湖南大学高等数学考试试题及答案

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高等数学试题及参考答案

高等数学试题及参考答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B2. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值。

A. 0B. 1C. 2D. \(\infty\)答案：B3. 以下哪个级数是收敛的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)答案：A4. 函数 \(y = e^x\) 的导数是？A. \(e^x\)B. \(-e^x\)C. \(\ln(e)\)D. \(\frac{1}{e^x}\)答案：A5. 计算定积分 \(\int_0^1 x^2 dx\) 的值。

A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：A二、填空题（每题6分，共30分）1. 函数 \(y = \ln(x)\) 的反函数是 \(y = \boxed{e^x}\)。

2. 函数 \(y = x^2 + 2x + 1\) 的最小值是 \(\boxed{0}\)。

3. 函数 \(y = \sin(x)\) 的周期是 \(\boxed{2\pi}\)。

4. 函数 \(y = \frac{1}{x}\) 的不定积分是 \(\boxed{\ln|x| + C}\)。

5. 函数 \(y = \cos(x)\) 的导数是 \(\boxed{-\sin(x)}\)。

(完整版)湖南大学线性代数期末试卷及答案,推荐文档

（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。
0 2 2
30.设矩阵
A=
2
3
4
的全部特征值为
1，1
和-8.求正交矩阵
T
和对角矩阵
D，使
T-
2 4 3
1AT=D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2,x3)=
x12
2x
2 2
3x
2 3
4x1x2
4x1x3
4x 2 x 3
，
并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 32.设方阵 A 满足 A3=0，试证明 E-A 可逆，且（E-A）-1=E+A+A2. 33.设 η0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解
0 0
2
0 0 13
1
2
D. 0
0 1
0 0
3
0 0 1
3 1 2
3.设矩阵 A= 1
0 1 ，A*是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于（1，2）的元素是（
）
2 1 4
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（）
A. A =0
xx12
y1
2y2 y2 y3
，
y3
x3
x3
y3
1 2 0
因其系数矩阵 C= 0 1 1 可逆，故此线性变换满秩。
0 0 1
经此变换即得 f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .
四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）

