湖南大学高等数学考试试题及答案
高等数学试题及参考答案
![高等数学试题及参考答案](https://img.taocdn.com/s3/m/ccf9ac9c05a1b0717fd5360cba1aa81144318f29.png)
高等数学试题及参考答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 以下哪个函数是奇函数?A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案:B2. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值。
A. 0B. 1C. 2D. \(\infty\)答案:B3. 以下哪个级数是收敛的?A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)答案:A4. 函数 \(y = e^x\) 的导数是?A. \(e^x\)B. \(-e^x\)C. \(\ln(e)\)D. \(\frac{1}{e^x}\)答案:A5. 计算定积分 \(\int_0^1 x^2 dx\) 的值。
A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案:A二、填空题(每题6分,共30分)1. 函数 \(y = \ln(x)\) 的反函数是 \(y = \boxed{e^x}\)。
2. 函数 \(y = x^2 + 2x + 1\) 的最小值是 \(\boxed{0}\)。
3. 函数 \(y = \sin(x)\) 的周期是 \(\boxed{2\pi}\)。
4. 函数 \(y = \frac{1}{x}\) 的不定积分是 \(\boxed{\ln|x| + C}\)。
5. 函数 \(y = \cos(x)\) 的导数是 \(\boxed{-\sin(x)}\)。
(完整版)湖南大学线性代数期末试卷及答案,推荐文档
![(完整版)湖南大学线性代数期末试卷及答案,推荐文档](https://img.taocdn.com/s3/m/379c48419b89680203d825ae.png)
(2)A 的列向量组的一个最大线性无关组。
0 2 2
30.设矩阵
A=
2
3
4
的全部特征值为
1,1
和-8.求正交矩阵
T
和对角矩阵
D,使
T-
2 4 3
1AT=D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2,x3)=
x12
2x
2 2
3x
2 3
4x1x2
4x1x3
4x 2 x 3
,
并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 32.设方阵 A 满足 A3=0,试证明 E-A 可逆,且(E-A)-1=E+A+A2. 33.设 η0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解
0 0
2
0 0 13
1
2
D. 0
0 1
0 0
3
0 0 1
3 1 2
3.设矩阵 A= 1
0 1 ,A*是 A 的伴随矩阵,则 A *中位于(1,2)的元素是(
)
2 1 4
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设 A 是方阵,如有矩阵关系式 AB=AC,则必有( )
A. A =0
xx12
y1
2y2 y2 y3
,
y3
x3
x3
y3
1 2 0
因其系数矩阵 C= 0 1 1 可逆,故此线性变换满秩。
0 0 1
经此变换即得 f(x1,x2,x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .
四、证明题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分)
湖南大学高等数学A2试题及答案
![湖南大学高等数学A2试题及答案](https://img.taocdn.com/s3/m/83165c92d5d8d15abe23482fb4daa58da0111c77.png)
湖南⼤学⾼等数学A2试题及答案诚信应考,考试作弊将带来严重后果!湖南⼤学期中考试试卷课程名称:⾼等数学A (2);课程编码: 10015 试卷编号:;考试时间:120分钟题号⼀⼆三四五六七⼋九⼗总分应得分 15 15 40 16 14 100 实得分签名⼀. 填空题(每⼩题3分,共15分)1.⽅程22222440x y z yz ++--=所表⽰的⼆次曲⾯是 .2. 若向量375472+⊥--⊥-(a b)(a b),(a b)(a b),则 (,)a b = . 3. 曲线22222z x y x y y=++=在点(1,1,2)的切线的参数⽅程为 . 4. 设22u xy z =-,则u 在点()2,1,1-处⽅向导数的最⼤值为 . 5. 函数2 1)(+=x x f 展开成)1(-x 幂级数,则展开式中3)1(-x 的系数是 . ⼆. 选择题(每⼩题3分,共15分) 1. 设有以下命题:①若2121()n n n uu ∞-=+∑收敛,则1n n u ∞=∑收敛.②若1nn u∞=∑收敛,则10001n n u∞+=∑收敛. ③若1lim 1>+∞→nn n u u ,则∑∞=1n n u 发散.④若∑∞=+1)(n n nv u收敛,则∑∑∞=∞=11,n n n n v u 都收敛.则以上命题中正确的是()(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D) ①④ 2. 直线z y x =-=+222与?=++=++02012z y y x 之间的关系是( ) (A) 重合 (B) 相交 (C) 异⾯ (D) 平⾏3. 直线:326x y zL ==绕z 轴旋转⽽产⽣的旋转曲⾯⽅程为() (A) 2221436()z x y =- (B) 2221336()z x y =+ (C) 2221436()x z y =- (D) 2221436()x z y =+4. 设幂级数∑∞=1n nn x a 与∑∞=1n nn x b 的收敛半经分别为3135与,则幂级数∑∞=122n n nn x b a 的收敛半经为()(A) 5 (B)31 (C) 35(D) 15 5. 设),(y x z z =由⽅程0),(=x z x y f 确定, 其中f 可微, 且0x f '≠,则yzy x z x ??+??=( ) (A) x (B) x - (C) z (D) z - 三、解答下列各题(每⼩题8分,共40分)1. (8分) 设222222221()cos , 0;(,)0, 0.x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 讨论),(y x f 在(0,0)处(1)偏导数是否存在;(2)偏导数是否连续; (3)是否可微..2. (8分) 判断两直线L 1:11112x y z +-==;L 2:12134x y z +-==是否在同⼀平⾯内?若在同⼀平⾯内, 则求两直线的交点; 若不是在同⼀平⾯内, 则求两直线之间的距离.3. (8分) 设 0sin (1,2,...)n n a x x dx n π==?,试判别级数∑∞=13n n na 敛散性.4. (8分) 设),(y x u u =具有⼆阶连续偏导数,试适当选取b a ,的值, 使⽅程2222260u u ux x y y -++=?经过变换by x ay x +=+=ηξ,后化为⽅程02=ηξu.5. (8分) 求函数2u xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最⼤值和最⼩值. .四、证明下列各题(每⼩题8分,共16分)1. 从椭球⾯外的⼀点作椭球⾯的⼀切可能的切线, 证明全部切点在同⼀平⾯上.2. 已知,a b 为两个⾮零且不共线的向量.令λ=+c a b ,λ是实数, 试证: 使得c 最⼩的向量c 垂直于a .五、(14分)设∑∞=--=1113)(n n n xn x f ,(1)证明)(x f 在)31,31(-内连续; (2)计算?810)(dx x f .⼀. 填空题(每⼩题3分,共15分): 1.椭圆柱⾯ 2. 33. 1,1,22x y t z t ==+=+4. 2 6.5. 181-⼆. 选择题(每⼩题3分,共15分): 1. B 2. D 3. B 4. A 5. C 三、解答下列各题(每⼩题8分,共40分)1. 解:(1) 2001cos0(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x x xf x f f xx→?→?-??-===??同理可得0)0,0(=y f ,因此,),(y x f 在(0,0)处偏导数存在. 2分(2)2222222222112cos sin , 0;(0,0)0, 0.x x x x y x y x y x y f x y ?++≠?'+++=??+=?当(,)x y 沿直线0y =趋向(0,0)时,有0011lim (0,0)lim2cossin x x x y x f x x x x→→='=+,不存在,故(,)x f x y '在(0,0)处不连续. 同理可得, (,)y f x y '在(0,0)处不连续. 5分 (3) 因为0 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)limlimx y f x y f f x f yz dzρρρρ→→''+?+?--?-??-=22221[]cos 1lim cos0x y x y ρρρρρ→→?+??+?===. 因此,函数),(y x f 在(0,0)处可微.8分2. 解1: 直线L 1与L 2的⽅向向量分别为12{1,1,2},{1,3,4}s s ==, 且分别过(1,0,1),(1,1,2)P Q -- 1分从⽽{1,1,1},=-PQ 所以12112()13420111==≠-s s PQ , 3分故直线L 1与L 2为异⾯直线. 4分过L 1作平⾏于直线L 2的平⾯π, 其法向量可取为121122().134=?==-+-i j kn s s i j k所以平⾯π的⽅程为(1)(1)0x y z ++--=, 即20x y z +-+=. 6分⼜因点(0,1,2)-在直线L 2上,故两直线L 1与L 2之间的距离即为点(0,1,2)-到平⾯π的距离, 故所求的距离为: 2221223.311(1)d --+==++- 8分解2: 直线L 1与L 2的⽅向向量分别为12{1,1,2},{1,3,4}s s ==, 且分别过(1,0,1),(1,1,2)P Q -- 1分从⽽{1,1,1},=-PQ 所以12112()13420111==≠-s s PQ , 3分故直线L 1与L 2为异⾯直线. 4分过L 1作平⾏于直线L 2的平⾯π, 其法向量可取121122().134=?==-+-i j kn s s i j k所以平⾯π的⽅程为(1)(1)0x y z ++--=, 即20x y z +-+=. 6分⼜因点(1,0,1)A -和点(0,1,2)B -分别在直线L 1与L 2上, 故所求两直线的距离为:22211111(1)3.311(1)d prj ?-?+?-==++-n AB 8分 3. 解:令t n x -=π, 则??-=-=πππππn n n n dt t t dt t n dt t t n a 0sin sin sin )(,从⽽),2,1(,sin 2sin 220 0==?==n n tdt n n dt t n a n n πππππ,于是∑∑∞=∞==12133n n n n n n a π. 4分∵2112(1)31lim lim 133n n n n n nu n u n ++→∞→∞+=?=< ∴由⽐值判别法得级数13nnn a ∞=∑收敛 8分4.解:ηξ??+??=??u u x u ,ηξ??+??=??u b u a y u , 2分 22222222ηηξξ??++??=??u u u x u ,222222)(ηηξξ+++??=uu b a u a y x u , 2222222222ηηξξ??++??=??u b u ab u a y u , 5分于是,原⽅程化为:2222222(6)(212)(6)0u u u a a ab a b b b ξξηη+-+++-++-=? 6分令2260,60,2120a a b b ab a b +-=+-=++-≠, 7分解得当23a b =??=-?或32a b =-??=?时,原⽅程化为:02=ηξu. 8分5. 解:引⼊拉格朗⽇函数222(,,,)2(10)L x y z xy yz x y z λλ=++++-, 1分为求(,,,)L x y z λ的驻点,解如下⽅程组22220 220 220 100Ly x x L x z y yL y z z L x y z zλλλ??=+==++==+=?=++-=? 3分从前三个式中消去λ可得驻点(,,)x y z 应满⾜222 2522x z y x z yx y x y z =?+==??=?代⼊第四个式⼦即可求得四个驻点1234(1,5,2),(1,5,2),(1,5,2),(1,5,2),P P P P =-==---=-- 6分代⼊计算得1234()55,()55,()55,()5 5.u P u P u P u P =-===-从⽽知在1P 与4P 两点处u 取得最⼩值55-,在2P 与3P 两点处u 取得最⼤值55.即函数2u xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最⼤值是55,最⼩值是55-. 8分四、证明下列各题(每⼩题8分,共16分)1. 证明:设椭球⾯的∑的⽅程为2222221x y z a b c++=. 1分椭球⾯外⼀点设为222000000222(,,),1x y z P x y z a b c++>,由P 向∑作切平⾯,设切点为(,,)Q x y z ,因曲⾯∑过点Q 的切平⾯⽅程为2221xX yY zZa b c++=. 4分令000(,,)(,,)X Y Z x y z =代⼊上式得0002221(*) x y z x y z a b c ++= 6分这表明切点Q 位于同⼀平⾯(*)上.因切点和的连线就是从向椭球⾯所作的切线,因此所有切点位于同⼀平⾯(*)上. 8分2.证明: 因为2222222()()()2()()λλλλλ??=+?+=+?+=++-a b a b c a b a b a a b b a b a a2分故当2λ?=-a b a时, c 最⼩, 222min ()?=-a b c b a此时, 2λ?=+=-+a b c a a b a, 5分因为22()()=-+?=-+=-+=a b a b c a a b a a a b a a b a b 0aa, 7分所以c 最⼩的向量c 垂直于a . 8分五. 证明(1)∵11lim ||lim 33n n n na n a n +→∞→∞+=?=, ∴级数∑∞=--1113n n n x n 收敛半径31=R 2分⼜31±=x 时,级数1n n ∞=±∑显然发散, 故幂级数∑∞=--113n n n x n 收敛域为)31,31(- 4分幂级数∑∞=--1113n n n x n 的和函数)(x f 在)31,31(-内连续. 6分(2)⼜由∑∑?∑?∞=∞=-∞=--===111111)3(3133)(n n n nn xn n xn x x dx xn dx x fx x x x 3131331-=-=)3131(<<-x 9分那么 2)311()31()(xx x x f -='-= 即求得 2111)31(13)(x x n x f n n n -=-∞=-∑)3131(<<-x 11分 dx x dx x f ?-=8102810)31(1)(?---=812)31()31(131x d x 5131131810=-=x . 14分。
