奥数裂项
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a bb a ab a ba 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
奥数常见裂项法 裂项试题和裂项公式
证：
Sn
=
1 (1 − 2
1) + 3
1 (1 23
−
1) + 5
1 (1 25
−
1) ++ 7
1( 1 − 2 2n −1
1) 2n + 1
=
1 (1 − 2
1) 2n + 1
=
n 2n + 1
14.求和：
Sn
=
1 1× 4
+
4
1 ×
7
+
7
1 × 10
+
+
(3n
−
1 2)(3n
+
1)
=
n 3n +
98 99 99 100
=1− 1 100
= 99 100
2. 计算： 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
6
=2+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210 240
符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算， 1 = 1 + 1 就变成 1 − 1 = 1 ，与前
小学奥数裂项相消法
小学奥数裂项相消法裂项相消法简单来说就是把一个复杂的问题分解为若干个小问题，然后逐个解决。
用这种方法解题要特别注意的是，分解时不能漏掉因数，或者遗忘一些项，否则可能造成无穷解，即没有办法计算出答案。
下面就介绍一种裂项相消法解题步骤和注意事项。
我们将数列分解，将每一项拆成若干个数，分项的过程就是变形，由于我们将数列的项拆得很细，所以这样做是比较保险的，如果是一个比较大的数列，拆起来也比较困难，还可以将数列的每一项按照每一项在数列中所占的位置来排序，然后再逐个地拆开。
在应用此方法解题时需要注意的是： 1、11。
8一直拆到余2。
但如果分项时把小数点漏了，那么结果无穷多，也没有办法计算出结果。
2、分项时，不要遗漏因数，也不要混淆顺序，最好用计算器来完成。
3、应用裂项相消法的基本思想是化整为零，求得代数式的值。
4、一定要看清楚题目的要求，确定相消的式子，并且合理安排运算的顺序，尽量把计算简化。
5、每个数字都不能漏掉，合理地应用裂项相消法能提高解题效率。
当我们把一个复杂的数学问题变成几个比较简单的小问题时，就会感觉到思路明显开阔许多。
裂项相消法虽然可以减少计算工作量，但对同学们的计算能力要求更高。
如果你在做题目时碰到了一个比较复杂的题目，请试试这个方法。
11。
8-1=？ 11。
8-3=？ 11。
8-6=？ 11。
8-9=？ 11。
8-11=？11。
8-13=？ 11。
8-17=？ 11。
8-19=？ 11。
8-20=？ 11。
8-23=？11。
8-1=？ 11。
8-2=？ 11。
8-3=？ 11。
8-4=？ 11。
8-5=？11。
8-7=？ 11。
8-8=？ 11。
8-9=？ 11。
8-10=？ 11。
8-11=？11。
8-12=？ 11。
8-13=？ 11。
8-14=？ 11。
8-15=？ 11。
8-16=？11。
8-17=？ 11。
8-18=？ 11。
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
小学奥数专题--分数裂项
答案
变式训练2计算：
解析：原式＝ ＋ ＋…+ + +…+
＝ ( － )＋ ( － )
＝ ＋ ＝ ＋
＝
答案
变式训练3
解析：原式
答案
变式训练4
解析： ＝ ＝ － ＝ －
＝ ＝ － ＝ －
＝ ＝ － ＝ － ……
＝ ＝ －
＝ －
原式
答案
例9
解析：原式
答案
变式训练1
解析：原式
答案
例10计算： ．
解析：如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第 个数恰好为 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．
观察可知 ， ，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
所以原式 ．
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为 ，其中 为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将 与 分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．
，
所以原式 ．
（法三）
解析：原式
答案
例19 计算：
解析：
所以原式
答案
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
2、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） （2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）ab b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）ab b a b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式)()(2b2+=a--baba完全平方和（/差）公式2222±=a+±(b)baba本文档部分内容来源于网络，如有内容侵权请告知删除，感谢您的配合！。
1.4小学奥数必学分数裂项与整数裂项与通项归纳
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
