等差、等比数列证明(补差1)

合集下载

等差等比数列的证明例举

等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。

一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比）（2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列：（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+．求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明解：令11n n b a =-，则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。

等差等比数列的证明ppt课件

等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n，证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）

证明或判断等差(等比)数列的四种方法

证明或判断等差(等比)数列的四种方法
判断等差数列的四种方法：
公差相等法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。

通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，则该数列为等差数列。

前后项差值法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。

证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 - an = d，则可以通过归纳法证明该数列是等差数列。

判断等比数列的四种方法：
公比相等法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。

通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，则该数列为等比数列。

前后项比值法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。

证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 / an = r，则可以通过归纳法证明该数列是等比数列。

以上是判断等差数列和等比数列的四种常见方法，它们都比较简单易行，可以帮助我们快速判断一个数列是否为等差数列或等比数列。

同时，在具体应用中，我们还可以根据题目要求选择合适的方法，从而更好地解决问题。

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，它们在数学和实际问题中都有重要的应用。

下面我们来介绍等差数列和等比数列的证明方法。

等差数列是指数列中每两个相邻的数之间的差值都相等的数列。

等差数列的通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。

1. 通过公式法证明等差数列：假设有数列{an}，首项为a1，公差为d，我们可以使用数列的通项公式An = a1 + (n-1)d。

通过将通项公式代入证明，我们可以得到每一项与前一项之间的差值都为d，从而证明这是一个等差数列。

2. 通过递推法证明等差数列：假设有数列{an}，如果我们知道数列的首项a1和公差d，我们可以通过递推关系式an = an-1 + d来证明这是一个等差数列。

我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立，从而证明这是一个等差数列。

3.通过数列的性质证明等差数列：等差数列有很多重要的性质，例如，等差数列的中项等于首项与末项的平均数，等差数列的前n项和等于n倍首项与末项和的平均数。

如果我们通过对这些性质进行验证，可以得出结论这是一个等差数列。

等比数列是指数列中每两个相邻的数之间的比值都相等的数列。

等比数列的通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。

1. 通过公式法证明等比数列：假设有数列{an}，首项为a1，公比为r，我们可以使用数列的通项公式An = a1 * r^(n-1)。

通过将通项公式代入证明，我们可以得到每一项与前一项之间的比值都为r，从而证明这是一个等比数列。

2. 通过递推法证明等比数列：假设有数列{an}，如果我们知道数列的首项a1和公比r，我们可以通过递推关系式an = an-1 * r来证明这是一个等比数列。

我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立，从而证明这是一个等比数列。

3.通过数列的性质证明等比数列：等比数列有很多重要的性质，例如，等比数列的任意两项的比值都相等，等比数列的前n项和等于首项与末项和的乘积与公比的差的商。

等差数列与等比数列定义及公式

等差数列与等比数列基础知识1．数列的概念定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。

数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。

定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。

定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。

定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。

定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。

2．等差数列定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。

等差数列具有以下几种性质：（1）等差数列的通项公式：或；（2）等差数列的前项和公式：或；（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；（8）若，则；特别地，当时，；（9）设，，，则有；（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；（11）对于项数为的等差数列，有，；（12）是等差数列的前项和，则；（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.3．等比数列定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a q a -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。

证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。

证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d =0时，显然命题成立当d ≠0时， ∵111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭再证充分性：∵122334111a a a a a a ++⋅⋅⋅1111n n n na a a a ++++=⋅⋅ ………① ∴122334111a a a a a a ++⋅⋅⋅11212111n n n n n n a a a a a a ++++++++=⋅⋅⋅ ………② ②﹣①得：12121111n n n n n na a a a a a +++++=-⋅⋅⋅两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④ ③—④得：122()n n n na n a a ++=+即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是)(,2)(*1N n a a n S n n ∈+=。

(完整版)等差、等比数列的判断和证明

等差、等比数列的判断和证明一、 1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). 2、等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。

②中项法：等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

a a a n n n 212+++=⇔{}a n 为等差数列。

③通项公式法：等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d.b an a n +=（a,b 为常数）⇔{}a n 为等差数列。

