高中数学第四章定积分4.1定积分的概念定积分的概念教案
定积分的概念教案
定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。
三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。
四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。
五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。
教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。
Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。
我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。
Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。
教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。
Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。
我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。
Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。
下节课我们将进一步学习定积分的应用。
大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。
通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。
高中数学定积分的概念教案
高中数学定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的概念及其在数学中的重要性；2.掌握定积分的基本性质和计算方法；3.能够运用定积分求解实际问题。
二、教学重点及难点：1.定积分的概念和基本性质；2.定积分的计算方法；3.定积分在实际问题中的应用。
三、教学内容：1.定积分的概念a.通过求和的思想引入定积分的概念；b.定义定积分的符号表示及含义；c.定积分的几何意义和物理意义。
2.定积分的性质a.定积分的线性性质；b.定积分的可加性质；c.定积分的保号性质。
3.定积分的计算方法a.定积分的基本性质；b.定积分的换元法；c.定积分的分部积分法。
4.定积分在实际问题中的应用a.通过实际问题引入定积分的应用；b.运用定积分求解速度、面积、体积等实际问题。
四、教学过程：1.引入定积分的概念（10分钟）a.通过求和的思想引入定积分的概念；b.讲解定积分的符号表示及其含义。
2.定积分的性质（15分钟）a.讲解定积分的线性性质、可加性质和保号性质；b.举例说明定积分性质的运用。
3.定积分的计算方法（20分钟）a.讲解定积分的基本性质和计算方法；b.通过实例演示定积分的换元法和分部积分法。
4.定积分在实际问题中的应用（15分钟）a.通过实际问题引入定积分的应用；b.运用定积分求解速度、面积、体积等实际问题。
五、教学方法：1.讲授相结合：简洁明了地讲解定积分的概念和性质，结合实例演示计算方法；2.激发思考：通过引入实际问题，激发学生的思考和探究欲望；3.启发式教学：提出问题引导学生独立思考，培养学生的解决问题能力。
六、教学资源：1.教材：教材中相关知识点、例题及练习题；2.多媒体教学：投影仪、电脑等多媒体设备。
七、教学评估：1.课堂练习：课堂上针对性地布置练习，检验学生对定积分的理解和掌握程度；2.作业布置：课后布置练习题，巩固学生对定积分的掌握。
八、课堂小结：通过本节课的学习，相信同学们已经初步了解了定积分的概念、性质和计算方法，并能够运用定积分解决实际问题。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质和计算方法。
2. 能够运用定积分解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法，引导学生理解定积分的本质。
2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，让学生掌握定积分的计算技巧。
3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题，引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题，提高学生的数学应用能力。
三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解定积分的概念、性质和计算方法。
2. 利用例题，引导学生掌握定积分的计算技巧。
3. 结合实际问题，培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
4. 组织讨论，让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。
五、教学过程1. 引入：通过复习初中数学中的积分概念，引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。
2. 讲解：讲解定积分的定义、性质和计算方法，让学生理解定积分的本质。
3. 练习：布置定积分的计算练习题，让学生巩固所学知识。
4. 应用：结合实际问题，讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用，让学生体会定积分的实用价值。
6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、定积分的性质与计算法则1. 性质：定积分具有线性性质，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。
定积分与积分区间有关，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。
定积分与积分函数的单调性有关，即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增，则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$，其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。
定积分的概念教案
定积分的概念教案课题：定积分的概念研究目标及重、难点：一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景。
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分。
3.理解掌握定积分的几何意义。
二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义。
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义。