奥数裂项法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)（5）n·n!=(n+1)!-n!公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
(关键是找数列的通项结构)1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n·2^n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an=n5、求数列的最大、最小项的方法：①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3②(an>0)如an=③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0)6、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.(2)当a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
小学奥数分数裂项A基础版
分数裂项A知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数裂项公式大全
小学奥数裂项公式大全裂项公式是指将多项式分解为各个因式之积的一种数学方法，它是数学中最为常用的一种公式之一。
在小学数学中，裂项公式被广泛用于解方程问题，是小学数学学习的重要组成部分。
裂项公式有许多种，小学奥数裂项公式大全是学习小学奥数的重要参考资料，务必要好好掌握。
下面将介绍小学奥数裂项公式大全中的内容。
1、一元二次方程裂项公式。
一元二次方程的裂项公式是 x2 + bx + c = (x + a1)(x + a2)，其中，a1和a2是方程的根，可以通过求解一元二次方程来获得。
2、二元一次方程组裂项公式。
二元一次方程组的裂项公式有两种：一是求解二元一次方程组的代数式，即 x y = a b；二是计算等价式的方法，即 xy = (x + c)(y + d)。
3、三元一次方程组裂项公式。
三元一次方程组的裂项公式如下：x + y + z = a b c，其中a、b、c可以通过求解三元一次方程组来获得。
4、三次方程的裂项公式。
三次方程的裂项公式是 x3 + bx2 + cx + d = (x + a1)(x + a2)(x + a3)，其中a1、a2、a3可以通过求解三次方程来获得。
以上就是小学奥数裂项公式大全内容的简要介绍，希望我们能够真正掌握这些公式，从而做好小学奥数的学习。
从小学开始，学习数学就要掌握公式，其中除了裂项公式外，还有平方公式、立方公式、二次求根公式、二次型方程公式等。
而要想掌握这些公式，就需要我们记住这些公式，并熟练掌握它们的运用。
所以，如果我们想要学好小学数学，就要认真的研究这些公式，将它们仔细记住，并形成自己的思维模式，调整自己的学习思维，从而找到最有效的解题方法。
另外，在解题过程中，我们还要注意遵循一定的解题步骤，遵循具体的解题技巧，这样才能够顺利完成解题，没有遗漏任何内容。
综上所述，小学奥数裂项公式大全是学习小学奥数的重要参考资料，要掌握这些公式，就要认真的研究，将它们记住，并熟练掌握它们的应用。
小学奥数裂项公式汇总资料
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
裂项计算(奥数)
常规裂项公式：()11+n n ＝n 1－11+n k n ⨯1＝(n 1－k 1)×nk -1 （n ＜k ) ()()211++n n n ＝［()11+n n －()()211++n n ］×21 ()()()3211+++n n n n ＝［()()211++n n n －()()()3211+++n n n ］×31 等差数列的求和公式： （1）n S ＝()21n a a n + （2）n a ＝1a ＋(n －1)d（3）d ＝11--n a a n 例1. 计算：99999×77778＋33333×66666例2. 计算：2006×20072007－2007×20062006例3. 计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋ ＋1091⨯ 例4. 计算：13112⨯＋15132⨯＋17152⨯＋19172⨯＋191 例6. 计算：2003÷200420032003三、计算题1. 【清华附中历年真题《计算专题》精选】计算：）＋＋（）＋＋＋＋）－（＋＋＋（）＋＋＋（11191711311119171511311119171111917151⨯⨯。
2. 【101中学历年真题《计算专题》精选】我们规定“※”为一种新运算，它满足式子a ※b ＝b a ab ＋，例如：2※3＝563232＝＋⨯，那么1995※（1995※1995）等于多少？ 3.【清华附中历年真题《计算专题》精选】计算：14256154213301120912731113⨯⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡）－＋－＋－＋－（ 4. 【101中学历年真题《计算专题》精选】已知1007015691468136712661169156814671366126511⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a ，那么a 的整数部分是多少？ 5. 【四中历年小升初考题精选】计算：99009899970297013029201912116521+++++++ 。
小学奥数教程-分数裂项计算 教师版 全国通用(含答案)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
奥数 整数裂项
