描述流体运动的两种方法(流体运动学)
流体力学-第三章
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
描述流体运动的LagrangeEuler方法.精品ppt资料
u u(x, y,z,t)
v
v(x,
y,
z,t)
w w ( x , y , z , t )
其中，x,y,z 为空间点的坐标，t 表示时间。
x,y,z,t 称为欧拉变数，是四个相互独立的变量。
➢x,y,z 给定，t 变化，表示不同时刻不同流体质点通过同
一空间点的速度。
➢t 给定， x,y,z 变化，表示给定时刻，不同流体质点通过
第 1 章 流体运动学 (流体运动的描述与连续方程)
1.1 描述流体运动的方法 1.2 迹线与流线 1.3 流体流动根本方程积分式—雷诺输运公式 1.4 微分形式连续方程 1.5 流体微团的运动分析 1.6 有旋流动与无旋流动
第 1 章 流体运动学 (流体运动的描述与连续方程)
1.1 描述流体运动的方法
a,b,c,t 称为拉格朗日变数。
a,b,c 给定，表示指定质点的轨迹。
t 给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。
上式就是质点以〔a, b, c〕为参数的轨迹方程。
1.1 描述流体运动的方法
拉格朗日方法
对于给定的流体质点(a, b, c),质点的坐标是时 u
间 t 的函数，
x (a ,b , c ,t) t
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。考察不 同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空 间点流体质点经过时的运动情况，从而获得整个流场的运 动规律。
但在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化， 无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。
1.1 描述流体运动的方法
欧拉方法
在固定 空间 点很 容易 记录流过空间点的不同质点的速度： V ui vj wk
出 流 场 ， 如 图 就 是 用 某 时 刻 下 但在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。
流体力学2章讲稿
第二章 流体运动学只研究流体运动, 不涉及力、质量等与动力学有关的物理量。
§2.1 流体运动的描述 两种研究方法:(1)拉格朗日(Lagrange)法: 以流场中质点或质点系为研究对象, 从而进一步研究整个流体。
理论力学中使用的质点系力学方法，难测量，不适用于实用理论研究。
(2)欧拉(Euler)法: 将流过空间的流体物理参数赋予各空间点（构成流场），以空间各点为研究对象，研究其物理参数随时间t ，位置（x ，y ，z ）的变化规律。
易实验研究，流体力学的主要研究方法。
两种研究方法得到的结论形式不同，但结论的物理相同。
可通过一定公式转换。
1. 拉格朗日法有关结论质点： r=r （t ） dt d rV = dtd dt d V r a ==22x=x （t ） dt dxu = 22dtx d a x =y=y （t ） dtdyv = 22dt y d a y =p=p （t ） T=T （t ） .. .. .. .. .. .. .. .. 质点系：x=x （t,a,b,c ） p=p （t,a,b,c ） T=T （t,a,b,c ） .. .. .. .. .. .. .. ..(a, b, c)是质点系各质点在t ＝t 0时刻的坐标。
(a, b, c)不同值表不同质点2. 欧拉法物理量应是时间t 和空间点坐标x, y,z 的函数u ＝u(x, y, z, t) p ＝p(x, y, z, t) T ＝T(x, y, z, t) 3. 流体质点的随体导数！！流体质点的随体导数：流体质点物理参数对于时间的变化率。
简称为质点导数。
例：质点速度的随体导数（加速度）dt d V 质点分速度的随体导数dtdu质点压力的随体导数dtdp质点温度的随体导数dt dT.. .. .. .. .. .. 质点导数是拉格朗日法范畴的概念。
