北京市高考数学分项精华版专题05 平面向量(含解析)

合集下载

2024年高一数学真题分类汇编(北京专用)平面向量基本定理及坐标表示5种常考题型归类(解析版)

专题03平面向量基本定理及坐标表示5种常考题型归类对基向量概念的理解1．（2021春•丰台区校级期中）1e 和2e是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是()A ．1232e e - 和2146e e -B ．12e e + 和12e e -C ．122e e + 和212e e + D ．2e 和21e e + 【解析】由题意1e 和2e是表示平面内所有向量的一组基底，A 选项中，存在一个实数2-使得2112462(32)e e e e -=--，此两向量共线，故不能作为基底，A 可选；B 选项中找不到一个非零实数λ使得1212()e e e e λ+=-成立，故不能选B ；C 选项与D 选项中的两个向量是不共线的，可以作为一组基底，综上，A 选项中的两个向量不能作为基底．故选：A ．2．（2023春•新华区校级期中）在下列向量组中，可以把向量(3,2)a =表示出来的是()A ．1(0,0)e = ，2(1,2)e =B ．1(1,2)e =- ，2(5,2)e =-C ．1(3,5)e = ，2(6,10)e =D ．1(2,3)e =- ，2(2,3)e =-【解析】根据12a e e λμ=+，选项:(3A ，2)(0λ=，0)(1μ+，2)，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项:(3B ，2)(1λ=-，2)(5μ+，2)-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项:(3C ，2)(3λ=，5)(6μ+，10)，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项:(3D ，2)(2λ=，3)(2μ-+-，3)，则322λμ=-，233λμ=-+，无解，故选项D 不能．故选：B ．3．（2022秋•北京期中）下列各组向量中，可以作为基底的是()A ．1(0,0)e = ，2(1,2)e =B ．1(3,4)e = ，2(1,2)e =C ．1(3,4)e = ，2(6,8)e =D ．1(3,4)e =- ，24(1,)3e =- 【解析】对于A ，因为1(0,0)e = ，0与任何一个向量均为共线向量，不能做基底，故A 错误；对于C ，因为1212e e =，两向量共线，不能做基底，故C 错误；对于D ，因为123e e =-，两向量共线，不能做基底，故D 错误；故选：B ．用基底表示向量4．（2023春•海淀区校级期中）已知非零向量OA ，OB 不共线，且13BM BA =，则向量(OM = )A ．1233OA OB + B ．2133OA OB +C ．1233OA OB -D ．2133OA OB-【解析】由题设1112()3333OM OB BM OB BA OB OA OB OA OB =+=+=+-=+．故选：A ．5．（2023春•东城区校级期中）已知P 为ABC ∆所在平面内一点，2BC CP =，则()A ．1322AP AB AC=-+B ．1233AP AB AC=+C ．3122AP AB AC=- D ．2133AP AB AC=+ 【解析】由于2BC CP =，利用向量的线性运算，22AC AB AP AC -=-，整理得：1322AP AB AC =-+．故选：A ．6．（2023春•东城区校级期中）设点D 为ABC ∆中BC 边上的中点，O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则()A ．1162BO AB AC=-+B ．1122BO AB AC=-C ．5166BO AB AC=- D ．5166BO AB AC=-+【解析】如图，D 为BC 中点，O 为靠近A 的三等分点，11()36AO AD AB AC ==+，151()666BO AO AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+．故选：D ．7．（2021春•东城区校级期中）在ABC ∆中，13BD BC =，若AB a = ，AC b = ，则(AD = )A ．1233a b -B ．1233a b +C ．2133a b +D ．2133a b- 【解析】在ABC ∆中，13BD BC = ，AB a =，AC b = ，如图，则D 为BC 的一个3等分点，作平行四边形，则2133AD AE AF a b =+=+ ．故选：C ．8．（2023春•海淀区校级期中）如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，对角线AC 、DB 相交于点O ．若AD a = ，AB b = ，(OC =)A ．36a b -B ．36a b +C ．233a b +D ．233a b -【解析】//AB CD ，2AB CD =，DOC BOA ∴∆∆∽且2AO OC =，则223AO OC AC == ，∴13OC AC = ，而1122AC AD DC AD AB a b =+=+=+ ，∴11111()33236OC AC a b a b ==+=+ ，故选：B ．9．（2021春•丰台区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，3AE AF =，则(DF = )A ．1233AB AD-+B ．1233AB AD-C ．1334AB AD-D ．1536AB AD-【解析】在平行四边形中，由已知可得：111()332DF AF AD AE AD AB BC AD=-=-=+-11153636AB AD AD AB AD =+-=-，故选：D ．10．（2023春•门头沟区校级期中）已知矩形ABCD 中，13AE AB =，若,AD a AB b == ，则(CE = )A ．23a b -+B ．23a b --C ．23a b +D ．23a b- 【解析】112333CE CD DA AE DC AD AB a b b a b =++=--+=--+=--，故选：B ．11．（2023春•台江区期中）如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则(AF =)A ．3144AB AD +B ．1344AB AD+ C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+ ，12AE AB = ，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+ ．故选：D ．12．（2023秋•顺义区校级期中）如图所示的ABC ∆中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则(DE =)A ．1136BA BC--B ．5163BA BC--C ．1163BA BC--D ．5163BA BC-+【解析】点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，∴1123DE AE AD AB AC=-=-11()23AB AB BC =-+1163BA BC =--，故选：C ．利用平面向量基本定理求参数13．（2020春•朝阳区校级期中）设E 为ABC ∆的边AC 的中点，BE mAB nAC =+ ，则m n +=．【解析】如图，E 为ABC ∆的边AC 的中点，∴11111()22222BE BA BC AB AC AB AB AC =+=-+-=-+，又BE mAB nAC =+，∴11122m n +=-+=-．故答案为：12-．14．（2018秋•朝阳区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE 、DF ，交于点G ，若(,)CG CD CB R λμλμ=+∈，则λμ=．【解析】设1()222k CG kCE k CB CD CD kCF ==+=+．D ，G ，F 三点共线，∴212k k +=，25k ⇒=．12,55λμ==，∴12λμ=．故答案为：12．15．（2023春•海淀区校级期中）如图，ABC ∆中，AB a = ，AC b =，D 为BC 中点，E 为AD 中点，CE 用a和b 表示为CE a b λμ=+ ，则(λμ=)A ．3B ．3-C ．13D ．13-【解析】D 为BC 中点，∴1()2AD AB AC =+，E 为AD 中点，∴1113()2444CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC =-=-=+-=-，AB a = ，AC b =，∴1344CE a b =- ，CE a b λμ=+，14λ∴=，34μ=-，∴13λμ=-．故选：D ．16．（2021春•顺义区校级期中）平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，点E 满足2AE EO = ，若BE BA BD λμ=+，λ，R μ∈，则(λμ+=)A ．0B ．13C ．23D ．12【解析】如图所示，由图可知112111()()333333BE BA AE BA AC BA AD AB BA BD BA BA BD =+=+=++=+-=+，∴13λ=，13μ=，23λμ∴+=．故选：C ．17．（2023秋•海淀区期中）在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若//OP OM，且(0)OP xOA yOB x =+≠ ，则y x=．【解析】点M 为边AB 的中点，∴AM MB = ，即OM OA OB OM -=- 由此可得1()2OM OA OB =+//OP OM，且(0)OP xOA yOB x =+≠ ，∴存在实数λ，使OM OP λ= ，即1()()2OA OB xOA yOB λ+=+由此可得12x y λλ==，得到x y =，所以1y x=故答案为：118．（2023春•顺义区期中）如图，在66⨯的方格中，已知向量a，b ，c 的起点和终点均在格点，且满足(,)a xb yc x y R =+∈，那么x y +=．【解析】分别设方向水平向右和向上的单位向量为i，j ，则2a i j =-，22b i j =+ ，24c i j =- ，又因为(22)(24)a xb yc x y i x y j =+=++-，所以222241x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11122x y +=+=．故答案为：1．19．（2023春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，若(,)AD AB AC R λμλμ=+∈ ，则λμ=．【解析】在ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴12AC AB =，BAC ∠ 的平分线交BC 于点D ，∴由三角形的内角平分线定理得：12CD AC DB AB ==，∴由分点恒等式得：1233AD AB AC =+，∴12,33λμ==，∴12λμ=．故答案为：12．20．（2022春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+ ，则14m n+的最小值是()A ．4B ．9C ．8D ．13【解析】D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线， AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14144()559n m m n m n m n m n+=++=+++= ，当且仅当4n m m n =，即2n m =，又1m n += ，13m ∴=，23n =时取等号．∴14m n+的最小值为9．故选：B ．平面向量的坐标运算21．（2023春•东城区校级期中）若(2,2)OA = ，(1,1)OB =- ，则AB等于()A ．(1,3)--B ．(2,3)-C ．(1,2)-D ．(2,3)-【解析】由(2,2)OA = ，(1,1)OB =-，则(1,1)(2,2)(1,3)AB OB OA =-=--=--．故选：A ．22．（2022春•西昌市期中）已知向量(4,4),(5,1)OA OB =-=-- ，则13AB等于()A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(3,1)-D ．(1,3)-【解析】向量(4,4),(5,1)OA OB =-=-- ，∴(9,3)AB OB OA =-=- 则1(3,1)3AB =-，故选：C ．23．（2022春•丰台区期中）若向量(1,2)a =，(1,3)b =- ，则向量2a b -= ．【解析】向量(1,2)a =，(1,3)b =- ，∴向量22(1a b -=，2)(1--，3)(3=，1)．故答案为：(3,1)．24．（2021春•海淀区期中）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b = ，则2a b += ．【解析】 (1,2)a =-，(3,1)b = ，∴2(1a b +=，2)2(3-+，1)(7=，0)，故答案为：(7,0)．25．（2023秋•昌平区校级期中）已知向量a ，b满足(2,3)a b += ，(2,1)a b -=- ，则2a b -=．【解析】(2,3)a b += ，(2,1)a b -=-，则(0,2)a =，(2,1)b = ，故2(0a b -=，2)(4-，2)(4=-，0)．故答案为：(4,0)-．26．（2021春•石景山区校级期中）已知平面直角坐标系内一点(2,3)P -，向量(1,2)PM =，向量(2,0)PN =-，那么MN 中点坐标为()A ．3(,2)2-B ．3(,1)2--C ．5(,4)2-D ．3(,1)2-【解析】设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由题意可知1121(3)2x y -=⎧⎨--=⎩，2222(3)0x y -=-⎧⎨--=⎩，解得1131x y =⎧⎨=-⎩，2203x y =⎧⎨=-⎩，(3,1)M ∴-，(0,3)N -，MN ∴中点坐标为3(2，2)-，故选：A．向量共线的坐标表示27．（2022春•北京期中）已知向量(1,2)a =-，(,1)b t = ，若//a b ，则(t =)A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解析】向量(1,2)a =-，(,1)b t = ，∴//a b⇒112t =-，故12t =-，故选：B ．28．（2023秋•西城区校级期中）已知向量(,1)a m =，(1,2)b =- ．若//a b ，则(m =)A ．2B ．1C ．1-D ．12-【解析】向量(,1)a m =，(1,2)b =- ，//a b ，则21(1)m =⨯-，解得12m =-．故选：D ．29．（2022秋•顺义区校级期中）(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b = ，若//a b ，则tan θ=．【解析】(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b = ，//a b ，则cos sin θθ=，则sin tan 1cos θθθ==．故答案为：1．30．（2022秋•北京期中）已知向量(2,3)a = ，(1,2)b =- ，若ma nb + 与2a b -共线，则m n等于()A ．12-B ．12C ．2-D ．2【解析】(2,32)ma nb m n m n +=-+ ，2(4,1)a b -=- ，ma nb + 与2a b -共线，(2)(1)4(32)0m n m n ∴---+=，147m n ∴-=，则12m n =-，故选：A ．31．（2009秋•昌平区校级期中）已知向量(1,3)a =，(3,)b n = 若2a b - 与b 共线，则实数n 的值是()A ．6B ．9C ．3+D ．3-【解析】2(1,6)a b n -=--，2a b - 与b 共线，(1)3(6)0n n ∴-⨯-⨯-=，得9n =．故选：B ．32．（2023春•东城区校级期中）已知向量(2,1),(,2)a b x ==- ，若//a b，则(a b += )A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)-【解析】 (2,1),(,2)a b x ==- ，且//a b，2(2)0x ∴⨯--=，解得4x =-，故(4,2)b =-- ，(2,1)a b +=--．故选：A ．33．（2023秋•西城区校级期中）已知向量(21,3,1)a m m =+-，(2,,)b m m =- ，且//a b ，则实数m的值为．【解析】由题意得(21):23:(1):()2m m m m m +==--⇒=-．故答案为：2-．34．（2023秋•顺义区校级期中）已知平面向量(1,2)a =- ，(3,2)b =- ，(,)c t t =，若()//a c b + ，则(t =)A ．52B ．45-C ．54-D ．74-【解析】由(1,2)a =- ，(3,2)b =- ，(,)c t t =，可得(1,2)a c t t +=-+，又()//a c b +，则有3(2)2(1)0t t ++-=，解得45t =-．故选：B ．35．（2023秋•丰台区期中）已知平面向量(1,2),(2,1)a b ==- ，若ma b + 与a b -共线，则m 的值为．【解析】由(1,2),(2,1)a b ==- 可得(2,21)ma b m m +=+- ，(1,3)a b -=-，由ma b + 与a b -共线可得3(2)210m m ++-=，解得1m =-．故答案为：1-．36．（2023春•海淀区校级期中）已知(1,2)a =，(3,3)b = ，若()//()a b b a λ+- ，则λ=．【解析】由题设(3,2a b λλλ+=++，(2,1)b a -= ，又()//()a b b a λ+-，所以32321λλ++=，则1λ=-．故答案为：1-．37．（2022春•东城区校级期中）已知点(1,2)A -，(2,)B y ，向量(1,2)a =，若//AB a ，则实数y 的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】点(1,2)A -，(2,)B y ，向量(1,2)a =，∴(3,2)AB y =-， //AB a ，∴2231y -=，解得8y =．故选：D ．38．（2022春•东城区校级期中）已知(1,2)A ，(3,7)B ，(,1)a x =-，//AB a ，则()A ．25x =，且AB 与a方向相同B ．25x =-，且AB 与a方向相同C ．25x =，且AB 与a方向相反D ．25x =-，且AB 与a方向相反【解析】(1,2)A ，(3,7)B ，可得(2,5)AB =(,1)a x =-，//AB a ，可得52x =-，解得25x =-．2(5a =-，1)-，与AB 方向相反．故选：D ．39．（2023秋•西城区校级期中）已知向量(1,1)a = ，(,2)b x tx =+ ．若存在实数x ，使得a与b 的方向相同，则t 的一个取值为．【解析】由a与b 共线，可得(2)0x tx -+=，化为21(0)t x x=-≠，取2x =，解得0t =，此时(2,2)2b a == ，满足a与b 的方向相同．故答案为：0（答案不唯一）．40．（2023秋•顺义区校级期中）在ABC ∆中，32AD DC = ，P 是直线BD 上的一点，若25AP t AB AC =+则实数t 的值为()A ．13-B ．13C ．23-D ．23【解析】因为32AD DC = ，且25AP t AB AC =+，所以2253AP t AB AC t AB AD =+=+ ；因为B ，P ，D 三点共线，所以213t +=，所以13t =．故选：B ．41．（2019秋•海淀区期中）在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈ ．若32λμ+=，则||(||CD AB = )A ．13B ．12C ．1D ．2【解析】如图所示，过C 作//CE AD ，又//CD AB ．∴四边形AECD 是平行四边形．∴AC AE AD =+ ，又(,)AC AB AD R λμλμ=+∈．1μ∴=，AE AB λ=，又32λμ+=，12λ∴=．则||||12||||CD AE AB AB ==．故选：B ．42．（2023春•东城区校级期中）如图所示的ABC ∆中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则(DE = )A ．1136BA BC --B ．1163BA BC -- C ．5163BA BC --D ．5163BA BC-+【解析】依题意，11111113233263DE DA AE AC BA BC BA BA BA BC =+=--=-+-=--．故选：B ．43．（2023春•东城区校级期中）已知向量(1,2)a = ，(,1)b t =- ，(3,1)c =--．（Ⅰ）若()//(2)a b a c +-，求实数t 的值；（Ⅱ）若()a b c ⊥+ ，求a与b 夹角的余弦值．【解析】（Ⅰ）(1,2)a = ，(,1)b t =- ，(3,1)c =--，则(1,1)a b t +=+ ，2(5,5)a c -=，()//(2)a b a c +-，则5(1)15t +=⨯，解得0t =；（Ⅱ）设a与b 夹角的余弦值为θ，[0θ∈，]π，(3,2)b c t +=-- ，(1,2)a =，()a b c ⊥+，则340t --=，解得7t =，(1,2)a =，(7,1)b =- ，则||a ==，||b ==故cos ||||a ba b θ⋅==44．（2022春•东城区校级期中）在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 在直线AD 上，且满足2DM AD = ，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=．【解析】设BD k BC k AC k AB ==-，2DM AD = ，∴33()(33)3AM AD AB BD k AB k AC ==+=-+ ，则(33)3(23)3BM AM AB k AB k AC AB k AB k AC =-=-+-=-+ ，BM AB AC λμ=+ ，23k λ∴=-，3k μ=，2λμ∴+=，故答案为：2．45．（2022春•东城区校级期中）已知向量(1,2)a =，向量(3,2)b =- ．（Ⅰ）求||a和||b ；（Ⅱ）当k 为何值时，向量a kb + 与向量3a b -平行？并说明它们是同向还是反向．【解析】（Ⅰ）||a == ||b == ；（Ⅱ）3(10,4)a b -=-，由向量a kb + 与向量3a b -共线可得(13)(4)10(22)0k k -⨯--+=，解得3k =-，代入得(10,4)a kb +=-，即两个向量同向．46．（2021春•海淀区期中）已知点(5,2)A -，(1,4)B -，(3,3)C ，M 是线段AB 的中点．（Ⅰ）求点M 和AB的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足//BD CM，求点D 的坐标．【解析】（Ⅰ）(5,2)A - ，(1,4)B -，M 是线段AB 的中点，51(2M -∴，24(22-+=，1)，(1AB OB OA =-=-，4)(5-，2)(6-=-，6)；（Ⅱ）设(,0)D x ，则(1,4)BD x =+- ，(1,2)CM =--， //BD CM ，(1)(2)(4)(1)0x ∴+⋅---⋅-=，解得：3x =-，∴点D 的坐标是(3,0)-．。

2021年高考数学分项汇编专题5 平面向量(含解析)理

2021年高考数学分项汇编专题5 平面向量（含解析）理一．基础题组1. 【xx全国卷Ⅰ，理6】设a、b、c是单位向量，且a·b=0，则（a-c）·（b-c）的最小值为（）A.-2B.C.-1D.【答案】：D2. 【xx全国1，理3】在中，，．若点满足，则（）A．B．C．D．【答案】A.3. 【xx课标Ⅰ，理15】已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．【答案】．4. 【xx全国，理13】已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝__________．【答案】：5. 【xx高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（）（A） (B)（C） (D)【答案】A【考点定位】平面向量的线性运算二．能力题组1. 【xx全国，理9】设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0.如果平面各量b1，b2，b3满足│b i│=2│a i│，且a i的顺时针旋转后与b i同向，其中i-1，2，3，则（）（A）-b1+b2+b3=0 （B）b1-b2+b3=0（C）b1+b2-b3=0 （D）b1+b2+b3=0【答案】D2. 【xx课标全国Ⅰ，理13】已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，则t ＝__________.【答案】：2三．拔高题组1. 【2011全国，理12】设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于( )A．2 B． C． D．1【答案】：A20493 500D 倍 gT25851 64FB 擻24874 612A 愪35674 8B5A 譚35228 899C 覜 31294 7A3E 稾n33973 84B5 蒵36567 8ED7 軗&。