【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100
分析：题中计算式共有99个乘法式子相加，如果一个一个计算下来，恐怕一个下午就过去了，G老师告诉同学们，遇见这种复杂的计算式，一定是有规律的，数学重点考查的是思维。
能不能想办法把乘法式子换成两个数的差，再让其中一些项抵消掉，就像分数裂项的形式，最后只剩下头和尾呢？
1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3;
2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3;
3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3;
……
99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3;
规律是不是找着了？
原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷3
=99x100x101÷3
=333300
整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式，这个差也不是随便乘一个数，而是要根据题目中各项数字公差来确定的。
比如在例1中，1x2和2x3这两项，1与2，2与3 的的差都是1，我们就在1x2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)x1x2；2x3这一项，也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消，然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。
整数裂项法应用：
式中各项数字成等差数列，将各项后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差。
【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99
分析：算式中各个项中数字之差都是2，满足整数裂项条件，后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差6。
小学奥数-裂项求和(一)
分数裂项求和裂项求和就是是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项求和法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）。
裂项求和法的具体方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
例1裂项1 1 1 16 1 1 1 12 × 3= 2 -3 = 3 × 4= 3 -4 = 121 1 1 1 1 1 1 14 × 5= 4 -5 = 20 5 × 6= 5 -6 = 301 1 1 16 × 7= 6 -7 =42你发现了什么？对于分母可以写作两个连续自然数的乘积，分子都是1的这种1×形式的分数，即，这里我们把较小的数a写在前面，即a <1 1 1×b，那么有= -。
19 × 10 = -练1199 × 100 = -2 2 2 2练2 2 × 3 = - = （提示：分子不是1的，注意）3 3 3 34 ×5 = - =2练3 11 × 12 = - =（提示：分子空缺，自己填写）399 × 100 = - =例2深度讲解1 1 12 ×3 + 3 ×4 + …… +1 ×2 +1 198 × 99 + 99 ×1001 1 1 1 1 1 1 1= (1 - 2) + (2 - 3) + (3 - 4)+ …… +(98 - 99)1 1+ (99 - 100) [此处为基础训练中的裂项]1 1 1 1 1 1 1 1 1= 1 - 2 + 2 - 3 + 3 - 4+……+98 -99 + 99 -1100 [去括号，括号外面是加号，去括号不变号]1= 1 - 100 [一加一减正好抵消，两两消去，只剩头尾]99= 100 [头减尾，既得最后答案]11 ×2 +1 1× 4 + …… + + 32 × 3练41 18 × 9 + 9 ×1021 ×2 +2 2× 4 + …… + + 32 × 3练52 2 18 × 19 + 19 ×201 11× 13 + ……+ + 12 10 × 11 + 11 × 12 练6 1 99 × 1003 3 3 × 6 + …… + 35 ×36 35 + 5 练7 3 × 4 + 4 ×。
奥数常见裂项法经典裂项试题和裂项公式(修订)
19、1 + 3 + 5 + 7 +（2n − 1）= n2
20、12 + 22 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
21、12 + 32 + 52 + +（2n − 1）2 = n(2n + 1)(2n − 1) = n × (4n2 − 1)
3
3
22、13 + 23 + + n3 = (1 + 2 + n)2 = n2 (n + 1)2
例 2. 计算： 1 + 1 + 1 + … +
1
1 1+2 1+2+3
1 + 2 + 3 + … + 100
公式的变式
1
=2
1 + 2 + … + n n × (n − 1)
当 n 分别取 1，2，3，……，100 时，就有
1= 2 1 1×2
1=2 1+2 2×3
1 =2 1+2+3 3×4
1
=2
符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算， 1 = 1 + 1 就变成 1 − 1 = 1 ，与前
6 () <>
