即12()()0x x x x --=，所以1x x =或2x x =，所以1x 、2x 必为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根 .【典型例题】例1：已知关于x 的方程22(1)10x m x m -++-=的一个根为4，求它的另一个根及m 的值 .例2：已知1x ，2x 是方程2210x x --=的两根，求一个以121x +，221x +为根的一元二次方程 .例3：若211160a a ++=，211160b b ++=- . 例4：若1x ，2x 是方程22170x x +-=的两根，试求下列各式的值 .（1）2212x x +； （2）1211x x +； （3）12(5)(5)x x --； （4）12x x - . 例5：已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值 . （1）方程两个实根的乘积为5；（2）方程的两个实根1x ，2x 满足12x x = .例6：设1x ，2x 是二次方程250x x +-=的两根，求32126x x -的值 .例7：已知关于x 的方程2220x mx m +++=，求：（1）当m 为何值时，方程的两个根一个大于0，另一个小于0；（2）当m 为何值时，方程的两个根都是正数；（3）当m 为何值时，方程的两个根一个大于1，另一个小于1 .例8：已知α、β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>，不解方程，利用根与系数的关系求223βα+的值 . 例9：已知实数a ，b ，c 满足6a b =-，29c ab =-，求证：a b = .韦达定理练习：1、已知方程22100x kx --=的一个根为2-，求它的另一个根及k 的值 .2、已知方程2780x x -+=的两根为1x ，2x ，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为12x x 和21x x . 3、已知方程22(21)20x k x k +++-=的两实根的平方和等于11，求k 的值 .4、解方程组：2214100x y x y +=⎧⎨+=⎩ . 5、已知方程230x x k ++= .（1）若方程两根之差为5，求k 的值；（2）若方程一根是另一根的2倍，求这两根之积 .6、已知一元二次方程2310x x -+=的两实数根分别为α，β，求：（1）11αβ+； （2）αβ- ； （3）33αβ+； （4）33αβ- .7、若21m m =+，21n n =+，且m n ≠，求55m n +的值 .8、当a 为何值时，方程222(4)0x a x a --+=有两个不相等的负数根？9、已知α，β是方程2250x x +-=的两个实数根，求22ααβα++的值 .10、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的乘积大16，求m 的值 .11、设实数m ，n 满足2192010m m ++=，220190n n ++=，且1mn ≠，求232mn m n++的值 . 12、已知实数a ，b 满足2210a a +-=，42210b b --=，且21ab ≠，求2220101()ab b a++的值 . 13、已知1x ，2x 是一元二次方程224(35)60x m x m ---=的两个实根，且1232x x =，求m 的值 .※14、已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根 . （1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由 .（2）求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值 . ※15、已知x ，y 是正整数，并且23xy x y ++=，22120x y xy +=，求22x y +的值 .。
一元二次方程韦达定理的解题技巧
一元二次方程韦达定理的解题技巧一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次方程的韦达定理是一种常用的解题方法，它可以帮助我们快速求解方程的根。
本文将介绍一元二次方程韦达定理的解题技巧。
一、韦达定理的表达式韦达定理是指一元二次方程的根与系数之间的关系。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过以下公式计算得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根的取正负号，√表示平方根。
二、解题步骤使用韦达定理解一元二次方程的步骤如下：1. 将方程化为标准形式：将方程的各项整理为ax^2 + bx + c = 0的形式，确保系数a不为0。
2. 计算判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac，判别式的值可以判断方程的根的情况。
a. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；b. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；c. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可能有复数根。
3. 根据判别式的值计算根：根据韦达定理的公式，将判别式的值代入公式中计算根的值。
a. 当Δ > 0时，方程的两个实数根为x1 = (-b + √Δ) / (2a)和x2 = (-b - √Δ) / (2a)；b. 当Δ = 0时，方程的两个相等实数根为x1 = x2 = -b / (2a)；c. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可能有复数根，可以表示为x1 = (-b + √(-Δ)i) / (2a)和x2 = (-b - √(-Δ)i) / (2a)，其中i为虚数单位。
三、解题示例为了更好地理解韦达定理的解题技巧，我们来看一个具体的解题示例。
例题：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
解：根据韦达定理的步骤，我们先将方程化为标准形式：2x^2 + 5x - 3 = 0然后计算判别式Δ = b^2 - 4ac：Δ = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 49由于Δ > 0，所以方程有两个不相等的实数根。
一元二次方程之判别式法与韦达定理
一元二次方程之判别式法与韦达定理一知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0a 、b 、c 属于R,a≠0根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程组,解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用;韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根；已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用;1、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ 1当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； 2当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； 3当Δ< 0时⇔方程没有实数根,无解； 4当Δ≥0时⇔方程有两个实数根5根的判别式△＝b 2－4ac 的意义,在于不解方程可以判别根的情况,还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围;2、一元二次方程根与系数的关系韦达定理：1若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根,那么：a b x x -=+21,ac x x =⋅21 2以两个数21,x x 为根的一元二次方程二次项系数为1是：0)(21212=++-x x x x x x 3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： 1已知方程的一根,求另一个根和待定系数的值; 2不解方程,求某些代数式的值;3已知两个数,求作以这两个数为根的一元二次方程; 4已知两数和与积,求这两个数; 5二次三项式的因式分解;注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例1、当k 为何值时,关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根;例2、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根;例3、已知方程的两实数根为、，不解方程求下列各式的值。