湖南大学高数A试题期末试卷
![湖南大学高数A试题期末试卷](https://img.taocdn.com/s3/m/1067e50d2e3f5727a5e96296.png)
诚信应考,考试作弊将带来严重后果!湖南湖南大学课程考试试卷;课程编码:试卷编号:A;考试时间:120分钟,则2.2()d f x x x C =+⎰,则2(1)d xf x x -=⎰【】(A)222(1)x C -+(B)222(1)x C --+(C)221(1)2x C -+(D)221(1)2x C --+3.设函数()f x 的导数()f x '如右图所示,由此,函数()f x 的图形可能是【】4.当0→x 时,ln(1)1x e x +--与n x 是同阶无穷小,则n =【】(A)1(B)2(C)3(D)45.设[0,1]f C ∈且()0f x ≥,记110()d ,I f x x =⎰220(sin )d ,I f x x π=⎰430(tan )d ,I f x x π=⎰则下列不等式成立的是【】(A)I I I <<(B)2I I I <<(C)231I I I <<(D)132I I I <<5分,共20分).1)d t . ()x e x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)0,10y t t y +-=++=确定,求0d t y =.四、(11分)设2sin ,0,()ln(1), 0,ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩试问,,a b c 为何值时,()f x 在0x =处二阶导数存在?五、(7分)若()2(1),n f x nx x =-记[0,1]max{()}n x M f x ∈=(即()f x 在[0,1]的最大值),求lim n n M →∞.六、(8分)(融化立方体冰块)某地为了解决干旱问题,需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨的立方体,其表面积成正比.如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时?(结果精确到小数点后一位,不能使用计算器)七、(10分)过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L .试求(1)切线L 的方程;(2)Γ与L 所超过此线)湖南大学课程考试试卷湖南大学湖南大学课程考试试卷围平面图形D 的面积;(3)图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.八、(8分)利用定积分的换元法我们可以证明:若()f u 是连续函数,则有(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰.现要求将此结论推广到满足在[,]a b 上连续且关于2a bx +=为偶函数(即对[,]a b 中的任何x 有()()22a b a bf x f x ++-=+)的任意函数()f x 的情形,请叙述并证明你的结论.九、(6分)设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f b =,试证:至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()0()f f a ξξξ'+=-.。
2024年湖南省高考数学真题及参考答案
![2024年湖南省高考数学真题及参考答案](https://img.taocdn.com/s3/m/bb95b170905f804d2b160b4e767f5acfa1c783e1.png)
2024年湖南省高考数学真题及参考答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}553<<-=x x A ,{}3,2,0,13--=,B ,则=B A ()A.{}0,1-B.{}32, C.{}0,13--, D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11,则=z ()A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a,()x b ,2= ,若()a b b 4-⊥,则=x ()A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ,2tan tan =βα,则()=-βαcos ()A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为()A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增,则a 的取值范围是()A.(]0,∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+,07.当[]π2,0∈x 时,曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为()A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ,()()()21-+->x f x f x f ,且当3<x 时,()x x f =,则下列结论中一定正确的是()A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ,样本方差01.02=S ,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1,N ,假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ,则()(若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ,则()8413.0≈+<σμZ P )A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ,则()A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时,()()2xf x f <C.当21<<x 时,()0124<-<-x f D.当01<<-x 时,()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分,已知C 过坐标原点O ,且C 上的点满足横坐标大于2-,到点()02,F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4,则()A .2-=aB .点()022,在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时,2400+≤x y三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C :的左右焦点分别为21,F F ,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点,若131=A F ,10=AB ,则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线,则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两个各自从自己特有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片的数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分小于2的概率为.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =,ab c b a 2222=-+.(1)求B ;(2)若ABC ∆的面积为33+,求c .16.(15分)已知()30,A 和⎪⎭⎫⎝⎛233,P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C :上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且ABP ∆的面积为9,求l 的方程.17.(15分)如图,四棱锥ABCD P -中,⊥P A 底面ABCD ,2==PC P A ,1=BC ,3=AB .(1)若PB AD ⊥,证明:∥AD 平面PBC ;(2)若DC AD ⊥,且二面角D CP A --的正弦值为742,求AD .18.(17分)已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .(1)若0=b ,且()0≥'x f ,求a 的最小值;(2)证明:曲线()x f y =是中心对称图形;(3)若()2->x f ,当且仅当21<<x ,求b 的取值范围.19.(17分)设m 为正整数,数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列,若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.(1)写出所有的()j i ,,61≤<≤j i ,使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列;(2)当3≥m 时,证明:数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列;(3)从242,1+m ,, 中一次任取两个数i 和j ()j i <,记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ,证明:81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析:∵553<<-x ,∴3355<<-x .∵2513<<,∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析:∵i z z +=-11,∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析:()4,24-=-x a b ,∵()a b b4-⊥,∴()044=-+x x ,∴2=x .4.A解析:∵()m =+βαcos ,2tan tan =βα,∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析:由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ,∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数,故此分段函数在R 上递增,只需满足:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a,解得01≤≤-a .7.C解析:∴32π=T .8.B解析:()()()123f f f +>,()22=f ,()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>,()()()()()1223345f f f f f +>+>,……()()()8912123410>+>f f f ,……,()()()9871233237715>+>f f f ,()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析:已知()21.08.1~,N X ,由题目所给条件:若随机变量Z 服从正态分布,()8413.0≈+<σμZ P ,则()8413.09.1≈<X P ,易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误,B 正确;对于C:()21.01.2~,N Y ,∴()5.01.2=>Y P ,即()()5.01.22=>>>Y P Y P ,故C正确;对于D:同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析:对于A:()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ,解得11=x ,32=x .x 变化时,()x f '与()x f 变化如下表:故A 正确;对于B:当10<<x 时,102<<<x x ,又()x f 在()1,0上单调递增,所以()()x f xf <2,故B 错误;对于C :令()2112<<-=x x t ,则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减,()()()13f t f f <<,()43-=f ,()11=f ,即()0121<-<-x f .故C 正确;对于D:()()()412--=x x x f ,()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时,()013<-x ,∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析:对于A:O 点在曲线C 上,O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4,即42=⨯a ,解得2±=a .又∵0<a ,∴2-=a ,故A 正确;对于B:由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点,不妨设B 点.设()0,m B ,其中2>m ,由定义可得()()422=+-m m ,解得22±=m .又∵2>m ,∴22=m ,故B 正确;对于C:设C 上一点()y x P ,,()()42222=++-x y x ,其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ,其中2->x .已知2=x 时,12=y ,对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ,则在2=x 是下降趋势,即存在2<x 时,1>y 成立,故C 错误;对于D:()()2222216--+=x x y ,∵()022≥-x ,∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ,2400+≤x y ,则24000+≤≤x y y ,故D 正确.三、填空题12.23解析:作图易得131=A F ,52=AF ,且212F F AF ⊥,12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得:8221=-=AF A F a ,6221==F F c ,则23==a c e .13.2ln 解析:1+='xe y ,20='==x y k ,切线l 的方程:12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ,110+='x y ,则2110=+=x k ,解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021,,再代入()a x y ++=1ln ,a +=21ln 0,即2ln =a .14.21解析:不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小,乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致,乙最少得2分,甲最多2分.