相互独立事件乘积的概率与贝努里概型
伯努利概型与全概公式
全概公式是概率 论中一个重要的 公式，用于计算 在有限次试验中 某一事件发生的
概率
全概公式是伯 努利概型中唯 一一个能计算 出所有可能概
率的公式
推导过程
定义：全概公式是伯努利概型的一种特殊情况，即当试验次数趋于无穷大时，事 件A发生的概率的极限。
推导：全概公式可以通过伯努利概型和概率极限定理推导得出，具体过程涉及到 概率论和数理统计的基本概念和公式。
汇报人：XX
伯努利概型与全 概公式
汇报人：XX
目 录
01 添 加 目 录 项 标 题
03 全 概 公 式
05
伯努利概型与全概 公式的应用实例
02 伯 努 利 概 型
04
伯努利概型与全 概公式的联系
PART 01 添加章节标题
PART 02 伯努利概型
定义
伯努利概型是一种概率模型，其中事件的发生概率仅依赖于前n次试验中事件发生的次 数。
应用场景
用于描述独立重复试验的 概率模型
概率论与数理统计中的基 本概念
在保险、彩票、赌博等领 域有广泛应用
在统计学、数据分析、可靠 性工程等领域也常被提及
PART 03 全概公式
定义
全概公式是伯Biblioteka 努利概型中所 有可能结果的概率之和
全概公式表示在 n次试验中，事 件A发生k次的
概率为 P(nA)=C(n,k)P( A)k(1−P(A))n−k
概率计算中的区别
伯努利概型：单个试验的结果只有两种， 成功或失败，概率为p。
全概公式：考虑多个试验的结果，计算总 概率。
联系：全概公式可以看作是伯努利概型 的推广，当试验次数趋于无穷时，伯努 利概型的结果可以用来计算全概公式。
事件的独立性
p( Ai ) 1 p( A1 ) p( A2 ) p( An ) 1 p( Ai )
i 1 i 1
n
n
第 一章 随机事件及其概率
课后作业： 习题一
P21
23 ；24 ；26 ；27.
小
1. A,B两事件相互独立
结
p(AB)=p(A)p(B) p(AB)=p(A)p(B) p(AC)=p(A)p(C)
2. A,B,C三事件相互独立
p(BC)=p(B)p(C) p(ABC)=p(A)p(B) p(C)
3. A,B相互独立
A 与B , A与 B ，A与 B 相互独立
4. A1, A2, …, An 相互独立 p(A1A2…An)=p(A1)P(A2)…P(An)
故A与 B独立． （2）设A=“点数小于4”, B=“点数为奇数”, 则有 p(A)=1/2, p(B) =1/2, p(AB)=1/3
由于p(AB)≠ p(A)p(B) 故A与 B不独立．
第 一章 随机事件及其概率
例3 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A=“抽到K”, B=“抽到的牌是黑色的”.问事件A、
所以A∪B 与C相互独立.
第 一章 随机事件及其概率
一般地，有 p(A)+p(B)-p(AB)
P(A∪B)= p(A)+p(B) , AB=Ø时 p(B） , AB时 1 p( A) p( B) , A,B独立时 p(A)-p(AB) P(A-B)= p( AB) p(A)-p(B) , BA时 0 ， AB时 p( A) p( B) , A,B独立时
第 一章 随机事件及其概率 定义3 设A1, A2,…, An是n个事件, 若对任意 整数k和 2≤i1<i2<· · · <ik≤n, 满足
贝努力概型
等价于 : ( p 1) (3 p 2) 0
2
所以 : p 2
3
例巴拿赫火柴盒问题）某数学家有两盒火柴， 每盒有ｎ根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取 一盒并从中任取一根。试求他首次摸到空盒时另 一个盒中还有ｒ根火柴的概率。 (1 r n)
解：假设两盒火柴分别为甲盒，乙盒。将拿火柴盒作为 一次试验，每次试验只有两个结果，或者拿到甲盒，或 者拿到乙盒，而且每次试验是相互独立的。所以本题是 贝努利概型。 假设他首次摸到的空盒为甲盒时。这时共用2n-r根火柴， 共拿火柴盒2n-r+1次。也就是做2n-r+1次试验，第2nr+1次拿的是甲盒，前2n-r次试验拿甲盒ｎ次，每次都从 甲盒中拿了一根火柴。
随机事件Ａ＝｛首次摸到空盒为甲盒时乙盒中还有ｒ根火柴｝， 随机事件Ｂ＝｛首次摸到空盒时另一盒中还有ｒ根火柴｝，则
P( A) C
n 2nr
1 n 1 nr 1 ( ) ( ) 2 2 2
同理，可得他首次摸到的空盒为乙盒时甲盒还有ｒ根火 柴的概率，所以：
P( B) 2C
n 2nr
1 n 1 nr 1 1 2 n r n ( ) ( ) C2 n r ( ) 2 2 2 2
下页Biblioteka 一、贝努里概型:重复地进行n次独立试验,各次试验条件相同.每次 试验成功的概率都是 p,失败的概率都是 q=1-p. 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验， 简称贝努里试验或贝努里概型.
