离散数学
离散数学
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
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离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
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满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
离散数学简介
数理逻辑
非欧几何的产生和集合论的悖论的发现， 说明数学本身还存在许多问题，为了研 究数学系统的无矛盾性问题，产生了证 明论
数理逻辑
证明论（proof theory）
– 证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要
证明公理系统的无矛盾性 – 1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不 能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定 理 – 1936年，G.根岑证明了算术公理系统的无矛盾性 – 20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明
数理逻辑
现代数理逻辑可分为
– 命题逻辑演算 – 谓词逻辑演算 – 证明论 – 模型论
– 递归函数论
– 公理化集合论等
数理逻辑
命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中 最成熟的部分，在计算机科学中应用最 为广泛
– 命题逻辑是数理逻辑的最基础部分 – 谓词逻辑在命题逻辑的基础上发展起来
数理逻辑
在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前 启后的作用 他的不完全性定理，把人们引向一种完全不同 的境界 第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式 系统，如果是协调的，那就是不完全的。
欧氏几何
欧氏几何的五条公理是：
– 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 – 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 – 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作
离散数学是后继课程的基础 离散数学是实际应用的基础工具 计算机科学和离散数学处理问题的方法、思维 方式有相似之处 离散数学可提供所需的思维训练，培养所需的 分析问题和解决问题的能力
简介
离散数学是学习数据结构与算法、数据库、编 译原理、算法设计与分析、计算机网络等课程 的主要基础，对开发大型软件、研究信息安全 和密码学、开展计算机理论研究以及开发新型 计算机都提供了不可缺少的基础知识
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散的数学定义
离散的数学定义
离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构之间的关系，重点关注离散的整数值、集合和图论等。
以下是离散数学的一些主要概念和定义：
1. 集合论：
- 集合是离散数学中最基本的概念之一，表示一组独立对象的总体。
集合论研究集合之间的关系、运算和性质。
2. 逻辑：
- 逻辑是研究命题和推理的学科，离散数学中的逻辑主要包括命题逻辑和谓词逻辑，用于研究命题的真假和推理规则。
3. 图论：
- 图论是离散数学的一个重要分支，研究图（vertices 和edges组成的结构）之间的关系和性质，包括图的遍历、连通性、最短路径等问题。
4. 离散结构：
- 离散结构指的是离散对象之间的关系和结构，如排列组合、树、图等。
离散数学研究这些结构的性质和应用。
5. 组合数学：
- 组合数学是离散数学的一个重要分支，研究离散对象的排列组合方式，包括排列、组合、二项式定理等。
6. 概率论：
- 离散概率论研究离散随机变量的概率分布和性质，包
括概率空间、随机变量、概率分布等。
7. 离散数学的应用：
- 离散数学在计算机科学、信息技术、密码学、通信等领域有着广泛的应用，如算法设计、数据结构、网络设计等。
总的来说，离散数学是研究离散对象和结构的数学分支，涉及集合论、逻辑、图论、组合数学等内容，在计算机科学和信息技术等领域具有重要的理论和实际应用。
离散数学命题符号