十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之平面向量

十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题06平面向量本专题考查的知识点为：平面向量，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的坐标表示，平面向量的数量积，平面向量基本定理，平面向量与充分必要条件综合问题等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以平面向量的数量积，平面向量基本定理为重点较佳.1．【2019年北京理科07】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．【2018年北京理科06】设a →，b →均为单位向量，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．【2017年北京理科06】设m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →•n →＜0”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．【2016年北京理科04】设a →，b →是向量，则“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【2015年北京理科13】在△ABC 中，点M ，N 满足AM →=2MC →，BN →=NC →，若MN →=x AB →+y AC →，则x ＝，y ＝．6．【2014年北京理科10】已知向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ），则|λ|＝． 7．【2013年北京理科13】向量a →，b →，c →在正方形网格中的位置如图所示，若c →=λa →+μb →（λ，μ∈R ），则λμ=．8．【2012年北京理科13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →⋅CB →的值为．9．【2011年北京理科10】已知向量a →=（√3，1），b →=（0，﹣1），c →=（k ，√3）．若a →−2b →与c →共线，则k ＝．10．【2020年北京卷15】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，则|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=_________；PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =_________．1．【2020届北京市丰台区高三一模】已知向量a ⃗=(x,2)，b ⃑⃗=(−2,1)，满足a ⃗//b ⃑⃗，则x =（） A ．1B ．−1C ．4D ．−42．【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（二）】已知向量a ⃗=(1,√3),b ⃑⃗=(−1,0),c ⃗=(√3,k).若a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线，则实数k =（） A ．0B ．1C ．√3D ．33．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】已知向量a ⃗=(−12,√32),b⃑⃗=(√32,−12)，则下列关系正确的是（） A ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗ B ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥a ⃗ C ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b⃑⃗) D ．(a ⃗+b ⃑⃗)//(a ⃗−b⃑⃗) 4．【北京市通州区2020届高考一模】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)).则|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=（） A ．1B ．√3C ．2D ．与α有关5．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】a ⃗,b ⃑⃗为非零向量，“a ⃑⃗|b ⃑⃗|=b ⃑⃗|a⃑⃗|”为“a ⃗,b ⃑⃗共线”的（） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件6．【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知非零向量a ⃗，b ⃑⃗满足|a ⃗|=2|b ⃑⃗|，且（a ⃗–b ⃑⃗）⊥b ⃑⃗，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】设a ⃗,b ⃑⃗是向量，“|a ⃗|=|a ⃗+b ⃑⃗|”是“|b ⃑⃗|=0”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】向量l 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa ⇀+b ⇀与c ⇀共线,则实数λ=（）A ．−2B ．−1C ．1D ．29．【北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末】设向量a ⇀，b ⇀满足a ⇀+b ⇀=(3,1)，a ⇀⋅b ⇀=1，则|a ⇀−b ⇀|=() A ．2B ．√6C ．2√2D ．√1010．【2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学】已知平面向量a ⃗,b ⃑⃗的夹角为60°,a ⃗=(√3,1),|b ⃑⃗|=1则|a ⃗+2b⃑⃗|=（） A ．2B ．√7C ．2√7D ．2√311．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知平面向量a ⇀=(1,−3),b ⇀=(−2,0)，则|a ⇀+2b ⇀|=（） A ．3√2B ．3C ．2√2D ．512．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=π3，∠ACB ≠π2，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是（） A ．13B ．12C ．√33D ．2313．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】对于非零向量a ⃗，b ⃑⃗，“(a ⃗+b ⃑⃗)⋅a ⃗=2a ⃗2”是“a ⃗=b ⃑⃗”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．【北京市2020届高考数学预测卷】已知|a ⃗|=1，则“a ⃗⊥(a ⃗+b ⃑⃗)”是“a ⃗⋅b ⃑⃗=−1”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件15．【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知向量a ⃗=(0,5)，b ⃑⃗=(4,−3)，c ⃗=(−2,−1)，那么下列结论正确的是() A ．a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗为共线向量 B ．a ⃗−b⃑⃗与c ⃗垂直 C ．a ⃗−b⃑⃗与a ⃗的夹角为钝角 D ．a ⃗−b⃑⃗与b ⃑⃗的夹角为锐角 16．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学高三3月高考适应性测试】已知正ΔABC 的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=ED ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，那么EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为（） A ．−83B ．−1C ．1D ．317．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】在平行四边形ABCD 中，AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点.若AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3，则AB 的长为（） A ．12B ．1C ．2D ．318．【2020届北京市朝阳区六校高三四月联考】已知向量a ⃗=(2,2√3)，若a⃗⋅b ⃑⃗=−163，则b ⃑⃗在a ⃗上的投影是（） A ．34B ．−34C ．43D ．−4319．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期4月月考】若两个非零向量a ⃗、b ⃑⃗满足(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，且|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗夹角的余弦值为（） A ．35B ．±35C ．12D ．±1220．【北京师范大学附属中学2019届高三（下）四月份月考】已知ΔABC 中，AB =10，AC =6，BC =8,M 为AB 边上的中点，则CM ⇀⋅CA ⇀+CM ⇀⋅CB ⇀=() A ．0B ．25C ．50D ．10021．【2020届北京市八一学校高三第一学期高三10月月考】已知向量a ⇀=(2,1)，a ⇀⋅b ⇀=10，|a ⇀+b ⇀|=5√2，则|b⇀|=________. 22．【北京师范大学附属实验中学2019届高三下学期第一次质量评估】已知向量a ⇀=(2,4)，b ⇀=(−1,m)．若a ⇀//b ⇀，则a ⇀⋅b ⇀=__________．23．【2020届北京市顺义区高三二模】已知向量a ⃗=(−1,2)，b ⃑⃗=(x,1)，若a ⃗⊥b ⃑⃗，则实数x =___________. 24．【2020届北京市高考适应性测试】已知向量a ⃗=(1,m)，b ⃑⃗=(2,1)，且a ⃗⊥b ⃑⃗，则m =________． 25．如图所示，平面内有三个向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，其中OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为120°，OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗与OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的夹角为30°，且|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|＝|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|＝1，|OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|＝2√3.若OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝λOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋μOB⃑⃑⃑⃑⃑⃗(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．26．【北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末】已知向量a ⇀=(−4,6),b ⇀=(2,x)满足a ⇀//b ⇀,其中x ∈R ,那么|b⇀|=_____________ 27．【北京市海淀区清华大学附属中学2019-2020学年高三上学期10月月考】在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60∘,点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=16DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AF⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为． 28．【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知向量BA⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(12,√32)，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(√32,12)，则∠ABC =______. 29．【2020届北京市高三高考模拟】已知向量a ⃗=(1,1),b ⃑⃗=(−3,m)，若向量2a ⃗−b ⃑⃗与向量b ⃑⃗共线，则实数m =__________．30．【2020届北京市第十一中学高三一模】平面向量a ⃗=(1,2)，b ⃑⃗=(4,2)，c ⃗=ma ⃗+b ⃑⃗（m ∈R ），且c ⃗与a ⃗的夹角等于c ⃗与b ⃑⃗的夹角，则m =.1．【2019年北京理科07】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的（）C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】解：点A ，B ，C 不共线，“AB →与AC →的夹角为锐角”⇒“|AB →+AC →|＞|BC →|”， “|AB →+AC →|＞|BC →|”⇒“AB →与AC →的夹角为锐角”，∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的充分必要条件．故选：C ．2．【2018年北京理科06】设a →，b →均为单位向量，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】解：∵“|a →−3b →|＝|3a →+b →|” ∴平方得|a →|2+9|b →|2﹣6a →•b →=9|a →|2+|b →|2+6a →•b →，即1+9﹣6a →•b →=9+1+6a →•b →，即12a →•b →=0，则a →•b →=0，即a →⊥b →，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的充要条件，故选：C ．3．【2017年北京理科06】设m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →•n →＜0”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】解：m →，n →为非零向量，存在负数λ，使得m →=λn →，则向量m →，n →共线且方向相反，可得m →•n →＜0．反之不成立，非零向量m →，n →的夹角为钝角，满足m →•n →＜0，而m →=λn →不成立． ∴m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是m →•n →＜0”的充分不必要条件．故选：A ．4．【2016年北京理科04】设a →，b →是向量，则“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的（）C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】解：若“|a →|＝|b →|”，则以a →，b →为邻边的平行四边形是菱形；若“|a →+b →|＝|a →−b →|”，则以a →，b →为邻边的平行四边形是矩形；故“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的既不充分也不必要条件；故选：D ．5．【2015年北京理科13】在△ABC 中，点M ，N 满足AM →=2MC →，BN →=NC →，若MN →=x AB →+y AC →，则x ＝，y ＝．【答案】解：由已知得到MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →−AC →)=12AB →−16AC →；由平面向量基本定理，得到x =12，y =−16；故答案为：12，−16．6．【2014年北京理科10】已知向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ），则|λ|＝．【答案】解：设a →=（x ，y ）．∵向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ）， ∴λa →+b →=λ（x ，y ）+（2，1）＝（λx +2，λy +1）， ∴{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，化为λ2＝5．解得|λ|=√5．故答案为：√5．7．【2013年北京理科13】向量a →，b →，c →在正方形网格中的位置如图所示，若c →=λa →+μb →（λ，μ∈R ），则λμ= ．【答案】解：以向量a →、b →的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得a →=（﹣1，1），b →=（6，2），c →=（﹣1，﹣3） ∵c →=λa →+μb →(λ，μ∈R)∴{−1=−λ+6μ−3=λ+2μ，解之得λ＝﹣2且μ=−12因此，λμ=−2−12=4故答案为：48．【2012年北京理科13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →⋅CB →的值为．【答案】解：因为DE →⋅CB →=DE →⋅DA →=|DE →|⋅|DA →|cos ＜DE →⋅DA →＞=DA →2=1．故答案为：19．【2011年北京理科10】已知向量a →=（√3，1），b →=（0，﹣1），c →=（k ，√3）．若a →−2b →与c →共线，则k ＝．【答案】解：a →−2b →=(√3，3) ∵a →−2b →与c →共线， ∴√3×√3=3k 解得k ＝1．故答案为1．10．【2020年北京卷15】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，则|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=_________；PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =_________．【答案】√5−1【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点A (0,0)、B (2,0)、C (2,2)、D (0,2)， AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12(2,0)+12(2,2)=(2,1)，则点P (2,1)，∴PD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−1)，因此，|PD⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(−2)2+12=√5，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×(−2)+1×(−1)=−1. 故答案为：√5；−1.1．【2020届北京市丰台区高三一模】已知向量a ⃗=(x,2)，b ⃑⃗=(−2,1)，满足a ⃗//b ⃑⃗，则x =（） A ．1 B ．−1 C ．4 D ．−4【答案】D 【解析】向量a⃗=(x,2)，b ⃑⃗=(−2,1)， ∵a ⃗//b ⃑⃗，∴x =2×(−2)=−4 故选：D2．【2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（二）】已知向量a ⃗=(1,√3),b ⃑⃗=(−1,0),c ⃗=(√3,k).若a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线，则实数k =（） A ．0 B ．1C ．√3D ．3【答案】B 【解析】a ⃗−2b⃑⃗=(3,√3)因为a ⃗−2b ⃑⃗与c ⃗共线，所以3k −√3×√3=0，解得：k =1 故选：B3．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】已知向量a ⃗=(−12,√32),b⃑⃗=(√32,−12)，则下列关系正确的是（） A ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗ B ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥a ⃗ C ．(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b ⃑⃗) D ．(a ⃗+b ⃑⃗)//(a ⃗−b⃑⃗) 【答案】C 【解析】解：a ⃗+b⃑⃗=(√3−12,√3−12)； ∴(a ⃗+b⃑⃗)•b ⃑⃗=3−√34−√3−14=2−√32≠0；∴a ⃗+b ⃑⃗不与b ⃑⃗垂直； ∴A 错误；(a ⃗+b ⃑⃗)•a ⃗=1−√34+3−√34=2−√32≠C ；∴a ⃗+b ⃑⃗不与a ⃗垂直； ∴B 错误；又(a ⃗+b ⃑⃗)•(a ⃗−b ⃑⃗)=a ⃗2−b ⃑⃗2=1−1=0； ∴(a ⃗+b ⃑⃗)⊥(a ⃗−b ⃑⃗)； ∴C 正确，D 错. 故选C ．4．【北京市通州区2020届高考一模】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)).则|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=（） A ．1 B ．√3C ．2D ．与α有关【答案】B 【解析】根据题意，A(cosα,sinα)，B(cos(α+π3),sin(α+π3)). 则OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cosα,sinα)，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cos(α+π3),sin(α+π3))，则有OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(cosα+cos(α+π3),sinα+sin(α+π3))，故|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=[cosα+cos(α+π3)]2+[sinα+sin(α+π3)]2 =2+2cosαcos(α+π3)+2sinαsin(α+π3)=2+2cos π3=3，则|OA⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=√3；故选：B.5．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】a ⃗,b⃑⃗为非零向量，“a⃑⃗|b ⃑⃗|=b ⃑⃗|a⃑⃗|”为“a ⃗,b⃑⃗共线”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】B 【解析】a⃑⃗|b ⃑⃗|,b ⃑⃗|a ⃑⃗|分别表示与a ⃗,b ⃑⃗同方向的单位向量， a⃑⃗|b⃑⃗|=b⃑⃗|a ⃑⃗|，则有a ⃗,b ⃑⃗共线，而a ⃗,b ⃑⃗共线，则a ⃑⃗|b ⃑⃗|,b⃑⃗|a ⃑⃗|是相等向量或相反向量， “a ⃑⃗|b ⃑⃗|=b⃑⃗|a ⃑⃗|”为“a ⃗,b ⃑⃗共线”的充分不必要条件. 故选:B.6．【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知非零向量a ⃗，b ⃑⃗满足|a ⃗|=2|b ⃑⃗|，且（a ⃗–b ⃑⃗）⊥b ⃑⃗，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为(a ⃗−b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗，所以(a ⃗−b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=a ⃗⋅b ⃑⃗−b ⃑⃗2=0，所以a ⃗⋅b ⃑⃗=b ⃑⃗2，所以cosθ=a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗|⋅|b ⃑⃗|=|b ⃑⃗|22|b⃑⃗|2=12，所以a ⃗与b ⃑⃗的夹角为π3，故选B ．7．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】设a ⃗,b ⃑⃗是向量，“|a ⃗|=|a ⃗+b ⃑⃗|”是“|b ⃑⃗|=0”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a⃗=−12b⃑⃗时，|a⃗+b⃑⃗|=|−12b⃑⃗+b⃑⃗|=12|b⃑⃗|=|a⃗|，推不出|b⃑⃗|=0当|b⃑⃗|=0时，b⃑⃗=0⃑⃗，则|a⃗+b⃑⃗|=|a⃗+0⃑⃗|=|a⃗|即“|a⃗|=|a⃗+b⃑⃗|”是“|b⃑⃗|=0”的必要不充分条件故选：B8．【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】向量l在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa⇀+b⇀与c⇀共线,则实数λ=（）A．−2B．−1C．1D．2【答案】D【解析】由题中所给图像可得：2a⃗+b⃑⃗=c⃗，又c⃗=，所以λ=2.故选D9．【北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末】设向量a⇀，b⇀满足a⇀+b⇀=(3,1)，a⇀⋅b⇀=1，则|a⇀−b⇀|=()A．2B．√6C．2√2D．√10【答案】B【解析】由题意结合向量的运算法则可知：|a⇀−b⇀|=√(a⇀+b⇀)2−4a⇀⋅b⇀=√32+12−4×1=√6.本题选择B选项.10．【2020届北京市陈经纶中学高三上学期8月开学】已知平面向量a⃗,b⃑⃗的夹角为60°,a⃗=(√3,1),|b⃑⃗|=1则|a⃗+2b⃑⃗|=（）A．2B．√7C．2√7D．2√3【答案】D【解析】|a⃗+2b⃑⃗|=√(a⃗+2b⃑⃗)2=√a⃗2+4a∙⃑⃑⃑⃑⃗b⃑⃗+4b⃑⃗2=√4+4×2×1×12+4=2√3，故选D. 11．【北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考（二）】已知平面向量a⇀=(1,−3),b⇀=(−2,0)，则|a ⇀+2b ⇀|=（） A ．3√2 B ．3C ．2√2D ．5【答案】A 【解析】因为a ⃗=(1,−3),b ⃑⃗=(−2,0)，所以a ⃗+2b ⃑⃗=(−3,−3)，因此|a ⃗+2b ⃑⃗|=√9+9=3√2. 故选A12．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=π3，∠ACB ≠π2，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是（） A ．13 B ．12C ．√33D ．23【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0），由∠BAC =π3可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为π3，所以圆心角为2π3.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为12BC tanπ3=√36，即圆心为(0,√36)，半径为√(12)2+(√36)2=√33. 所以点A 的轨迹方程为：x 2+(y −√36)2=13，则x 2≤13，则−√33≤x <0，由AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的几何意义可得：AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影为|DP|=|x|，则AQ⃑⃑⃑⃑⃑⃗在BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗方向上投影的最大值是√33，故选C．13．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】对于非零向量a⃗，b⃑⃗，“(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2 a⃗2”是“a⃗=b⃑⃗”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2，则a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=2a⃗2，即a⃗⋅b⃑⃗=a⃗2，取|b⃑⃗|=2|a⃗|，〈a⃗,b⃑⃗〉=π，此时满足(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2，而a⃗≠b⃑⃗；3当a⃗=b⃑⃗时，(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2.故“(a⃗+b⃑⃗)⋅a⃗=2a⃗2”是“a⃗=b⃑⃗”的必要而不充分条件.故选：B.14．【北京市2020届高考数学预测卷】已知|a⃗|=1，则“a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)”是“a⃗⋅b⃑⃗=−1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】C【解析】由a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)，则a⃗⋅(a⃗+b⃑⃗)=0⇒a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=0又|a⃗|=1，所以a⃗⋅b⃑⃗=−1若a⃗⋅b⃑⃗=−1，且|a⃗|=1，所以a⃗2+a⃗⋅b⃑⃗=0，则a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)所以“a⃗⊥(a⃗+b⃑⃗)”是“a⃗⋅b⃑⃗=−1”的充要条件故选：C15．【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知向量a⃗=(0,5)，b⃑⃗=(4,−3)，c⃗=(−2,−1)，那么下列结论正确的是()A．a⃗−b⃑⃗与c⃗为共线向量B．a⃗−b⃑⃗与c⃗垂直C．a⃗−b⃑⃗与a⃗的夹角为钝角D．a⃗−b⃑⃗与b⃑⃗的夹角为锐角【答案】B【解析】解：∵a⃗=(0,5)，b⃑⃗=(4,−3)，c⃗=(−2,−1)，∴a ⃗−b⃑⃗=(−4,8)， ∵−4×(−1)−(−2)×8≠0，则a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗不是共线向量， ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=−4×(−2)+8×(−1)=0，则a ⃗−b ⃑⃗与c ⃗垂直， ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅a ⃗=−4×0+8×5=40>0，则a ⃗−b ⃑⃗与a ⃗的夹角为锐角， ∵(a ⃗−b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=−4×4+8×(−3)=−40<0，则a ⃗−b ⃑⃗与b ⃑⃗的夹角为钝角，故选：B ．16．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学高三3月高考适应性测试】已知正ΔABC 的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=ED ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，那么EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的值为（） A ．−83B ．−1C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：EB=EC=√7，又tan∠BED =BD ED=√3=2√33所以cos∠BEC =1−tan 2∠BED 1+tan 2∠BED=−17所以EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=|EB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗‖EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|cos∠BEC =√7×√7×(−17)=−1 故选B ．17．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】在平行四边形ABCD 中，AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点.若AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3，则AB 的长为（） A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】因为平行四边形ABCD 中,AD =2，∠BAD =60°，E 为CD 的中点，设AB =x ,由AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅BE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=3得，(AB⇀+BC ⇀)⋅(BC ⇀+12BA ⇀) =(AB⇀+AD ⇀)⋅(AD ⇀−12AB ⇀) =AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2+12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗2=4+12|AB ⇀|×2×cos60∘−12AB ⇀2 =4−12x 2+12x =3即x 2−x −2=0解得x =2或x =−1（舍去）；故选：C.18．【2020届北京市朝阳区六校高三四月联考】已知向量a ⃗=(2,2√3)，若a ⃗⋅b ⃑⃗=−163，则b ⃑⃗在a ⃗上的投影是（） A ．34B ．−34C ．43D ．−43【答案】D 【解析】由题意b ⃑⃗在a ⃗上的投影为a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a ⃑⃗|=−163√22+(2√3)2=−43.故选：D.19．【2020届北京市顺义牛栏山第一中学西校区高三下学期4月月考】若两个非零向量a ⃗、b ⃑⃗满足(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，且|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗夹角的余弦值为（） A ．35B ．±35C ．12D ．±12【答案】A 【解析】设平面向量a ⃗与b ⃑⃗的夹角为θ，∵(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=a ⃗2−b ⃑⃗2=|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，可得|a ⃗|=|b ⃑⃗|，在等式|a ⃗+b ⃑⃗|=2|a ⃗−b ⃑⃗|两边平方得a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+b ⃑⃗2=4a ⃗2−8a ⃗⋅b ⃑⃗+4b ⃑⃗2，化简得cosθ=35. 故选：A.20．【北京师范大学附属中学2019届高三（下）四月份月考】已知ΔABC 中，AB =10，AC =6，BC =8,M 为AB 边上的中点，则CM ⇀⋅CA ⇀+CM ⇀⋅CB ⇀=() A ．0B ．25C ．50D ．100【答案】C 【解析】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM 为斜边上的中线，所以|CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=5，原式=CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗·(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗·2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=2×25=50. 故选C.21．【2020届北京市八一学校高三第一学期高三10月月考】已知向量a ⇀=(2,1)，a ⇀⋅b ⇀=10，|a ⇀+b ⇀|=5√2，则|b ⇀|=________. 【答案】5 【解析】因为a ⃗=(2,1)，所以|a ⃗|2=5，因为|a ⃗+b ⃑⃗|=5√2，所以|a ⃗+b ⃑⃗|2=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=50，即5+|b⃑⃗|2+20=50，|b ⃑⃗|=5。

