椭圆的简单几何性质(时)资料

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椭圆的第二定义及简单几何性质

二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右；左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。

椭圆的简单几何性质

2.2 椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质【学习目标】1、理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长；2、掌握椭圆的离心率及c b a ,,的几何意义。

【重难点】重点：椭圆的简单几何性质难点：求椭圆的离心率【学习过程】复习引入：1、椭圆的定义我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点21,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点21,F F 间的距离||21F F 叫做椭圆的焦距。

2、椭圆的标准方程焦点在x 轴上：12222=+b y a x )0(>>b a 焦点在y 轴上：12222=+ay b x )0(>>b a3、重要结论：222c b a +=知识点一：椭圆的简单几何性质 1、范围由图形及椭圆的标准方程12222=+b y a x 可知，122≤a x 且122≤by ，即⎩⎨⎧≤≤-≤≤-by b ax a 故椭圆12222=+by a x 位于直线a x ±=和b y ±=所形成的矩形框里。

2、对称性观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。

在椭圆12222=+by a x 中，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于x 轴对称；用x -代替x ，方程不变，所以椭圆关于y 轴对称；用x -代替x ，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于原点对称。

结论：椭圆关于x 轴和y 轴都对称，所以x 轴、y 轴叫做椭圆的对称轴；对称轴的交点原点，叫做椭圆的对称中心。

3、顶点椭圆与对称轴的交点，叫做椭圆的顶点。

显然12222=+by a x 有四个顶点，其中在x 轴上有)0,(),0,(21a A a A -，在y 轴上有),0(),,0(21b B b B -。

线段2121,B B A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别和a 2和b 2，b a ,分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的简单几何性质ppt课件

由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2；长轴长
短轴：线段B1B2；短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)

3.2.2 椭圆的简单几何性质

度吗？

椭圆的离心率 e= ．

范围： 0<e<1
e越接近1，c越接近a， = 2 − 2 越小，因
此椭圆越扁平；
e越接近0，c越接近0， = 2 − 2 越大，因
此椭圆越接近于圆；
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，
图形变为圆，方程为 2 + 2 = 2 .
典型例题
典型例题
例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=
4
比是常数，求动点M的轨迹．
5
25
的距离的
4
轨迹方程
轨迹上任意的点 M 的坐标(x , y)所满足的条件
点M所满足的条件
点M与定点F(4,0)的距离和M到定
25
4
直线l:x= 的距离的比是常数
4
转化
5
两点间距离和点到直线的距离
6 − 91 = 0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?
圆 2 + 2 + 6 + 5 = 0
圆心1 (− 3,0),半径r1=2
椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，
经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知 ⊥ 1 2 ， 1 = 2.8cm，
1 2 = 4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．
椭圆的方程
求a,b
建立关于a,b的方程
典型例题
2
4.12
+
2
3⋅4 2
= 1．
方
程
思
想
典型例题
例1 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲

椭圆的简单几何性质

由课本一道例题的推广
[课本 47页例6]点M与定点F ( 4,0)的距离和它到直线l : x 4 的距离的比是常数，求点M的轨迹. 5
解后反思：这个定点是什么点？这个常数是什么值？这个定直线l与椭圆有什么联系？由此，能否得到一个更一般的猜想？
25 4
a2 推广：点M与定点F (c ,0)的距离和它到直线l : x 的距离 c c 的比是常数，求点M的轨迹. a
(7 )在x轴的一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴端点的距离是 10 5 .
离心率的理解和运用
2.已知椭圆的焦距是长轴长和短轴长的等比中项，求离心率 . x2 y2 1 3.若椭圆 1的离心率为，求k的值. k 8 9 2 3 4.已知椭圆x (m 3) y m(m 0)的离心率e ，求 2 m的值及椭圆的长轴和短轴的长 .
c
与准线有关问题
x2 y2 11.椭圆 1上有一点P，它到左准线的距离为 10， 100 36 求P到右焦点的距离及 P点坐标 . 12.根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1)长轴长为 12，两焦点恰为两准线间距离的三等分点 ; 3 50 (2)离心率为，一条准线方程为 x ; 5 3 (3) P是椭圆上一点， P与两焦点的连线互相垂直，且 P到两准线的距离分别为 6和 12.
请写出焦点在y轴上时的范围
6 5
10
8
6
B1
4
4
3
2
2
1
-8
-6
A1
-4
F1
-2
O
-1
2
-15
F2
4
A2
6
8