离散数学命题符号一、离散数学命题符号的定义在离散数学中，命题是一个陈述句，可以判断为真或为假。
为了准确地表示命题，在离散数学中引入了命题符号。
命题符号主要用于表示命题的逻辑关系，以及对命题的运算。
1. 命题变量和命题符号离散数学中，命题变量被表示为字母，常用的命题变量包括p、q、r等。
命题符号则用来表示对命题变量的操作和运算关系。
常用的命题符号包括逻辑与（∧）、逻辑或（∨）、非（¬）等。
2. 逻辑连接词离散数学中，逻辑连接词用于将多个命题连接起来，形成复合命题。
常见的逻辑连接词有：- 逻辑与（∧）：表示两个命题都为真时，复合命题为真；否则为假。
- 逻辑或（∨）：表示两个命题至少一个为真时，复合命题为真；否则为假。
- 非（¬）：表示对命题的否定。
3. 命题符号的优先级为了保证命题的运算顺序和结果的准确性，在离散数学中，命题符号有一定的优先级。
常见的命题符号优先级从高到低依次为：- ¬（非）- ∧（逻辑与）- ∨（逻辑或）二、离散数学命题符号的应用1. 命题的合取和析取在离散数学中，逻辑与（∧）和逻辑或（∨）的运算被广泛应用于命题的合取和析取。
- 合取：当多个命题同时为真时，可以使用合取运算符（∧）将这些命题合并成为一个复合命题。
例如，当p表示“今天下雨”、q表示“今天天气阴沉”时，合取命题p∧q表示“今天同时下雨并且天气阴沉”。
- 析取：当多个命题至少一个为真时，可以使用析取运算符（∨）将这些命题合并成为一个复合命题。
例如，当p表示“今天下雨”、q表示“今天天气阴沉”时，析取命题p∨q表示“今天下雨或者天气阴沉”。
2. 命题的否定在离散数学中，非（¬）运算符常用于对命题的否定。
如果p为真，则¬p为假；如果p为假，则¬p为真。
例如，若p表示“今天下雨”，则¬p表示“今天不下雨”。
3. 命题的复合运算通过组合使用逻辑连接词和命题符号，可以对多个命题进行复合运算。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。
它包括了许多重要的概念和技术，是计算机科学、通信工程、数学和逻辑学等领域的基础。
本文将对离散数学的一些核心知识点进行总结，包括命题逻辑、一阶逻辑、图论、集合论和组合数学等内容。
1. 命题逻辑命题逻辑是离散数学的一个重要分支，研究命题之间的逻辑关系。
命题是一个陈述语句，要么为真，要么为假，而且不能同时为真和为假。
命题逻辑包括逻辑运算和逻辑推理等内容，是离散数学的基础之一。
1.1 逻辑运算逻辑运算包括与（∧）、或（∨）、非（¬）、蕴含（→）和双条件（↔）等运算。
与、或和非是三种基本的逻辑运算，蕴含和双条件则是基于这三种基本运算得到的复合运算。
1.2 逻辑等值式逻辑等值式是指在命题逻辑中具有相同真值的两个复合命题。
常见的逻辑等值式包括德摩根定律、双重否定定律、分配率等。
1.3 形式化证明形式化证明是命题逻辑的一个重要内容，研究如何利用逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。
形式化证明包括直接证明、间接证明和反证法等方法，是离散数学中的常见技巧。
2. 一阶逻辑一阶逻辑是命题逻辑的延伸，研究命题中的量词和谓词等概念。
一阶逻辑包括量词、谓词逻辑和形式化证明等内容，是离散数学中的重要部分。
2.1 量词量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃），用来对命题中的变量进行量化。
全称量词表示对所有元素都成立的命题，而存在量词表示至少存在一个元素使命题成立。
2.2 谓词逻辑谓词逻辑是一阶逻辑的核心内容，研究带有量词的语句和谓词的逻辑关系。
谓词是含有变量的函数，它可以表示一类对象的性质或关系。
2.3 形式化证明形式化证明在一阶逻辑中同样起着重要作用，通过逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。
一阶逻辑的形式化证明和命题逻辑类似，但更复杂和抽象。
3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图和图的性质。
图是由节点和边组成的数学对象，图论包括图的表示、图的遍历、最短路径、最小生成树等内容，是离散数学中的一大亮点。
离散数学的应用
离散数学在其他学科及现实生活中的应用一、离散数学概论离散数学是现代数学的一个重要分支，也是计算机专业课程体系中地位极为重要的专业基础课之一。
它以研究离散量的结构及相互关系为主要目标，充分描述了计算机科学离散性的特点。
该课程是数据结构、操作系统、计算机网络、算法设计与分析、软件工程、人工智能、形式语言、编译原理等计算机本科阶段核心课程的基础，也是组合数学、遗传算法、数据挖掘等计算机硕士研究生阶段相关课程的重要基础。
离散数学的主要内容包括集合论、数理逻辑、代数结构和图论四部分。
