中学代数研究模拟试题和答案

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初中数学代数专题复习(答案)

初中数学代数专题复习(答案)
1. 代数基础知识
- 数的分类：自然数、整数、有理数、无理数、实数、复数
- 数及运算：加、减、乘、除、乘方、开方、分数、比例、百分数、整式、分式
- 代数式的概念及基本性质：代数式、同类项、合并同类项、系数、常数项、单项式、多项式
2. 一元一次方程式
- 方程式及解的概念：方程式、解、未知量
- 一元一次方程式的解法：加减消元法、倍数消元法、公式法
3. 一元一次不等式
- 不等式及解的概念：不等式、解、解集
- 一元一次不等式的解法：加减法、倍数法、分式法、倒数法
4. 一元二次方程式
- 一元二次方程式的概念及一般式
- 一元二次方程式的解法：配方法、公式法、完全平方公式
5. 一元二次不等式
- 一元二次不等式的概念及解法
6. 笛卡尔坐标系
- 直角坐标系的概念、性质、坐标表示
- 解直线方程：解析法、斜率公式、截距公式
- 解圆方程：标准式、一般式
7. 实数集合及数轴
- 实数的分类及性质
- 数轴的绘制及应用
8. 几何初步
- 等腰三角形、等边三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形的定义及判定
- 余弦定理、正弦定理、勾股定理
9. 附加题及答案
以上是初中数学代数专题的复习材料及答案，希望能帮助大家顺利完成复习，获得优异成绩。

中学代数研究模拟试题和答案

20 —20 学年上《初等代数研究》期末试卷Ｂ答案及评分标准一、填空题（本大题共8题，每空3分，共24分）1、2780；2、43x +；3、1；4、(,10)1b =；5、4；6、12； 7、9m ≥； 8、21x -二、判断题（本大题共 5题，每小题2分，共10分）1、╳；2、√；3、╳；4、╳；5、√.三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，本大题共 5题，每小题 2 分，共 10 分）1、Ｄ；2、Ｃ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｂ.四、解答题（本大题共 7 题，第1－5小题每题 6分，第6、7小题每题7分，共 44 分） 1、解：设()()2f x g x =-，则有(0)18,(1)(2)(3)0f f f f =-=== ―――――――――――――――――2分根据多项式关于它的根的分解式，可设()(1)(2)(3)f x A x x x =---再由(0)18f =-，得618,3A A -=-= ―――――――――――――――――2分所以 ()()23(1)(2)(3)2g x f x x x x =+=---+323183316x x x =-+- ―――――――――――――――――――2分2、解：24224(1)2(1)a x a x y y ++-+ 22222[(1)]2(1)2(1)a x ya x y a x y =++-++- ―――――――――――2分 22222[(1)]4a x y x y =++- ――――――――――――――――――――2分 2222[(1)2][(1)2]a x y xy a x y xy =+++++- ――――――――――――2分或 2222[()][()]x y ax x y ax =++-+3、解：因为226sin sin cos 2cos 0x x x +-=，所以有 (2s i n c o s )(3s i n 2c o sx x x x -+=――――――――――――――１分于是 2s i nc o sx x -=或3sin 2cos 0x x +=得 12t g x =或23tgx =- ――――――――――――――――――――――２分由于2x ππ<<，所以取23tgx =-―――――――――――――――――1分从而 2222()212322151()3tgx tg x tg x⨯-===---- ―――――――――――――――2分4、解：不等式同解于不等式组22240104(1)x x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪-<+⎩ （1）（2）　（3）――――――――――――――－2分由（1）式，得24x ≤，于是22x -≤≤ 由（2）式，得1x >-由（3）式，得22230x x +->，于是12x --<或12x -+>――――――――3分所以不等式的解集为：22x <≤ ―――――――――――――――――1分5、解：令(1)(1)(2)k u k k k k ∆=-++，则 ―――――――――――――――――2分1(1)(2)(3)(1)(1)(2)k k k u u u k k k k k k k k +∆=-=+++--++(1)(2)[(3)(1)]4(1)(2)k k k k k k k k =+++--=++ ―――――――――2分于是111(1)(2)4nnk k k k k k u ==++=∆∑∑111()4n u u +=-1(1)(2)(3)4n n n n =+++ ――――――――――――――――――――――2分6、解：由x =，得x -=，两边平方整理得211)x x +=+ ―――――――――――――――――――――――2分两边再平方整理，得422248230x x x ---=――――――――――――――――――――――2分令42()2248230g x x x x =---=，则0g +=因 ()()25f x g x =+，所以)25f =―――――――――――――――――――――3分7、解：利用换底公式，有242444log log 2log log log 2x x x x === ――――――――――――――――－1分方程组可写为24433log log (4)log ()log x y x x x y y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩⇒2(4)x y x xx y y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩　(1) (2)　―――――2分由（1）得 24xy x=- 代入（2）式，得244xx x xx-+=-解得4x =-（舍），或43x = ―――――――――――――――――――－3分所以方程组的解为 4323x y =⎧⎨=⎩ ――――――――――――――――――――――1分五、证明题（本大题共2题，每小题6分，共12分）证明：（1）91910++== （2）919⋅= 9291(91)1011++++=+=+== 92919199+⋅=⋅=⋅+=+=9392(92)1112+++∴+=+=+== 9392929189+∴⋅=⋅=⋅+=+=―――――――――――3分 ――――――――――3分２、证明：设22x y z k a b ca ca b c===++--+，则有(2)()(2)x a b c k y a c k z a b c k =++⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩ （1）（2）（3） ――――――――――――――――2分解得 24x y z ak ++=4x z bk -= ―――――――――――――――――――――３分24x y z ck -+=所以1224ab c x y zx zx y z k===++--+―――――――――――――１分。

初中数学代数式经典测试题及答案解析

初中数学代数式经典测试题及答案解析一、选择题1.如图，大正方形与小正方形的面积之差是60,则阴影部分的面积是（）A. 30B. 20C. 60D. 40【答案】A【解析】【分析】设大正方形的边长为x,小正方形的边长为y,表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.【详解】设大正方形的边长为x,小正方形的边长为y,则X? —）3 = 60,1 1= -(x-y)-x+-(x-y)-y乙1/，八:5（厂一厂）」x602=30.故选A.【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.2 .下列计算正确的是（）A. a2+a3=a5B. a2*a3=a6C. （a2）3=a6D. （ab）2=ab2【答案】C【解析】试题解析：A.a2与a3不是同类项，故A错误；B.原式=a',故B错误;D.原式=a2b2,故D错误；故选C.考点：幕的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数基的乘法.3.下列各式中，计算正确的是( )A. 8a — 3b = 5abB. (^2)3 = a5C. a3 -^-a4 = a2D. a2 -a = a5【答案】D【解析】【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幕的乘法法则、察的乘方法则以及同底数幕除法法则解答即可.【详解】解：A、8a与劭不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、1/丫=。

6,故选项B不合题意；C、a3^a4=a\故选项C不符合题意；D、a2-a = a\故选项D符合题意.故选：D.【点睛】本题主要考查了幕的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.4.下列运算正确的是( )A.2m2+m2=3m4B. (mn2) 2=mn4C. 2m*4m2=8m2D. m54-m3=m2【答案】D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的乘除运算分别计算后即可解答.【详解】选项4,2"2+万2=3团2,故此选项错误：选项8,(mM)2=m2〃4,故此选项错误；选项C,2nr4m2 = 8m3,故此选项错误；选项D,m5+m3=n?2,正确.故选D.【点睛】本题考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.5.下列说法正确的是()AA.若A、B表示两个不同的整式，则一一定是分式BB.（1）、/ = /C.若将分式一2一中，x、y都扩大3倍，那么分式的值也扩大3倍x + yLD.若3"' = 5,3"=4则32"'-"=22【答案】C【解析】【分析】根据分式的定义、幕的乘方、同底数幕相除、分式的基本性质解答即可.【详解】AA.若A、B表示两个不同的整式，如果B中含有字母，那么称"是分式.故此选项错误.D8.（，）2 +/=/+/=/,故故此选项错误.xyC•若将分式一中，x、y都扩大3倍，那么分式的值也扩大3倍，故此选项正确. x+ yD.若3"' = 5,3〃 = 4 则3-" =（3"）- + 3" = 25 + 4 = j ,故此选项错误.故选：C【点睛】本题考查的是分式的定义、累的乘方、同底数幕相除、分式的基本性质，熟练掌握各定义、性质及运算法则是关键.9.己知：（2x + l）（x-3）= 2x?+px + q,则p, q 的值分别为（）A. 5, 3B. 5, -3C. -5, 3D. -5, -3【答案】D【解析】【分析】此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到P、q的值.【详解】由于（2x + l）（x —3）=2X?-6X+X-3=2 X2-5X-3=2X2 +px + q ,则p=-5,q=-3,故答案选D.【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键.10图为〃L〃型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（A. ab - c 2B. ac + (b — c)cC. be + (a - c)c D, ac + be — c?【答案】A 【解析】【分析】根据图形中的字母，可以表示出“L”型钢材的截面的面积，本题得以解决. 【详解】解：由图可得，“L”型钢材的截面的面积为：ac+ (b-c) c=ac +bc-c 2,故选项材D 正确,或“L 〃型钢材的截面的面积为：bc + (a-c) c=bc +ac-c 2,故选项C 正确，选项A 错误，故选:A. 【点睛】本题考查整式运算的应用，解答本题的关键是理解题意，掌握基本运算法则，利用数形结合的思想解答.8 .下列图形都是由同样大小的五角星按照一定规律所组成的，按此规律排列下去，第〃个根据前4个图形中五角星的个数得到规律，即可列式得到答案. 【详解】观察图形可知：第1个图形中一共是4个五角星，即4 = 3xl+l, 第2个图形中一共是7个五角星，即7 = 3x2 + l, 第3个图形中一共是10个五角星，即10 = 3x3 + 1,第4个图形中一共是13个五角星，即13 = 3x4+1, …，按此规律排列下去，第n 个图形中一共有五角星的个数为3〃 + 1, 故选：c. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，观察图形得到五角星的个数的变化规律并运用解题是关键.9 .计算3x2-x2的结果是（）A. 2B. 2x 2C. 2xD. 4x 2图形中五角星的个数为()★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 阳I用2A. 3/? -1【答案】C 【解析】【分析】★★ ★★ ★★★* ★ ★图3B. 3〃 ★★★★★★★★机C. 3〃 + 1D. 3〃 + 2【解析】【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可得.【详解】3x2 - x2=（3-1） x2二2x2,故选B.【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则.10.下列运算中正确的是（）A. 2a + 3a = 5a2B. （2a+ b）2 = 4a2 +b2C. 2a2 - 3a5 = 6a6D.（2a-Z?）（2a + 6） = 4/-Z??【答案】D【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则，分别进行计算，即可求出答案.【详解】A、2a+3a=5a,故本选项错误;（2a+b）2=4a2+4ab+b2,故本选项错误；C、2a2*3a3=6a5,故本选项错误；D、（2a-b）（2a+b） =4a2-b2,故本选项正确.故选D.【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式.注意不要漏项，漏字母，有.同类项的合并同类项.11.我国占代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）。