站在甲的视角下,分四种情况:①8对1,则7必得分(1)若得3分:3,5都得分,3对2,5对4(1种情况)(2)若得2分:3,5只有一个得分(ⅰ):5得分,3不得分:5对2,3对4或6(2种情况);5对4,3对6(1种情况);(ⅱ):3得分,5不得分:3对2,5对6(1种情况);②8对3,7必得分5得分:5对2,4,7对应2种情况,共有422=⨯种情况;③8对5,7必得分3得分:3对2,7对应2中情况,共有221=⨯种情况;④8对7,最多得2分3得分,5得分:3对2,5对4(1种情况).共有12种情况,甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解:(1)∵ab c b a 2222=-+,∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =,∴22cos 2=B ,∴21cos =B ,∴3π=B .(2)∵33sin 21+==∆Bac S ABC ,∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由(1)易知4π=C ,3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =,()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+,∴224269c =+,∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解:(1)将()30,A ,⎪⎭⎫⎝⎛233,P 代入椭圆12222=+b y a x 得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ,可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ,∴3222=-=b a c ,∴32=a ,3=c .∴离心率21323===a c e .(2)①当l 斜率不存在时,29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ,不符,舍去.②当l 斜率存在时,设l 方程:()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得:()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理:()34273622+--=⋅k k k x x B P ,又3=P x ,∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ,∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23,∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解:(1)证明:∵⊥P A 底面ABCD ,∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥,∴⊥AD 平面P AB ,则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ,,∴222BC AB AC +=,则BC AB ⊥,∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ,⊂BC 平面PBC ,∴∥AD 平面PBC .(2)以D 为原点,DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ,满足4222==+AC q p ,则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ,,.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =,∴()()0,,200q p AC AP -==,,,.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ,取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ,取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ,∴3=p ,即3=AD .18.解:(1)0=b 时,()ax x x x f +-=2ln,∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ,设()()22-=x x x h ,当()2,0∈x 时,()2max -=x h ,∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.(2)由题意可知()x f 的定义域为()20,.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.(3)()212ln 3->-++-x b ax xx ,即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ,则()1,0∈t ,()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称,则当且仅当()1,0∈t 时,()0>t g 恒成立.需02=+a ,即2-=a ,()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =,则()1,0∈m ,()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ,∴23-≥b ,即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解:(1)从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列,记为{}k b ,41≤≤k .设{}k b 公差为d ,已知1=d ,否则,若2≥d ,则6314≥=-d b b ,又51614=-≤-b b ,故矛盾,∴1=d ,则{}k b 可以为{}4,3,2,1,{}5,4,3,2,{}6,5,4,3,则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5,,.(2)证明:只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列,后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分,使划分出的3组数均成等差数列,取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1,,,这单租数均为公差为3的等差数列,对于剩下的()34-m 个数,按每四个相邻数一组,划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后,剩余的m 4个数可以分为m 组,每组均为等差数列,故3≥m 时,24,2,1+m 是()13,2可分数列,即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.(3)证明:用数学归纳法证明:共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列,①当1=m 时,由(1)知,有11132++=种()j i ,的取法,②假设当n m =时,有至少12++n n 种()j i ,的取法,则当1+=n m 时,考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论:1°当1=i 时,取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间(不含j i ,)有k k 41124=--+个连续的自然数,可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ,,, 划分,剩下的64,,44,34+++n k k ,也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列,∵1,,,2,1,0+=n n k ,∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时,取()1,,,2,14+=+=n n k k j ,现以k 为公差构造划分为:{}13,12,11+++k k k ,,{}33,32,3,3+++k k k ,……{}14,13,12,1----k k k k ,{}k k k k 4,3,22,,{}24,23,22,2++++k k k k (注意当2=k 时,只有{}{}10,8,6,47,5,3,1,这两组)剩下的64,,44,34+++n k k ,也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列,∵1,,,2+=n n k ,∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时,考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数,由归纳假设里n m =时,有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°,当1+=n m 时,至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法,由①②及数学归纳法原理,值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列,那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ,∴81>m P .。
湖大常微分试卷(2007湖大版)
![湖大常微分试卷(2007湖大版)](https://img.taocdn.com/s3/m/5e58262f4b35eefdc8d33396.png)
一. 填空题(15分)1.连续可微函数(,)0x y μ≠是方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=的积分因子的充要条件是( ),这里假设(,)M x y ,(,)N x y 在某矩形域内是,x y 的连续函数,且具有一阶连续的偏导数.(答案: ()()M N y xμμ∂∂=∂∂) 2.具有特解123,2cos ,3sinx y e y x y x -===的三阶常系数齐线性微分方程是( ).(答案: 0y y y y ''''''+++= )3.若函数)(),(21x y y x y y ==是微分方程()0y p x y '+=的两个不同特解,则用这两个解可将其通解表示为表示为( ).(答案: 12(()())y c y x y x =-)4.向量函数组22,2t t t t e e e e --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的郎斯基行列式为( ).(答案: 22 3 2t tt t t e e e e e ---或)5.微分方程1x y y e ''-=+的一个特解形式为( ). (答案: x axe b +)二.解下列方程(每小题7分共35分). 1. 52dy x y dx x y -+=-- (答案: 222104x y xy x y C +-++=) 2. 4y y x y x '-= (答案:421(ln )2y x x c =+ 及常数解0y =) 3. (2)0y y xe y y e '-+= (答案: 2y xe y C -=) 4. 2()0dy dy a b x dx dx +-= (答案: 2231223x ap bp y ap bp c ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩) 5. 2y y x x ''+=+ (答案: 212cos sin 2y c x c x x x =+++-)三.求解下列初值问题(8分).22ln ,(0)(0) 1.yy yy y y y y ''''⎧-=⎨'==⎩ (答案: ln tan y x =)四.求解下列方程组的通解(12分)1 214 34t x x e y y -'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(参考答案: 51221 1 12122t t t t x c e c e e y t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭) 五.解答题(每小题8分共24分).1. 设()f x 为连续函数,且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰,求()f x . (答案: 2124()cos sin 555x f x x x e =++)2. 方程22dy x y dx=-定义在矩形域:11,1R x y +≤≤上,试利用存在唯一性定理确定经过点(1,0)-的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在存在区间上解的误差估计.(答案: 存在区间为53,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,311()33x y x =+, 374211()36318942x x x x y x =---+,误差不超过124) 3. 设平面曲线上任一点的切线在y 轴上的截距等于在同点处法线在x 轴上的截距求该曲线方程.(答案: 22tan ln y arc x y c x++=)。
2024年湖南高考数学真题(含答案)
![2024年湖南高考数学真题(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/d9f39b48fbd6195f312b3169a45177232f60e40b.png)