教学流程：一、复：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点。
二、新课探析：1.定积分的概念：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点一般地将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，取一点ξi（i=1,2.n）在每个小区间[x(i-1),xi]上任取一点ξi，作和式：Sn=∑f(ξi)Δx，当上述和式Sn无限趋近于常数S，即S=limSn（n→∞）时，上述常数S称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
记为：S=∫baf(x)dx，其中∫为积分号，b为积分上限，a为积分下限，f(x)为被积函数，x为积分变量，[a,b]为积分区间，∫f(x)dx为被积式。
说明：1）定积分不是Sn。
2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[a,b]；②近似代替：取点ξi∈[xi-1,xi]；③求和：∑f(ξi)Δx；④取极限：∫f(x)dx=lim∑f(ξi)Δx（n→∞）。
3）曲边图形面积：S=∫f(x)dx。
2.定积分的几何意义：从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，则定积分∫f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积，如图中的阴影部分。
另外，定积分还可以表示变速运动路程S=∫bta2v(t)dt和变力做功W=∫btaF(r)dr的大小。
定积分的概念教案
定积分的概念教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点 定积分的概念、定积分的几何意义复习： 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S（n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰ 2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连 续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
定积分概念教案
教案图4.1图AB的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。
六、教学方法：根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。
七、教学手段：传统教学与多媒体资源相结合。
八、教学时数：1课时。
九、教学过程：1、由两个实际例子引出定积分的概念.定积分是积分学的另一个重要的基本概念，和导数概念一样，它也是在解决各种实际问题中逐渐形成并发展起来的，现已成为解决许多实际问题的有力工具．本节将首先从实际问题出发引出定积分的概念，并介绍定积分的几何意义．例1 求曲边梯形的面积．初等数学可以计算多边形、圆形和扇形等规则图形的面积，但对于较复杂的曲线所围成的图形(图4.1)的面积计算则无能为力．如图所示，我们总可以用若干互相垂直的直线将图形分割成如阴影部分所示的基本图形，它是由两条平行线段，一条与之垂直的线段，以及一条曲线弧所围成，这样的图形称为曲边梯形．特别地，当平行线之一缩为一点时，称为曲边三角形．那么，为什么要研究曲边梯形呢？因为求任何曲线围成的几何图形的面积，都可归结为求若干个曲边梯形的面积的代数和. 现把问题归结如下：求由直线0,,===y b x a x 和连续曲线)(x f y =(()0)f x ≥所围成的曲边梯形AabB (图4.2)的面积S ．如果曲边梯形的高不变,即C y =(常数),则根据矩形面积公式 面积=底⨯高)n .2)n , 作积分和∑==∆ni i i x 12ξ)12n +. n λ→∞⇔概念?。
1. 定积分概念(上课)
§1 定积分的概念
1.1 定积分的背景——面积和路程问题
1.借助于几何直观图了解定积分的基本思想. 2.掌握定积分的概念，能用定积分定义求简单的 定积分.（重点） 3.理解掌握定积分的几何意义． （难点）
1.了解定积分的实际背景. 2.理解“以直代曲”“无限分割”的思想，初步掌握 求曲边梯形面积的“三步曲”——“分割、求和、近
用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其
速度误差就越小.
比如，将滑行时间5s平均分成10份.
用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估
计值s2：
s2 [v(0) v(0.5) v(1) v(4) v(4.5)] 0.5 48.125( m )
： 汽车在5s内滑行距离的不足估计值 s2
通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.
输入数
字，点
击确定.
练一练：
求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图 形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间 [0，1] 5等分来估计）
解析 把区间 [0，1] 5等分，以每一个小区间
左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足
估计值
s1 和过剩估计值 S1 ，如下：
b b
n n
定积分的概念 一般地，设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，用分点 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b 将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x ba （ x ） ，在每个小区间 xi 1 , xi 上取一点 n i i 1, 2,, n ，作和式：
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 时， 上述和式 S n
高中数学第四章定积分4.1定积分的概念4.1.2定积分省公开课一等奖新优质课获奖课件
题型三
题型二
利用定积分的意义求积分
【例 2】 利用定积分的意义,求下列定积分:
(1)
3
-3
9- 2 d;
(2)
3
0
(2 + 1)d.
分析:先画出几何图形,再求该几何图形的面积,即为所求的定积
分.
解:(1)在平面直角坐标系中,y=
9- 2
表示的几何图形为以原点为圆心,以 3 为半径的上半圆,如图 ①所示.
∑ ()Δ;
i=1
(3)取极限:当 n→+∞时,S→A,且 s→A,则
()d = .
12/30
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 利用定积分的定义,计算
2
1
(3 + 2)d.
解:令 f(x)=3x+2.
(1)分割:
在区间[1,2]上等间隔地插入 n-1 个分点,把区间[1,2]等分成 n 个
小区间
-1
,
1
( = 1,2, …,n),每个小区间的长度为 Δx= .
