拉格朗日方程-刚体动力学-振动知识题课

T x
m1 m2 x
1 2
m2
L
cos
C
习题课
系统的什么广义动量守恒？
研究整体：
x
A vA
vCA
c
m1g
B
FNm2 g
Px mA x mABvCx
m1x
m2 (x
L 2
cos
)
广义能量积分 保守系统，定常约束
T
V
1 2
m1x2
1 2
m2 x2
1 6
m2L2 2
1 2
m2 xL
cos
L 2
m2g(1 cos )
E
6
BUAA
习题课
例：机构在铅垂面内运动，均质圆盘质量m1在地面上纯滚动，均 质杆AB质量m2用光滑铰链与圆盘连接。求系统首次积分。AB=L
x
A vA
vCA
m1g c B
m2 g
解：系统的主动力均为有势力
分析系统的动能和势能
T1 2
vA
m1vA2
1 2
J
x A
2
AA
x
r
1 2
m2vC2
AB
1 2
J
2
C AB
vC v A vCA
T
3 4
m1x2
1 2
m2 x2
1 6
m2L2 2
1 2
m2 xL
cos
T (x, , )
V
L 2
m2g(1 cos )
拉格朗日函数L T V L(x,, ) 中不显含广义坐标x和时间t
7
BUAA
习题课
T x
3ห้องสมุดไป่ตู้2
m1
x
m2
的2倍，即R=2r，试求锥齿轮绕其自身轴转动的角速度ω1和绕 瞬轴的角速度ω2。
z
圆锥绕O点作定点运动
z’ 绕铅垂轴的进动角速度ωψ
绕对称轴的自转角速度ωφ
ω ω
ω
圆锥的绝对角速度 ω ω ω ω
5 2
60
1 (rad / s)
6
1
sin 30
1 (rad / s)
3
2 ctg30
玩具陀螺绕O点作定点运动
绕铅垂轴Oζ的进动角速度ωψ 绕OC轴的自转角速度ωφ
玩具陀螺的绝对角速度 ω ω ω ω
2 n
60
50 (rad
/ s)
M g J z 'ω ω 陀螺力矩
Mg m2 50 sin
gl
50 2
14.18(rad
/ s)
MO mgl sin
24
BUAA
习题课
m2 g
T
1 2
m1vA2
1 2
m2vC2
1 2
J
2
C AB
vA x AB
vC vA vCA
T
1 2
m1x2
1 2
m2 x2
1 6
m2L2 2
1 2
m2 xL
cos
T (x, , )
V
L 2
m2g(1 cos )
拉格朗日函数L T V L(x,, ) 中不显含广义坐标x和时间t
5
BUAA
BUAA
习题课
2、加速度：a
dv dt
d dt
( r)
r
v
a aR aN
aR aN v
r
o
转动加速度 aR r
向轴加速度 aN v
求定点运动刚体上某一点的 加速度的基本步骤：
角速度 l 0 速 度 v r 角加速度 l 0 l0 1 2
13
BUAA
习题课
定点运动刚体的欧拉动力学方程
x
2
1 6
m2
L2
2
1 2
m2
xL
cos
L 2
m2g(1 cos )9
E
BUAA
习题课
刚体定点运动的角速度和角加速度
l0
r
l0 角速度 lim lim l0 l 0
t0 t t0 t
瞬时转动轴： l 0
10
BUAA
习题课
用欧拉角表示的角速度
z' z
{ , ,} { , l0 k n
M g J z'
16
BUAA
习题课
6-4：具有固定顶点O的圆锥在水平面上作纯滚动，如图所示。 圆锥高CO=18cm，顶角，∠AOB=90o。圆锥面中心C作匀速 圆周运动，每秒绕行一周。试求圆锥的角速度和角加速度，并 求圆锥底面直径AB两端点A和B的速度和加速度。
z x
圆锥绕O点作定点运动 绕铅垂轴的进动角速度ω1 绕OC轴的自转角速度ω2 圆锥的绝对角速度 ω ω ω1 ω2
x
2 n
60
n
30
(rad
/ s)
ω = ω1
y
ω
ω ω α dω
dt
dn3dω0t1k11kddkt
1
n
30
sin j
22
BUAA
习题课
6-14：如图所示，汽轮机的转子可看成是均质圆盘，质量m= 22.7kg，半径r=0.305m，绕自转轴的转速n=10000r/min。两轴 承A和B间的距离l=0.61m，汽轮机绕轴x的角速度ω=2rad/s。 试求转子的陀螺力矩以及它在轴承A和B上引起的动压力。
3 6
(rad
/2s1)
BUAA
习题课
6-12：图示陀螺以匀角速度ω1绕OB轴转动，而轴OB又匀速 地画出一圆锥。如果陀螺中心轴OB的转速为n，∠BOS=θ= const，试求陀螺的角速度和角加速度。
z
z’ 圆锥绕O点作定点运动
绕铅垂轴OS的进动角速度ωψ 绕OB轴的自转角速度ωφ
陀螺的绝对角速度 ω ω ω ω
当系统为保守系统时，有：
1：若系统存在循环坐标q ，则：
L q
T q
p const.