专题06 韦达定理(一元二次方程的根与系数的关系) 讲义-2022年暑假数学初升高衔接
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料06 韦达定理◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，2＝242b b aca -±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．知识链接02 韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a． （用韦达定理时隐藏着“0≥∆”）推论1：以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）可以写成：x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．推论2：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根，则| x 1－x 2|＝||a ∆Δ＝b 2－4ac ）． 知识链接03 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-，2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）已知方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．（2）已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． （3）已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． （4）关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．（ⅰ）方程两实根的积为5；（ⅱ）方程的两实根12,x x 满足12||x x =．典例剖析02 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：（1）2212x x +； （2）1211x x +； （3） 12(5)(5)x x --； （4） 12||x x -．典例剖析03 （1）若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．（2）一元二次方程x 2－4x ＋a ＝0有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）方程222330x kx k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＜14，且m ≠0（C ）m ＞－14，且m ≠0 （D ）m ＞－14（3）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根（4）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 （ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（5）若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0小试牛刀02 （1）若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) （A ）2（B ）2- （C ）12 （D ）92（2）若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．（3）若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ．（4）设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．（5）若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则1111b a a b --+--的值为 ( )（A ）20-（B ）2（C ）220-或（D ）220或（6）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1小试牛刀03 已知2816|1|0a a b +++-=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？小试牛刀04 若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料06 韦达定理◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，224b b ac-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．知识链接02 韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a． （用韦达定理时隐藏着“0≥∆”）推论1：以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）可以写成：x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．推论2：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根，则| x 1－x 2|＝||a ∆Δ＝b 2－4ac ）． 知识链接03 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-，2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）已知方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．（2）已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． （3）已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． （4）关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．（ⅰ）方程两实根的积为5；（ⅱ）方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【解析】（1）法一：（代入求解）方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 法二：（韦达定理求解）方程的另一个根为－35，k 的值为－7．（2）设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简得 m 2－16m －17＝0，解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17．（3）法一：设这两个数分别是x ，y ，则 x ＋y ＝4， ① xy ＝－12． ②∴x 1＝－2，x 2＝6． ∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6． 法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得 x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6．（4）（ⅰ）∵方程两实根的积为5 ∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩所以，当4k =时，方程两实根的积为5．（ⅱ）由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故0∆=⇒32k =；②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，又由于 0∆>⇒32k >，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =．典例剖析02 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：（1）2212x x +； （2）1211x x +； （3） 12(5)(5)x x --； （4） 12||x x -．【解析】由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-．（1）2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=；（2）121212112220072007x x x x x x +-+===-； （3）121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-； （4）22212121212||()()4(2)4(2007)4502x x x x x x x x -=-=+-=---=．