高考数学分项版解析专题05 平面向量理2

【十年高考】（新课标2专版）高考数学分项版解析专题05 平面向量理一．基础题组1. 【2012全国，理6】△ABC 中，AB 边的高为CD ．若CB u u u r ＝a ，CA u u u r＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD u u u r＝( )A ．1133-ab B ．2233-a b C ．3355-a b D ．4455-a b 【答案】D2. 【2015高考新课标2，理13】设向量a r ，b r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，所以2a b k a b λ+=+r r r r （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．【考点定位】向量共线．3. 【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =（A ）−8 （B ）−6 （C ）6 （D ）8【答案】D 【解析】试题分析： (4,2)m +=-a b ，由()⊥a +b b 得43(2)(2)0m ⨯+-⨯-=，解得8m =，故选D.【考点】平面向量的坐标运算、数量积【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：几何表示坐标表示模 |a |＝⋅a a |a |＝2211x y + 夹角cos θ＝⋅⋅a ba bcos θ＝121222221122x x y y x y x y ++⋅+a ⊥b 的充要条件a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0二．能力题组1. 【2014新课标，理3】设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A2. 【2010全国2，理8】△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB u u u r ＝a ，CA u u u r＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则 CD uuu r等于( )A. 13a ＋23bB. 23a ＋13bC. 35a ＋45bD. 45a ＋35b【答案】：B【解析】法一：(直接法)∵CD 平分∠ACB ，∴CACBu u u ru u u r＝ADDBu u u ru u u r＝21∴ADu u u r＝2DBu u u r＝23ABu u u r＝23(CBu u u r－CAu u u r)＝23(a－b)．∴CDuuu r＝CAu u u r＋ADu u u r＝b＋23(a－b)＝23a＋13b.法二：(排除法)由角平分线的性质知λCDuuu r＝1aa＋1bb＝a＋12b.故CDuuu r＝1λa＋12λb.系数之比为2∶1，只有B项符合．3. 【2005全国3，理14】已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k===-u u u r u u u r u u u r，且A、B、C 三点共线，则k= .【答案】23-三．拔高题组1.1. 【2005全国2，理8】已知点(3,1)A，(0,0)B，(3,0)C．设BAC∠的一平分线AE 与BC相交于E，那么有BC CEl=u u u r u u u r，其中l等于（）(A) 2 (B)12(C) 3-(D)13-【答案】C【解析】2. 【2013课标全国Ⅱ，理13】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE BD⋅u u u r u u u r ＝__________.【答案】：2。

高中数学-平面向量(含详细答案)

＝
－
２３
→ＡＢ
Ｄ.Ａ→Ｑ＝Ｂ→Ｐ
２. 答案Ｄ
３.( 教材习题改编) 如图ꎬＤꎬＥꎬＦ分别是△ＡＢＣ各边的中点ꎬ则下
列结论错误的是
( )
Ａ.Ｅ→Ｆ＝Ｃ→Ｄ
Ｂ.→ＡＢ与Ｄ→Ｅ共线
Ｃ.Ｂ→Ｄ与Ｃ→Ｄ是相反向量
Ｄ.→ＡＥ＝
１２
｜ →ＡＣ｜
３. 答案Ｄ根据向量的有关概念可知ꎬＥ→Ｆ＝Ｃ→Ｄꎬ→ＡＢ∥Ｄ→ＥꎬＢ→Ｄ
(２) ①是错误的ꎬ两个向量起点相同ꎬ终点相同ꎬ则两个向量
相等ꎻ但两个向量相等ꎬ不一定有相同的起点和终点. ②是错误的ꎬ ｜ａ｜＝｜ｂ｜ ꎬ但ａꎬｂ方向不确定ꎬ所以ａꎬｂ的方向
不一定相等或相反.
③是正确的ꎬ因为→ＡＢ＝Ｄ→Ｃꎬ所以｜ →ＡＢ｜＝｜Ｄ→Ｃ｜且→ＡＢ∥Ｄ→Ｃꎻ又
( )
( ２) 零向量与任意向量平行.
( )
(３) 若ａ∥ｂꎬｂ∥ｃꎬ则ａ∥ｃ.
( )
(４) 若向量→ＡＢ与向量Ｃ→Ｄ是共线向量ꎬ则ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点在一条
直线上.
( )
(５) 当两个非零向量ａꎬｂ共线时ꎬ一定有ｂ＝ λａꎬ反之成立.
( )
(６) 在△ＡＢＣ
①若两个向量相等ꎬ则它们的起点相同ꎬ终点相同ꎻ ②若｜ａ｜＝｜ｂ｜ ꎬ则ａ＝ｂ或ａ＝－ｂꎻ
③若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是不共线的四点ꎬ且→ＡＢ＝Ｄ→Ｃꎬ则ＡＢＣＤ为平
行四边形ꎻ ④ａ＝ｂ的充要条件是｜ａ｜＝｜ｂ｜且ａ∥ｂꎻ ⑤已知 λꎬμ 为实数ꎬ若 λａ＝ μｂꎬ则ａ与ｂ共线. 其中真命题的序号是 . 答案 (１)Ｄ (２)③

十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解5平面向量部分

十年高考分类北京高考数学试卷精校版含详解5平面向量部分一、选择题（共9小题；共45分）1. 已知向量 a ⃗，b ⃗⃗ 不共线，c ⃗=ka ⃗+b ⃗⃗(k ∈R )，d ⃗=a ⃗−b ⃗⃗，如果 c ⃗∥d ⃗，那么 ( ) A. k =1 且 c ⃗ 与 d ⃗ 同向 B. k =1 且 c ⃗ 与 d ⃗ 反向C. k =−1 且 c ⃗ 与 d⃗ 同向 D. k =−1 且 c ⃗ 与 d⃗ 反向 2. 已知向量 a ⃗=(2,4),b ⃗⃗=(−1,1) ，则 2a ⃗−b⃗⃗= ( ) A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7) D. (3,9) 3. 已知 ∣a ⃗∣=1，∣b ⃗⃗∣=2，c ⃗=a ⃗+b ⃗⃗，且 c ⃗⊥a ⃗，则向量 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角为 ( ) A. 30∘ B. 60∘ C. 120∘ D. 150∘ 4. 已知 O 是 △ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，那么 ( ) A. AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 2AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 设 a ⃗，b ⃗⃗ 是非零向量，“ a ⃗⋅b ⃗⃗=∣a ⃗∣∣∣b ⃗⃗∣∣ ”是“ a⃗∥b ⃗⃗ ”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. a ⃗ 、 b ⃗⃗ 为非零向量．" a ⃗⊥b ⃗⃗ " 是 " 函数 f (x )=(xa ⃗+b ⃗⃗)⋅(xb ⃗⃗−a ⃗) 为一次函数 " 的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若 a ⃗ 与 b ⃗⃗−c ⃗ 都是非零向量，则“ a ⃗⋅b ⃗⃗=a ⃗⋅c ⃗ ”是“ a ⃗⊥(b ⃗⃗−c ⃗) ”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 设 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 为非零向量，则“存在负数 λ，使得 m ⃗⃗⃗=λn ⃗⃗”是“m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗<0”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若 a ⃗，b ⃗⃗ 是非零向量，且 a ⃗⊥b ⃗⃗，∣a ⃗∣≠∣∣b ⃗⃗∣∣，则函数 f (x )=(xa⃗+b ⃗⃗)⋅(xb ⃗⃗−a ⃗) 是 ( ) A. 一次函数且是奇函数 B. 一次函数但不是奇函数C. 二次函数且是偶函数D. 二次函数但不是偶函数二、填空题（共13小题；共65分）10. 已知向量 a ⃗=(cosα,sinα)，b ⃗⃗=(cosβ,sinβ)，且 a ⃗≠±b ⃗⃗，那么 a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b ⃗⃗ 的夹角的大小是．11. 在 △ABC 中，点 M ，N 满足 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．若 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 x = ；y = ．12. 已知向量 a ⃗=(1,√3)，b ⃗⃗=(√3,1) 则 a ⃗ 与 b⃗⃗ 夹角的大小为．13. 向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗ 在正方形网格中的位置如图所示，若 c ⃗=λa ⃗+μb⃗⃗(λ,μ∈R ) ，则 λμ= ．14. 已知向量 a ⃗=(√3,1)，b ⃗⃗=(0,−1)，c ⃗=(k,√3)．若 a ⃗−2b ⃗⃗ 与 c ⃗ 共线，则 k = ． 15. 已知向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足 ∣a ⃗∣=1，b ⃗⃗=(2,1)，且 λa ⃗+b ⃗⃗=0⃗⃗(λ∈R )，则 ∣λ∣= ． 16. 已知向量 a ⃗=(2,4) ， b ⃗⃗=(1,1) ．若向量 b ⃗⃗⊥(a ⃗+λb ⃗⃗) ，则实数 λ 的值是． 17. 已知向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 120∘，且 ∣a ⃗∣=∣∣b ⃗⃗∣∣=4，那么 b ⃗⃗⋅(2a ⃗+b ⃗⃗) 的值为． 18. 若三点 A (2,2)，B (a,0)，C (0,b ) (ab ≠0) 共线，则 1a+1b 的值等于．19. 已知向量 a ⃗=(1,n )，b ⃗⃗=(−1,n )，若 2a ⃗−b ⃗⃗ 与 b ⃗⃗ 垂直，则 ∣a ⃗∣= ．20. 已知点 P 在圆 x 2+y 2=1 上，点 A 的坐标为 (−2,0)，O 为原点，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为．21. 已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为； DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为．22. 已知点 A (1,−1),B (3,0),C (2,1) ．若平面区域 D 由所有满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(1≤λ≤2,0≤μ≤1) 的点 P 组成，则 D 的面积为．三、解答题（共2小题；共26分）23. 已知点 A (2,8) 、 B (x 1,y 1) 、 C (x 2,y 2) 均在抛物线 y 2=2px 上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合．（1）写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标；（2）求线段 BC 中点 M 的坐标；（3）求 BC 所在直线的方程．24. 已知椭圆 C:x 2+2y 2=4．（1）求椭圆 C 的离心率；（2）设 O 为原点，若点 A 在直线 y =2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA ⊥OB ，求线段 AB 长度的最小值．答案第一部分 1. D 【解析】k =−1，c ⃗=−d ⃗． 2. A 3. C【解析】设所求两向量的夹角为 θ，则 a ⃗⋅c ⃗=0，于是 a ⃗⋅a ⃗+a ⃗⋅b ⃗⃗=0，因此 a ⃗⋅b⃗⃗=−1，进而 θ=120∘．4. A 【解析】∵ 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，∴ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． ∵ D 为 BC 边中点，由平行四边形法则知 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴ 2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 5. A 6. B【解析】f (x )=(xa ⃗+b ⃗⃗)⋅(xb ⃗⃗−a ⃗)=x 2a ⃗⋅b ⃗⃗+x(b ⃗⃗2−a ⃗2)−a ⃗⋅b⃗⃗. 若 a ⃗⊥b⃗⃗，则 f (x )=x(b ⃗⃗2−a ⃗2),只有当 b ⃗⃗2−a ⃗2≠0 时，函数 f (x ) 才是一次函数；若函数 f (x ) 是一次函数，那么a ⃗⋅b ⃗⃗=0,b ⃗⃗2−a ⃗2≠0.故 " a ⃗⊥b ⃗⃗ " 是" 函数 f (x )=(xa ⃗+b ⃗⃗)⋅(xb ⃗⃗−a ⃗) 为一次函数 " 的必要而不充分条件． 7. C8. A【解析】m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 为非零向量，存在负数 λ，使得 m ⃗⃗⃗=λn ⃗⃗，则向量 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 共线且方向相反，可得 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗<0．反之不成立，非零向量 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 的夹角为钝角，满足 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗<0，而 m ⃗⃗⃗=λn ⃗⃗ 不成立．所以 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 为非零向量，则“存在负数 λ，使得 m ⃗⃗⃗=λn ⃗⃗”是“m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗<0”的充分不必要条件． 9. A 【解析】f (x )=(−∣∣a ⃗∣2+∣∣b ⃗⃗∣∣2)⋅x ，因此 f (x ) 为一次函数且为奇函数．第二部分 10. π211. 12，−16【解析】MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−16AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．又因为 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 x =12，y =−16．12. π6【解析】cosθ=a⃗⃗⋅b ⃗⃗∣∣a ⃗⃗∣∣⋅∣∣b ⃗⃗∣∣=2√34=√32，θ=π6．13. 4【解析】解法一：以向量 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为 x 轴和 y 轴建立直角坐标系，则 a ⃗=(−1,1)，b ⃗⃗=(6,2)，c ⃗=(−1,−3)，则 {−1=−λ+6μ,−3=λ+2μ.解得 {λ=−2,μ=−12. 所以 λμ=4．解法二：由向量加、减法运算的三角形法则，可过向量 c ⃗ 的终点作向量 a ⃗ 的平行线，参照网格可以获得 {λ=−2,μ=−12.得到 λμ=4． 14. 1 15. √5【解析】由 λa ⃗+b ⃗⃗=0⃗⃗，有 b ⃗⃗=−λa ⃗，于是 ∣∣b ⃗⃗∣∣=∣λ∣⋅∣a ⃗∣．由 b ⃗⃗=(2,1)，可得 ∣∣b ⃗⃗∣∣=√5，又 ∣a ⃗∣=1，故 ∣λ∣=√5． 16. −3 17. 0 18. 12 19. 2 20. 6 21. 1，1 22. 3【解析】设 P (x,y ) ，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x −1,y +1). 由题意知 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2) ．由 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知 (x −1,y +1)=λ(2,1)+μ(1,2),即{2λ+μ=x −1,λ+2μ=y +1.∴{λ=2x −y −33,μ=2y −x +33,∵ 1≤λ≤2,0≤μ≤1 ，∴{3≤2x −y −3≤6,0≤2y −x +3≤3.作出不等式组表示的平面区域（如图阴影部分），由图可知平面区域 D 为平行四边形，可求出 M (4,2),N (6,3) ，故 ∣MN ∣=√5 ．又 x −2y =0 与 x −2y −3=0 之间的距离为 d =√5，故平面区域 D 的面积为 S =√5√5=3.第三部分23. （1）因为点 A (2,8) 在抛物线 y 2=2px 上，所以82=2p ⋅2,解得p =16.所以抛物线方程为 y 2=32x ，焦点 F 的坐标为 (8,0)．（2）如图，由 F (8,0) 是 △ABC 的重心，M (x 0,y 0) 是 BC 的中点，所以AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 即(6,−8)=2(x 0−8,y 0),解得x 0=11,y 0=−4.所以点 M 的坐标为 (11,−4)．（3）由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上，则 BC 所在的直线不垂直于 x 轴．设直线 BC 的方程为y +4=k (x −11)(k ≠0),由{y +4=k (x −11),y 2=32x,消去 x 得ky 2−32y −32(11k +4)=0,所以y 1+y 2=32k, 由（2）的结论得y 1+y 22=−4, 解得k =−4.因此，BC 的方程为 4x +y −40=0． 24. （1）由题意，椭圆 C 的标准方程为x 24+y 22=1, 所以 a 2=4，b 2=2，从而c 2=a 2−b 2=2,因此a =2,c =√2,故椭圆 C 的离心率e =c a =√22.（2）设点 A ，B 的坐标分别为 (t,2)，(x 0,y 0)，其中 x 0≠0，因为 OA ⊥OB ，所以OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0, 即 tx 0+2y 0=0，解得t=−2y0 x0,又x02+2y02=4，所以∣AB∣2=(x0−t)2+(y0−2)2=(x0+2y0x0)2+(y0−2)2=x02+y02+4y02x02+4=x02+4−x022+2(4−x02)x02+4=x022+8x02+4(0<x02≤4),因为x02 2+8x02≥4(0<x02≤4),且当x02=4时等号成立，所以∣AB∣2≥8，故线段AB长度的最小值为2√2．。

12-19北京高考数学汇编4：平面向量(教师版)

【解析分类汇编：北京高考数学理】4：平面向量（2012文/理）（13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB −−→−−→⋅的值为 1 ；DE DC −−→−−→⋅的最大值为 1 ．（2013文）（14）已知点(1,1)A -, (3,0)B , (2,1)C ．若平面区域D 由所有满足AP AB ACλμ−−→−−→−−→=+（12λ≤≤, 01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为 3 ．（2013理）（13）向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若λμ=+c a b （,λμ∈R ），则λμ= 4 ．（2014文）（3）已知向量(2,4)=a ，(1,1)=-b ，则2-=a b A（A ）(5,7) （B ）(5,9)（C ）(3,7)（D ）(3,9)（2014理）（10）已知向量,a b 满足||1=a ，(2,1)=b ，且λ+=0a b (λ∈R )，则 ||λ=5 ．（2015文）（6）设,a b 是非零向量．“||||⋅=a b a b ”是“∥a b ”的A（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（2015理）（13）在ABC △中，点,M N 满足2AM MC −−→−−→=，BN NC −−→−−→=．若MN x AB y AC −−→−−→−−→=+，则x =___12____；y =___16-____．（2016理）（4）设,a b 是向量．则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】D（2016文）（ 9）已知向量=a，=b ，则a 与b 夹角的大小为．【答案】6π（2017理）（6）设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A（2017文）（7）设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A（2017理）（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点iA 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点iB 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，1,2,3i =．① 记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则123,,Q Q Q 中最大的是； ② 记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则123,,p p p 中最大的是．【答案】1Q 2p（2017文）（12）已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP −−→−−→⋅的最大值为．【答案】6（2018理）（6）设,a b 均为单位向量，则“|3||3|-=+a b a b ”是“⊥a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C（2018文）（ 9 ）设向量(1,0)=a ，(1,)m =-b ．若()m ⊥-a a b ，则m = ．【答案】1-（2019理）（7）设点,,A B C 不共线，则“AB u u u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”工作时间（小时）的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】C（2019文）（ 9 ）已知向量(4,3)=-a，(6,)m=b，且⊥a b，则m=________．【答案】8（2018理）（14）已知椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>，双曲线2222:1x yNm n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．1 2。

