2005年考研数学一真题解析

2005年考研数学一真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为.4

1

21-=x y

【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.

【详解】因为a=21

2lim )(lim

22=+=∞→∞→x x x x x f x x ， []4

1

)12(2lim

)(lim -=+-=-=∞→∞

→x x ax x f b x x ，

于是所求斜渐近线方程为.4

1

21-=

x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9

1

)1(-=y 的解为.9

1ln 31x x x y -=

. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：

⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dx

x P dx x P ，

再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】原方程等价为

x y x

y ln 2

=+

'， 于是通解为⎰⎰+⋅=

+⎰⋅⎰=-

]ln [1]ln [2

22

2

C xdx x x

C dx e

x e

y dx

x dx

x =

21

91ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.9

1

ln 31x x x y -=

（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{3

1

=n ，则)

3,2,1(n

u

∂∂=

3

3. 【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n

}的方向导数为：

γβαcos cos cos z

u y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 因此，本题直接用上述公式即可.

【详解】因为

3x x u =∂∂，6y y u =∂∂，9

z

z u =∂∂，于是所求方向导数为

)

3,2,1(n

u ∂∂=

.3

3313131313131=⋅+⋅+⋅ （4）设Ω是由锥面22y x z +=

与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是

Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑

=++zdxdy ydzdx xdydz 3

)2

21(2R -

π. 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.

【详解】

⎰⎰∑

=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ω

dxdydz 3

=.)2

21(2sin 3

320

40

2

R d d d R

⎰⎰

⎰-

=π

π

πθϕϕρρ （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵

),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，

如果1=A ，那么=B 2 .

【分析】将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.

【详解】由题设，有

)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B

=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有.2219

4132

11

11=⨯=⋅=A B

（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y,则

}2{=Y P =

48

13. 【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.

【详解】}2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =

.48

13)4131210(41=+++⨯ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）设函数n n

n x

x f 31lim )(+=∞

→，则f(x)在),(+∞-∞内

(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.

(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C] 【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】当1

→n n

n x

x f ；

当1=x 时，111lim )(=+=∞

→n n x f ；

当1>x 时，.)11(

lim )(3

133

x x

x x f n

n

n =+=∞

→

即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩

⎪

⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示

“M 的充分必要条件是N ”，则必有

(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ）F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.

(C)F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. (D)F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数.[A]

【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.

【详解】方法一：任一原函数可表示为⎰+=x

C dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='

当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即)()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰

x

dt t f 0

)(为偶函

数，从而⎰

+=

x

C dt t f x F 0

)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.