典例剖析03 （1）若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．（2）一元二次方程x 2－4x ＋a ＝0有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．【解析】（1）设x 1，x 2是方程的两根，则 x 1x 2＝a －4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4， 由②得 a ＜174 ．∴a 的取值范围是a ＜4．（2）法一：由⎩⎨⎧<-->∆0)3)(3(021x x 解得：3<a ．法二：设)(x f ＝ x 2－4x ＋a ，则如图所示，只须0)3(<f ，解得3<a ．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）方程222330x kx k -+=的根的情况是 （C ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （D ）（A ）m ＜14 （B ）m ＜14，且m ≠0（C ）m ＞－14，且m ≠0 （D ）m ＞－14（3）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（ B ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根（4）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 （C ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（5）若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（A ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0小试牛刀02 （1）若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( A )（A ）2（B ）2-（C ）12（D ）92（2）若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是____ ．9或3- （3）若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ．12（4）设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ． 1,3p q =-=-（5）若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则1111b a a b --+--的值为 ( A )（A ）20- （B ）2（C ）220-或 （D ）220或（6）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ C ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1小试牛刀03 2816|1|0a a b ++-=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？1,4=-=b a 4<k 且 0≠k小试牛刀04 若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．2-<a。
高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)
高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根142b x a -+=，242b x a-=，则有12442222b b b b x x a a a a-+---+=+==-；22122244(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+----=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典型考题【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值．【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时，b ＝﹣3，c ＝2；当方程根为2，4时b ＝﹣6，c ＝8．【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x 2﹣6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，∴x 2＝2x 1，∴一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程；（2）∵方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b ＝1+2，解得b ＝﹣3，c ＝1×2＝2；当方程根为2，4时﹣b ＝2+4，解得b ＝﹣6，c ＝2×4＝8．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值．【答案】6【解析】方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2，∴211220x x --=，.221=+x x ∴()112122222222262.22x x x x x x =++=++=⨯+=+【能力提升】已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝0有两根α，β(1)求m 的取值范围；(2)若α+β+αβ＝0．求m 的值．【答案】(1)m ≥﹣34；(2)m 的值为3．【解析】(1)由题意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥﹣34；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，∵α+β+αβ＝0，∴﹣(2m+3)+m2＝0，解得：m1＝﹣1，m1＝3，由(1)知m≥﹣34，所以m1＝﹣1应舍去，m的值为3．。
一元二次方程根的判别式.韦达定理
新方法一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理讲义中考要求知识点睛一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：2一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性．在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +a b a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程； ④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．重、难点1. 转化思想的渗透2. 对根的判别式的理解例题精讲一、判断方程根的情况【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。
03第2讲 韦达定理
∴所求 m 的值为 m=± 例7
2 . 2
已知 p,q,m,n 是实数， 且 pq=2(m+n), 求证方程 x2+px+m=0 和 x2+qx+n
=0 中至少有一个方程有实数根. 分析 若由条件 pq=2(m+n) 去探讨 p 2 4m 0, q 2 4n 0 , 发现无
c b b 0 两根同号（且 0, 两根为负； 0, 两根为正） ； a a a c 若 0 两根异号. a
若
【例题选讲】 例1 数值是 (A) -1; (B)0; (C) 1; (D) 2. 若方程 2 x(kx 4) x 2 6 0 有两个不相等的实根， 则 k 可取的最大整 ( )
2
≠0, 这点是容易忽视的. 例3 已知方程 2x +kx-2k+1=0 的两实数根的平方和为
29 ，则 k 的值为 4 ( )
(D) 3 或 -11. 1 k 解 设方程的两根为 x1, x2, 则 x1+x2= , x1x2= k . 2 2 1 29 2 2 由 x1 x2 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 k 2 2k 1 , 4 4 解得 k=3 或 k= -11. 又由 k 2 8(2k 1) 0 ，检验知 k=3 满足此式，k=-11 不满足此式，故只 有 k=3, 选 A. 点评 例4 利用根与系数的关系求字母系数的值或取值范围时， 切记不要忽略方 已知：关于 x 的方程 x2+bx+4b=0 有两个相等的实根，关于 y 的方程 程有实根的条件，即 0 .
