高中数学第四章定积分4.1定积分的概念定积分的概念教案

曲边梯形的面积

一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。

二、教学重难点：

重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限） 难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解

三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、创设情景

我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。

一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析

问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线

()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面

积？

例题：求图中阴影部分是由抛物线2

y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化

为求“直边图形”面积的问题？

分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．

0.1

把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S ．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割

在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n

间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤

=⎢

⎥⎣

⎦L ，其长度为11

i i x n n n

-∆=-=

分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：

1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1

n

i

i S S ==∆∑

（2）近似代替

记()2

f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤

⎢

⎥⎣

⎦上，可以认为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点

1

i n

-处的函数值1i f n -⎛⎫

⎪⎝⎭

，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,i i n n -⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有

211i i i i S S f x x n n --⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g 2

11

(1,2,,)i i n n n

-⎛⎫== ⎪⎝⎭g L ①

（3）求和：由①，上图中阴影部分的面积n S 为

2

111111

n

n

n

n i i i i i i S S f x n n n ===--⎛⎫⎛⎫'∆=∆=∆= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭∑∑∑g g

=22

111110n n n n n n

-⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g L g =()22231121n n ⎡⎤+++-⎣⎦L =()()312116n n n n --=1111132n n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到S 的近似值 1111132n S S n n ⎛⎫⎛⎫

≈=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

（4）取极限：分别将区间[]0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即x ∆趋向于0时，1111132n S n n ⎛⎫⎛⎫

=

-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

趋向于S ，从而有 1

11

1111lim lim lim 11323n

n n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑g 从数值上的变化趋势：

3．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间[],a b 中任意插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1,i i x x -()1,2,,i n =L ，区间[]1,i i x x -的长度1i i i x x x -∆=-，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限。

说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割→以直代曲→求和→逼近

2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值 练习：课本P76练习题：设S 表示由曲线x y =

，x =1，以及x 轴所围成平面图形的面积。

四、课堂小结：求曲边梯形的思想和步骤：分割→以直代曲→求和→逼近 （“以直代曲”的思想） 五、教学后记