湖南大学高等数学A2试题及答案

湖南⼤学⾼等数学A2试题及答案诚信应考,考试作弊将带来严重后果！湖南⼤学期中考试试卷课程名称：⾼等数学A （2）；课程编码： 10015 试卷编号：；考试时间：120分钟题号⼀⼆三四五六七⼋九⼗总分应得分 15 15 40 16 14 100 实得分签名⼀. 填空题（每⼩题3分，共15分）1.⽅程22222440x y z yz ++--=所表⽰的⼆次曲⾯是 .2. 若向量375472+⊥--⊥-(a b)(a b),(a b)(a b),则 (,)a b = . 3. 曲线22222z x y x y y=++=在点(1,1,2)的切线的参数⽅程为 . 4. 设22u xy z =-，则u 在点()2,1,1-处⽅向导数的最⼤值为 . 5. 函数2 1)(+=x x f 展开成)1(-x 幂级数，则展开式中3)1(-x 的系数是 . ⼆. 选择题（每⼩题3分，共15分） 1. 设有以下命题：①若2121()n n n uu ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.②若1nn u∞=∑收敛，则10001n n u∞+=∑收敛. ③若1lim 1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.④若∑∞=+1)(n n nv u收敛，则∑∑∞=∞=11,n n n n v u 都收敛.则以上命题中正确的是（）(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D) ①④ 2. 直线z y x =-=+222与?=++=++02012z y y x 之间的关系是( ) (A) 重合 (B) 相交 (C) 异⾯ (D) 平⾏3. 直线:326x y zL ==绕z 轴旋转⽽产⽣的旋转曲⾯⽅程为（） (A) 2221436()z x y =- (B) 2221336()z x y =+ (C) 2221436()x z y =- (D) 2221436()x z y =+4. 设幂级数∑∞=1n nn x a 与∑∞=1n nn x b 的收敛半经分别为3135与，则幂级数∑∞=122n n nn x b a 的收敛半经为（）(A) 5 (B)31 (C) 35(D) 15 5. 设),(y x z z =由⽅程0),(=x z x y f 确定, 其中f 可微, 且0x f '≠,则yzy x z x ??+??=( ) (A) x (B) x - (C) z (D) z - 三、解答下列各题（每⼩题8分，共40分）1. (8分) 设222222221()cos , 0;(,)0, 0.x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 讨论),(y x f 在(0,0)处（1）偏导数是否存在;（2）偏导数是否连续; (3)是否可微..2. (8分) 判断两直线L 1：11112x y z +-==；L 2：12134x y z +-==是否在同⼀平⾯内?若在同⼀平⾯内, 则求两直线的交点; 若不是在同⼀平⾯内, 则求两直线之间的距离.3. (8分) 设 0sin (1,2,...)n n a x x dx n π==?，试判别级数∑∞=13n n na 敛散性.4. (8分) 设),(y x u u =具有⼆阶连续偏导数，试适当选取b a ,的值, 使⽅程2222260u u ux x y y -++=?经过变换by x ay x +=+=ηξ,后化为⽅程02=ηξu.5. (8分) 求函数2u xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最⼤值和最⼩值. .四、证明下列各题（每⼩题8分，共16分）1. 从椭球⾯外的⼀点作椭球⾯的⼀切可能的切线, 证明全部切点在同⼀平⾯上.2. 已知,a b 为两个⾮零且不共线的向量.令λ=+c a b ,λ是实数, 试证: 使得c 最⼩的向量c 垂直于a .五、（14分)设∑∞=--=1113)(n n n xn x f ，（1）证明)(x f 在)31,31(-内连续; （2）计算?810)(dx x f .⼀. 填空题（每⼩题3分，共15分）: 1.椭圆柱⾯ 2. 33. 1,1,22x y t z t ==+=+4. 2 6.5. 181-⼆. 选择题（每⼩题3分，共15分）: 1. B 2. D 3. B 4. A 5. C 三、解答下列各题（每⼩题8分，共40分）1. 解：(1) 2001cos0(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x x xf x f f xx→?→?-??-===??同理可得0)0,0(=y f ，因此，),(y x f 在(0,0)处偏导数存在. 2分（2）2222222222112cos sin , 0;(0,0)0, 0.x x x x y x y x y x y f x y ?++≠?'+++=??+=?当(,)x y 沿直线0y =趋向(0,0)时，有0011lim (0,0)lim2cossin x x x y x f x x x x→→='=+，不存在，故(,)x f x y '在(0,0)处不连续. 同理可得, (,)y f x y '在(0,0)处不连续. 5分 (3) 因为0 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)limlimx y f x y f f x f yz dzρρρρ→→''+?+?--?-??-=22221[]cos 1lim cos0x y x y ρρρρρ→→?+??+?===. 因此,函数),(y x f 在(0,0)处可微．8分2. 解1: 直线L 1与L 2的⽅向向量分别为12{1,1,2},{1,3,4}s s ==, 且分别过(1,0,1),(1,1,2)P Q -- 1分从⽽{1,1,1},=-PQ 所以12112()13420111==≠-s s PQ , 3分故直线L 1与L 2为异⾯直线. 4分过L 1作平⾏于直线L 2的平⾯π, 其法向量可取为121122().134=?