复变函数-第2章
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df = f ′( z0 ) = lim f ( z0 + Δz ) − f ( z0 ) = lim Δf dz Δz →0 Δz →0 Δz Δz
差商
存在则称 f (z )在 z0可导, 该极限称为f (z ) 在 z0 的导数, 记为 f ′( z0 ). 这里 Δz = Δx + iΔy 是个复数, 以任意方式趋于0. 高阶无穷小
f (z ) 在 z0 点可微 f (z ) 在 z0 点解析 f (z ) 在 z0的 某邻域解析
★ 可微是局部性质, 解析是整体性质. 函数在闭集D上解析, 是指它在包含D的某个开集上解析. 定义 2.1.3 若 f(z)在整个复平面解析, 则称 f(z)为整函数. 如关于z的多项式
★ 问题: 如何判断一个复变函数是解析函数? (1) 根据定义. (2) 寻找较为容易判断的等价条件. 思路: 依靠熟悉的实变函数中已有的理论.
u ( x, y ) = x 2 + y , v ( x, y ) = y 2 − x,
∂u ⎞ ⎟ ∂y ⎟ = ⎛ 2 x 1 ⎞ C-R方程只在直线x=y上满足. ⎜ ⎜ −1 2 y ⎟ ⎟ ∂v ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ f(z)只可能在直线x=y上可微. ∂x ⎠ f ( z ) 在 z0 的 某邻域解析
⎧ xy , x2 + y2 ≠ 0 ⎪ 2 ⎨ x + y2 ⎪ 0, x 2 + y 2 = 0 ⎩
可微
连续可微 (偏导存在且连续)
反例:
1 ⎧ 2 ( x + y 2 ) sin , x2 + y 2 ≠ 0 ⎪ x2 + y2 ⎨ ⎪ 0, x 2 + y 2 = 0 ⎩
第二章
§2.1 解析函数
d n z = nz n −1. 例 2.1.2 证明对任意的正整数n, 有 dz
证明
f ( z + Δz ) − f ( z ) Δz
( z + Δz ) n − z n = Δz
nz n −1Δz + n ( n2−1) z n − 2 (Δz ) 2 + L + (Δz ) n = Δz
= nz n −1 + Δz ( n ( n2−1) z n − 2 + L + (Δz ) n − 2 )
f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), u ( x, y ), v( x, y ) ∈ R
★ 思考: f ( z ) = z = x + iy 在复平面处处解析.
f ( z ) = z = x − iy 在复平面处处不解析.
★ 问题: 解析函数的实部和虚部应该满足什么条件?
( f ( z ) ± g ( z ))′ = f ′( z ) ± g ′( z ), (cf ( z ))′ = cf ′( z ), ( f ( z ) g ( z ))′ = f ′( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′( z ),
f ( z ) ′ f ′( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′( z ) ( ) = , g ( z) ≠ 0 2 g ( z) ( g ( z ))
1. 解析函数的概念
解析函数
源自文库
f ( z ) = u ( x, y ) + i v ( x, y )
由 z = x + iy 得 x =
z+z z−z , y= 2 2i
因此 f(z) 是关于 z 和 z 的复变函数. 直观地说，解析函数是与 z 无关的复变函数.
定义2.1.1 设 f (z ) 为定义在 z0 的邻域内的复函数. 若极限 微商
(2) 若 Δz 沿虚轴趋于0, 即 Δz = iΔy,
u ( x0 , y0 + Δy ) + iv( x0 , y0 + Δy ) − u ( x0 , y0 ) − iv( x0 , y0 ) Δy →0 iΔy u ( x0 , y0 + Δy ) − u ( x0 , y0 ) v( x0 , y0 + Δy ) − v( x0 , y0 ) = lim + i lim Δy →0 Δy → 0 iΔy iΔy ∂u ∂v = −i ( x0 , y0 ) + ( x0 , y0 ) ∂y ∂y ∂u ∂v ∂u ∂v = , =− . 由(1) ∂x ∂y ∂y ∂x ∂u ∂v f ′( z0 ) = ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) ∂x ∂x f ′( z0 ) = lim ⎛ ∂u ⎜ 回忆Jacobi矩阵 ⎜ ∂x ⎜ ∂v ⎜ ∂x ⎝ ∂u ⎞ ⎟ ∂y ⎟ ∂v ⎟ ∂y ⎟ ⎠
定理 (可微的充要条件) 函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在点 z = x + iy 可微的充要条件: (1) u ( x, y ), v( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微; (2) u ( x, y ), v( x, y ) 在点 ( x, y ) 满足C-R方程. 且 f ′( z ) = u x + iv x = v y − iu y = u x − iu y = v y + iv x .
