拉格朗日方程-刚体动力学-振动知识题课
拉格朗日方程-振动
分析力学基础 2.1 自由度和广义坐标
例 1 图 (a)中，质量用一根
弹簧悬挂。图（b）中质量
用一根长度为l，变形可忽略
的悬丝悬挂。分析系统的自
由度，并建立系统的广义坐
(a)
标。
（b）
解 对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
分析力学基础 2 ຫໍສະໝຸດ 位移原理 虚位移原理受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
p
其数学表达式为: d W F d r 0
i
i
i 1
其中，Fi为作用于质点系的主动力， dri为虚位移。上式也称为虚功方程。
时的位置，即广义坐标数为2，自由度为2。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
例 2 右图表示由刚性杆l 1和质量m 1及刚性杆l 2和
质量m 2组成的两个单摆在O’ 处用铰链连接成
双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能 在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统 的广义坐标。 解 由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0， 而双摆的长度l 1和l 2不变，即
对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：
x2 y2 z2 l2
这样，坐标 x 、 y 和 z 就再不独立。若用球面坐标r 、y 和j 来表示， 必须满足条件 r = l ，只要用y 和j 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬
理论力学-拉格朗日方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
应用拉氏方程解题旳环节：
1. 鉴定质点系旳自由度k，选用合适旳广义坐标。必须注意： 不能漏掉独立旳坐标，也不能有多出旳（不独立）坐标。
2. 计算质点系旳动能T，表达为广义速度和广义坐标旳函数。
3. 计算广义力 Q j ( j1,2,,k )，计算公式为：
Qj
n
(X i
i 1
xi q j
Yi
yi q j
m2
l
2
2
m2
xl
cos
1 2
kx
2
m2
glcos
L x
(m1
m2
)
x
m2
l
cos
,
L x
kx
d dt
L x
(m1
m2
)
x
m2
lcos
m2l
2
sin
L
m2l
2
m2
xlcos
,
L
m2
xlsin
m2
glsin
d dt
(
L
)
m2
l
2
m2
xl
cos
m2
xl
sin
代入：
d dt
(
L q j
)
L q j
0
( j1,2,,k )
1
本章在达朗伯原理和虚位移原理旳基础上，进一步导 出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日 方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问 题旳有力手段，在处理非自由质点系旳动力学问题时，显 得十分简捷、规范。
2
第十七章 拉格朗日方程 §17–1 动力学普遍方程 §17–2 拉格朗日第二类方程 §17–3 拉格朗日第二类方程旳积分
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
3拉格朗日方程及振动
三、（补）势力场、势能、动能定理从能量的角度来描述物体的运动现象。
现我们将力所作的功的概念进一步推广，可由能量的观点可推出拉格朗日方程。
（一）、势力场与势函数如果质点在某空间内任何位置都受有一个大小，方向完全确定的作用力。
即质点所受到的力仅与质点的位置有关，记为：F x y z (,,) 那么这个空间称之为力场。
将F 向坐标轴投影就有：),,(z y x F X x = , ),,(z y x F Y y = , ),,(z y x F Z z =设上述的函数是单值、连续、并且具有一阶偏导数。
现我们计算F 在力场中运动时所作的功，由功的定义知道：⎰++=Lz y x dz F dy F dx F W )( (其中L 为质点运动的轨迹)一般地讲，这个积分与质点运动的路径有关。
现仅讨论与路径无关的情况。
这对于理解物体运动的本质是很有意义的。
如果上述的线积分仅与质点的起始位置与终了位置有关，而与路径无关。
由高等数学知该微分三项式为某一函数的全微分，即)(dz F dy F dx F dU z y x ++=。
显然U 是坐标x ，y ，z 的函数，则定义： ),,(z y x U U =———力场的势函数。
如果质点从M 0运动到M ，则代入上述的线积分则有：),,(),,(00000z y x U z y x U dU W M M M M -=⎰=→→并且 x U F x ∂∂= ； yU F y ∂∂= ； z U F z ∂∂=（二）、势能、势能函数前面我们纯粹从数学的角度引进了势函数，通过势函数，我们可方便地计算有势力的功。