==-+-i j kn s s i j k所以平⾯π的⽅程为(1)(1)0x y z ++--=, 即20x y z +-+=. 6分⼜因点(0,1,2)-在直线L 2上,故两直线L 1与L 2之间的距离即为点(0,1,2)-到平⾯π的距离, 故所求的距离为: 2221223.311(1)d --+==++- 8分解2: 直线L 1与L 2的⽅向向量分别为12{1,1,2},{1,3,4}s s ==, 且分别过(1,0,1),(1,1,2)P Q -- 1分从⽽{1,1,1},=-PQ 所以12112()13420111==≠-s s PQ , 3分故直线L 1与L 2为异⾯直线. 4分过L 1作平⾏于直线L 2的平⾯π, 其法向量可取121122().134=?==-+-i j kn s s i j k所以平⾯π的⽅程为(1)(1)0x y z ++--=, 即20x y z +-+=. 6分⼜因点(1,0,1)A -和点(0,1,2)B -分别在直线L 1与L 2上, 故所求两直线的距离为:22211111(1)3.311(1)d prj ?-?+?-==++-n AB 8分 3. 解：令t n x -=π, 则??-=-=πππππn n n n dt t t dt t n dt t t n a 0sin sin sin )(,从⽽),2,1(,sin 2sin 220 0==?==n n tdt n n dt t n a n n πππππ,于是∑∑∞=∞==12133n n n n n n a π. 4分∵2112(1)31lim lim 133n n n n n nu n u n ++→∞→∞+=?=< ∴由⽐值判别法得级数13nnn a ∞=∑收敛 8分4.解：ηξ??+??=??u u x u ，ηξ??+??=??u b u a y u ， 2分 22222222ηηξξ??++??=??u u u x u ，222222)(ηηξξ+++??=uu b a u a y x u ， 2222222222ηηξξ??++??=??u b u ab u a y u ， 5分于是，原⽅程化为：2222222(6)(212)(6)0u u u a a ab a b b b ξξηη+-+++-++-=? 6分令2260,60,2120a a b b ab a b +-=+-=++-≠, 7分解得当23a b =??=-?或32a b =-??=?时，原⽅程化为：02=ηξu． 8分5. 解：引⼊拉格朗⽇函数222(,,,)2(10)L x y z xy yz x y z λλ=++++-， 1分为求(,,,)L x y z λ的驻点，解如下⽅程组22220 220 220 100Ly x x L x z y yL y z z L x y z zλλλ??=+==++==+=?=++-=? 3分从前三个式中消去λ可得驻点(,,)x y z 应满⾜222 2522x z y x z yx y x y z =?+==??=?代⼊第四个式⼦即可求得四个驻点1234(1,5,2),(1,5,2),(1,5,2),(1,5,2),P P P P =-==---=-- 6分代⼊计算得1234()55,()55,()55,()5 5.u P u P u P u P =-===-从⽽知在1P 与4P 两点处u 取得最⼩值55-，在2P 与3P 两点处u 取得最⼤值55.即函数2u xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最⼤值是55，最⼩值是55-. 8分四、证明下列各题（每⼩题8分，共16分）1. 证明：设椭球⾯的∑的⽅程为2222221x y z a b c++=. 1分椭球⾯外⼀点设为222000000222(,,),1x y z P x y z a b c++>，由P 向∑作切平⾯，设切点为(,,)Q x y z ，因曲⾯∑过点Q 的切平⾯⽅程为2221xX yY zZa b c++=. 4分令000(,,)(,,)X Y Z x y z =代⼊上式得0002221(*) x y z x y z a b c ++= 6分这表明切点Q 位于同⼀平⾯（*）上.因切点和的连线就是从向椭球⾯所作的切线，因此所有切点位于同⼀平⾯（*）上. 8分2.证明: 因为2222222()()()2()()λλλλλ??=+?+=+?+=++-a b a b c a b a b a a b b a b a a2分故当2λ?=-a b a时, c 最⼩, 222min ()?=-a b c b a此时, 2λ?=+=-+a b c a a b a, 5分因为22()()=-+?=-+=-+=a b a b c a a b a a a b a a b a b 0aa, 7分所以c 最⼩的向量c 垂直于a . 8分五. 证明（1）∵11lim ||lim 33n n n na n a n +→∞→∞+=?=, ∴级数∑∞=--1113n n n x n 收敛半径31=R 2分⼜31±=x 时，级数1n n ∞=±∑显然发散, 故幂级数∑∞=--113n n n x n 收敛域为)31,31(- 4分幂级数∑∞=--1113n n n x n 的和函数)(x f 在)31,31(-内连续. 6分（2）⼜由∑∑?∑?∞=∞=-∞=--===111111)3(3133)(n n n nn xn n xn x x dx xn dx x fx x x x 3131331-=-=)3131(<<-x 9分那么 2)311()31()(xx x x f -='-= 即求得 2111)31(13)(x x n x f n n n -=-∞=-∑)3131(<<-x 11分 dx x dx x f ?-=8102810)31(1)(?---=812)31()31(131x d x 5131131810=-=x . 14分。

