交流电的相量表示法
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正弦交流电的相量表示法
之一，广泛应用于交流电的分析、设计和控制中。
02
正弦交流电的基础知识
正弦交流电的定义
总结词
正弦交流电是指电压和电流随时间按 正弦规律变化的电能。
详细描述
正弦交流电是现代电力系统中最常用 的电能形式，其电压和电流的大小和 方向随时间变化，且变化规律呈正弦 波形。
正弦交流电的特性
总结词
正弦交流电具有周期性、频率、幅值、相位等特性。
THANKS
性等特性。
相量表示法在交流电机、电力系 统、通信和控制等领域有广泛应 用，是现代电力电子和通信技术
中不可或缺的工具。
04
相量表示法与正弦交流电的 关系
相量与正弦交流电的对应关系
相量是复数，其实部表示正弦交流电 的幅度，虚部表示正弦交流电的相位 。
相量长度（模）表示正弦交流电的有 效值或最大值，相量的角度表示正弦 交流电的相位。
02
相量运算能够简化正弦交流电的分析过程，使得复 杂的三角函数运算转化为简单的复数运算。
03
相量运算在交流电路的分析、设计与控制中有广泛 应用。
相量在电路分析中的应用
在交流电路分析中，相量表示法 能够将时域的三角函数形式转换 为复数形式，便于计算和分析。
通过相量图和相量运算，可以分 析交流电路的阻抗、功率和稳定
复数几何意义
复数在平面坐标系中可以用点或 向量表示，实部为x轴坐标，虚部 为y轴坐标。
阻抗和导纳
阻抗定义
阻抗是电路中阻碍电流流动的量，表示为复数 形式Z=R+jX，其中R是电阻，X是电抗。
导纳定义
导纳是类似于阻抗的量，表示为复数形式Y=G+jB， 其中G是电导，B是电纳。
阻抗和导纳的关系
交流电的向量表示法
2j
U a jb
U(cos j sin) 代数式
U e j
指数式
U
极坐标形式
HOME
10
设a、b为正实数
U a jb U e j U a jb U e j
在第一象限 在第二象限
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
U a jb U e j U a jb U e j
在第三象限 在第四象限
在三、四象限，一般取值：0° -180 °
HOME
11
U2 j
U1
2=120°
1=60° +1
3= -120°
U3
HOME
12
例 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如：
U 3 j4
U 3 j4 U 3 j4
U 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1)
2
相量的书写方式
最大值
Um 或 U
有效值
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号：Um I m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
UI
3.
相量符号U、I
包含幅度与相位信息。
HOME
3
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
i1 100 2 sin(6280t 60) A
i2 10 2 sin(6280t 30) A
HOME
18
小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im
t
T
u Um sin t
U
I
复数 符号法
U a jbUej U
交流电的三种表示方法
同期工作原理
一、同期的概念：两个系统之间的电压，频率，相序，
相角相等时,称为同期。
把发电机并入电网时，必须对发电
机并网前的电压进行控制，只有满足同期条件后才能同期
并列，而用来同期并网的装置叫做同期装置。
二、同期原理
1、交流电的产生
二、交流电的三种表示方法
1、数学式表达方法
U=U m sin（ωt+ψi）
2、波形表示法
3、相位表示法
三、交流电的三要素：电压幅值、频率、初相位角
U
U1 △U
0 U2
U
U
U1
△U
U2
0 T
T
T
电压频率不一样
我公司二期同期整定值：允许频差0.15HZ；允许压差5%U n；初相角20度以内。
四、同期操作票：先调电压，再调频率，初相位不用调，提前合闸时间发出合闸脉冲。
五、同期过程（视频）
1、相量旋转原理：假设系统3000转/分，发电机3006转/分，1÷50×X=1÷50.1×（X+1）得X=500转500×0.02=10秒
2、同期装置和同期表的区别
六、同期二次图（图纸）
八、开关的合闸/跳闸回路（图纸）
1、同期合闸
2、NCS合闸
九、同期事故（内蒙古通辽电厂和湖北襄樊电厂和贵州鸭溪电厂）发电机中性点断线分析：（图纸）
课堂习题：
1、同期三要素？
2、5012开关合闸先后经过了哪些设备？。
三相电压的相量表示