高考数学压轴专题北京备战高考《平面向量》单元汇编及答案

【最新】高考数学《平面向量》专题解析(1)一、选择题1．在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（）A ．1162DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r B ．1134DF AB AC =--u u u r u u u r u u u rC ．3142DF AB AC =-+u u u r u u u r u u u rD ．1126DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r【答案】A 【解析】【分析】设AB AF λ=u u u r u u u r，由平行四边形法则得出144AE AF AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，再根据平面向量共线定理得出得出=3λ，由DF AF AD =-u u u r u u u r u u u r，即可得出答案. 【详解】设AB AF λ=u u u r u u u r ，111124444AE AB A A C A AC D F λ==+=+u u u r u u u u u ur u u u r r u u u r u u u r因为C E F 、、三点共线，则1=144λ+，=3λ所以1111132262DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r故选：A【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.2．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r在向量BC uuu r 方向上的投影为（）A ．2B ．32C ．1D ．3【答案】A 【解析】【分析】由1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r，然后套用公式向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||AF BCBC ⋅=u u u r u u u ru u u r ，即可得到本题答案. 【详解】因为点E 为BC 的中点，所以1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又因为EF BC ⊥，所以()22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||AF BCBC ⋅=u u u r u u u ru u u r . 故选：A. 【点睛】本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.3．已知点M 在以1(,2)C a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为,P Q 在圆222:8120C x y y +-+=上，则MP MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值为（）A ．18-B ．19-C ．18+D ．19+【答案】B 【解析】【分析】设PQ 中点D ，得到,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，求得23MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，再利用圆与圆的位置关系，即可求解故()223MP MQ ⋅≥-u u u r u u u u r ，得到答案.【详解】依题意，设PQ 中点D ，则,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，所以23MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，221C D ==Q ，D ∴在以1为半径，以2C 为圆心的圆上，21C C ==≥Q ，1221min min MD C C C D MC ∴=--故()22319MP MQ ⋅≥-=-u u u r u u u u r【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.4．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λ＋μ的值为（）A ．65B ．85C ．2D ．83【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，列出方程组求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=.故选：B 【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.5．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r（）A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1136AB AC -u u u r u u u rC ．2133AB AC -u u u r u u u rD ．3144AB AC +u u ur u u u r【答案】A 【解析】【分析】根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r，化简得到答案. 【详解】()11312444MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u uu u u u r r u u u r .故选：A . 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.6．已知单位向量a r ，b r 的夹角为3π，(),c a b R μλμ+=λ+∈r u u r u u r ，若2λμ+=，那么c r 的最小值为（）A BC D 【答案】D 【解析】【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得12a b ⋅=r r ，再利用模的公式和题设条件，化简得到24c λμ=-u r ，最后结合基本不等式，求得1λμ≤，即可求解．【详解】由题意，向量,a b r r 为单位向量，且夹角为3π，所以11cos 11322a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=r r r r ，又由(),c a b μλμ=λ+∈R r u u r u u r，所以()22222222()4c a b a b λμλμλμλμλμλμλμλμ=+=++⋅=++=+-=-u r r r r r ，因为,R λμ+∈时，所以222()122λμλμ+⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，当且仅当λμ=时取等号，所以23c ≥u r ，即c ≥u r故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向量的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r，则x =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=rr ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(1,1)a =r，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=rr ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8．在ABC V 中，4AC AD =u u u r u u u r，P 为BD 上一点，若14AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则实数λ的值（）A ．34B ．320C ．316D ．38【答案】C【分析】根据题意，可得出144λ=+u u u r u u u r u u u rAP AB AD ，由于B ，P ，D 三点共线，根据向量共线定理，即可求出λ. 【详解】解：由题知：4AC AD =u u u r u u u r ，14AP AB AC λ=+u u ur u u u r u u u r ，所以144λ=+u u u r u u u r u u u r AP AB AD ，由于B ，P ，D 三点共线，所以1414λ+=， ∴316λ=．故选：C.【点睛】本题考查平面向量的共线定理以及平面向量基本定理的应用.9．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（） A ．752B ．732C 53-D ．312【答案】A 【解析】【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=13a ，r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r，可得2212302x y x y +-+=，所以原问题等价于，圆2212302x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为=. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．10．在ABC ∆中，已知AB =AC =D 为BC 的三等分点(靠近C)，则AD BC ⋅u u u v u u u v的取值范围为（）A ．()3,5B ．(C ．()5,9D ．()5,7【答案】C 【解析】【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB AC u u u r u u u r，的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．【详解】如图，()()()13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()11213333AC AB AC AC AB AC AB AC AB u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211333AC AB AB AC =--⋅u u ur u u u r u u u r u u u r ＝8﹣113233cos BAC -⨯⨯∠ ＝7﹣2cos ∠BAC ∵∠BAC ∈（0，π）， ∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1）， ∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9），故选C ．【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．11．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C 【解析】【分析】以,BA BC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解. 【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r,211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r22111362BC BC BA BA =-⋅-u u ur u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.12．已知向量m =r(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r，且m r ⊥n r，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（） A ．12B ．2C ．22D ．﹣2【答案】B 【解析】【分析】根据m r ⊥n r 可得ta nθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】因为向量m =r (1，cosθ)，n =r(sinθ，﹣2)，所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r因为m r ⊥n r ，所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.13．如图，在ABC V 中，已知D 是BC 边延长线上一点，若2B C C D =u u u v u u u v，点E 为线段AD 的中点，34AE AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v ，则λ=（）A．14B．14-C．13D．13-【答案】B【解析】【分析】由12AE AD=u u u r u u u r，AD BD BA=-u u u r u u u r u u u r，AC BC BA=-u u u r u u u r u u u r，32BD BC=u u u r u u u r，代入化简即可得出．【详解】13,,,22AE AD AD BD BA BD BC BC AC AB==-==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，带人可得()13132244AE AC AB AB AB AC⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，可得14λ=-，故选B.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．如图，在等腰直角ABC∆中，D，E分别为斜边BC的三等分点（D靠近点B），过E作AD的垂线，垂足为F，则AF=u u u v（）A．3155AB AC+u u u v u u u vB．2155AB AC+u u u v u u u vC．481515AB AC+u u u v u u u vD．841515AB AC+u u u v u u u v【答案】D【解析】【分析】设出等腰直角三角形ABC的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE∠，由此得到45AF AD=u u u r u u u r，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD=u u u r u u u r表示为以,AB ACu u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC=，则32,2AB AC BD DE EC=====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯，所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u u r u u u r ，所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.15．已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =u u u r ，1233OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值为（）. AB．C ．2 D ．3 【答案】D【解析】【分析】判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB u u u r u u u r 为基底表示出OM u u u u r ，由此求得OC OM ⋅u u u r u u u u r 的值.【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =u u u r，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB 的中点，所以1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r .所以OC OM ⋅u u u r u u u u r 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭u u uu u u r u u u r r u u u r 22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 21422cos603323=+⨯⨯⨯+=o . 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（）A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【答案】A【解析】【分析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,353M x x -+，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，(3B ，(3C ，()5,0D因为点E 在线段CB 的延长线上，设(03E x ，01x < AE BE =Q()2220031x x +=-解得01x =-()1,3E ∴- ()4,3C Q ，()5,0D CD ∴所在直线的方程为353y x =-+因为点M 在边CD 所在直线上，故设(),353M x x -+(),353AM x x ∴=-+u u u u r()1,343E x M x -=--u u u r()()()3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r242660x x =-+-242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max 714AM ME ⋅=-u uu u r u u u r故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.17．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r ，则以下说法不正确的是（） A ．若//a b r r ，则1tan 2α= B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2α=C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1tan 2α= D ．||a b -r r1 【答案】B【解析】【分析】A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C 选项求得()f α的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利用向量模的运算来判断正确性.【详解】A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1tan 2α=，A 正确.B 选项，若a b ⊥r r ，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确. C选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r ，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，22k παϕπ+=+，22k πϕπα=+-，tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα⎛⎫=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确. D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r1，此时a =r ，,a b r r 反向.故选项D 正确.故选：B【点睛】本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.18．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．13 B． C．D ．13- 【答案】D【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.【详解】//a b ∴r r1cos tan sin 3ααα∴=⋅=1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.19．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是【答案】B 【解析】【分析】取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r 代入计算，再利用向量的线性运算求解．【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．20．在四边形ABCD 中,若12DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是( ) A ．平行四边形 B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形【答案】C【解析】由12DC ABu u u r u u u r知DC∥AB,且|DC|=12|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|ADu u u r|=|BCuuu r|,所以四边形ABCD是等腰梯形.选C。

[2014-2018]北京高考数学真题分类汇编专题五平面向量

专题五平面向量1.（2018.6）设a →，b →均为单位向量，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2017.6）设m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →•n →＜0”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2016.4）设a →，b →是向量，则“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2015.4）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β“是“α∥β”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2015.13）在△ABC 中，点M ，N 满足AM →=2MC →，BN →=NC →，若MN →=x AB →+y AC →，则x ＝，y ＝．6．（2014.10）已知向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ），则|λ|＝．专题五平面向量答案部分1.解：∵“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”∴平方得|a →|2+9|b →|2﹣6a →•b →=9|a →|2+|b →|2+6a →•b →，即1+9﹣6a →•b →=9+1+6a →•b →，即12a →•b →=0，则a →•b →=0，即a →⊥b →，则“|a →−3b →|＝|3a →+b →|”是“a →⊥b →”的充要条件，故选：C ．2.解：m →，n →为非零向量，存在负数λ，使得m →=λn →，则向量m →，n →共线且方向相反，可得m →•n →＜0．反之不成立，非零向量m →，n →的夹角为钝角，满足m →•n →＜0，而m →=λn →不成立． ∴m →，n →为非零向量，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是m →•n →＜0”的充分不必要条件．故选：A ．3.解：若“|a →|＝|b →|”，则以a →，b →为邻边的平行四边形是菱形；若“|a →+b →|＝|a →−b →|”，则以a →，b →为邻边的平行四边形是矩形；故“|a →|＝|b →|”是“|a →+b →|＝|a →−b →|”的既不充分也不必要条件；故选：D ．4. 解：m ⊂α，m ∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到m ∥β；α∥β，m ⊂α，∴m 和β没有公共点，∴m ∥β，即α∥β能得到m ∥β； ∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B ．5. 解：由已知得到MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →−AC →)=12AB →−16AC →；由平面向量基本定理，得到x =12，y =−16；故答案为：12，−16．6.解：设a →=（x ，y ）．∵向量a →，b →满足|a →|＝1，b →=（2，1），且λa →+b →=0→（λ∈R ），∴λa →+b →=λ（x ，y ）+（2，1）＝（λx +2，λy +1）， ∴{√x 2+y 2=1λx +2=0λy +1=0，化为λ2＝5．解得|λ|=√5．故答案为：√5．。

备战(北京版)高考数学分项汇编专题05平面向量(含解析)理

专题05 平面向量1. 【2005高考北京理第3题】| a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C考点：数量积公式。

2. 【2006高考北京理第2题】若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C3. 【2007高考北京理第4题】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =4. 【2009高考北京理第2题】已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么（）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【答案】D考点：向量的共线（平行）、向量的加减法.5. 【2010高考北京理第6题】a ，b 为非零向量．“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B考点：充分必要条件;向量的数量积.6. 【2006高考北京理第11题】若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于【答案】_______127. 【2008高考北京理第10题】已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为．【答案】0考点：向量运算的几何意义8. 【2011高考北京理第10题】已知向量(3,1)=a ，(0,1)=-b ，(,3)k =c ，若2a b -与c 共线，则k=________.【答案】19. 【2012高考北京理第13题】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为______。

2024年高一数学真题汇编(北京专用)平面向量的数量积及其应用(含坐标)5种常考题型归类(解析版)