湖南大学高数A试题期末试卷

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！湖南湖南大学课程考试试卷；课程编码：试卷编号：A；考试时间：120分钟,则2.2()d f x x x C =+⎰，则2(1)d xf x x -=⎰【】(A)222(1)x C -+(B)222(1)x C --+(C)221(1)2x C -+(D)221(1)2x C --+3.设函数()f x 的导数()f x '如右图所示，由此，函数()f x 的图形可能是【】4.当0→x 时,ln(1)1x e x +--与n x 是同阶无穷小,则n =【】(A)1(B)2(C)3(D)45.设[0,1]f C ∈且()0f x ≥，记110()d ,I f x x =⎰220(sin )d ,I f x x π=⎰430(tan )d ,I f x x π=⎰则下列不等式成立的是【】(A)I I I <<(B)2I I I <<(C)231I I I <<(D)132I I I <<5分，共20分）.1)d t . ()x e x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)0,10y t t y +-=++=确定，求0d t y =.四、（11分）设2sin ,0,()ln(1), 0,ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处二阶导数存在？五、（7分）若()2(1),n f x nx x =-记[0,1]max{()}n x M f x ∈=(即()f x 在[0,1]的最大值),求lim n n M →∞.六、（8分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨的立方体，其表面积成正比.如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点后一位，不能使用计算器)七、（10分）过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L .试求（1）切线L 的方程；（2）Γ与L 所超过此线）湖南大学课程考试试卷湖南大学湖南大学课程考试试卷围平面图形D 的面积；（3）图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.八、（8分）利用定积分的换元法我们可以证明:若()f u 是连续函数，则有(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰.现要求将此结论推广到满足在[,]a b 上连续且关于2a bx +=为偶函数(即对[,]a b 中的任何x 有()()22a b a bf x f x ++-=+)的任意函数()f x 的情形,请叙述并证明你的结论.九、（6分）设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f b =,试证:至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()0()f f a ξξξ'+=-.。

2024年湖南省高考数学真题及参考答案

2024年湖南省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，，中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，，划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。

湖大常微分试卷(2007湖大版)