势函数的概念比较抽象，但在矢量场的分析中具有普遍的意义。
在我们力学分析中，还经常用到物理意义较为明显的势能函数，由势能函数来代替势函数。
现我们来看两者的关系。
首先来定义势能的概念。
所谓势能即：势能——当物体在势力场中某一位置时，具有作功的能量。
显然，势能具有相对的意义。
选取不同的基准位置，则同一位置的势能具有不同的数值。
拉格朗日动力学方程例题
拉格朗日动力学方程例题拉格朗日动力学方程是描述质点、刚体或连续体运动的重要数学工具。
它是由拉格朗日于18世纪提出的，可以从动能和势能的差异来推导出物体的运动方程。
在此，我们将介绍一个拉格朗日动力学方程的例题，并解答该问题。
例题：一个质量为m的质点在一维势场V(x)中运动。
质点的拉格朗日量L定义为L = T - V，其中T表示质点的动能。
现在假设势场V(x)满足V(x) = kx^2，其中k为常数。
求质点的运动方程。
解答：首先，我们需要计算质点的动能T。
根据动能的定义，T = (1/2)mv^2，其中v表示质点的速度。
由速度与位置的关系可得，v = dx/dt，其中x表示质点的位置，t表示时间。
因此，动能可以写为T = (1/2)m(dx/dt)^2。
接下来，我们将拉格朗日量L表示为动能和势能之差。
由题目中给出的势能表达式可得，V(x) = kx^2。
将动能和势能带入拉格朗日量的定义中可得：L = (1/2)m(dx/dt)^2 - kx^2。
根据拉格朗日动力学方程的定义，我们需要计算质点的广义力F。
广义力F可以通过势能对位置的偏导数来表示，即F = -dV/dx。
将势能表达式V(x)带入可得，F = -d(kx^2)/dx = -2kx。
综上所述，我们得到了质点的运动方程。
根据拉格朗日动力学方程的定义，F = d/dt(dL/d(dx/dt)) - dL/dx = 0。
代入我们计算得到的动能和势能的表达式，可得：d/dt(m(dx/dt)) + kx = 0化简上述方程，我们可以得到：m(d^2x/dt^2) + kx = 0这就是质点在一维势场V(x)中的运动方程。
它表示了质点受到的恢复力和质量的关系。
通过求解这个二阶微分方程，我们可以得到质点的具体运动规律。
理论力学—拉格朗日方程PPT
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
三.试用拉格朗日方程建立弹簧振子的运动微分方程,并求出其振.
三. 试用拉格朗日方程建立弹簧振子的运动微分方程，并求出其振动周期（已知：弹簧的倔强系数为K ，物块的质量为m ）。
四. 长l 2，质量为m 的均匀棒，其上端A 靠在光滑的墙上，下端则固联一不能伸长的线BC ，线的上端固结于墙上C 点，C 点与A 点在同一垂直线上，棒与墙所成的角度为α，线与墙所成的角度为β，如果ABC 平面为与墙垂直的铅垂面。
求平衡时αβ与之间的关系。
（用刚体平衡方程求解）。
三. 解：系统自由度1=S ，取q=x,系统的动能2'21x m T = 系统的势能22
1kx V = =-=V T L 2'21x m -22
1kx 代入拉氏方程：0)(=∂∂-∂∂x l x l dt d ，得： 0''=+kx x m 0''=+
∴x m k x 令m
k w =2，则w 为弹簧振子简谐振动的圆频率。
k
m W T ππ22==∴
四. 解：αβ
cos 0(1)
0sin 0(2)0sin 2cos 0(3)()0yi xi
B i
T mg F N T F mgl N l m F ββαα⎧-==⎪-==⎨⎪-==⎩∑∑∑
)
1()2((3)N tg N mg tg mg ββ==得：。
代入式得 sin 2cos 0mgl mg tg l αβα-∙= 即：202tg tg tg tg αβαβ-=∴=。
拉格朗日方程-刚体动力学-振动 习题课共35页文档
1
0
、
倚
南
窗
以Leabharlann 寄傲，审
容
膝
之
易
安
。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
END
拉格朗日方程-刚体动力学-振动 习题 课
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
第18章分析力学基础动力学普遍方程拉格朗日方程.ppt
Q2
3 i 1
Xi
xi
2
Yi
yi
2
Zi
zi
2
(P cos2
W2 2
sin 2 )l2
5
解2：（几何法）选1、2为广义坐标，对应虚位移为1、2。
① 先令1≠0、2＝0，如图（a）。所
有力在此虚位移上的虚功为
ΣWF
mO (W1)1
注：由于使用动力学普遍方程较麻烦，通常不用其直接求
解动力学问题。其意义在于导出拉格朗日方程。
作业：选做18-5（试用动力学普遍方程求。注意为2自由度问题） 11
§18-3 拉格朗日方程（简介）
简称拉氏方程。拉格朗日推导出两种形式的拉氏方程，即第一类拉格朗日 方程和第二类拉格朗日方程。第一类方程使用直角坐标及约束方程（用待 定乘子法），因而方程组中的方程很多；第二类方程使用广义坐标、广义 力及动能的概念，使方程组中的方程数大大减少（为广义坐标数或自由度 数）。一般（此处亦如此）的拉格朗日方程均指第二类方程。