10/30
题型一
题型二
题型三
(2)近似代替、求和:
取 ξi=
(
= 1,2, …,n),则 S= ∑
=1
i
n
Δ =
n
2
∑ 2
i=1
+1
1
1 12 + 22 + … + 2
( + 1)(2 + 1)
题型一
题型二
题型三
题型三 利用定积分的性质求定积分
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
2
练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所 围成的图形面积
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx
-x
3 0
2
+ 3x dx
14
（四）、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取逼近 化整为零
S S 1 S 2 f ( x )dx g ( x )dx
a a b b
S1 y f ( x ) d x g( )
a
b
S2
b
g ( x ) dx
a
O
a a
b x
10
性质1.
（三）、定积分的基本性质
b b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
b
(x )d x f f (x x f c f )d x x(x 。 a f(xf )d x (x )da)dx(x)dfx(x(xa)df。 )d x c a
a a c
b
c
c
b
b b
4.1 定积分的概念与性质fxf
y
y f ( x)
A lim f ( i )x i
0
i 1
n
o a x1
3
xi 1
i
xi
b x
第一讲 定积分的概念与性质
高等数学
v v(t )
T2
2.变速直线运动的路程
T1
t i 1 i t i
(1) 分割：在 [T1 , T2 ] 中任意插入n 1个分点, 将它分成
a a
b
b
( k 为常数)
性质4
13
b a
dx b a .
第一讲 定积分的概念与性质 性质5 若在[a , b]上 推论1 若在 [a , b] 上
高等数学
则
则
推论2 性质6
[a , b] [a , b]
(a b).
M max f ( x ), m min f ( x ) , 则
0
n
2 n
或
1 k 1 I lim sin( ) sin x d x n 0 n n k 0
0
n 1
( n 1) n
x
1 n
2 n
n 1 n
1
x
17
第一讲 定积分的概念与性质
高等数学
思考: 如何用定积分表示下述极限
提示:
k I lim sin n n n k 1
2．定积分的实质： 特殊和式的极限． 3．函数可积的条件 5. 定积分的性质
16
4．定积分的几何意义
第一讲 定积分的概念与性质
高等数学
思考与练习
1. 用定积分表示下述极限 :
高中数学定积分内容教案
高中数学定积分内容教案一、教学内容分析：定积分是微积分中的一个重要概念，通过定积分的学习，可以帮助学生深入理解积分的概念和原理，掌握定积分的计算方法，以及应用定积分解决实际问题的能力。
在高中数学中，定积分主要包括定积分的定义、定积分的计算方法、定积分的性质和定积分的应用等内容。
二、教学目标设定：1. 理解定积分的定义和意义；2. 掌握定积分的计算方法，包括不定积分、定积分的性质和定积分的应用；3. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学建模能力。
三、教学步骤安排：第一步：定积分的定义和意义1. 定积分的概念和意义；2. 定积分的定义及其几何意义；3. 定积分的性质和计算方法。
第二步：定积分的计算方法1. 不定积分与定积分的关系；2. 定积分的计算方法；3. 定积分的性质和公式。
第三步：定积分的性质和应用1. 定积分的性质及其应用；2. 定积分在实际问题中的应用；3. 综合练习和解题训练。
四、教学方法和手段：1. 讲解教学法：通过教师讲解、示范和分析，引导学生理解和掌握定积分的概念和计算方法；2. 互动探究法：通过问题探讨、讨论和实例分析，培养学生的数学思维和解决问题的能力；3. 实践演练法：通过课堂练习、作业布置和实际问题解答，提高学生的运用能力和实际应用能力。
五、评估方法：1. 定期考试和小测验；2. 作业评订和讲评；3. 课堂互动和问题解答。
六、教学资源准备：1. 教材和教辅资料；2. 多媒体教学设备；3. 实例和练习题。
七、教学反馈和改进：1. 定期组织教学反馈和讨论；2. 定期总结和评估学生学习情况；3. 结合学生实际情况，适时调整和改进教学方法和手段。
定积分的概念教案