一．填空题（15分）1．连续可微函数(,)0x y μ≠是方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=的积分因子的充要条件是（），这里假设(,)M x y ,(,)N x y 在某矩形域内是,x y 的连续函数,且具有一阶连续的偏导数.(答案: ()()M N y xμμ∂∂=∂∂) 2．具有特解123,2cos ,3sinx y e y x y x -===的三阶常系数齐线性微分方程是( ).(答案: 0y y y y ''''''+++= )3．若函数)(),(21x y y x y y ==是微分方程()0y p x y '+=的两个不同特解,则用这两个解可将其通解表示为表示为( ).(答案: 12(()())y c y x y x =-)4.向量函数组22,2t t t t e e e e --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的郎斯基行列式为( ).(答案: 22 3 2t tt t t e e e e e ---或)5.微分方程1x y y e ''-=+的一个特解形式为( ). (答案: x axe b +)二.解下列方程(每小题7分共35分). 1. 52dy x y dx x y -+=-- (答案: 222104x y xy x y C +-++=) 2. 4y y x y x '-= (答案:421(ln )2y x x c =+ 及常数解0y =) 3. (2)0y y xe y y e '-+= (答案: 2y xe y C -=) 4. 2()0dy dy a b x dx dx +-= (答案: 2231223x ap bp y ap bp c ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩) 5. 2y y x x ''+=+ (答案: 212cos sin 2y c x c x x x =+++-)三.求解下列初值问题(8分).22ln ,(0)(0) 1.yy yy y y y y ''''⎧-=⎨'==⎩ (答案: ln tan y x =)四.求解下列方程组的通解(12分)1 214 34t x x e y y -'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(参考答案: 51221 1 12122t t t t x c e c e e y t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭) 五.解答题(每小题8分共24分).1. 设()f x 为连续函数,且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰,求()f x . (答案: 2124()cos sin 555x f x x x e =++)2. 方程22dy x y dx=-定义在矩形域:11,1R x y +≤≤上,试利用存在唯一性定理确定经过点(1,0)-的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在存在区间上解的误差估计.(答案: 存在区间为53,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,311()33x y x =+, 374211()36318942x x x x y x =---+,误差不超过124) 3. 设平面曲线上任一点的切线在y 轴上的截距等于在同点处法线在x 轴上的截距求该曲线方程.(答案: 22tan ln y arc x y c x++=)。

2024年湖南高考数学真题(含答案)

2024年湖南高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-2. 若1i 1zz =+-，则z =（）A. 1i-- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A. 2- B. 1- C. 1D. 24. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A. 3m -B. 3m -C.3m D. 3m5.（）A.B.C.D. 6. 已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D.[0,)+∞7. 当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 88. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >> B. (2)0.5P X ><的的C. (2)0.5P Y >> D. (2)0.8P Y ><10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数的字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；为（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.的一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2. 若1i 1zz =+-，则z =（）A. 1i -- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3. 已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A. 3m - B. 3m -C.3m D. 3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5. （）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6. 已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()221e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.7. 当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >>D. (2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4a =，4a =，解得2a =-，故A 正确.对于B24=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．【答案】（1）π3B = （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，的的从而sin C===又因为sin C B=，即1cos2B=，注意到()0,πB∈，所以π3B=.小问2详解】由（1）可得π3B=，cos C=，()0,πC∈，从而π4C=，ππ5ππ3412A=--=，而5πππ1sin sin sin12462A⎛⎫⎛⎫==+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==，从而,a b====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为211sin22ABCS ab C===，由已知ABC面积为323=+，所以c=16. 已知(0,3)A和33,2P⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>上两点.（1）求C的离心率;（2）若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程．【答案】（1）12（2）直线l的方程为3260x y--=或20x y-=.【的【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ===.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则d ==则将直线AP沿着与AP 单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =设()00,B x y22001129x y ⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443kx k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PABd = ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k xk k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而 //AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin DFE ∠=tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =，故tan DFE∠==x =AD =．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析（3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6 （2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>==++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。