④前n 项和公式法：等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

公式变形为Sn=An 2+Bn 其中A=2d ，B=21da -. Bn n A s n +=2（A,B 为常数）⇔{}a n 为等差数列。

3.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=(4) ①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等差，公差为md ；②若{}n a 是等差数列，则﹛ka n +p ﹜(k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd.③若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd 1+pd 2 （d 1、d 2 分别为{}n a 、{}n b 的公差）④232,,n n n n n S S S S S -- 也成等差数列.⑤{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时， )(1a a n n n n s ++=；nd s s =-奇偶；a a n n s s 1+=奇偶. 当项数为奇数21n -时， a n n n s )12(12-=-；a s s 1-=-奇偶；nn s s 1-=奇偶（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列，eg ：a 1，a 3，a 5…构成等差数列，a 1+a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9…也构成等差数列.二、1、等比数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，即)2,(*1≥∈=-n n q N a a n n2、等比数列的判断方法： ①定义法：1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠⇔{}a n 为等比数列。

等差数列的推理与证明

等差数列的推理与证明一、等差数列的定义与性质1.1 等差数列的定义：等差数列是一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。

1.2 等差数列的性质：（1）等差数列的任意两项之差等于它们下标之差乘以公差；（2）等差数列的任意一项都可以用它的首项和公差表示；（3）等差数列的前n项和可以表示为首项与末项的平均值乘以项数。

二、等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差，n表示项数。

三、等差数列的证明方法3.1 数学归纳法：（1）证明等差数列的通项公式成立，首先验证n=1时公式成立；（2）假设n=k时公式成立，证明n=k+1时公式也成立。

3.2 反证法：（1）假设等差数列的某一项不满足通项公式，即存在一项an不满足an = a1 + (n - 1)d；（2）通过推导得出矛盾，从而证明假设不成立，即等差数列的每一项都满足通项公式。

四、等差数列的推理与应用4.1 等差数列的推理：根据等差数列的性质，可以推理出数列的任意一项都可以用首项和公差表示，以及前n项和的计算公式。

4.2 等差数列的应用：（1）解决实际问题：例如计算等差数列的前n项和，求等差数列中的某一项等；（2）其他数学问题的解决：例如求等差数列的极限、求等差数列的通项公式的反函数等。

五、等差数列的综合考察5.1 考察等差数列的性质与通项公式的运用；5.2 考察等差数列的推理与证明方法的应用；5.3 考察等差数列在前n项和、极限等方面的综合运用。

总结：等差数列是数学中的一种基本数列，通过学习等差数列的定义、性质、通项公式以及推理与证明方法，可以更好地理解和运用等差数列解决实际问题。

在教学过程中，要注重培养学生的逻辑思维能力，提高他们对等差数列概念的理解和运用能力。

习题及方法：1.习题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第10项。

数列—等差、等比的证明

数列—等差、等比的证明第一篇：数列—等差、等比的证明等差、等比数列的证明1．数列{a327*n}的前n项和为Sn=2n+2n（n∈N）．（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若数列{bn}满足：an=log2bn，证明：数列{bn}是等比数列．2．已知数列{a*n}的前n项和为Sn=4an-3(n∈N)，证明：数列{an}是等比数列．3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列⎧⎨an⎫⎩2n⎬⎭为等差数列；（Ⅱ）证明：数列{an+1-2an}为等比数列．4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：Sn=2a2n+n-4n（n∈N*），证明：数列{an-2n+1}为等比数列．5．（2008北京文20）数列{an}满足：a1=1，a-λ)a*n+1=(n2+nn，（n∈N）λ是常数．（Ⅰ）当a2=-1时，求λ及a3的值；（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列? 若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；6．设函数f(x)=x2+m，m∈R，定义数列{an}如下：a1=0，an+1=f(an)（n∈N*）．（Ⅰ）当m=1时，求a2,a3,a4的值；（Ⅱ）是否存在实数m，使a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列? 若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．6．（2008湖北21）已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，a2n+1=an+n-4，bnn=(-1)(an-3n+21)，其中λ为实数，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，证明你的结论．7．（2010安徽20）设数列{an}中的每一项都不为0．证明：数列{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*，都有111na+a+⋅⋅⋅+=a． 1a22a3anan+11an+18．（2011北京文、理20）若数列An:a1,a2,⋅⋅⋅,an(n≥2)满足ak+1-ak=1(k=1,2,⋅⋅⋅,n-1)，则称An为E数列．（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1=a3=0；（Ⅱ）若a1=12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011．第二篇：数列等差证明2010江西理数数列等差证明2010江西理数2010江西理数）22.（本小题满分14分）证明以下命题：（1）对任一正整a,都存在整数b,c(b（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an，bn，cn成等差数列。