流体质点随体导数式---随体导数的欧拉表达式dt d V =z wy v x u t t∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V V V V V V Vdt du =z u w y u v x u u t u u tu∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂Vdt dT =z T w y T v x T u t T T tT∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V普遍形式： dt dF =z F w y F v x F u t F F tF∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VF t )(∇⋅+∂∂=V证其一： dt d V =V V V∇⋅+∂∂t 由 dt d V=tt ∆-→∆V V 'lim 0因 V=V （x ，y , z,t ）V ’=V （x+Δx ，y+Δy ,z+Δz,t+Δt ）所以 V ’=V++∆∂∂x x V +∆∂∂y y V z z∆∂∂V t t ∆∂∂+V 代入上式得dt d V==∆∆∂∂+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆→∆tt z z y x xt tV V y V V lim 0V V V z V y V x V t V ∇⋅+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=tw v u 可见, 在欧拉法中质点速度的随体导数(即加速度)由两部分组成。
工程流体力学 第4章 流体运动学
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
《高等流体力学》第1章 流体运动学
§1-2 迹线与流线
一、迹线：流体质点运动形成的轨迹。 拉格朗日法中质点运动方程就是迹线参数方程：
xα = xα ( b1 , b2 , b3 , t )
对于给定的 b1 , b2 , b3 消去t可得迹线方程。 欧拉法：由速度场来建立迹线方程： 迹线的微元长度向量：d r = v ( x1 , x2 , x3 , t ) dt 二、流线：其上任一点的切线方向为速度方向。
任意坐标平面内：
1 ∂vβ ∂vα )= ε βα ε αβ = ( + 2 ∂xα ∂xβ
当α=β时，εαβ退化为线变 ∂v3 ∂v1 ∂v2 ε 33 = ε 22 = 形速率，因此可以把角变 ε11 = ∂x1 ∂x2 ∂x3 形、线变形速率统一起来
流体微元的旋转角速度 对比：
2
1 ∂v2 ∂v1 1 ∂v2 ∂v1 )+ ( ) ωπ 4 = ( − − 2 ∂x1 ∂x2 2 ∂x2 ∂x1
A1 A2
因A1与A2是任取的，故在同一时刻，沿同一涡管各 界面的涡通量不变—涡管通量守恒。 结论： (1)对于同一微元涡管，面积越小，流体旋转角速度 越大； (2)涡管截面不可能收缩到零。
1 ∂vβ ∂vα aαβ = ( )= ωγ = − −aβα 2 ∂xα ∂xβ
二、变形率张量和涡量张量 前面得到了变形率张量和涡量张量：
1 ∂vβ ∂vα )= ε βα ε αβ = ( + 2 ∂xα ∂xβ Байду номын сангаасαβ 1 ∂vβ ∂vα ( )= = − − aαβ 2 ∂xα ∂xβ
在任意坐标平面中：
2
∂v2 ∂v1 ∂vn ∂v2 ∂v1 2 2 = cos θ + sin θ cos θ − − sin θ ∂l ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1
描述流体运动的两种方法(流体运动学)
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
若令 x，y，z为常数，t 为变数— 得到某一空间点上不同时刻流体 质点通过该点的u，p , ρ ，T
若令 t 为常数， x，y，z为变数—得到该时刻 流体运动的流速场、压强场、密度场等
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
流体质点加速度：
质点沿其运动轨迹上单位时间内流速的增量
1. 迹线: 某一流体质点在流动空间中所走的轨迹
拉格朗日法正是跟踪每个流体质点来研究流体的运 动,所以可从拉格朗日法直接得出迹线的方程. 2. 流线:
流体运动速度场中反映瞬时速度方向的曲线.在 同一时刻,处在流线上所有各点的流体质点的流 速方向都与各该点曲线上的切线方向重合.
3.1.2.2 迹线与流线
3.1.1.1 拉格朗日法(质点系法)
当令a, b, c为常数， t 为变数时，上两式分别 表示某一流体质点在不同时刻的速度和加速 度的变化情况。
反之，如令t为常数，a, b, c为变数时，上两 式分别表示某一时刻流体内部各质点的速度 和加速度的分布情况。
缺点：要跟踪每个质点非常困难
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
3. 流线的绘制
4. 流线的基本特性
(1)在恒定流中,流线的形状和位 置不随时间变化,此时流线和迹 线重合. (2)在同一时刻,流线彼此 不能相交,也不能转折,而 是一条光滑的连续的曲线
图3.3
3.1.2.2 迹线与流线
5. 流线与迹线的关系 一般地,两者是不同的.
迹线的切线方向表示的是: 同一流体质点在不同时刻的速度方向.
式中, ux , uy , uz是x, y, z, t的函数,积分时, 将 t 看作常数.