数理逻辑与代数结构的研究思想和研究方法在计算机科学中的许多研究领域得到了广泛的应用，解决了大量的计算机科学问题。
数理逻辑是研究推理的学科，在人工智能、程序理论和数据库理论等的研究中有重要的应用。
代数结构是关于运算或计算规则的学问，在计算机科学中，代数方法被广泛应用于许多分支学科，如可计算性与计算复杂性、形式语言与自动机、密码学、网络与通信理论、程序理论和形式语义学等。
集合论和图论在计算机科学中也有广泛的应用，他们为数据结构和算法分析奠定了数学基础，也为许多问题从算法角度如何加以解决提供了进行抽象和描述的一些重要方法。
离散数学不仅是计算机技术迅猛发展的支撑学科，更是提高学生逻辑思维能力、创造性思维能力以及形式化表述能力的动力源，为他们今后处理离散信息，从事计算机应用、信息管理和计算机科研打下扎实的数学基础。
中国科学院也已成立了离散数学研究中心，并得到国家的重点资助。
二、应用2.1离散数学在计算机学科中的应用计算机学科主要脱胎发源于数学学科，离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。
由于计算机科学的迅速发展，与其有关的领域中，提出了许多有关离散量的理论问题，需要用某些数学的工具做出描述和深化。
离散数学把计算机科学中所涉及到的研究离散量的数学综合在一起，进行较系统的、全面的论述，为研究计算机科学的相关问题提供了有力的工具。
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：A、V、一、f「。
记住“p仅当q”意思是“如果p,则q"，即p-。
记住“q除非p”意思是“」p-q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
构造真1.2语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过p推导出q,证永真式是通过p推导出T。
(p—r)A(q-r) = (pVq)-r(p—q)V(p-r) = p—(qVr)(p—r)V(q-r) = (pAq)-r双条件命题等价式pf = (pfq) A (qfp)pf = -pfqpf Q (pAq) V(-pA-q)「(pf) = pfq1.4量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如V x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么V xP(x)就等价于P(x1)AP(x2)...A P(xn)。
同理，3 xP(x)就等价于 P(x1)VP(x2)...VP(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如V x(P(x)AQ(x))和(V xP(x)) A (V xQ(x))。
量词表达式的否定：「V xP(x) Q 3 x-P(x),「3 xP(x) Q V x-P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代命题和量化命题的组合使用。
二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合£说的是元素与集合的关系，^说的是集合与集合的关系。
什么叫离散数学
什么叫离散数学
什么叫“离散”？离散，就是和连续相反的。
随便拿⼀堆东西，如⼤到宇宙，⼩到粒⼦团，若其整体中的元素是独⽴的，分开的，则叫“离散”。
计算机是不能处理连续信息的，这是由计算机的本质：0和1，决定的。
正因为这样，如果要借助计算机来处理连续的东西，其中有⼀个必须的步骤：离散化。
“离散数学”是什么？它是⼀门研究离散物质的规律的学科，是数学的⼀个分⽀。
近代数学，尤其是计算数学，在解决实际问题的时候，对于连续问题往往只能推论出“是否有解”，进⼀步可能会求出“解的形式”。
⽽实际的需求，却⾮要得到⼀个结果不可。
因此，在数学建模时，我们通常会⽤⼀个离散的模型去逼近这个连续的问题，最终⽤计算机进⾏⼤量运算来得到⼀个近似值。
不要以为我上⾯说的距离我们很远，⽐如我们常⽤的求根号（你敢说实际中不需要求根号？），就是通过迭代法取近似值。
数学中的离散数学
数学中的离散数学数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中离散数学作为数学的一个重要分支，在现代科技发展中起着重要的作用。
本文将介绍离散数学的概念、应用以及与其他数学领域的关系。
一、离散数学的概念及特点离散数学是研究离散结构的一门数学学科，主要研究离散对象以及离散对象之间的关系。
与连续数学不同，离散数学研究的是不可无限细分的对象，如离散点、离散函数等。