2019秋季西南大学[0772]《中学代数》参考答案

0772 20192
单项选择题
1、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有（）
1.稠密性
2.可数性
3.完备性
2、高中代数课程的基本主线是（）
1.方程
2.不等式
3.函数
4.数列
3、下列哪一个数，用尺规是可以做出的（）
1.根号2
2.圆周率
3.欧拉数e
4、对有理数运算中的“负负得正”，可以用（）给予解释
1.复数坐标表达式的乘法运算
2.复数向量表达式的乘法运算
3.复数三角函数表达式的乘法运算
5、幂数列属于（）
1. E. 等比数列
2.高阶等差数列
3.等差数列
6、下列说法，哪一个是正确的（）
1.函数的“变量说”定义比较抽象
2.函数的“关系说”定义比较形式
3.函数的“对应说”定义比较直观
7、用复数的棣莫弗公式，可以推导
1.三角函数的n倍角公式
2.一元二次方程的求根公式
3.点到直线的距离公式
8、
不定方程求解的算理依据是：
1. B. 孙子定理
2.辗转相除法
3.单因子构件法
4.拉格朗日插值法
9、
下列说法，哪一个是错误的：
1.戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”、“不漏”、“不乱”三个条件；
2.戴德金分割和有理数区间套定义是等价的；
3.戴德金分割的下集存在最大数时，上集存在最小数。

10、。

中学数学研究(代数部分)习题库

习题1.求适合{}1,2{1,2,3,4,5}A ⊆⊆的一切集合A ，以及他们基数的和。

解：:{1,2}{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}{1,2,3,4,5}A 它们的基数和为：2333444528+++++++=。

习题2.用自然数序数理论证明：（1）347+=，（2）3412⋅=证：（1）3433(33)(32)((32))((31))(((31)))(((4)))((5))(6)7''''''+=+=+=+=+''''''''''''=+=+====（2）313⋅=Q又3231313336'⋅=⋅=⋅+=+= 3332323639'⋅=⋅=⋅+=+=34333339312'∴⋅=⋅=⋅+=+=习题3.对任何自然数a ，证明：（1）2a a a ⋅=+，（2）2()a a a a ⋅=++证：有定3中的（1），1a a ⋅=，由（2），211a a a a a a '⋅=⋅=⋅+=+；同理，322()a a a a a a a '⋅=⋅=⋅+=++。

证毕习题4.设,m n N ∈，求证：（1）()m n m n ''''+=+ （2）()m n m n m ''⋅=⋅+ （3）()m n m m n n '''''⋅=+⋅+ 证：（1）Q m n n m ''+=+（交换律）∴()()m n n m n m ''''''+=+=+（性质（2））又n m m n ''''+=+（交换律）∴()m n m n ''''+=+；（2）()()m n m n m m n m '''⋅=⋅+=⋅+；（3）()()()()()m n m n m m n m m n m n m m n n m m n n '''''''''''⋅=⋅+=+⋅=+⋅+''''=+⋅+=+⋅+ 证毕习题5.证明()a b c a c b c -⋅=⋅-⋅ 证：设,a b x x N -=∈，则a x b =+原式变为证x c a c b c ⋅=⋅-⋅，即a c x c b c ⋅=⋅+⋅ 由乘法对加法的分配律()a c x b c x c b c ⋅=+⋅=⋅+⋅∴原式x c a c b c ⋅=⋅-⋅成立，即()a b c a c b c -⋅=⋅-⋅成立。

(专题精选)初中数学代数式经典测试题及答案解析

（专题精选）初中数学代数式经典测试题及答案解析一、选择题1．下列运算正确的是（）A ．2352x x x +=B ．()-=g 23524x x xC ．()222x y x y +=-D ．3223x y x y xy ÷=【答案】B【解析】【分析】A 不是同类项，不能合并，B 、D 运用单项式之间的乘法和除法计算即可，C 运用了完全平方公式．【详解】A 、应为x 2+x 3=（1+x ）x 2；B 、（-2x ）2•x 3=4x 5，正确；C 、应为（x+y ）2= x 2+2xy+y 2；D 、应为x 3y 2÷x 2y 3=xy -1．故选：B ．【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，单项式除单项式，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．2．一种微生物的直径约为0.0000027米，用科学计数法表示为（）A ．62.710-⨯B ．72.710-⨯C ．62.710-⨯D ．72.710⨯【答案】A【解析】【分析】绝对值小于1的正数科学记数法所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定.【详解】解：0.0000027的左边第一个不为0的数字2的前面有6个0，所以指数为-6，由科学记数法的定义得到答案为62.710-⨯.故选A.【点睛】本题考查了绝对值小于1的正数科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯.3．计算 2017201817(5)()736-⨯ 的结果是（）36367【答案】A【解析】【分析】根据积的乘方的逆用进行化简运算即可．【详解】2017201817(5)()736-⨯ 20172018367()()736=-⨯ 20173677()73636=-⨯⨯ 20177(1)36=-⨯ 736=- 故答案为：A ．【点睛】本题考查了积的乘方的逆用问题，掌握积的乘方的逆用是解题的关键．4．若352x y a b +与2425y x a b -是同类项．则（）A ．1,2x y =⎧⎨=⎩B ．2,1x y =⎧⎨=-⎩C ．0,2x y =⎧⎨=⎩D ．3,1x y =⎧⎨=⎩ 【答案】B【解析】【分析】根据同类项的定义列出关于m 和n 的二元一次方程组，再解方程组求出它们的值．【详解】由同类项的定义，得：32425x y x y =-⎧⎨=+⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩：．故选B ．【点睛】同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．5．（x 2﹣mx +6）（3x ﹣2）的积中不含x 的二次项，则m 的值是（）332【答案】C【解析】试题解析：（x 2﹣mx+6）（3x ﹣2）=3x 3﹣（2+3m ）x 2+（2m+18）x ﹣12，∵（x 2﹣mx+6）（3x ﹣2）的积中不含x 的二次项，∴2+3m=0，解得，m=23-，故选C ．6．下列运算正确的是（）A ．a 5﹣a 3＝a 2B ．6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2C ．2212a 2a -= D ．（﹣2a ）3＝﹣8a 3 【答案】D【解析】【分析】直接利用单项式除以单项式以及积的乘方运算法则、负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】A 、a 5﹣a 3，无法计算，故此选项错误；B 、6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝6x 3y 2÷9x 2＝23xy 2，故此选项错误； C 、2a ﹣2＝22a ，故此选项错误； D 、（﹣2a ）3＝﹣8a 3，正确．故选D ．【点睛】此题主要考查了单项式除以单项式以及积的乘方运算、负指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．下列运算正确的是( )A ．2235a a a +=B ．22224a b a b +=+()C ．236a a a ⋅=D ．2336()ab a b -=- 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂乘法法则、积的乘方法则逐一进行计算即可得.【详解】A. 235a a a +=，故A 选项错误；B. 222244a b a ab b +=++()，故B 选项错误；C. 235a a a ⋅=，故C 选项错误；D. 2336()ab a b -=-，正确，故选D.【点睛】本题考查了整式的运算，涉及了合并同类项、完全平方公式、积的乘方等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.8．如果长方形的长为2(421)a a -+，宽为(21)a +，那么这个长方形的面积为（） A ．228421a a a -++B ．328421a a a +--C ．381a -D ．381a +【答案】D【解析】【分析】利用长方形的面积等于长乘宽，然后再根据多项式乘多项式的法则计算即可．【详解】解：根据题意，得：S 长方形=(4a 2−2a +1)(2a +1)= 322814422-++-+a a a a a =8a 3+1，故选：D ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算方法：()()++=+++a b p q ap aq bp bq 是解题的关键．9．下列各计算中，正确的是( )A ．2323a a a +=B ．326a a a ⋅=C ．824a a a ÷=D ．326()a a =【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的就是同底数幂的计算法则【详解】解：A 、不是同类项，无法进行合并计算；B 、同底数幂乘法，底数不变，指数相加，原式=5a ；C 、同底数幂的除法，底数不变，指数相减，原式=6a ；D 、幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，原式=6a .【点睛】本题主要考查的就是同底数幂的计算法则.在运用同底数幂的计算的时候首先必须将各幂的底数化成相同，然后再利用公式来进行计算得出答案.同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方法则，底数不变，指数相乘.在进行逆运算的时候很多同学容易用错，例如：m n m n a a a +=+等等.10．多项式2a 2b ﹣ab 2﹣ab 的项数及次数分别是（）A ．2，3B ．2，2C ．3，3D ．3，2【答案】C【解析】【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定．【详解】2a 2b ﹣ab 2﹣ab 是三次三项式，故次数是3，项数是3．故选：C.【点睛】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．11．若x 2+2(m+1)x+25是一个完全平方式，那么m 的值（）A ．4 或-6B ．4C ．6 或4D ．-6【答案】A【解析】【详解】解：∵x 2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴△=b 2-4ac=0，即：[2（m+1）]2-4×25=0整理得，m 2+2m-24=0，解得m 1=4，m 2=-6，所以m 的值为4或-6．故选A.12．若3,2x y xy +==，则()()5235x xy y +--的值为（） A ．12B ．11C ．10D ．9 【答案】B【解析】【分析】项将多项式去括号化简，再将3,2x y xy +==代入计算.【详解】()()5235x xy y +--=235()xy x y -++，∵3,2x y xy +==，∴原式=2-6+15=11，故选：B.【点睛】此题考查整式的化简求值，正确去括号、合并同类项是解题的关键.13．下列算式能用平方差公式计算的是（）A ．(2)(2)a b b a +-B ．11(1)(1)22x x +-- C ．(3)(3)x y x y --+D ．()()m n m n ---+ 【答案】D【解析】【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】（-m-n ）（-m+n ）=（-m ）2-n 2=m 2-n 2，故选D ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．14．按如图所示的运算程序，能使输出y 的值为1的是（）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝﹣3，b ＝﹣1C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝4，b ＝2【答案】A【解析】【分析】根据题意，每个选项进行计算，即可判断．【详解】解：A 、当a ＝3，b ＝2时，y ＝12a -＝132-＝1，符合题意； B 、当a ＝﹣3，b ＝﹣1时，y ＝b 2﹣3＝1﹣3＝﹣2，不符合题意；C 、当a ＝1，b ＝3时，y ＝b 2﹣3＝9﹣3＝6，不符合题意；D 、当a ＝4，b ＝2时，y ＝12a -＝142-＝12，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查有理数的混合运算，代数式求值等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．15．已知112x y +=，则23xy x y xy +-的值为（） A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-【答案】D【解析】【分析】先将已知条件变形为2x y xy +=，再将其整体代入所求式子求值即可得解．【详解】解：∵112x y+= ∴2x y xy+= ∴2x y xy += ∴2222323xy xy xy x y xy xy xy xy===-+---．故选：D【点睛】本题考查了分式的化简求值，此题涉及到的是整体代入法，能将已知式子整理变形为2x y xy +=的形式是解题的关键．16．计算1.252 017×2?01945⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是( ) A ．45 B ．1625 C ．1 D ．-1【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得积的乘方，根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．【详解】原式=1.252017×（45）2017×（45）2=（1.25×45）2012×（45）2=16 25．故选B．【点睛】本题考查了积的乘方，利用同底数幂的乘法底数不变指数相加得出积的乘方是解题关键．17．若55+55+55+55+55＝25n，则n的值为（）A．10 B．6 C．5 D．3【答案】D【解析】【分析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n，∴55×5=52n，则56=52n，解得：n=3．故选D．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．18．若x+y＝，x﹣y＝3﹣的值为（）A．B．1 C．6 D．3﹣【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y＝，x﹣y＝3﹣，==1．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．19．若（x +4）（x ﹣1）＝x 2+px +q ，则（） A ．p ＝﹣3，q ＝﹣4 B ．p ＝5，q ＝4C ．p ＝﹣5，q ＝4D ．p ＝3，q ＝﹣4【答案】D【解析】【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【详解】解：∵（x +4）（x ﹣1）＝x 2+3x ﹣4∴p ＝3，q ＝﹣4故选：D ．【点睛】考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则.20．下列计算正确的是（）A ．a•a 2＝a 2B ．（a 2）2＝a 4C ．3a+2a ＝5a 2D ．（a 2b ）3＝a 2•b 3 【答案】B【解析】本题考查幂的运算．点拨：根据幂的运算法则．解答：2123a a a a +⋅==()22224a a a ⨯==325a a a +=()3263a b a b =故选B ．。