A A A A
1 2 k
k n k A p ( 1 p ) k 1 n
即事件A在指定的k次试验中出现，且在其余的(n-k)次试验 中不出现的概率为 pk (1-p) n-k。而这种指定方式共有Cnk 种，且
概率论笔记1
概率复习重点归纳 一、随机事件与概率 重点难点： 重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式 难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes 公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算 常考题型： （1）事件关系与概率的性质 （2）古典概型与几何概型 （3）乘法公式和条件概率公式 （4）全概率公式和Bayes 公式 （5）事件的独立性 （6）贝努利概型 概念辨析1，互不相容（互斥）事件同逆（对立）事件互不相容事件：AB =Φ 逆事件：,A B AB ⋃=Ω=Φ事件互逆指的是非此即彼，即事件之一必定发生；而不相容仅指不能同时发生，但是是可以同时不发生的。
2，独立与互不相容（互斥）对事件A 及B ，若P(A)P(B)>0，且P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 及B 互相独立；事件独立同事件互斥是两套不同的概念，不能进行比较；须知独立性针对的是事件概率存在上面的等式关系；而互斥是指事件的不可同时发生，两者之间不存在必然关系。
3、条件概率同乘积概率P(AB)是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，而P(A | B)是在试验中增加了新条件B 发生 后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率。
虽然A 、B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当A 、B 同时发生时，常用P(AB)，而在有包含关系或明确的主从关系时，用P(A | B) .例：袋中有9 个白球1 个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2 次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（ 2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个乘积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.4、全概率公式同贝叶斯公式 全概率公式：要求事件A 的概率（通常直接不太好求），将其分成几个比较容易计算的概率之和。
在分析问题的过程中，A 可视为B1∪B2∪B3∪…∪Bn 的子事件，或者把Bi 看成A 发生的原因，A 是结果，而及较易求出，从而可由“因”求出“果”。
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第一章
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第7页
例3 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命 中率分别为 0.6 和 0.7，现已知目标被击中，求它是甲 击中的概率.。
解:设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以 P(A|C) = P(AC)/P(C) = P(A)/[P(A)+P(B)P(A)P(B)] = 0.6/0.88 = 15/22
P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ， 所以A、B相互独立．
第一章
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第6页
例2 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率 分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率. 解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所 以 解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98. 解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB) 1 P( AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98.
Hale Waihona Puke 8页 第一章 §1.4 事件的独立性与伯努利概型 例4 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，从两批种子 中各随机地抽取一粒，求：
（1）两粒都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率 。 解 设以A、B分别表示取自甲、乙两批种子中的某粒种子发芽 这一事件，则所求的概率为
P( B)[1 P( A)] P( A)P(B).
所以 A 和B相互独立．
第一章
贝努里概型
解 恰有k粒种子出苗的概率为
P6 (k) C6k 0.67k0.336k , (k 0,1, 2, 3, 4, 5, 6).
K P6(k)
0
0.0013
1
0.0157
2
0.0798
其中 p + q = 1。
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次
不发生，由试验的独立性，有
P Ai1Ai2 L Aik Ai,k1L Ain pk (1 p)nk pk qnk .
在n次试验中，A发生k次的方式有Cnk 种。且任何两种 方式都是互不相容的，于是有
将E独立地重复n次的试验，称为n重贝努里试验。
如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等。
3. 贝努里公式
定理1 在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发 生的概率为p，0＜p＜1，则在n次试验中事件A恰好发 生k次（0≤k≤n）的概率为
Pn(k) Cnk pk qnk , k 0, 1, 2, , n
加了人寿保险，在一年里每人死亡的概率为0.002，每个参加保
险的人一年付120元保险费，而在死亡之时家属可在公司里领取
20000元，问（不计利息）
（1）A={保险公司亏本}的概率是多少？
（2）B={保险公司每年获利不少于100000元}的概率是多少？
解 若一年死亡X人，则保险公司支出20000X（元），一年 中保险公司收入为2500×120=300000（元），于是
1 P( A1 A2 An ) 1 (1 r)n 1, (n )
概率论与数理统计第6节 随机事件的独立性和伯努利概型
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
1-7 独立性和贝努里概型
证明: 容易算出 P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(AB)=1/4, P(AC)=1/4, P(BC)=1/4, P(ABC)=0.