Q g
vC2
1 2
1 2
Q g
r 2 2
s
P 2Q v2 P 2Q s2
2g
2g
A C
设系统起始位置为0势能位置，系统 势能为：
vC aC
Q
V Ps Q s sin
OB
Q va
P
s
则拉格朗日函数： 拉格朗日方程：
L T V P 2Q s2 Ps Qssin
WF
n
Wi
i 1
n i 1
(
拉格朗日方程知识题解答
习 题15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C 上作用一驱动力偶M ，使质量m 1的物体A 上升。
已知平衡物B 的质量为m 2，主动轮C 和从动轮D 都为均质圆轮，半径和质量分别为r 和m 3。
如不计胶带质量，试求A 物的加速度。
图15-7a m F A 1I = a m F B 2I = ra m r a r m M M D C 323I I 21)(21=== 动力学普遍方程0δ)(δ)(δ)(I 2I 1I I =-++---s F W s F W rsM M M B A D C 0)()(1)2121(221133=-++---a m g m a m g m r ra m ra m Mrm m m grm m M a )()(32112++-+=15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m 1的滑块及质量为m 2的平衡重块组成，长l 的杆不计重量，弹簧刚度为k ，当θ = 0时，为原长。
若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求ω与θ的关系。
图15-8θωsin 211I l m F = )cos 1(θ-=kl F动力学普遍方程0δ)(δ22211I =+-r F g m r Fθθcos δsin δ21r r = θtan δδ12r r = 故0tan δ)]cos 1([δsin 212121=-+-θθθωr kl g m r l mθθωcos 2)cos 1(122l m kl g m -+=15-3 如图15-9所示，板DE 质量为m 1，放在三个质量均为m 2的滚子A 、B 和C 上，今在板上作用一水平向右的力F ，使板与滚子运动。
如板与滚子，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE 的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。
图15-9DE a m F 11I = 2/22I DE a m F = DE DE O ra m r a r m M 222I 41)2(21==动力学普遍方程0δ3δ3δ)(2I 22I 11I =---ϕC M r F r F F02δ4132δ23δ)(121211=⨯⨯-⨯--rrra m r a m r a m F DE DE DE 08921=--DE DE a m a m F212198889m m F m m F a DE +=+=15-4 椭圆规尺放在水平面内，由曲柄带动，如图15-10所示。
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
刚体的拉格朗日方程分析
总结词
刚体是一个理想化的物体，其形状和大小在 运动过程中保持不变。刚体的拉格朗日方程 可以用来描述刚体的运动规律。
详细描述
对于刚体，其拉格朗日函数 $L$ 通常由动 能 $T$ 和势能 $V$ 组成，即 $L = T - V$
。刚体的拉格朗日方程可以表示为 $frac{d}{dt}left(frac{partial T}{partial dot{q}}right) - frac{partial T}{partial q} = 0$，其中 $q$ 和 $dot{q}$ 分别是刚体的 广义坐标和速度。这个方程描述了刚体在受
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程，求解系统的运动轨迹。
详细描述
哈密顿正则方程法是求解拉格朗日方程的一种常用方法。它基于哈密顿原理和正则方程，通过构建系统的哈密顿 函数，得到系统的正则方程，进而求解系统的运动轨迹。这种方法在处理多自由度系统、约束系统和非完整系统 时具有优势。
有限元方法
到外力作用下的运动规律。
相对论性粒子的拉格朗日方程分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
相对论性粒子是指具有相对论效应的粒子，其拉格朗日方 程需要考虑相对论效应的影响。
相对论性粒子的拉格朗日方程需要考虑粒子的质量和能量 之间的关系，通常表示为 $frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{q}}right) - frac{partial L}{partial q} = 0$ ，其中 $L$ 是相对论性粒子的拉格朗日函数。这个方程描 述了相对论性粒子在受到外力作用下的运动规律，需要考 虑相对论效应的影响。