九年级数学代数综合训练题(含答案)

代数综合训练题一.选择题(本大题共8个小题，每个4分,共32分)1、肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（）A ．77.110⨯B ．60.7110-⨯C ．77.110-⨯D ．87110-⨯2．下列运算正确的是（）A ． a 2＋a ＝2a 3B ．a 2·a 3＝a 6C ．(－2a 3)2＝4a 6D ．a 6÷a 2＝a 3 3、把8a 3﹣8a 2+2a 进行因式分解，结果正确的是（）A ．2a （4a 2﹣4a+1）B ．8a 2（a ﹣1）C ．2a （2a ﹣1）2D ．2a （2a+1）2 4、实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A ．﹣2a+bB ．2a ﹣bC ．﹣bD ．b5、若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根,则一次函数y kx b =+的图象可能是（）6、若关于x 的方程+=3的解为正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＜B ．m ＜且m ≠C ．m ＞﹣D ．m ＞﹣且m ≠﹣7、若不等式组11m x x ⎩-⎧⎨＜＞恰有两个整数解，则m 的取值范围是（） A ．-1≤m＜0 B ．-1＜m≤0 C．-1≤m≤0 D．-1＜m ＜0 8、抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1．若关于x 的一元二次方程x 2+bx+3－t=0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（）A ．2≤t ＜11B ．t ≥2C ．6＜t ＜11D ．2≤t ＜6二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．）9、如图，将函数y=12（x-2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A C DC B A O O O O x yx y x y y x（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是。

近世代数初步模拟试卷2(参考答案)[1]

试题(2)的参考答案一、填空题（27分）1、7阶群的子群共有 2 个。

2、“圆规直尺作图的三大难题”是三等分任意角问题、化圆为方问题、倍立方问题。

3、把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积是 (17234)(56) 。

4、如果域E 的乘法群恰好包含f (x ) = x 124-1的所有根，则E 的特征是 5 。

5、剩余类加法群Z 8的生成元有 4 个，它们是 [1], [3], [5], [7] 。

6、除环的理想有 2 个。

7、实数32在有理域上的极小多项式是 x 3-2 。

8、20042005≡ 1 (mod 5).9、复数域C 作为实数域R 的扩域，指数[C : R ]= 2 .二、选择题 10、(D) 11、(B) 12、(C) 13、(A) 14、(B).三、计算题15、解: 如果域E 的乘法子群E*=E\{0}有一个13阶子群H, 且[E*:H]=2, 则|E*|=2|H|=26，进而，|E|=27=33，域E 的特征是3。

………………………10分16、解：32+在有理数域Q 上的极小多项式为f (x ) = x 4-10x 2+1。

………2分因为, (1) 32+∉Q (2) . 假设32+∈Q (2)，则3∈Q (2)，设3= a+b 2，a , b ∈Q ，且a ≠ 0 ≠ b ，两边平方得3 - a 2-2b 2 = 2 ab 2, 等式左边是有理数，而右边是无理数，矛盾。

………………………2分(2) 2∈Q (32+) . 因为 2=21[(32+-(3-2)]=21[32+-(32+)-1]. ………2分(3) [Q (32+):Q ] = 4. 由(1)和(2)知, Q (2)是Q (32+)的真子域，显然，32+在Q (2)上的极小多项式为x 2-22x -1，进而， [Q (32+):Q (2)]=2，所以，[Q (32+):Q ]= [Q (32+):Q (2)][Q (2):Q]=4. ………2分 (3)说明,32+在Q 上的极小多项式的次数是4。

初等代数研究练习题

写出该问题的所有基阵与基本解，并判断是否是基本可行解。
初等代数研究练习题答案一、填空题
1 3 4 x2 3x 3 1 a ab 3、 4、1 2 ab
1、 f ( x )
2、
( x 1) 2( x 1)
3
2
3( x 1) 4
5、（1）90；（2）15 8、最大值
min S 2 x1 3x 2 x3 x1 x 2 2 x3 8 2 x1 x 2 3x3 20 x1 x 2 2 x3 2
x1 0, x2 0, x3 无非负限制
2、如果某线性规划问题的约束方程组为
x1 - x2 + x3 =4
x1 - x2 +3 x3 =8
x3 =2
于是得基本解 X
( 2)
0 2 2
因为-2 0，所以它不是基本可行解
7
1、设
tan 2, 求 sin
2 cos 得值 sin cos
3
2、计算 cos[ 3、解方程
1 3 arc cot( )] 的值。 2 4
x
2
3x 4 2 x 1 1
4、设正方形 ABCD 的边长为 1，P、Q 分别为边 AB、AD 上的一点，如图，若△APQ 的周长为 2，求∠ PCQ。 5、设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的边长为 a，试求 B 到平面 AB1C 的距离。 maxS=80 x1 +45 x2 20 x1 +5 x2 400 15 x1 +10 x2 450
初等代数研究练习题一、填空题 1、已知三次多项式 f(x)在 x=-1,0,1,2 时函数值分别为 1,2,3,2,则 f(x)= 2、多项式 3、已知 4、。。。。

