向量和矩阵的范数

相容范数
定义3.4.4 设 || x ||, || A || 分别为R n和R nn
的一种范数, 如果 || Ax |||| A || || x || 则称该矩阵范数 || A || 与此向量范数 || x || 是相容的。
算子范数
定理3.4.2 设x R n , A R nn , 并在R n上
定义向量范数 || x ||, 则 || Ax || || A || max max || Ax || x 0 || x || || x|| 1 为R
n n
上的矩阵范数, 且称其为算子范数。
算子范数
证明：由向量范数 || Ax || 的连续性知， Ax || || 在有界闭集{ x
定义3.4.5 征值, 则称 设λi(i 1,2 ,...,n) 为矩阵A的特
( A) max{| i |}
1 i n
为矩阵A的谱半径。 矩阵A的谱半径 ( A)不是A的一种范数, 但可能与A的任何一种范数有某种关系。
例题
2 1 求矩阵A 的谱半径。 2 4 2 1 解：由 || I A || 0 2 4 特征值 所以
2
2
向量范数
定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的
x ||, 且满足 : 1)非负性： x || 0，当且仅当x 0时， x || 0; || || 2)奇次性：kx || | k ||| x ||, k R; || 3)三角不等式：对任意x, y R , 都有 || x y |||| x || || y || ，
即
同理可证
推论 对R nn中任何矩阵算子范数, I为单位矩阵, 则 || I || max || Ix || 1 x 1
常见的矩阵范数
定理3.4.3 设矩阵A (aij ) nn R nn，x R n ,
p
则于向量范数 x ( p 1,2, )相容的矩阵范数是 1 范数： A ||1 max | aij | ||

x
x Ax A
x
由于x 0，故有
A
由的任意性，有 ( A) max{ } A 。
(2) 因为AT A ，故 || A || 2 | max ( A) | ( A)。 2 1 显然 A , ( A) 3 3 , || A || 2 5, || A || 6, 2 4 || A || 2 4.844 , || A || F 5，所以 ( A) || A || p 。 定理3.3.5 设A R nn , 为任意指定的小正数， 则必存在算子范数 *，满足 A * ( A)
3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计
和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维
向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大
小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。
向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到
原点的距离用|x|表示。而任意两点x1，
x2之间距离用| x1-x2 |表示。
x
(k )
( ( * * * {x1( k ) , x2k ) ,..., xnk ) }T , 如果存在x* ( x1 , x2 ,..., xn )T R n满足
lim xik xi*
k k *
则称向量序列{ x ( k ) }依次收敛到x* , 记作
x x 如果有 lim || x x || 0 则称向量序列{ x }依范数 || || 收敛到x
lim
k k * k (k )
*
定理3.4.1 向量序列{ x }( k 1,2,...) 依
(k )
坐标收敛到x*的充分必要条件是{ x ( k ) }依范 数 || || 收敛到x 。
*
事实上由
（ lim || x k） x* || 0 lim max xi( k ) xi 0 k k 1i n

||
x ||
2
n ||
x ||

1 例如 : || n
1 n x ||1 | xi | || n i 1
x ||

max{| xi |} | xi |
1i n i 1
n
向量的收敛性
定义3.4.2 设R n中一向量序列{ x ( k ) }( k 1,2,...), 其中 (i 1,2,..., n)
则必存在两正数m, M , 使得 m ||
x || || x || M || x ||
x R n
向量范数性质
等价性质：
1) 2) 3) 1 || x ||1 || x || || x ||1 n || x || || ||
x || n || x ||
1

x ||
向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到
原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。
| P1 P2 | ( x1 x2 ) ( y1 y 2 )
n
1 2 2
1 2
1 2
max{| xi |}
1 i n
向量范数性质
性质1 性质2 对任意x，y R n 有 设x R n , 则向量范数 ||
x y