定积分的概念教案教案标题：定积分的概念教案教案目标：1. 理解定积分的概念及其在数学中的应用；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够运用定积分解决实际问题。
教学内容：1. 定积分的概念介绍；2. 定积分的计算方法；3. 定积分的应用。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回顾不定积分的概念和计算方法，以便为定积分的引入做铺垫。
主体活动：2. 介绍定积分的概念和意义，并与不定积分进行对比，强调二者的区别和联系。
3. 解释定积分的计算方法，包括Riemann和Newton-Leibniz公式等，通过实例演示如何进行定积分的计算。
4. 引导学生思考定积分的应用领域，如面积计算、物理学中的速度、加速度计算等，并结合实际问题进行案例分析和讨论。
5. 练习定积分的计算方法和应用，提供一些练习题，让学生进行个人或小组练习，并及时给予指导和反馈。
总结活动：6. 总结定积分的概念、计算方法和应用，强调定积分在数学中的重要性，并鼓励学生在今后的学习中继续深入探究。
教学资源：1. 教科书或教学课件；2. 白板、彩色粉笔/马克笔；3. 实例演示材料；4. 练习题。
评估方法：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和对概念的理解程度；2. 学生完成的练习题和解答过程；3. 学生参与案例分析和讨论的贡献。
拓展活动：1. 鼓励学生自主学习和探究更多与定积分相关的概念和应用；2. 提供相关参考资料和学习资源，供学生进一步学习和研究。
注意事项：1. 确保教学内容和步骤的连贯性和逻辑性；2. 根据学生的学习进度和理解程度，灵活调整教学节奏；3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，培养他们的问题解决能力和数学思维能力。
《定积分的概念》教学教案
《定积分的概念》教学教案教学教案《定积分的概念》一、教学目标1.理解定积分的概念和基本性质；2.掌握计算定积分的方法和技巧；3.运用定积分解决实际问题。
二、教学重点1.定积分的概念和基本性质；2.计算定积分的方法和技巧。
三、教学难点1.理解定积分的概念和基本性质；2.运用定积分解决实际问题。
四、教学准备1.教材：数学教材、习题集等；2.工具：黑板、粉笔等。
五、教学过程Step 1 知识导入（5分钟）1.复习集中讨论上一节课的内容，引入定积分的概念。
2.提问：你们对定积分有什么了解？Step 2 定积分的概念（20分钟）1. 导入：引入定积分的基本概念，如Riemann和、分割、积分和面积的关系等。
2.讲解：通过具体的例子，解释定积分的定义和意义。
3.提问：如何通过曲线的面积概念引入定积分？Step 3 定积分的基本性质（15分钟）1.引入：引入定积分的基本性质，如线性性质、区间可加性、保号性等。
2.讲解：通过具体例子验证定积分的基本性质。
3.提问：如何理解定积分的线性性质？Step 4 计算定积分（25分钟）1.导入：通过几何问题，引入定积分的计算方法。
2.讲解：教授求定积分的方法和技巧，如代数法、几何法、换元法等。
3.举例：通过具体的例子讲解并计算定积分。
4.练习：让学生完成相应的练习题。
Step 5 运用定积分（20分钟）1.导入：通过实际问题引入定积分的应用。
2.讲解：教授定积分在物理学和经济学等领域的应用。
3.举例：通过实际问题的例子，展示定积分的应用过程。
4.提问：你对定积分的应用有何感悟？Step 6 拓展延伸（15分钟）1.讲解：让学生了解定积分的应用不仅限于一元函数，还可以推广到二元和多元函数。
2.提问：你能举例说明定积分在二元和多元函数中的应用吗？六、教学总结（10分钟）1.复习：对本节课的知识点进行复习。
2.总结：对本节课的教学内容进行总结，概括定积分的概念、基本性质和计算方法。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义方法和性质。
2. 学会利用定积分解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力、创新能力和合作能力。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分的定义、定积分的性质。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。
3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：定积分的概念、性质，定积分的计算方法。