中考试题初三二模代数综合题汇总含答案.docx

2016北京市各区初三数学二模代数综合题汇总西城27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2144y ax ax =--的顶点在x 轴上，直线l ：25y x =-+与x 轴交于点A ．（1）求抛物线1C ：2144y ax ax =--的表达式及其顶点坐标；（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为（t ，0）．过点B 作直线BD ⊥x 轴交直线l 于点D ，交抛物线2C ：2344y ax ax t =--+于点E ．设点D 的纵坐标为m ，点E 的纵坐标为n ，求证：m n ≥；（3）在（2）的条件下，若抛物线2C ：2344y ax ax t =--+与线段BD 有公共点，结合函数的图象，求t 的取值范围．西城27．（1）解：∵抛物线1C ：2144y ax ax =--， ∴它的对称轴为直线422ax a-=-=． ∵抛物线1C 的顶点在x 轴上，∴它的顶点为（2，0）．……………………………………………………1分 ∴当2x =时，440y a =--=．∴1a =-．∴抛物线1C 的表达式为2144y x x =-+-．………………………………2分（2）证明：∵点B 的坐标为（t ，0），且直线BD ⊥x 轴交直线l ：25y x =-+于点D ，∴点D 的坐标为（t ，5t -+）．……………………………………………3分∵直线BD 交抛物线2C ：2344y x x t =-+-+于点E ，∴点E 的坐标为（t ，254t t -+-）．……………………………………4分∵m n -=(5)t -+2(54)t t --+-269t t =-+2(3)0t =-≥，∴m n ≥．……………………………………………………………………5分（3）解：∵抛物线2C ：2344y x x t =-+-+与线段BD 有公共点，∴点E 应在线段BD 上．∵由（2）可知，点D 要么与点E 重合，要么在点E 的上方， ∴只需0n ≥，即2540t t -+-≥．∵当2540t t -+-=时，解得1t =或4t =．∴结合函数254y t t =-+-的图象可知，符合题意的t 的取值范围是14t ≤≤．海淀27.已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2）当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式. 西城解：（1）12n n =． ……………… 1 分理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为2x =．∵1P (1，1n )，2P （3，2n ）在抛物线24y ax ax b =-+上， ∴12n n =．………………3分（2）当0a >时，抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4），∴抛物线的解析式为23344y x x =-+．………………5分当0a <时，抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1），∴抛物线的解析式为23314y x x =-++．综上所述，抛物线的解析式为23344y x x =-+或23314y x x =-++．…………7 分房山27.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标．（3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．房山27.解：(1)∵1=∆CAP S ，C()1,12-，∴1121=⨯AP ,xy12345–1–2–3–4–512345–2–3–4–5oxy 12345–112345–2–3–4–5o∴AP =2，∵P 为AB 中点，P （-1，0）， ∴A （-3,0），B （1,0）； -----------1分∴过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式为：322-+=x x y ----------------------2分 (2)抛物线322-+=x x y 沿x 轴翻折所得的新抛物线关系式为322+--=x x y ，∵1==∆∆APC APQ S S ,∴点Q 到x 轴的距离为1，且Q 点在图象G 上（27题图1）∴点Q 的纵坐标为1 ∴1322=+--x x 或1322=-+x x .----------------------------------3分解得：311+-=x ，312--=x ，513+-=x ,514--=x -----4分∴所求Q 点的坐标为：)1,31(1+-Q ，)1,31(2--Q ，)1,51(3+-Q ，)1,51(4--Q ----5分27题图227题图1 (3)如图（27题图2）∵N （0，-1）,∴点N 关于x 轴对称点N ′（0，1）， ∵点D (0,-3)，∴点D 关于对称轴的对称点D ′（-2，-3），∴直线N ′D ′的关系式为y =2x +1, -----------------------------------6分∴E （-0,21）当x =-1时，y =-1，∴F （-1,-1） ----------------------------------7分直线与抛物线交点：朝阳27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛xyQ 1Q 3Q 2Q 412345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5CPA oxyN'D'12345–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5EFDN o物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ）记为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．朝阳27．解：（1）∵抛物线()2296y x m x =-++-的对称轴是2x =，∴922(2)m +-=⨯-．∴1m =-． (1)分 ∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-．…………………………………2分∴22(2)2y x =--+．∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分（2）由题意得，平移后抛物线表达式为()2232y x =--+……………………4分∵()()222223x x --=--，∴52x =． ∴A （52，32）．………………………5分（3）702b <≤．……………………………7分丰台27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（3，0）．（1）求点B 的坐标及m 的值；（2）当23x -<<时，结合函数图象直接写出y 的取值范围；（3）将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若)0(1≠+=k kx y 直线与图象M 在直线21=x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．丰台27.（1）将()3,0A 代入，得1m =．-------1分∴抛物线的表达式为223y x x =--． ∴B 点的坐标()1,0-．-------2分（2）y 的取值范围是45y -≤<．-------5分（3）当x =21时，y =415-. 代入1y kx =+得219-=k .当x =-1时，y =0,代入1y kx =+得k =1. 结合图象可得，k 的取值范围是1=k 或192k <-. -------7分怀柔27.已知：二次函数y 1=x 2+bx+c 的图象经过A （-1,0），B （0，-3）两点. (1)求y 1的表达式及抛物线的顶点坐标;(2)点C （4，m ）在抛物线上，直线y 2=kx+b(k≠0)经过 A ， C 两点，当y 1 >y 2时，求自变量x 的取值范围; (3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.xyO–5–4–3–2–112345–4–3–2–11234567怀柔27.解：(1)把A （-1,0）、B （0，-3）两点带入y 1 得： y 1=x 2-2x-3………………………………1分顶点坐标（1，-4） ………………………………………2分 (2)把C （4，m ）代入y 1, m=5，所以C （4，5）， ……………………………………3分把A 、C 两点代入y 2 得：y 2 =x+1.………………………………………………4分如图所示：x 的取值范围：x<-1或x>4 . …………………………………………………5分 (3)设直线AC 平移后的表达式为y=x+k得： x 2-2x-3=x+k ………………………………………6分令Δ=0，k=-421 所以平移后直线的表达式：y=x-421. ………………………7分顺义27．已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m -++=．（1）求证：不论m 为任何实数时，该方程总有两个实数根；（2）若抛物线2(21)2y x m x m =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 与点B 在y 轴异侧），且4AB =,求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线2(21)2y x m x m =-++向上平移b 个单位长度后,所得到的图象与直线y x =没有交点，请直接写出b 的取值范围.顺义 27．解：（1）[]22224(21)42441(21)b ac m m m m m ∆=-=-+-⨯=-+=- -----1分∵不论m 为任何实数时，总有2(21)0m ∆=-≥，∴该方程总有两个实数根 . --------------------------------------------------2分（2）24(21)(21)22b b ac m m x a -±-+±-==∴12x m =， 21x = ………………………………………………….… 4分不妨设点(1,0)B ，依题意则点(3,0)A -∴ 32m =-∴ 抛物线的表达式为223y x x =+- …………….…………………5分（3）134b >……………………………………………...………………….…7分抛物线与抛物线交点东城27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB 上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m=-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.东城27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7），∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩，∴21.b c =-⎧⎨=-⎩，∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++.∴2C 的顶点为（1,2）. ∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+. 令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分（3）414m <≤或4m =-. …………7分抛物线与双曲线交点平谷27．反比例函数()0ky k x=≠过A （3,4），点B 与点A 关于直线y =2对称，抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）．（1）求反比例函数的表达式；（2）求抛物线的表达式；k y x=（3）若抛物线2y x bx m =-++在22x -≤<的部分与无公共点，求m 的取值范围．平谷27．（1）∵反比例函数ky x=过A （3,4）， ∴12k =． ∴12y x=．…………………………………………………………………………1 （2）∵点B 与点A 关于直线y =2对称，∴B （3,0）． (2)∵抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）∴9303b c c ⎧-++=⎨=⎩．∴23b c ⎧=⎨=⎩．……………………………………………………………………………3 ∴223y x x =-++． (4)（3）12y x=，令2x =-时,6y =-，即()26,--令2x =时,6y =，即()26, (5)当2y x bx m =-++过()26,--时，2m =．当2y xbx m =-++过()26,时，6m=． (6)∴26m ＜≤ (7)两个直接写出结果的问题：昌平27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，且与y 轴交于点A . （1）求直线y=kx +b 的表达式；Oy x-6-5-4-3-2-1654321-11-2-3-4-5234512Ox-2-3-4-1-1443132y（2）将直线y=kx +b 绕点A 沿逆时针方向旋转45º后与抛物线21:1(0)G y ax a =->交于B ，C 两点.若BC ≥4，求a 的取值范围；（3）设直线y=kx +b 与抛物线22:1G y x m =-+交于D ，E 两点，当3252DE ≤≤时，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围.昌平27．解：（1）∵直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，∴0,2 3.k b k b +=⎧⎨-+=⎩………………………………………………………………1分解得：1,1.k b =-⎧⎨=⎩∴直线y=kx +b 的表达式为： 1.y x =-+…………………………………………2分（2）①将直线1y x =-+绕点A 沿逆时针方向旋转45º后可得直线1y =.…………3分∴直线1y =与抛物线21:1(0)G y ax a =->的交点B ，C 关于y 轴对称.∴当线段BC 的长等于4时，B ，C 两点的坐标分别为（2，1），（-2，1）. ∴1.2a =…………………………………………………………………………………4分由抛物线二次项系数的性质及已知a >0可知，当BC ≥4时，10.2a ≤<……………5分②40.m -≤≤………………………………………………………………………………7分石景山27．已知关于x 的方程()021222=-+-+m m x m x ．（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()m m x m x y 21222-+-+=与x 轴交于()0,1x A ，()0,2x B 两点，且210x x <<，抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，若m 是整数，记抛物线在点B ，C 之间的部分为图象G （包含B ，C 两点），点D 是图象G 上的一个动点，点P 是直线b x y +=2上的一个动点，若线段DP 的最小值是55，请直接写出b 的值．石景山27．解：（1）∵1=a ，()12-=m b ，m m c 22-= ∴()()0424144222>=---=-=∆m m m ac b∴无论m 取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．……2分（2）令，则()021222=-+-+m m x m x()()02=-++m x m x∴m x -=或2+-=m x ∵210x x <<∴m x -=1，22+-=m x …………………………………………4分 ∴2=AB当1+-=m x 时，1-=y ∴1-=c y∴121=⨯=∆c ABC y AB S ．………………………………………5分（3）0=b 或3-=b ．……………………………………………………..7分如何找对称点：通州27. 已知：二次函数c bx -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）. （1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c bx -x y ++=2的图象在直线y =1上方的部分沿直线y =1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M （m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。

初中数学代数练习题(含答案)

