广东省深圳市中考数学专题专练 几何探究专题

几何探究专题

1.已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP 交AD 于点N ，连接CM.

(1)如图①，若点M 在线段AB 上，求证：AP⊥BN；AM ＝AN.

(2)①如图②，在点P 运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 是否成立(不需说明理由)?

②是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝1

2

？请说明理由．

2.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm.对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s)(0

(1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？

(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2

)，试确定S 与t 的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF

∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说

明理由；

(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．

3.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，

AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.

(1)观察猜想

如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考

如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

(3)拓展延伸

如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝1

4BC ，请求出

GE 的长．

4.(1)阅读理解：

如图①，在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE ＝AD ，再连接BE(或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD)．把AB ，AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线AD 的取值范围是________； (2)问题解决：

如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF.求证：BE ＋CF ＞EF ；

5.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.

(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.

①求证：△ABD是等边三角形；

②求证：BF⊥AD，AF＝DF；

③请直接

．．写出BE的长；

(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE

无公共点时，请直接

．．写出BE＋CE的值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

备用图

6.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD的长；

(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．

图①图②

7.阅读理解：

我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行

四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把

1

sinα

的值叫做这个平行四边形的变形度．

(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：

(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1

sinα

之间的数量关系，并说明理由；

拓展探究：

(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．

8.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°.

(1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；

(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EF

FC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；

(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB＝∠GEF ＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．

参考答案

1. (1)证明：∵△PBC∽△PAM，∴∠PBC ＝∠PAM.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠PBC ＋∠PBA＝∠CBA＝90°，∴∠PAM ＋∠PBA＝90°，∴∠APN ＝90°，即AP⊥BN，∴∠BPA ＝∠BAN＝90°.∵∠ABP ＝∠NBA，∴△ABP ∽△NBA ，PB

AB ＝

PA AN ，∴AN AB ＝PA PB .又∵△PAM∽△PBC ，∴PA PB ＝AM BC ，故AN AB ＝AM

BC

.又∵AB＝BC ， ∴AM ＝AN ；(2)解：①点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 仍然成立；②不存在，理由如下：选择图②，以AB 为直径，作半圆O ，连接OC ，OP ，∵BC ＝1，OB ＝12，∴OC ＝5

2

.∵由①知，AP ⊥BN ，∴点P 一定在以点O 为圆心、