但是,
| ΔxΔy | f (0 + Δz ) − f (0) = Δz Δx + iΔy
取 Δy = kΔx
Δx → 0 +
|k| 1 + ik
差商极限不存在, 故不可微. ★ 想一想问题出在哪里? 注意到, 实函数 u ( x, y ) = | xy | 在(0,0)不可微!
反证, 若实函数 u ( x, y ) = | xy | 在(0,0)可微, 则
若g(z)在点z可微, f(w)在点g(z)可微, 则有链式法则:
df ( g ( z )) = f ′( g ( z )) g ′( z ). dz
定义 2.1.2 设 f(z)为定义在开集G内的复变函数. 若 f (z ) 在 G 的每个点都可微, 称 f (z ) 在 G 内解析; 对 z0 ∈ G , 若 f (z ) 在 z0 的某个邻域内解析, 称 f (z ) 在 z0解析. 若 f (z ) 在 z0 不解析, 但在 f (z )的任一邻域内总有 f (z )的解析 点, 则称 z0 为 f (z ) 的奇点.
∀ z0 ∈ C,
f ( z0 + Δz ) − f ( z0 ) z0 + Δz − z0 Δz = = Δz Δz Δz Δx − iΔy ⎧ 1, Δy = 0 = →⎨ 差商的极限不存在！ Δx + iΔy ⎩− 1, Δx = 0
所以, 与 z 有关的函数不可微. 比如, x, y作为一元或者二元实函数都是可微的, z+z z−z 但作为复函数则不可微! x= ,y= 2 2i
(1) 若 Δz 沿实轴趋于0, 即 Δz = Δx,
f ′( z0 ) = lim u ( x0 + Δx, y0 ) + iv( x0 + Δx, y0 ) − u ( x0 , y0 ) − iv( x0 , y0 ) Δx →0 Δx u ( x0 + Δx, y0 ) − u ( x0 , y0 ) v( x0 + Δx, y0 ) − v( x0 , y0 ) = lim + i lim Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx ∂u ∂v = ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) ∂x ∂x
称 f ′( z0 )Δz 为 f ( z ) 在 z0 的微分, 记为 df . 也称 f ( z ) 在 z0 可微, 即 df = f ′( z0 )Δz = f ′( z0 )dz.
f ( z ) 在 z0 连续
f ( z ) 在 z0 可导
f ( z ) 在 z0 可微
例 2.1.1 证明 f ( z ) = z 处处连续但处处不可微. 证明
(3) 可微的几何意义: 曲面 z = f ( x, y ) 在其上一点 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 处存在不平行 于z轴的切平面的充要条件是 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 可微. 切平面方程: z − z0 = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) 法向量: ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),−1) ★ 二元函数在一点处连续, 可(偏)导, 可微之间的关系: 连续 偏导存在
2. 柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程
若函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在 z0 = x0 + iy0 可导, 则
f ( z0 + Δz ) − f ( z0 ) Δz → 0 Δz 这里 Δz = Δx + iΔy 以任意方式趋于0. f ′( z0 ) = lim
主对角相等 副对角相反 与u和v的位置有关 柯西-黎曼 (C-R)方程
定理 2.1.2 函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在点 z0 可微的一个 必要条件是C-R方程在点 z0 成立; 若 f ( z )在开集 G 内解析, 则C-R方程在 G 内每点成立. 例 2.1.3 证明函数 f ( z ) = ( x 2 + y ) + i ( y 2 − x) 在复平面上任一 点都不解析. 证明:
∂f ∂u ∂v ∂f ∂u ∂v = +i , = +i , ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y
由C-R方程可得,
∂f ∂f = −i , ∂x ∂y z+z z−z 1 ∂f ∂f ∂f x= ,y= , ⇒ = ( +i ) = 0 2 ∂x ∂y 2 2i ∂z
由此说明，解析函数是与 z 无关的复变函数.
★ 回忆数学分析中关于实变函数在一点处可微
一元函数:
f (x) 可导
f (x) 可微
Δf = f ′( x)Δx + o(Δx), df = f ′( x)dx
f ′( x) = lim
Δf Δx → 0 Δx
二元函数 f ( x, y ) 可微: Δf = f ( x + Δx, y + Δy ) − f ( x, y ) 主要线 性部分
⎛ ∂u ⎜ ⇒ ⎜ ∂x ⎜ ∂v ⎜ ⎝ ∂x f ( z ) 在 z0 点解析
因此, f(z)处处不解析.