湖南大学2012高等数学2期末考试试题

湖南大学数学与计量经济学院编
班级
姓名
学号
试求出 ( x0 , y0 );（2）现欲利用此山开展攀岩活动，为此需要在山脚处找一坡度最陡的位置作为攀岩的起点，即在上述等高线上找一点 M , 使得上述增长率最大，试确定该起点的位置.
14. 如图，设力场 F yi xj ( x y z )k ，(1)求一质点由 A 沿圆柱螺线 L1 到 B 时，力 F 所做的功，
球面的交线在 xOy 坐标面上的投影.
3. 设曲面是由 yOz 平面上的双曲线 z 2 4 y 2 2 绕 z 轴旋转而成，曲面上一点 M 处的切平面
与平面 x y z 0 平行，写出曲面和切平面的方程.
4. 设函数 z xf ( xy
2z y z z 和 . ) ，其中 f 二阶可微，求 , x x y x y 2z z 2 z 和 . , x x 2 x y
第 13，14 题每题 9 分，第 15 题 10 分，共 16 分.
13. 设有一座山的方程为 z 75 x 2 y 2 xy , M ( x0 , y0 ) 是山脚 z 0 （即等高线 x 2 y 2 xy 75
上）的点. （1）问 z 在点 M ( x0 , y0 ) 处沿什么方向的增长率最大，若记此增长量的最大值为 ( x0 , y0 ),
班级
姓名
学号
2011 级高等数学 A(2)期末考试试卷
第 1~12 题每题 6 分，共 72 分. 1．设 u 轴与三坐标轴正向构成相等的锐角，求空间向量 a (4, 3, 2) 在 u 轴上的投影.
2.
x 0, 一平面过球面 x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 的球心，并垂直于直线 l : ，求该平面与该 y z 0

湖南大学高数A1试题(期末试题答卷)

5
f (x)
5
f (x)
5
-5
f (x)
5
x
5
-5
f (x)
5
x
x
-5
5 -5
5 -5
x
x
5 -5
5
(A) -5
(B) -5
(C) -5
）) 4.当 x 0 时, ex ln(1 x) 1 与 xn 是同阶无穷小,则 n 【】
(D) -5
1 2 3 4 (A) (B) (C) (D)
六、（8 分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨大的立方体，其表面积成正比.如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点后一
体积的衰减率与其体积，问融化掉其位，不能使用计算器)
余
得分评分人得分评分人
: y x 七、（10 分）过点 (1, 5) 作曲线
0
20
装订
此结论推广到满足在 [a, b] 上连续且关于 x
a b [a, 为偶函数(即对 b] 中的任何
x
有
f(ab
x)
f(ab
x) )的任意函数
f (x) 的
线
2
2
2
（
答情形,请叙述并证明你的结论.
题
得分
不
评分人
得
超
九、（6 分）设 f (x) 在[a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f (b) 0 ,试证:至少存在一点 (a,b) , 使得 f ( ) f ( ) 0 .
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湖南大学高数A试题期末试卷

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！考试中心填写：(A)若lim ,lim ,,n n n n a A b B A B →∞→∞==<则对于充分大的自然数n ,有n n a b ≤(B)设(1,2,...)n n a b n <=,并且lim ,lim ,n n n n a A b B →∞→∞==则A B <(C)若lim n n a A →∞=,则1lim 1n n na a +→∞=(D)若lim n n a A →∞=,则对充分大的自然数n ,有n a A =2.2()d f x x x C =+⎰，则2(1)d xf x x -=⎰【】(A)222(1)x C -+(B)222(1)x C --+(C)221(1)2x C -+(D)221(1)2x C --+3.设函数()f x 的导数()f x '如右图所示，由此，函数()f x 的图形可能是【】4.当0→x 时,ln(1)1x e x +--与n x 是同阶无穷小,则n =【】(A)1(B)2(C)3(D)45.设[0,1]f C ∈且()0f x ≥，记110()d ,I f x x =⎰220(sin )d ,I f x x π=⎰430(tan )d ,I f x x π=⎰则下列不等式成立的是【】(A)123I I I <<(B)312I I I <<(C)231I I I <<(D)132I I I <<三、计算题（每小题5分，共20分）.1)d t . ()x e x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)0,10 y t t y +-=++=确定，求0d t y =.四、（11分）设2sin ,0,()ln(1), 0,ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处二阶导数存在？五、（7分）若()2(1),n f x nx x =-记[0,1]max{()}n x M f x ∈=(即()f x 在[0,1]上的最大值),求lim n n M →∞.六、（8分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨大的立方体，其表面积成正比.如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点后一位，不能使用计算器)七、（10分）过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L .试求（1）切线L 的方程；（2）Γ与L 所围平面图形D 的面积；（3）图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.八、（8分）利用定积分的换元法我们可以证明:若()f u 是连续函数，则有0(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰.现要求将过此线）湖南大学课程考试试卷湖南大学教务处考试中心装订线（答湖南大学课程考试试卷此结论推广到满足在[,]a b 上连续且关于2a bx +=为偶函数(即对[,]a b 中的任何x 有()()22a b a b f x f x ++-=+)的任意函数()f x 的情形,请叙述并证明你的结论.九、（6分）设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f b =,试证:至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()()0()f f a ξξξ'+=-.。