从而具有等式 P(AB)=P(A)P(B); P(AC)=P(A)P(C); P(BC)=P(B)P(C)
所以A,B,C两两独立. 容易看出 P(ABC)=0≠P(A)P(B)P(C)
定理 设A，B是两事件，且P(A)>0(P(B)>0)，则A，B相 互独立的充要条件是
P(B|A)=P(B) (或 P(A|B)=P(A))。
2、三个事件的独立性
定义1 设A，B，C是三事件，如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C).
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=rn+rn-r2n=RⅠ
Ⅱ 第一对元件可靠性
P(A1∪B1)=P(A1)+P(B1)-P(A1)P(B1)=2r-r2， 第二对元件的可靠性
P(A2∪B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2, ……
第n对元件的可靠性 P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2
设E为贝努里试验，将E独立地重复进行n次，（这里 的“重复”是指试验E在相同条件下进行）而且每次试 验中结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重 复贝努利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重 贝努里试验。总之，n重贝努里试验有下面四个约定：
（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一, （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变, （3）各次试验相互独立, （4）共进行了n次.
条件概率
3 事件的独立性与贝努力试验
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
在n重贝努里试验中，我们主要研究事件A
恰好出现k次的概率Pn(k) 设事件Bk“在n重贝努里试验中事件A恰好发 生了k次”， 其中 0 k n 由于 n 次试验是相互独立的，所以事件A在 指定的 k 次试验中发生，而在其余(nk）次试
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
4.三事件相互独立的概念
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 。
0 0.09 0.2 0.36 0.6 0.41 1 0.14
0.458。
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
例1.24 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性. 如图所示, 设有 4 个独立 工作的元件 1, 2, 3, 4 按先串联再并联的方式联结 ( 称为串并联系统 ) , 设第 i 个元件的可靠性为 pi ( i 1, 2, 3, 4 ) . 试求系统的可靠性。
P ( A) P ( B )。 从而 A 与 B 相互独立 。
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
两个结论
若事件 1. A1 , A2 , , An (n 2) 相互独立 , 则其中任意 k (2 k n)个事件也是相互独立。
2. 若 n 个事件 A1 , A2 , , An ( n 2)相互独 立, 则将 A1 , A2 , , An 中任意多个事件换成它们 的对立事件, 所得的 n 个事件仍相互独立。
概率伯努利概型
伯努利试验的概率：每 个试验的结果发生的概
率都是相同的
伯努利概型的性质
伯努利概型的数学期望
伯努利概型是一 种离散概率分布， 其概率函数为 P(X=k) = p^k * (1-p)^(n-k)， 其中p是成功的 概率，n是试验 次数。
伯努利概型的数 学期望E(X) = p * n，其中p是成 功的概率，n是 试验次数。
伯努利概型的概率分布可以表示为P(A)=p，P(A')=1-p，其中p是事件A发生的概率。
伯努利概型的分布函数
伯努利概型是概率论中一 种基本的概率模型，用于 描述随机变量服从伯努利
分布的情况。
伯努利分布是一种离散型 概率分布，其概率函数为
P(X=k) = p^k * (1p)^(1-k)，其中k为随机
02
伯努利概型的性质包括：期望值、方差、 标准差等，这些性质可以帮助我们分析 和评估伯努利概型在实际问题中的应用 效果。
04
伯努利试验的概率模型
A
B
C
D
伯努利试验：一种只有 两种可能结果的随机试
验
概率模型：描述伯努利 试验中各种结果发生的
概率
伯努利概型：一种特殊 的概率模型，其中每个 试验的结果只有两个可
变量，p为成功概率。
伯努利概型的分布函数F(x) 定义为P(X ≤ x)，其中x为
实数。
1
2
3
伯努利概型的分布函数F(x) 具有以下性质：F(0) = 0，
F(1) = p，F(∞) = 1。
伯努利概型的分布函数F(x) 可以用于计算伯努利概型 的期望、方差等统计量， 以及进行概率计算和统计
推断。
4
02
概率性：每个试验的结果都有一定的概率， 且概率之和为1
伯努利概型
e
Cnk
pk (1
p)nk
e
n
nk n!
n! k!(n
k )!
pk
(1
p)nk
(p)k
k!
e
[
nk
(1 p)]nk (n k)!
(p)k
k!
e
m0
[
(1
p)]m m!
(p)k e e(1 p)
k!
解 设Bm表示4道题中碰对m道题这一事实,则
P ( Bm
)
C4m
(1)m 4
( 3 )4 m 4
(m 0,1,2,3,4)
经计算得
P(B0 )
C40
(
1 4
)0
(
3 4
)40
0.316
P(B3 )
C
3 4
(
1 4
)3
(
3 4
)43
0.048
几何分布 在贝努利试验中，通常需要计算事件 A
P(B) (p)k ep , (k 0,1,2, )
k!