1.幂的基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= 底数不变，指数相加 ⑵幂的乘方：()nmmn a a = 底数不变，指数相乘⑶积的乘方：()nn n ab a b =把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项之后相加.计算公式： ⑴平方差公式：()()22a b a b a b -+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m na a a-÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式的每个项除以单项式后相加.初二代数部分の重点梳理一、基础知识梳理4.整式乘除与因式分解整式乘除()()()()2222222222a b a b a b a b a ab b a b a ab b +-=-+=++-=-+因式分解5.因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以尝试运用平方差公式法分解因式；三项式可以尝试运用完全平方公式法、十字相乘法分解因式；（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

6.十字相乘法【196大招之94-因式分解-十字相乘法】()()()2x a b x ab x a x b +++=++()()()2abx ad bc x cd ax c bx d +++=++7.因式分解方法：（1）提公因式法：找出最大公因式.（2）公式法：xxdc①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++（3）十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++8.与分式AB有关的条件： ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）9.分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

22春[0772]《中学代数研究》西大网络答案

1、高中代数课程的基本主线是（）.方程 . 不等式.函数.数列2、用复数的棣莫弗公式，可以推导（）.三角函数的n 倍角公式. 一元二次方程的求根公式 .点到直线的距离公式3、不定方程求解的算理依据是（）. B. 孙子定理 . 辗转相除法. 单因子构件法 .拉格朗日插值法4、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的（）. 形式推导 . 直观理解.恒等变换5、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有（）. 连续性 . 完备性 .稠密性.可数性6、代数学是研究数学对象的运算的理论和方法的一门学科，根据数学对象的不同表现代数学可分为（）.方程和函数.古典代数和近代代数.数列和算法.抽象代数和近世代7、下列说法，哪个是正确的（）.复数集是一个有序域.复数可以比较大小.复数可以排序8、下列哪个说法是错误的（）.用尺规作图可以三等分角.用尺规作图可以二等分角.用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线.用尺规作图可以画出根号5的数9、任意两个有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数具有（）.完备性.稠密性.可数性.连续性10、三角形的余弦定理同（）有内在联系.二维柯西不等式.二维排序不等式 .二维均值不等式11、下列说法，哪一个是错误的（）.有理数集是可数的 .实数集是可数的.自然数集是可数的12、两个集合A 和B 的笛卡尔积的子集，被称为（）. F. 关系. 对偶. 序偶 .结构13、高中教材“函数”的定义采用的是（）. 函数“对应说”；. 函数“变量说”； .函数“关系说”14、用（）方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。

. 拉格朗日插值公式. 数列的母函数.高阶数列的求和递推公式15、不定方程求解的算理依据是（）. 孙子定理.单因子构件法.辗转相除法.拉格朗日插值法16、点到直线的距离公式，可以用（）推出.C. 加权平均不等式. D. 柯西不等式.均值不等式.排序不等式17、下列那个定理所体现出来的方法是单因子构件法（）.正弦定理.孙子定理.代数基本定理.韦达定理判断题18、在算法的教学中，应当注意培养学生的数学表达能力。

初中数学代数习题(含解答)

初中代数练习题(含解答)题目1.证明a ≤|a|2.证明a 2=|a|23.证明|−a|=|a|4.证明a 2=|a|5.若|a −b −c −d −4|+|b −c −d −3|+|c −d −2|+|d 2−1|=0,求a +b +c +d.6.证明||a|−|b||≤|a −b|7.证明(6,7学名：三角不等式)|a −b|≤|a|+|b|8.证明 |(x −1)2−|2x −x 2||≤19.求|x|+|x −1|+|x −2|+...+|x −2020| 的最小值即此时x 的值或范围10.求||x −1|−|x −2|+|x −3|−|x −4|+...−|x −2020||的最小值即此时x 取值范围.11.证明任何0.x 1x 2x 3...x k 即一个任意长度k 的以单循环结束的小数都可以写为一个分数p q12.证明任何即一个任意长度结束的小0.x 1x 2..(x m x m+1x m+2...x n )n 的以循环节x m x m+1x m+2...x n 数都可以写为一个分数. 综合11,12, 证明任何有理数都可以写为pq pq ，的形式(p,q 为整数且q ≠0)13.根据12的结论，可以证明为无理数:2.若分数如果2为有理数，那么2可以写作p q, p,q 为正整数且q ≠0,即2=p q2能写为那么一定能写成最简分数, 即互质。

两边同时平方得p,q 所以2=p 2q2→p 2=2q 2→p 2为偶数. 若p 为奇数，则p 2也是奇数。

所以p 只能是偶数.即同偶所以不是最简，矛p =2k →p 2=4k 2=2q 2→q 2=2k 2. 同理得q 为偶数.p,q pq 盾。

所以.2为无理数用类似的方法，试证明.3为无理数14.已知平方差公式可以通过如下方式推导:a 2−b 2=a 2−ab +ab −b 2=a(a −b)+b(a −b)=(a +b)(a −b)试用类似方法推导立方差公式:a 3−b 3=(a −b)(a 2+ab +b 2)15.证明立方差公式的右边的唯一解为.(a −b)(a 2+ab +b 2)=0a =b 16.11·2+12·3+...+12019·2020=?17.11+2+11+2+3+...+11+2+...+2020=?18.11·2·3+12·3·4+...+12018·2019·2020=?19.11·2·3+13·4·5+...+12017·2018·2019+12−13+14−...−12017+12018=?20.证明, 并说明等号成立条件. (学名：调和平均几何平均算21a+1b≤ab ≤a+b 2≤a 2+b 22≤≤术平均平方平均)≤21.若(3a −2b)x 2+(a +b−c)x +3=c +2, 求a +b +c.22.若,求证x >−1−3x−2x+1>−323.若, 求证(不要求二次函数)x <−12x 2−3x−2x+1<−724.是否存在一个函数：定义域为所有偶数，值域为所有奇数？并解释25.是否存在一个函数，定义域为所有整数，值域为所有正整数？并解释26.是否存在一个函数，定义域为所有正整数，值域为所有整数？并解释27.证明所有一次函数只有一个零点(和有且只有一个交点). （第一步：找出一个零点. 第x 轴二步: 如果为2个不同零点，证明)x 1, x 2x 1=x 228.求一次函数和两坐标轴构成的三角形面积（注意:为任意实数且)y =ax +b a,b a ≠029.求28中三角形的斜边长和斜边上的高长30.求和两坐标轴构成的图形面积y =2x −1, y =3x +1, y =−x +531.证明任何一次函数都可以写为的形式. (第一步: 把转化为ax +by +c =0y =kx +m 的形式. 第二步:把转化为的形式. 所以两ax +by +c =0ax +by +c =0y =kx +m 种表示法等价)32.由31，若和表示两个一次函数. 若两一次函数图a 1x +b 1y +c 1=0a 2x +b 2y +c 2=0像平行或重合，求关系. 若两一次函数图像垂直，求关系.a 1,b 1,a 2,b 2a 1,b 1,a 2,b 233.若方程组,无解，求需满足的条a 1x +b 1y +c 1=0a 2x +b 2y +c 2=0a 1,b 1,c 1,a 2,b 2,c 2件. 若,有无穷多个解，求需满足a 1x +b 1y +c 1=0a 2x +b 2y +c 2=0a 1,b 1,c 1,a 2,b 2,c 2的条件.34.解三元一次方程组3x +2y +z =1, 2x −y −z =2, 5x +7y −3z =−335.定义一个函数为增函数如果在定义域上函数值一直增加, 即对于任意定义域里的，y x 1,x 2如果,那么(或).例:为增函数，因为任取,x 1<x 2y 1<y 2y 2−y 1>0y =2x x 1<x 2. 同理,定义一个函数为减函数如果在定义域上函y 2−y 1=2x 2−2x 1=2(x 2−x 1)>0y 数值一直减小, 即对于任意定义域里的，如果,那么(或).x 1,x 2x 1<x 2y 1>y 2y 1−y 2>0例:为减函数，因为任取,y =−2x x 1<x 2y 1−y 2=(−2x 1)−.(−2x 2)=2(x 2−x 1)>0试证明：当，一次函数为增函数. 当，一次函数为减函k >0时y =kx k <0时y =kx 数。

中学代数研究与教学(部分习题答案)

中学代数研究与教学习题
第一章数与式
第一节数系的扩展
1.举例说明数集扩充的原则和方法？以四元数{1.i.j.k} 为例方法：添加元素的方法（二元 →四元）有两种：
(1).把新的元素加入到已经建立的数系中而得到。（添加元素法） (2).用近代数学观点，在原有数系的基础上理论性的构造一个集
合，再对此集合通过定义关系运算划分等价类来建立新数系，然后证明新数系的一真子集与原数系同构。（构造法）原则： (1).二元 ⊂ 四元 (2).四元数满足加法交换律还有乘法减法等性质，而不破坏二元数的元素间的关系及运算。 (3).二元数满足代数封闭性，故其 n 次方程有 n 个根。而在四元数中，n 次方程有无穷多个根，故不满足代数封闭性。 (4).四元数是二元数的所有具有上述三个性质的扩展的唯一最小扩展。因为数集到数集的扩充是有一定条件的。如：四元数是由二元数舍去乘法交换律扩充得到的。而目前尚未找到通过破坏二元数的其它性质得到新的数集，故四元数是二元数的最小扩充。
≠空集，求实数 a 的范围。
解：∵A∩B≠空集,则对立面 A∩B=空集
⎧y = x2 + ax + 2
联立方程组
⎨ ⎩
y
=
x
+
1(0
<
x
≤
2)
整理得:x+1=x²+ax+2，要让此方程无解则△≥0 若以为 x 主元方程可化为：x²+(a-1)x+1=0 既△＝（a-1）²-4≤0 ∴a＜3 ∴ A∩B≠空集时实数 a 的范围为 a≥3.
∴ 3 +x-1=0 或 3 x+x²+x+1=0
x ∴ 1 =1- 3