在理论力学中，有限元方法可用于求解各种复杂的动力学问题和静态问题。
拉格朗日方程-刚体动力学-振动 习题课共35页文档
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。 Nhomakorabea—德国43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
力学竞赛之拉格朗日方程-PPT课件
如令
x y z i i i Q ( F F F k 1 ， 2 ， ， N ) k xi yi zi )( q q q k k k i 1
n
称为与广义坐标 q k 相对应的广义力 。
δW Q qk 0 F kδ
k 1
N
由于广义坐标的独立性
例：一单摆在空间摆动，摆长为l。
O
x
约束方程为
fx (, y ,) z x y z l
2 2 2
2
自由度数为2。
y
z
x，y为独立变量
2 2 2 zxy (, ) l x y x xxy ( , ) x y yxy ( , ) y z
, （单摆在xy面上的投影与x轴夹角）为独立变量。 xx (, ) l s i n c o s y y (, ) l s i n s i n
δ q k 可以为任一值
Q Q Q 0 1 2 N
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。
——用广义坐标表示的质点系的平衡条件
求广义力的两种方法 1.直接计算法（解析法）
x y z i i i Q ( F F F k 1 ， 2 ， ， N ) k xi yi zi )( q q q k k k i 1
z z (, ) l c o s
思考：导弹在追踪飞机的情况下，广义坐标的数目和自由度
数目的关系如何？ 描述导弹的位置： 质心的位置
xC , yC
导弹的纵轴和x 轴的夹角 独立的广义坐标数目为3 导弹的速度方向要对准飞机的质心 约束方程
yC yP yC xC xP xC
有题目——多自由度振动-拉格朗日方程
m1
m2
k3
m3
1、选定广义坐标 x1， x2， x3
2、动能和势能分别为：
1 1 1 2 2 12 m2 x 2 3 T m1 x m3 x 2 2 2 V V1 V2 V3 V4 V5 V6 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 V1 k1 x12 ,V2 k 2 x 2 x1 ,V3 k 3 x3 x 2 ,V4 k 4 x3 ,V5 k 5 x 2 ,V6 k 6 x 2 2 2 2 2 2 2
多自由度系统振动
姓 名: 何江波
学 院: 机械工程学院
邮 箱：445875183@
2016/12/18
教学内容
拉格朗日方程 多自由系统的无阻尼自由振动
2
拉格朗日方程
k5 k1
F1(t) m1 F2(t)
k6
F 3 ( t) m3
k2
m2
k3
k4
对于如图所示的三质 量系统，有6个弹簧， 三个外界激励，求系 统的动力学方程。
m1 0 0 m 2 0 0
0 x1 k1 k 2 0 x2 k 2 m3 x3 0
k 2 k 2 k3 k5 k 6 k 3
0 x1 F1 k 3 x 2 F2 k 3 k 4 x3 F3
14
谢 谢
15
( x2 , y2 )
也可选 (1 , 2 ) 作为广义坐标。
6
拉格朗日方程
拉格朗日方程（ Lagrange 方程）:
d L L Q j dt q j q j
广义坐标: q1 ,q2 ,, qk ；拉格朗日函数: L＝T-V；
传动力学第2讲_拉格朗日运动方程
mx
这相当于 mV
U x
my
U y
（还是公式3，又写一遍）
我们先来研究上式的前一表达式
mx
U 是什么玩意？原来 ，等号左边的 mx x
对时间 t 的一阶导数，而 mx 是拉函 L 对 x 的偏导数（见式6），即可得到 它是 mx mx
大名鼎鼎 的拉格朗日运 动 方程，解说在后。
d L L Qx dt x x
这个复杂的式子真够吓人的啦，有导数、又有偏导数、还有头上带点的、脚下带标的， 咋一看真的要退避三舍了。其实呀，这个式子并不难，只不过是牛顿第二定律的另一种写法 而已，或者说当拉格朗日先生学会了牛顿第二定律----力和加速度的关系----之后，又稍微
再来看看该式的右边的
) d L d (mx dt dt x
（8）
此式相当于 ma
U 是什么玩意？原来它是拉函 L 对 x 的偏导数，即公式（7） x
此式相当于 F
所示的
U L x x
（9）
把公式（8）、（9）代入公式（3），得到
-4/6-
电气传动的力学原理科普读物之二
3.拉格朗日函数
质点的运动既具有 动能 T 也具有 势能 U ，把动能和势能的差值 T U 称为 拉格朗日函数（Lagrangian），亦称拉格朗日量，用符号L表示，简称它为L。另 外牛顿系列的动能表达式是 T
1 mV 2 ，写成拉格朗日形式为 2
1 2 1 2 m 2 my x y 2 T mx 2 2 2
这说明动能是速度的函数，可以写成 同理，势能是位移的函数，写成 于是，拉格朗日函x U U ( x, y ) 。
三.试用拉格朗日方程建立弹簧振子的运动微分方程,并求出其振.