离散数学的主要特点有以下几点：1. 离散性：离散数学研究的对象是离散的，即以个别分离的元素为基础，而非连续统一的整体。
2. 非连续性：离散数学中的对象之间没有连续的无限细分，而是被分割成一系列离散的元素。
3. 可数性：离散数学中的对象是可数的，即可通过自然数对其进行编号和计数。
离散数学作为一门基础学科，广泛应用于计算机科学、信息技术、电子通信等领域，为这些领域的发展提供了理论基础和方法论。
二、离散数学的应用领域1. 图论：图论是离散数学中的一个重要分支，研究以节点和边为基础的离散结构。
图论广泛应用于计算机网络、社交网络、物流运输等领域，用于解决网络布局、路径规划、数据传输等问题。
2. 概率论：离散概率论是研究离散事件的发生概率及其规律的数学学科，广泛应用于统计分析、风险评估、游戏策略等领域。
3. 组合数学：组合数学研究的是离散对象的排列组合和性质，广泛应用于密码学、编码理论、排课问题等领域。
4. 数论：数论是研究整数性质及其相关性质的学科，也属于离散数学的范畴。
数论在加密算法、密码学、计算机安全等领域有着重要的应用。
5. 离散优化：离散优化是研究在给定约束下如何寻找最优解的一门学科。
离散优化广泛应用于物流规划、任务调度、资源分配等实际问题中。
三、离散数学与其他数学领域的关系离散数学与其他数学领域有着密切的联系和相互补充的关系。
离散数学通过对离散对象的研究和分析，为其他数学领域提供了理论支持和方法论。
在应用方面，离散数学与连续数学相互配合，共同应用于科学工程领域的建模和问题求解。
离散数学2023年10月真题
2023年10月高等教育自学考试全国统一命题考试离散数学试题(课程代码02324)注意事项：1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2.应考者必须按试题顺序在答题卡(纸)指定位置上作答，答在试卷上无效。
3.涂写部分、画图部分必须使用2B铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。
第一部分选择题一、单项选择题：本大题共15小题，每小题1分，共15分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.令p:今天我上班，q:今天我休息。
命题“今天我要么上班要么休息”的符号化形式为A.p V qB.q→pC.¬ p∧qD.(¬ q∧p)V(q∧¬ p)2.设令F(x):x是火车，G(x):x是汽车，L(x,y):x比y快。
命题“有的火车比有的汽车快”的符号化形式为A.∀x(F(x)→∀y(G(y)→L(x,y)))B.∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧L(x,y)))C.¬∃y(G(y)∧∀x(F(x)→L(y,x)))D.¬∀y(G(y)→∀x(F(x)→L(x,y)))3.下列关于小项和大项的性质表述正确的是A.任意两个不同小项的合取式必为真B.任意两个不同大项的析取式必为假C.任意两个不同小项的析取式必为假D.大项的否定是小项下图中是欧拉图的为4.B. C. D.A.5.设有非空集合A上的全域关系S，则关系S不是A.自反关系B.对称关系C.传递关系D.反对称关系6.简单无向图G有9条边，每个结点都是3度结点，则G的结点数为A.5B.6C.7D.87.下列谓词恒等式，不正确的是A.∀x(P(x)V Q(x))⇔∀xP(x)V∀xQ(x)B.∃x(P(x)V Q(x))⇔∃xP(x)V∃xQ(x)C.∀x(P→Q(x))⇔P→∀xQ(x)D.∃x(P→Q(x))⇔P→∃xQ(x)8.下列度数序列中，不能构成简单无向图的是A.{1,1,1,2,3}B.{1,2,2,3}C.{6,2,2,2,4}D.{3,3,3,3}9.设A={3z|z∈Z),运算为实数加法+和乘法*,则<A,+,*>构成的代数系统是A.环B.整环C.域D.格10.集合A上的自反关系R的关系矩阵为M,则M的元素必定A.对角线上全是0B.关于反对角线对称C.关于对角线对称D.对角线上全是111.已知A、B、C、D是任意集合，则下列各式成立的是A.(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D)B.(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)C.(A⊕B)×(C⊕D)=(A×C)⊕(B×D)D.(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)12.要从完全图K4中得到一棵生成树，需要删除的边数为A.1B.2C.3D.413.设有集合A上的关系R1和R2,下列命题为真的是A.若关系R1和R2是自反的，则R₁⁰ R2也是自反的B.若关系R1和R2是对称的，则R₁⁰ R2也是对称的C.若关系R1和R2是传递的，则R₁⁰ R2也是传递的D.若关系R1和R2是反自反的，则R₁⁰ R2也是反自反的14.下图中4个偏序集的图形，能构成格的是d e e g a afb c b d b fc db c c ea ea dA. B. C. D.15.设有穷集合A的元素个数为m，则A到A的不同单射函数的个数为A.m！B.m mC.m2D.2m第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