中考数学模拟题《代数几何综合问题》专项检测题(附答案)

中考数学模拟题《代数几何综合问题》专项检测题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________两圆一中垂模型讲解【模型】已知点A，B是平面内两点，再找一点C，使得△ABC为等腰三角形.【结论】分类讨论：若AB=AC,，则点 C 在以点 A 为圆心，线段 AB 的长为半径的圆上若BA=BC,，则点 C 在以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径的圆上若CA=CB 则点 C在线段AB 的垂直平分线PQ 上.以上简称“两圆一中垂”.“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A，B，还要除去因共线无法构成三角形的点M，N以及线段AB 中点E(共除去5个点)，需要注意细节.典例秒杀典例1如图平面直角坐标系中已知A(2 2) B(4 0) 若在x轴上取点 C 使. △ABC为等腰三角形，则满足条件的点C 有( ).A.1个B.2 个C.3个D.4个【答案】D【解析】∵点 A B的坐标分别为(2 2) B(4 0) ∴AB=2√2.①若AC=AB 以 A为圆心 AB长为半径画弧与x 轴有2个交点(含 B点) 即(0 0) (4 0)(舍去)∴满足△ABC是等腰三角形的点C 有1个②若 BC=AB 以B为圆心 BA长为半径画弧与x 轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的点C 有2个③若CA=CB，作线段AB的垂直平分线与x轴有 1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的点C有1个.综上所述，满足条件的点C共有 4个.故选 D.典例2图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，P 是x 如图，已知点 A(1，2)是反比例函数y=kx轴上一动点.若△PAB是等腰三角形，则点 P的坐标是 .【答案】(-3 0)或(5 0)或(3 0)或(-5 0)的图象关于原点对称【解析】∵反比例函数y=kx∴A，B两点关于点O对称∴O为AB 的中点且 B(-1 -2)∴当△PAB为等腰三角形时，只有. PA=AB或PB=AB两种情况.设点 P 的坐标为(x 0)∵A(1 2) B(-1 -2)∴AB=√[1−(−1)]2+[2−(−2)]2=2√5,PA=√(x−1)2+22,PB=√(x+1)2+(−2)2故当 PA=AB时√(x−1)2+22=2√5,解得x=--3 或x=5 此时 P点坐标为(-3 0)或(5 0);当 PB=AB 时√(x+1)2+(−2)2=2√5,解得 x=3 或x=-5 此时P点坐标为(3 0)或(-5 0).综上可知点 P的坐标为(-3 0)或(5 0)或(3 0)或(-5 0).典例3如图，抛物线y=x²−2x−3与y轴交于点C，点 D的坐标为(0，-1)，抛物线在第四象限内有一点 P，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点 P 的横坐标为( ).A.1+√2B.1−√2C.√2−1D.1−√2或1+√2【答案】A【解析】令x=0 则y=-3∴点C的坐标为( (0,−3).∵点 D的坐标为(0 -1)×(−1−3)=−2.∴线段CD的中点的纵坐标为12∵△PCD是以CD 为底边的等腰三角形∴点 P 只能在线段CD 的垂直平分线上∴点 P 的纵坐标为-2∴x²−2x−3=−2,解得x1=1−√2,x2=1+√2.∵点 P 在第四象限∴点 P 的横坐标为1+√2.故选 A.小试牛刀1.(★★☆☆☆)如图在平面直角坐标系中AB=2OB,在坐标轴上取一点 P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点 P共有( ).A.4个B.5 个C.6个D.7个2.(★★☆☆☆)如图点 A的坐标是(2 2) 若点 P 在x 轴上且△APO是等腰三角形，则点 P的坐标不可能是( ).A.(4 0)B.(1 0)C.(−2√2,0)D.(2 0)(x−√3)2+4上则能3.(★★☆☆☆)已知直线y=−√3x+3与坐标轴分别交于点A B 点 P 在抛物线y=−13使△ABP为等腰三角形的点 P 有( ).A.3个B.4个C.5个D.6 个直击中考的图象交于A(3 4) B(n -1)两点.1.如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx(1)求反比例函数和一次函数的解析式.(2)在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标.(3)根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.2.已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点 A 在点B 的左边)，与y轴交于点C(0,−3),顶点 D 的坐标为( (1,−4).(1)求抛物线的解析式.(2)在y轴上找一点E，使得. △EAC为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标.两垂一圆模型讲解【模型】平面内有两点A，B，再找一点C，使得△ABC为直角三角形.【结论】分类讨论：若∠A=90°,则点 C在过点 A 且垂直于 AB 的直线上(除点 A 外);若∠B=90°,则点 C 在过点 B 且垂直于 AB 的直线上(除点 B 外);若∠C=90°,则点 C在以 AB为直径的圆上(除点 A B外).以上简称“两垂一圆”.“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.典例秒杀典例1如图已知点A(-8 0) B(2 0) 点 C在直线y=−3x+4上，则使△ABC是直角三角形的点C 的个数为( ).4A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】如图所示，有三个点满足条件.典例2的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足已知抛物线y=x²−9与x轴交于A，B两点，点 P 在函数y=√3x条件的点 P 的个数为( ).A.2B.3C.4D.6【答案】D【解析】令x²−9=0,解得x₁=3,x₂=−3,不妨设A(-3 0) B(3 0)若AB为斜边，则以 O为圆心，OA长为半径作圆，如图1.的图象的交点即为满足条件的点，这样的点有4个，分别是P₁,P₂,P₃,P₄;圆O与y=√3x的图象于点P₆，P₅，交点即为满足条件的点，若以AB为一直角边，则分别过A，B作x轴的垂线，交y=√3x如图2，这样的点有2个.综上所述，满足条件的点 P 有 6 个.故选 D.典例3如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象的对称轴为经过点(1，0)的直线，其图象与x轴交于点A，B，且过点 C(0，−3),，其顶点为 D，在 y轴上有一点 P(点 P 与点 C 不重合)，使得△APD是以点 P 为直角顶点的直角三角形，则点 P 的坐标为( ).A.(0 3)B.(0,−3)C.(0 -1)D.(0,−1)或(0,−3)【答案】C【解析】由题意得二次函数图象的对称轴为直线. x=1,则−b=1,b=-22又二次函数的图象过点 C(0，-3)∴--3=c 即c=-3∴二次函数的解析式为y=x²−2x−3.由y=x²−2x−3=(x−1)²−4,得顶点 D的坐标为(1 -4).令x²−2x−3=0,得x₁=3,x₂=−1,则 A(3 0).设 P(0 m)(m≠-3) 由题意得PA=√9+m2,PD=√1+(m+4)2,AD=2√5.∵∠APD=90°∴PA²+PD²=AD²,即(√9+m2)2+(√1+(m+4)2)2=(2√5)2.解得m₁=−1,m₂=−3(不合题意，舍去).∴P(0 -1).故选 C.1.(★★★☆☆)如图所示已知 A(2 6) B(8 -2) C为坐标轴上一点且△ABC是直角三角形，则满足条件的点 C 有( ).A.6 个B.7 个C.8个D.9 个2.(★★★☆☆)已知点 P 为二次函数y=x²−2x−3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A 在B 的右侧)，与y轴交于C 点，若△APC为直角三角形且 AC 为直角边，则点 P 的横坐标的值为 .直击中考1.如图 1，抛物线y=ax²+bx+6与 x轴交于点A(-2 0) B(6 0) 与y轴交于点C 顶点为 D 直线AD交y轴于点E.(1)求抛物线的解析式.(2)如图2 将△AOE沿直线AD 平移得到△NMP.①当点 M落在抛物线上时，求点 M的坐标②在△NMP 移动过程中，存在点 M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 M的坐标.胡不归模型讲解从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路.由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A-B(如图所示，A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠近目的地的一侧全是沙砾地带)，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻居劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际不断喃喃地念叨着“胡不归? 胡不归? ……”这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢?倘若有可能，他应该选择怎样的路线呢?这就是风靡千年的“胡不归问题”.【模型】由于在驿道和沙砾地带的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一段路程后，再走沙砾地带，虽然多走了路，但反而总用时更短呢?如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时?【解析】设在沙砾地带的行驶速度为v₁，在驿道上的行驶速度为v₂显然v₁<v₂.不妨假设从 C处进入沙砾地带.设总用时为t，则t=BCv1+ACv2=1v1(BC+v1v2AC).因为 v₁，v₂是确定的，所以只要BC+v1v2AC的值最小，用时就最少.问题就转化为求BC+v1v2AC的最小值.我们可以作一条以C为端点的线段，使其等于v1v2AC,并且与线段CB位于AM 两侧，然后根据两点之间线段最短，不难找到最小值点.怎么作呢?由三角函数的定义，过A点，在 AM的另一侧以A 为顶点，以AM为一边作∠MAN=α,sinα=v1v2,然后作CE⊥AN 则CE=v1v2AC.故当点 B，C，E在一条直线上时，BC+CE的值最小即BC+v1v2AC的值最小，即总用时最少.【问题解决】求形如“PA+kPB”的最值问题，构造射线 AD，使得sin∠DAN=k,即CHAC=k,CH=kAC.将问题转化为求BC+CH 的最小值过 B 点作BH⊥AD交MN于点C 交 AD 于点H 此时BC+CH 取到最小值即BC+kAC的值最小.典例秒杀典例1如图菱形 ABCD中∠ABC=60° 边长为3 P是对角线BD 上的一个动点，则12BP+PC的最小值是( ).A. √3B.32√3 C.3 D.√3+32【答案】B【解析】如图作 PM⊥AB于点M CH⊥AB 于点H.∵四边形ABCD是菱形∴∠PBM=12∠ABC=30∘,∴PM=12PB,∴12PB+PC=PC+PM,根据垂线段最短可知CP+PM的最小值为CH 的长在 Rt△CBH中CH=BC⋅sin60∘=3√32,∴12PB+PC的最小值为3√32,故选 B.典例2如图，△ABC在平面直角坐标系内，点A(0，3 √3) C(2 0).点 B为y 轴上的动点，则12AB+BC的最小值为( ).A.2√3B.52√3C.3√3D.72√3【答案】B【解析】如图，取. D(−3,0),连接AD 作. BE⊥AD,CE′⊥AD交AD于点E′,交 y轴于点B′.∵A(0,3√3),C(2,0),D(−3,0),∴OD=3,OA=3√3,OC=2,CD=5,∴tan∠DAO=ODOA =√33,∴∠DAO=30°,∴EB=12AB,∠ADO=60∘,∴12AB+BC=EB+CB,∴当 E 与E′重合，B与B′重合时，EB+BC的值最小，即最小值为CE'的长.