(2) 若某蚕养出k只小蚕，求它产了n个卵的概率. 由贝叶斯公式，得
P( An
B)
P( An )P(B P(B)
An )
(p)n
n!
e
C p k n
pk
(1
(p)k ep
p)nk
[(1 p)]nk
(n k)!
P(
5)
5 k 0
P(
贝努里概型
学 术 论 坛196科技资讯 SC I EN C E & TE C HN O LO G Y I NF O R MA T IO N贝努里家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样的显赫。
这个非凡的瑞士家族在三代时间里产生了十余位数学家和物理学家,其中有八位数学家,里面三位是杰出的,他们是雅可布、约翰、丹尼尔。
而贝努里概型就是雅可布.贝努里提出来的。
贝努里概型是一种既简单又非常重要的概型,这种概型是概率论中最早研究的模型之一,也是得到最多研究的模型之一。
在概率论中对概率分布的学习、概率的近似计算有着非常重要的作用。
它在现实生活生产中和在自然科学试验中也有着直接的应用,并在其中发挥着重要的作用,为其解决问题提供了理论支持。
而且,揭示这种简单概型的规律,对于以后研究更复杂的概型有着一定的指导意义和理论支撑。
下面我们就贝努里概型及其应用展开了解。
1 预备知识在许多概率问题中,试验中某事件A是否发生受到的关注较多。
例如,在产品调查中注意的是抽到次品还是抽到正品;在掷硬币时注意的是出现正面还是反面等,在这类问题中试验产生的结果只有两个,即 A 和 A 。
像这样只有两个可能结果的试验成为贝努里试验,投币试验就是最简单的贝努里概型。
在相同的条件下,将同一个试验独立重复进行 n 次,这种随机试验称为重贝努里试验。
现在我们来看看 n 重贝努里试验的定义。
1.1贝努里概型的定义关于 n 重贝努里概型的定义,尽管在各种教材的叙述不尽相同,但都是指满足下列条件的一系列实验:(1) n 次试验时独立的,即每次试验的结果都与其它各次试验的结果无关;(2)每次试验只有两个结果 A 和 A ,且它们出现的概率 ()P A p (01)p ()(1)P A q p q ,在每次试验中是不变的。
则称这种试验为 n 重贝努里( Bernoulli )试验,简称贝努里试验或贝努里概型。
在 n 重贝努里试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为:(0,1,2,...,)k k n k n C p q k n 例1 (巴拿赫 Banach 火柴盒问题)某人随身带有两盒火柴,吸烟时从任一盒中取一根火柴,经过若干时间后,发现一盒火柴已经用完。
第五节 事件的独立性
则称 A, B,C 相互独立
P(ABC) P(A)P(B)P(C)
这个概念可推广到n 个事件的独立性定义(见p27)
实质: 任何事件发生的概率都不受其它事件发生与否 的影响
注：仅满足上面三条，称为两两独立
思考: 两两独立与相互独立的区别
对 n ( n >2 ) 个事件
相互独立 ?
两两独立
推论: 设 A1 , A2 , , An是 n个事件 1) 若 A1, A2 ,, An 相互独立, 则其中任意 k 个事件
P(D) P(AB AC) P(AB) P(AC) P(ABC) P(A)P(B) P(A)P(C) P(A)P(B)P(C) 0.776
例5. 某电路如图所示, 已知 A, B, C 正常工作的概率为 0.8, 0.9和0.7
A
B
假定 A, B, C 能否正常工作是相互独立的,
C
B)
P( AB) P(A B)
P( AB) 1 P(AB)
A42 A120
1
A62 A120
1 5
例题、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一
次，其命中率分别为0.6和0.5．现已知目标命
中，则它是甲射中的概率为
。
[解] 记={甲命中目标}，={乙命中目标}， 则={目标被命中} 所求概率为 p
解: 设 A = “任取一件被认为是合格品” B = “任取一件是次品” C = “这批产品被认为合格品”
由题意 P(B) 0.04 P(B) 0.96 P(A | B) 0.01 P(A | B) 0.95
P(A) P(A | B)P(B) P(A | B)P(B) 0.9124 P(C) 0.91243 0.7595
伯努利概型及小概率事件
【师】这 10 次试验之间是什么关系? 【生】它们之间是相互独立的。 6 【师】这 C10 种情况中每一种情况发生的概率为多少？ 【生】为 P（A） ·P（A） ·…·P（A） ·P（ A ） ·…·P（ A ）=0.25 ·0.75 【师】那 P（K=6）为多少？ 6 【生】P（K=6）= C10 P（A） ·P（A） ·…·P（A） ·P（ A ） ·…·P（ A ）
五、小结
六、作业
课 堂 教 学 安 排
教学过程 复习旧知 1. 独立事件 主 要 教 学 内 容 及 步 骤