椭圆的几何性质(简单性质)

3
则 C 的离心率为 3
.
y
BF 2FD
B
(c, b) 2( x c, y)
x
3 2
c,
y
b 2
.
OF
x
D
(
3 2
c
a2
)2
(
b 2
)2
b2
1,
c2 a2
1 3
,
e
3 3
.
主页
【4】(09·江苏)如图，在平面直角坐标系
xOy中, A1, A2, B1, B2为椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的四
PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
y
P
解：当点 P 在椭圆短轴端点时， F1PF2 最大．
F1
o
F2
x
≥ 45 sin ≥
2 2
c a
sin
≥
2 2
又0e1
2 2
≤
e
1
主页
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且 PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
(Ⅱ)设 PF1 m, PF2 n ，构造方程、不等式
解解解解:::易:易易易知知知知aaa＝a解＝＝＝2:22，易，2，，b知bb＝＝＝ba1＝1＝1，，，12cc，＝c，＝＝cb＝＝333，，，1，3，c＝ 3，所所所所以以以以FFFF11(1(1－(－(－所－3以33，，3，F0，00)1)，()，0－，)FF，F22(23(F(，3233，(，0，)03，00)，)．)．F．02()．3，0)．设设设设PPP((x((xx，x，，，yy)y设)y，)，，)，P(x，y)，

椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离厅汀2|叫做椭圆的焦距。

对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3）作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。

若不然，当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无轨迹。

这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。

同学们想一想其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。

椭圆的焦点在x 轴上标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。

1.椭圆的几何性质(简单性质)

e =
c a
a2=b2+c2
已知椭圆方程为16x =400，例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则它的长轴长是： 10 ；短轴长是短轴长是： 8 ；它的长轴长是短轴长是
焦距是：焦距是
6
；离心率等于离心率等于：离心率等于
焦点坐标是：焦点坐标是
(±3, 0) ；顶点坐标是 (±5, 0) (0, ±4) ；顶点坐标是：顶点坐标是
x2 y2 + = 1 的两个焦点为 1 、F2 ，过左焦点作的两个焦点为F 椭圆 45 20
直线与椭圆交于A，两点，的面积为20，直线与椭圆交于，B 两点，若△ AB F2 的面积为，求直线的方程。求直线的方程。
y
（x1 , y1） A
o
（x2 , y2） B F1 F2
x
作业
1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，已知椭圆的中心在原点轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（，），），求轴是短轴的三倍，且椭圆经过点（3，0），求椭圆的方程. 椭圆的方程 2 2 x + 2 y = 4 的左焦点作倾斜角为 30 0 2.过椭圆过椭圆的直线AB，求线段AB的长度的长度. 的直线，求线段的长度
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点、
x a
2 2
y2 + = 1( a > b > 0 ) 2 b
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 y

《椭圆的简单几何性质》知识点总结

椭圆的简单几何性质知识点总结椭圆是一种重要的几何图形，具有一些特殊的性质。

在本篇文档中，我们将总结椭圆的一些简单几何性质。

1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2，及其到两个焦点的总距离的一半定为常量2a（长轴），椭圆上每一点到两个焦点的距离之和等于常量2a。

椭圆的另一个参数e（离心率）定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a，其中c是焦点之间的距离。

2. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点F1和F2对称分布在长轴上，并且与椭圆的中心O相等。