2. 难点：定积分的理解和运用，定积分的计算技巧。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究定积分的概念和性质。
2. 利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为定积分问题。
3. 运用讨论法，培养学生的合作能力和创新思维。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考如何求解曲边图形的面积。
2. 探究定积分的概念：讲解定积分的定义，让学生理解定积分的基本思想。
3. 学习定积分的性质：引导学生通过举例，总结定积分的性质。
4. 定积分的计算：讲解牛顿-莱布尼茨公式，教授换元法和分部积分法。
5. 应用定积分解决实际问题：让学生分组讨论，选取实例进行分析。
6. 总结与反馈：对所学内容进行总结，收集学生反馈，及时调整教学方法。
六、教学评价1. 评价学生对定积分概念的理解程度，通过课堂提问、作业批改等方式进行。
2. 评价学生对定积分性质的掌握情况，通过课后练习、小测验等方式进行。
3. 评价学生运用定积分解决实际问题的能力，通过分组讨论、课堂展示等方式进行。
七、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，展示定积分的概念、性质和计算方法。
2. 教学案例：收集与生活实际相关的案例，用于引导学生运用定积分解决实际问题。
3. 练习题库：编写一定数量的练习题，用于巩固学生对定积分的理解和运用。
八、教学进度安排1. 第1周：导入定积分的概念，讲解定积分的定义和性质。
高二数学《定积分的概念》教案
高二数学《定积分的概念》教案【小编寄语】查字典数学网小编给大伙儿整理了高二数学《定积分的概念》教案，期望能给大伙儿带来关心!学习目标1、知识与技能目标明白得并把握定积分的概念和定积分的几何意义。
2、过程与方法目标通过学生自主探究、合作交流，培养学生分析、比较、概括等思维能力,形成良好的思维品质。
3、情感态度与价值观目标通过学生积极参与课堂活动，让学生体验制造的激情和成功的欢乐，教学过程中及时地夸奖鼓舞学生，让学生领会到实实在在的成就感。
教学重点定积分的概念，定积分的几何意义。
教学难点定积分的概念。
一、创设情境，引入新课创设情境：请大伙儿闭上眼睛，回忆曲边图形面积的求法，求与直线=1，=0所围成的平面图形的面积。
教师口述：分割→近似代替→求和→取极限引入新课：定积分的概念假如函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为( )，在每个小区间上取一点，作和式：【问题】假如时，上述和式无限趋近于一个常数，那么称该常数为___________________________，记为：___________________________，即：___________________________。
注意：①称为______________，叫做_____________，为_______ ______，与分别叫做________________与________________。
②定积分是一个常数，只与积分上、下限的大小有关，与积分变量的字母无关，。
二、自主探究合作交流探究一：在求积分时要把等分成个小区间，是否一定等分?探究二：在每个小区间上取一点，是否一定选左端点?探究三：分组讨论定积分的几何意义是什么?探究四：分组讨论依照定积分的几何意义，用定积分表示图中阴影部分的面三、例题剖析，初步应用例1 利用定积分的定义，运算的值引导：如何样用定积分法求简单的定积分呢?解：令定积分的性质依照定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 (定积分的线性性质)性质2 (定积分的线性性质)摸索(用定积分的概念说明)：性质3 (其中)(定积分对积分区间的可加性)摸索(用定积分的几何意义说明)：_四、课堂练习巩固提高1、从几何上说明：表示什么?2、运算的值。
定积分的概念教案
定积分的概念教案教学目标：了解定积分的概念及其几何意义，熟练掌握定积分的计算方法。
教学重点：掌握定积分的概念及其几何意义。
教学难点：运用定积分的概念解决实际问题。
教学准备：教师准备教材、教具和白板笔等。
教学过程：Step 1：导入问题教师可以提出一个实际问题，如：一辆汽车在1小时内的速度是多少？请学生思考并展开讨论。
Step 2：引入定积分教师出示一张速度-时间图像，简单介绍图像含义，即速度的变化情况。
Step 3：讨论定积分概念教师引导学生思考：如何根据速度-时间图像计算汽车在1小时内行驶的距离？学生可以按时间分割成不同的小段，并计算每个小段的行驶距离。