等差、等比数列证明的几种情况（最终5篇）

等差、等比数列证明的几种情况（最终5篇）第一篇：等差、等比数列证明的几种情况等差、等比数列证明的几种情况在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数d，则这个数列叫等差数列，常数d称为等差数列的公差。

一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数q，则这个数列叫等比数列，常数q称为等比数列的公比。

在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。

1、简单的证明例：已知数列前n项和sn=n2+2n，求通项公式an，并说明这个数列是否为等差数列。

解：n=1时，a1=s1=1+2=3；n≥2时，an=sn-sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1因为n=1时，a1=2⨯1+1=3所以an=2n+1因为n≥2时，an-an-1=2为常数，所以{an}为等差数列。

2、数列的通项经过适当的变形后的证明例：设数列{an}的前n项的和为Sn，且a1=1,Sn+1=4an+2,(n∈N*)。

（1）设bn=an+1-2an，求证：数列{bn}是等比数列；（2）设cn=an，求证：数列{cn}是等差数列； 2n证明：（1）n≥2时Θan+1=Sn+1-Sn=4an-4an-1，∴an+1-2an=2(an-2an-1)，∴bn=2bn-1又b1=a2-2a1=S2-3a1=a1+2=3∴{bn}是首项为3，公比为2的等比数列。

（2）Θbn=3⨯2n-1,∴an+1-2an=3⨯2n-1,∴cn+1-cn=an+1an113n-1()-=a -2a=⨯3⨯2=, n+1n42n+12n2n+12n+1又c1=a11=，2213∴{cn}是首项为，公差为的等差数列。

243、证明一个数列的部分是等差（等比）数列例3：设数列{an}的前n项的和Sn=n2+2n+4,(n∈N+)，⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3；⑵证明：数列{an}除去首项后所成的数列a2,a3,a4Λ是等差数列。

高考数学二轮复习第二编专题四数列第1讲等差数列与等比数列课件文

解 (1)当 n≥2 时，由 an＋1＝2Sn＋3，得 an＝2Sn－1＋3，两式相减，得 an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an， ∴an＋1＝3an，∴aan＋n 1＝3. 当 n＝1 时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则aa21＝3. ∴数列{an}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列． ∴an＝3×3n－1＝3n.
12/11/2021
核心知识回顾
12/11/2021
1．等差数列
□ (1)通项公式： 01 an＝an＋(n－1)d＝am＋(n－m)d . □ (2)等差中项公式： 02 2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2) ． □ (3)前 n 项和公式： 03 Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn－2 1d .
12/11/2021
真题VS押题
12/11/2021
『真题模拟』
1．(2018·陕西商洛模拟)在等差数列{an}中，a5＝9，且
2a3＝a2＋6，则公差 d＝( )
A．－3
B．－2
C．3
D．2
解析因为 2a3＝a2＋6，所以 a2＋a4＝a2＋6，所以 a4 ＝6，故 d＝a5－a4＝9－6＝3.
12/11/2021
考向2 等差数列、等比数列的判定与证明例 2 (2018·银川质检)已知数列{an}中，a1＝1，其前 n 项的和为 Sn，且满足 an＝2S2nS－2n 1(n≥2，n∈N*)． (1)求证：数列S1n是等差数列； (2)证明：13S1＋15S2＋17S3＋…＋2n1＋1Sn<12.
12/11/2021
□ 2．等比数列
(1)等比数列的通项公式： 01 an＝a1qn－1＝amqn－m .
□ (2)等比中项公式： 02 a2n＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2) ．