准线是通过焦点F1和F2垂直于长轴的直线，交于椭圆的中心O。

准线的长度定为2b（短轴）。

椭圆的离心率e= c/a = √(a^2 - b^2)/a。

3. 椭圆的主轴和副轴椭圆的主轴是长轴，长度为2a。

副轴是短轴，长度为2b。

长轴和短轴是椭圆上的两个对称轴。

4. 椭圆的焦准距椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。

我们把这个距离之和称为焦准距。

对于同一条主轴上的两个点P1和P2，它们到焦点的距离之和相等。

5. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的重要参数。

离心率e定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a。

当离心率小于1时，椭圆是真椭圆；当离心率等于1时，椭圆是半圆；当离心率大于1时，椭圆是伪椭圆。

离心率越接近于0，椭圆形状越扁。

6. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过不同的形式来表示，其中最常用的是标准形式和一般形式。

标准形式的椭圆方程为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。

一般形式的椭圆方程为：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E为常数。

7. 椭圆的焦距定理椭圆的焦距定理说明了椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的主轴长度。

即PF1+PF2=2a。

8. 椭圆的切线椭圆上任意一点P的切线是通过点P且与椭圆仅相交于点P的直线。

第8讲：椭圆的简单几何性质

第8讲：椭圆的简单几何性质基本知识点1 椭圆的范围以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||.x a y b ≤≤ 这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内(如图2.2－8)．2 椭圆的对称性以椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>为例．（1）．椭圆的对称轴：坐标轴．（2）．椭圆的对称中心：原点O (0，0)．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．3 椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．（1）．椭圆的顶点令0x =，得y b =±；令0y =，得x a =±.这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．（2）．椭圆的长轴、短轴线段A 1A 2叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段B 1B 2叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．4 椭圆的离心率（1）．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作2.2c c e a a == （2）．范围：因为0a c >>．所以01,c a<<即(0,1)e ∈. 5 直线与椭圆的位置关系（1）．直线与椭圆的三种位置关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离．（2）．直线与椭圆的位置关系的判断：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式△来判定：△0>⇔直线与椭圆相交；△0=⇔直线与椭圆相切；△0<⇔直线与椭圆相离．（3）．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦．若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点1122(,),(,),A x y B x y 则直线被椭圆所截得的弦长公式为212||1||AB k x x =+-或 1221||1||AB y y k =+-.性质的应用应用点一由方程求椭圆的几何性质例1. 求椭圆 22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．应用点二由椭圆的几何性质求方程例2（1）已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍。

椭圆的简单几何性质

不同点
焦点
顶点准线
F1 (c,0) F2 (c,0)
A1 (a,0) A2 (a,0) B1 (0,b) B(0, b)
F1 (0,c) F2 (0, c)
A1 (0,a) A2 (0, a ) B1 (b,0) B(b,0)
a2 x c
a2 y c
例题讲解
练习１: 求下列椭圆的焦点坐标和准线
(1)
+ =1 100 36
25 __ x= ±
x2 __
2 y __
焦点坐标:(-8,0),(8,0). 准线方程:
2
(2) 2x2+y2=8
焦点坐标:(0,-2),(0,2). 准线方程:y= ±4
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例题讲解
例2：求中心在原点，一条准线方程是x=3，离心率为 5 的椭圆标准方程。
c [3]e与a,b的关系: e a
a b b 1 a a
2 2 2
2
2
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程
x y 2 1(a b 0) 2 a b
B2 y A1 F1 O B1 F2 A2 x
2
2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
A2 F2 B1 O F1 A1 y B2
F (c,0) 0
F (c,0)
2 a x 方程是 x c
a x c
2
a x c
2
由椭圆的对称性,相应与焦点 F (c,0) 的准线方程是
a2 x c
知识归纳
图形相同点
方程
长轴长 2a, 短轴长 2b
c 离心率e (0 e 1) a 2 b2 c2 a 2 2 2 2 y x x y 2 1(a b 0) 2 1(a b 0) 2 2 a b a b