三相电压的相量表示是将时间上连续变化的三相正弦交流电压以复数形式表达，这种方法可以直观地描述各相电压在幅值、频率以及相位上的关系。
在电力系统分析中，通常采用极坐标或直角坐标（也称作笛卡尔坐标）来表示。
极坐标表示：
对于星形连接（Y接法）的三相电源或负载，其相电压相对于同一基准（例如A相）的相量表示为：
- A相：UA = V∠0°
- B相：UB = V∠-120°
- C相：UC = V∠120°
这里的V代表每相的有效电压幅值，角度表示的是相对于A 相的相位差，按照逆时针方向，B相滞后A相120度，C相超前A相120度。
直角坐标表示：
在静止对称坐标系（如αβγ坐标系或dq0坐标系）中，也可以转换成直角坐标形式表示，但此处不涉及具体的坐标变换过程。
对于三角形连接（Δ接法）的三相电压，线电压与相电压之间的关系如下：
- 线电压UAB = UA - UB = 380∠30° (假设有效线电压为380V)
- 线电压UBC = UB - UC = 380∠-90°
- 线电压UCA = UC - UA = 380∠150°
相量图中，三个电压相量按照120度均匀分布，且同时绕着同一个轴以相同的角速度逆时针旋转，这个角速度对应的就是系统的角频率ω（对于50Hz的交流电，ω=2π×50 rad/s）。
通过相量图和相量计算，能够简化复杂电路的分析和计算。
电工技术：正弦交流电的相量表示法
同频率正弦量的相量运算：知识点小结
两个同频率的正弦交流电相加（减）： 方法一：都化成相量，变为复数的相加（减） 方法二：相量图法（平行四边形或首尾相接法）
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如
i
-Im
O
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin ( t 1 )
实际应用更多的是有效值形式的相量表示！
一、正弦量的相量表示法
2.注意事项 （1）表示正弦量的复数称相量
（2）相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
u U m sin ( ω t ψ) ＝
（3）一个正弦量与一个复数是一一对应的关系。 （4）只有正弦周期量才能用相量表示，相量不能表示非正弦周期量。
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U
ψ
正弦交流电的相量运算
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
同频率的两个正弦量相位差为一些 特殊角时，用相量图中的几何关系 很方便求相量和、相量差。 例:题3： 已知 解：
正弦交流电路的相量表示法
03
相量表示法的应用
相量与复数的关联
01
相量是复数的一种表示形式，其 实部表示电压或电流的有效值， 虚部表示其相位角。
02
通过复数运算，可以方便地计算 正弦交流电路中的电压、电流和 阻抗等参数。
相量在电路分析中的应用
利用相量图，可以直观地分析正弦交 流电路中的电压、电流和阻抗之间的 关系。
通过相量法，可以简化正弦交流电路 的计算过程，提高计算效率和精度。
02
正弦交流电路的基本概念
正弦交流电的产生
交流发电机
通过机械能转换为交流电，发电 机转子旋转产生磁场，定子切割 磁力线产生感应电动势，从而产 生正弦交流电。
交流调压器
通过改变磁通量或改变匝数来调 节输出电压，从而产生正弦交流 电。
正弦交流电的特性
01
02
03
周期性
正弦交流电的电压、电流 等参数随时间按正弦规律 变化，具有周期性。
通过相量图，可以直观地理解电路的相位 关系和阻抗的性质。
03
02
简化了正弦交流电路的分析过程，使得计算 变得直观和方便。
04
局限性
相量法仅适用于线性时不变系统，对于非 线性或时变系统，相量法不再适用。
05
06
对于多频输入信号，相量法可能无法准确 描述信号的频谱特性。
未来研究方向
01
深入研究非线性电路和时变系统的相量表示法，以扩展相量法 的应用范围。
VS
电动机的启动和制动
利用相量法，可以研究电动机的启动和制 动过程，为电动机的控制提供理论支持。
滤波器问题
滤波器的频率响应
通过相量法，可以分析滤波器的频率响应特 性，从而设计出符合要求的滤波器。
正弦交流电路的相量表示法
220
23
3
220 [cos( ) j sin( )] (110 j 190 .5)V
3
3
I
100 / 6
/3
220
U
u 正弦量
对应
相量图 U
t
例4
已知： u1(t) 100sin(314t 48)V ，
u2 (t) 50sin(314t 45)V
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
2、相量式的书写方式：
模用最大值表示 ，则用符号：Um 、Im、E. m 模用有效值表示，则用符号： U 、I、E.
