3-3 数学分析全套课件

x
lim cos x
x
y cos x
一、归结原则
二、单调有界定理 三、柯西收敛准则
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1.x x0 一、归结原则
定理 3.8
设 f 在 U ( x0,) 有定义 .
lim f ( x) 存在
x x0
的充要条件是: 对于在 U ( x0,) 内以 x0 为极限的
任何数列
{xn} ,
极限
x x0
> 0, > 0,当x1 , x2 U o ( x0 , )时，| f ( x1 ) f ( x2 ) | .
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课堂练习
若f 为周期函数，且 lim f ( x) 0.求证f ( x) 0 x
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例 设 f 为定义在U o(x0 )上的单调, 则 f (x0 0), f (x0 0)
存在。
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三、柯西收敛准则
这里 仅给出 lim f ( x) 的柯西收敛准则。 x x0
定理3.11 设 f (x) 在 x0 的某个邻域 U 0 ( x0 , ' ) 上
有定义, 则极限 lim f ( x) 存在的充要条件是: 任 x x0
lim f ( x) 存在
x x0
的充要条件是: 对于在 U ( x0,) 内以 x0 为极限的
任何数列
{xn} ,
极限 lim
n
f ( xn )
都存在,
并且相等.
单调有界定理
定理 3.10
设
f
为定义在U
(
x0
)上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x) 存在 .
x
柯西收敛准则
x0
lim f ( x) 存在
x x0
的
{
xn
}
U
0
(
x0
,
),
xn
x0 ,
必有 lim n
f ( xn )
A.
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二、单调有界定理
定理 3.10
设
f
为定义在U
(
x0
)上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x) 存在 . x x0
定理
3.10′设
f
为定义在
U
o
(
x0
)
上的单调有界函数,
则左极限 lim f ( x) 存在 . x x0
给 > 0, 存在正数 ( / ) 对于任意 x1, x2 U0( x0 , ), 均有
| f ( x1) f ( x2 ) | .
例 证明 lim sin 1 , lim cos x 都不存在.
x0 x x
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归结原则
本次课内容
定理 3.8
设 f 在 U ( x0,) 有定义 .
上次课内容 函数极限的基本性质 惟一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性 夹逼原理
四则运算法则
(1) lim [ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x) ;
x x0
x x0
x x0
(2) lim f ( x)g( x) lim f ( x) lim g( x) ;
0.5 1 x
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-1
2.x x0
定理 3.9 设 f ( x) 在 x0的某空心右邻域 U( x0 )有定
义, 则
lim
x x0
f (x)
A
任给
{
xn
}
U
o
(
x0
),
必有
lim
n
f
( xn )
A.
xn
x0 ,
设 f ( x)在 x0
U
(
x0
,
)
义. 那么 lim f ( x) A 的充要条件是任给严格递减
lim
n
f
( xn )
都存在,
并且相等.
注 归结原则一般用来证明函数极限不存在
例1 证明 lim sin 1 , lim cos x 都不存在.
x0 x x
y
证明 lim f (x) 不存在要点
1
xx0
找两 x0 的点列{xn}与{yn}使 { f (xn )}与{ f ( yn )}趋于不同值
-1 -0.50
f (x)
(3) lim
xx0 g( x)
lim f ( x)
x x0
lim g( x)
x x0
.
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§3 函数极限存在的条件
lim f ( x)
x x0
lim f ( x)
x
lim f ( x)
x x0
lim f ( x)
x
lim f ( x) lixmx0f ( x)