在 Rt△CDE'中 ( CE′=CD⋅sin60∘=5√32,∴12AB+BC的最小值为5√32.故选 B.典例3如图，△ABC中AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点 E D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是( ).A.2√5B.4√5C.5√3D.10【答案】B【解析】如图，作DH⊥AB于点H ( CM⊥AB于点M.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°.∵tanA=BEAE=2,∴设AE=a BE=2a则100=a²+4a²,∴a²=20,解得a=2√5或a=−2√5(舍去)∴BE=2a=4√5.∵AB=AC BE⊥AC CM⊥AB∴CM=BE=4√5(等腰三角形两腰上的高相等).∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA,∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55,∴DH=√55BD,∴CD+√55BD=CD+DH,∴CD+DH≥CM,∴CD+√55BD≥4√5,∴CD+√55BD的最小值为4√5.故选 B.小试牛刀1.(★★★☆☆)如图 △ABC 在平面直角坐标系中 AB=AC A(0 2 √2) C(1 0) D 为射线AO 上一点，一动点 P 从点 A 出发，运动路径为A→D→C ，点 P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标为( ).A.(0 √2 )B.(0,√22)C.(0,√23)D.(0,√24)2.(★★★☆☆)如图在△ABC 中 ∠A=90° ∠B=60° AB=2 若 D 是BC 边上的动点则2AD+CD 的最小值为 .直击中考1.已知抛物线 y =ax²+bx +c 与 x 轴交于A(-1 0) B(5 0)两点 C 为抛物线的顶点抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，连接 BC ，且 tan∠CBD =43,如图所示.(1)求抛物线的解析式.(2)设 P 是抛物线的对称轴上的一个动点.①过点 P 作x 轴的平行线交线段BC 于点 E 过点 E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连接FB ，FC ，求△BCF 的面积的最大值 ②连接PB 求 35PC +PB 的最小值.阿氏圆问题模型讲解“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如图，已知A，B两点，点P 满足PA : PB=k(k≠1) 则点 P 的轨迹为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型】如图所示⊙O的半径为R 点A B都在⊙O外 P为⊙O上一动点，已知K=25OB,连接PA PB 则当102:25/4B的值最小时，P点的位置如何确定?【解析】如图，在线段OB上截取OC 使OC=25R,连接PO PC 则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC.故本题求PA+25PB的最小值可以转化为求PA+PC的最小值，其中A与C 为定点，P 为动点，故当A，P，C 三点共线时，PA+PC的值最小.典例秒杀典例1如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P 为⊙B上的动点，则PD+12PC的最小值等于( ).A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】如图，在 BC上截取BE=1,连接BP PE DE.∵正方形ABCD的边长为4 ⊙B的半径为2∴BC=CD=4,BP=2,∴EC=3,∴BPBC =BEBP=12,又∠PBE=∠PBE,∴PBECBP,∴PEPC =BEBP=12,∴PE=12PC,∴PD+12PC=PD+PE,∴当D P E三点共线时 PD+PE取得最小值即PD+12PC取得最小值∴PD+12PC的最小值为DE=√DC2+CE2=5.故选 C.典例2问题提出:如图1 在 Rt△ABC中∠ACB=90° CB=4 CA=6 ⊙C的半径为2 P 为圆上一动点连接AP BP 求AP+12BP的最小值.(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2 连接CP 在CB 上取点D 使CD=1 连接 PD 则有CDCP =CPCB=12.又∵∠PCD=∠BCP ∴△PCD∽△BCP.∴PDBP =PCBC=12,∴PD=12BP,∴AP +12BP =AP +PD.请你完成余下的思考，并直接写出答案： AP +12BP 的最小值为(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 13AP +BP 的最小值为 .(3)拓展延伸:如图3 已知扇形 COD 中 ∠COD =90°,OC =6, OA =3,OB =5,点 P 是 ⌢CD 上一点，求2 2PA +PB 的最小值.【解析】(1)如图连接AD. ∵AP +12BP =AP +PD,∴要使 AP +12BP 最小，即AP+PD 最小则点A P D 在同一条直线上 ∴AP +12BP 的最小值为AD 的长，在 Rt △ACD 中 CD=1 AC=6 ∴AD =√AC 2+CD 2=√37, ∴AP +12BP 的最小值为 √37.(2)如图在 CA 上取点 D 连接 BD 使 CD =23, ∴CD CP=CP CA=13.∵∠PCD=∠ACP ∴△PCD ∽△ACP ∴PD AP =CP CA=13,∴PD =13AP,∴13AP +BP =PD +BP,同(1)的方法得 13AP +BP 的最小值为 BD =√BC 2+CD 2= 23√37.(3)如图延长OC 到点E 使CE=6 则OE=OC+CE=12 连接 PE OP∵OA =3,∴OAOP =OPOE =12. ∵∠AOP =∠EOP,∴△OAPO △OPE, ∴APEP =OAOP =12,∴EP =2PA,∴2PA +PB =EP +PB,∴当E P B 三点共线时 2PA +PB 取得最小值，为 BE = √OB 2+OE 2=13.小试牛刀1.(★★☆☆☆)如图在Rt△ABC中∠ACB=90°,CB=7,AC=9,，以C为圆心 3为半径作⊙C，P 为⊙C上一动点，连接AP BP 则1AP+BP的最小值为( ).3A.7B.5√2C.4+√10D.2√132.(★★☆☆☆)如图所示已知正方形 ABCD 的边长为4 ⊙B的半径为2，点 P是⊙B上的一个动点，则PD−1PC的最大值为( ).2A.3B.4C.5D.6PA+PB的3.(★★☆☆☆)如图在平面直角坐标系中点A(4 0) B(4 4) 点 P 在半径为 2 的圆 O 上运动，则12最小值是 .直击中考1.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴 y轴分别交于A C两点抛物线y=x²+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA，MB，BC，当点 M运动到某一位置时，四边形AMBC的面积最大，求此时点 M的坐标及四边形AMBC的面积PA的值最小，(3)如图2 若 P点是半径为2的⊙B上一动点连接PC PA 当点 P 运动到某一位置时，PC+12请求出这个最小值，并说明理由.等分面积模型讲解【模型】三角形中的中线等分面积很常见，如图，在△ABC中，取BC的中点D，连接AD，由于左右两个三角形等底同高，故它们的面积相等，即S ABD=AGD,如果在AC边上取一点P，那么如何作线平分面积呢?¯【作法】因为 D 是 BC 的中点S ABD=S ACD,所以要想平分三角形的面积，可作. AE‖PD,连接PE 如图.比较S ABD=S ACD,AED可等量替换为△AEP,因此，得S=S EPC,即完成了面积平分.四边形ABEP典例秒杀典例1已知平面上点O(0 0) A(3 2) B(4 0) 直线. y=mx−3m+2将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为( ).A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】y=mx--3m+2=m(x-3)+2当x=3时 y=2则直线y=mx--3m+2一定过点A(3 2)因为直线 y=mx--3m+2 将△OAB分成面积相等的两部分所以直线y=mx-3m+2一定过OB的中点(2 0)把x=2 y=0代入y=mx-3m+2得0=2m--3m+2解得m=2.故选 B.典例2如图 AB∥DC ED∥BC AE∥BD 那么图中与△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有( ).A.1个B.2个C.3 个D.4 个【答案】B【解析】∵AB∥DC∴△ABC与△ABD的面积相等.∵AE∥BD∴△BED 与△ABD的面积相等.∵ED∥BC找不到与△ABD等底等高的三角形∴与△ABD面积相等的三角形有△ABC △BED 共2个.故选 B.典例3(1)如图1 梯形 ABCD的对角线交于点O AB∥CD 请写出图中面积相等的三角形(2)如图 2，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A(—2，3) B(2 1).①求点 C的坐标及三角形 AOC 和三角形BOC 的面积②请利用(1)的结论解决如下问题：D 是边OA 上一点，过点 D 作直线DE 平分三角形ABO的面积，并交AB 于点E(要有适当的作图说明).【解析】(1)∵AB∥DC∴S ABD=S ABC,S ADC=S BDC,∴S AOD=S BOC.(2)①∵点 A(-2 3) B(2 1)∴直线AB的解析式为y=−12x+2,∴C(0 2)∴S AOC=12×2×2=2,S Bx=12×2×2=2.②由①可知点 C是线段AB 的中点，则S CA=S OBC.连接CD 过点O作( OE‖CD交AB 于点E 连接DE 则直线DE就是所求作的直线.小试牛刀1.(★★★☆☆)操作体验.(1)如图 1 已知△ABC,请画出△ABC的中线AD，并判断△ABD与△ACD面积的大小关系.(2)如图2，在平面直角坐标系中，△ABC的边 BC 在 x 轴上已知点A(2 4) B(-1 0) C(3 0) 试确定过点 A 的一条直线l 平分△ABC的面积，请写出直线l的表达式.(3)如图3 在平面直角坐标系中若A(1 4) B(3 2) 则在直线y=−4x+20上是否存在一点C，使直线OC 恰好平分四边形OACB 的面积?若存在，请计算点 C的坐标若不存在，请说明理由.2.(★★★☆☆)已知在梯形ABCD中AB‖CD.(1)如图1 若点 E 为AD 的中点 BE 的延长线交 CD 的延长线于点F，求证：(2)如图2，请过点 B画一条直线将梯形ABCD 的面积平分，并简单说出画法.x+m的图象与x 轴交于点A(−6,0),交 y轴于点 B.3.(★★★☆☆)如图已知一次函数y=43(1)求m的值与点 B 的坐标.(2)在x轴上是否存在点C，使得. △ABC的面积为 16?若存在，求出点C的坐标若不存在，说明理由.(3)一条经过点 D(0，2)和直线AB上一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式.直击中考1.在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分.进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形分为面积相等的两部分?他画出了如下示意图(如图1)，得到了符合要求的直线AF.小明的作图步骤如下：第一步，连接AC第二步过点 B作BE∥AC交DC 的延长线于点E;第三步，取ED的中点F，作直线AF则直线 AF即为所求.请参考小明思考问题的方法，解决问题：如图2 五边形 ABOCD各顶点坐标为A(3 4) B(0 2) O(0 0) C(4 0) D(4 2).请你构造一条经过顶点 A 的直线将五边形 ABOCD分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式.第 21 页共 21 页。