引出定积分的概念：将时间划分成无限小的小段，计算每个小段的行驶距离，并对其求和。
Step 4：定积分的计算方法教师介绍定积分的计算方法：将定积分问题转化为求函数的不定积分问题，然后根据不定积分的法则进行计算。
Step 5：定积分的几何意义教师引导学生思考：定积分的几何意义是什么？可以让学生按照概念中的思路进行讨论，并引导学生认识到定积分表示函数与横轴之间的面积。
Step 6：应用定积分解决实际问题教师出示一个实际问题，如：一块不规则形状的地块的面积如何计算？引导学生将地块的形状划分成无数个小矩形或小三角形，然后利用定积分的概念求解。
Step 7：练习与总结教师提供一些定积分的练习题，供学生巩固知识并提出问题。
在练习过程中，教师及时纠正学生的错误，引导学生总结定积分的计算方法和几何意义。
Step 8：课堂小结教师对本节课进行小结，强调定积分的概念及其几何意义，并鼓励学生继续探索和应用定积分。
Step 9：课后作业教师布置相关的课后作业，要求学生继续练习定积分的计算及应用，并预习下节课内容。
以上为定积分的概念教案。
定积分的概念教学设计
定积分的概念教学设计教学设计：定积分的概念一、教学目标：1.了解定积分的概念，并能够运用定积分的定义进行求解。
2.掌握定积分的性质，能够判断定积分的情况。
3.能够运用定积分求解实际问题。
二、教学内容：三、教学过程：1.导入（10分钟）（1）引入：请同学们回顾一下之前学过的不定积分，不定积分是一个函数的原函数，表示的是一个函数的一类可能的原函数。
那么，对于一个函数f(x)，我们有没有办法求出它在一些区间[a,b]上的整体情况呢？（2）引导：提问同学，对于求函数f(x)在[a,b]上的整体情况，你们有什么想法？（3）呈现：将定积分的概念进行呈现，并简单解释定积分的意义。
2.概念解释（20分钟）（1）讲解：通过教师讲解的方式，引导同学们对定积分概念的理解。
（2）解读：通过示意图，解读定积分的图形意义。
（3）讨论：请同学们和小组成员进行讨论，总结定积分的定义和图形意义，并进行概念解释。
3.性质分析（30分钟）（1）引入：引导同学们思考定积分的性质。
（2）归纳：通过教师的讲解，引导同学们对定积分的性质进行归纳总结。
（3）例题：找一些简单的例题，让同学们通过计算来验证定积分的性质。
4.求解方法（30分钟）（1）引导：给出一个求解定积分的具体问题，引导同学们分析解决问题的方法。
（2）讲解：通过教师的讲解，引导同学们掌握定积分的求解方法。
（3）练习：给同学们一些具体的定积分求解问题，让他们尝试解题，并互相讨论。
5.实际应用（30分钟）（1）分析：给出一个实际问题，引导同学们思考如何运用定积分进行求解。
（2）讲解：通过教师的讲解，引导同学们学习定积分在实际应用中的运用。
（3）练习：给同学们一些实际应用题目，让他们运用定积分进行求解，并进行讨论和解答。
四、教学反思：通过本节课的教学，同学们对定积分的概念有了更深刻的了解，能够运用定积分的定义进行求解，并且掌握定积分的性质，能够判断定积分的情况。
在实际应用方面，同学们也能够运用定积分进行求解。
4.1定积分的概念及性质
4 cos xdx 4 sin xdx
0
0
28
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练习题
一、判断题
（1）设 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，则
b
b
a f (x)dx a f (t)dt 0
b
（2）若 f (x)dx 0 ，则 f (x) 0 a
3
2
（3） f (x)dx f (x)dx 0
2
0 ( x 1)dx 0
y （2，1）
1S
o
1
x
o
1 2x
-1
19
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4.1.2 定积分的性质
经济应用数学
若 f (x), g(x) 在区间a,b 上可积，则 f (x) g(x),
kf (x) 在 a,b 上也可积，且
性质1 性质2
b
b
a kf (x)dx k a f (x)dx
则乘积 f (i )xii 1, 2, 3, , n 的总和为
n
Sn f (i )xi i 1
11
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经济应用数学
若不论对区间 a, b 采取何种分法，也不论 i 在 a,b 中如何取法, 只要当 0 时， 极限
n
lim
0
i 1
Ai (i 1, 2,3 n.)