3.1.2.3 流管、元流、总流和流量
流体力学——3 流体运动学
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
速度矢量
u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
ds dxi dyj dzk
速度与流线相切
i
jk
u ds ux uy uz 0
dx dy dz
dx dy dz ux uy uz
uxdy uydx 0 uydz uzdy 0 uzdx uxdz 0
定点M，其位置坐标（x,
y, z）确定。 M为流场中
的点，其运动情况是M点
坐标（x, y, z）的函数，
也是时间 t 的函数。如速
度
u
可表示为：
u u( x, y, z,t)
表示成各分量形式：
uuxy
ux ( x, uy ( x,
y, z,t) y, z,t)
uz uz ( x, y, z, t )
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
高等流体-第二讲,流体运动学
1 ux uz y 2 z x ，
uy u 1 x z 2 x y
即:
或
2015-4-2
1 rot u ----------旋转角速度 2
aij ijkk
17
所以：
ui ui x j Sij x j a ij x j x j
2015-4-2
6
例如: 速度 u u (r , t )
{
u x u x ( x , y , z ,t ) u y u y ( x , y , z ,t )
(1)变数x，y，z，称为欧拉变数. (2)均匀场:运动参数不依赖于x,y,z (3)定常场:运动参数不依赖于t 直角坐标中:
上式表明M0点领域内流体微团的速度由三部分组成: 1 ui u0i aijx j sijx j u0i rot u r s r 2 1 ; ; （2）转动速度 （1）平动速度 u u2 rotu r 0i
2
（3）变形速度 u 3 S r
第二章
流体运动学
流体运动的描述 Helmholtz 速度分解定理 无源有旋流动与无旋流动 简单平面势流 势流叠加原理
2015-4-2
1
第一节 流体运动的描述
•拉格朗日方法 •欧拉(Euler)方法 •迹线,流线,脉线
研究 流体运动 的两种方 法
流体力学
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
工程流体力学基础知识
工程流体力学复习题第一章流体的力学性质1、连续介质（概念)、假设(质量分布、运动、内应力连续））2、流体的主要物理性质（a）分类（固、液、气各自特点）（b）流动性（c)可压缩性和膨胀性（d)粘性(牛顿内摩擦定律、液体和气体（温度、压力）)（e)表面张力（润湿和不润湿)3、牛顿流体和非牛顿流体第二章流体运动学基本概念1、流动分类（流体性质、流动状态、流动空间的坐标数目)2、描述流体运动的两种方法（a)拉格朗日法和欧拉法基本思路（b）质点导数（c）迹线和流线的意义及其求解（，)3、有旋流动和无旋流动(概念及其基本性质)涡量的连续性方程、速度场有势的充要条件是流动无旋等第三章流体静力学1、作用在流体上的力（质量力和表面力）2、流体静止时质量力必须满足的条件3、有势质量力场中静止流体的分界面上，既是等压面也是等势面。
4、静止的正压流场，其质量力必然有势；反之，质量力有势，非正压流场不可能处于静止状态，处于静止状态的必然是正压流场。
5、重力场静止液体的压力分布和物体受力（、）第四章流体流动基本原理1、系统和控制体的定义和区别2、输运公式定义及其表达式（系统质量、动量、能量变化率）3、质量守恒方程（a)定义（，质量流量、质量通量）（b）特殊形式的应用(，稳态、不可压缩）4、动量守恒方程（a）定义(，动量流量）(b）应用5、能量守恒方程（a）定义（b）伯努利方程（简化条件、公式（理想不可压缩流体稳态流动）第五章不可压缩流体的一维层流流动1、常见边界条件（固壁—流体、液体—气体、液体—液体）2、流动条件说明（稳态、不可压缩、一维、层流、充分发展流动）3、狭缝流动（概念、产生流动的因素——压差流、剪切流）4、管内流动分析（切应力和速度分布规律）5、降膜流动分析第六章流体流动微分方程——连续性方程和运动方程（了解)1、连续性方程不可压缩流体2、运动方程(以应力表示的运动方程→引入牛顿流体本构方程→N－S方程）第八章流体力学的实验研究方法1、流动相似（几何相似、运动相似、动力相似的定义和应用）2、相似准则（至少四个相似准数及其物理意义、计算应用）3、量纲分析(常见物理量的量纲、基本量纲（M、L、T）、量纲分析方法:瑞利（Rayleigh)方法和白金汉姆（Buckingham）方法)第九章管内流体流动1、流态的判定（指标、层流、过渡流、湍流）2、圆管内充分发展的层流流动（阻力损失、阻力系数）3、湍流的半经验理论(布辛聂斯克涡粘性假设、普朗特混合长度理论、壁面附近湍流的三个区域）4、圆管内充分发展的湍流流动（光滑管、粗糙管（水力光滑管、过渡型圆管、水力粗糙管）沿程阻力系数）5、圆管内流体流动的速度分布6、沿程阻力损失的计算7、圆管进口段流动分析8、非圆形截面管内的流体流动(水力当量直径的计算)参考公式哈密尔顿算子速度梯度流体的散度旋度。