专题三第1讲等差数列、等比数列

等差数列、等比数列的基本运算
核心提炼
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1. (3)等差数列的求和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn－ 2 1d.
(4)等比数列的求和公式： Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq，q≠1，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2.(2022·济宁模拟)在等比数列{an}中，a1＋a3＝1，a6＋a8＝－32，则aa105＋＋aa172
等于
A.－8
B.16
C.32
√D.－32
设等比数列{an}的公比为q，则a6＋a8＝(a1＋a3)q5＝1×q5＝－32，所以q5＝－32，故aa105＋＋aa172＝aa5＋5＋aa77q5＝q5＝－32.
∴S14＝14a12＋a14＝14a42＋a11>0， S15＝15a12＋a15＝15×2 2a8<0，
∴当Sn>0时，n的最大值为14，D正确.
考点三
等差数列、等比数列的判断
核心提炼
定义法通项法中项法
等差数列 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)
是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的
石板数依次为a1，a2，a3，…，a9，设数列{an}为等差数列，它的前n项
1＝6
√B.{an}的公差为9
C.a6＝3a3
√D.S9＝405
设{an}的公差为d.由a4＋a6＝90，得a5＝45，又a2＝18，联立方程组aa11＋＋d4＝d＝184，5，解得ad1＝＝99，，故 A 错误，B 正确；

高三数学一轮复习等差等比数列讲义

等差等比数列【知识梳理】一、通项公式等差数列：，为首项，为公差.等比数列：11-⋅=n n q a a ，为首项，为公比.二、前项和公式等差数列：或等比数列：当1≠q 时， qq a S n n --=1)1(1 或 q q a a S n n --=11当1=q 时，1na S n =三、差比数列的判定方法1.定义法：（，是常数）是等差数列；q a a nn =+1（，是常数）{}n a 是等比数列.2.中项法：()是等差数列；221++⋅=n n n a a a ()且0≠n a {}n a 是等比数列.四、差比数列的常用性质等差数列：若，则；等比数列：若，则q p n m a a a a ⋅=⋅.课中讲解一、等差等比数列的判定典型例题1. 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求()d n a a n 11-+=1a d 1a q n ()21na a S n n +=()d n n na S n 211-+=d a a n n =-+1+∈N n d ⇔{}n a +∈N n 0≠q ⇔212+++=n n n a a a +∈N n ⇔{}n a +∈N n ⇔),,,(+∈+=+N q p n m q p n m q p n m a a a a +=+),,,(+∈+=+N q p n m q p n m证：数列{b n}是等差数列。

2.若数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋2S n S n－1＝0(n≥2)，a1＝12，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n是等差数列。

3.已知数列{a n}满足对任意的正整数n，均有a n＋1＝5a n－2·3n，且a1＝8，证明：数列{a n－3n}为等比数列。

4. 已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n－2a n＝n－4，证明：{S n－n＋2}为等比数列。

第2讲数列篇(教师版)