离散数学名词解释
离散数学名词解释
离散数学是一门研究离散结构及其相应的逻辑和算法的数学分支。
以下是几个离散数学中常用的名词解释：
1. 集合论：研究集合及其运算规则的理论，包括集合的并、交、差等操作。
2. 图论：研究图及其应用的理论，图由顶点和边组成，研究图中的路径、连通性和图的着色等问题。
3. 逻辑：研究推理和论证的规则和原则，包括命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑等。
4. 组合数学：研究离散对象的组合方式和计数方法的数学分支，常用于解决排列、组合、图的计数等问题。
5. 代数系统：研究具有特定运算规则的数学结构，如群、环、域等代数结构。
6. 排列组合：研究对象的排列和选择方式的数学方法，包括排列、组合、二项式系数等。
7. 图论中的树：一种无环连通图，其任意两个顶点间只存在唯一路径。
8. 关系：集合之间的对应关系，研究元素之间的相互关系、等价关系和偏序关系等。
9. 图的着色：为图的顶点或边分配标记，使相邻顶点或边不具有相同的标记。
10. 递归：通过将问题分解为一个或多个类似的子问题，并根据基本情况进行解决的数学和计算方法。
这些名词在离散数学中具有重要意义，被广泛应用于计算机科学、信息科学和工程等领域。
离散数学最全知识点
逻辑学： 研究思维规律的学问。包含形式逻 辑、辩证逻辑、名辩逻辑和因明逻辑等。
形式逻辑(传统逻辑)：主要通过研究思维形式 来讨论演绎推理。
数理逻辑(符号逻辑)：数学的方法研究形式逻 辑。
亚里士多德与三段论
所有的人都会死； 苏格拉底是人； 苏格拉底会死。
亚里士多德(公元前384～前322)古 希腊哲学家、科学家和教育家。
2) 复合命题：可分解为若干个简单命题。
原子命题：今天天气很冷。 复合命题：今天天气很冷并且刮风。 复合命题：今天天气很冷并且刮风，但室内暖和。
3、命题的表示
例设 A：今天天气很冷。 B：今天在刮风。 C：今天室内暖和。
今天天气很冷。
A
今天天气很冷并且刮风。
A并
且B
二、命题联结词
0
1
1
0
0
4、主析取范式和主合取范式之间的转换
主析取范式=>主合取范式
主合取范式=>主析取范式
3.6 命题逻辑的推理理论
一、推理的基本概念和推理形式
二、判断有效结论的常用方法
例 判断下面各推理是否正确：如果天气凉快，小王就不 去游泳；天气凉快。小王没去游泳。
00 1 1
0
1
01 0 1
0
1
莱布尼茨之梦
“精炼我们的推理的唯一方 式是使它们同数学一样切实，这 样我们能一眼就找出我们的错误， 并且在人们有争议的时候，我们 可以简单的说： 让我们计算， 而无须进一步的忙乱，就能看出 谁是正确的。”
莱布尼茨(1646年~1716年) 德国哲学家、数学家。
布尔与布尔代数
“以计算的符号语言来表示 它们，以此为基石建立逻辑的科 学，并且构造他们的方法。”
离散数学 算法
离散数学算法
离散数学与算法是计算机科学中非常重要的两个领域。
离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它包括了离散集合、离散函数、离散逻辑等内容。
在算法设计和分析中，离散数学提供了一种抽象和形式化的工具，用于解决实际问题。
算法是指解决特定问题或执行特定任务的一系列步骤或规则。
在计算机科学中，算法是实现计算功能的基本方法。
算法设计和分析是计算机科学的核心内容之一。
离散数学与算法有密切的关系。
离散数学提供了算法设计和分析所需要的数学工具和技术。
离散数学中的图论、集合论、逻辑等概念和方法被广泛应用于算法设计和分析中。
算法的正确性和效率分析也离不开离散数学的理论支持。
离散数学与算法在计算机科学和信息技术的各个领域都有广泛的应用。
在数据结构、算法设计、人工智能、网络安全等方面，离散数学与算法的知识和技术都是必不可少的。
掌握离散数学和算法的基本原理和方法，对于计算机科学和软件工程等领域的学习和研究都具有重要的意义。
离散数学课后答案
离散数学课后答案第一章离散数学基础题目1问题：证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A 和集合B的基数的乘积。
答案：设集合A的基数为|A|，集合B的基数为|B|。
