离散数学第1章(2)

3. 析取
定义1.1.4 设P 和Q是两个命题，由连接词∨将P、Q 联接成复 合命题，记作P∨Q ，读作“P 和Q的析取 ”，或“P 析取Q ”。
当且仅当P、Q同时为F 时， P∨Q为F。在其它情况下，P∨Q 的真值为T。连接词∨的真值如表1.1.3所示。
表 1.1.3 连接词“∨”的真值表
P
Q
P ∨Q
表 1.1.5 连接词“→”的真值表
P Q P →Q
11
1
10
0
01
1
00
1
4. 条件
在自然语言中，“如果…，则…”常常表示一 种因果关系，否则无意义。但对数理逻辑中的 条件命题P→Q来说，只要P、Q能够分别确定 真值， P→Q即成为命题。
在自然语言中，“如果…”为假时，则往往无 法判断“如果…，则…”的真假。但在数理逻 辑的条件命题中，该情况规定为“善意的推 定”，即当前提为F时，结论不论真假，条件 命题的真值都为T。
1.1 命题与连接词
1.1.1 命题的概念 1.1.2 逻辑连接词
1.1.1 命题的概念
定义1.1.1 命题是具有真假意义的陈述句。
命题总是具有一个“值”，称为真值。真 值只有“真”和“假”两种，“真”用符号T或 1表示，“假”用符号F或0表示。
只有能够确定或能够分辨其真假的陈述句 才能称为命题。一切没有判断内容的句子、无 所谓是非的句子，如感叹句、疑问句、祈使句 等不是命题。
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
连接词“∨” 表示自然语言中“或”、“或者”等逻辑抽象。
在自然语言中的“或”是多义的，可表示“排斥或”，也可表 示“可兼或”。析取连接词表示的是“可兼或”。
3. 析取
“排斥或”也是一种连接词，用P Q 表示。连 接词的真值如表1.1.4所示。
补充： 1.今天晚上我在家看电视或去剧场看戏 2.他可能是100米或400米赛跑的冠军 3.他昨天做了二十或三十道题
有的数学成果和方法，尤其是形式化的 公理方法，对具体事物进行抽象的形式 化研究。 数理逻辑的优点：表达简洁、推理方便、 概括性好、易于分析。
离散数学
第一章 命题逻辑
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第一章 命题逻辑
1.1 命题与连接词 1.2 命题公式及命题公式的翻译 1.3 等价公式及公式的分类 1.4 蕴含式与对偶式 1.5 其他连接词与最小连接词组 1.6 范式 1.7 公式的主范式 1.8 推理理论
一个原子命题通常用大写字母或带下标的大写字母表示，如 P一，个Q命，题…标或识Pi符，如Q果i ，表…示。确表定示的原命子题命，题称的为符命号题称常为量命。题如标果识命符题。 标识符只表示命题的位置标志，称为命题变元。命题变元不能确 定真值，只有当命题变元用一个特定命题取代时，命题变元才有 真值。
例如：用P和Q分别表示原子命题“我是中国人”和“我为中 国的进步感到骄傲”，那么复合命题“我是中国人而且我为中国 的进步感到骄傲”，则可表示为“P而且Q”。自然语言中“而且” 这样的连接词是可用逻辑符号表示的。
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
连接词“∧” 表示自然语言中“而且”、“并且”、“既…， 又…”等的逻辑抽象。
例：将下列命题符号化 1.猫吃鱼且2+2=4 2.张三虽聪明但不用功 3.今天下雨又刮风
解1：设P：猫吃鱼 Q：2+2=4
2: 设P:张三聪明 Q：张三用功
3: 设P:今天下雨 Q:今天刮风
P∧Q P ∧¬Q P∧Q
离散数学
离散数学
第一篇 数理逻辑
数理逻辑
逻辑学是一门研究人的思维形式和规律 的学科。
逻辑学可分为形式逻辑、辩证逻辑和数 理逻辑三大类。
数理逻辑是数学的一个分支，它用数学 的方法研究推理的过程。推理是从一种 判断推出另一种判断的思维过程。
数理逻辑
数学方法： 采用一套符号、公式表示体系，使用已
1.1.1 命题的概念
例1.1.1 判断下列各语句是否为命题。 (1). 神州七号的成功发射是中国航天业的又一个壮
举。 (2). 地震是地球各大板块相互挤压造成的。 (3). 北京举办了2008年奥林匹克运动会。 (4). 游客止步！ (5). 明天是否要下雨？ (6). 校园的景色真美！ (7). 如果功课不多，那么放学后我去打篮球。 (8). 我选修数学专业，或者我选修英语专业。 (9). x＋y＞5。
2. 合取
定义1.1.3 设P和Q是两个命题，由连接词∧将P、Q联接成复合 命题，记作P∧Q ，读作“P和Q的合取 ”，或“P合取Q ”。
当且仅当P、Q同时为T 时， P∧Q为T。在其它情况下，P∧Q的 真值为F。连接词∧的真值如表1.1.2所示。
表 1.1.2 连接词“∧”的真值表
P
Q P∧Q
1
1.1 命题与连接词
1.1.1 命题的概念 1.1.2 逻辑连接词
1.1.2 逻辑连接词
自然语言中，常使用“或”、“与”、“如果…，那么…”等 一些连接词。连接词是复合命题的重要组成部分，为了便于书写 和推理，必须对连接词作出明确规定和符号化。
下面介绍常用的五种连接词： 1. 否定 2. 合取 3. 析取 4. 条件 5. 双条件
1.1.1 命题的概念
有两点需要注意： ■ 命题是可分辨真假的陈述句，但 不一定必须知道它的真假。 ■ 悖论的陈述句不是命题，因为悖 论往往产生自相矛盾的结论。
1.1.1 命题的概念
命题分为原子命题和复合命题两种类型。复合命题是由原子 命题和连接词复合而成。判断一个命题是否为复合命题，其关键 是连接词是否出现。若出现，则是复合命题；若不出现，则是原 子命题。
1. 否定
定义1.1.2 设P是一个命题，P的否定是一个新的命题，记作 ¬P，读作“非P ”。连接词“¬”表示命题的否定。
若P为T，则¬P为F；若P为F，则¬P为T。命题P与其否定¬P
的关系如表1.1.1所示。
表 1.1.1 连接词“¬”的真值表
P ¬P
1
0
0
1
连接词“¬” 表示自然语言中“非”、“不”、“没有”的逻 辑抽象。
4. 条件
定义1.1.5 设P 和Q是两个命题，由连接词→将P、Q 联接成复合命
题，记作P →Q ，读作“如果P，那么Q ”，或“若P 则Q ”。在P →Q 中， P 称为前件，Q 称为后件。
当且仅当P 的真值为T，Q 的真值为F 时， P →Q 的真值为F，否则 P →Q 的真值为T。连接词→的真值如表1.1.5所示。