专题02平面向量的数量积及其应用（含坐标）5种常考题型归类向量数量积的运算1．（2023春•西城区校级期中）向量||||2a b == ，a与b 的夹角为34π，则a b ⋅ 等于()A ．-B ．C ．2-D ．4【解析】 ||||2a b == ，a与b 的夹角为34π，∴32||||cos 22()42a b a b π⋅==⨯⨯-=-．故选：A ．2．（2023春•西城区校级期中）已知向量a，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c -⋅=；a b ⋅=．【解析】如图建立平面直角坐标系，所以(2,1)a = ，(2,1)b =- ，(0,1)c =，所以(0,2)a b -= ，()2a b c -⋅= ，221(1)3a b ⋅=⨯+⨯-=．故答案为：2；3．3．（2023春•东城区校级期中）已知菱形ABCD 边长为1，60BAD ∠=︒，则(BD DC ⋅=)A B ．C ．12D ．12-【解析】60BAD ∠=︒ ，由菱形的几何性质可得：1AB BD DC ===，,120BD DC 〈〉=︒，故111cos1202BD DC ⋅=⨯⨯︒=- ．故选：D ．4．（2023春•怀柔区校级期中）已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则(DA CD ⋅=)A ．212a -B ．214a -C ．214a D ．212a 【解析】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则2211||||cos(180)()22DA CD DA CD ADC a a ⋅=︒-∠=⨯-=- ．故选：A ．5．（2021秋•西城区校级期中）在ABC ∆中，90C =︒，4AC =，3BC =，点P 是AB 的中点，则(CB CP ⋅= )A ．94B ．4C ．92D ．6【解析】在ABC ∆中，90C =︒，则0CB CA ⋅=，因为点P 是AB 的中点，所以1()2CP CB CA =+ ，所以222111119[()]||222222CB CP CB CB CA CB CB CA CB CB ⋅=⋅+=+⋅=== ．故选：C ．6．（2015秋•北京校级期中）ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20OA AB AC ++= ，||||OA AB =，则CA CB等于()A ．32B C ．3D ．【解析】 20OA AB AC ++=，∴0OA AB OA AC +++= ，∴OB OC =- ．O ∴，B ，C 共线，BC 为圆的直径，如图AB AC ∴⊥． ||||OA AB = ，∴||||1OA AB == ，||2BC =，||AC =，故6ACB π∠=．则||||cos303CA CB CA CB =︒= ，故选：C ．7．（2023春•房山区期中）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2CD =，4BAD π∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅ ，则(AD AC ⋅= )A ．12B ．16C ．20D ．10【解析】因为2AB AC AB AD ⋅=⋅，所以()AB AC AB AD AB AC AD AB DC AB AD ⋅-⋅=⋅-=⋅=⋅ ，所以2||AB AB AD =⋅ ，可得||cos 24AD π= ，解得||22AD = ，所以22()(22)222cos 124AC AD AD AD DC AD AD DC π⋅=⋅+=+⋅=+⨯= ．故选：A ．8．（2023秋•大兴区期中）已知等边ABC ∆的边长为4，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，则EF EA ⋅=；若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则EM EN ⋅的最小值为．【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为等边ABC ∆的边长为4，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以(2,0)B -，(2,0)C ，(0A ，23)，(3)E -，3)F ，所以(2,0)EF = ，3)EA =，所以21032EF EA ⋅=⨯+=；不妨设M 在N 的左边，则设(M m ，0)(21)m - ，则(1,0)N m +，所以(1,3)EM m =+ ，(2,3)EN m =+，所以22311(1)(2)335(24EM EN m m m m m ⋅=+++=++=++ ，所以当32m =-时，EM EN ⋅ 有最小值为114．故答案为：2；114．9．（2023春•西城区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形所在平面上的动点，且||BP =，则DB AP ⋅的最大值是()A ．0B ．4C ．D ．8【解析】已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形所在平面上的动点，且||BP =，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)B ，(0,2)A ，(2D ，2(2,2)2))θθ=--⋅-，P θ)θ，[0θ∈，2]π，则(2,2)2)444sin(4DB AP πθθθθθ⋅=--⋅-=--=-+ ，又[0θ∈，2]π，则[0DB AP ⋅∈，8]，则DB AP ⋅的最大值是8．故选：D ．10．（2023春•顺义区期中）已知P 是ABC ∆所在平面内一点，||3AB = ，||1AP = ，6AC AB ⋅=，则AB CP ⋅的最大值是()A ．3B ．2C ．2-D ．3-【解析】||3AB = ，||1AP = ，6AC AB ⋅=，∴()AB CP AB AP AC ⋅=⋅- AB AP AB AC =⋅-⋅ ||||cos 6AB AP BAP =∠-3cos 6BAP =∠-，cos 1BAP ∴∠=时，AB CP ⋅取最大值3-．故选：D ．11．（2023秋•通州区期中）在等腰ABC ∆中，2AB AC ==，2BA BC ⋅=，则BC =2；若点P满足122CP CA CB =-，则PA PB ⋅ 的值为．【解析】在等腰ABC ∆中，2AB AC ==，又2BA BC ⋅=，则()2AB AC AB ⋅-=-，则222AB AC AB ⋅=-= ，即||||cos 2AB AC BAC ∠=，即1cos 2BAC ∠=，即3BAC π∠=，即ABC ∆为等边三角形，即2BC =；又点P 满足122CP CA CB =-，则221111111()()(2)(3)664422242242422PA PB CA CP CB CP CB CA CB CA CB CA CB CA ⋅=-⋅-=+⋅-=-+⋅=⨯-⨯+⨯⨯⨯= 故答案为：2；24．向量的模12．（2023秋•东城区校级期中）已知向量a 与向量b 的夹角为120︒，||||1a b == ，则|2|(a b += )A ．3B C ．2D ．1【解析】已知向量a与向量b 的夹角为120︒，||||1a b == ，则1111()22a b ⋅=⨯⨯-=-，则|2|a b +=== ．故选：B ．13．（2023春•海淀区校级期中）已知平面向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，且a与b 的夹角为23π，则||(a b += )A B C ．D ．3【解析】 ||2a = ，||1b = ，且a与b 的夹角为23π，∴平面向量的数量积运算可知，221cos 13a b π⋅=⨯⨯=-，∴222222||()222113a b a b a a b b +=+=+⋅+=-⨯+= ，∴||a b +=故选：A ．14．（2022春•东城区校级期中）已知a ，b 是单位向量，2c a b =+ ，若a c ⊥，则||(c = )A ．3BC D【解析】 a ，b 是单位向量，2c a b =+ ，a c ⊥，∴2(2)20a c a a b a a b ⋅=⋅+=+⋅=，∴21a b ⋅=-，||c = ==．故选：C ．15．（2014秋•西城区校级期中）已知向量a与b 的夹角是120︒，||3a = ，||a b + ，则||b =．【解析】向量a与b 的夹角是120︒，||3a = ，||a b += ，则2()13a b +=，即有22213a b a b ++=，即29||23||cos12013b b ++⨯︒=，即2||3||40b b --=，即有||4(1b =-舍去），故答案为：4．16．（2020春•朝阳区校级期中）设向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，a < ，60b >=︒，则|2|a b += ．【解析】由||2a = ，||1b = ，a <，60b >=︒ ，则1||||cos ,2112a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯=，则|2|a b +==故答案为：．17．（2023春•海淀区校级期中）已知||1a =，||b = 1a b ⋅=，则|2|(a b -= )A ．3BC ．5D ．9【解析】 222222|2|(2)441414(5a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+⨯=，∴|2|a b -=．故选：B ．18．（2023春•东城区校级期中）若向量,,a b c满足：,||1a b c ≠= ，且()()0a c b c -⋅-= ，则||||a b a b ++-的最小值为()A ．52B ．2C ．1D ．12【解析】设a OA =，b OB = ，c OC = ，设M 为AB 的中点，已知向量,,a b c满足：,||1a b c ≠= ，且()()0a c b c -⋅-= ，则||1OC = ，CA CB ⊥ ，则||||2||||2||2||2(||||)2||2a b a b OM BA OM CM OM CM OC ++-=+=+=+=，当且仅当O 在线段CM 上时取等号，即||||a b a b ++-的最小值为2．故选：B ．19．（2023秋•丰台区期中）已知平面向量,a b满足||2a = ，||1b = ，且1a b ⋅= ，则|2|(a b += )A ．12B ．4C ．D ．2【解析】已知平面向量,a b满足||2a = ，||1b = ，且1a b ⋅= ，则|2|2a b +=故选：C ．20．（2022春•东城区校级期中）已知向量(1,1)a =，(2,3)b =- ，那么|2|(a b -= )A ．5B ．C ．8D【解析】向量(1,1)a =，(2,3)b =- ，那么|2||(5a b -= ，5)|-==．故选：B ．21．（2022春•西城区校级期中）已知向量a ，b满足||5a = ，(3,4)b = ，0a b ⋅= ．则||a b -= ．【解析】因为||5a = ，(3,4)b = ，所以2223425b =+= ，所以||5b = ，又因为0a b ⋅=，所以222()225202550a b a a b b -=-⋅+=-⨯+= ，所以||a b -=．故答案为：．22．（2023秋•西城区校级期中）已知向量,a b满足(2,),(2,1)a b x a b +=-=- ，且22||||1a b -=- ，则(x =)A ．3-B ．3C ．1-D ．1【解析】因为(2,),(2,1)a b x a b +=-=-，所以2222||||()()41a b a b a b a b x -=-=+⋅-=-+=-，解得：3x =．故选：B ．23．（2017春•东城区校级期中）设x ，y R ∈，向量(,1)a x = ，(1,)b y = ，(2,4)c =- ，且a c ⊥ ，//b c，则||(a b += )A B C ．D ．10【解析】 (,1),(2,4)a x c ==- ，且a c ⊥，21(4)0x ∴+-= ，解得2x =．又 (1,),(2,4)b y c ==-，且//b c ，1(4)2y ∴-= ，解之得2y =-，由此可得(2,1)a =，(1,2)b =- ，∴(3,1)a b +=-，可得||a b +=．故选：B ．向量的垂直问题24．（2023春•大兴区校级期中）已知向量(,2),(1,1)a x b ==- ，若a b ⊥，则(x =)A ．1B ．1-C ．2D ．2-【解析】因a b ⊥ ，则20a b x ⋅=-+=，得2x =．故选：C ．25．（2023春•昌平区校级期中）向量(,1),(2,4)a t b == ，若a b ⊥，则实数t 的值为()A ．1B ．1-C ．2D ．2-【解析】因为(,1),(2,4)a t b == ，且a b ⊥，所以240a b t ⋅=+=，得2t =-．故选：D ．26．（2023春•通州区期中）已知向量(2,4)a =，(1,)b m =- ，则“3m =”是“()a b b -⊥ ”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】根据题意，当3m =时，向量(2,4)a =，(1,3)b =- ，则(3,1)a b -= ，有()330a b b -⋅=-+= ，则有()a b b -⊥，反之，若()a b b -⊥ ，则()3(4)0a b b m m -⋅=-+-=，解可得3m =或1，3m =不一定成立；故“3m =”是“()a b b -⊥”的充分不必要条件．故选：A ．27．（2023春•东城区校级期中）已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ．若向量a b + 与a垂直，则(m =)A ．6B ．3C ．7D ．14-【解析】已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ，若向量a b + 与a垂直，则2()5(2)0a b a a a b m +=+=+-+=，求得7m =，故选：C ．28．（2023秋•东港区校级期中）已知向量(1,0),(0,1)a b == ，若()()a b a b λμ-⊥+，其中λ，R μ∈，则()A ．1λμ+=-B ．1λμ+=C ．1λμ⋅=-D ．1λμ⋅=【解析】(1,0),(0,1)a b ==，则(1,)a b λλ-=- ，(1,)a b μμ+=，()()a b a b λμ-⊥+，则110λμ⨯-⋅=，解得1λμ⋅=．故选：D ．29．（2023秋•西城区校级期中）如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b = ，那么下列结论中正确的是()A ．||||a b = B ．a b =C ．()a b b -⊥D ．//a b【解析】由平面向量(2,0)a =，(1,1)b = ，知：在A 中，||2a =，||b = ||||a b ∴≠ ，故A 错误；在B 中，2a b =，故B 错误；在C 中， (1,1)a b -=- ，()0a b b ∴-= ，()a b b ∴-⊥，故C 正确；在D 中， 2011≠，∴a与b 不平行，故D 错误．故选：C ．30．（2023春•海淀区校级期中）已知平面向量11(,),)2222a b =-=-，则下列关系正确的是()A ．()a b b +⊥B ．()a b a +⊥C ．()()a b a b +⊥-D ．()//()a b a b +-【解析】平面向量11()22a b =-=-，则a b ⋅=-=，22||1b b == ，22||1a a == ，对于A ，2()0a b b a b b +⋅=⋅+≠，故A 错误；对于B ，2()0a b a a a b +⋅=+⋅≠，故B 错误；对于C ，向量1(,)22a =-，1()22b =- ，则||||1a b == ，则有22()()||||0a b a b a b +⋅-=-= ，即()()a b a b +⋅-，故C 正确；对于D ，12a b += 1)2，1(2a b -=1)2+，易得()a b + 与()a b - 平行不成立，故D 错误．故选：C ．31．（2021春•东城区校级期中）已知向量(1,0)a = ，(,1)b m = ，且a与b 的夹角为4π．（1）求m 及|2|a b -；（2）若a b λ+与b 垂直，求实数λ的值．【解析】（1）根据题意，向量(1,0)a =，(,1)b m = ，则a b m ⋅= ，||1a =，||b = ，又由a与b 的夹角为4π，则有||||cos a b a b θ⋅= ，即2m =，解可得：1m =，则2(1,2)a b -=-- ，故|2|a b -==；（2）由（1）的结论，1m =，则(1,1)b =，若a b λ+与b 垂直，则()120a b b λλ+⋅=+= ，解可得：12λ=-．向量的夹角问题32．（2023春•仓山区校级期中）若||1a = ，||b = ，2a b ⋅= ，则a，b 的夹角为()A ．0B ．4πC ．2πD ．34π【解析】cos a b a b θ⋅=⨯⨯，将已知代入可得：21cos θ=⨯，解得：2cos 2θ=，[0θ∈ ，]π，故4πθ=，故选：B ．33．（2023春•顺义区期中）若1e ，2e 是夹角为3π的两个单位向量，则12a e e =+ 与122b e e =- 的夹角为()A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【解析】根据题意，设12a e e =+与122b e e =- 的夹角为θ，[0θ∈，]π，1e ，2e 夹角为3π的两个单位向量，则1212e e ⋅= ，12a e e =+，122b e e =- ，则有221212322a b e e e e ⋅=--⋅=- ；又由2212||()3a e e =+=，2212||(2)3b e e =-= ，则有||a =，||b = ，则1cos 2||||a b a b θ⋅==- ，则23πθ=．故选：C ．34．（2023秋•朝阳区期中）已知单位向量a ，b 满足(2)2a a b ⋅+= ，则向量a与b 的夹角为．【解析】因为a，b 是单位向量，且(2)2a a b ⋅+= ，所以222a a b +⋅= ，所以12a b ⋅= ，所以1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==，因为,[0,]a b π<>∈，所以,3a b π<>=．故答案为：3π．35．（2023春•房山区期中）已知向量(3,1)a =，(2,1)b =- ．则a b ⋅= ；a <，b >=．【解析】向量(3,1)a =，(2,1)b =- ，所以321(1)5a b ⋅=⨯+⨯-=；计算cos a <，2||||a b b a b ⋅>=== ，又因为a <，[0b >∈ ，]π，所以a <，4b π>= ．故答案为：5；4π．36．（2023春•通州区期中）已知向量(1,2)a =- ，(2,4)b = ，则向量a与b 夹角的余弦值为()A ．35-B ．35C ．1-D ．1【解析】根据题意，设向量a与b 夹角为θ，向量(1,2)a =-，(2,4)b = ，则||a ==，||b == ，286a b ⋅=-=-，则3cos 5||||a b a b θ⋅===- ．故选：A ．37．（2023春•海淀区校级期中）已知a ，b 是单位向量，2c a b =+ ．若a c ⊥ ，则a与b 的夹角为()A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【解析】设a与b 的夹角为θ，[0θ∈，]π， 2c a b =+ ，a c ⊥，∴2(2)20a c a a b a a b ⋅=⋅+=+⋅=，a，b 是单位向量，12cos 0θ∴+=，解得1cos 2θ=-，∴23πθ=．故选：C ．38．（2023春•东城区校级期中）平面向量||2a = ，||2b = ，()a b a -⊥ ，则a与b 的夹角是()A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π【解析】()a b a -⊥，()0a b a ∴-⋅= ，即20a a b -⋅=，∴22a b a ⋅==，2cos ,2||||a b a b a b ⋅∴<>==⋅，,[0,]a b π<>∈，∴,a b的夹角是4π．故选：C ．39．（2022春•西城区校级期中）已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b的夹角为()A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．135︒【解析】根据题意，如图，建立坐标系，设小正方形的边长为1，向量a，b 的夹角为θ，则(3,1)a =，(2,4)b = ，则||10a = ||4165b =+ 10a b ⋅=，则102cos 2||||1025a b a b θ⋅===⨯ ，则45θ=︒，故选：A ．40．（2023春•海淀区校级期中）已知向量(1,0)a =，(2,a b += ，则向量a与b 的夹角为()A ．3π-B ．6πC ．3πD ．23π【解析】向量(1,0)a =，(2,a b +=，所以(1,b = ，所以1,||1,||2a b a b ⋅===，设向量a与b 的夹角为α，则1cos 2||||a b a b α⋅== ，因为[0α∈，]π，故3πα=．故选：C ．41．（2013秋•宣武区校级期中）若向量a 、b 满足(2,1)a b +=- ，(1,2)a = ，则向量a与b 的夹角等于()A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒【解析】向量a、b 满足(2,1)a b +=- ，(1,2)a = ，则(1,3)b =- ，165a b =-=-，||a =，||b =即有cos ,2||||a b a b a b <>===，由于0,180a b ︒<>︒，则有向量a与b 的夹角等于135︒．故选：A ．42．（2023秋•通州区期中）已知向量(2,0)a =- ，(1,2)b =，c =，则下列结论中正确的是()A ．//a bB ．2a b ⋅= C ．||2||b c = D ．a 与c的夹角为120︒【解析】已知向量(2,0)a =- ，(1,2)b =，c =，A 选项，因(2)210-⨯≠⨯，则a与b 不平行，故A 错误；B 选项，因202a b ⋅=-+=-，故B 错误；C选项，||b ==又||2c ==，则||2||b c ≠ ，故C 错误；D 选项，21cos ,||||222a c a c a c ⋅-〈〉===-⨯，又,[0,180]a c 〈〉∈︒︒，则,120a c 〈〉=︒，即a 与c的夹角为120︒，故D 正确．故选：D．投影向量问题43．（2023春•通州区期中）已知向量a ，b 满足10a b ⋅= ，且(3,4)b =- ，则a在b 上的投影向量为()A ．(6,8)-B ．(6,8)-C ．6(5-，8)5D ．6(5，8)5-【解析】因为10a b ⋅=，且(3,4)b =- ，所以a在b 上的投影向量||cos a a < ，2(3,4)6()10(9165||||b b b a b b b ->=⋅=⨯=-+ ，85．故选：C ．44．（2023春•朝阳区校级期中）已知两个单位向量a和b 的夹角为120︒，则向量a b - 在向量b 上的投影向量为()A ．12b- B ．12bC ．32b- D ．32b【解析】单位向量a和b 的夹角为120︒，23()||11cos12012a b b a b b ∴-⋅=⋅-=⨯⨯︒-=- ，向量a b -在向量b 上的投影向量为()32||||a b b b b b b -⋅⋅=- ．故选：C ．45．（2021春•丰台区期中）已知(1,0)a = ，(5,5)b = ，则向量a在向量b 方向上的投影向量的坐标为．【解析】向量a在向量b方向上的投影为22||a b b ⋅= ，由于向量a在向量b 方向上的投影向量与b 共线，可得所求向量为11(102b = ，1)2，故答案为：1(2，1)2．46．（2023春•房山区期中）已知向量(1,3)a =，(1,1)b =- ，则下列结论正确的是()A ．a与b 的夹角是钝角B ．()a b b+⊥C ．a在bD ．a在b 上的投影的数量为105【解析】对于A ，因为1320a b ⋅=-+=> ，所以a与b 的夹角不是钝角，选项A 错误；对于B ，2()2240a b b a b b +⋅=⋅+=+=≠ ，所以()a b b +⊥不成立，选项B 错误；对于C ，a在b上的投影的数量为||a b b ⋅== C 正确；对于D ，由C 知选项D 错误．故选：C ．47．（2023春•昌平区校级期中）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，AB OP ⋅的值为；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅的最小值为．【解析】矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，||||cos 212AB OP AB OP POB ⋅=∠=⨯=；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅的最小值，||||cos AB OP AB OP POB ⋅=∠ ，P 应该在线段AD 上，此时||||cos 2(1)2AB OP AB OP POB ⋅=∠=⨯-=-；故答案为：2；2-．48．（2023秋•东城区校级期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为该正六边形的中心，圆O 的半径为2，圆O 的直径//MN CD ，点P 在正六边形的边上运动，则PM PN ⋅的最小值为．【解析】如图，连结PO ，显然OM ON =-，则222()()()()4PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，点P 在正六边形ABCDEF 的边上运动，O 是其中心，因此||PO的最小值等于中心O 到正六边形的边的距离，又中心O 到正六边形的边的距离为42⨯=，所以PM PN ⋅的最大值为248-=．故答案为：8．49．（2023春•大兴区期中）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 是边BC 上的动点，E 是边AC的中点，则BE AD ⋅ 的取值范围是()A ．[-B ．C ．[3-，0]D ．[0，3]【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)C ，B ，(0,0)E ，设CD CB λ= ，01λ，则(1)OD OC CB λλ=+=- ，则(2)AD λ=- ，又(0,BE = ，所以(2)0(3BE AD λλ⋅=-⨯+⨯=- ，又01λ，所以BE AD ⋅ 的取值范围是[3-，0]．故选：C ．50．（20210.618≈的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD 中，1BC =，AB BC >，那么AB AC ⋅ 的值为()A1-B1+C ．4D．2+【解析】由黄金矩形的定义，可得2AB =，1BC =-，在矩形ABCD中，cos AB CAB AC ∠==，则||||cos 24AB AC AB AC CAB ⋅=⋅⋅∠=⨯ ，故选：C ．51．（2023秋•西城区校级期中）已知OA a = ，OB b = ．若||5OA = ，||12OB = ，且90AOB ∠=︒，则||a b -= ．【解析】已知OA a = ，OB b = ，90AOB ∠=︒，∴0a b ⋅= ，又||5OA = ，||12OB = ，即||5,||12a b ==，||13a b ∴-= ．故答案为：13．52．（2023春•道里区校级期中）若平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则|2|a b + 等于()AB．C ．4D ．12【解析】因为平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，所以||2a = ，||||cos 21cos601a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯︒= ，所以|2|2a b += ．故选：B ．53．（2023春•东城区校级期中）已知向量(0,5)a = ，(4,3)b =- ，(2,1)c =-- ，那么下列结论正确的是()A ．a b - 与c 为共线向量B ．a b - 与c 垂直C ．a b - 与a 的夹角为钝角D ．a b - 与b 的夹角为锐角【解析】根据题意，向量(0,5)a = ，(4,3)b =- ，(2,1)c =-- ，则(4,8)a b -=- ，又由(2,1)c =-- ，有(4)(1)(2)8-⨯-≠-⨯，则()a b - 与c 不是共线向量，(2,1)c =-- ，则()(4)(2)(1)80a b c -=-⨯-+-⨯= ，则()a b - 与c 垂直；故选：B ．。

北京市第四中学2021年高考数学的平面向量多选题及答案

北京市第四中学2021年高考数学的平面向量多选题及答案一、平面向量多选题1．已知向量(22cos m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是（）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的周期为πC ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数【答案】ABD 【分析】运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】解：()22cos 2cos221f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当6x k ππ=+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；()f x 的周期22T ππ==,选项B 描述准确；当512x π=时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项C 描述不准确；当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.2．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥，所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M 是“互垂点集”集合，故选：BD ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．3．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λabB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD 【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】对于选项A ：由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直，故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.故选：AD 【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.4．如图，A ､B 分别是射线OM ､ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（）A ．2OA OB + B ．1123OA OB +C ．3143OA OB + D ．3145OA OB + 【答案】AC 【分析】利用向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1.据此即可判断出答案. 【详解】由向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于： OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1. 证明如下：如图所示，点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''，而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确；对于B ，因为11123+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确；对于C ，因为311314312+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确；对于D ，因为311914520+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确；故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.5．下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（）A ．1233PC PA PB =+ B ．111333OP OA OB OC =++ C ．QP QA QB OC =++ D ．0OP OA OB OC +++=【答案】AB【分析】根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，对选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】对于A ，由1233PC PA PB =+，12133+=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于B ，由111333OP OA OB OC =++，1111333++=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于C ，由OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 对于D ，由0OP OA OB OC +++=，得OP OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.6．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（）A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD 【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，30,2A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，13,63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，解得30,4O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,2233AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=12331=023236⨯--≠，故A 错误； 32OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 136ED ⎛= ⎝⎭，13,22BA ⎛= ⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b⋅进行求解.7．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为37【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为33727a b b-⋅==，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()2122254cos33a e e π=+=+=B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误；由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确。

高中数学----平面向量(含答案)

平面向量一、选择填空题1（海淀理6）已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120 ，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为（） A ．︒60 B ．︒90 C ．︒120D ． ︒1502（石景山理3）AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4)AB = ，(1,3)AC = ，则AD =（） A. (2,4) B. (3,7) C. (1,1) D. (-1,-1)3（通州理12在）边长为1的等边ABC ∆中，D 为BC 边上一动点，则AB AD ⋅的取值范围是．4（西城理9）已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．5(改编)已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 垂直，则实数k = _____．6(东城理)已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++=，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）57（石景山理5）已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD =C ．3AO OD = D ．2AO OD =8(朝阳理11)如右图，在三角形ABC 中，D ，E 分别为B C ，AC 的中点，F 为AB 上的点，且B 4A A F = . 若A Dx A F y A E=+ ，则实数x = ，实数y = .9（丰台理）已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则|2|+=a bABC DE · · F(A) 2(C)(D)10已知向量=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（）（A ）1)- （B ）(1,- （C ）(1)-（D ）(-11（海淀理）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF（A ）1123AB AD - （B ）1142AB AD+（C ）1132AB DA + （D ）1223AB AD- 12．已知向量a =（1，k ），=b （2，1），若a 与b 的夹角大小为︒90，则实数k 的值为_____ A ．1- B ．1C ．2-D ．2的坐标是_____14．已知向量=a （1，0），=b （0，1），b a c λ+=（∈λR ），向量d 如图所示.则（）A ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 垂直B ．存在0λ>，使得向量c 与向量d 夹角为︒60 C ．存在0λ<，使得向量c 与向量d 夹角为30︒D ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 共线15（京高考理13）向量a ，b ，c R μ∈），则λμ=16（怀柔14）手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝．17（西城10）在矩形ABCD中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅ 的值为（）A ．3B ．2CD18（石景山）已知(31)OA =，，(04)OB =，，(4)OC x =，，且AC AB ⊥，则x = .19（海淀）已知向量(,1),(4,)x x a b ==，若向量a 和b 方向相同，则实数x 的值是（）（A ） 2- （B ） 2 （C ） 0 （D ）8520（海淀）已知向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且a （a+b ）=3，则,<>=a b （）（A ）60° （B ）75° （C ）90° （D ）120°21（海淀）如图所示，点C 在线段BD 上，且3BC CD =，则AD =（）（A ）32AC AB - （B ）43AC AB -（C ）4133AC AB - （D ）1233AC AB -22（海淀）若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为 A.12-B.12C.1-D. 1 23（西城11）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______．24（朝阳13）在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=．25（朝阳8）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是A.1[1,]4--B.11[,]24-- C.[1,0]- D.1[,0]2-26在四边形ABCD 中，“存在R k ∈，使得C D K B A =，C B k D A=”是“四边形ABCD 为平行四边形”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件C27（房山理8）对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅ αβαβββ，若平面向量,a b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角(0,)3θπ∈，且 a b 和 b a 都在集合{|}2n n ∈Z 中，则 a b = （） A.21B. 1C. 23D. 1或23 28（海淀8）已知动点111(,cos )P x x ，222(,cos )P x x ，O 为坐标原点，则当1211x x -≤≤≤时，下列说法正确的是（）（A ）1OP 有最小值1 （B ）1OP有最小值，且最小值小于1（C ）120OP OP ? 恒成立（D ）存在12,x x 使得122OP OP?二、解答题1（昌平理）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 22π≤θ≤π-. （Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值;（Ⅱ）求||b a +的取值范围.2（石景山19）已知向量)k =a ，(01)=-，b，(1=c .（Ⅰ）若⊥a c ，求k 的值；（Ⅱ）当1=k 时，λ-a b 与c 共线，求λ的值；（Ⅲ）若=m ，且m 与c 的夹角为150︒，求2 m +c .3（西城19）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧 AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值；（Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.4(海淀）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,3)A ，(5,1)B ，(2,1)P ，点M 是直线OP上的一个动点. （Ⅰ）求PB PA -的值；（Ⅱ）若四边形APBM 是平行四边形，求点M 的坐标；（Ⅲ）求A M .B M的最小值.平面向量参考答案：（一） 1.B 2. D 3．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4. -1 5. 946. B7.A8. 2,19.C 10. D 11. D 12. C 13.（3，-3） 14. D 15. 4 16. 936- 17.B 18. 6 19.B 20.D 21.C 22.A 23. -2324. 4 25.D 26.A 27.D 28.A27【解析】因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅ ,且a b 和b a都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a = ,||12cos ||b a θ= ,所以2||cos 2cos ||a ab b θθ== ,且211(0,),cos 1,2cos 2322πθθθ∈∴<<∴<< 故有312a b = 或,选D.28【解析】解：1OP =x x 1221cos +=x x n 1221si 1-+（[]1,11-∈x ）将x 1看成自变量，1OP 看成x 1的函数，则1OP是关于x 1的偶函数。

