第2讲 一元二次方程实数根与韦达定理

第二讲 一元二次方程实数根与韦达定理

一 知识要点

实系数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x

1. 根的判别式

2. 韦达定理

二. 例题解析

例1.已知方程220()x x m m R --=∈没有实根,试判断关于x 的方程 ()()222212110x mx m x +++-+=有无实根.

例2.k 为何值时，关于x 的方程()22241210x k x k -++-=

（1）有两个不相等的实根；

（2）有两个相等的实根；

（3）没有实数根

例3.方程：()()2212110a x a x --++=只有一个实根，求a 的值

例4.设关于x 的方程：2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根，求实数,a b 的值。

例5.已知12,x x 是方程22310x x --=的根，求223321121212

,,,x x x x x x x x +++ 12221211,x x x x +-的值；

例6若方程2(32)0x x a +--=的两个实根分别为12,x x ，下就根的取值范围，分别求实数a 的取值范围

（1）两实根均大于0；

（2）两实根均小于0；

（3）两实根一个大于0，一个小于0；

（4）两实根均大于1；

（5）两实根均小于1；

（6）两实根一个大于1，一个小于1；

例7 已知方程2520,x x +-=作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的立方的倒数。

例8.已知a 为实数，解关于x 的方程10x x a ++=

例9.已知方程42280x mx ++=的四个根均为整数，求m 的值及方程的根。

例10.对自然数,n 设关于x 的二次方程22(21)0x n x n +++=的两根为,n n αβ，求下式的值：

()()()33442020

1111(1)1(1)1(1)αβαβαβ+++++++++

课后练习：

1.当k 为何值时，关于x 的方程()234210k x kx k +-+-=的两个根异号且负根的绝对值大于正根？

2.已知x 的二次方程2240x kx k -+-=

（1）当k 为何值时，方程有两个正根；

（2）当k 为何值时，方程只有一个正根；

3.关于x 的一元二次方程2222x mx x m -=--有两个不相等实根，并且两根平方和是35，则m 的值是

4.求作一个一元二次方程，使其根分别是方程2310x x +-=两根的倒数的三次方；

5.已知二次函数2y ax bx c =++和一次函数y bx =-，其中,,a b c 满足a b c >>，且 ()0,,a b c a b c R ++=∈。求证：两函数的图像交于两个不同点A 、B 。

答案：

1.30k -<<

2.（1）23

k <≤ （2）22k -<≤ 3.3m =- 4.23610x x --=