我们要证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A和集合B的基数的乘积，即|(A x B)| = |A| * |B|。
首先，我们可以将集合A x B表示为{(a, b) | a∈A, b∈B}。
由于A和B是两个集合，集合A x B中的元素可以看作是将A 中每个元素与B中每个元素组成的有序对。
因此，集合A x B 中的元素个数等于A中元素的个数乘以B中元素的个数，即|(A x B)| = |A| * |B|。
题目2问题：对任意两个集合A和B，证明A∩(A∪B) = A。
答案：要证明A∩(A∪B) = A，首先我们需要理解集合的交和并的定义。
- 集合的交：集合A∩B表示同时属于集合A和集合B的元素组成的集合。
- 集合的并：集合A∪B表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。
现在，我们开始证明。
首先，根据集合的并的定义，A∪B 表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。
因此，任意属于集合A的元素也一定属于A∪B，即A⊆A∪B。
其次，根据集合的交的定义，A∩(A∪B)表示同时属于集合A和集合A∪B的元素组成的集合。
由于A⊆A∪B，所以A中的元素一定属于A∪B，因此A∩(A∪B) = A。
综上所述，对任意两个集合A和B，A∩(A∪B) = A成立。
第二章命题逻辑题目1问题：证明合取命题的真值表达式。
答案：合取命题的真值表达式表示命题P和命题Q同时为真时合取命题为真，否则为假。
假设命题P和命题Q的真值分别为真（T）或假（F），那么合取命题的真值可以通过以下真值表得出：P Q P∧QT T TT F FF T FF F F从上述真值表可以看出，只有P和Q都为真时，合取命题才为真。
如果其中一个或两个命题为假，则合取命题为假。
题目2问题：证明命题的等价关系。
数学中的离散概念
数学中的离散概念离散概念在数学中是一个十分重要的概念，它涉及到数学中的许多分支，如离散数学、离散结构、离散信号处理等。
在数学中，离散概念指的是不连续的、孤立的、分散的，它是与连续概念相对应的一个概念。
离散概念的研究不仅在数学领域中有着广泛的应用和深刻的理论意义，而且在现实生活中也有着重要的作用，例如离散信号处理在通信、图像处理等领域有着广泛的应用。
在数学中，离散概念包括离散数学、离散结构、离散信号处理、离散几何等。
首先，我们来看离散数学。
离散数学是研究离散量的数学理论。
在离散数学中，研究的对象包括整数、有限集合、图、逻辑命题等。
离散数学在计算机科学、信息科学、组合数学、代数学等领域有着重要的应用。
离散数学的主要内容包括集合论、图论、逻辑、数论、代数结构等。
在离散数学中，我们常常需要研究离散量之间的离散关系，例如图中的节点和边之间的关系、集合之间的包含关系等等。
离散数学的研究对于理论研究和实际应用都有着重要的意义。
其次，离散结构也是离散概念中一个重要的内容。
离散结构是指具有离散性质的数学结构，它包括各种离散的数学对象和它们之间的关系。
离散结构在计算机科学、信息科学、组合数学等领域有着广泛的应用。
离散结构的研究对象包括图、树、排列组合、离散概率等。
在研究离散结构时，我们常常需要研究对象之间的离散性质和它们之间的关系，例如图的连通性、树的结构、排列组合的组合方式等等。
离散结构的研究和应用对于解决现实生活中的各种问题有着很大的帮助。
另外，离散信号处理也是离散概念中一个重要的领域。
离散信号处理是指对离散信号进行采样、量化、编码、传输、重构等处理的过程。
离散信号处理在通信、图像处理、音频处理等领域有着广泛的应用。
在离散信号处理中，我们需要研究离散信号的表示、分析、处理和重构等问题。
离散信号处理的研究和应用对于实现信息的高效传输和处理有着非常重要的作用。
最后，离散几何也是离散概念中一个重要的内容。
离散几何是指研究在离散点集上的几何性质和问题的数学理论。
数学的离散数学分支
数学的离散数学分支数学作为一门学科，包含了许多不同的分支，其中离散数学是一种重要的分支。
离散数学主要研究非连续、离散的数学结构和对象。
在现代计算机科学、密码学、网络通信等领域，离散数学扮演着重要的角色。
本文将介绍离散数学的定义、内容及其在实际应用中的重要性。
一、离散数学的定义离散数学是数学的一个分支，它研究离散的对象，如整数、有限集合以及离散的数学结构，而不是连续的对象。
离散数学注重于离散问题的求解和分析，以及逻辑推理和集合论等数学工具的应用。
二、离散数学的内容离散数学包含了多个重要的内容，下面将介绍其中的几个主要方面：1. 集合论：离散数学中的一个重要组成部分是集合论。
集合论是研究集合、元素和包含关系的学科，它为离散数学提供了基础。
2. 逻辑和证明：逻辑是离散数学中另一个重要的内容。