3注.3 意正弦：量在的实相量际表应示用法 中，模更多采用有效值表示
U I
注 意：
1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的
复数称为相量，并在大写字母上打“.”表示。
设正弦量 u Umsin(ωt ψ)
相量表示:
U Uejψ Uψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
或
Um Umejψ Umψ
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
U• 220 45？
4 2 sin (ω t 30 ) ？
2
有效值
j45
瞬时值
4.已知：
U m 220 ？ e45
U 100 15V
2.已知：I 1060A
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
U 100V ？负号 ？ U 100 ej15 V
+j
b
A
正弦交流电的相量表示法(2)
电工基础
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r
0
1
r a 2 b2
复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r
0
1
r a 2 b2
复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1
15、正弦交流电的相量表示法cos
思考：
i1 i3
i2
i1(t) = 4 cos(t+00 ) A i2(t) = 3 cos(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式 利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式 时数： 2 学时 要求：会用相量图和复数表示正弦交流电， 并能运用相量进行两个正弦量的四则 运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫 定律相量形式及欧姆定律相量形式的 内容。
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 )
o o
3 cos 53 j 3 sin 53
o
o
u3 5 2 cos t V
3 0 .6 j 3 0 .8
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 cos t A
例2
i1
i3
相 量 图 法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
)A 2 cos(t + 37°
2 cos(t – 53°)A
+j
I 1 4 37
I1
I 2 3 53
0 I 3 5 0
0
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 3.2 j 2.4 I1
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 5
i1 i3
i2
i1(t) = 4 cos(t+00 ) A i2(t) = 3 cos(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式 利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式 时数： 2 学时 要求：会用相量图和复数表示正弦交流电， 并能运用相量进行两个正弦量的四则 运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫 定律相量形式及欧姆定律相量形式的 内容。
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 )
o o
3 cos 53 j 3 sin 53
o
o
u3 5 2 cos t V
3 0 .6 j 3 0 .8
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 cos t A
例2
i1
i3
相 量 图 法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
)A 2 cos(t + 37°
2 cos(t – 53°)A
+j
I 1 4 37
I1
I 2 3 53
0 I 3 5 0
0
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 3.2 j 2.4 I1
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 5
电工技术：正弦交流电的相量表示法(2)
平行四边形，对角线就是相量和。
+j
例:题2： 已知
U
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V
求：
U 2
U 1
41.9
60
u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
30
+1
Hale Waihona Puke 同频率正弦量的相量运算同频率正弦量的相量运算：知识点小结
两个同频率的正弦交流电相加（减）： 方法一：都化成相量，变为复数的相加（减） 方法二：相量图法（平行四边形或首尾相接法）
正弦交流电的相量运算
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
方法一：同频率的正弦量相加减运 算，变成对应的相量相加减运算。 例:题2： 已知 求：