2024年高一数学真题分类汇编(北京专用)平面向量的概念及其线性运算5种常考题型归类(解析版)

专题01平面向量的概念及其线性运算5种常考题型归类平面向量的有关概念1．（2019•西湖区期中）下列命题正确的是()A ．单位向量都相等B ．模为0的向量与任意向量共线C ．平行向量不一定是共线向量D ．任一向量与它的相反向量不相等【解析】在A 中，单位向量大小相等都是1，但方向不同，故单位向量不一定相等，故A 错误；在B 中，零向量与任意向量共线，故B 正确；在C 中，平行向量一定是共线向量，故C 错误；在D 中，零向量与它的相反向量相等，故D 错误．故选：B ．2．（2023春•石景山区校级期中）给出下列命题正确的是()A ．若||||a b = ，则a b =B ．若a b = ，b c = ，则a c =C ．若||||a b = 且//a b ，则a b=D ．若//a b ，//b c ，则//a c【解析】A ，当a与b 方向不同时，a b = 不成立，∴错误，B ，若a b = ，b c = ，则a c =，∴正确，C ，当a与b 方向相反时，a b = 不成立，∴错误，D ，当0b = 时，满足//a b ，//b c ，但//a c不一定成立．故选：B ．3．（2022春•东城区校级期中）下列结论中正确的是()①若//a b 且||||a b = ，则a b =；②若a b = ，则//a b且||||a b = ；③若a与b 方向相同且||||a b = ，则a b = ；④若a b ≠ ，则a与b 方向相反且||||a b ≠ ．A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④【解析】①若//a b 且||||a b = ，则a b =±，因此①不正确；②若a b = ，则//a b且||||a b = ，正确；③若a与b 方向相同且||||a b = ，则a b = ，正确；④若a b ≠ ，则a与b 方向不一定相反，可能||||a b = ，因此④不正确．故选：B ．4．（2020春•东城区期中）已知A ，B ，C ，D 是平面内四个不同的点，则“//AB CD”是“四边形ABCD 为平行四边形”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由//AB CD可不一定推出四边形ABCD 为平行四边形，但由四边形ABCD 为平行四边形一定可得//AB CD，故“//AB CD”是“四边形ABCD 为平行四边形”的必要而不充分条件，故选：B ．5．（2023春•西城区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为2，则||AB AC +=．【解析】由题意可知||2,||2,,4AB AC AB AC π==〈〉= ，∴2224AB AC ⋅=⨯ ，故22||248825AB AC AB AC AB AC +=++⋅=++=．故答案为：25．6．（2022秋•西城区校级期中）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则||AC BD -=．【解析】连接AE ，EC ，则AEC ∆是等边三角形，∴AC 与BD的夹角为60︒，正六边形ABCDEF 的边长为1，1AB =，120ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由余弦定理可得222||11211cos1203AC =+-⨯⨯⨯︒=，||||3AC BD ∴==．∴333cos602AC BD ⋅=⨯⨯︒= ，则22223||()||2||32332AC BD AC BD AC AC BD BD -=-=-⋅+=-⨯+= ．则||3AC BD -=．故答案为：3．7．（2022•北京期中）已知向量a，b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则|2|(a b -=)A 5B 17C ．5D ．20【解析】由图象可得||3a = ，||22b = ，a <，45b >=︒ ，所以||||cos a b a b a ⋅=< ，23262b >=⨯= ，所以222|2|(2)444946825a b a b a a b b -=-=-⋅+⨯-⨯+ 故选：C ．平面向量的加、减法及数乘运算8．（2019春•西城区校级期中）下列向量的线性运算正确的是()A ．AB AC BC+= B ．AB CB AC+= C ．AB CB AC-= D ．AB AC BC-= 【解析】选项A ：根据向量加法运算法则，AB AC BC +≠，故错误；选项:B AB CB AB BC AC +=-≠，故错误；选项C ：根据向量加法法则，AB CB AB BC AC -=+=．故正确；选项D ：根据向量减法法则，AB AC CB BC -==-，故错误．故选：C ．9．（2022春•东城区校级期中）在平行四边形ABCD 中，BC CA AB ++=．【解析】0BC CA AB BC CB ++=+=，故答案为：0．10．（2021春•海淀区期中）(MB BA BO OM -++=)A ．ABB ．BAC ．MBD ．BM【解析】因为：MB BA BO OM OM MB BO BA AB -++=++-=，故选：A ．11．（2017秋•西城区校级期中）ABC ∆的三边BC ，CA ，AB 的中点分别是D ，E ，F ，则(BE CF +=)A ．BCB ．12AD C ．AD- D ．12BC-【解析】如图，ABC ∆的三边BC ，CA ，AB 的中点分别是D ，E ，F ；∴()()BE CF BC CE CB BF +=+++ CE BF =+ 1122CA BA =+1()2AB AC =-+AD =- ．故选：C ．12．（2023•城中区期中）在平行四边形ABCD 中，1(2AC AB -=)A ．BDB ．DBC ．12BDD ．12DB【解析】如图，111111()()222222AC AB BC BA AB BC BA BC BA BD -=--=+=+=．故选：C ．13．（2023春•海淀区校级期中）在四边形ABCD 中，(AB AD CD -+= )A ．BCB ．CBC ．ADD ．DA【解析】在四边形ABCD 中，AB AD CD CD DB CB -+=+=．故选：B ．14．（2022春•兰州期中）化简AB BC AD +-等于()【解析】AB BC AD AC AD DC +-=-=．故选：B ．15．（2023春•海淀区校级期中）化简AC DE EB AB ++-=．【解析】AC DE EB AB DE EB BA AC DC ++-=+++=．故答案为：DC．16．（2021春•丰台区期中）在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 和BD 的交点，则(AO OD DC +-= )A ．ACB ．CAC ．BDD ．DB【解析】四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC =，∴AO OD DC AD DC BC CD BD +-=-=+= ．故选：C ．17．（2017秋•西城区期中）如图，在矩形ABCD 中，(AO OB AD ++=)A ．AB B ．AC C ．AD D ．BD【解析】在矩形ABCD 中，AD BC = ，则AO OB AD AO OB BC AO OC AC ++=++=+= ，故选：B ．18．（2014•余杭区期中）如图，正六边形ABCDEF 中，(BA CD EF ++=)【解析】正六边形ABCDEF 中， CD AF = ，EF CB = ；∴BA CD EF BA AF CB ++=++ CB BA AF =++ CF = ．故选：D ．19．（2023春•宾县校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，1(2BD AD -=)A ．CAB ．ACC ．12ACD ．12CA【解析】111111()()222222BD AD BA AD AD BA AD AB AD CA -=+-=-=-+=．故选：D ．20．（2023春•朝阳区校级期中）设如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是()A ．AB CD = B ．AB DA BD +=C ．0AD BC += D ．AB AD DB-= 【解析】由于在平行四边形ABCD 中，根据平行四边形的性质：所以AB DC = ，AB DA AB AD DB +=-= ，0AD CB +=，故选：D ．21．（2022秋•西城区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，(AC AB -=)A ．CB B ．ADC ．BD D ．CD【解析】在平行四边形ABCD 中，AC AB BC AD -==．故选：B ．22．（2018秋•西城区期中）如图，在ABC ∆中，D 是BC 上一点，则(AB BC AD +-=)A ．BDB ．DBC ．CD D ．DC【解析】AB BC AD AC AD DC +-=-=．故选：D ．共线向量定理的应用23．（2019秋•西城区校级期中）“向量a与向量b 共线”是“存在R λ∈，使得a b λ= ”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若存在R λ∈，使得a b λ= ”，则向量a与向量b 共线，即必要性成立，当b 为零向量时，a 为非零向量时，满足向量a与向量b 共线”但不存在R λ∈，使得a b λ= ”成立，即充分性不成立，故“向量a与向量b 共线”是“存在R λ∈，使得a b λ= ”的必要不充分条件，故选：B ．24．（2019•昌平区期中）设a ，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ= ”是“||||||a b a b +=+ ”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若“||||||a b a b +=+”，则平方得2222||2||||||2||||a a b b a b a b +⋅+=++⋅，即||||a b a b ⋅=⋅ ，即||||cos a b a b a ⋅=< ，||||b a b >=⋅ ，则cos a <，1b >= ，即a < ，0b >= ，即a，b 同向共线，则存在实数λ，使得a b λ= ，反之当a <，b π>= 时，存在0λ<，满足a b λ= ，但“||||||a b a b +=+ ”不成立，即“存在实数λ，使得a b λ=”是“||||||a b a b +=+ ”的必要不充分条件，故选：B ．25．（2020秋•宜春期中）设a ，b 为非零向量，则“||||||a b a b +=+ ”是“a与b 共线”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】因为a，b 为非零向量，由||||||a b a b +=+ 两边平方可得，|||a b a b ⋅= ，故夹角0θ=，即a与b 共线，当a与b 共线时，夹角0θ=或π，此时||||||a b a b +=+ 不一定成立．故选：A ．26．（2021春•鼓楼区校级期中）向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量a b λ+ 与c共线，则实数λ=．【解析】建立如图所示平面直角坐标系，取小正方形的边长为1，则(1,1)a = ，(0,1)b =- ，(2,1)c =，∴(,1)a b λλλ+=-，向量a b λ+ 与c共线，2(1)0λλ∴--=，2λ∴=．故答案为：2．27．（2020春•商丘期中）已知非零向量a、b ，且2AB a b =+ ，56BC a b =-+ ，72CD a b =- ，则一定共线的三点是()A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D【解析】由向量的加法原理知5672242BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=，又两线段过同点B ，故三点A ，B ，D 一定共线．故选：A ．28．（2021•临汾期中）已知5AB a b =+ ，28BC a b =-+，3()CD a b =- ，则()A ．A 、B 、D 三点共线B ．A 、B 、C 三点共线C ．B 、C 、D 三点共线D ．A 、C 、D 三点共线【解析】(28)3()5BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+，又5AB a b =+，所以AB BD = ，则AB 与BD 共线，又AB 与BD有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．故选：A ．29．（2022春•丰台区期中）已知a，b 是两个不共线的向量，若向量a tb - 与向量2a b + 共线，则实数t 等于()A ．12-B ．1-C ．0D ．2-【解析】向量a tb - 与向量2a b +共线，∴存在实数k 使得(2)a tb k a b -=+，化为：(12)()k a t k b -=+，a，b 是两个不共线的向量，120k ∴-=，0t k +=，则实数12t =-，故选：A ．30．（2023秋•海淀区期中）已知非零向量12()a x e e =+，12b e ye =+ ，其中1e ，2e 是一组不共线的向量．能使得a与b 的方向相反的一组实数x ，y 的值为x =，y =．【解析】因为非零向量12()a x e e =+，12b e ye =+ ，其中1e ，2e 是一组不共线的向量，若使得a与b 的方向相反，则存在实数λ，使得(0)a b λλ=< ，即1212()()x e e e ye λ+=+ ，由平面向量基本定理可得，x λ=，x y λ=，解得x λ=，1y =，取1λ=-，1y =时，符合题意．故答案为：1-，1．向量的线性表示31．（2020秋•朝阳区期中）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点．若AB a = ，AD b =，则(AC = )A ．32a b -B ．2a b -C ．2a b-+D ．1122a b+ 【解析】 AB a = ，AD b =，∴BD AD AB b a =-=- ，D 是BC 的中点，∴DC BD b a ==- ，∴2AC AD DC b b a b a =+=+-=- ，故选：C ．32．（2019春•安徽期中）ABCD 中，E 为CD 中点，F 为BE 中点，则(AF =)A ．1122AB AD+B ．1324AB AD+C ．34AB AD+D ．3142AB AD+【解析】如图，根据题意：111()222AF AB BE AB BC CD =+=++11312442AB AD AB AB AD =+-=+ ．故选：D ．33．（2011•封开县期中）已知AM 是ABC ∆的BC 边上的中线，若AB a = 、AC b =，则AM 等于()A ．1()2a b - B ．1()2a b -- C ．1()2a b + D ．1()2a b -+ 【解析】因为AM 是ABC ∆的BC 边上的中线，∴BM MC =又 AM AB BM =+ ①AM AC CM =+ ②①+②：2AM AB AC =+∴1()2AM a b =+ ．故选：C ．34．（2020春•海淀区校级期中）如图所示，已知OA a = ，OB b = ，OC c = ，OD d = ，OE e =，OF f = ，试用a、b 、c 、d 、e 、f 表示下列各式：（1）AD AB - ；（2）AB CF + ；（3）EF CF - ．【解析】（1）()()AD AB OD OA OB OA OD OB d b -=---=-=-；（2）()()AB CF OB OA OF OC b a f c +=-+-=-+- ；（3）()()EF CF OF OE OF OC OC OE c e -=---=-=- ．根据向量的线性运算求参数35．（2017秋•东城区校级期中）在三角形ABC 中，D 为BC 边上中点，AB AC AD λ+=，则λ=．【解析】在平面ABC 内找一点E ，使ABEC 为平行四边形，则2AB AC AE AD +== ，又AB AC AD λ+=，则2λ=，故答案为：2．36．（2019•东城区期中）设E 为ABC ∆的边AC 的中点，BE mAB nAC =+，则m ，n 的值分别为()A ．11,2-B ．1,12-C ．1,12-D ．11,2【解析】E 为ABC ∆的边AC 的中点，∴1122BE BA AC AB AC =+=-+，又BE mAB nAC =+ ，则1m =-，12n =，故选：A ．37．（2015•石景山区期中）如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c满足(,)c xa yb x y R =+∈ ，则xy=．【解析】将向量a，b ，c 放入坐标系中，则向量(1,2)a = ，(2,1)b =- ，(3,4)c =， c xa yb =+，(3∴，4)(1x =，2)(2y +，1)-，即2324x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则112x y =，故答案为：112．38．（2021•海淀区期中）在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈ ．若32λμ+=，则||(||CD AB = )A ．13B ．12C ．1D ．2【解析】如图所示，过C 作//CE AD ，又//CD AB ．∴四边形AECD 是平行四边形．∴AC AE AD =+ ，又(,)AC AB AD R λμλμ=+∈．1μ∴=，AE AB λ=，又32λμ+=，12λ∴=．则||||12||||CD AE AB AB ==．故选：B ．39．（2023春•东城区校级期中）在平行四边形ABCD 中，||||BA BC BA BC +=-，则平行四边形ABCD 一定是()A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定【解析】由||||BA BC BA BC +=- ，得||||BD CA =，所以四边形ABCD 为矩形．故选：B ．40．（2023春•盱眙县期中）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若||4BC =，||||AB AC AB AC +=- ，则||AM = ．【解析】 ||||AB AC AB AC +=-，∴以AB 和AC为邻边的平行四边形是一个矩形，根据矩形的对角线相等且互相平分，∴11||||4222AM BC ==⨯= ，故答案为：241．（2023秋•朝阳区期中）已知平面内四个不同的点A ，B ，C ，D 满足22BA DB DC =- ，则||(||AC BC =)A ．23B ．32C ．2D ．3【解析】22BA DB DC =-，∴2()2BC CA DC CB DC +=+- ，即3BC AC =，3||||BC AC = ，||3||AC BC = ．故选：D ．42．（2023•佛山期中）已知非零向量a，b ，则“||||a b b -= ”是“20a b -= ”成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若非零向量a，b 满足20a b -= ，则a b b -= ，||||a b b -= ，故“||||a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件，若||||a b b -= ，两边同时平方可得，220a a b -⋅=，(2)0a a b ⋅-= ，令(1,0)a = ，11(,)22b =- 时，满足非零向量a ，b且2(0,1)a b -= ，(2)0a a b ⋅-= 成立，但20a b -≠ ．故“||||a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件，综上所述，“||||a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要不充分条件．故选：B ．43．（2020秋•潍坊期中）已知点G 是正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则PA PB PC PD +++等于()A ．4PGB ．3PGC ．2PGD ．PG【解析】如图，PA PG GA =+ ，PC PG GC =+ ，PB PG GB =+ ，PD PG GD =+，∴4()()4PA PB PC PD PG GA GC GB GD PG +++=++++= ．故选：A ．44．（2022春•丰台区期中）一条河两岸平行，河的宽度为2402知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟123米，水流速度大小为每分钟12米．①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为每分钟米；②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸需要分钟．【解析】①由题意作图如下，22(123)1224m +=，②由题意作图如下，22(123)122m -=，240220122=分钟，故答案为：①24，②20．。

2019-2020年高考数学总复习专题05平面向量分项练习含解析文

【考点定位】平面向量的数量积 . 三．拔高题组
1. 【2010 天津，文 9】如图，在△ ABC中， AD⊥ AB， BC ＝ 3BD ，| AD | ＝ 1，则 AC · AD
＝( )
A． 2 3 B. 3 2
C. 3 D. 3 3
【答案】 D
【解析】设 | BD | ＝x，则 | BC | ＝ 3 x，
1 CB 2 CA ,
6
3
则 MA MB _______________________.
【答案】－ 2
解法一 : 由于 CM
1
2
CB CA , 那么
6
3
解法二 : 本题如果采用建立直角坐标系 , 运用向量数量积的坐标运算较为简单直角坐标系 , 根据题设条件即可知
, 建立如图所示的
A(0,3),B(
此时
故答案为：
4. 【 2008 天津，文 14】已知平面向量 a (2,4) ， b ( 1,2) ．若 c a (a b)b ，则 | c | _____________ ．
【答案】 8 2
【解析】因为 c (2,4) 6( 1,2) (8, 8) ，所以 | c | 8 2 ．
5. 【 2009 天津，文 15】若等边△ ABC 的边长为 2 3 , 平面内一点 M满足 CM
1 AC AD ( AB BC ) AD BC AD ＝ | BC | ·｜AD | ·cos∠ADB＝ 3 x·1· x ＝ 3 .
2. 【 2016 高考天津文数】已知 △ ABC是边长为 1 的等边三角形，点 D , E 分别是边 AB, BC 的
中点，连接 DE
并延长到点 F ，使得 DE 2EF ，则 AF BC 的值为