逻辑关注于正确推理和证明的方法，它为解决离散问题提供了基础。
3. 图论：图论是离散数学中研究图和网络的学科。
图是由节点和边组成的离散结构，图论主要研究图的性质、算法和应用。
4. 组合数学：组合数学是研究离散结构中的组合和排列的学科。
它涉及排列组合、图论、概率论等内容，是离散数学的一个重要分支。
5. 离散数学的应用：离散数学的应用非常广泛，特别是在计算机科学和信息技术领域。
它在网络通信、密码学、算法设计等方面发挥着重要的作用。
三、离散数学在实际应用中的重要性离散数学在多个领域中发挥着重要的作用，下面将介绍其中的几个方面：1. 计算机科学：离散数学是计算机科学的基础，它提供了计算机算法、数据结构和计算模型的理论基础。
离散数学的概念和方法在计算机科学中被广泛应用，帮助解决了很多复杂的计算问题。
2. 密码学：密码学是研究保护信息安全的学科，离散数学在密码学中起着重要的作用。
离散数学的知识可以帮助我们理解和设计密码系统，保护敏感信息的安全。
3. 网络通信：在网络通信中，离散数学的概念和方法可以帮助我们理解和分析网络的拓扑结构、通信协议和网络安全等问题。
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子图覆盖问题
定义：若一个图的某些子图共同包含了该 图的所有边，则称该图被这些子图覆盖。 子图覆盖问题：用具有某种特性的子图来
覆盖一个图。
子图覆盖
子图覆盖
四色问题的一个等价形式: 每个2-边连通
平面图可被两个偶图覆盖（偶图：每个点
与偶数条边关联; 圈是连通极小偶图）
哥德巴赫猜想: 每个大于2的偶数是两个素
子图覆盖
定理(BJJ 1983)：当k是4的倍数，圈k-覆盖存在。 定理(Fan 1992)：当k是6的倍数，圈k-覆盖存在。
推论：当k是大于2的偶数时，圈k-覆盖存在。
唯独 k=2 未能解决。圈2-覆盖也被称为圈双 覆盖，至今仍是图论界的一个著名难题。它是曲面 拓扑中的强嵌入猜想的一个弱形式。
子图覆盖
整数流的一个例子
整数流的抽象定义
给定图G 和k 阶可换群A。若对G 的某 个定向 , 存在一个函数 f : 从 G 的边集 到 A 的非零元素 , 使得在图的每个一点 , 进入该点的边的函数值之和等于离开该 点的边函数值之和 , 则称 f 为 G 的一个
k-流。
整数流与平面图着色
Tutte定理(1954年): 平面图可k着色当 且仅当该图存在k-流。
几何学: View Obstruction
有限域线性空间: Additive Basis
孤独的跑步者
n 个人绕跑道以各自固有的速度跑步。
他们在同一时间、同一起点起跑。是否存
在某一时刻，某个跑步者 “远离” 其余
跑步者？
数学定量描述
设跑道一圈的长度为 1 个单位。是否存 在某个时刻、某跑步者与所有其余跑步者 的距离至少是 1/n 单位。
子图覆盖
若我们不要求每条边恰好在 k 个圈上，而只 要求每条边至少在一个圈上，这样一组圈称为该 图的一个圈覆盖。所有这些圈的边数之和称为该 圈覆盖的长度。 短圈覆盖问题：寻找长度最短的圈覆盖。 Itai-Rodeh 猜想（ 1978 ）：若图的边数为 m ，点 数为n，则一定有长度不超过m+n-1的圈覆盖。
图论分支
图 论
结 构 图 论
随 机 图 论
代 数 图 论
拓 扑 图 论
离散数学
图论是离散数学的一个主要分支 广泛应用背景的基础研究 与计算机科学密切相关
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。 以计算机的出现为标志的信息革命将促
进离散数学的发展。
计算机光纤网波长分配问题
等价描述
n-1 个人绕单位长度跑道以各自固有的速
度从同一起点起跑。是否存在某个时刻，所 有跑步者与起点的距离至少是 1 / n ？
数学描述
n-1 个跑步者的速度分别为a1, a2, …, an-1
。
1 圈跑道相当于数轴上的一个单位， 2 圈2 个单
位， … , k 圈k 个单位… 。这样，每个正整数
◆ 四色问题等价于平面图的4-流存在性
整数流三大猜想
5-流猜想：每个2-边连通图有5-流。
4- 流猜想：每个不含广义 Petersen 子
图的2-边连通图有4-流。 3-流猜想：每个4-边连通图有3-流。
弱3-流猜想
弱3-流猜想：存在常数t，使得每个t-边连通图
有3-流。
此猜想与有限域向量空间堆垒基（Additive
Ramsey数问题
一般化 : 定义 R(s,t) 为最小整数使得任意
R(s,t) 个人中 , 要么有 s 个人两两认识 , 要么有 t 个人两两不认识。 R(3,3)=6 R(4,4)=18 R(5,5)=?
Ramsey 问题 应用广、影响大。微软研究中 心的 Kim 因求解R(3, t)的工作而获 1997年
证明：令G是6个点的图，x为G中一个点。与x 相邻的点集记为N,与x不相邻的点集记为R.