2：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则： T2 T0 V const.
2
BUAA
习题课
5-29：半径为r、质量为m的圆柱，沿半径为R、质量为m0的空 心圆柱内表面滚动而不滑动，如图所示。空心圆柱可绕自身的
水平轴O转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为mr2/2和m0R2。 试求系统的首次积分。
3 4
m(R
r)2 2
1 2
m(R
r)R
V mg(R r) cos
1 (2m m)R2 2 3 m(R r)2 2 1 m(R r)R mg(R r) cos
4
0
4
2
不显含广义坐标θ和时间t，存在循环积分和广义能量积分
L
T
m0 R 2
1 2
mR[(R
r)
R]
p0
T
V
1 2
m0R2 2
, k'
}
欧拉角
y'
上式两边除以t 0
k n k' z n z' 角加速度 d / dt
(t) (t)l 0 (t) l 0 l0 1 2
x
N
x'
y
节线
11
BUAA
习题课
定点运动刚体上点的速度和加速度
1、速 度：v lim r t0 t
r r
6-17：图示长方形框架重180N，绕水平轴AB以角速度ω=2π rad/s转动。在框架轴承C和D上安装重120N的飞轮M的转轴， 飞轮的转速n=1800r/min。当框架在铅垂平面内时，试求轴承 C和D上的陀螺力，以及轴承A和B上的全压力。飞轮对自转轴 CD的回转半径为10cm，CD=30cm，l=30cm。
J ( x'i' y' j') J z' ( z' )k'
J l'l' J z' ( z' )k'
LO
J l'
dl' dt
J z' ( z'
) dk'
dt
Z’
l'
y' l' x'
O
15
BUAA
习题课
LO
Jl '
dl' dt
J z' (z'
) dk'
dt
dl ' dt
l',
dk ' dt
角速度ω1是常量 角速度矢量ω2以角速度ω1绕AB轴旋转
α
dω2 dt
ω1 ω2
α ω1ω2 sin 45 0 0.031(rad / s 2 )
方向垂直于纸面向里
20
BUAA
习题课
6-11：图示锥齿轮的轴通过平面支座齿轮的中心，锥齿轮每分
钟在支座齿轮上滚动5次。如果支座齿轮的半径是锥齿轮半径
圆盘绕定点B作定点运动
绕AB轴的进动角速度ω1 绕BC轴的自转角速度ω2
圆盘的绝对角速度 ω ω ω1 ω2
1
2
2 2
60
0.21(rad / s)
ω (ω1 2 cos450 )2 (2 sin 450 )2 0.39(rad / s)
19
BUAA
习题课
α dω dω1 dω2 dω2 dt dt dt dt
x
A
（2）
x
A
3 2
m1
g
m1
g
m2 g
B
m1g
B
m2 g
（1）
T x
3 2
m1
m2
x
1 2
m2
L
cos
C
T
V
1 2
3 2
m1x2
1 2
m2 x2
1 6
m2L2 2
1 2
m2 xL
cos
L 2
m2g(1 cos )
E
（2）
T x
3 2
m1x
m2
x
1 2
m2
L
cos
C
T
V
3 4
m1x2
1 2
m2
BUAA
拉格朗日方程 刚体动力学 振动 习题课
BUAA
第二类拉格朗日方程的总结
对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k，
则系统的动力学方程为：
d dt
L q j
L q j
Q'j
( j 1,, k)
其中：L T V T：为系统的动能，V：为系统的势能
Q'j ：为对应于广义坐标 q j的非有势力的广义力
v lim r lim r r t0 t t0 t
r
r
问题：在某瞬时刚体上哪些点的速度为零？
•瞬时转动轴(instant axis of rotation)： 在某瞬时，刚体上存在一根通过定点O的轴，在该轴
上各点的速度均为零，该轴称为瞬时转轴。
问题：如何确定定点运动刚体的瞬时转动轴？
12
汽轮机转子自转角速度 ω1
1
2n
60
1047.2(rad
/
s)
进动角速度 2(rad / s)