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
求：
U 2 U 1
+1
u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) u (t ) u1 (t )-u 2 (t )
首尾相接法 根据几何关系求得相加后的电压有效值和初相角：
平行四边形法
+1
U 10 53 o V u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) 10 2sin(314t 53o ) V
U
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 ) V
求：
U 2
60
U 1
+j
例:题2： 已知
U
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V
求：
U 2
U 1
41.9
60
u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
30
+1
Hale Waihona Puke 同频率正弦量的相量运算同频率正弦量的相量运算：知识点小结
两个同频率的正弦交流电相加（减）： 方法一：都化成相量，变为复数的相加（减） 方法二：相量图法（平行四边形或首尾相接法）
正弦交流电的相量运算
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
方法一：同频率的正弦量相加减运 算，变成对应的相量相加减运算。 例:题2： 已知 求：
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
求：
U 2 U 1
+1
u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) u (t ) u1 (t )-u 2 (t )
首尾相接法 根据几何关系求得相加后的电压有效值和初相角：
平行四边形法
+1
U 10 53 o V u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) 10 2sin(314t 53o ) V
U
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 ) V
求：
U 2
60
U 1
电工学(劳动版)教案：3.2正弦交流电的相量图表示法
电工学（劳动版）教案
第三章单相交流电
§3-2 正弦交流电的相量图表示法
一、表示正弦交流电的方法
1、解析式。
例如u=U m sin（ωt+θu）
2、波形图。
例如图所示:
3、相量图。
例如图所示:
二、相量图(矢量图)
1、旋转矢量与波形图的关系
2、应用相量图时注意以下几点
①同一相量图中，各正弦交流电的频率应相同。
②同一相量图中，相同单位的相量应按相同比例画出。
③一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆时针转动的角
度为正，反之为负。
④用相量表示正弦交流电后，它们的加、减运算可按平行四边形
法则进行。
3、举例
试画出u1=3√2sin(314+30°)V和u2=4√2sin(314-60°)V的相量图，并用向量图表示u1+u2
课堂练习：作出下列交流电的相量图
i= 3sin(314t-45°)A ； e= 4sin(314t+60°)V
课本P83第7、8题。
§3-2 交流电的三种表示法
交流电的三种表示法讲授课
模具06-07 08-09
1、掌握交流电的三种表示法
重点：交流电的三种表示法
难点：交流电的三种表示法
措施：以理论的讲解、例题的演算说明
《电工学教学参考书》
习题册P 20-35
§3-2 交流电的三种表示法
一、解析法：指正弦交流电的电动势、电压和电流的瞬时值表达式。
)t (
E m s i n e φω+= )t (
U m s i n u φω+= )t (
I m s i n i φω+= 二、波形图：指与解析式相对应的正弦曲线。
在平面直角坐标系中，以横坐标表
示电角度ωt 或时间t ，纵坐标表示正弦
量的瞬时值，作出e 、u 、i 波形图的方
法。
三、相量图表示法：
1、含义：用一个在直角坐标系中绕原点旋转的矢量来表示正弦交流电的方法。
表示正弦交流电的这一矢量称为相量。
2、表示：最大值：Em 、Um 、Im 有效值：E 、U 、I
四、相量图的加减运算：平行四边形法则。
五、讲解P47例3-2。
电工技术：正弦交流电的相量表示法(1)
I 560 A
I
60
U
30
只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，可不画坐标轴。
二、相量图
例题1: 将 u1、u2 用相量表示,并画出相 量图。
解:
(1) 相量式
220 20V U 1
110 45 V U 2
u1 220 2 sin(ω t 20 ) V
一、正弦量的相量表示法：正误判断
1.已知：
u 220 sin(ω t 45)V
3.已知：
4 e j30 A I
• 220 U 45 V 2 有效值
？
4 2 sin (ω t 30 )A
瞬时值形式
？
复数形式
j45
220 e45 V U m
2.已知：
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如i源自 -ImO
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin(t 1 )
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U
交流电的相量表示法
幅度用最大值表示 ，则用符号：Um I m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
UI
3.
