交流电的相量表示法

在第一象限 在第二象限
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
U a jb U e j U a jb U e j
在第三象限 在第四象限
在三、四象限，一般取值：0° -180 °
HOME
U2 j
U1
2=120°
1=60° +1
HOME
j
bU

a
U
欧 拉
cos e j e j
2
公
+1 式
sin e j e j
2j
U a jb
U(cos j sin) 代数式
U e j
指数式
U
极坐标形式
HOME
设a、b为正实数
U a jb U e j U a jb U e j
O
A a
θ
a1 +1
HOME
复数A的实部a1及虚部a2与 +j
模a及辐角θ的关系为：
a1 a sin
a2 a cos
a2 a
θ
A
a a12 a22
arctg a2
a1
O
a1 +1
根据以上关系式及欧拉公式 e j cos j sin
可将复数A表示成代数型、三角函数型、指 数型和极坐标型4种形式。
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 2U1 sin t 1 u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
相位： 2 1
U2 领先于 U1
U2
2
1
U1
相位哪一个领先？ 哪一个落后？
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例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则
u1 2U1sint 1
u2 2U2 sint 2 u= u1 +u2 = 2U sint
U 同频率正弦波的
U2
相量画在一起，
构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
HOME
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
± j称为90°旋转因子 乘以+j使相量逆时针转90° 乘以-j使相量顺时针转90°
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复数符号法应用举例
例1: 已知瞬时值，求相量。
已知: 解：
i 141.4sin314t A

6
u 311.1sin314t V

3
求：
i 、u 的相量
I 141.4 30o 10030o 86.6 j50 A 2
3= -120°
U3
HOME
例 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如：
U 3 j4
U 3 j4 U 3 j4
U 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1)
u 5 2 sin( t 53 1)
u 5 2 sin( t 126 9)
u 5 2 sin( t 126 9)
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3.2.3相量的运算
1. 复数加 、减运算
设： U 1 a1 jb1 U 2 a 2 jb 2
则：
U U1±U2 (a1±a2 ) j(b1±b2 )
Ue j
U
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2. 复数乘、除法运算
设： A 1 A 1e j 1
A
2
A
e j 2
2
乘法： A A 1 A 2
A1 A2
e j (1 2 )
除法： A 1 A 1 e j 1 2
A2 A2
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说明：
设：任一相量 A
则：A e ±j 90 o ( ± j ) A
e j90 cos90 j sin 90 j
U 311.1 60 o 220 60 o110 j 190.5 V 2
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例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 o A I 2 10 e j30 o A
求： i1、i2
解：
2
f
2 1000 6280
rad s
i1 100 2 sin(6280t 60) A
i2 10 2 sin(6280t 30) A
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小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im

t
T
u Um sin t
U
I
复数 符号法
U a jbUej U
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3.2 交流电的相量表示法
3.2.1 复数的几种表示形式 3.2.2 相量与复数 3.2.3 相量的运算
3.2 交流电的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
ω
Um
t

矢量长度 = U m
矢量与横轴夹角 = 初相位
A a1 ja2 a cos ja sin ae j a
代数型 三角函数型
指数型 极坐标型
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3.2.2相量与复数
将相量 U 放到复平面上，可如下表示：
j
a、b分别为U在实轴
U
和虚轴上的投影
bU

a
U a2 b2
+1
tg 1 b
a
U a jb U cos jU sin
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋H转OME
相量的书写方式
最大值
Um 或 U

有效值
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号：Um I m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
UI
3.
相量符号U、I
包含幅度与相位信息。
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正弦量的相量表示法举例
不同频率不行。
新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入相量的复数运算法。
相量
复数表示法
复数运算
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3.2.1 复数的几种表示形式
相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。
复数A可用复平面上的有向线段来 +j
表示。该有向线段的长度a称为复 a2 数A的模，模总是取正值。该有向
线段与实轴正方向的夹角θ称为复 数A的辐角。