湖南大学2011级2012年高数A1答案

故 F(x)也是偶函数 (2) F ( x)
x d x d x d ( 2 t x ) f ( t ) dt 2 tf ( t ) dt [ x f (t )dt] dx 0 dx 0 dx 0
x x 0 0
（4 分）
2xf ( x) f (t )dt xf ( x) xf ( x) f (t )dt
（3 分）
3 x 1 ln( x 2 2x 5) arctan C 2 2
6、解：作换元 x
（5 分）
1 ，有 u
2
（1 分）

3 1 2
dx x 1 x1 3Fra biblioteku 1 u
2
1
du 1 u |1 2
2
1 3
2 3 3
(2 分)
(4 分)
(5 分) （1 分）（3 分）
a (H h)]2 dh ， H
（6 分）
a (H h)]2 hdh H

H 0
g[ (H h)]2 hdh
a H
1 ga2 H 2 12
（7 分）
代入数据得 W=3210×9.81×(230)2× (146)2/12=2959062766470J≈2.96× 1012 J
（8 分）
1
2

1 1 2n 1 ) 1 1 1（7 分），知 2 n 2 2 (k 1) (n 1) n1 n (n 1)
11、解：方程变形为 y
1
y cos 2x ，于是该方程为一阶线性方程; （2 分） x
1
1 1 1 C dx dx 求解得 y e x ( cos 2x e x dx C) ( x cos 2xdx C) sin 2x cos 2x x 2 4x x

湖南科技大学《高等数学》2023-2024学年第一学期期末试卷

湖南科技大学2023——2024学年第一学期《高等数学》期末考试试卷班级：姓名：学号：一、填空题(每小题3分，共15分分数：)1.=)(x f 21111x --的间断点是=x 2.若)0(,)(2n x n y e x y 则+==3.函数43)(3--=x x x f 的极大值点为4.dx e x ⎰+11=5.=-⎰dx x 2024二、填空题(每小题3分，共15分)1.当1→x 时，函数11211)(---=x e x x x f 的极限为（）)(A ∞)(B 不存在)(C 2)(D 02.设)(x f 是以3为周期的奇函数，且1)1(-=-f ，则)7(f =（）)(A 1)(B 1-)(C 2)(D 2-3.设||)(x x x f =，则)0(f '是（）)(A 0)(B 1)(C 1-)(D 不存在4.方程0133=+-x x 在区间(0,1)内（）)(A 无实根)(B 有唯一实根)(C 有两个实根)(D 有三个实根5.设)(x f 在[a -，a ]上连续（a ＞0），⎰=-dx x f a a )(（）)(A ⎰a 21.求极限(C )不存在 (D )⎰0a [f (x )+f (-x )]dx三、计算题(每小题8分，共40分0f (x )dx (B )0)x x x ln 1arctan 2lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→π。

2.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=0,0 ,sin )(x x x x x f ，求)(x f '。

3.()dx x 210arcsin ⎰yxt 1s 2s 1o 4．在区间]1,0[上给定函数2x y =，问t 为何值时，图中的阴影部分1S 与2S 的面积之和最小？何时最大？5．试确定正的常数a ,b 使等式1sin 1lim 2200=+-⎰→dt t a t bx x x x 成立。

四、综合应用题(每小题10分，满分20分)1.在曲线)0(2≥=x x y 上某点A 处作一切线，使此切线与曲线以及x 轴所围成图形的面积为121，试求由上述所围平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。