流体力学标准化作业答案第三章
流体力学标准化作业（三）——流体动力学本次作业知识点总结1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法。
2.流体流动的加速度、质点导数流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即(,,,)u u x y z t =流体质点的加速度等于速度对时间的变化率，即Du u u dx u dy u dza Dt t x dt y dt z dt ∂∂∂∂==+++∂∂∂∂投影式为x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u ua u u u t x y z ∂∂∂∂⎧=+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂⎩或 ()du ua u u dt t∂==+⋅∇∂在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， u t∂∂为固定空间点，由时间变化引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起。
()u u ⋅∇v v 为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。
欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。
例如不可压缩流体，密度的随体导数D D u t tρρρ∂=+⋅∇∂（） 3.流体流动的分类 （1）恒定流和非恒定流 （2）一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4.流体流动的基本概念 （1）流线和迹线流线微分方程x y zdx dy dzu u u ==迹线微分方程x y zdx dy dz dt u u u === （2）流管、流束与总流（3）过流断面、流量及断面平均流速体积流量 3(/)AQ udAm s =⎰质量流量 (/)m AQ udAkg s ρ=⎰断面平均流速 AudA Qv AA==⎰（4）渐变流与急变流 5. 连续性方程（1）不可压缩流体连续性微分方程0y x zu u u x y z∂∂∂++=∂∂∂ （2）元流的连续性方程121122dQ dQ u dA u dA =⎧⎨=⎩ （3）总流的连续性方程1122u dA u dA =6. 运动微分方程（1）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）111xx x x x y z yy y y x y z zz z z x y z u u u u p X u u u x t x y zu u u u p Y u u u x t x y z u u u u p Z u u u x t x y z ρρρ∂∂∂∂∂⎫-=+++⎪∂∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪∂-=+++⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂-=+++⎪∂∂∂∂∂⎭矢量表示式1()u f p u u tρ∂+∇=+⋅∇∂r r r r（2）粘性流体运动微分方程（N-S 方程）222111x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u pX u u u u x t x y zu u u u pY u u u u x t x y z u u u u p Z u u u u x t x y z νρνρνρ∂∂∂∂∂⎫-+∇=+++⎪∂∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪∂-+∇=+++⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂-+∇=+++⎪∂∂∂∂∂⎭矢量表示式 21()u f p u u u tνρ∂+∇+∇=+⋅∇∂r r r r r 7.理想流体的伯努利方 （1）理想流体元流的伯努利方程22p u z C g gρ++=（2）理想流体总流的伯努利方程221112221222p v p v z z g g g gααρρ++=++8.实际流体的伯努利方程（1）实际流体元流的伯努利方程2211221222w p u p u z z h g g g gρρ++=+++（2）实际流体总流的伯努利方程2211122212w 22p v p v z z h g g g gααρρ++=+++10.恒定总流的动量方程()2211F Q v v ρββ=-∑r r r投影分量形式()()()221122112211xx x y y y z z z F Q v v F Q v v FQ v v ρββρββρββ⎫=-⎪⎪=-⎬⎪=-⎪⎭∑∑∑标准化作业(5)——流体运动学选择题1. 用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于( )。
