中学代数研究模拟试题和答案
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20 —20 学年上《初等代数研究》期末试卷Ｂ答案及评分标准
一、填空题（本大题共8题，每空3分，共24分）
1、2780；
2、43x +；
3、1；
4、(,10)1b =；
5、4；
6、
12
； 7、9m ≥； 8、21x -
二、判断题（本大题共 5题，每小题2分，共10分）
1、╳；
2、√；
3、╳；
4、╳；
5、√.
三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，本大题共 5题，每小题 2 分，共 10 分）
1、Ｄ；
2、Ｃ；
3、Ａ；
4、Ｄ；
5、Ｂ.
四、解答题（本大题共 7 题，第1－5小题每题 6分，第6、7小题每题7分，共 44 分） 1、 解：设()()2f x g x =-，则有
(0)18,(1)(2)(3)0f f f f =-=== ―――――――――――――――――2分
根据多项式关于它的根的分解式，可设
()(1)(2)(3)f x A x x x =---
再由(0)18f =-，得618,3A A -=-= ―――――――――――――――――2分 所以 ()()23(1)(2)(3)2g x f x x x x =+=---+
3
2
3183316x x x =-+- ―――――――――――――――――――2分
2、 解：24224
(1)2(1)a x a x y y ++-+ 2
2
2
22
[(1)]2(1)2(1)
a x y
a x y a x y =++-
+
+
- ―――――――――――2分 2
22
2
2
[(1)]4a x y x y =++- ――――――――――――――――――――2分 2
2
2
2
[(1)2][(1)2]a x y xy a x y xy =+++++- ――――――――――――2分
或 2222
[()][()]x y ax x y ax =++-+
3、 解：因为2
2
6sin sin cos 2cos 0x x x +-=，所以有 (2s i n c o s )(3s i n 2c o s
x x x x -
+=――――――――――――――１分 于是 2s i n
c o s
x x -=或3sin 2cos 0x x +=
得 12
t g x =
或23
tgx =- ――――――――――――――――――――――２分
由于
2
x π
π<<， 所以取23
tgx =-
―――――――――――――――――1分
从而 2
22
2()
212322151()
3
tgx tg x tg x
⨯-
=
=
=---- ―――――――――――――――2分
4、 解：不等式同解于不等式组
22240104(1)x x x x ⎧-≥⎪
+>⎨⎪-<+⎩
（1） （2）
（3）――――――――――――――－2分 由（1）式，得24x ≤，于是22x -≤≤ 由（2）式，得1x >-
由（3）式，得22230x x +->
，于是12x --
<
或12
x -+
>
――――――――3分
所以不等式的解集为：
22
x <≤ ―――――――――――――――――1分
5、 解：令(1)(1)(2)k u k k k k ∆=-++，则 ―――――――――――――――――2分
1(1)(2)(3)(1)(1)(2)k k k u u u k k k k k k k k +∆=-=+++--++
(1)(2)[(3)(1)]4(1)(2)k k k k k k k k =+++--=++ ―――――――――2分
于是
1
1
1
(1)(2)4
n
n
k k k k k k u ==++=
∆∑
∑111()4
n u u +=
-
1(1)(2)(3)4
n n n n =
+++ ――――――――――――――――――――――2分
6、
解：由x =
，得x -=，两边平方整理得
2
11)x x +=+ ―――――――――――――――――――――――2分
两边再平方整理，得
4
2
2248230x x x ---=――――――――――――――――――――――2分
令42
()2248230g x x x x =---=
，则0g +=
因 ()()
25f x g x =+，
所以
)2
5f =
―――――――――――――――――――――3分
7、 解：利用换底公式，有
2
42444log log 2log log log 2
x x x x =
== ――――――――――――――――－1分
方程组可写为24433log log (4)log ()log x y x x x y y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩
⇒2(4)x y x x
x y y ⎧=-⎪
⎨+=⎪⎩ (1) (2) ―――――2分 由（1）得 2
4x
y x
=
- 代入（2）式，得2
44x
x x x
x
-+
=
-
解得4x =-（舍）， 或43
x = ―――――――――――――――――――－3分
所以方程组的解为 4323
x y =
⎧⎨
=
⎩ ――――――――――――――――――――――1分
五、证明题（本大题共2题，每小题6分，共12分）
证明：（1）91910++== （2）919⋅= 9291(91)1011+
+
+
+=+=+== 92919199+
⋅=⋅=⋅+=+
=
9392(92)1112+
+
+
∴+=+=+== 9392
929189+
∴⋅=⋅=⋅+=+=
―――――――――――3分 ――――――――――3分
２、证明：设
22x y z k a b c
a c
a b c
=
=
=++--+，则有
(2)()(2)x a b c k y a c k z a b c k =++⎧⎪
=-⎨⎪=-+⎩
（1）
（2）
（3） ――――――――――――――――2分 解得 24x y z ak ++=
4x z bk -= ―――――――――――――――――――――３分
24x y z ck -+=
所以
1
224a
b c x y z
x z
x y z k
=
==++--+―――――――――――――１分