湖南大学高等数学考试试题及答案

湖南大学《高等数学》考试试卷

一．填空题：（本题总分20分，每小题4分）

1．设2()5f x ax bx =++，且(1)()83f x f x x +-=+，则 =a ，=b ； 2．函数)

1(arcsin )(+=

x x x

x f 的连续区间为 ；

3．方程x x y cos +=''的通解为 ；

4．下列函数中，当0→x 时，与无穷小量x 相比，是高阶无穷小量的是 ；

(A). x sin (B). 2-x (C).

x (D). x cos 1-

5．已知xy y +=1，则='y 。 二．计算题：（本题总分49分，每小题7分） 1．计算下列极限：

(1). x x x e e x x x sin 2lim 0----→ (2). 503020)

12()23()32(lim ++-∞→x x x x 2．计算下列导数或微分：

(1). x x y sin 2

1

-=，求dy dx . (2). x e y arctan =，求dy .

3．计算下列（不）定积分：

(1). ⎰xdx e x sin (2).

dx x

⎰

1

1

(3).

⎰

-0

2

1

2

1dx x

x

三．解答题：（本题总分16分，每小题8分） 1．求微分方程y x y y x '-'=''的通解。

2．求由抛物线342-+-=x x y 及其在)3,0(-，)0,3(处的切线所围成的平面图形的面积。

四．应用题：（本题10分）

设一质点在直线上运动，它的加速度与速度平方成正比（设比例常数为k ），但与速度方向相反。设运动开始时，质点的速度为0v ，求质点速度v 与时间t 的函数关系。 五．证明题：（本题5分） 设0>>b a ，证明：

b

b

a b a a b a -<

<-ln 。 标准答案

一．填空题：（本题总分20分，每小题4分） 1．4，1-； 2．]1,0()0,1( -；

3．213

cos 6

C x C x x y ++-=； 4．(D)；

5．x

y

-1。

二．计算题：（本题总分49分，每小题7分）

1． (1). 原式x e e x x x cos 12lim 0--+=-→（3分）x

e e x x x sin lim 0-→-=（5分）x e e x x x cos lim 0-→+=2=；

（7分） (2). 原式5030

20122332lim ⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

+⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=∞

→x x x x （4分）503020232⋅=（6分）30

23⎪⎭

⎫

⎝⎛=。

（7分） 2． (1). 由

x dx dy cos 2

11-=，（4分）则dy dx x cos 22

-=

；（7分） (2). dy ()

x d e x arctan arctan = x d x

e x

+=11

arctan

dx x x e x

2111arctan +=（6分） dx x x e x

)

1(2arctan

+=

。（7分）

3． (1). 原式⎰=x xde sin ⎰-=xdx e x e x x cos sin ⎰-=x x xde x e cos sin

⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ，

（5分） 所以 ⎰xdx e x sin ()C x x e x

+-=

cos sin 2

1；

（7分）

(2). 原式1

2x =（5分）2=；（7分）

(3). 原式⎰--=2

1

022)1(11

21x d x

（4分）=21

021x -（6分）=123-。（7分）

三．解答题：（本题总分16分，每小题8分）

1． 解：令y p '=，则y p ''='，代入原方程得 …………3分 )1(x p xp p p x -=-=' …………4分 分离变量得

dx x

x

p dp -=1 …………5分 两边积分得 1ln ln ln C x x p +-= 即 1C e x p y x ⋅⋅=='- …………7分 所以原方程的通解为 ⎰⎰---==x x xde C dx xe C y 11)1(12+-=-x e C C x 。8分

2．解：先求得两条切线为 34-=x y 和 62+-=x y ，两切线交点为 ⎪⎭

⎫

⎝⎛3,23 ……3分

⎰⎰+-++-++-+-=2

30

3

2

322

)3462()3434(dx x x x dx x x x A …………6分

499333

3

2

32

3

230

3=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+=

x x x x 。 …………8分

四．应用题：（本题10分）

解：依题意得 2kv v -='，00v v t == …………3分

分离变量得

kdt v

dv -=2

，两边积分得通解为 kt C v +=1

， ………7分 又00v v t ==，故0

1

v C =

。 故解此微分方程得 t kv v v 001+=。 ……10分

五．证明题：（本题5分）

证明：设x x f ln )(=，则)(x f 在],[a b 上连续，在),(a b 内可导，由拉格朗日中值定理

有，存在),(a b ∈ξ，使 )(1

ln ln ln

b a b a b a -=-=ξ

…………3分