流体运动学
流体在初始时刻的坐标或（X，Y，Z）就称为拉格朗日坐标，显然，在以 上描述中 ，或
4. 在定常流中，流线和迹线重合。
所以在定常流中，可以用烟线来显示流谱，问题：在非定常流 场中，烟线是流线还是迹线？——脉线
例2：给定欧拉描述的速度场：u=x+t，v=-y-t。求： 1）t=1时过x=1，y=1点的流体质点的迹线方程；
2）过该点的流线方程。
解：由迹线的微分方程，
积分得： 1）代入t=1时过x=1，y=1点的质点的条件可确定积分常数：
将其代入数度场的关系即可得到数度场的欧拉描述：
对上式求质点到数可得加速度：
与前面得到的结果相同。
那么我们究竟采用那种描述方法呢，仿佛拉格朗日法更符合我们 的习惯，事实是，在流体力学里，除了极特殊的情况，我们一般都采 用欧拉法而不是拉格朗日法。虽然因为拉氏法对运动的描述与理论力 学相同使我们感到熟悉，虽然欧氏法的加速度表述比较复杂，但是：
第二节 迹线和流线
一、 迹线
流体质点运动的轨迹叫迹线。在拉格 朗日法中，流体质点的位移方程就是迹线 方程： 。在欧拉法中，流体质 。 点运动的微分方程为：
可知，迹线是基于拉格朗日观点的流 体运动描述。 欧拉法在直角坐标中的分量表述可以写成：
所以：
二、 流线
流线是这样的一条空间曲线，在某一 时刻，此曲线上任一点的切线方向与流体 在该点的速度方向一致。(场，如电力线、
任一不与流管侧面平行的面被流管截
第三章流体运动学
于是，对（3-1）式，速度表示为
d x x x(a, b, c, t ) vx x(a, b, c, t ) d t t t d y y y (a, b, c, t ) vy y(a, b, c, t ) d t t t d z z z (a, b, c, t ) vx z (a, b, c, t ) d t t t
vz 0
解：由vz=0，为二元流动，代入流线方程
dx 2 dy 2 2 (x y ) (x y2 ) ky kx
y v vy vx o x
k 0, x d x y d y 0
积分：
x y C
2 2
为以原点为圆心的圆。 因k>0，则 当x 0, y 0时
vx 0, v y 0
4、过流断面、湿周、水力半径、当量直径
与流束或总流中所有流线均垂直的断面，称过 流断面，面积用A表示。 在总流的过流断面上，与流体相接触的固体壁 面边壁周长称湿周，用χ表示[kai]。 总流过流断面积与湿周之比称水力半径，用R表 示。
4倍总流过流断面积与湿周之比称当量直径，用 de表示。
对圆管半充满
（3-4）
在不同时刻，给点上的原质点由其它质点替换而 出现不同，欧拉法不随质点走，只固定位置。 欧拉法应先确定v的表达式，而拉格朗日法先确 定x，y，z的关系式，然后给出速度。虽然变量 不同，但描述的核心不变，只是方法不同，数 学表达不同罢了。
其向量表示为：a v (v )v t
( vx ) v x vx x x x
( v y ) y vy y y v y
（3-9）
即为直角坐标系下的连续性方程。
工程流体力学知识点总结
迹线和流线的差别：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与
Lagrange观点对应；
流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，
与Euler观点对应。
例 已知流场速度为
u
q 2
x
2
x
y
2
,
v
q 2
x2
y y2
,
w0
其中q为常数, 求流线方程
dx qx
q
dy y
解:
2 x2 y2 2 x2 y2
2020年5月20日8时36分
第二章 流体的主要物理性质
三、流体的粘性
1、流体的粘性
液体在外力作用下流动（或有流动趋势）时，其内部因相 对运动而产生内摩擦力的性质。
静止液体不呈现粘性。
2、牛顿内摩擦定律:
Ff
A dv
dy
流体流动时，阻滞剪切变形的内摩擦力与流体运动的速
度梯度成正比，与接触面积成正比，与流体的性质有关，与
dx/x=dy/y 积分 lnx=lny+c’ 即
y=cx
为平面点源流动
2020年5月20日8时36分
流体运动学基础
例: 已知平面流场速度分布为
u = 2yt+t3
v = 2xt
求时刻 t = 2 过点 (0,1) 的流线
dx
dy
解:
2 yt t 3 2 xt
2x dx = 2ydy +t2dy
（2）、四种压力的关系： 绝对压强=相对压强+大气压强 真空度=大气压强-绝对压强
2020年5月20日8时36分
流体静力学
p
大 强气
压
O 图3-6
工程流体力学1718(2)3.1描述流体运动的两种方法
点，也就是说质点的空间坐标也会随时间发生变化。由此可 见，x, y, z 也是时间的函数。
即：x=x(t);y=y(t);z=z(t)
2.质点的加速度
第一节 描述流体运动的两种方法
u u( x, y, z, t ) 按复合函数求导原则，对时间t 求全导数，得：
第一节 描述流体运动的两种方法 1.拉格朗日法（跟踪法）描述
初始（t0）时刻:跟踪某个流体质点(a,b,c)
任意（t）时刻:质点从(a,b,c)运动到（x,y,z）