第2讲数列[考点分析]数列问题是高考的必考内容，主要考查：1．等差等比数列的证明．2．数列求通项．3．数列求和．4．个别时候考查数列不等式问题．在新高考中很多题目开始以开放性题型命题．[特训典例]题型一等差等比数列的证明例1 （2019全国2卷理19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，，. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.[特训跟踪]1、（2021全国卷）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300. 【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项. （2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++-，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++= 又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-= 所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-. （2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-，所以()20241820210S a a a a =++++-()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.2.在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .解 (1)∵a n 是1与a n a n ＋1的等差中项， ∴2a n ＝1＋a n a n ＋1，∴a n ＋1＝2a n －1a n， ∴a n ＋1－1＝2a n －1a n －1＝a n －1a n ，∴1a n ＋1－1＝a n a n －1＝1＋1a n －1，∵1a 1－1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为1，公差为1的等差数列，∴1a n －1＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ＋1n .(2)由(1)得1n 2a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求S n 和a n .[听前试做] (1)证明：当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，① ∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)，由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2.(2)由(1)知1S n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n (n －1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式，∴a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.题型二数列求通项和求和例2 (2015·新课标全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[听前试做] (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3＝n3(2n ＋3). 例3 (2020衡水2调）已知数列{}n a 满足：211231333()3n n n a a a a n N -*+++++=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设111,3(1)(1)n n n n b a a ++=--数列{}nb 的前n 项和为n S ，试比较n S 与716的大小. 解：（1）数列{}n a 满足211231333()3n n n a a a a n N -*+++++=∈，所以2n ≥时，212133,3n n n a a a --+++=相减可得113,3n n a -=所以1.3n n a =n=1时,12.3a =综上可得2,1,31, 2.3n nn a n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（5分）(2)因为111,3(1)(1)n n n n b a a ++=--所以12213.2183(1)(1)33b ==⨯-⨯-2n ≥时，1111111.11231313(1)(1)33n n n n n n b +++⎛⎫==- ⎪--⎝⎭-- 所233413111111182313131313131n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦131117.8283116n +⎛⎫=+-< ⎪-⎝⎭ 例4 (2019衡水2调）已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且n S 为n a 与1na 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1,nnnb a -=求{}n b 的前n 项和n T .解：（1）由题意知，12n n nS a a =+，即221,n n n S a a -=① 当n=1时，由①式可得11;S =当2n ≥时,有1,n n n a S S -=-带入①式，得2112()()1,n n n n n S S S S S -----=整理得221 1.n n S S --= 所以{}2nS 是首项为1，公差为1的等差数列，211.nSn n =+-=因为{}n a各项都为正数，所以n S =所以12),n n n a S S n -=-=≥ 又111,a S ==所以n a =（6分）（2）()(1)1,n n nn n b a -===-当n 为奇数时，(11)1n T n=-+-++--=当n 为偶数时，(11)1n T n =-+-+--+=所以{}n b 的前n 项和()1nn T =-（12分）例5 （潍坊市高三下学期第一次模拟）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S 。

52证明等差等比数列高中数学讲义微专题Word版

微专题52 等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既观察了学生证明数列的能力，同时也为后边的问题做好铺垫。

一、基础知识：1、怎样判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：a n1a na n1q（等比）d（等差），a n（2）通项公式：an kn m（等差），an kqqn0（等比）（3）前n项和：S n An 2n（等比）Bn（等差），S n qkk（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项2、怎样证明一个数列是等差等比数列：（1）往常利用定义法，找寻到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即nN，均有：2a n1a n a n2（等差）a n21a n a n2（等比）二、典型例题：例1：已知数列a n的首项a13,a n13a n,nN．52a n1求证：数列11为等比数列a n思路一：结构法，依据所给的形式对已知递推公式进行结构，察看发现所证的数列存在1这a n样的倒数，因此考虑递推公式两边同取倒数：3a n12a n1 a n1a n13an2a n1即121，在考虑结构“1”：11211111a n133an a n133an3a n即数列11是公比为1的等比数列a n3思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用b n表示：b n1，则只要证明b n是等1a n比数列即可，那么需要对于b n 的条件（首项，递推公式），因此用b n 将a n 表示出来，并代换到a n 的递推公式中，从而可从 b n 的递推公式出发，进行证明1 1 ，则a n1 解：令b n b n 1a n3递推公式变成：1 b n1 1 3 b n111b n11b n312b n1b n33b n1 3b n11b n3b n 是公比为1的等比数列。

即数列1 1为等比数列3a n小炼有话说：1）结构法：在结构的过程中，要找寻所证数列形式的亮点，并以此为打破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住处证数列有一个“倒数”的特色，从而对递推公式作取倒数的变换。

等差、等比数列证明(补差1)

等差等比数列的证明例举

等差等比数列的证明ppt课件

证明或判断等差(等比)数列的四种方法

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列定义及公式

等差数列与等比数列的证明方法

(完整版)等差、等比数列的判断和证明

等差数列的推理与证明

数列—等差、等比的证明

等差、等比数列证明的几种情况（最终5篇）

高考数学二轮复习第二编专题四数列第1讲等差数列与等比数列课件文

专题三 第1讲 等差数列、等比数列

高三数学一轮复习等差等比数列讲义

第2讲数列篇(教师版)

52证明等差等比数列高中数学讲义微专题Word版

专题三第1讲等差数列、等比数列