2024年湖南高考数学真题及答案本试卷共10页,19小题,满分150分.注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣,则A B = ( )A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-2. 若1i 1zz =+-,则z =( )A. 1i-- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ,若(4)b b a ⊥-,则x =( )A. 2- B. 1- C. 1D. 24. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==,则cos()αβ-=( )A. 3m -B. 3m -C.3m D. 3m5.( )A.B.C.D. 6. 已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩,在R 上单调递增,则a 取值的范围是( )A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D.[0,)+∞7. 当[0,2]x πÎ时,曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点个数为( )A. 3B. 4C. 6D. 88. 已知函数为()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是( )A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9. 为了解推动出口后亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ,则( )(若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Z u σ<+≈)A. (2)0.2P X >> B. (2)0.5P X ><的的C. (2)0.5P Y >> D. (2)0.8P Y ><10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--,则( )A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时,()2()f x f x<C. 当12x <<时,4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时,(2)()f x f x ->11. 造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则( )A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ,B 两点,若1||13,||10F A AB ==,则C 的离心率为___________.13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a __________.14. 甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数的字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c,已知sin C B =,222a b c +-=(1)求B ;(2)若ABC的面积为3,求c .16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且ABP 的面积为9,求l 的方程.17. 如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,2PA AC ==,1,BC AB ==.(1)若AD PB ⊥,证明://AD 平面PBC ;(2)若AD DC ⊥,且二面角A CP D --,求AD .18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =,且()0f x '≥,求a 的最小值;(2)证明:曲线()y f x =是中心对称图形;为(3)若()2f x >-当且仅当12x <<,求b 的取值范围.19. 设m 为正整数,数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列,若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列.(1)写出所有(),i j ,16i j ≤<≤,使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列;(2)当3m ≥时,证明:数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列;(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <,记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ,证明:18m P >.参考答案本试卷共10页,19小题,满分150分.注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.的一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣,则A B = ( )A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ,由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--,且注意到12<<,从而A B = {}1,0-.故选:A.2. 若1i 1zz =+-,则z =( )A. 1i -- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---,所以111i i z =+=-.故选:C.3. 已知向量(0,1),(2,)a b x ==,若(4)b b a ⊥-,则x =( )A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ,所以()40b b a ⋅-=,所以240b a b -⋅=即2440x x +-=,故2x =,故选:D.4. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==,则cos()αβ-=( )A. 3m - B. 3m -C.3m D. 3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系,结合tan tan αβ的值可求前者,故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=,所以cos cos sin sin m αβαβ-=,而tan tan 2αβ=,所以sin sin 2cos cos αβαβ=,故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-,从而sin sin 2m αβ=-,故()cos 3m αβ-=-,故选:A.5. ( )A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ,根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程,求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等,所以2ππr r=即=,故3r=,故圆锥的体积为1π93⨯=.故选:B.6. 已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩,在R上单调递增,则a取值的范围是()A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组,解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增,且0x≥时,()()e ln1xf x x=++单调递增,则需满足()221e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩,解得10a-≤≤,即a的范围是[1,0]-.故选:B.7. 当[0,2]xπÎ时,曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为()A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象,根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=,函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =,所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象, 在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示:由图可知,两函数图象有6个交点.故选:C8. 已知函数为()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是( )A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =,所以(1)1,(2)2f f ==,又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-,则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>,(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>,(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>,(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>,(16)(15)(14)15971000f f f >+>>,则依次下去可知(20)1000f >,则B 正确;且无证据表明ACD 一定正确.故选:B.【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==,再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-,代入函数值再结合不等式同向可加性,不断递推即可.二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9. 为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ,则( )(若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Z u σ<+≈)A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >>D. (2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知,22.1,0.01x s ==,所以()2.1,0.1Y N ,故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>,C 正确,D 错误;因为()1.8,0.1X N ,所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯,因为()1.80.10.8413P X <+≈,所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<,而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<,B 正确,A 错误,故选:BC .10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--,则( )A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时,()2()f x f x<C. 当12x <<时,4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时,(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数,得到极值点,即可判断A ;利用函数的单调性可判断B ;根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ;直接作差可判断D.【详解】对A,因为函数()f x 的定义域为R ,而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--',易知当()1,3x ∈时,()0f x '<,当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时,()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增,在()1,3上单调递减,在()3,∞+上单调递增,故3x =是函数()f x 的极小值点,正确;对B ,当01x <<时,()210x x x x -=->,所以210x x >>>,而由上可知,函数()f x 在()0,1上单调递增,所以()()2f x f x>,错误;对C ,当12x <<时,1213x <-<,而由上可知,函数()f x 在()1,3上单调递减,所以()()()1213f f x f >->,即()4210f x -<-<,正确;对D,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,正确;故选:ACD.11. 造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则( )A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ,故可判断A 的正误,结合曲线方程可判断B 的正误,利用特例法可判断C 的正误,将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A :设曲线上的动点(),P x y ,则2x >-4a =,4a =,解得2a =-,故A 正确.对于B24=,而2x >-,()24x+=.当0x y ==()2844=-=,故()在曲线上,故B 正确.对于C :由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+,取32x =,则2641494y =-,而64164525624510494494494---=-=>⨯,故此时21y >,故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C 错误.对于D :当点()00,x y 在曲线上时,由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++,故0004422y x x -≤≤++,故D 正确.故选:ABD.【点睛】思路点睛:根据曲线方程讨论曲线的性质,一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ,B 两点,若1||13,||10F A AB ==,则C 的离心率为___________.【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象,求出2AF ,结合双曲线第一定义求出1AF ,即可得到,,a b c 的值,从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等,设A 在第一象限,将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±,即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2210b AB a ==,225b AF a ==,又122AF AF a -=,得1222513AF AF a a =+=+=,解得4a =,代入25b a=得220b =,故22236,c a b =+=,即6c =,所以6342c e a ===.故答案为:3213. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程,再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++,求出y ',利用公切线斜率相等求出0x ,表示出切线方程,结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+,00|e 12x y ='=+=,故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+;由()ln 1y x a =++得11y x '=+,设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++,由两曲线有公切线得0121y x '==+,解得012x =-,则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭,根据两切线重合,所以ln 20a -=,解得ln 2a =.