第二章数学模型的来源

h() KA
或
h ( ) K A
★ K在数值上等于对象重新稳定后，输出变化量与输入变化 量之比。 ★ 在一定的输入变化量A的作用下，通过对象被放大了K倍变 为输出变化量h(∞) ，故称K为对象的放大系数。 ★ K是对象的静态性能。 ★ 放大系数K越大，被控变量对这个量的变化就越灵敏。
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积分对象属于无自衡对象，一阶对象属于有自衡对象。 无自衡对象在受干扰的影响后，在没有人为干预的情况下， 依靠被控过程自身能力不能够重新恢复平衡的过程。 自衡对象在没有人或仪表的干预下，能自己建立新的平衡。
Q1 t h t h t Q1
t
无自衡对象 （积分对象）
有自衡对象 （一阶对象）
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四、二阶对象的建模
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四、对象数学模型的建立方法
★ 机理分析法 通过对过程内部运动机理的分析，根据其物理或化学变 化规律，在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后得 到过程特性方程，用微分方程或代数方程。这种方法完 全依赖于足够的先验知识，所得到的模型称为机理模型。 机理分析法一般只能用于简单过程的建模。 ★ 实验法 在需要建立数学模型的被控过程上，人为的施加一个扰 动作用，然后用仪表测量并纪录被控变量随时间变化的 曲线，这条曲线即是被控过程的特性曲线。将曲线进行 分析、处理，就可得到描述过程特性的数学表达式。
由反应式：AlCl3+3NaOH=Al(OH)3↓+3NaCl……(1) Al(OH)3+NaOH=NaAlO2+2H2O……(2) (1)式中NaOH与AlCl3的反应比例(3:1)可构造直线AC，如图1。 (2)式中NaOH与Al(OH)3的反应比例(1:1)可构造直线CB，如图1。
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已知A(4,0)，E(10,0)，F(18,0)，求C和B点的横坐标
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解：①由斜率 kAC=1/3和A(4,0)知直线AC的方程为 y =1/3(x-4)。 设B(t,0)，由kCB=-1知直线BC方程为： y=-1(x-t) 又∵G点和H点的纵坐标相同，得： 1/3(10-4)=-1(18-t) ∴t =20（此时沉淀完全消失） ②联立方程组y =1/3(x-4)、y=20-x 解得20-x=1/3(x-4); x=16（此时沉淀最多）。
当对象的动态特性用二阶微 分方程描述时,就称为二阶对 象，二阶对象常为双容对象， 如串联水槽。 根据物料平衡得：
dh1 Q1 Q12 dt dh A2 2 Q12 Q2 dt h1 Q12 R1 h Q2 2 R2 A1
d 2 h2 dh2 T1 T2 2 (T1 T2 ) h2 K Q1 dt dt
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3.3几何画板模型——图示模型
[例3]在20.00mL盐酸酸化的AlCl3溶液中加入 0.10mol/L的NaOH溶液，发现当加入4.00mL后， 开始出现沉淀，且当加入到10.00mL和18.00mL 时，出现的沉淀一样多，试求当加入多少毫升 NaOH溶液时，产生最大量的沉淀，当加入多少 毫升NaOH溶液时，沉淀完全消失？
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★ 通道的概念

通道：被控对象的输入变量至输出变量的信号联系称为通道. 干扰通道：干扰变量至被控变量的信号联系。 控制通道：操纵变量至被控变量的信号联系。 输入 f1 f2 干扰变量 操纵变量 输入 对象
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被控变量
输出
二、被控对象数学模型的类型
★ 按数学模型的表述形式分 ● 非参量模型（曲线图或数据表形式） 优点:形象、直观 缺点：进行系统分析和设计比较困难 ● 参量模型（数学方程式） ★ 按数学模型所描述的运动状态分 ●静态模型（描述对象在静态时的输入量与输出量之
τ 时间才进入系统，并不影响控制系统的品质；而容量
滞后的存在，则将使阶跃扰动的影响趋于缓和，被控变量 的变化相应也缓和些，因此对系统是有利的。
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3.1比例方程模型——算法模型 利用化学方程式的比例关系，计算反应物的 用量或求解产物，是化学实验计算教学中的 一大类型。 [例1] 求5.4gAl与足量盐酸反应生成氢气 的体积？消耗6mol/L的盐酸多少毫升？
dh KA t / T e dt T
T
t
t = 0 时 dh KA h() 当对象受到阶跃输入作用后，被控变 量如果保持初始速度变化，达到新的
dt
T
T
稳态值所需的时间就是时间常数。
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时间常数T越大，表示被控变量变化越慢，达到 新稳定值所需要时间也较长。
对于控制通道，时间常数尽量小，使被控变量变 化比较快捷，控制过程比较灵活。 对扰动通道来说，希望时间常数尽量大，这样 扰动对被控参数的影响平缓。
二、时间常数 T
T 表示对象受扰动作用后，被控变量变化到新稳定值的 速度的快慢。 当t=T时， h(T ) KA 1 e1 0.632KA 0.632h()