湖南大学2013年高等数学A1期末考试

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
考试中心填写：
____年___月___日
湖南大学课程考试试卷
；试卷编号： A ；考试时间：120 分钟
6．曲线 y x ln e

1 ( x 0) 的斜渐近线为 x
.
考试
用
课程名称：高等数学 A(1) ；课程编码：
7. 设 e x 是 f ( x) 的一个原函数，则 f ( x)dx 8． 9.
f (a) a ,
三. 应用题 (12 分) 过抛物线 y x 2 上一点 ( a, a 2 ) 作切线，问 a 为何值时所作切线与抛物线

b a
f ( x)dx
1 2 b a2 , 2
求证：在 ( a, b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) f ( ) 1 .
a
2．若 f ( x) ,
二．计算题（每小题 8 分，共 48 分）
b
处处可导，则 a
. ,b
ea x ,
2
x0
1 tan x x3 1．求 lim . x 0 1 sin x
.
1
b(1 x ), x 0
3．设函数 y f ( x) 在点 x0 处可导，当自变量 x 由 x0 增加到 x0 x 时，记 y 为 f ( x) 的增量， dy 为 f ( x) 的微分，则 lim

.
专业班级：
学号：
姓名：
湖南大学课程考试试卷
装订线（题目不得超过此线）
题
号
一 33
二 48
三 12
四 7
五
六
七
八

(完整)高等数学考试题库(附答案)

高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。

2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。

3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。

6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。

7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。

8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。

9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。

10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。

11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。

12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。

13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。

18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。

20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

(完整版)湖南大学线性代数期末试卷及答案,推荐文档

第一部分选择题 (共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式=m ，=n ，则行列式等于（）a a a a 11122122aa a a 13112321aa a a a a 111213212223++ A. m+n B. -(m+n) C. n -mD. m -n2.设矩阵A =，则A -1等于（）100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ A. B. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. D. 13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A =，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ A. –6 B. 6 C. 2 D. –24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（） A. A =0 B. B C 时A =0≠ C. A 0时B =C D. |A |0时B =C ≠≠5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（）A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.η1+η2是Ax=b 的一个解1212C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b 的一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（）A.秩(A )<n B.秩(A )=n -1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>312.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（） A.|A|2必为1 B.|A |必为1 C.A -1=A T D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（） A.A 与B 相似 B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（） A. B.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C. D.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

湖南高考函数试题及答案

湖南高考函数试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(2) = 1，则f(-1)的值为（）A. -7B. -5C. 1D. 3答案：B2. 函数y = 3x^2 - 6x + 5的顶点坐标为（）A. (1, 2)B. (-1, 8)C. (2, 1)D. (-2, 13)答案：A二、填空题3. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在x = 1处取得极值，则该极值是____。

答案：-24. 函数y = x^2 - 4x + 4的对称轴方程为____。

答案：x = 2三、解答题5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + c，求c的值，使得f(x)在区间[0, 2]上单调递增。

解：由题意可知，函数f(x)的对称轴为x = 2，因此f(x)在[0, 2]上单调递增。

对称轴的方程为x = -b/2a，即x = 4/2 = 2。

因此，c = 4。

6. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 3，f(-1) = 1，求f(2)的值。

解：根据题意，我们有以下方程组：\begin{cases}a +b +c = 3 \\a -b +c = 1\end{cases}将方程组相减得2b = 2，所以b = 1。

将b的值代入任一方程得a + c = 2。

又因为f(2) = 4a + 2b + c，代入a + c = 2和b = 1，得f(2) = 4 + 2 + 2 = 8。

四、综合题7. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。

令f'(x) = 0，解得x =1和x = 11/3。

因此，f(x)在区间(-∞, 1)和(11/3, +∞)上单调递增，在区间(1, 11/3)上单调递减。

8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f(x)的极值点及对应的极值。