故答案为:ln 214. 甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量,然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ,四轮的总得分为X .对于任意一轮,甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等,其中使得甲获胜的出牌组合有六种,从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯,所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分,则组合方式是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以04411A 24p ==;如果甲得3分,则组合方式也是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0,1,2,3,故01231p p p p +++=,()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=,1213282p p ++=,两式相减即得211242p +=,故2312p p +=.所以甲总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为:12.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于将问题转化为随机变量问题,利用期望的可加性得到等量关系,从而避免繁琐的列举.四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c,已知sin C B =,222a b c +-=(1)求B ;(2)若ABC的面积为3,求c .【答案】(1)π3B = (2)【解析】【分析】(1)由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ,最后结合已知sin C B=得cos B 值即可;(2)首先求出,,A B C ,然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示,结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=,对比已知222a b c +-=,可得222cos 2a b c C ab +-===,因为()0,πC ∈,所以sin 0C >,的的从而sin C===又因为sin C B=,即1cos2B=,注意到()0,πB∈,所以π3B=.小问2详解】由(1)可得π3B=,cos C=,()0,πC∈,从而π4C=,ππ5ππ3412A=--=,而5πππ1sin sin sin12462A⎛⎫⎛⎫==+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==,从而,a b====,由三角形面积公式可知,ABC的面积可表示为211sin22ABCS ab C===,由已知ABC面积为323=+,所以c=16. 已知(0,3)A和33,2P⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点B,且ABP的面积为9,求l的方程.【答案】(1)12(2)直线l的方程为3260x y--=或20x y-=.【的【解析】【分析】(1)代入两点得到关于,a b 的方程,解出即可;(2)方法一:以AP 为底,求出三角形的高,即点B 到直线AP 的距离,再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程,联立椭圆方程得到B 点坐标,则得到直线l 的方程;方法二:同法一得到点B 到直线AP 的距离,再设()00,B x y ,根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组,解出即可;法三:同法一得到点B 到直线AP 的距离,利用椭圆的参数方程即可求解;法四:首先验证直线AB 斜率不存在的情况,再设直线3y kx =+,联立椭圆方程,得到点B 坐标,再利用点到直线距离公式即可;法五:首先考虑直线PB 斜率不存在的情况,再设3:(3)2PB y k x -=-,利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案;法六:设线法与法五一致,利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得22912b a ⎧=⎨=⎩,所以12e ===.【小问2详解】法一:3312032APk -==--,则直线AP 的方程为132y x =-+,即260x y +-=,AP ==,由(1)知22:1129x y C +=,设点B 到直线AP 的距离为d,则d ==则将直线AP沿着与AP 单位即可,此时该平行线与椭圆的交点即为点B ,设该平行线的方程为:20x y C ++=,6C =或18C =-,当6C =时,联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩,解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭,当()0,3B -时,此时32l k =,直线l 的方程为332y x =-,即3260x y --=,当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时,此时12lk =,直线l 的方程为12y x =,即20x y -=,当18C =-时,联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=,227421172070∆=-⨯⨯=-<,此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二:同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=,点B 到直线AP的距离d =设()00,B x y22001129x y ⎪+=⎪⎩,解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩,即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭,以下同法一.法三:同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=,点B 到直线AP的距离d =设(),3sin B θθ,其中[)0,2θ∈π联立22cos sin 1θθ+=,解得cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩,即()0,3B -或33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭,以下同法一;法四:当直线AB 的斜率不存在时,此时()0,3B -,16392PAB S =⨯⨯= ,符合题意,此时32l k =,直线l 的方程为332y x =-,即3260x y --=,当线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为3y kx =+,联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,则()2243240k x kx ++=,其中AP k k ≠,即12k ≠-,解得0x =或22443kx k -=+,0k ≠,12k ≠-,令22443k x k -=+,则2212943k y k -+=+,则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=,点B 到直线AP的距离d =,解得32k =,此时33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭,则得到此时12lk =,直线l 的方程为12y x =,即20x y -=,综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五:当l 的斜率不存在时,3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =,此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时,设3:(3)2PB y k x -=-,令()()1122,,,P x y B x y ,223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=,()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->,且AP k k ≠,即12k ≠-,21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩,A 到直线PB距离192PABd = ,12k ∴=或32,均满足题意,1:2l y x ∴=或332y x =-,即3260x y --=或20x y -=.法六:当l 的斜率不存在时,3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =,此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时,设3:(3)2l y k x =-+,设l 与y 轴的交点为Q ,令0x =,则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭,联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩,则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭,()2223348336362702k xk k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭,其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭,且12k ≠-,则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++,则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+,解的12k =或32k =,经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-,即3260x y --=或20x y -=.17. 如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,2PA AC ==,1,BC AB ==.(1)若AD PB ⊥,证明://AD 平面PBC ;(2)若AD DC ⊥,且二面角A CP D --,求AD .【答案】(1)证明见解析(2【解析】【分析】(1)先证出AD ⊥平面PAB ,即可得AD AB ⊥,由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥,从而 //AD BC ,再根据线面平行的判定定理即可证出;(2)过点D 作DE AC ⊥于E ,再过点E 作EF CP ⊥于F ,连接DF ,根据三垂线法可知,DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角,即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ,即可解方程求出AD .【小问1详解】(1)因为PA ⊥平面ABCD ,而AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又AD PB ⊥,PB PA P = ,,PB PA ⊂平面PAB ,所以AD ⊥平面PAB ,而AB ⊂平面PAB ,所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=,所以BC AB ⊥, 根据平面知识可知//AD BC ,又AD ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以//AD 平面PBC .【小问2详解】如图所示,过点D 作DEAC ⊥于E ,再过点E 作EF CP ⊥于F ,连接DF ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以平面PAC ⊥平面ABCD ,而平面PAC 平面ABCD AC =,所以DE ⊥平面PAC ,又EF CP ⊥,所以⊥CP 平面DEF ,根据二面角的定义可知,DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角,即sin DFE ∠=tan DFE ∠=因为AD DC ⊥,设AD x =,则CD =,由等面积法可得,DE =,又242xCE -==,而EFC 为等腰直角三角形,所以EF =,故tan DFE∠==x =AD =.18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =,且()0f x '≥,求a 的最小值;(2)证明:曲线()y f x =是中心对称图形;(3)若()2f x >-当且仅当12x <<,求b 的取值范围.