★ 回头看: f ( z ) = z = x + iy 在复平面处处解析.
f ( z ) = z = x − iy 在复平面处处不解析.
★ 再看看C-R方程: 设解析函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ),
所以
d n z = lim [nz n −1 + Δz ( n ( n2−1) z n − 2 + L + (Δz ) n − 2 )] = nz n −1. Δz →0 dz
★ 复函数求导的运算法则与实函数一致. 定理 2.1.1 设 f(z)和 g(z)在点z都是可微的, c是任意常数, 则有
主要线性部分 高阶无穷小
= AΔx + BΔy + o( ρ ), ρ = Δx 2 + Δy 2
df = AΔx + BΔy = Adx + Bdy = f x dx + f y dy
(1) 可微的必要条件: 偏导数存在 A = f x ( x0 , y0 ), B = f y ( x0 , y0 ) (2) 可微的充分条件: 偏导数存在且连续
因此定义中极限存在要求与 Δz → 0 的方式无关. 设 f (z ) 在 z0 可导, 于是
Δf lim = f ′( z0 ) Δz →0 Δz
主要线性部分
Δf ⇔ = f ′( z0 ) + η , lim η = 0. Δz →0 Δz
⇔ Δf = f ′( z0 )Δz + ηΔz ,
取 f=z
★ 问题: 满足C-R方程是可微的充分条件吗? 反例:
f ( z ) = | xy | 在 z = 0 满足C-R方程, 但不可微.
证明: u ( x, y ) = | xy | , v( x, y ) = 0.
u (Δx,0) − u (0,0) u x (0,0) = lim = 0 = v y (0,0), Δx → 0 Δx u (0, Δy ) − u (0,0) = lim u y (0,0) = 0 = −v x (0,0). Δy →0 Δy
2 2 Δu = u x dx + u y dy + o( ρ ) = du + o( ρ ), ρ = Δx + Δy
但是,
Δu − du
ρ
=
( 0, 0 )
| ΔxΔy | Δx 2 + Δy 2
取 Δy = kΔx
Δx → 0 +
k 1+ k 2
极限不存在, 故不可微.
★ 回忆二元函数可(偏)导, 可微, 连续可微的关系: 偏导存在 可微 偏导存在且连续
差商
存在则称 f (z )在 z0可导, 该极限称为f (z ) 在 z0 的导数, 记为 f ′( z0 ). 这里 Δz = Δx + iΔy 是个复数, 以任意方式趋于0. 高阶无穷小
f (z ) 在 z0 点可微 f (z ) 在 z0 点解析 f (z ) 在 z0的 某邻域解析
★ 可微是局部性质, 解析是整体性质. 函数在闭集D上解析, 是指它在包含D的某个开集上解析. 定义 2.1.3 若 f(z)在整个复平面解析, 则称 f(z)为整函数. 如关于z的多项式
★ 问题: 如何判断一个复变函数是解析函数? (1) 根据定义. (2) 寻找较为容易判断的等价条件. 思路: 依靠熟悉的实变函数中已有的理论.
u ( x, y ) = x 2 + y , v ( x, y ) = y 2 − x,
∂u ⎞ ⎟ ∂y ⎟ = ⎛ 2 x 1 ⎞ C-R方程只在直线x=y上满足. ⎜ ⎜ −1 2 y ⎟ ⎟ ∂v ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ f(z)只可能在直线x=y上可微. ∂x ⎠ f ( z ) 在 z0 的 某邻域解析
⎧ xy , x2 + y2 ≠ 0 ⎪ 2 ⎨ x + y2 ⎪ 0, x 2 + y 2 = 0 ⎩
可微
连续可微 (偏导存在且连续)
反例:
1 ⎧ 2 ( x + y 2 ) sin , x2 + y 2 ≠ 0 ⎪ x2 + y2 ⎨ ⎪ 0, x 2 + y 2 = 0 ⎩
第二章
§2.1 解析函数
d n z = nz n −1. 例 2.1.2 证明对任意的正整数n, 有 dz
证明
f ( z + Δz ) − f ( z ) Δz
( z + Δz ) n − z n = Δz
nz n −1Δz + n ( n2−1) z n − 2 (Δz ) 2 + L + (Δz ) n = Δz
= nz n −1 + Δz ( n ( n2−1) z n − 2 + L + (Δz ) n − 2 )
f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), u ( x, y ), v( x, y ) ∈ R
★ 思考: f ( z ) = z = x + iy 在复平面处处解析.
f ( z ) = z = x − iy 在复平面处处不解析.