事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，这样的两 个事件叫做相互独立事件． 2. 乘法公式 两个相互独立的事件同时发生时的概率等于每个事件发生的概率的积。 P（A·B）= P（A） ·P（B） 3.推广：如果事件 A1，A2，…An 相互独立，那么这 n 个事件的积的概率， ： 等于每个事件的概率的积， 即：P（A1A2…An）= P（A1）P（A2）…P(An)。
讲授新课
创设情境， 创设情境，引入课题 一次测试，试卷上是 10 道 4 选 1 的选择题，所给的 4 个供选择的答案 A、B、 C、D 中只有一个正确的。一位平时不努力的学生，面对试卷一筹莫展，他想 碰一下运气，跟着感觉走，就对每一道题随机地选 A、B、C、D 之一。请问 他能及格的概率有多大？ 分析情境， 分析情境，引出概念 【师】我们先剖析一下上面提到的那位碰运气同学所进行的试验的特点。 1. 每次试验的结果与其他各次试验的结果有没有关系？ 【生】每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，即每次试验都是独立的。 2. 每次试验的结果是什么？ 【生】试验的结果只有两个（ “选对”或“选错”。记 A={选对}，B={选错}。 ） 3. 每次试验的结果的概率有什么特点？ 1 【生】每次试验结果出现 A 的概率均为 。 4 【师】试验的目的，是探索这样的问题：在这样的试验中，A（选对）发生 K 次（K≤10）的可能性有多大？即求事件 A 恰好发生 K 次的概率问题，称为伯 努利概型或独立重复试验概型。大家小结一下伯努利概型的特点? 【生】伯努利概型的特点是： 伯努利概型的特点是： 伯努利概型的特点是 次试验是独立的； 1.n 次试验是独立的； 2.每次试验只有 不发生两种可能结果； 2.每次试验只有 A 发生和 A 不发生两种可能结果； 3．每次试验 A 发生的概率是相同的。 ． 发生的概率是相同的。 【师】古典概型的基本假设是什么? 【生】在一次试验中，1.只有有限个基本事件； 2.每个事件出现的可能性相同。 【师】注意不要把古典概型与伯努利概型的假设相混。 启发提问， 启发提问，探索公式 【师】 在上述情境中这位学生所期望的是选对的愈多愈好， K≥6.那他及格 即 的概率有多大？我们所先讨论一下那些情况下他能及格？ 【生】他能及格的情况有选对 6 道、7 道、8 道、9 道、10 道，它们是互斥的。 即我们要求 P（K≥6）=P（K=6）+P（K=7）+P（K=8）+P（K=9）+P（K=10） 。 【师】所先我们分析 K=6 时的情况，即 10 道题中选对 6 道有多少种情况？ 6 【生】有 C10 种情况。
条件概率及全概率公式
1963.3条件概率及全概率公式教学要求本节要求学生正确理解条件概率的概念及其运算公式， 学会运用概率的乘法定理. 对于全概率公式不但要求能深刻理解其内在含义，而且要求学生会熟练运用此公式去解决实际问题. 要求学生掌握两个事件独立的概念，了解多个事件相互独立的条件.知识点1. 条件概率2. 概率的乘法定理3. 全概率公式4. 两个事件的独立性5. 多个事件的独立性 *6.贝叶斯(Bayes )公式 *7.贝努里(Bernoulli )概型3.3.1 条件概率在实际问题中, 除了要知道事件A 的概率P (A )外, 有时还需要知道在事件B 已发生的条件下，事件A 发生的概率, 这就是我们所要讲的条件概率, 将它记为P (A |B ).我们先通过一个例子来引入条件概率的概念. 掷一颗骰子, 观察其出现点数, 令事件A 表示“出现点数小于4”, 则P (A )=1/2, 如果已知事件B 表示“出现偶数点”, 且B 已发生, 这时只剩下三种可能, 即“2点”,“4点”或“6点”. 从而在B 已发生的条件下, A 发生的概率为P (A |B )=1/3, 注意P (B )=1/2, P (AB )=1/6, 此时有)()()()|(A P B P AB P B A P ≠=. 定义.设A ﹑B 是随机试验E 的二个事件, 且P (B )>0, 则称 )()()|(B P AB P B A P =为事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率.不难验证, 条件概率P (A |B )也是一种概率, 它符合概率的三个条件. 由前面的条件概率的定义, 我们可以知道, 计算条件P (A |B )有两种方法: (1)在样本空间Ω的缩减后的样本空间ΩB (事件B 发生时的样本空间)上计算A 发生的（无条件）概率, 就可以得到P (A |B ).(2)样本空间Ω中, 先计算P (AB ) ﹑P (B ), 然后由定义公式求得P (A |B ).197例3.3.1 全年级100名学生中, 有男生(以事件A 表示)80人, 女生20人; 来自北京的(以事件B 表示)有20人, 其中男生12人, 女生8人; 免修英语的(用事件C 表示)40人中有32名男生, 8名女生. 