基本参数： 位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t)
（流体质点的位置坐标） z z(a，b，c，t)
3. 在工程实际中，并不关心每一质点的运动。基于上述三点原因， 欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。
1.研究流体在外力作用下流体运动参数（速度、加速度等）随空间和 时间的变化规律（流体运动学）；
2.研究运动流体与相接触固体壁面间的相互作用（流体动力学）。
四个基本方程：
连续性（微分）方程 ； 运动（微分）方程 能量方程（伯努利方程）； 动量方程
本章研究重点：
本章将围绕流体力学中“运动”和“受力”展开讨论。主要包括以 下几点：
u u(x, y, z,t) v v(x, y, z,t) w w(x, y, z, t) p p(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
独立变量： (x, y, z,t)
第一节 描述流体运动的两种方法
u u(x, y, z, t)；v v(x, y, z, t)；w w(x, y, z, t)
ax
du dt
北航水力学第三章—流体运动学
自然界和工程实际中，流体大多数处于流动状态，流体 的流动性是流体在存在状态上与固体的最基本区别。
本章介绍研究流体运动的两种方式；以及相应的运动要素表达；迹线流线 等概念；连续性方程；有旋运动与无旋运动；环量与涡量概念
第三章 流体运动学
第一节 描述流体运动的方法
描述流体运动形态和方式：拉格朗日法和欧拉法
三元流：流动参数是三个空间坐标函数, ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
实际流动一般都是三元流动。 三元流分析时分析起来十分复杂，一般我们设法将其简化为二元流或一元 流。简化过程中要引进修正系数，修正系数可通过实验方法来确定。
ux uy uz 0 x y z
得
uz (ux uy ) 2(x y)
z
x y
积分得
uz z
dz
2(x
y)dz
得 uz 2(x y)z c 其中，c可为某一常数，也可以是与 z 无关的某一函数 f (x, y)
所以 uz 2(x y)z f (x, y)
(3)
ux 2ln(xy)
uy
3y x
uz 4
(4) ux x2 z2 5 uy y2 z2 3
解： (1)
ux uy uz 2 11 0 x y z
满足
(2)
ux uy uz 2x y 2 y 0
x y z
三维定常流：流动参数是三个空间坐标函数，与时间无关
ux ux (x, y, z) uy uy (x, y, z) uz uz (x, y, z)
第三章 流体运动学讲解
1 v1
2
3 3
v3
4 v4
v2 1
2
解：由题意 v4 A4 4 v4 4
v1
4
取过水断面1-1到3-3和4-4间 为对象
有： Q1 Q3 Q4 所以：
Q3 Q1 Q4
取过水断面1-1到2-2 为对象
4
有： v1 A1 v2 A2
试检查流动是否满足连续条件。
解：代入连续性方程，看是否满足连续性条件：
(2 x) (2 y ) (1) 22 0 x y
满足连续性条件
(0) (3xy) (2) 0 3x 0 x y
不满足连续性条件，说明该流动不存在。
见“流体力学课内练习”
例：不可压缩二维流动的流速分量为 ux x 4 y, u y y 4x 求 （1）流动是否存在，若存在，写出流函数表达式；（2）流 动是否有势，若有势，写出速度势表达式。 解：（1） （2） u y 4, u x 4 x y u x u y 1 u y u x 1 (1) 0 z ( )0 x y 2 x y
3-2 描述流体运动的基本概念 一、流管、元流和总流 1、流管
在流场中任取一封闭曲线，通过此封闭曲线上的每 一点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲 面称为流管。（P44图3-5）
2、元流 当封闭曲线所包围的面积无限小时，充满微小流管内 的液流称为元流。 3、总流 当封闭曲线取在运动液体的边界上时，则充满流管内 的整股液流称为总流。
5、掌握流函数、速度势函数与速度的关系。
3-1 1、拉格朗日法
流动描述
一、描述流体运动的两种方法
拉格朗日法又称质点系法，它是跟踪并研究每一个 液体质点的运动情况，把它们综合起来掌握整个液体 运动的规律。 在固体力学中应用较多。 2、欧拉法
流体力学-第3章
ux
uy
E
u x dx u x dy u x dz ux x 2 y 2 z 2 u x dx u x dy u x dz ux x 2 y 2 z 2 ux u x dx u x dy u x dz x 2 y 2 z 2
v1
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
注1：在非恒定流情况下，流线会随时间变化。在恒定流情况下， 流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。故： 恒定流中流线与迹线重合，非恒定流中流线与迹线不重合
流线动画