2.2.2椭圆简单几何性质(第4课时)(直线与椭圆的弦长公式)

解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一
条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
2、若P(x,y)满足大值、最小值.
解：
,求
的直的最
例：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条
二、弦长公式
推导：设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线斜率为k．
弦长公式：
其中
、
可以由韦达定理求得
例：已知斜率为1的直线L过椭圆交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未知数，得到二元一次方程；
(3)韦达定理；
为：
一、直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
由方程组：
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
通法
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
回忆：直线与圆的相交弦长弦长公式：
椭圆的简单几何性质
(第四课时)
弦长公式Байду номын сангаас
要点·疑点·考

2.1.2椭圆的简单几何性质_课件-湘教版数学选修1-1

于是a＝5，b＝4，c＝ 25－16＝3.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，
离心率e＝
c a
＝
3 5
，两个焦点坐标分别是F1(－3，0)和F2(3，
0)，四个顶点坐标分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
点评解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准情势，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质．
①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共点；
当m＝－ 5 或m＝ 5 时，Δ＝0，方程③有两个相等的实数
根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共点；
当m<－ 5或m> 5时，Δ<0，方程③没有实数根，直线与椭
圆没有公共点．
点评 (1)直线与椭圆公共点个数的判断方法为：联立直线与椭圆方程，消去方程组中的y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方
2b2 r1r2
－1≥
（r12＋2b2r2）2－1＝2ab22－1(当且仅当r1＝r2时取“＝”号)．
由此可知当P点为短轴的端点时θ角最大，设∠F1PF2的最大
角为θ0，当θ0<90°时，椭圆上不存在点P使得∠F1PF2＝90°；当
θ0＝90°，椭圆上存在两个点使得∠F1PF2＝90°；当θ0>90°
2c
对称轴 x轴y轴，对称中心原点 e＝ac(0＜e＜1)
自主探究 1．能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示
可以，由于e＝ac，又c＝ a2－b2，
故e＝ac＝ a2a－b2＝
1－ba22.
2.
如图所示，椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c，e对应的线段或量？提示 a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝ac＝||FO2FB22||＝cos∠OF2B2.

椭圆的简单几何性质

1椭圆的简单几何性质一、几何性质1.范围：椭圆的范围是b y b a x a ≤≤-≤≤-,2.对称性：椭圆关于x 轴、y 轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3.顶点：在椭圆的标准方程里，令y =0，得a x ±=可得A 1（－a ,0）、A 2(a ,0)是椭圆在x 轴上的两个顶点，，同理. 令x =0得y =±b ,所以得到：B 1（0,－b ）、B 2（0,b ）是椭圆在y 轴的两个顶点（1）椭圆上任意一点P （x ，y ）与两焦点构成的三角形称为焦点三角形，周长为2（a+c ）（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足222c b a +=4.离心率：离心率ac e =a b a b a 2221-=-=，（0＜e ＜1）⎩⎨⎧，椭圆越接近圆趋近时，趋近，椭圆越扁平趋近时，趋近001c e a c e 5.椭圆的准线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=c a y y c a x x 22准线线的方程准线线的方程轴上时，当焦点在轴上时，当焦点在二、椭圆的第二定义平面内与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 的点的轨迹是椭圆三、椭圆的其他几何性质（1）焦准距：椭圆的焦点到相应准线的距离叫做焦准距，焦准距cb 2=2（2）通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长=ab 2，它是过椭圆焦点的弦中最短的一条弦。