试写出P (A )、P (B )、P (B |A )、 P (A |B ) 、P (AB )、P (C )、P (C |A )、)|(B A P 、P (AC ).解.根据题意有P (A )=80/100=0.8; P (B )=20/100=0.2; P (B |A )=P (AB )/P (A )=12/80=0.15; P (A |B )=P (AB )/P (B )=12/20=0.6 ;P (AB )=12/100=0.12; P (C )=40/100=0.4; P (C |A )=P (AC )/P (A )=32/80=0.4; )|(B A P )()(B P B A P ==15.08012=;P (AC )=32/100=0.32.例3.3.2 8个乒乓球中有5个新的，3个旧的. 第一次比赛时, 同时取出2个, 用完后放回去; 第二次比赛时又取出2个球, 求第一次取到1个新球的条件下, 第二次取到2个新球的概率.解. 设事件A =“第一次取到1个新球”;事件B =“第二次取到2个新球”.由于第一次比赛后, 球被放回去, 因此在A 已发生的条件下, 再取2个球时, 总球数仍为8. 但是, 因第一次比赛所用的一个新球已变成旧球，其新旧比例已变化为: 新球4个, 旧球4个, 所以所求的概率为: 143)|(2824==C C A B P . 由条件概率,我们可以得到概率的乘法定理及两个事件的独立性.3.3.2 概率的乘法定理由前面的条件概率的定义公式,可得到下面的定理.概率的乘法定理. 设A ﹑B 为随机试验E 中的两个事件,且P (B )>0,则有 P (AB )=P (A |B )P (B ).198这个公式称为概率的乘法公式. 同样地,概率的乘法公式还有另一种形式:若P (A )>0, P (AB )=P (B |A )P (A ).例3.3.3. 设在一盒子中装有4个蓝色球和6个红色球, 取球两次, 一次取1个, 取后不放回, 问两次都取到红球的概率是多少? 解. 设事件A =“第一次取到红球”, 事件B =“第二次取到红球” ∵ P (A )=6/10, P (B |A )=5/9,因此 P (AB )=P (B |A )P (A )=1/3.我们还可以将概率的乘法公式推广到3个事件的情形: P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2).我们已经学习了条件概率和概率的乘法定理,由此我们可以得到下面的全概率公式.3.3.3 全概率公式前面我们学习了条件概率和概率乘法定理，下面我们介绍一个重要的公式--全概率公式.定理(全概率定理). 如果事件A 1, A 2, …, A n 构成一个完备事件组, 且P (A i )>0,(i =1,2,…,n ). 则对任一事件B , 有 ∑==ni i i A A B P P B P 1)|()()(这个公式称为全概率公式.证明. A 1, A 2,…,A n 是一个完备事件组, 从而A i (i =1,2,…,n )是两两互斥的, 且P (A i )>0, 由于B 被分成n 个部分A i B (i =1,2,…,n )之和, 且A i B (i =1,2,…,n )也是两两互斥的, 于是 B A A B B ni i ni i ∑∑====11.由概率的可加性及概率乘法定理得到:∑∑====ni i ni i B A P B A P B P 11)()()(=∑=ni i i A A P B P 1)()|(.全概率公式应用较广, 它的基本思路是将一个比较复杂的事件分解成若干个较简单且199两两互斥事件的和, 即要找一个完备事件组, 然后利用概率的可加性及概率乘法定理来计算.例3.3.4 设袋中装有5件同样的产品, 其中3件正品, 2件次品, 每次从袋中取1件,无放回地连续取2次, 求第2次取到正品的概率.解. 设事件A 表示“第1次取到正品”, 则A 表示“第1次取到次品”；事件B 表示“第2次取到正品”．事件A A ,构成一个完备事件组, A B BA B +=(即第2次取正品的可能性是与第1次取到正品或次品有关).因A B BA , 互不相容, 则有)()()()(A B P BA P A B BA P B P +=+= )|()()|()(A B P A P A B P A P += =(3/5)×(2/4)+(2/5)×(3/4)=3/5.例3.3.5 某厂有甲﹑乙﹑丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的25%﹑35%﹑40%. 各自的废品率为5%﹑4%﹑2%, 今从总产品中任取一件, 求所取出的产品为废品的概率.解．设A 1=“所取产品为甲车间生产的”; A 2=“所取产品为乙车间生产的”; A 3=“所取产品为丙车间生产的”; B =“所取产品为废品”. 