M R J zω1 ω 方向沿y轴负向
MR
J zω1ωsin 900
1 2
mr
2
ω1ω
2211(N
m)
动压力
FA
FB
MR l
3.63(kN)
23
BUAA
习题课
6-15：图示玩具陀螺对自转轴z的回转半径ρ=0.02m，重心C 到支点O的距离l=0.09m。假设陀螺在自转速n=1500r/min的 条件下绕铅直轴Oζ作规则进动，且角度θ=20o，试求进动角速 度。
LrA r
d dt
px
LrA r
0
FN
px
1 r
LrA
3 2
m1x
m2 x
1 2
m2 L
cos
C
T
V
3 4
m1x2
1 2
m2
x
2
1 6
m2
L2
2
1 2
m2
xL
cos
L 2
m2g(1 cos )8
E
BUAA
习题课
T x
m1
m2
x
1 2
m2
L
cos
C
T x
3 2
m1x
m2
x
1 2
m2
L
cos
C
（1）
y
y'
其中：Ox’、Oy’、Oz’为刚体对
O点的惯量主轴（随体坐标轴）
14
BUAA
习题课
利用陀螺的运动特性和机构特性
a
( , J z', J x' J y' J )
a x'i'y' j'( z' )k'
LO J x'x'i' J y' y' j' J z'z'k '
Lo J x'x'i' J y'y' j' J z' (z' )k'
z
z'
LO J x'x'i'J y' y' j'J z'z'k'
dLO
dt
MO (F (e) )
J x'x' (J z' J y') y' z'
M x'
J y' y' (J x' J z')x'z'
M
y
'
J z'z' (J y' J x')x'y'
M
z
'
x'
xo
x
1 2
m2
L
cos
C
系统的什么广义动量守恒？
研究整体：
x
A vA
研究圆盘：
LrA
1 2
mAr 2A
1 2 m1rx
FAy
A
F
vCA LrA Fr
A
r
FAx
c m1g
B
Px mAx FmNmAB2vgCx
Px
m1x F
m2 (x （1）
L 2
cos
)
LrA F （2） r
F m1g
p x
1 4
m[(R
r)
R ]2
1 2
m(R
r)22
mg(R
r ) cos
E4 0
BUAA
习题课
例：图示机构在铅垂面内运动，滑块质量m1、均质杆质量m2，地 面光滑，杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统的首次积分。AB=L
x
A vA
解：系统的主动力均为有势力 分析系统的动能和势能
vCA
m1g c B
k'
LO J l' J z' ( z' )
LO J l' J z' z' J z'
Z’
J z'
陀螺近似理论公式：
MO
dLO dt
MO J z'
其中：
l'
MO是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和，
O点既可以是惯性参考系中的固定点，也可以是刚体的质心。
陀螺力矩：
ω ω1 ω2 2k 2 2k
α dω 2 2 dk 4 j
dt
dt
aA 4 2 j
18
2i
2i 2i
18
2i
72
2 2k
aB 4 2 j 18
2k
2i 2i 18
2k
72
2 2i 72
2 2k
18
BUAA
习题课
6-10：正方形框架每分钟绕固定轴AB转2周，圆盘又相对于框 架每分钟绕对角线上的轴BC转2周，如图所示。试求圆盘的 绝对角速度和角加速度。
ω1 2 k
y
17
BUAA
习题课
z
x y
a aR aN aR r
aN ω×ω×r
rOA 18 2i rOB 18 2k
求绕OC轴的自转角速度ω2 OA为瞬轴，角速度为绝对角速度ω
vA 0
vC ω1 OC 18 2 j
vB 2vC 36 2 j
ω2
vB rBC
k= 2
2 k
问题： •系统有几个自由度？ •如何选取广义坐标？ •系统的Lagrange函数？
系统有二个自由度，取 , 为
广义坐标。
3
BUAA
习题课
L T V
T
1 2
m0 R 22
1 2
mvO21
1 2
(1 2
mr 2 ) 2
vO1 (R r)
1 [(R r) R]
r
T
1 4
(2m0
m) R 2 2