相量符号U、I
包含幅度与相位信息。
HOME
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 2U1 sin t 1 u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
HOME
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 A I 2 10 e j 30 A
求： i1、i2
解：
2
f
2 1000 6280
rad s
i1 100 2 sin(6280t 60 ) A
1. 复数加 、减运算
设： U 1 a1 jb1 U 2 a 2 jb 2
则：
U U1±U2 (a1±a2 ) j(b1±b2 )
Ue j
U
HOME
2. 复数乘、除法运算
设： A 1 A 1e j 1
A
2
A
e j 2
2
乘法： A A 1 A 2
U 3 j4
U 3 j4 U 3 j4
U 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1 )
u 5 2 sin( t 53 1 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
HOME
3.2.3相量的运算
代数型 三角函数型
指数型 极坐标型
HOME
3.2.2相量与复数
将相量 U 放到复平面上，可如下表示：
交流电的相量表示法
a
U a jb U cos jU sin
j
bU
a
U
欧 拉
cos e j e j
2
公
+1 式
sin e j e j
2j
U a jb
U(cos j sin) 代数式
U e j
指数式
U
极坐标形式
设a、b为正实数
U a jb U e j U a jb U e j
i2 10 2 sin(6280t 30) A
HOME
小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im
t
T
u Um sin t
U
I
复数 符号法
U a jbUej U
幅度用最大值表示 ，则用符号：Um I m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
UI
3. 相量符号U、I 包含幅度与相位信息。
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 2U1 sin t 1
U2
u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
可将复数A表示成代数型、三角函数型、指 数型和极坐标型4种形式。
A a1 ja2 a cos ja sin ae j a
代数型 三角函数型 指数型 极坐标型
相量与复数
将相量 U 放到复平面上，可如下表示：
j
a、b分别为U在实轴
U
和虚轴上的投影
bU
a
U a2 b2
+1
tg 1 b
交流电的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
在纵轴上的投影值来表示。
正弦交流电的相量图表示法
在计算u1+u2的值时可以采用平行四边 形法则。
将相同频率的几个正弦量的相量画在ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ同一个图中，可以采用平行四边形法则来 进行它们的加减运算。
用相量图表示法求解：
u1=6 2 sin(314t+0°）V
u2=6 2 sin(314t+90°）V
求u1+u2=？
解： · U2
1.先做出OX坐标轴。
·
练一练：
问下图能否做加、减运算？ （1）u1=6sin(314t+0°）V
u2=8sin(628t+90°）V
（2）i1=5sin(314t+30°）A e1=5sin(100πt-60°）V
作业
已知u1=3sin(314t+30°）V u2=4sin(314t+30°）V
求：u1+u2与u1-u2的值
点点儿
O
X
相量图表示法：
（1）做OX轴 （2）方向：初相位
大小：取有向线段，长度对应有效值
分组任务（二）
请每个组的同学找到对应题目画出它们的相量图
一组：e=3 2 sin(314t+30°） V 二组：i=4 2 sin(414t+45°）A 三组：u=5 2 sin(314t-60°）V 四组：u=10 2 sin(314t+90°）V
§ 3-2正弦交流电的相量图表示法
一、复习回顾
1.瞬时表达式是什么？（电压、电流和电动势） 2.正弦交流电的三要素是什么？ 3.平行四边形的特点是什么？ 4.0°、30°、45°、60°、90°三角函数正弦值
是多少？
正弦电量知的识相链量接表示方法
讨论：正弦交流电的表示方法有哪几种？
交流电的相量表示法
A1 A2
e j (1 2 )
除法： A 1 A 1 e j 1 2
A2 A2
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说明：
设：任一相量 A
则：A e ±j 90 ( ± j ) A
e j90 cos90 j sin 90 j
± j称为90°旋转因子 乘以+j使相量逆时针转90° 乘以-j使相量顺时针转90°
1. 复数加 、减运算
设： U 1 a1 jb1 U 2 a 2 jb 2
则：
U U1±U2 (a1±a2 ) j(b1±b2 )
Ue j
U
HOME
2. 复数乘、除法运算
设： A 1 A 1e j 1
A
2
A
e j 2
2
乘法： A A 1 A 2
该有向线段与实轴正方向的夹角称为复aejasincos代数型三角函数型指数型极坐标型可将复数a表示成代数型三角函数型指数型和极坐标型4种形式
3.2 交流电的相量表示法
3.2.1 复数的几种表示形式 3.2.2 相量与复数 3.2.3 相量的运算
3.2 交流电的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
U 3 j4
U 3 j4 U 3 j4
U 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1 )
u 5 2 sin( t 53 1 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