x y。
x || 是分量
x1 , x2 ,..., xn的一致连续函数。 性质3 对R n中定义的任意两种范数 || || , || || ,
|| k Ax || | k ||| Ax || 2) || k A || max max | k ||| A || x0 x0 || x || || x || || Ax || 3) 由 || A || max ，则 || Ax |||| A |||| x || x R n x 0 || x || 于是 || ( A B ) x || || Ax Bx |||| A |||| (|| A || || B ||) || x ||
x
1}上一定能达到最大值
nn
所以 || A || 定义了A R 到R的一个对应法则。 所以下面只要验证范数定义的四个条件。 1) || Ax || || A || max 0显然成立， x 0 || x ||
若 || A || 0, 则 || Ax || 0，因为x 0, 只有可能A 0。
3.5.1 病态方程组与扰动方程组的误差分析
设系数矩阵有微小的扰动 0.0001 0 A 0 0 1.0001 0.99 x1 1.99 0.99 0.98 x 1.97 2
法则对应于一非负实数 ||
n
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
设向量x ( x1 , x2 ,..., xn )T || ||
x || | x |
1 i 1 i
n
x || || x ||
( | xi | ) ( x, x) ( xT x) 2
i 1
lim x
k
(k ) i
x
* i
(i 1,2,...n)
3.4.2 矩阵范数
定义3.4.3 设任意A R nn , 若按某一确定的法则对 应于一非负实数 || A ||, 且满足 : 1)非负性 :|| A || 0，当且仅当A 0时， A || 0; || 2)奇次性：k A|| | k ||| A || ，k R; || 3)三角不等式： A B |||| A || || B ||, A, B R nn ; || 4)相容性： A B ，A, B R nn， AB 则称 || A || 为R nn的一种范数。
对称矩阵范数
证明：由AT A知 || A || max ( A A) max ( A ) | max ( A) |
2 2 T 2 2
所以有
|| A || 2 | max ( A) |
又因为A非奇异，则 ( A) 0,由 ( A1 ) -1 ( A)得 || A1 || 2 || max ( A1 ) || || 1 ( A) || min
3.5 病态方程组与矩阵的条件数
例3.5.1 设线性方程组 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解 该方程组的精确解为x (1,1)T 。
x || || B |||| x ||
算子范数
所以对x 0有 || ( A B ) x || || A || || B || || x || || ( A B ) x || || A B || max || A || || B || x0 || x || || AB |||| A |||| B || 。
矩阵序列的收敛性
( 定义3.4.6 设矩阵序列Ak (aijk ) ) nn (k 1,2,..., ),
及矩阵A (aij ) nn , 如果
( lim aijk ) aij k
(i, j 1,2,..., n)
则称矩阵序列{ Ak }收敛到矩阵A, 记作 lim Ak A
k
如果
lim || Ak A || 0
k
则称矩阵序列{ Ak }依范数 || || 收敛于A。
与向量序列收敛性类似，矩阵序列{ Ak } (k 1,2,..., n) 收敛到矩阵A的充分必要条件是 { Ak } 依范数 收敛于矩阵A。 定理3.4 .6 设A R nn , 则 lim Ak 0 k 的充分必要条件是 ( A) 1。
得：
1 3 3 , 2 3 3。 ( A) 3 3
谱半径和矩阵序列的收敛性
定理3.4.4 设A R nn , 则 (1) ( A) || A ||, 这里 || A || 为A的任意一种算子范数; (2) 若AT A, 则 ( A) || A || 2 。 证明 （1 ）设 , x为矩阵A的任一特征对，即Ax x, 则
1 j n i 1 n
2 范数： A || 2 max ( AAT ) || 范数： A || max | aij | ||
1i n j 1 n
常见的矩阵范数
F 范数： F ( a ) A
j 1 i 1Байду номын сангаасn n 1 2 2 ij
一般称 A 1为矩阵的列范数， 为矩阵的行范数， A A 2 为矩阵的谱范数或欧几里德范数。 推论 设A为对称矩阵, 则 || A || 2 | max ( A) |, 又若A非奇异, 则 || A1 || 2 || 1 ( A) || 。 min
例题
2 1 例3.4.1 设矩阵A 2 4 , 求 || A || p ( p 1,2, )及 || A || F 解 :|| A ||1 max{ 2 | 2 |, | 1 | 4} 5 || A || max{ 2 | 1 |, | 2 | 4} 6 10 2 2 2 1 8 因为A A 2 4 10 17 1 4
T
由
| I A A |
T
8
10
10
17
0
解得1 23 .466 , 2 1.534，故 || A || 2 23 .466 4.844。 || A || F [2 2 (1) 2 (2) 2 4 ] 5
1 2 2
3.4.3 矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性