则A i (i =1,2,3)构成一个完备事件组, 且P (A 1)=0.25, P (A 2)=0.35, P (A 3)=0.4, P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02， 由全概率公式有∑==31)|()()(i i i A A B P P B P=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0345.由全概率公式我们可以求出,从总产品中任取一件,其为废品的概率是0.0345；反之，若已知从总产品取出一件,其为废品,反过来求它是甲车间(或乙车间﹑丙车间)生产的可能有多大,即为我们后面要讲的贝叶斯公式.3.3.4 两个事件的独立性前面我们讨论了条件概率P(A|B), 一般说来P(A|B)≠P(A)即事件B的发生对事件A发生的概率是有影响. 但当P(A|B)=P(A), 即B的发生对A发生的概率没有影响,此时即说事件A独立于事件B, 此时由概率乘法定理得到P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B). 由此我们可给出两个事件独立的定义.定义. 设A﹑B是试验E的两个事件, 若有P(AB)=P(A)P(B)则称事件A﹑B为相互独立的事件.由概率乘法定理, 容易得出: 当事件A独立于事件B时, 事件B也独立于事件A, 即独立是一个对称性概念.例如, 从具有次品的一批产品中，有放回的连抽取二次, 每次抽取一件. 这样,事件A(第一次抽得正品)的出现并不影响事件B(第二次抽得正品)的概率, 即事件A与事件B是相互独立的两个事件.定理. 设A﹑B是试验E的两个事件, 且有P(B) >0, 则A与B相互独立的充分必要条件为:P(A|B)=P(A).证明. 必要性. 若A﹑B相互独立,则当P(B)>0时,由概率乘法公 式有:P(B)P(A|B)=P(AB)=P(A)P(B)从而 P(A|B)=P(A).充分性. 若P(A|B)=P(A),由概率乘法公式有:P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)P(A)即A﹑B相互独立.在实际问题中, 往往是通过对问题性质的分析来判断事件间是否独立.例3.3.6 甲﹑乙两人同时射击某一目标．设甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.5，求目标被击中的概率.解．设事件A=“甲击中目标”,事件B=“乙击中目标”,事件C=“目标被击中”.从题意可知： C=A+B,且200201P (C )=P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ).由于甲﹑乙射击是相互独立的, 因此可以认为甲﹑乙互不干扰, 从而A 与B 是相互独立的.P (AB )=P (A )P (B )=0.8×0.5=0.4,所以 P (C )=0.8+0.5-0.4=0.9. 例3.3.7 试证A ﹑B 相互独立与以下每一条件等价:(1)事件A 与B 独立；(2)事件A 与B 独立；(3) 事件A 与B 独立.证明．我们在这里只证由A 和B 相互独立,推出A 与B 独立,对于其它情形,由两个事件独立的对称性,同样可以推出.若A 与B 相互独立,则P (AB )=P (A )P (B ).由概率的性质,得到: )(B A P =P (A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )P (B )=P (A )(1-P (B )) =)()(B P A P . 故A 与B 相互独立. 此例的结论,我们可用下表来表示: 表3.3.1表中任意一种情形成立, 都可以推出其它情形成立.由两个事件的独立性的概念，我们可以推出多个事件的独立性.3.3.5 多个事件的独立性前面我们学习了两个事件的独立性的概念﹑定理, 由此我们可以给出三个事件的独立性的概念.定义. 若A ﹑B ﹑C 是随机试验E 中的三个事件, 满足下列条件:(1) P (AB )=P (A )P (B )； (2)P (BC )=P (B )P (C )；202(3) P (AC )=P (A )P (C )； (4)P (ABC )=P (A )P (B )P (C )。
高三数学相互独立事件乘积的概率与贝努里概型
C、两个求都不是白球的概率： D、两个求不都是白球的概率：
2、10颗骺子同时掷出：共掷5次：则至少有一次全部出现一个点的概率是 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、某人射击1次：击中目标的概率是0.8：他射击4次：至少击中3次的概率是。
4、三人独立地破译一个密码：他们能译出的概率分别为 则能够将此密码译出的概率为。