HOME
3.2.3相量的运算
2
1
U1
U U1 U2
HOME
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
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O
A a
θ
a1 +1
HOME
复数A的实部a1及虚部a2与 +j
模a及辐角θ的关系为：
a1 a sin
a2 a cos
a2 a
θ
A
a a12 a22
arctg a2
a1
O
a1 +1
根据以上关系式及欧拉公式 e j cos j sin
可将复数A表示成代数型、三角函数型、指 数型和极坐标型4种形式。
u1 2U1sint 1
u2 2U2 sint 2 u= u1 +u2 = 2U sint
U 同频率正弦波的
U2
相量画在一起，
构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
HOME
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 2U1 sin t 1 u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
相位： 2 1
U2 领先于 U1
U2
2
1
U1
相位哪一个领先？ 哪一个落后？
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例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则
HOME
j
bU
a
U
欧 拉
cos e j e j
2
公
+1 式
sin e j e j
2j
U a jb
U(cos j sin) 代数式
U e j
指数式
U
极坐标形式
HOME
设a、b为正实数
U a jb U e j U a jb U e j
A 1 A 2
A1 A2
e j (1 2 )
除法： A 1 A 1 e j 1 2
A2 A2
HOME
说明：
设：任一相量 A
则：A e ±j 90 o ( ± j ) A
e j90 cos90 j sin 90 j
3.2 交流电的相量表示法
3.2.1 复数的几种表示形式 3.2.2 相量与复数 3.2.3 相量的运算
3.2 交流电的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
ω
Um
t
矢量长度 = U m
矢量与横轴夹角 = 初相位
u 5 2 sin( t 126 9)
HOME
3.2.3相量的运算
1. 复数加 、减运算
设： U 1 a1 jb1 U 2 a 2 jb 2
则：
U U1±U2 (a1±a2 ) j(b1±b2 )
Ue j
U
HOME
2. 复数乘、除法运算
设： A 1 A 1e j 1
rad s
i1 100 2 sin(6280t 60) A
i2 10 2 sin(6280t 30) A
HOME
小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im
t
T
u Um sin t
U
I
复数 符号法
U a jbUej U
HOME
U 311.1 60 o 220 60 o110 j 190.5 V 2
HOME
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 o A I 2 10 e j30 o A
求： i1、i2
解：
2
f
2 1000 6280
A a1 ja2 a cos ja sin ae j a
代数型 三角函数型
指数型 极坐标型
HOME
3.2.2相量与复数
将相量 U 放到复平面上，可如下表示：
j
a、b分别为U在实轴
U
和虚轴上的投影
bU
a
U a2 b2
+1
tg 1 b
a
U a jb U cos jU sin
± j称为90°旋转因子 乘以+j使相量逆时针转90° 乘以-j使相量顺时针转90°
HOME
复数符号法应用举例
例1: 已知瞬时值，求相量。
已知: 解：
i 141.4sin314t A
6
u 311.1sin314t V
3
求：
i 、u 的相量
I 141.4 30o 10030o 86.6 j50 A 2
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋H转OME
相量的书写方式
最大值
Um 或 U
有效值
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号：Um I m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
UI
3.
相量符号U、I
包含幅度与相位信息。
HOME
正弦量的相量表示法举例
在第一象限 在第二象限
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
U a jb U e j U a jb U e j
在第三象限 在第四象限
在三、四象限，一般取值：0° -180 °
HOME
U2 j
U1
2=120°
1=60° +1
不同频率不行。
新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入相量的复数运算法。
相量
复数表示法
复数运算
HOME
3.2.1 复数的几种表示形式
相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。
复数A可用复平面上的有向线段来 +j
表示。该有向线段的长度a称为复 a2 数A的模，模总是取正值。该有向
线段与实轴正方向的夹角θ称为复 数A的辐角。
3= -120°
U3
HOME
例 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如：
U 3 j4
U 3 j4 U 3 j4
U 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1)
u 5 2 sin( t 53 1)
u 5 2 sin( t 126 9)