三. 试用拉格朗日方程建立弹簧振子的运动微分方程，并求出其振动周期（已知：弹簧的倔强系数为K ，物块的质量为m ）。
四. 长l 2，质量为m 的均匀棒，其上端A 靠在光滑的墙上，下端则固联一不能伸长的线BC ，线的上端固结于墙上C 点，C 点与A 点在同一垂直线上，棒与墙所成的角度为α，线与墙所成的角度为β，如果ABC 平面为与墙垂直的铅垂面。
求平衡时αβ与之间的关系。
（用刚体平衡方程求解）。
三. 解：系统自由度1=S ，取q=x,系统的动能2'21x m T = 系统的势能22
1kx V = =-=V T L 2'21x m -22
1kx 代入拉氏方程：0)(=∂∂-∂∂x l x l dt d ，得： 0''=+kx x m 0''=+
∴x m k x 令m
k w =2，则w 为弹簧振子简谐振动的圆频率。
k
m W T ππ22==∴
四. 解：αβ
cos 0(1)
0sin 0(2)0sin 2cos 0(3)()0yi xi
B i
T mg F N T F mgl N l m F ββαα⎧-==⎪-==⎨⎪-==⎩∑∑∑
)
1()2((3)N tg N mg tg mg ββ==得：。
代入式得 sin 2cos 0mgl mg tg l αβα-∙= 即：202tg tg tg tg αβαβ-=∴=。
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, k'
}
欧拉角
y'
上式两边除以t 0
k n k' z n z' 角加速度 d / dt
(t) (t)l 0 (t) l 0 l0 1 2
x
N
x'
y
节线
11
BUAA
习题课
定点运动刚体上点的速度和加速度
1、速 度：v lim r t0 t
r r
x
1 2
m2
L
cos
C
系统的什么广义动量守恒？
研究整体：
x
A vA
研究圆盘：
LrA
1 2
mAr 2A
1 2 m1rx
FAy
A
F
vCA LrA Fr
A
r
FAx
c m1g
B
Px mAx FmNmAB2vgCx
Px
m1x F
m2 (x （1）
L 2
cos
)
LrA F （2） r
F m1g
p x
M g J z'
16
BUAA
习题课
6-4：具有固定顶点O的圆锥在水平面上作纯滚动，如图所示。 圆锥高CO=18cm，顶角，∠AOB=90o。圆锥面中心C作匀速 圆周运动，每秒绕行一周。试求圆锥的角速度和角加速度，并 求圆锥底面直径AB两端点A和B的速度和加速度。
z x
圆锥绕O点作定点运动 绕铅垂轴的进动角速度ω1 绕OC轴的自转角速度ω2 圆锥的绝对角速度 ω ω ω1 ω2
BUAA
拉格朗日方程 刚体动力学 振动 习题课
BUAA
第二类拉格朗日方程的总结
对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k，
则系统的动力学方程为：
d dt
L q j
L q j
Q'j
( j 1,, k)
其中：L T V T：为系统的动能，V：为系统的势能
Q'j ：为对应于广义坐标 q j的非有势力的广义力
m2g(1 cos )
E
6
BUAA
习题课
例：机构在铅垂面内运动，均质圆盘质量m1在地面上纯滚动，均 质杆AB质量m2用光滑铰链与圆盘连接。求系统首次积分。AB=L
x
A vA
vCA
m1g c B
m2 g
解：系统的主动力均为有势力
分析系统的动能和势能
T1 2
vA
m1vA2
1 2
J
x A
2
AA
x
z
z'
LO J x'x'i'J y' y' j'J z'z'k'
dLO
dt
MO (F (e) )
J x'x' (J z' J y') y' z'
M x'
J y' y' (J x' J z')x'z'
M
y
'
J z'z' (J y' J x')x'y'
M
z
'
x'
xo
r
1 2
m2vC2
AB
1 2
J
2
C AB
vC v A vCA
T
3 4
m1x2
1 2
m2 x2
1 6
m2L2 2
1 2
m2 xL
cos
T (x, , )
V
L 2
m2g(1 cos )
拉格朗日函数L T V L(x,, ) 中不显含广义坐标x和时间t
7
BUAA
习题课