专题05平面向量(第01期)-决胜高考全国名校试题文数分项汇编(北京特刊)(解析版).doc

第五章平面向量一.基础题组1.(2015年北京市昌平区高三二模文4)已知AABC是等腰直角三角形,D是斜边BC的中点，处二2,则(忑+屁)・巫等于()A. 2B. 2^2C. 4D. V6【答案】C【解析】试题分析：AD = V2,(AB + XC)34P = 2ADTAD = 2 x (V2)2 = 4 ,选C.考点：向量运算.2.(北京市西城区2015届高三二模文2)己知平面向量方，2，方二(一1,1)，方= (2,3)，c = (一2,k),若(a + F)//c,则实数k=()A. 4B. -4C. 8D. -8【答案】C.【解析】试题分析:V^ + 6 = (L4), (：+方)//：,・ \* = 4x(-2) =-8, 故选C.考点：平面向量共线的坐标表示.3.(北京市西城区2015届高三一模考试文9)已知平面向量％满足a = (l,-l),(a + b)丄(a — b)，那么|纠二__ ・【答案】V2【解析】试题分析：(a + b)丄(°一〃)=> (a + b) - (a - b) = 0 => a: = h~ =>|〃冃a |= >/2.考点：向量运算4.(北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习(一)文12)在平面直角坐标系兀O)；中，点A( —1,0), 3(0,希),C(cosx ,sinx),贝J AB 二 _______________ ；若AB // OC ,则tanx =【答案】（M ）； V3.【解析】试题分析：・・・A （ — 1,O ）, 3（0,舲），・••而二（0 + 1,馆一0）= （1,希），-AB//OC^ 考点：向量共线的充要条件.5. （北京市朝阳区2015年高三第一次综合练习文10）已知平面向量a, 〃满足a = b =1 , a 与方的夹角为60°,则a ・（a + 〃）= ______________3【答案】- 2【解析】3试题分析：由题可知，a.（a + b ）=jd|‘+ab = 1+1 a|| cos& =l+cos60° =牙; 考点：向量的数量积二. 能力题组1. （北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）文4）如图，在6X6的方格纸中, 若起点和终点均在格点的向量d,h,c 满足c = xd + yb\x,ye R),则％+y=()1 2A. 0B. 1C. 5y/5D.—【答案】D【解析】试题分析:设方格边长为单位长1 •在直角坐标系内,a = （l,2）,b = （2,—l ）,c = （3,4）,由 cosx1 =^> tan x = V3sinxc = xa + yb,(x, y w R)得,(3,4) = x(l, 2) + y⑵一1),(3,4)=(兀 + 2y9 2x一y),考点：1•平面向量的坐标运算；2•平面向量基本定理.2. （北京市延庆县2015届高三3月模拟文5）在边长为2的正方形ABCD 中，E,F 分别为 BC 和DC 的中点，则方E •农二（5 3 A. — B. — C. 4 D. 2 22【答案】C【解析】试题分析:将所求利用正方形的边对应的向重表示，然后利用正方形的性质解答・边长为2的正方形ABCD 中，E, F 分别为BC 和DC 的中点，所以AE 、4F =（AD + DF ）（AB+BE ） =40 •血+»「43 + 加亦 + 莎施=0+2 + 2 + 0 = 4；故选:C考点：平面向量数量积运算3. （北京市海淀区2015届高三下学期期中练习（一模）文9）已知单位向量4与向量7T* = （1-1）的夹角为上，贝ia-b= _____________ 4【答案】1【解析】ya +乙-2a-b = Vl + 2-2 = 1考点：向量的数量枳、向量的模x + 2y = 3 所以2-二4 11 x =— 5 所以, “尸丁，选D由己知故 «.^lx^xcos- = l4. （北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）文12）若非零向量4, 〃满足 a + b = a-b =2 a ,则向量〃与a + b 的夹角为 __________________ .【答案】- 6【解析】试题分析:根据题意！设\a-^b\ = \a-b\ =2\a\ = m ?解得0：：=牛 F = g 沪，则b 与a + b 4 4c 3 2o+-w^ R— ----- =匚，所以方与a + b 的夹角为：.V3 2 2 6——m 考点：1・向量数量积；2.向量夹角.三. 拔高题组1.（北京市丰台区2015届高三5月统一练习（二）文14）已知梯形ABCD 中，卫” =°£ = £艮=丢48 , p 是BC 边上一点,且丽=xAB + yAD.当P 是BC 中点时, x+y= ___ ；当P 在BC 边上运动时，x+y 的最大值是 ___________ •5 3【答案】—,— 4 2【解析】试题分析：当 P 是 BC 的中点时，22 2 4设 = A? = AB + BP = + = AB + r （BA+AD+DC ）x+y=1+£,1+ia 2 2 2考点：平面向量基本定理的夹角余弦值为:那+& 3—my^m 4。

2024年高一数学真题分类汇编(北京专用)平面向量最值与范围问题4种常考题型归类(解析版)