【答案】(1)2-(2)证明见解析 (3)23b ≥-【解析】【分析】(1)求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值;(2)设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点,可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上,从而可证对称性;(3)根据题设可判断()12f =-即2a =-,再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时,()ln2xf x ax x=+-,其中()0,2x ∈,则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--',因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭,当且仅当1x =时等号成立,故()min 2f x a '=+,而()0f x '≥成立,故20a +≥即2a ≥-,所以a 的最小值为2-.,【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2,设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点,(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --,因为(),P m n 在()y f x =图象上,故()3ln 12m n am b m m=++--,而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦,2n a =-+,所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上,由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形,且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<,故1x =为()2f x =-的一个解,所以()12f =-即2a =-,先考虑12x <<时,()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立,设()10,1t x =-∈,则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立,设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-,则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-,当0b ≥,232332320bt b b b -++≥-++=>,故()0g t '>恒成立,故()g t 在()0,1上为增函数,故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时,2323230bt b b -++≥+≥,故()0g t '≥恒成立,故()g t 在()0,1上为增函数,故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-,则当01t <<<时,()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数,故()()00g t g <=,不合题意,舍;综上,()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时,而23b ≥-时,由上述过程可得()g t 在()0,1递增,故()0g t >的解为()0,1,即()2f x >-的解为()1,2.综上,23b ≥-.【点睛】思路点睛:一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解,而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点,另外,根据函数不等式的解确定参数范围时,可先由恒成立得到参数的范围,再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19. 设m 为正整数,数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列,若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列.(1)写出所有的(),i j ,16i j ≤<≤,使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列;(2)当3m ≥时,证明:数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列;(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <,记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ,证明:18m P >.【答案】(1)()()()1,2,1,6,5,6 (2)证明见解析 (3)证明见解析【解析】【分析】(1)直接根据(),i j -可分数列的定义即可;(2)根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论;(3)证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个,再使用概率的定义.【小问1详解】首先,我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ,则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列,当且仅当该数列是等差数列,故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+',得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+',然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之,我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+,此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题,第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <,使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后,剩余的4m 个数可以分为以下两个部分,共m 组,使得每组成等差数列:①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14,共3组;②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++,共3m -组.(如果30m -=,则忽略②)故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+,{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明,对142i j m ≤<≤+,如果下面两个命题同时成立,则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列:命题1:,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈;命题2:3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况:如果,i A j B ∈∈,且3j i -≠.此时设141i k =+,242j k =+,{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+,即2114k k ->-,故21k k ≥.此时,由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后,剩余的4m 个数可以分为以下三个部分,共m 组,使得每组成等差数列:①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---,共1k 组;②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+,共21k k -组;③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++,共2m k -组.(如果某一部分的组数为0,则忽略之)故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况:如果,i B j A ∈∈,且3j i -≠.此时设142i k =+,241j k =+,{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+,即2114k k ->,故21k k >.由于3j i -≠,故()()2141423k k +-+≠,从而211k k -≠,这就意味着212k k -≥.此时,由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后,剩余的4m 个数可以分为以下四个部分,共m 组,使得每组成等差数列:①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---,共1k 组;②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++,{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++,共2组;③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++,其中213,4,...,p k k =-,共212k k --组;④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++,共2m k -组.(如果某一部分的组数为0,则忽略之)这里对②和③进行一下解释:将③中的每一组作为一个横排,排成一个包含212k k --个行,4个列的数表以后,4个列分别是下面这些数:{}111243,44,...,3k k k k +++,{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++,{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++,{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数,它们再取并以后,将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++,{}121231,32k k k k ++++,{}1212221,222k k k k ++++,{}121231,32k k k k ++++,{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中,除开已经去掉的142k +和241k +以外,剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求,故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此,我们证明了:对142i j m ≤<≤+,如果前述命题1和命题2同时成立,则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先,由于A B ⋂=∅,A 和B 各有1m +个元素,故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个;而如果3j i -=,假设,i A j B ∈∈,则可设141i k =+,242j k =+,代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=,矛盾,所以,i B j A ∈∈.设142i k =+,241j k =+,{}12,0,1,2,...,k k m ∈,则()()2141423k k +-+=,即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -,对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+,总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中,不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时,总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论,使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>==++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于对新定义数列的理解,只有理解了定义,方可使用定义验证或探究结论.。
湖南大学2012高等数学2期末考试试题
![湖南大学2012高等数学2期末考试试题](https://img.taocdn.com/s3/m/a8dd163110661ed9ad51f3fe.png)
班级
姓名
学号
试求出 ( x0 , y0 );(2)现欲利用此山开展攀岩活动,为此需要在山脚处找一坡度最陡的位置作为攀 岩的起点,即在上述等高线上找一点 M , 使得上述增长率最大,试确定该起点的位置.
14. 如图,设力场 F yi xj ( x y z )k ,(1)求一质点由 A 沿圆柱螺线 L1 到 B 时,力 F 所做的功,
球面的交线在 xOy 坐标面上的投影.
3. 设曲面 是由 yOz 平面上的双曲线 z 2 4 y 2 2 绕 z 轴旋转而成, 曲面上一点 M 处的切平面
与平面 x y z 0 平行,写出曲面 和切平面 的方程.
4. 设函数 z xf ( xy
2z y z z 和 . ) ,其中 f 二阶可微,求 , x x y x y 2z z 2 z 和 . , x x 2 x y
第 13,14 题每题 9 分,第 15 题 10 分,共 16 分.
13. 设有一座山的方程为 z 75 x 2 y 2 xy , M ( x0 , y0 ) 是山脚 z 0 (即等高线 x 2 y 2 xy 75
上) 的点. (1) 问 z 在点 M ( x0 , y0 ) 处沿什么方向的增长率最大, 若记此增长量的最大值为 ( x0 , y0 ),
班级
姓名
学号
2011 级高等数学 A(2)期末考试试卷
第 1~12 题每题 6 分,共 72 分. 1.设 u 轴与三坐标轴正向构成相等的锐角,求空间向量 a (4, 3, 2) 在 u 轴上的投影.
2.
x 0, 一平面 过球面 x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 的球心,并垂直于直线 l : ,求该平面与该 y z 0
湖南大学高数A1试题(期末试题答卷)
![湖南大学高数A1试题(期末试题答卷)](https://img.taocdn.com/s3/m/027e0b247cd184254b353596.png)
f (x)
5
f (x)
5
-5
f (x)
5
x
5
-5
f (x)
5
x
x
-5
5 -5
5 -5
x
x
5 -5
5
(A) -5
(B) -5
(C) -5
)) 4.当 x 0 时, ex ln(1 x) 1 与 xn 是同阶无穷小,则 n 【】
(D) -5
1 2 3 4 (A) (B) (C) (D)
六、(8 分)(融化立方体冰块)某地为了解决干旱问题,需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨大的 立方体,其表面积成正比.如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时?(结果精确到小数点后一
体积的衰减率与其体积,问融化掉其 位,不能使用计算器)
余
得分 评分人 得分 评分人
: y x 七、(10 分)过点 (1, 5) 作曲线
0
20
装 订
此结论推广到满足在 [a, b] 上连续且关于 x
a b [a, 为偶函数(即对 b] 中的任何
x
有
f(ab
x)
f(ab
x) )的任意函数
f (x) 的
线
2
2
2
(
答 情形,请叙述并证明你的结论.
题
得分
不
评分人
得
超
九、(6 分)设 f (x) 在[a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f (b) 0 ,试证:至少存在一点 (a,b) , 使得 f ( ) f ( ) 0 .
精心整理
考试中心诚填信应写考,:考试作弊将带来严重后果!
湖南大学高数A试题期末试卷
![湖南大学高数A试题期末试卷](https://img.taocdn.com/s3/m/5e86644b551810a6f424862c.png)
诚信应考,考试作弊将带来严重后果!考试中心填写:(A)若lim ,lim ,,n n n n a A b B A B →∞→∞==<则对于充分大的自然数n ,有n n a b ≤(B)设(1,2,...)n n a b n <=,并且lim ,lim ,n n n n a A b B →∞→∞==则A B <(C)若lim n n a A →∞=,则1lim 1n n na a +→∞=(D)若lim n n a A →∞=,则对充分大的自然数n ,有n a A =2.2()d f x x x C =+⎰,则2(1)d xf x x -=⎰【】(A)222(1)x C -+(B)222(1)x C --+(C)221(1)2x C -+(D)221(1)2x C --+3.设函数()f x 的导数()f x '如右图所示,由此,函数()f x 的图形可能是【】4.当0→x 时,ln(1)1x e x +--与n x 是同阶无穷小,则n =【】(A)1(B)2(C)3(D)45.设[0,1]f C ∈且()0f x ≥,记110()d ,I f x x =⎰220(sin )d ,I f x x π=⎰430(tan )d ,I f x x π=⎰则下列不等式成立的是【】(A)123I I I <<(B)312I I I <<(C)231I I I <<(D)132I I I <<三、计算题(每小题5分,共20分).1)d t . ()x e x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)0,10 y t t y +-=++=确定,求0d t y =.四、(11分)设2sin ,0,()ln(1), 0,ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩试问,,a b c 为何值时,()f x 在0x =处二阶导数存在?五、(7分)若()2(1),n f x nx x =-记[0,1]max{()}n x M f x ∈=(即()f x 在[0,1]上的最大值),求lim n n M →∞.六、(8分)(融化立方体冰块)某地为了解决干旱问题,需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨大的立方体,其表面积成正比.如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时?(结果精确到小数点后一位,不能使用计算器)七、(10分)过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L .试求(1)切线L 的方程;(2)Γ与L 所围平面图形D 的面积;(3)图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.八、(8分)利用定积分的换元法我们可以证明:若()f u 是连续函数,则有0(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰.现要求将 过此线)湖南大学课程考试试卷湖南大学教务处考试中心装订线(答湖南大学课程考试试卷此结论推广到满足在[,]a b 上连续且关于2a bx +=为偶函数(即对[,]a b 中的任何x 有()()22a b a b f x f x ++-=+)的任意函数()f x 的情形,请叙述并证明你的结论.九、(6分)设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f b =,试证:至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()()0()f f a ξξξ'+=-.。
湖南大学2011级2012年高数A1答案
![湖南大学2011级2012年高数A1答案](https://img.taocdn.com/s3/m/199711f6910ef12d2af9e71b.png)
x d x d x d ( 2 t x ) f ( t ) dt 2 tf ( t ) dt [ x f (t )dt] dx 0 dx 0 dx 0
x x 0 0
(4 分)
2xf ( x) f (t )dt xf ( x) xf ( x) f (t )dt
(3 分)
3 x 1 ln( x 2 2x 5) arctan C 2 2
6、解: 作换元 x
(5 分)
1 , 有 u
2
(1 分)
3 1 2
dx x 1 x1 3Fra biblioteku 1 u
2
1
du 1 u |1 2
2
1 3
2 3 3
(2 分)
(4 分)
(5 分) (1 分) (3 分)
a (H h)]2 dh , H
(6 分)
a (H h)]2 hdh H
H 0
g[ (H h)]2 hdh
a H
1 ga2 H 2 12
(7 分)
代入数据得 W=3210×9.81×(230)2× (146)2/12=2959062766470J≈2.96× 1012 J
(8 分)
1
2
1 1 2n 1 ) 1 1 1(7 分) ,知 2 n 2 2 (k 1) (n 1) n1 n (n 1)
11、解:方程变形为 y
1
y cos 2x ,于是该方程为一阶线性方程; (2 分) x
1
1 1 1 C dx dx 求解得 y e x ( cos 2x e x dx C) ( x cos 2xdx C) sin 2x cos 2x x 2 4x x
湖南科技大学《高等数学》2023-2024学年第一学期期末试卷
![湖南科技大学《高等数学》2023-2024学年第一学期期末试卷](https://img.taocdn.com/s3/m/3dfb9248640e52ea551810a6f524ccbff021ca40.png)
湖南科技大学2023——2024学年第一学期《高等数学》期末考试试卷班级:姓名:学号:一、填空题(每小题3分,共15分分数:)1.=)(x f 21111x --的间断点是=x 2.若)0(,)(2n x n y e x y 则+==3.函数43)(3--=x x x f 的极大值点为4.dx e x ⎰+11=5.=-⎰dx x 2024二、填空题(每小题3分,共15分)1.当1→x 时,函数11211)(---=x e x x x f 的极限为())(A ∞)(B 不存在)(C 2)(D 02.设)(x f 是以3为周期的奇函数,且1)1(-=-f ,则)7(f =())(A 1)(B 1-)(C 2)(D 2-3.设||)(x x x f =,则)0(f '是())(A 0)(B 1)(C 1-)(D 不存在4.方程0133=+-x x 在区间(0,1)内())(A 无实根)(B 有唯一实根)(C 有两个实根)(D 有三个实根5.设)(x f 在[a -,a ]上连续(a >0),⎰=-dx x f a a )(())(A ⎰a 21.求极限(C )不存在 (D )⎰0a [f (x )+f (-x )]dx三、计算题(每小题8分,共40分0f (x )dx (B )0)x x x ln 1arctan 2lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→π。
2.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=0,0 ,sin )(x x x x x f ,求)(x f '。
3.()dx x 210arcsin ⎰yxt 1s 2s 1o 4.在区间]1,0[上给定函数2x y =,问t 为何值时,图中的阴影部分1S 与2S 的面积之和最小?何时最大?5.试确定正的常数a ,b 使等式1sin 1lim 2200=+-⎰→dt t a t bx x x x 成立。
四、综合应用题(每小题10分,满分20分)1.在曲线)0(2≥=x x y 上某点A 处作一切线,使此切线与曲线以及x 轴所围成图形的面积为121,试求由上述所围平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。
湖南大学2013年高等数学A1期末考试
![湖南大学2013年高等数学A1期末考试](https://img.taocdn.com/s3/m/ff776d667e21af45b307a83b.png)
考试中心填写:
____年___月___日
湖南大学课程考试试卷
;试卷编号: A ;考试时间:120 分钟
6.曲线 y x ln e
1 ( x 0) 的斜渐近线为 x
.
考 试
用
课程名称: 高等数学 A(1) ;课程编码:
7. 设 e x 是 f ( x) 的一个原函数,则 f ( x)dx 8. 9.
f (a) a ,
三. 应用题 (12 分) 过抛物线 y x 2 上一点 ( a, a 2 ) 作切线,问 a 为何值时所作切线与抛物线
b a
f ( x)dx
1 2 b a2 , 2
求证:在 ( a, b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) f ( ) 1 .
a
2.若 f ( x) ,
二.计算题(每小题 8 分,共 48 分)
b
处处可导,则 a
. ,b
ea x ,
2
x0
1 tan x x3 1.求 lim . x 0 1 sin x
.
1
b(1 x ), x 0
3. 设函数 y f ( x) 在点 x0 处可导, 当自变量 x 由 x0 增加到 x0 x 时, 记 y 为 f ( x) 的增量, dy 为 f ( x) 的微分,则 lim
.
专业班级:
学号:
姓名:
湖南大学课程考试试卷
装订线(题目不得超过此线)
题
号
一 33
二 48
三 12
四 7
五
六
七
八
(完整)高等数学考试题库(附答案)
![(完整)高等数学考试题库(附答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/14775385cf2f0066f5335a8102d276a200296083.png)
高等数学考试题库(附答案)1. 解析:求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。
2. 解析:求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。
3. 解析:求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
4. 解析:求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
5. 解析:求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。
6. 解析:求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。
7. 解析:求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。
8. 解析:求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。
9. 解析:求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。
10. 解析:求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。
11. 解析:求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。
12. 解析:求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。
13. 解析:求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
14. 解析:求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
15. 解析:求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
16. 解析:求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
17. 解析:求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。
18. 解析:求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
19. 解析:求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。
20. 解析:求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
(完整版)湖南大学线性代数期末试卷及答案,推荐文档
![(完整版)湖南大学线性代数期末试卷及答案,推荐文档](https://img.taocdn.com/s3/m/52254276a1c7aa00b42acb16.png)
第一部分 选择题 (共28分)一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式=m ,=n ,则行列式等于()a a a a 11122122aa a a 13112321aa a a a a 111213212223++ A. m+n B. -(m+n) C. n -mD. m -n2.设矩阵A =,则A -1等于()100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ A. B. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. D. 13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A =,A *是A 的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ A. –6 B. 6 C. 2 D. –24.设A 是方阵,如有矩阵关系式AB =AC ,则必有( ) A. A =0 B. B C 时A =0≠ C. A 0时B =C D. |A |0时B =C ≠≠5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关,则秩(A T )等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βs 均线性相关,则( )A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs (αs +βs )=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs (αs -βs )=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs 和不全为0的数μ1,μ2,…,μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A 的秩为r ,则A 中( )A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是( )A.η1+η2是Ax=0的一个解B.η1+η2是Ax=b 的一个解1212C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b 的一个解9.设n 阶方阵A 不可逆,则必有( )A.秩(A )<n B.秩(A )=n -1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是( )A.如存在数λ和向量α使A α=λα,则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使(λE -A )α=0,则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A 的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A 的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根,A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ,则必有( ) A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>312.设A 是正交矩阵,则下列结论错误的是( ) A.|A|2必为1 B.|A |必为1 C.A -1=A T D.A 的行(列)向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B =C T AC .则( ) A.A 与B 相似 B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为( ) A. B.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C. D.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题(共72分)二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。
湖南高考函数试题及答案
![湖南高考函数试题及答案](https://img.taocdn.com/s3/m/f1abeb42ae45b307e87101f69e3143323868f576.png)
湖南高考函数试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x - 3,若f(2) = 1,则f(-1)的值为()A. -7B. -5C. 1D. 3答案:B2. 函数y = 3x^2 - 6x + 5的顶点坐标为()A. (1, 2)B. (-1, 8)C. (2, 1)D. (-2, 13)答案:A二、填空题3. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在x = 1处取得极值,则该极值是____。
答案:-24. 函数y = x^2 - 4x + 4的对称轴方程为____。
答案:x = 2三、解答题5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + c,求c的值,使得f(x)在区间[0, 2]上单调递增。
解:由题意可知,函数f(x)的对称轴为x = 2,因此f(x)在[0, 2]上单调递增。
对称轴的方程为x = -b/2a,即x = 4/2 = 2。
因此,c = 4。
6. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c,若f(1) = 3,f(-1) = 1,求f(2)的值。
解:根据题意,我们有以下方程组:\begin{cases}a +b +c = 3 \\a -b +c = 1\end{cases}将方程组相减得2b = 2,所以b = 1。
将b的值代入任一方程得a + c = 2。
又因为f(2) = 4a + 2b + c,代入a + c = 2和b = 1,得f(2) = 4 + 2 + 2 = 8。
四、综合题7. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6,求f(x)的单调区间。
解:首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0,解得x =1和x = 11/3。
因此,f(x)在区间(-∞, 1)和(11/3, +∞)上单调递增,在区间(1, 11/3)上单调递减。
8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求f(x)的极值点及对应的极值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
湖南大学《高等数学》考试试卷
一.填空题:(本题总分20分,每小题4分)
1.设2()5f x ax bx =++,且(1)()83f x f x x +-=+,则 =a ,=b ; 2.函数)
1(arcsin )(+=
x x x
x f 的连续区间为 ;
3.方程x x y cos +=''的通解为 ;
4.下列函数中,当0→x 时,与无穷小量x 相比,是高阶无穷小量的是 ;
(A). x sin (B). 2-x (C).
x (D). x cos 1-
5.已知xy y +=1,则='y 。
二.计算题:(本题总分49分,每小题7分) 1.计算下列极限:
(1). x x x e e x x x sin 2lim 0----→ (2). 503020)
12()23()32(lim ++-∞→x x x x 2.计算下列导数或微分:
(1). x x y sin 2
1
-=,求dy dx . (2). x e y arctan =,求dy .
3.计算下列(不)定积分:
(1). ⎰xdx e x sin (2).
dx x
⎰
1
1
(3).
⎰
-0
2
1
2
1dx x
x
三.解答题:(本题总分16分,每小题8分) 1.求微分方程y x y y x '-'=''的通解。
2.求由抛物线342-+-=x x y 及其在)3,0(-,)0,3(处的切线所围成的平面图形的面积。
四.应用题:(本题10分)
设一质点在直线上运动,它的加速度与速度平方成正比(设比例常数为k ),但与速度方向相反。
设运动开始时,质点的速度为0v ,求质点速度v 与时间t 的函数关系。
五.证明题:(本题5分) 设0>>b a ,证明:
b
b
a b a a b a -<
<-ln 。
标准答案
一.填空题:(本题总分20分,每小题4分) 1.4,1-; 2.]1,0()0,1( -;
3.213
cos 6
C x C x x y ++-=; 4.(D);
5.x
y
-1。
二.计算题:(本题总分49分,每小题7分)
1. (1). 原式x e e x x x cos 12lim 0--+=-→(3分)x
e e x x x sin lim 0-→-=(5分)x e e x x x cos lim 0-→+=2=;
(7分) (2). 原式5030
20122332lim ⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=∞
→x x x x (4分)503020232⋅=(6分)30
23⎪⎭
⎫
⎝⎛=。
(7分) 2. (1). 由
x dx dy cos 2
11-=,(4分)则dy dx x cos 22
-=
;(7分) (2). dy ()
x d e x arctan arctan = x d x
e x
+=11
arctan
dx x x e x
2111arctan +=(6分) dx x x e x
)
1(2arctan
+=。
(7分)
3. (1). 原式⎰=x xde sin ⎰-=xdx e x e x x cos sin ⎰-=x x xde x e cos sin
⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ,
(5分) 所以 ⎰xdx e x sin ()C x x e x
+-=
cos sin 2
1;
(7分)
(2). 原式1
2x =(5分)2=;(7分)
(3). 原式⎰--=2
1
022)1(11
21x d x
(4分)=21
021x -(6分)=123-。
(7分)
三.解答题:(本题总分16分,每小题8分)
1. 解:令y p '=,则y p ''=',代入原方程得 …………3分 )1(x p xp p p x -=-=' …………4分 分离变量得
dx x
x
p dp -=1 …………5分 两边积分得 1ln ln ln C x x p +-= 即 1C e x p y x ⋅⋅=='- …………7分 所以原方程的通解为 ⎰⎰---==x x xde C dx xe C y 11)1(12+-=-x e C C x 。
8分
2.解:先求得两条切线为 34-=x y 和 62+-=x y ,两切线交点为 ⎪⎭
⎫
⎝⎛3,23 ……3分
⎰⎰+-++-++-+-=2
30
3
2
322
)3462()3434(dx x x x dx x x x A …………6分
499333
3
2
32
3
230
3=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=
x x x x 。
…………8分
四.应用题:(本题10分)
解:依题意得 2kv v -=',00v v t == …………3分
分离变量得
kdt v
dv -=2
,两边积分得通解为 kt C v +=1
, ………7分 又00v v t ==,故0
1
v C =。
故解此微分方程得 t kv v v 001+=。
……10分
五.证明题:(本题5分)
证明:设x x f ln )(=,则)(x f 在],[a b 上连续,在),(a b 内可导,由拉格朗日中值定理
有,存在),(a b ∈ξ,使 )(1
ln ln ln
b a b a b a -=-=ξ
…………3分。