（3）椭圆上到中心距离最远或最近的点：设),(y x P 为椭圆上的任意一点，则当P 在短轴端点处时OP 最短，则当P 在长轴端点处时OP 最长四、椭圆的焦半径及其应用（1）若椭圆方程为),(,1112222y x P by a x =+为椭圆上任一点，)0,()0,(21c F c F -是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知：11211ex a PF e ca x PF +=⇒=+，)0(12122>>-=⇒=-b a ex a PF e x ca PF若椭圆方程为),(,1112222y x P bx a y =+为椭圆上任一点，)0()0(21c F c F ，，-是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知：11211ey a PF e ca y PF +=⇒=+，)0(12122>>-=⇒=-b a ey a PF e y ca PF（2）由椭圆的焦半径公式可以推出：如果椭圆上的三点A,B,C 到同一焦点的距离成等差数列，则A,B,C 三点的横坐标（或纵坐标）也成等差数列，这样解决问题时就比较方便。

椭圆几何性质知识点总结

椭圆几何性质知识点总结1. 椭圆的定义椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

即PF1+PF2=2a。

其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。

椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。

椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。

2. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。

椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。

离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆退化为一条直线。

3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。

一般来说，椭圆的参数方程可以写成x=acos(t)，y=bsin(t)。

其中(a,b)是椭圆的长短轴长度，t是参数。

4. 椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。

5. 椭圆的几何性质椭圆具有许多重要的几何性质，例如：a. 椭圆的焦点性质：任意点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

b. 椭圆的直径定理：椭圆的任意直径的长度都等于椭圆的长轴长度。

c. 椭圆的对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。

d. 椭圆的切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与两个焦点到该点的连线的夹角相等。

6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

椭圆的周长可以表示为C=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分。

7. 椭圆的方程类型椭圆的方程可以分为标准方程和一般方程两种类型。

标准方程是指椭圆的中心点在坐标原点的方程形式，一般方程是指椭圆的中心点不在坐标原点的方程形式。

8. 椭圆的相关问题在实际问题中，椭圆经常出现在各种应用中，例如天体运动、工程设计等。

因此，研究椭圆的相关问题对于理论研究和应用都具有重要意义。

椭圆的简单几何性质完整版课件

②当m>4时，a＝ m，b＝2， ∴c＝ m－4， ∴e＝ac＝ mm－4＝12，解得m＝136， ∴a＝4 3 3，c＝2 3 3，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为
83 3
，4，焦点坐标为
F10，－2
3
3，F20，2
3
3，顶点坐标为A10，－4
3
3，A20，4
3
3，
B1(－2,0)，B2(2,0)．
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ac等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为
试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤.
[提示] 1将椭圆方程化为标准形式. 2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论 3求出a，b，c. 4写出椭圆的几何性质.
[跟进训练] 1．已知椭圆C1：1x020＋6y42 ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
1234 5
3．已知椭圆C2过椭圆C1：
x2 14
＋
y2 9
＝1的两个焦点和短轴的两个
端点，则椭圆C2的离心率为( A )
A．23
B．
2 2
C．12
D．13
1234 5
4．与椭圆y42＋x32＝1有相同的离心率且长轴长与x82＋y32＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为________．

【高中数学优质课件】椭圆的简单几何性质(课时3)

椭圆的简单几何性质
复习回顾
定义
不
图形
同
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y y P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
点
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，
2 2]
B．(0，12]
C．[ 2－1,1)
D．[12，1)
解析：依题意|FA|＝|FP|. ∵|FA|＝ac2－c， |FP|≤a＋c， ∴ac2－c≤a＋c，即 a2≤ac＋2c2， ∴2e2＋e－1≥0，(2e－1)(e＋1)≥0. 又 0<e<1，∴12≤e<1.
正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等，故设B（t,t)代入椭圆方程
求得
t2
a2b2 a2 b2
4a2b2 即正方形ABCD面积为 a2 b2
y
B2
AE
B
F
A1
O
A2 x
D
B1 C
变式训练3 已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．
∴0<e<
2 2.
例1 (1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为 3，求椭圆的标准方程； (2) 如图，已知椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2 在 x 轴上，