情形I.|N|>2.若N中有两点相连，则这两点连 同x构成一个三角形；若N中任意两点均不相 连，则N含三个两两不连的点。
情形II.|N|<2.那么|R|>2.若R中有两点不相 连，则这两点连同x是三个两两不连的点；若 R中任意两点均相连，则R含一个三角形。
子图覆盖
l 1985年，Alon（2002年世界数学家大会作１小 时报告）证明存在长度不超过m+7(n-1)/3的圈 覆盖。
l 1994年，Thomassen（丹麦科学院院士）证实 了计算机算法专家Papadimitriou的猜测：短圈 覆盖问题是NP-完全。
l 1998年，范更华彻底解决了Itai-Rodeh猜想， 证明存在长度不超过m+n-1的圈覆盖。
Basis）猜想有关联，吸引了众多国际一流学者。
定理(Thomassen，2012): 每个8-边连通图有 3-流。(随后被改进到： 6-边连通图有3-流。)
整数流理论
整数流与数学其他领域的一些著名问题有关联:
组合学: Lonely Runner 数论: Diophantine Approximation
Fulkerson 奖。
极值图论
一般叙述 : 图的边数大于某个数时 ,该图具有某 种性质,此数的最小值称为该性质的极值. Mantel 定理(1907年): n点图的边数大于n2/4时, 该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数. 上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形.
极值图论
Mantel 定理的证明 : 设G是不含三角形的n点图, 其最大点度数为t.不难证明G的边数至多是 f(t)=t(n-t). 该二次函数在t=n/2处取得极大值: f(n/2)=n2/4. 当n为偶数时, n个点的平衡完全二部图不含三角 形, 且边数恰为 n2/4.因此, n2/4是具有该性质的 最小数.
子图覆盖
未解决问题 (Itai-Rodeh，1978)：是否存在长度 不超过7m/5 的圈覆盖？
若答案是肯定的，则推出圈2-覆盖猜想成立。 已知最好结果(BJJ，1983；Alon-Tarsi，1985)： 存在长度不超过5m/3 的圈覆盖。
整数流问题
给图的每条边一个定向及一个整数 值, 使得在图的每个点, 进入该点的所 有边的整数值之和等于离开该点的所有 边的整数值之和。
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边
相连当且仅当它们对应的信道有公共部
分。波长问题等价于所构造图的点着色
问题：
给图的每个点着色，有边相连的点
须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
大规模集成电路（VLSI）
Very Large Scale Integration
圈双覆盖猜想（Cycle Double Cover Conjecture）
每个2-边连通图存在圈 2-覆盖。 强嵌入猜想（Strong Embedding Conjecture）
每个2-连通图可嵌入到某个曲面上，使得每个面 的周界是一个圈（2-cell-embedding: each face is homeomorphic to an open disk）。
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen图
两个长度为5的圈通过5条边相连，也可如 下构造：5个元素集合的所有2-子集作为点， 两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交。 ◆ 没有长度小于5的圈
◆ 没有长度为10的圈(哈密顿圈)
◆ 边传递、点传递
◆ 不是平面图
四色问题
当年,这位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
转化为图论问题: 点代表国家, 两点相连当且 仅当对应的两个国家有共同边界。由此得到的 图是平面图. 四色问题: 每个平面图可用4种颜色对其点着 色,使得任何两个有边相连的点得到不同颜色. 1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决 了四色问题.未被数学界普遍接受.
四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。 教授无语,该问题成为数学史上最著名问题之 一,对它的研究推动了图论,拓扑,代数的发展. 历史上许多著名数学家研究过四色问题并给出 错误证明.
数之和。
子图覆盖
图论: 数论: 每个2-边连通图可被3个偶图覆盖。 每个充分大的奇数是3个素数之和。
陈景润定理 : 每个充分大的偶数是一个素数 与不超过两个素数的乘积之和。 Seymour 定理 : 每个 2- 边连通图可被一个偶 图及不超过两个偶图的并所覆盖。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
图的例子
交通网
互联网
计算机处理器连接方式
集成电路板
分子结构图
分子间相互作用及信息传递
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式
互联网：信息传输及控制管理
大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学： 子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
1735年, 欧拉(Euler) 证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题 : 求 图中一条迹 (walk), 过每条边一次且仅一次 . 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为 2( 若为 0, 则存在欧拉回 路,这种图称为欧拉图,也称为偶图)