相互独立事件乘机
姓名
班级
学号
时间
课题
相互独立事件乘积的概率与贝努里概型
设计
一、方法点拨：
1、理解相互独立事件的概念：掌握独立事件乘积的概率乘法公式：
2、掌握贝努里概型Pn（k）＝ ：并会用来解决有关的实际问题。
二、知能达标：
1、甲口袋内有大小相等的8个红球和4个白球：乙口袋内有大小相等的9个红球和3个白球：从两个口袋内各摸出一个球：那么 等于 （ ）
8、已知某产品的优质品率为5﹪：攻关小组要想找一件优质品进行分析研究：问需要检验多少件产品：才能以90﹪的概率保证至少找到一件优质品？
5、10根签中有3根彩签：设首先由甲、然后由乙各抽一签：求下列事件的概率
（1）甲、乙都中彩：（2）乙中彩。
6、如图：三个元件a、b、c安置在线路中：各个元件发生故障是相互独立的：且概率分别为0.3、0.2、0.1：求线路由于元件发生故障而中断的概率。
7 、某类电灯泡：使用时数在1000小时以上的概率为0.2：求3个灯泡在使用1000小时后：最多只有一个坏了的概率。
贝努里概型
贝努里概型伯努利家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样地显赫。
这个非凡的瑞士家族在三代时间里产生了十余位数学家和物理学家，其中有八位数学家（其中三位是杰出的，他们是雅可布、约翰、丹尼尔），他们又生出了在许多领域里崭露头角的成群后代。
雅可布发明了极坐标，他和他的弟弟约翰是莱布尼茨的朋友，经常书信往来讨论数学问题。
他们对于莱布尼茨发明的微积分方法极为推崇，迅速地接受了莱布尼茨的学说，并且加以发扬光大。
雅可布曾当过洛必达的私人教师，最先提出洛必达法则，是欧拉的老师。
雅可布和约翰两兄弟有时致力于研究同一个问题，但是由于彼此嫉妒和易于激动，这一情况是很遗憾的。
有时两人之间的摩擦爆发成为公开的嫉恨诟骂。
由于解决“最速降线”问题，兄弟两个因为解法的优劣而争论不休，两人之间的口角纷争达数年之久，其所用言辞之粗野很像市井上的对骂而非科学讨论。
这两人之中约翰的脾气似乎更坏，因为多年之后，由于他的二儿子丹尼尔获得了他自己渴望获得的法兰西科学院奖金，约翰竟把他摔出窗外。
n次重复独立试验：（1）相同的条件下重复地做某试验n次；可重复性（2）每次试验结果不受其它各次试验影响；独立性如：掷骰子n重贝努里试验：每次试验结果只有两种可能的n重独立试验1．共进行n次试验；2．各次试验相互独立；3．在每次试验中某事件A或者发生或者不发生；4．在每次试验中事件A出现的概率都是p(0p1)。
n重贝努里试验中事件A恰好发生k(0kn)次的概率为kknkPn(k)Cnp(1p)证明：设Ai＝{第i次贝努里试验中出现A}，B＝{n重贝努里试验中A出现k次}分步：（1）A在指定的前k次试验中出现，后n-k次中不出现pP(A1...Akk1...n)P(A1)...P(Ak)P(k1)...P(n)pkqnkk（2）事件A可能出现在n次试验中的任何k次，共Cn中情况。
kknk所以Pn(k)Cnpq例1（1）将一个对称的硬币掷2次，求出现：恰好一次正面的概率；（2）将一个对称的硬币掷10次，求出现：恰好4次正面的概率。
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（1）甲、乙都中彩；（2）乙中彩。
6、如图：三个元件a、b、c安置在线路中，各个元件发生故障是相互独立的，且概率分别为0.3、0.2、0.1，求线路由于元件发生故障而中断的概率。
7、某类电灯泡，使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000小时后，最多只有一个坏了的概率。
8、已知某产品的优质品率为5﹪，攻关小组要想找一件优质品进行分析研究，问需要检验多少件产品，才能以90﹪的概率保证至少找到一件优质品？
姓名
班级
学号
时间
课题
相互独立事件乘积的概率与贝努里概型
设计
一、方法点拨：
1、理解相互独立事件的概念，掌握独立事件乘积的概率乘法公式；
2、掌握贝努里概Βιβλιοθήκη Pn（k）＝ ，并会用来解决有关的实际问题。
二、知能达标：
1、甲口袋内有大小相等的8个红球和4个白球，乙口袋内有大小相等的9个红球和3个白球，从两个口袋内各摸出一个球，那么 等于（）
A、两个求都是白球的概率；B、两个求恰好有一个白球的概率；
C、两个求都不是白球的概率；D、两个求不都是白球的概率；
2、10颗骺子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点的概率是（）
A、 B、 C、 D、
3、某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击4次，至少击中3次的概率是。
4、三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 则能够将此密码译出的概率为。