注2：迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在 不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同 一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉 观点相对应。即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者 仍是完全不同的概念。
恒定流动 质量守恒定律
1v1 A1dt 2 v2 A2 dt 3v3 A3 dt vAdt
1v1 A1 2 v2 A2 3v3 A3 vA
不可压缩流体 1 2 3
v1 A1 v2 A2 v3 A3 vA Q
同理： 任一元流断面：dA1，d A2， …… 对应流速： u1， u2， ……
Qm
例6 如图气流压缩机用直径d1=76.2mm的管子吸入密度 ρ1=4kg/m3的氨气，经压缩后，由直径d2=38.1mm的管子以 v2=10m/s的速度流出 ，此时密度增至ρ2=20kg/m3 。求（1）质 量流量；（2）流入流速。 v
1
解：（1）质量流量为
Qm Q 2 v2 A2 20 10
一、流动的分类
1、恒定流和非恒定流(定常流和非定常流) 恒定流动：流动参量不随时间变化的流动。 u u ( x, y , z )
流体运动学复习题
第三章 流体运动学一、思考题1．描述流体运动有哪两种方法？这两种方法描述流体运动的主要区别是什么？2．在欧拉法中加速度的表达式是怎样的？什么是当地加速度和迁移加速度？3．什么是流线？什么是迹线？流线具有哪些性质？流线和迹线的微分方程有什么不同？在什么情况下流线与迹线重合？4．什么是流管？流管具有哪些性质？5．什么是有效过流断面？什么情况下效过流断面是平面？6．什么是恒定流？什么是非恒定流?各有什么特点？7．什么是均匀流？什么是非均匀流？其分类与过流断面上流速分布是否均匀有无关系？8．什么是一元流动、二元流动和三元流动？9．什么是流管、流束、流量？10．在运动流体中0=∇u 的物理含义是什么？11．说明流函数存在的条件，它与流体质点的速度有何关系？流函数等于常数表示什么？12．何谓无旋流？何谓有旋流？它们和液体质点的运动轨迹是否为圆周无关系？13．为什么无旋流动必为有势流动？反之是否成立？为什么？14．无旋流动一般存在于无黏性的理想流体中，能否说理想流体流动一定是无旋流动？理想流体有旋流动是否存在？15．有旋流动一般存在于有黏性的实际流体中，能否说实际流体一定是有旋流动？实际流体无旋流动是否存在？16．说明势函数存在的条件，它与流体质点的速度有何关系？势函数等于常数表示什么？17．什么是渐变流？渐变流有哪些主要性质？引入渐变流概念，对研究流体运动有什么实际意义？18．什么是断面平均流速？为什么要引入断面平均流速这个概念？19．在静止流体中恒有0=∇u，说明静止流体均为不可压缩流体，是否正确？为什么？20．总流连续性方程2211A A υυ=的物理意义是什么？ 二、单项选择题1．用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于( )。
（A ）dt r d （B ）t u ∂∂ （C ）()u u ∇⨯ （D ）()u u tu ∇⨯+∂∂ 2．在恒定流的流场中，流体质点的加速度( )。
(A)等于零 (B)等于常量 (C)随时间变化而变化 (D)与时间无关3．稳定流是( )。
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坐标(x，y，z)
流体经过M点的运动情况，
与M点的位置以及时间 t 有
关，于是各运动要素（如流
速u）可表示为：
uu(x,y,z,t)即 uxux(x,y,z,t) uyuy(x,y,z,t) uzuz(x,y,z,t)
精品课件
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场 法)
若令 t 为常数， x，y，z为变数—得到该
时刻流体运动的流速场、压强场、密度场等
精品课件
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场 法)
流体质点加速度：
质点沿其运动轨迹上单位时间内流速的增量
a
du
du u d tu dd x tu d yu dz
t x y z
a d u u u d x u d y u dz
缺点：要跟踪每个质点非常困难
精品课件
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场 法)
流场：被流体质点所占据的空间 欧拉法： 着眼于流场中任一空间
点，流体质点通过该空间 点的运动情况，将流场中 足够多空间点的运动情况 综合起来，得整个流体运 动状况。
精品课件
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场 法)
u 当地加速度,时变加速度
t
同一空间点上流体质点速度随时间的变化率。
uxuxuy
uyuz
u z
迁移加速度,位变加速度,变位加速度
同一时刻由于相邻空间点上速度差的存在， 使流体质点得到的加速度。
精品课件