x1 b b 2 4ac b b 2 4ac , x2 2a 2a
一元二次方程求根公式韦达定理
一元二次方程求根公式韦达定理一元二次方程是数学中的基础知识之一，它的求解方法有很多种，其中最常用且广泛适用的方法就是韦达定理。
韦达定理是一种求解一元二次方程的公式，它可以快速且准确地求得方程的根。
我们来回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c都是已知的实数，且a不等于0。
我们的目标是找到方程的根，即求出满足方程的x的值。
根据韦达定理，一元二次方程的根可以通过以下公式来求解：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在这个公式中，±表示两个相反的数，即正负两个根。
√表示开方，即求平方根。
b^2 - 4ac被称为判别式，它可以用来判断方程的根的情况。
接下来，我们来详细解释一下韦达定理的求解步骤。
我们需要计算判别式b^2 - 4ac的值。
根据判别式的值，可以得出以下几种情况：1. 如果判别式大于0，即b^2 - 4ac大于0，那么方程有两个不相等的实根。
这时，我们可以将判别式开方得到的值代入公式，计算出两个实根。
2. 如果判别式等于0，即b^2 - 4ac等于0，那么方程有两个相等的实根。
这时，我们可以将判别式开方得到的值代入公式，计算出两个相等的实根。
3. 如果判别式小于0，即b^2 - 4ac小于0，那么方程没有实根。
这时，方程的解为复数，不能直接用韦达定理求解。
通过韦达定理，我们可以快速地求解一元二次方程的根。
这个公式的优点是简单易懂，适用范围广，不需要额外的计算步骤。
只需要代入方程的系数，就可以直接得到方程的根。
对于一元二次方程的求解，除了韦达定理，还有其他的方法，比如配方法、因式分解等。
这些方法在不同的情况下有各自的优势，但韦达定理作为一种通用的求解方法，可以应用于大多数的一元二次方程。
在实际应用中，一元二次方程经常出现在物理、经济、工程等领域的问题中。
通过韦达定理，我们可以准确地求解这些问题，并得到满足条件的解。
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第二讲 一元二次方程实数根与韦达定理
一 知识要点
实系数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x
1. 根的判别式
2. 韦达定理
二. 例题解析
例1.已知方程220()x x m m R --=∈没有实根,试判断关于x 的方程 ()()222212110x mx m x +++-+=有无实根.
例2.k 为何值时，关于x 的方程()22241210x k x k -++-=
（1）有两个不相等的实根；
（2）有两个相等的实根；
（3）没有实数根
例3.方程：()()2212110a x a x --++=只有一个实根，求a 的值
例4.设关于x 的方程：2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根，求实数,a b 的值。
例5.已知12,x x 是方程22310x x --=的根，求223321121212
,,,x x x x x x x x +++ 12221211,x x x x +-的值；
例6若方程2(32)0x x a +--=的两个实根分别为12,x x ，下就根的取值范围，分别求实数a 的取值范围
（1）两实根均大于0；
（2）两实根均小于0；
（3）两实根一个大于0，一个小于0；
（4）两实根均大于1；
（5）两实根均小于1；
（6）两实根一个大于1，一个小于1；
例7 已知方程2520,x x +-=作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的立方的倒数。
例8.已知a 为实数，解关于x 的方程10x x a ++=
例9.已知方程42280x mx ++=的四个根均为整数，求m 的值及方程的根。
例10.对自然数,n 设关于x 的二次方程22(21)0x n x n +++=的两根为,n n αβ，求下式的值：
()()()33442020
1111(1)1(1)1(1)αβαβαβ+++++++++
课后练习：
1.当k 为何值时，关于x 的方程()234210k x kx k +-+-=的两个根异号且负根的绝对值大于正根？
2.已知x 的二次方程2240x kx k -+-=
（1）当k 为何值时，方程有两个正根；
（2）当k 为何值时，方程只有一个正根；
3.关于x 的一元二次方程2222x mx x m -=--有两个不相等实根，并且两根平方和是35，则m 的值是
4.求作一个一元二次方程，使其根分别是方程2310x x +-=两根的倒数的三次方；
5.已知二次函数2y ax bx c =++和一次函数y bx =-，其中,,a b c 满足a b c >>，且 ()0,,a b c a b c R ++=∈。
求证：两函数的图像交于两个不同点A 、B 。
答案：
1.30k -<<
2.（1）23
k <≤ （2）22k -<≤ 3.3m =- 4.23610x x --=。