专题04平面向量最值与范围问题4种常考题型归类平面向量基本定理的最值问题1．（2022春•海淀区校级期中）已知单位向量1e ，2e 满足1212e e ⋅=- ，若非零向量12a xe ye =+，其中x ，y R ∈，则||||x a 的最大值为()A ．43B ．23C ．22D 【解析】因为单位向量1e ，2e满足1212e e ⋅=- ，所以1e < ，223e π>= ，设1(1,0)e = ，21(2e =- ，2，所以12(1a xe ye x =+= ，10)(2y +-，(22y x =-，)2y ，所以||a ==，所以||||x a ==当0x =时，||0||x a = ，当0x ≠时，||||x a =令y t x=，则221331()244t t t -+=-+ ，，所以||||x a故选：D ．2．（2022春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+ ，则14m n+的最小值是()A ．4B ．9C ．8D ．13【解析】D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线， AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14144()559n m m n m n m n m n+=++=+++= ，当且仅当4n m m n =，即2n m =，又1m n += ，13m ∴=，23n =时取等号．∴14m n+的最小值为9．故选：B ．3．（2023春•海淀区校级期中）如图，在ABC ∆中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD AE xAB y AC +=+，则x y +=，14x y+的最小值为．【解析】设AD mAB nAC =+ ，AE AB AC λμ=+，B ，D ，E ，C 四点共线，1m n ∴+=，1λμ+=， AD AE xAB y AC +=+ ，2x y ∴+=，∴141141419()()(5)(52222y x x y x y x y x y +=++=+++= ，当且仅当4y x x y =，即23x =，43y =时等号成立，所以14x y +的最小值为92．故答案为：2；92．4．（2022春•丰台区校级期中）已知O 为ABC ∆的外心，且BO BA BC λμ=+．①若90C ∠=︒，则λμ+=；②若60ABC ∠=︒，则λμ+的最大值为．【解析】①若90C ∠=︒，则O 是斜边AB 的中点，如图①所示；∴12BO BA = ，12λ∴=，0μ=，12λμ∴+=；②设ABC ∆的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，60ABC ∠=︒ ，120AOC ∴=︒，设(1,0)A ，1(2C -，2，(,)B x y ，则(1,)BA x y =-- ，1(2BC x =--)y -，(,)BO x y =-- ，BO BA BC λμ=+ ，∴1(1)()2()2x x x y y y λμλμ⎧--+=-⎪⎪⎨⎪-+-=-⎪⎩，解得12121x y λμλμλμ⎧-⎪=⎪+-⎪⎨⎪⎪=⎪+-⎩，B 在圆221x y +=上，2221())(1)2λμλμ∴-+=+-，22()1(32λμλμλμ+-+∴= ，∴2121()()0433λμλμ+-++ ，解得23λμ+ 或2λμ+ ，B 只能在优弧 AC 上，23λμ∴+ ，即λμ+得最大值为23．故答案为：（1）12，（2）23．5．（2018秋•顺义区校级期中）已知向量(cos ,sin )a θθ=，(sin ,0)b θ= ，其中R θ∈．（Ⅰ）当a b ⊥时，求θ的值；（Ⅱ）当2πθ=时，已知(c xa yb x =+ ，y 为实数），且||2c = ，求xy 的最大值．【解析】（Ⅰ） a b ⊥ ，∴sin cos 0a b θθ⋅==，sin 20θ∴=，即2k θπ=，k Z ∈，∴,2k k Z πθ=∈．（Ⅱ）当2πθ=时，(cos ,sin )(0,1)a θθ== ，(sin ,0)(1,0)b θ== ，(0,1)(1,0)(,)c xa yb x y y x =+=+=，||2c =，224x y ∴+=，∴2222x y xy += ，当且仅当x y ==时等号成立，xy ∴的最大值为2．6．（2022春•西城区校级期中）已知点(0,2)A ，(1,3)B ，(3,)C m 满足||||BA BC BA BC +=-．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设O 为坐标原点，动点P 满足OP OA AB λ=+，求当||OP 取最小值时点P 的坐标．【解析】（Ⅰ）(0,2)A ，(1,3)B ，(3,)C m ，∴(1,1)BA =-- ，(2,3)BC m =-，||||BA BC BA BC +=- ，∴(1)2(1)(3)0BA BC m ⋅=-⨯+--=，解得1m =；（Ⅱ）(0,2)A ，(1,3)B ，∴(0,2)OA = ，(1,1)AB =， (,2)OP OA AB λλλ=+=+，||OP ∴==故当1λ=-时，||OP取得最小值，此时，(1,1)P -．平面向量的数量积的最值问题7．（2023春•东城区校级期中）已知等边ABC ∆的边长为2，D 为边BC 的中点，点M 是AC 边上的动点，则MD MC ⋅的最大值为，最小值为．【解析】以AC 所在的直线为x 轴，AC 的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，等边ABC ∆的边长为2，D 为边BC 的中点，(1,0)A ∴-，B ，(1,0)C ，1(22D ，设点M 的坐标为(,0)M x ，11x -，∴(1,0)MC x =- ，1(2MD x =- ，∴2131(1)()222MD MC x x x x ⋅=--=-+ ，设231()22f x x x =-+，11x -，函数()f x 的对称轴为34x =，()f x ∴在区间3[1,]4-单调递减，在区间3[,1]4单调递增，当1x =-时，()(1)3max f x f =-=，当34x =时，31()(416min f x f ==-．故答案为：3，116-．8．（2023春•昌平区校级期中）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，AB OP ⋅的值为；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅的最小值为．【解析】矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，||||cos 212AB OP AB OP POB ⋅=∠=⨯=；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅的最小值，||||cos AB OP AB OP POB ⋅=∠ ，P 应该在线段AD 上，此时||||cos 2(1)2AB OP AB OP POB ⋅=∠=⨯-=-；故答案为：2；2-．9．（2023春•海淀区校级期中）在OAB ∆中，2OA OB ==，AB =，若动点P 在线段OA 上运动，则PA PB ⋅的最小值为()A ．94-B ．94C ．34D ．34-【解析】OAB ∆中，2OA OB ==，AB =由余弦定理得，22244121cos 22222OA OB AB AOB OA OB +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以23AOB π∠=，建立平面直角坐标系，如图所示：设(,0)P x ，[0x ∈，2]，(2,0)A ，(B -，所以(2,0)PA x =- ，(1PB x =--，计算2219(2)(1)2()24PA PB x x x x x ⋅=---=--=-- ，当12x =时，PA PB ⋅ 取得最小值为94-．故选：A ．10．（2023春•西城区校级期中）已知点P 是边长为1的菱形ABCD 内一动点（包括边界），60DAB ∠=︒，则AP AB ⋅的最大值为()A B ．32C ．1D ．34【解析】以菱形ABCD 的对角线BD 所在直线为x 轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得2A ，1(2B -，0)，(0,2C -，1(2D ，0)，则1(2AB =- ，，设(,)P x y ，(,AP x y =- ，1324AP AB x ⋅=--+ ，作出直线33y x =，平移，经过点C 时，1322x y --取得最大值34，则122x y =--的最大值为32．故选：B ．11．（2022春•西城区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB⋅的值为，DE AC ⋅的最大值为．【解析】2()||01DE CB DA AE CB DA CB AE CB DA ⋅=+⋅=⋅+⋅=+=，点E 是AB 边上的动点，∴设AE AB λ=，[0λ∈，1]，∴22()()()()(1)01DE AC AE AD AB AD AB AD AB AD AB AB AD AD λλλλ⋅=-⋅+=-⋅+=+-⋅-=+- ，在[0λ∈，1]上单调递增，∴当1λ=时，DE AC ⋅取得最大值，为0．故答案为：1；0．12．（2021春•昌平区校级期中）已知矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，E 为BC 边的中点，F 为CD 边上的动点（可以与端点重合），则AE ED ⋅=，AF AE ⋅的最大值为．【解析】如图，建立直角坐标系，则(2,2)E ，(0,4)D ，(,4)F x ，[0x ∈，2]，所以(2AE ED ⋅=，2)(2⋅-，2)0=，当F 在C 处时，AF AE ⋅的最大值为(2，2)(2⋅，4)12=．故答案为：0；12．13．（2018秋•通州区期中）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为．【解析】以AB 、AD 所在直线为x 轴、y 轴，建立坐标系如图可得(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D 设(,0)E x ，其中01x(,1)DE x =- ，(1,0)DC =，∴1(1)0DE DC x x ⋅=⋅+-⋅=，点E 是AB 边上的动点，即01x，x ∴的最大值为1，即DE DC ⋅的最大值为1故答案为：114．（2023春•东城区校级期中）如图，在平面四边形ABCD 中，90CDA CBA ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，若点E 为CD 边上的动点，则AE BE ⋅的最小值为．【解析】以D 点为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图平面直角坐标系，则(1,0)A ，3(22B ，C ，设点E 坐标为(0,)E t ，则t ∈，(1,)AE t =- ，3(,2BE t =-- ，∴223321(1,)(,(2216AB BE t t t t ⋅=-⋅--=-+=-+ ，∴当34t =时，21()16min AB BE ⋅= ．故答案为：2116．15．（2021春•丰台区期中）梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，90BAD ∠=︒，点P 在线段BC 上运动．（1）当点P 是线段BC 的中点时，BC AP ⋅=；（2）PB AP ⋅的最大值是．【解析】（1）根据题意，如图，建立坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(0,1)D ，(1,1)C ，点P 是线段BC 的中点，则3(2P ，1)2，(1,1)BC =- ，3(2AP = ，1)2，则31(1)1122BC AP ⋅=-⨯+⨯=- ；（2）(2,0)B ，(1,1)C ，直线BC 的方程为2x y +=，设P 的坐标为(,)m n ，则2m n +=，(01)n ，(2,)PB m n =-- ，(,)AP m n =则222111(2)222()222PB AP m m n n n n ⋅=--=-+=--+ ，即PB AP ⋅ 的最大值是12．故答案为：（1）1-；（2）12．16．（2021春•海淀区校级期中）在ABC ∆中，45A ∠=︒，M 是AB 的中点，若||||2AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值是78．【解析】在ABC ∆中，45A ∠=︒||||2BC ==，45C ∴∠=︒，90B ∠=︒，ABC ∴∆是等腰直角三角形，||AC =，如右图所示，以AC 所在的直线为x 轴，以AC 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则(A ，0)，B ，(2M -，)2，设(,0)D t ，[t ∈，则(DB t =- ，(2DM t =-- ，)2，∴22227()()2248DB DM t t t ⋅=---+=++ ，[t ∈，∴当24t =时，DB DM ⋅ 取最小值78，故答案为：78．17．（2023春•海淀区校级期中）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE BC λ= ，DF DC μ= ．若23λμ+=，则AE AF ⋅ 的最小值为．【解析】如图，,BE BC DF DC λμ== ，且23λμ+=，∴()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ ()()()()AB BC AD DC AB AD AD AB λμλμ=+⋅+=+⋅+ 22(1)||||AB AD AD AB λμλμ=+⋅++18(1)22()4()2(1)23λμλμλμ=+⨯⨯⨯-++=-++，由题意可得，λ，0μ>， 23λμ+=，∴21()29λμλμ+= ，则202(1)9λμ-+-，∴842(1)39λμ-++ （当且仅当13λμ==时等号成立），∴AE AF ⋅ 的最小值为49．故答案为：49．18．（2023春•海淀区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为1，点P 是对角线BD 上任意一点，则AP BD ⋅的取值范围为()A ．11[,]22-B ．22[]22C ．[1-，1]D ．[【解析】设BP BD λ=，则01λ，()(1)AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD λλλλ=+=+=+-=-+ ，BD AD AB =-，所以[(1)]()AP BD AB AD AD AB λλ⋅=-+⋅- ，又||||1,0AD AB AB AD ==⋅=，所以(1)21AP BD λλλ⋅=--+=-，又01λ ，所以[1,1]AP BD ⋅∈-．故选：C ．19．（2023秋•大兴区期中）已知等边ABC ∆的边长为4，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，则EF EA ⋅=；若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则EM EN ⋅的最小值为．【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为等边ABC ∆的边长为4，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以(2,0)B -，(2,0)C ，(0A ，，(E -，F ，所以(2,0)EF = ，EA =，所以2102EF EA ⋅=⨯+=；不妨设M 在N 的左边，则设(M m ，0)(21)m - ，则(1,0)N m +，所以(1,EM m =+ ，(2,EN m =+，所以22311(1)(2)335(24EM EN m m m m m ⋅=+++=++=++ ，所以当32m =-时，EM EN ⋅ 有最小值为114．故答案为：2；114．20．（2021春•海淀区校级期中）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，3AB =，6BC =，且AD BC λ=，32AD AB =- ，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN的最小值为．【解析】以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，60B ∠=︒ ，3AB =，3(2A ∴，6BC = ，(6,0)C ∴， AD BC λ=，//AD BC ∴，设0(D x ，∴03(2AD x =- ，0)，3(2AB =- ，332-，∴0333()0222AD AB x =--+=- ，解得052x =，5(2D ∴，∴(1,0)AD = ，(6,0)BC =，∴16AD BC = ，16λ∴=，||1MN =，设(,0)M x ，则(1,0)N x +，其中05x，∴5(2DM x =- ，，3(2DN x =- ，，∴2253272113()()4(2)22422DM DN x x x x x =--+=-+=-+ ，当2x =时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．21．（2022春•海淀区校级期中）已知向量(cos ,sin )a x x =，1(,)22b =- ，函数()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小值正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）求函数()f x 在[6π，]π的最大值及对应的x 值．【解析】（1）1()cos sin()26f x a b x x x π=⋅=-+=-，则2T π=；（2）令22262k x k πππππ-+-+ ，解得[23x k ππ∈-+，22]()3k k Z ππ+∈；所以函数()f x 的单调递增区间为：[23k ππ-+，22]()3k k Z ππ+∈；（3）当[6x π∈，]π时，([06x π-∈，5]6π，则()[0f x ∈，1]．()f x ∴的最大值为1，此时62x ππ-=，即23x π=．平面向量的模的最值问题22．（2021春•海淀区校级期中）已知O ，A ，B ，C ，D 在同一平面内，||||||||1OA OB OC OD ====，且0OA OB ⋅=，则||AC BD + 的最大值为()A ．B ．2+C ．1D ．4【解析】 0OA OB ⋅= ，∴OA OB ⊥，又||||1OA OB == ，||OA OB ∴+= ．|||||()|AC BD OC OA OD OB OC OD OA OB +=-+-=+-+，当OC 、OD 与OA OB +反向时，||AC BD + 取得最大值2+故选：B ．23．（2021春•丰台区期中）已知平面上的两个单位向量a ，b 满足45a b ⋅= ，若m R ∈，则||a mb + 的最小值为()A ．52B ．25C ．53D ．35【解析】 4||||1,5a b a b ==⋅= ，∴||a mb +==== ，∴45m =-时，||a mb + 取最小值35．故选：D ．24．（2023春•东城区校级期中）已知平面向量a ，b的夹角为120︒，且||2a = ，||4b = ，则a b ⋅ 的值为，||()a tb t R -∈的最小值为．【解析】因为平面向量,a b的夹角为120︒，且||2,||4a b == ，所以1||||cos12024()42a b a b ⋅=︒=⨯⨯-=-，||a tb -====所以当14t =-时，||()a tb t R -∈ ，故答案为：-．25．（2023春•东城区校级期中）若向量,,a b c满足：,||1a b c ≠= ，且()()0a c b c -⋅-= ，则||||a b a b ++-的最小值为()A ．52B ．2C ．1D ．12【解析】设a OA =，b OB = ，c OC = ，设M 为AB 的中点，已知向量,,a b c满足：,||1a b c ≠= ，且()()0a c b c -⋅-= ，则||1OC = ，CA CB ⊥ ，则||||2||||2||2||2(||||)2||2a b a b OM BA OM CM OM CM OC ++-=+=+=+=，当且仅当O 在线段CM 上时取等号，即||||a b a b ++-的最小值为2．故选：B ．26．（2021秋•朝阳区期中）如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，1AD =，2BC =，P 是线段AB 上的动点，则|4|PC PD +的最小值为()A ．35B ．6C ．5D ．4【解析】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)B ，(2,0)C ，设(0,)A m ，(1,)D m ，(0,)P y ，所以(2,)PC y =- ，(1,)PD m y =-，所以4(6,45)PC PD m y +=-，所以|4|PC PD +=当450m y -=，即15AP AB =时，|4|PC PD + 取得最小值，为6．故选：B ．27．（2021春•东城区校级期中）已知平面向量(3,4)a = ，(9,)b x = ，(4,)c y =，且//a b ．（Ⅰ）求||b c +的最小值；（Ⅱ）若a c ⊥ ，求2m a b =- 与n a c =+的夹角．【解析】（1） (3,4)a =，(9,)b x = ，//a b ．3360x ∴-=，解得12x =，∴(9,12)b =，(4,)c y =，∴(13,12)b c y +=+，||b c ∴+=∴当12y =-时，||b c +取得最小值为13．（2）若a c ⊥，则1240a c y ⋅=+= ，3y ∴=-，∴(4,3)c =-，2(3,4)m a b =-=-- ，(7,1)n a c =+=∴25m n ⋅=- ，||5m =，||n = m 与n的夹角为θ，则cos ||||2m n m n θ⋅=== ，[0θ∈ ，]π，34πθ∴=，即2m a b =- 与n a c =+的夹角为34π．28．（2022春•海淀区校级期中）已知三角形ABC ，(2,5)A -，(1,1)B ，(2,3)C ，（1）BC =，写出一个与BC 垂直的非零向量n =；（坐标形式）（2）求cos B ；（3）若CD AB ⊥于D ，求CD ；（4）当||CB k BA +最小时，k =．【解析】（1）三角形ABC ，(2,5)A -，(1,1)B ，(2,3)C ，(1,2)BC OC OB =-=，设与BC 垂直的非零向量(,)n x y =，则(x ，)(1y ⋅，2)20x y =+=，令2x =，得1y =-，∴(2,1)n =-．（2）(3,4)BA =- ，(1,2)BC =，cos cos ,||||BA BC B BA BC BA BC ⋅∴=<>====⋅（3）cos B =sin B ∴=sin 2CD CB B ==；（4）(1CB k BA +=-，2)(3k +-，4)(13k =--，24)k -+，∴||CB kBA +==当10122255b k a -=-=-=⨯时，||CB k BA + 最小为2．故答案为：（1）(1,2)；(2,1)-；（23）2；（4）15．29．（2023春•西城区校级期中）已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，{1i λ∈-，1}，(1i =，2，3，4，5，6)，则123455||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是，最大值是．【解析】建立如图平面直角坐标系，由矩形ABCD ，得AC AB AD =+ ，BD AD AB =-，则123455||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++，1356|()(2λλλλ=-+-，24560)()(0λλλλ+-++，1)|，1356|(2()λλλλ=-+-，2456())|λλλλ-++，=则当13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=时，取得最小值为0，当21λ=，41λ=-，51λ=，61λ=-，11λ=，31λ=-时，即13564λλλλ-+-=，24562λλλλ-++=，=．故答案为：0；．30．（2022春•朝阳区校级期中）已知两个向量(1,2),(3,2)a b ==- ．（1）求||b 以及与a b + 垂直的单位向量；（2）当实数k 取何值时，向量4a kb + 与ka b + 方向相反？（3）若c a xb =+ （其中)x R ∈，求||c 的最小值．【解析】（1）向量(1,2),(3,2)a b ==- ．∴由模长公式得||b = ，(2,4)a b +=- ，设该单位向量的坐标为(,)x y ，则2401x y -+=⎧=，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或55x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴与a b +垂直的单位向量为或(．（2）4(43,82)a kb k k +=-+ ，(3,22)ka b k k +=-+ ，当向量4a kb + 与ka b + 共线时，(43)(22)(82)(3)0k k k k -+-+-=，解得2k =或2k =-，当2k =时，4(2,12)a kb +=- ，与(1,6)ka b +=- 同向，不合题意；当2k =时，4(10,4)a kb += ，与(5,2)ka b +=-- 反向，符合题意，2k ∴=．（3）(13,22)c a xb x x =+=-+，||c == 由二次函数的性质，△2241350=-⨯⨯<，213250x x ∴++>，当113x =-时，||c取最小值，||13c = ，||c ∴31．（2021春•延庆区期中）已知1e ，2e 是两个单位向量，122a e e =- ，12sin b e e θ=+ ，123cos c e e =+ ，[0θ∈，2]π．（Ⅰ）若//a b ，求θ；（Ⅱ）若2a e ⊥ ，求||a b + 的最大值及相应的θ值；（Ⅲ）若12e e ⊥ ，1()()2a b a c -⋅-=- ，求证：tan 1θ=-．【解析】（Ⅰ）因为//a b ，所以1sin 21θ=-，故1sin 2θ=-，又因为[0θ∈，2]π，所以766ππθπ=+=，或11266ππθπ=-=．（Ⅱ）由于2a e ⊥ ，所以122(2)0e e e -⋅= ，即212220e e e ⋅-= ，又12||||1e e == ，所以1212e e ⋅= ，所以22222121212()(3(sin 1))9(sin 1)6(sin 1)a b e e e e e e θθθ+=+-=+-+⨯-⨯⋅ 2219(sin 1)6(sin 1)sin sin 72θθθθ=+-+⨯-⨯=++⋯⋯①，由于[0θ∈，2]π，所以sin [1θ∈-，1]，所以当sin 1θ=时，即2πθ=时，①式的最大值等于9，所以当2πθ=时，||a b += 3．（Ⅲ）证明：因为12e e ⊥ ，所以120e e ⋅= ，所以，1212()()[(1sin )][(1cos )]a b a c e e e e θθ-⋅-=+--⋅-+-- 221212(1sin )(1cos )(1cos 1sin )e e e e θθθθ=-+----+--++⋅ 1(1sin )(1cos )sin cos sin cos θθθθθθ=-+----=++，所以1sin cos sin cos 2θθθθ++=-，令sin cos t θθ+=，则22(sin cos )t θθ+=，21sin cos 2t θθ-=，所以21122t t -+=-，所以220t t +=，解得0t =，或2t =-，又因为sin cos )4t πθθθ=+=+，所以[t ∈，故舍去2t =-，所以0t =，即sin cos 0θθ+=，显然cos 0θ≠，所以tan 1θ=-．平面向量夹角的最值问题32．（2023春•海淀区校级期中）已知向量(,2)a x x = ，(3,2)b x =- ．（Ⅰ）若a 与b 共线，求实数x 的值；（Ⅱ）若a 与b 的夹角是钝角，求实数x 的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为a 与b 共线，且(,2)a x x = ，(3,2)b x =- ，所以22(3)x x x =⋅-，即2620x x +=，解得103x =-或．（Ⅱ）因为a 与b 的夹角是钝角，所以0a b ⋅< ．即2340x x -+<，解得0x <或43x >．检验，由（Ⅰ）知，当13x =-时，a 与b 方向相反，夹角为平角，所以，x 的取值范围是114(,(,0)(,)333-∞--+∞ ．33．（2022春•西城区校级期中）如图，ABC ∆是边长为2的等边三角形，P ，Q 分别为AB ，AC上的点，满足AP AB λ= ，)AQ AC λ=- ，其中[0λ∈，1]．（1）PQ BC ⋅ 的值为；（2）向量PQ ，BC 的夹角α的取值范围是．【解析】（1）221()()[(1)]()(1)4(1)22422PQ BC AQ AP AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB λλλλλλ⋅=-⋅-=--⋅-=--⋅+=--⨯⨯+= ；（2||PQ = ，又[0λ∈，1]，∴||[1,2]PQ ∈ ，又||2BC = ，由（1）知2PQ BC ⋅= ，∴PQ ，BC 的夹角α满足：1cos ||||||PQ BC PQ BC PQ α⋅==⋅ ，又||[1,2]PQ ∈ ，∴1cos [,1]2α∈，([0,])απ∈，∴[0,3πα∈．故答案为：2；[0,]3π．34．（2022春•西城区校级期中）已知在同一平面上的三个单位向量a ，b ，c ，它们相互之间的夹角均为120︒，且||1ka b c ++> ，则实数k 的取值范围是．【解析】根据题意，||||||1a b c === ，a < ，b b >=< ，c c >=< ，120a >=︒ ；∴111cos1202a b b c c a ===⨯⨯︒=- ；∴22222()222ka b c k a b c ka b ka c b c++=+++++ 2111112()2()2()222k k k =+++⨯-+⨯-+⨯-2211k k =-+>，即220k k ->；0k ∴<或2k >；k ∴的取值范围是(-∞，0)(2⋃，)+∞．故答案为：(-∞，0)(2⋃，)+∞．35．（2021春•朝阳区校级期中）已知点(0,1)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，平面区域P 是由所有满足(2,2)AM AB AC m n λμλμ=+<< 的点M 组成的区域，若区域P 的面积为16，则m n +的最小值为．【解析】设(,)M x y ，(3,1)AB = ，(1,3)AC =．||||AB AC == ．3cos ,5||||AB AC AB AC AB AC <>== ，4sin ,5AB AC ∴<>= ．令2AM AB = ，2AN AC = ，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMEN ，令AP mAB = ，AQ nAC = ，以AP ，AQ 为邻边作平行四边形APGQ ，(2,2)AM AB AC m n λμλμ=+<< ，∴符合条件的M 组成的区域是平行四边形EFGH ，如图所示．∴42)2)165m n --⨯=．即(2)(2)2m n --=．2(4)(2)(2)4m n m n +--- ，2(4)24m n +-∴ ，解得4m n ++．故答案为：4+．36．（2022春•顺义区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的中点，则DE CB⋅ 的值为，若点E 是AB 边上的动点，则||DE AC ⋅ 的最大值为．【解析】 ||(||cos ,)DE CB CB DE CB DE ⋅=⋅<> ，由向量投影的定义可知：||cos ,||DE CB DE BC <>= ，∴2||1DE CB BC ⋅== ，|||||||cos ,|DE AC AC DE AC DE ⋅=<> ，设AC 与BD 交于H ，由向量投影的定义可知：当E 与A 重合时，|||cos ,|DE AC DE <> 取得最大值2||2AH =，又易知||AC =∴||DE AC ⋅ 的最大值为2||||12AC AH ⋅==．故答案为：1；1．37．（2022春•大兴区期中）已知单位向量1e ，2e 的夹角为2π，且12a xe ye =+ （其中x ，)y R ∈．当1x y ==时，1a e ⋅=；当12//()a e e + 时，1||a e - 的最小值是．【解析】当1x y ==时，则12a e e =+ ，则21121112()1a e e e e e e e ⋅=+⋅=+⋅= ；当12//()a e e + 时，则12()a e e λ=+ ，则112(1)a e e e λλ-=-+ ，则1||a e -=== ，则12λ=时，1||a e - ，故答案为：1；22．38．（2022秋•北京期中）已知点A ，B ，C 在以坐标原点为圆心的单位圆上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则||PA PB PC ++ 的最大值为()A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】由于点A ，B ，C 在单位圆上运动，且AB BC ⊥，则AC 为直径，于是2(4,0)PA PC PO +==- ，设(cos ,sin )B x x ，则(cos 2,sin )PB x x =- ，于是|||(cos 6PA PB PC x ++=- ，sin )|7x ====，当且仅当cos 1x =-取等号，故||PA PB PC ++ 的最大值为：7．故选：B ．39．（2023春•朝阳区校级期中）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A ，B 两点间的距离为2，点P 为 AB 上的一点，则()PA PB PC ⋅+ 的最小值为．【解析】设D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，如图所示，则22()22()()2()()2()PA PB PC PA PD PE EA PE ED PE EA PE EA PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=+⋅-=- ，在正三角形ABC 中，AD ===所以AE DE ==所以2223()2()22PA PB PC PE EA PE ⋅+=-=- ，因为CE ===所以||2||2min PE CE =-=-所以()PA PB PC ⋅+ 的最小值为：2237322(2)10222PE -=--=-故答案为：10-．40．（2021春•石景山区校级期中）已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，且||||||a b c >> ，则a b ⋅ ，b c ⋅ ，c a ⋅ 中最小的值是()A ．a b ⋅ B ．b c ⋅ C ．c a ⋅ D ．无法确定【解析】由向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，且||||||a b c >> ，则20a a b a c +⋅+⋅= ，20a b b b c ⋅++⋅= ，20a c b c c ⋅+⋅+= ，所以2a a b a c =-⋅-⋅ ，2b b a b c =-⋅-⋅ ，2c c a c b =-⋅-⋅ ，因为222a b c >> ，所以a b a c b a b c c a c b -⋅-⋅>-⋅-⋅>-⋅-⋅ ，整理得a b a c b c ⋅<⋅<⋅ ．故选：A ．41．（2022春•朝阳区校级期中）若24AB AC AB ⋅== ，且||1AP = ，则||AB = ，CP AB ⋅ 的最大值为．【解析】因为24AB = ，所以||2AB = ，因为()4||||cos CP AB AP AC AB AP AB AC AB AP AB AB AC AP AB AP AB AP ⋅=-⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=⋅⋅< ，412cos AB AP >-=⋅⋅< ，42cos AB AP >-=< ，42AB >-- ，当AP < ，0AB >= 时，等号成立．所以CP AB ⋅ 的最大值是2-，故答案为：2；2-．42．（2022春•西城区校级期中）已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．①若3AB AC = ，则AB CD = ；②AP AB AD =+ ，则||AP 的最大值为．【解析】① 3AB AC = ，C ∴为AB 的靠近A 的三等分点，3322AB BC ∴==，1122AC BC ==，AD AB ⊥ ，1CD =，60ACD ∴∠=︒，∴331cos12024AB CD =⨯⨯︒=- ．②1CB CD == ，C ∴位于BD 的中垂线上，∴当C 为BD 的中点时，BD 取得最大值2．AB AD ⊥ ，||||||2AP AB AD AB AD BD ∴=+=-= ．43．（2022春•海淀区校级期中）如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 点在正方形内（含边界），且||||AP AB = ．①若||||BP AB = ，则AP BP ⋅ 的值是；②若向量AC DE AP λμ=+ ，则λμ+的最小值为．【解析】①：由已知得AB AP BP ==，故三角形ABP 为边长为1的等边三角形，故111cos 602BP AB ⋅=⨯︒= ．②：由已知，如图建立平面直角坐标系：由正方形的边长为1，(0,0)A ，(1,1)C ，(0,1)D ，1(,0)2E ，(cos ,sin )P αα，02πα ．由向量AC DE AP λμ=+ 得，(1，11)(,1)(cos 2λμα=-+，sin )α，得：11cos 21sin λμαλμα⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得3sin 2cos μαα=+，2sin 2cos sin 2cos ααλαα-=+．则2sin 2cos 3sin 2cos ααλμαα-++=+，[0,]2πα∈．令2sin 2cos 3()sin 2cos f ααααα-+=+，[0,2πα∈．故266sin 3cos ()(sin 2cos )f ααααα-+'=+，显然，分子66sin 3cos 0αα-+ 在[0，2π上恒成立，故()0f α' 恒成立，即()f α在[0，]2π上单调递增，故1()(0)2min f f α==．λμ+取最小值12．故答案为：12，12．44．（2023秋•东城区校级期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为该正六边形的中心，圆O 的半径为2，圆O 的直径//MN CD ，点P 在正六边形的边上运动，则PM PN ⋅ 的最小值为．【解析】如图，连结PO ，显然OM ON =- ，则222()()()()4PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，点P 在正六边形ABCDEF 的边上运动，O 是其中心，因此||PO 的最小值等于中心O 到正六边形的边的距离，又中心O 到正六边形的边的距离为342⨯=，所以PM PN ⋅ 的最大值为248-=．故答案为：8．45．（2023春•西城区校级期中）正ABC ∆的边长为1，中心为点O ，过O 的动直线l 与边AB 、AC分别相交于点M 、N ，AM AB λ= ，AN AC μ= ，BD DC = ，0λμ≠，给出下列四个结论：①1133AO AB AC =+ ；②若2AN NC = ，则14AD NC ⋅=- ；③11λμ+不是定值，与直线l 的位置有关；④AM AN ⋅ 的最小值为29．其中所有正确结论的序号是．【解析】 BD DC = ，D ∴为BC 的中点，则11111()22222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，O 为正ABC ∆的中心，∴211333AO AD AB AC ==+ ，故①正确；若2AN NC = ，则13NC AC = ，211||||cos 122AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠=⨯= ，∴2111111()()223664AD NC AB AC AC AB AC AC ⋅=+⋅=⋅+= ，故②错误；M ，O ，N 三点共线，设()MO tMN t R =∈ ，即()AO AM t AN AM -=- ，∴(1)AO t AM t AN =-+ ，AM AB λ= ，AN AC μ= ，∴11113333AO AB AC AM AN λμ=+=+ ， AM 、AN 不共线，∴由平面向量基本定理可得11313t t λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11133λμ+=，∴113λμ+=，故③错误；过O 的动直线l 与边AB 、AC 分别相交于点M 、N ，AM AB λ= ，AN AC μ=，01λ∴< ，01μ<，由113λμ=+49λμ ，当且仅当23λμ==时，等号成立，12||||cos 329AM AN AB AC AB AC AB AC πλμλμλμλμ⋅=⋅=⋅=⋅= ，当且仅当23λμ==时等号成立，故AM AN ⋅ 的最小值为29，故④正确．故答案为：①④．46．（2023春•西城区校级期中）已知向量(cos ,sin )a x x =，(2cos )b x x = ．（1）若[0x ∈，]π，当//a b 时，求x 的值；（2）若()f x a b =⋅ ．（ⅰ）求()f x 的最小正周期；（ⅱ）当[0x ∈，]m 时，()f x 可以取得2次最大值，求m 的取值范围．【解析】（1）由题设22sin cos x x x =21)sin 2x x +=，所以sin 222sin(2)3x x x π=-=sin(2)3x π-=，由52[,]333x πππ-∈-，故233x ππ-=或2233x ππ-=，则3x π=或2x π=．（2）由2()2cos cos cos 2212sin(2)16f x x x x x x x π=+=++=++，()()i f x 的最小正周期22T ππ==；()ii 由题设[0x ∈，]m 可得2[66x ππ+∈，2]6m π+，因为()f x 可以取得2次最大值，所以5226m ππ+ ，故76m π ，故m 的取值范围为7{|}6m m π ．。

高考数学分项汇编专题05 平面向量(含解析)文

专题05 平面向量1. 【2009高考北京文第2题】已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【答案】D2. 【2010高考北京文第4题】若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数【答案】A3. 【2014高考北京文第3题】已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9【答案】A考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.4. 【2005高考北京文第4题】若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°5. 【2007高考北京文第11题】已知向量2411a b ()()，，，==．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是．6. 【2006高考北京文第12题】已知向量a =(cos α,s in α),b =(cos β,sin β),且a ≠±b ,那么a +b 与a -b 的夹角的大小是 .7. 【2006高考北京文第9题】若三点A (2,2),B (a,0),C (0,4)共线,则a 的值等于 .【答案】48. 【2011高考北京文第11题】已知向量(3,1),(01),(,3)a b c k ==-=。

若2a b -与c ，共线，则k =.【答案】19. 【2012高考北京文第13题】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为________，DE DC ⋅的最大值为________．【答案】1 110．【2008高考北京文第11题】已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么a b 的值为．【答案】8-11. 【2015高考北京，文6】设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】||||cos ,a b a b a b ∙=∙<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ∙=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A.【考点定位】充分必要条件、向量共线.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

【备战2015】（十年高考）北京市高考数学分项精华版专题05 平面向量（含解
析）
1. 【2005高考北京理第3题】| a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
2. 【2006高考北京理第2题】若a r 与b c -r r 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r
”的（）
（A ）充分而不必要条件
（B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
3. 【2007高考北京理第4题】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，
那么（）
Ａ．AO OD =u u u r u u u r
Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r
4. 【2009高考北京理第2题】已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么（）
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
5. 【2010高考北京理第6题】a ，b 为非零向量．“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6. 【2006高考北京理第11题】若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则
11
a b
+的值等于
7. 【2008高考北京理第10题】已知向量a 与b 的夹角为120o
，且4==a b ，那么(2)+g b a b 的值为．
8. 【2011高考北京理第10题】已知向量(3,1)=r a ，(0,1)=-r b ， (,3)k =r
c ，若2a b -r r 与c r 共线，
则k =________. 【答案】1
【解析】2(3,3)a b -=r r
由2a b -r r 与c r 共线得3331k k ⋅=⇒=
9. 【2012高考北京理第13题】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为______。

考点：向量的数量积;模长.10. 【2013高考北京理第13题】向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则
λ
μ
=__________.
11. 【2014高考北京理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则
||λ= .。