★ 问题: 解析函数的实部和虚部应该满足什么条件?
( f ( z ) ± g ( z ))′ = f ′( z ) ± g ′( z ), (cf ( z ))′ = cf ′( z ), ( f ( z ) g ( z ))′ = f ′( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′( z ),
f ( z ) ′ f ′( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′( z ) ( ) = , g ( z) ≠ 0 2 g ( z) ( g ( z ))
1. 解析函数的概念
解析函数
源自文库
f ( z ) = u ( x, y ) + i v ( x, y )
由 z = x + iy 得 x =
z+z z−z , y= 2 2i
因此 f(z) 是关于 z 和 z 的复变函数. 直观地说，解析函数是与 z 无关的复变函数.
定义2.1.1 设 f (z ) 为定义在 z0 的邻域内的复函数. 若极限 微商
(2) 若 Δz 沿虚轴趋于0, 即 Δz = iΔy,
u ( x0 , y0 + Δy ) + iv( x0 , y0 + Δy ) − u ( x0 , y0 ) − iv( x0 , y0 ) Δy →0 iΔy u ( x0 , y0 + Δy ) − u ( x0 , y0 ) v( x0 , y0 + Δy ) − v( x0 , y0 ) = lim + i lim Δy →0 Δy → 0 iΔy iΔy ∂u ∂v = −i ( x0 , y0 ) + ( x0 , y0 ) ∂y ∂y ∂u ∂v ∂u ∂v = , =− . 由(1) ∂x ∂y ∂y ∂x ∂u ∂v f ′( z0 ) = ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) ∂x ∂x f ′( z0 ) = lim ⎛ ∂u ⎜ 回忆Jacobi矩阵 ⎜ ∂x ⎜ ∂v ⎜ ∂x ⎝ ∂u ⎞ ⎟ ∂y ⎟ ∂v ⎟ ∂y ⎟ ⎠
定理 (可微的充要条件) 函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在点 z = x + iy 可微的充要条件: (1) u ( x, y ), v( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微; (2) u ( x, y ), v( x, y ) 在点 ( x, y ) 满足C-R方程. 且 f ′( z ) = u x + iv x = v y − iu y = u x − iu y = v y + iv x .
但是,
| ΔxΔy | f (0 + Δz ) − f (0) = Δz Δx + iΔy
取 Δy = kΔx
Δx → 0 +
|k| 1 + ik
差商极限不存在, 故不可微. ★ 想一想问题出在哪里? 注意到, 实函数 u ( x, y ) = | xy | 在(0,0)不可微!
反证, 若实函数 u ( x, y ) = | xy | 在(0,0)可微, 则
若g(z)在点z可微, f(w)在点g(z)可微, 则有链式法则:
df ( g ( z )) = f ′( g ( z )) g ′( z ). dz
定义 2.1.2 设 f(z)为定义在开集G内的复变函数. 若 f (z ) 在 G 的每个点都可微, 称 f (z ) 在 G 内解析; 对 z0 ∈ G , 若 f (z ) 在 z0 的某个邻域内解析, 称 f (z ) 在 z0解析. 若 f (z ) 在 z0 不解析, 但在 f (z )的任一邻域内总有 f (z )的解析 点, 则称 z0 为 f (z ) 的奇点.
∀ z0 ∈ C,
f ( z0 + Δz ) − f ( z0 ) z0 + Δz − z0 Δz = = Δz Δz Δz Δx − iΔy ⎧ 1, Δy = 0 = →⎨ 差商的极限不存在！ Δx + iΔy ⎩− 1, Δx = 0
所以, 与 z 有关的函数不可微. 比如, x, y作为一元或者二元实函数都是可微的, z+z z−z 但作为复函数则不可微! x= ,y= 2 2i
(1) 若 Δz 沿实轴趋于0, 即 Δz = Δx,
f ′( z0 ) = lim u ( x0 + Δx, y0 ) + iv( x0 + Δx, y0 ) − u ( x0 , y0 ) − iv( x0 , y0 ) Δx →0 Δx u ( x0 + Δx, y0 ) − u ( x0 , y0 ) v( x0 + Δx, y0 ) − v( x0 , y0 ) = lim + i lim Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx ∂u ∂v = ( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) ∂x ∂x
称 f ′( z0 )Δz 为 f ( z ) 在 z0 的微分, 记为 df . 也称 f ( z ) 在 z0 可微, 即 df = f ′( z0 )Δz = f ′( z0 )dz.