6( ) < >
面提到的等式 1 − 1 = 1 相联系，便可找到一组解，即 1 = 1 + 1
n n + 1 n(n + 1)
6 7 42
另外一种方法
设 n、x、y 都是自然数，且 x ≠ y ，当 1 = 1 + 1 时，利用上面的变加为减的想法， nxy
小学奥数裂项计算题
小学奥数裂项计算题
小学奥数裂项计算题
一、小学奥数裂项计算题
小学奥数裂项计算是中学奥数中的一项体系性活动，旨在通过结合裂项定理和多项式运算等相关数学原理，培养中小学生在数学运算中的全面解决问题能力。
二、裂项定理
裂项定理是数学中非常关键的定理，它表明一个多项式可以分解成要乘的几项的积式。
例如：ax²+bx+c=(a)(x+p)(x+q)，其中p和q可以由下面的公式求出：
p= (√b²-4ac)/2a
q =- (√b²-4ac)/2a
三、多项式的展开
多项式的展开可以得出积的各项系数，比如(x+y)²=(x²+2xy+y²)，其中x²、2xy 和y²的系数分别为1，2，1。
四、总结
小学奥数裂项计算要求孩子习得裂项定理，自然要求孩子有较强的综合练习能力，掌握多项式的展开，需要积累足够的数学基础知识，不断提高孩子的学习能力和计算的效率。
此外，孩子们应该多做一些演练，以巩固和检验自己所学的知识，从而达到理解裂项定理，应用于解决问题的目的。
总之，希望通过对小学奥数裂项计算的学习，能够培养学生们在解题过程中拓展思维，让孩子们快乐学习，拥有未来更加宽广的视野，享受学习和生活。
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第一讲 裂 项 法（一）
同学们知道,在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
例如
，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用
的等式： 1111(1)(1)11(1)(1)
n n n n n n n n n n n n n n +-=-++++-==++ 即1111(1)
n n n n -=++ 或
111(1)1n n n n =-++ 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【例1】. 计算：
11119951996199619971997
+++⨯⨯
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
【课堂随练】 求
111 (101111125960)
+++⨯⨯⨯的和。
【例２】. 计算：
【例３】. 请在（ ）、< >里填上适当的自然数，使得算式
成立
【例４】.
【课堂随练】计算
11111 577991111131315 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯
【例５】. 计算：
裂项法（一）练习
１.
1111 1223344950
++++
⨯⨯⨯⨯
=_________；
2. 计算：
3．
1111 133********
++++
⨯⨯⨯⨯
=_________；
４. 求和：
５. 求和：
裂项法（二）
【例1】求
2222
...... 1335579799 ++++
⨯⨯⨯⨯
的和
【例2】计算：
4444
...... 135357939597959799 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例3】计算：
333
...... 1234234517181920 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例4】
9998971 12323434599100101
++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=_________；
【例5】计算
2
3
4
50
1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++
裂 项 法（二） 练习
1.
2.1111
135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________
3.1
2
3
49
223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________；
4.计算：1111111648244880120168224⎛⎫
++++++⨯ ⎪⎝⎭
裂 项 法（一） 作业
1. 计算：11
1
1
1
122334989999100+++++⨯⨯⨯⨯⨯…
２. 1
1
1
1
1121231234123450++++++++++++++++ =_________；
３. 求出一对自然数ｘ与ｙ，使得等式成立。
４.1
1
1
1
14477104952++++⨯⨯⨯⨯ =_________；
裂 项 法（二） 作 业 1.1111
123234345192021++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________；
2.1111
135357579192123++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________；
3．42×)1681
1201
801
481
241
81
(+++++=
4．计算：1
1
1
1
1111
1357911131517612203042567290++++++++
5.计算：1
1
1
......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯。