变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择

变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择 中煤北京煤机公司退休职工 周万峰

摘要：目前变位圆柱齿轮的跨齿数，教材、手册上大都给出的是用公式“πααxctg z k 25.01800++=”和“公法线长度 )(*

*kn k W W 表”进行选择。其实该公式和该表并不是情况良好的公式和情况良好的选择用表。本文对此进行了分析和论证，并推荐出情况良好的公式和给出合理的选择用表。

关键词：跨齿数，公法线长度，公法线长度测量点。

目前手册上对变位齿轮的跨齿数大都给出两种确定方法：一种是用公式计算，一种是查图表。用公式计算绝大多数手册都给出的是下面的公式： απαctg x z k 25.0180

0++= （直齿） （1） n n n ctg x z k απα25.0180

0++'= （斜齿） （1） 用查表法手册大都给出的是“020 1====n n m m αα、的标准齿轮的公法线长度

表 )(*

*k k W W ”

（见表1）。笔者认为：公式（1）并不是个情况良好的公式，表1也不是个跨齿数合理的选择用表。下面进行分析和论证。

表1 公法线长度)(**kn k W W

020 1='===αα，m m

注：本表选自1991年版由徐灏任主编的《机械设计手册》第三卷“表23·2——13”。该表跨齿数偏少，公法线的测量点靠近齿根，情况不良。今天各家手册大都有这个表。

1、表1不是跨齿数合理的选择用表 今天各家手册都给出了表1这样的“公法线长度 )(**k k W W 表”，但该表并不是个公法线长度计算合理的选择用表：

⑴ 该表是将“公法线长度”与“基圆弧长”混为一谈的。该表称“ )(**kn k W W 为 1=m （或)1=n m 的标准齿轮的公法线长度”是不合理的。对z=86这个齿轮而言，经验

证当k=10、k=11时，它们对应的2020.32)(2497.29)(==*

***kn k kn k W W W W 和是这个标准齿轮的公法线长度；但当k=12、k=13时，它们对应的1060.38)(1540.35)(==*

***kn k kn k W W W W 和就不是这个标准齿轮的公法线长度了。因为它们的测量点都在齿顶圆之外，不符合公法线长度的定义，所以它们不是公法线长度。下面对) 12(k 1540.35==*k W 这条所谓公法线长度的合理性进行验证如下：

① 计算1540.35=*k W 的测量点所在圆直径k d 2

2b k k d W d +=

1540.35=*k W ，b d 为基圆直径，8136.8020cos 86d 86861mz d cos 0b ==∴=⨯===，，αd d b 。

1286.888136.801540.3522=+=∴k d 。

② 计算标准齿轮的齿顶圆直径a d

a a a h h d d ， 2+=为齿顶高，∴==， 1m h a 881286=⨯+=a d 。

③ 计算公法线测量点至齿顶的距离a s

0643.02)1286.8888( 2)(-=-=∴-=a k a a s d d s ，。

公法线测量点至齿顶的距离为负值，这说明测量点在齿顶圆之外，量具卡脚不能与渐开线齿廓相切，不符合公法线长度的定义，所以) 12(k 1540.35==*

k W 这条线段不是公法线长度。K=12的这条都不是公法线长度，那k=13的这条就更不是公法线长度了。在这4条线段中有两条是公法线长度，有两条不是公法线长度；而教材、手册一概称它们都是公法线长度，显而易见这种说法是站不住脚的。那么k=12、k=13这两条线段是什么呢？它们是该齿轮含12个齿和13个齿的基圆弧长而不是公法线长度。然而把“基圆弧长”说成是“公法线长度”这显然是指鹿为马了。

那么在这种情况下（如表1中既有公法线长度，又有基圆弧长）怎么办呢？笔者认为在这种情况下应将它们一概称做“基圆弧长”是说得通的。因为凡是公法线长度必然是基圆弧长，而没有公法线长度功能的基圆弧长，它本身就是基圆弧长。因此在这种情况下一概称它们是“基圆弧长”是合理的，而一概称它们为“公法线长度”是不合理的。

⑵ 表1给出的变位系数范围过大，因而有些跨齿数是不合理的 比如z=86这个齿轮当x>0.6~1.2时k=11，变位系数范围过大了，不合理。 x>0.26~0.903时k=11才是合理的；当x>0.903~1.2时就该按k=12计算了（见表2）。表1误差如此之大，怎能保证公法线长度的合理性及合理测量呢？须知：跨齿数多跨或少跨1齿有时会给公法线长度的测量造成“测量点在齿顶部或齿根部，使公法线长度测量不准或无法测量”，而且还会给斜齿轮造成不良的后果。详见拙作《从斜齿轮齿宽能否进行公法线长度的测量的验算结果，看跨齿数选择合理的重要性》一文。表1的问题是：跨齿数偏少，公法线测量点靠近齿根；公法线长度测量不准，影响齿厚精度。

⑶ 表1只有正变位系数而没有负变位系数是不全面的。

表1中只有正变位系数而没有负变位系数是不全面的。谁能说只设计正变位齿轮而不设计负变位齿轮呢？当设计负变齿轮时设计者还需另找资料，这不是增加麻烦吗？鉴于表1种种不合理、不完整之情况，笔者不揣冒昧，将表1改造成表2的样子（见表2）。笔者认为：表2才是变位齿轮跨齿数选择和公法线长度计算的合理用表。 2、公式(1)并不是个情况良好的公式

公式（1）是今天众多手册如《机械设计手册》、《机修手册》等手册热选的公式，但它并不是个情况良好的公式。它的跨齿数往往偏多，公法线的测量点靠近齿顶，情况不良（见表3）。在众多跨齿数计算公式中下面的公式是情况良好的公式：

5.02cos arccos 180

0++=x z z z k α （直齿） （2） 5.02cos arccos 1800++'''=

n n x z z z k α （斜齿） （2） 经验证，公式（2）确定的跨齿数一般都是合理的，公法线的测量点一般都在齿高的中点部位，情况良好（见表3）。

表2 基 圆 弧 长 *L

0201====

m m αα

注 ：① 表2是笔者根据表1改造的。② 绝对值符号内数字是负变位系数的据对值。负变位系数按绝对值的大小查取跨齿数是为了习惯上的方便。如95.0-=x 则取8=k ；如25.1-=x 则取7=k 。如此而已。③ 变位系数的范围是由本文公式（2）计算的。

表3 变位齿轮跨齿数选择方法优劣之比较

0 注：① 从本表明显看出，表1公法线的测量点靠近齿根，公式（1）的测量点靠近齿顶，情况均不良。而公式（2）和表2的测量点都在齿高的中点部位，情况甚好。② 4.1 41==x k ，的跨齿数6=k 也是从“表23·2——13”选取的（见表1的“注”）。③ 本表的齿数和变位系数肯定不是用于高度变位、而是用于角度变位的。之所以取mm h 25.11=（实际上)25.11mm h <是为了计算上的方便、省事（偷懒，因为角度变位齿轮的全齿高计算非常麻烦），其说明的道理是一样的。