5
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② 近似代替—以直代曲
y 经f (济x) 应用数学
高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念教案(含解析)2数学教案
1定积分的概念如图，阴影部分是由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝1以及x 轴所围成的平面图形． 问题1：通常称这样的平面图形为什么？ 提示：曲边梯形．问题2：如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和． 问题3：你能求出近似值吗？提示：能．不妨将区间[0,1]五等分，如图所示．求出图甲或图乙所有阴影小矩形的面积和S 1或S 2，即为曲边梯形面积S 的近似值． 问题4：如何更精确地求出阴影部分的面积S? 提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确． 1．定积分的概念给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b ，记Δx i 为第i 个小区间[x i －1，x i ]的长度，ξi 为这个小区间上一点，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋ f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，就称A 是函数y ＝f (x )在区间 [a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝A ，其中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义(1)当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 表示的是x ＝a 与x ＝b ，y ＝0和y ＝f (x )所围成曲边梯形的面积．(2)当f (x )(f (x )≥0)表示速度关于时间x 的函数时，⎠⎛a bf (x )d x 表示的是运动物体从x ＝a 到x ＝b 时所经过的路程．3．定积分的性质 (1)⎠⎛a b1d x ＝b －a ；(2)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x ；(3)⎠⎛a b[f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ； (4)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x .1．由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .2．性质3对于有限个函数(两个以上)也成立．性质4对于把区间[a ，b ]分成有限个(两个以上)区间也成立．3．利用定积分求曲边梯形的面积的实质是“化整为零、积零为整”的过程．过剩估计值和不足估计值的应用[例1] )＝－t 2＋5(单位：km/h)．试估计这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程．[思路点拨] 将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过求矩形面积问题即可解决．[精解详析] 将区间[0,2]10等分，如图：S ＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72，s ＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2＝6.92，∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km 与7.72 km 之间．[一点通] 解决这类问题，是通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值．1．把区间[0,1]n 等分，所得n 个小区间，每个小区间的长度为( ) A.1nB.2nC.3nD.12n解析：选A 区间[0,1]的长度为1，被n 等分，所以每个小区间的长度为1n.2．求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝12x 2所围成的曲边梯形的面积的估计值，并写出估计误差．解：将区间[1,2]5等分，分别以每个小区间的左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s 和过剩估计值S .s ＝⎝ ⎛ 12×12＋12×1.22＋12×⎭⎪⎫1.42＋12×1.62＋12×1.82×0.2＝1.02， S ＝⎝ ⎛12×1.22＋12×1.42＋12×⎭⎪⎫1.62＋12×1.82＋12×22×0.2＝1.32， 估计误差不会超过S －s ＝1.32－1.02＝0.3.利用定积分的几何意义求定积分[例2] (1) ⎠⎛－1 14－x 2d x ；(2)⎰522ππ(1＋sin x )d x .[思路点拨] 定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是：介于x ＝a ，x ＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x 轴上方部分的面积为正，x 轴下方部分的面积为负．[精解详析] (1)由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图．⎠⎛－114－x 2d x 等于圆心角为π3的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3， S 矩形＝AB ·BC ＝23，∴⎠⎛－114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)函数y ＝1＋sin x 的图像如图所示，⎰522ππ(1＋sin x )d x 表示阴影部分的面积，由图像的对称性可知：⎰522ππ(1＋sin x )d x ＝S 矩形ABCD ＝2π.[一点通] 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．3．据定积分的几何意义比较大小，并用“>”“<”或“＝”号连接下列各式：(1) ⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x ； (2) ⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x .解析：(1)如图：⎠⎛01x d x 表示△OAP 的面积，⎠⎛01x 2d x 表示阴影部分的面积，显然⎠⎛01x d x >⎠⎛01x 2d x .(2)如图：⎠⎛01x d x 表示△OAB 的面积，∫21x d x 表示梯形ABDC 的面积，故⎠⎛01x d x <∫21x d x .答案：(1)> (2)<4.利用定积分的几何意义，说明下列等式．(1) ⎠⎛012x d x ＝1；(2)⎠⎛011－x 2d x ＝π4. 解：(1)如图1，⎠⎛012x d x 表示由曲线y ＝2x ，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，由S △＝12×2×1＝1，故⎠⎛012x d x ＝1.(2)如图2，⎠⎛011－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的面积．由S 圆＝π，得⎠⎛011－x 2d x ＝π4. 利用定积分的性质求定积分[例3] (1)若⎠⎛01[f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛01[f (x )－g (x )]d x ＝－5，则∫10f (x )d x ＝________.(2)若⎠⎛a b 2f (x )d x ＝5，则13⎠⎛a b[2－f (x )]d x ＝____________.[思路点拨] 涉及定积分的线性运算时，可考虑用定积分的性质进行求解． [精解详析] (1)依题意知⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛01g (x )d x ＝3， ⎠⎛01f (x )d x －⎠⎛01g (x )d x ＝－5， 两式相加，得2⎠⎛01f (x )d x ＝－2， 故⎠⎛01f (x )d x ＝－1.(2)∵⎠⎛a b 2f (x )d x ＝2⎠⎛a bf (x )d x ＝5，∴⎠⎛abf (x )d x ＝52. 于是13⎠⎛a b [2－f (x )]d x ＝13⎣⎡⎦⎤⎠⎛ab2d x －⎠⎛a bf x d x＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －2a －52＝23b －23a －56.[答案] (1)－1 (2)23b －23a －56[一点通] 利用定积分的性质可将被积函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分，将未知的定积分转化为已知的定积分；对于分段函数类型的定积分，可以利用定积分的性质分解求值．5．若⎠⎛a b f (x )d x ＝3，⎠⎛a b g (x )d x ＝2，则⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝________. 解析：⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝3＋2＝5.答案：56．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )d x .解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛12(－2x ＋4)d x .