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
(3.8)式写成分量式, 即为:
a xd dxu t u tx u x u x x u y u y x u z u zx
当 t 为定值, x, y, z是 a, b, c的函数—某一时刻各质点
的照相图案。
精品课件
3.1.1.1 拉格朗日法(质点系法)
拉格朗日法的优点： 物理概念清晰
ux
xx(a,b,c,t)
t
t
uy
yy(a,b,c,t)
t
t
uz
zz(a,b,c,t)
t
t
ax
ux t
2x t2
ay
uy t
2y t2
a yd dyu t u ty u x u x y uy u y y u z u zy
(3.10)
a zd dzu t u tz u x u x z u y u y z u z u zz
同理,
d dp t p tux p xuy p yuz p z
d
d t tuxxuyyuzz
dTT T T T d t 精t品课 件uxxuyyuz z
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
例K B B'
A A'
dx
dx
阀门开度K固定时: 阀门开度K逐渐开大时:
精品课件
3.1.2 欧拉法中流体运动的基本概念
根据流体运动的性质和特点,将流体的运动区 分为不同的类型
3.1.2.1 恒定流和非恒定 流3.1.2.2 迹线与流线
精品课件
3.1.1.1 拉格朗日法(质点系法)
着眼于流体中各质点的 运动情况,跟踪每一质点, 观察和分析各质点的运动 历程,并把足够多质点的运 动情况综合起来,得到整个 流体运动的规律。如图 3.1
图3.1
精品课件
3.1.1.1 拉格朗日法(质点系法)
在直角坐标系中，设起始时刻 t0 各质点的 位置(a, b, c),则 t 时刻任意质点的空间
az
uz t
2z 精品课件
t2
（3.2） （3.3）
3.1.1.1 拉格朗日法(质点系法)
当令a, b, c为常数， t 为变数时，上两式
分别表示某一流体质点在不同时刻的速度和 加速度的变化情况。
反之，如令t为常数，a, b, c为变数时，
上两式分别表示某一时刻流体内部各质点的 速度和加速度的分布情况。
3.1.2.3 流管、元流、总流和流量
3.1.2.4 一元(维)流、二元(维)流和三元(维
3.1.2.5 均匀流和非均匀流
3.1.2.6 渐变流和急变
流
精品课件
3.1.2.1 恒定流和非恒定流
恒定流: 流场中所有空间点上,一切水力要素都不 随时间改变的流动.
非恒定流: 流场中,只要有一个水力要素随 时间改变的流动.
dt t xdt ydt zdt
因为 所以
dx dy dz a dd d u t tu xu t ,d u t x uu x y, du 精y 品t 课 件u y uz u z u z
பைடு நூலகம்
（3.8）
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场 法)
a d d u t u t u x u x u y u y u z u z （3.8）
同样，对于压强、密度、温度分别为：
p=p(x，y，z，t) ρ=ρ(x，y，z，t) T=T(x，y，z，t) 其中x，y，z，t—称为欧拉变量
精品课件
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场 法)
若令 x，y，z为常数，t 为变
数—得到某一空间点上不同时刻
流体质点通过该点的u，p , ρ ， T
位置为:
x=x(a, b, c, t) y=y(a, b, c, t)
z=z(a, b, c, t)
其中a, b, c, t 都称为拉格朗日变
量
精品课件
3.1.1.1 拉格朗日法(质点系法)
当研究某一流体质点时,则a, b, c可看 成定值, x, y, z只是 t 的函数—某一
流体质点的运动轨迹
精品课件
3.1.2.1 恒定流和非恒定流
在恒定流中, 所有的水力要素对时间的 偏导数为零
若用φ表示任一水力要素(u, p, ρ,T
等则)在恒定流中, 0
t
即 u 0 , p0 , 0 , T 0
t
t
t
t
即在恒定流中, 时变加速度等于零.
精品课件
3.1.2.2 迹线与流线
1. 迹线:某一流体质点在流动空间中所走的轨迹 拉格朗日法正是跟踪每个流体质点来研究流体的运 动,所以可从拉格朗日法直接得出迹线的方程. 2. 流线:
流体运动速度场中反映瞬时速度方向的曲线. 在同一时刻,处在流线上所有各点的流体质点的 流速方向都与各该点曲线上的切线方向重合.
3 流体运动学
流体多处于运动状态
本章主要任务:
研究各种水力要素随时间和空间变 化的情况,建立其关系式(基本方 程),并用其解决工程实际问题
精品课件
3.1 描述流体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法和欧拉法 3.1.1.1 拉格朗日法(质点系 法) 3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
3.1.2 欧拉法中流体运动的基本概念