初中数学专题复习代数综合题(含答案)

初中数学专题复习代数综合题(含答案)代数综合题是一类综合题，主要包括方程、函数、不等式等内容，需要用到化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等数学思想方法。

解决代数综合题需要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破。

同时，需要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，从而达到解决问题的目的。

已知关于x的一元二次方程x－(k＋1)x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值。

解：设方程的另一根为x1，由韦达定理：2 x1 =－6，∴x1 =－3.由韦达定理：－3+2= k＋1，∴k=－2.已知关于x的一元二次方程（k+4）x＋3x+k－3k－4=0的一个根为2，求k的值。

解：把x=0代入这个方程，得k－3k－4=0，解得k1＝1，k2＝－4.因为k+4≠0，所以k≠－4，所以k＝1.需要注意需满足k+4的系数不能为0，即k≠－4.已对方程2x+3x－l＝0，求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数。

解：设2x+3x－l＝0的两根为x1、x2，则新方程的两根为1/x1、1/x2.得到1/x1+1/x2=3，所以新方程为y2－3y－2=0.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价x （元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）xxxxxxxx… y（件）xxxxxxxx…（省略号表示数据继续往下延伸）。

⑴在草稿纸上描点，观察点的分布，建立y与x的恰当函数模型。

⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴经观察发现各点分布在一条直线上，∴设y=kx+b（k≠0）。

⑵由题意可知每件产品的销售价应为20元，此时每日销售利润为200元。

1、根据题意可列出函数关系：y=ax^2+bx+c，代入三组数据得到三个方程组成的线性方程组：begin{cases} 8.6=1990a+1990b+c \\ 10.4=1995a+1995b+c \\ 12.9=2000a+2000b+c \end{cases}$$解得：$a=0.45,b=-1792.5,c=xxxxxxx$，所以二次函数为$y=0.45x^2-1792.5x+xxxxxxx$，代入$x=15$得到2005年该市国内生产总值为14.1亿元人民币。

初中数学教研题库及答案(3篇)

第1篇一、选择题1. 下列各数中，正数是（）A. -3B. 0C. 2D. -5答案：C解析：正数是指大于零的数，选项中只有2是大于零的，所以答案是C。

2. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -3/4D. 无理数答案：C解析：有理数包括整数和分数，-3/4是一个分数，所以答案是C。

3. 下列各数中，平方根是正数的是（）A. 16B. 9C. 4D. 0答案：B解析：平方根是指一个数的平方等于另一个数，9的平方根是3，而3是正数，所以答案是B。

4. 已知x²=25，则x的值是（）A. ±5B. ±2C. ±1D. 0答案：A解析：平方根是指一个数的平方等于另一个数，25的平方根是5，由于题目要求求所有可能的值，所以答案是±5。

5. 下列函数中，一次函数是（）A. y=2x+3B. y=x²-1C. y=3/xD. y=√x答案：A解析：一次函数是指函数的最高次项为1的函数，选项A中y=2x+3的最高次项为1，所以答案是A。

二、填空题1. 若a²=4，则a的值为_________。

答案：±2解析：平方根是指一个数的平方等于另一个数，4的平方根是2，由于题目要求求所有可能的值，所以答案是±2。

2. 若x²=9，则x的值为_________。

答案：±3解析：平方根是指一个数的平方等于另一个数，9的平方根是3，由于题目要求求所有可能的值，所以答案是±3。

3. 已知函数y=2x-1，当x=3时，y的值为_________。

答案：5解析：将x=3代入函数y=2x-1中，得到y=23-1=5。

4. 若a+b=7，a-b=3，则a的值为_________。

答案：5解析：将两个方程相加，得到2a=10，解得a=5。

5. 已知等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则该三角形的面积为_________。

2022届中考数学代数综合题模拟试卷

2022届中考数学代数综合题模拟试卷1．（通州一模）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与一次函数k 的图象交于、两点，(1,0)C 为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和一次函数k 的图象；（3）把（1）中的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象平移后得到新的二次函数22(0,)y ax bx c m a m =+++≠为常数的图象,.定义新函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为1y 或2y ，如果1y ≠2y ，函数f 的函数值等于1y 、2y 中的较小值;如果1y =2y ，函数f 的函数值等于1y （或2y ）.” 当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.1y x b =+)10(，A B 1y x b =+2.（房山一模）在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）,B （1，0），顶点为C .(1) 求抛物线的表达式和顶点坐标；(2) 过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.3.（西城一模）已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．（1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为 22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在 2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．4.（门头沟）已知：关于x的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G，如果直线y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．5.（平谷一模）已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（1 ，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为2时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO+∠EPO=∠α，当tanα=2时，求点P的坐标．6.（东城一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y axbx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.7.（海淀一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．8.（延庆毕业考试）二次函数2y x mx n =-++的图象经过点A （﹣1，4），B （1，0），12y x b =-+经过点B ，且与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为点C ．（1）求二次函数的表达式；（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交BD 于点M ，求MN 的最大值.9.（燕山毕业）抛物线c bx x y C ++=2121:与y 轴交于点C (0，3)，其对称轴与x 轴交于点A (2，0)．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，若抛物线2C 与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围．10.（朝阳一模）如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的横坐标是－3. （1）求的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF .①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围（直接写出结果）.a11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++经过 (13)A ，，(21)B ，两点. （1）求抛物线及直线AB 的解析式；（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如果图象G 沿y 轴向上平移t （）个单位后与直线AB 只有一个公共点，求的取值范围． 0t >t12．已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点，得到抛物线1C ．将抛物线1C 向下平移后经过点()0,2A -进而得到新的抛物线2C ,直线l 经过点A 和点()2,0B ，求直线l 和抛物线2C 的解析式；（3）在直线l 下方的抛物线2C 上有一点C ，求点C 到直线l 的距离的最大值．13、已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题： ①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围．14、已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．图1图215、在平面直角坐标系中，抛物线2+3y ax bx =+与x 轴交于点A （-3,0）、B （1,0）两点， D 是抛物线顶点，E是对称轴与x 轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点F 和点D 关于x 轴对称, 点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由.16、已知关于x 的一元二次方程()23130kx k x +++= (k ≠0).（1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）点()()120,0A x B x ，、在抛物线()2313y kx k x =+++上，其中12x x ＜0＜，且12x x 、和k 均为整数，求A ，B 两点的坐标及k 的值；（3）设（2）中所求抛物线与y 轴交于点C ，问该抛物线上是否存在点E ，使得ABEABCSS=，若存在，求出E点坐标，若不存在，说明理由.17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线224=与y轴交于点A（0,3），与x轴交于点B，C（点B在-++xy mx m m点C左侧）.（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；=+经过点D和点（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y kx b--，求直线DE的表达式；E(1,2)（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线214y x bx c =-++经过点A （4，0）和B （0，2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C ，点B 关于抛物线对称轴对称的点为D ，求直线CD 的表达式；（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A ，B 之间的部分（含点A ，B ）为图象G ，如果图象G 向上平移m （m ＞0）个单位后与直线CD 只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．19．已知关于x的方程mx2－(3m－1)x+2m－2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x的二次函数y= mx2－(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．。

初中数学代数习题及答案

即x≠4;
(2)(2/3)2002×(1.5)2003÷(﹣1)2004=(2/3×3/2)2002×1.5÷1=1.5.
点评:主要考查的知识点有:零指数幂,负指数幂和平方的运算,负指数为正指数的倒数,任何非0数的0次幂等于1.
8.
考点:因式分解-分组分解法｡1923992
分析:当被分解的式子是四项时,应考虑运用分组分解法进行分解.本题中a2+b2﹣2ab正好符合完全平方公式,应考虑为一组.
6
考点:因式分解-十字相乘法等;因式分解的意义｡1923992
分析:根据因式分解的定义,把一个多项式化为几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做把这个单项式因式分解,注意分解的结果要正确.
解答:解:(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
点评:在考查完全平方公式的前提下,更深层次地对杨辉三角进行了了解.
12
考点:规律型:数字的变化类｡1923992
专题:图表型｡
分析:根据表格中的数据发现:老芽数总是前面两个数的和,新芽数是对应的前一年的老芽数,总芽数等于对应的新芽数和老芽数的和.根据这一规律计算出第8年的老芽数是21a,新芽数是13a,总芽数是34a,则比值为
④应为(﹣a)3÷(﹣a)=(﹣a)2=a2,故本选项错误.
所以①②两项正确.
故选B.
点评:本题考查了单项式乘单项式,单项式除单项式,幂的乘方,同底数幂的除法,注意掌握各运算法则.
4
考点:完全平方公式｡1923992
专题:计算题｡
分析:首先找到它后面那个整数x+1,然后根据完全平方公式解答.
解答:解:x2是一个正整数的平方,它后面一个整数是x+1,

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