f ( z ) 在 z0 连续
f ( z ) 在 z0 可导
f ( z ) 在 z0 可微
例 2.1.1 证明 f ( z ) = z 处处连续但处处不可微. 证明
(3) 可微的几何意义: 曲面 z = f ( x, y ) 在其上一点 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 处存在不平行 于z轴的切平面的充要条件是 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 可微. 切平面方程: z − z0 = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) 法向量: ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),−1) ★ 二元函数在一点处连续, 可(偏)导, 可微之间的关系: 连续 偏导存在
2. 柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程
若函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在 z0 = x0 + iy0 可导, 则
f ( z0 + Δz ) − f ( z0 ) Δz → 0 Δz 这里 Δz = Δx + iΔy 以任意方式趋于0. f ′( z0 ) = lim
主对角相等 副对角相反 与u和v的位置有关 柯西-黎曼 (C-R)方程
定理 2.1.2 函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在点 z0 可微的一个 必要条件是C-R方程在点 z0 成立; 若 f ( z )在开集 G 内解析, 则C-R方程在 G 内每点成立. 例 2.1.3 证明函数 f ( z ) = ( x 2 + y ) + i ( y 2 − x) 在复平面上任一 点都不解析. 证明:
∂f ∂u ∂v ∂f ∂u ∂v = +i , = +i , ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y
由C-R方程可得,
∂f ∂f = −i , ∂x ∂y z+z z−z 1 ∂f ∂f ∂f x= ,y= , ⇒ = ( +i ) = 0 2 ∂x ∂y 2 2i ∂z
由此说明，解析函数是与 z 无关的复变函数.
★ 回忆数学分析中关于实变函数在一点处可微
一元函数:
f (x) 可导
f (x) 可微
Δf = f ′( x)Δx + o(Δx), df = f ′( x)dx
f ′( x) = lim
Δf Δx → 0 Δx
二元函数 f ( x, y ) 可微: Δf = f ( x + Δx, y + Δy ) − f ( x, y ) 主要线 性部分
⎛ ∂u ⎜ ⇒ ⎜ ∂x ⎜ ∂v ⎜ ⎝ ∂x f ( z ) 在 z0 点解析
因此, f(z)处处不解析.
★ 回头看: f ( z ) = z = x + iy 在复平面处处解析.
f ( z ) = z = x − iy 在复平面处处不解析.
★ 再看看C-R方程: 设解析函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ),
所以
d n z = lim [nz n −1 + Δz ( n ( n2−1) z n − 2 + L + (Δz ) n − 2 )] = nz n −1. Δz →0 dz
★ 复函数求导的运算法则与实函数一致. 定理 2.1.1 设 f(z)和 g(z)在点z都是可微的, c是任意常数, 则有
主要线性部分 高阶无穷小
= AΔx + BΔy + o( ρ ), ρ = Δx 2 + Δy 2
df = AΔx + BΔy = Adx + Bdy = f x dx + f y dy
(1) 可微的必要条件: 偏导数存在 A = f x ( x0 , y0 ), B = f y ( x0 , y0 ) (2) 可微的充分条件: 偏导数存在且连续
因此定义中极限存在要求与 Δz → 0 的方式无关. 设 f (z ) 在 z0 可导, 于是
Δf lim = f ′( z0 ) Δz →0 Δz
主要线性部分
Δf ⇔ = f ′( z0 ) + η , lim η = 0. Δz →0 Δz
⇔ Δf = f ′( z0 )Δz + ηΔz ,
取 f=z
★ 问题: 满足C-R方程是可微的充分条件吗? 反例:
f ( z ) = | xy | 在 z = 0 满足C-R方程, 但不可微.
证明: u ( x, y ) = | xy | , v( x, y ) = 0.
u (Δx,0) − u (0,0) u x (0,0) = lim = 0 = v y (0,0), Δx → 0 Δx u (0, Δy ) − u (0,0) = lim u y (0,0) = 0 = −v x (0,0). Δy →0 Δy
2 2 Δu = u x dx + u y dy + o( ρ ) = du + o( ρ ), ρ = Δx + Δy
但是,
Δu − du
ρ
=
( 0, 0 )
| ΔxΔy | Δx 2 + Δy 2
取 Δy = kΔx
Δx → 0 +
k 1+ k 2
极限不存在, 故不可微.
★ 回忆二元函数可(偏)导, 可微, 连续可微的关系: 偏导存在 可微 偏导存在且连续