又由定积分的几何意义得⎠⎛01(x ＋1)d x ＝12(1＋2)×1＝32，⎠⎛12(－2x ＋4)d x ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )d x ＝32＋1＝52. (1)定积分⎠⎛a bf (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同． (2)利用几何意义求定积分的关键在于分清楚被积函数f (x )所表示的图形以及积分上、下限．1．下列等式不成立的是( )A. ⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a bg (x )d x B. ⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋b －a C. ⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛a bg (x )d x D. ⎠⎛－2π 2πsin x d x ＝⎠⎛－2π 0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x解析：选C 由定积分的性质知选项A ，B ，D 正确，故选C. 2．定积分⎠⎛13(－3)d x ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．－3D ．3解析：选A ⎠⎛133d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.3．求由曲线y ＝e x，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分上限和积分下限分别为( )A ．e 2,0 B ．2,0 C ．2,1D ．1,0解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，x ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝e 2.所以积分上限为2，积分下限为0.4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125 C.127D.130解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1， 各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝981＝19.5．已知⎠⎛a bf (x )d x ＝6，则⎠⎛a b6f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛a b 6f (x )d x ＝6⎠⎛a bf (x )d x ＝36.答案：366．计算⎠⎛124－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．易知AB ＝3，∠AOB ＝π3，故S 阴＝16×4π－12×1×3＝2π3－32. 答案：2π3－327．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563， 求：(1) ⎠⎛023x 3d x ；(2) ⎠⎛146x 2d x ；(3) ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x . 解：(1) ⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2) ⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3) ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x＝3×73－2×154＝－12.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2，4－x ，x ∈[2，3，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．解：由定积分的几何意义知⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，⎠⎛23(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1， ∴⎠⎛05f (x )d x ＝⎠⎛02x d x ＋⎠⎛23(4－x )d x ＋⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92.。
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曲边梯形的面积
一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点：
重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限） 难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线
()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面
积？
例题：求图中阴影部分是由抛物线2
y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化
为求“直边图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．
0.1
把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。
当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S ．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割
在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n
间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤
=⎢
⎥⎣
⎦L ，其长度为11
i i x n n n
-∆=-=
分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1
n
i
i S S ==∆∑
（2）近似代替
记()2
f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上，可以认为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点
1
i n
-处的函数值1i f n -⎛⎫
⎪⎝⎭
，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,i i n n -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有
211i i i i S S f x x n n --⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g 2
11
(1,2,,)i i n n n
-⎛⎫== ⎪⎝⎭g L ①
（3）求和：由①，上图中阴影部分的面积n S 为
2
111111
n
n
n
n i i i i i i S S f x n n n ===--⎛⎫⎛⎫'∆=∆=∆= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭∑∑∑g g
=22
111110n n n n n n
-⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g L g =()22231121n n ⎡⎤+++-⎣⎦L =()()312116n n n n --=1111132n n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到S 的近似值 1111132n S S n n ⎛⎫⎛⎫
≈=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
（4）取极限：分别将区间[]0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即x ∆趋向于0时，1111132n S n n ⎛⎫⎛⎫
=
-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
趋向于S ，从而有 1
11
1111lim lim lim 11323n
n n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑g 从数值上的变化趋势：
3．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间[],a b 中任意插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1,i i x x -()1,2,,i n =L ，区间[]1,i i x x -的长度1i i i x x x -∆=-，第二步：近似代替，“以直代取”。
用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限。
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割→以直代曲→求和→逼近
2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值 练习：课本P76练习题：设S 表示由曲线x y =
，x =1，以及x 轴所围成平面图形的面积。
四、课堂小结：求曲边梯形的思想和步骤：分割→以直代曲→求和→逼近 （“以直代曲”的思想） 五、教学后记。