时间常数T就是当被控变量变化达到新的稳态值的 0.632倍所需的时间。 时间常数的另一种求法：
h(∞)
0.632h (∞)
间的关系，不随时间而变化） ●动态模型（描述对象在输入量改变后输出量的变化 情况，输入量、输出量随时间而变化）
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三、建立被控对象数学模型的作用

控制系统的方案设计
控制系统的调试及控制器参数的整定
制定工业过程操作优化方案
新型控制方案及控制算法的确定 计算机仿真与过程培训系统
设计工业过程的故障检测与诊断系统
一、放大系数 K
对一阶对象，如贮槽液位 变化h与Q1的特性可用下面的 微分方程表示：
h
dh T h KQ1 dt
假设 t≤0时， Q1=0 t＞0时， Q1=A
Q1 A t
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解微分方程得：
t h KA1 e T
h(∞)
t
根据该式可画出h-t曲线，实质上该曲线为一阶对象的阶跃 响应曲线。当t→∞时，被控变量达到了新的稳态值h(∞)，即
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3.2代数方程模型——公式模型
[例2]在25℃时，10体积强酸和1体积强碱混合恰好 呈中性，则强酸和强碱的pH之间应满足什么关系？ 分析：由于pH与数学中的对数知识相关联， 本题可利用数学中的对数来解决。 解：设强酸pH= -lg[H+]=x，则知[H+]=10-x； 同理设强碱pH=y=-14+lg[OH-]，则知[OH]=10y-14。 由于2者混合后溶液呈中性，有：V强酸 •[H+]=V强碱•[OH-] 10×10-x=1×10y-14 101-x=10 y-14 1-x=y-14 ∴ x+y =15。
dh T h K Q1 dt
T ARs
时间常数 放大系数
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K Rs
三、积分对象的建模
当对象的输出变量与输入变量对时间的积分成比例关系 时，称为积分对象。
dh Q1 Q2 A dt
h
dh Q1 A dt
积分对象
△h
1 h Q1 dt A
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t
三、积分对象的建模
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ห้องสมุดไป่ตู้
三、滞后时间τ
传递滞后（纯滞后） 容量滞后 在许多控制过程当输入量发生变化后，输出量 不是立即发生此变化，而是等一段时间后才开始发 生变化，这种现象称为滞后现象。
1、传递滞后（纯滞后） ★ 由于介质的输送需要一段时间而引起； ★ 从测量角度来说，由于测量点选择不当、测量元 件安装不合适等原因也会造成。
★ 消去中间变量，写出只含输入、输出参数的数学方程，即 对象的数学模型。
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二、一阶对象的建模
当对象的动态特性可以用一阶微分方程式描述时，一般
称为一阶对象。 水槽对象的模型建立： 工艺要求液位保持恒定，液位高 度就是被控变量。Q1变化时，液位 h如何变化？ 在dt时间内: 输入量 - 输出量 = 积累量
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传递滞后（纯滞后）
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有、无纯滞后的一阶对象数学模型及阶跃响应曲线
dy t T y t Kx t dt
无滞后 有滞后
dy t 0 T y t 0 Kx t dt
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τ0
2.容量滞后（过渡滞后）
有些对象受到阶跃作用后，被控变量y开始变化很慢，后 来逐渐加快，最后变慢直至逐渐接近稳态值，这种现象为容 量滞后或过渡滞后。由于物料或能量的传递需要通过一定阻 力而引起，如两个水槽串联的二阶对象：
这种应用对象的输入输出的实测数据来决定其模型的结构 和参数，通常称为系统辩识。 15
一、阶跃反应曲线法
★用实验的方法测取对象在阶
跃输入的作用下，输出量y 随时间t的变化规律。如简 单水槽的反应曲线。 ★优点：简单易行，容易实
h
Q1
t0
t
现，数据处理比较简单。
★缺点：需要的时间长，测试 精度受到限制，加大 幅值受工艺影响。
第二章 数学模型的来源
第一节 第二节 第三节 第四节
化工过程的特点及其描述方法 机理分析法建立对象的数学模型 实验方法建立对象的数学模型 描述对象特性的参数
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导论： 数学模型与数学建模概念 数学模型就是对于一个特定的对象为了一 个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些 必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到 的一个数学结构。数学结构可以是数学公式， 算法、表格、图示等。 用数学的符号和语言，把它表述为数学式 子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的 模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。 这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
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利用数学模型解决化学计算的意义 化学计算的目的不仅在于化学 实验的数据处理，意义更在于学生 解题能力的培养和素质训练数学模 型
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第一节 化工过程的特点及描述方法
一、被控过程（对象）的特性