T x
3 2
m1
x
m2
LrA r
d dt
px
LrA r
0
FN
px
1 r
LrA
3 2
m1x
m2 x
1 2
m2 L
cos
C
T
V
3 4
m1x2
1 2
m2
x
2
1 6
m2
L2
2
1 2
m2
xL
cos
L 2
m2g(1 cos )8
E
BUAA
习题课
T x
m1
m2
x
1 2
m2
L
cos
C
T x
3 2
m1x
m2
x
1 2
m2
L
cos
C
（1）
汽轮机转子自转角速度 ω1
1
2n
60
1047.2(rad
/
s)
进动角速度 2(rad / s)
M R J zω1 ω 方向沿y轴负向
MR
J zω1ωsin 900
1 2
mr
2
ω1ω
2211(N
m)
动压力
FA
FB
MR l
3.63(kN)
23
BUAA
习题课
6-15：图示玩具陀螺对自转轴z的回转半径ρ=0.02m，重心C 到支点O的距离l=0.09m。假设陀螺在自转速n=1500r/min的 条件下绕铅直轴Oζ作规则进动，且角度θ=20o，试求进动角速 度。
玩具陀螺绕O点作定点运动
绕铅垂轴Oζ的进动角速度ωψ 绕OC轴的自转角速度ωφ
玩具陀螺的绝对角速度 ω ω ω ω
2 n
60
50 (rad
/ s)
M g J z 'ω ω 陀螺力矩
Mg m2 50 sin
gl
50 2
14.18(rad
/ s)
MO mgl sin
24
BUAA
习题课
当系统为保守系统时，有：
1：若系统存在循环坐标q ，则：
L q
T q
p const.
2：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则： T2 T0 V const.
2
BUAA
习题课
5-29：半径为r、质量为m的圆柱，沿半径为R、质量为m0的空 心圆柱内表面滚动而不滑动，如图所示。空心圆柱可绕自身的
水平轴O转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为mr2/2和m0R2。 试求系统的首次积分。
ω1 2 k
y
17
BUAA
习题课
z
x y
a aR aN aR r
aN ω×ω×r
rOA 18 2i rOB 18 2k
求绕OC轴的自转角速度ω2 OA为瞬轴，角速度为绝对角速度ω
vA 0
vC ω1 OC 18 2 j
vB 2vC 36 2 j
ω2
vB rBC
k= 2
2 k
角速度ω1是常量 角速度矢量ω2以角速度ω1绕AB轴旋转
α
dω2 dt
ω1 ω2
α ω1ω2 sin 45 0 0.031(rad / s 2 )
方向垂直于纸面向里
20
BUAA
习题课
6-11：图示锥齿轮的轴通过平面支座齿轮的中心，锥齿轮每分
钟在支座齿轮上滚动5次。如果支座齿轮的半径是锥齿轮半径
y
y'
其中：Ox’、Oy’、Oz’为刚体对
O点的惯量主轴（随体坐标轴）
14
BUAA习题课Fra bibliotek利用陀螺的运动特性和机构特性
a
( , J z', J x' J y' J )
a x'i'y' j'( z' )k'
LO J x'x'i' J y' y' j' J z'z'k '
Lo J x'x'i' J y'y' j' J z' (z' )k'
J ( x'i' y' j') J z' ( z' )k'
J l'l' J z' ( z' )k'
LO
J l'
dl' dt
J z' ( z'
) dk'
dt
Z’
l'
y' l' x'
O
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BUAA
习题课
LO
Jl '
dl' dt
J z' (z'
) dk'
dt
dl ' dt
l',
dk ' dt
x
A
（2）
x
A
3 2
m1
g
m1
g
m2 g
B
m1g
B
m2 g
（1）
T x
3 2
m1
m2
x
1 2
m2
L
cos
C
T
V
1 2
3 2
m1x2
1 2
m2 x2
1 6
m2L2 2
1 2
m2 xL
cos
L 2
m2g(1 cos )
E
（2）
T x
3 2
m1x
m2
x
1 2
m2
L
cos
C
T
V
3 4