离散数学

[n/2] 个圈覆盖，且每条边恰好被覆盖奇数次。
子图覆盖
圈 k- 覆盖 : 给定一个图，对哪些正整数 k ，存在一 组圈，使得图中的每条边恰好在 k 个圈上 ? 这样一 组圈称为该图的一个圈k-覆盖。
当k为奇数时，这个问题已解决； 然而当k为 偶数时，至今仍未完全解决。60年代中，Edmonds （John von Neumann奖得主）的匹配多面体理论为 人们提供了有力工具，得以证明圈k-覆盖对某个偶 数k存在，但无法确定这个偶数的值。
数之和。
子图覆盖
图论: 数论: 每个2-边连通图可被3个偶图覆盖。 每个充分大的奇数是3个素数之和。
陈景润定理 : 每个充分大的偶数是一个素数 与不超过两个素数的乘积之和。 Seymour 定理 : 每个 2- 边连通图可被一个偶 图及不超过两个偶图的并所覆盖。
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哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
图的例子
交通网
互联网
计算机处理器连接方式
集成电路板
分子结构图
分子间相互作用及信息传递
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式
互联网：信息传输及控制管理
大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学： 子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )


几何学: View Obstruction
有限域线性空间: Additive Basis
孤独的跑步者
n 个人绕跑道以各自固有的速度跑步。
他们在同一时间、同一起点起跑。是否存
在某一时刻，某个跑步者 “远离” 其余
跑步者？
数学定量描述
设跑道一圈的长度为 1 个单位。是否存 在某个时刻、某跑步者与所有其余跑步者 的距离至少是 1/n 单位。
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计
最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解 : 在图中求一个圈过每点恰好一次 ,
且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比
子图覆盖
l 1985年，Alon（2002年世界数学家大会作１小 时报告）证明存在长度不超过m+7(n-1)/3的圈 覆盖。
l 1994年，Thomassen（丹麦科学院院士）证实 了计算机算法专家Papadimitriou的猜测：短圈 覆盖问题是NP-完全。
l 1998年，范更华彻底解决了Itai-Rodeh猜想， 证明存在长度不超过m+n-1的圈覆盖。
1735年, 欧拉(Euler) 证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题 : 求 图中一条迹 (walk), 过每条边一次且仅一次 . 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为 2( 若为 0, 则存在欧拉回 路,这种图称为欧拉图,也称为偶图)
子图覆盖
若我们不要求每条边恰好在 k 个圈上，而只 要求每条边至少在一个圈上，这样一组圈称为该 图的一个圈覆盖。所有这些圈的边数之和称为该 圈覆盖的长度。 短圈覆盖问题：寻找长度最短的圈覆盖。 Itai-Rodeh 猜想（ 1978 ）：若图的边数为 m ，点 数为n，则一定有长度不超过m+n-1的圈覆盖。
整数流的一个例子
整数流的抽象定义
给定图G 和k 阶可换群A。若对G 的某 个定向 , 存在一个函数 f : 从 G 的边集 到 A 的非零元素 , 使得在图的每个一点 , 进入该点的边的函数值之和等于离开该 点的边函数值之和 , 则称 f 为 G 的一个
k-流。
整数流与平面图着色
Tutte定理(1954年): 平面图可k着色当 且仅当该图存在k-流。
四色问题
当年,这位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
转化为图论问题: 点代表国家, 两点相连当且 仅当对应的两个国家有共同边界。由此得到的 图是平面图. 四色问题: 每个平面图可用4种颜色对其点着 色,使得任何两个有边相连的点得到不同颜色. 1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决 了四色问题.未被数学界普遍接受.
Ramsey数问题
一般化 : 定义 R(s,t) 为最小整数使得任意
R(s,t) 个人中 , 要么有 s 个人两两认识 , 要么有 t 个人两两不认识。 R(3,3)=6 R(4,4)=18 R(5,5)=?
Ramsey 问题 应用广、影响大。微软研究中 心的 Kim 因求解R(3, t)的工作而获 1997年
哥尼斯堡七桥问题
子图覆盖
欧拉定理 (图论最古老的定理, 1735年)： 无奇度数点的连通图 ( 欧拉图 ) 存在欧拉回路
（一笔划）, 且可被边不交的圈覆盖。 次此定理未能回答需要多少个圈。
二百多年来，人们一直试图回答这个问题。
子图覆盖
Hajos 猜想： n 个点的欧拉图可被 [n/2] 个边不 交的圈覆盖。 Erdos-Goodman-Posa 猜想 (1966): 存在常数c, n个点的欧拉图可被 cn 个边不交的圈覆盖。 定理 (范更华，2003年)：n个点的欧拉图可被
较：最优欧拉回路问题—中国邮递员问题)
难度: 应用: NP--完全问题 投币电话、自动取钞机、机器人行
走路线设计
Ramsey数问题
简单情形: 任意六个人中, 必有3个互相
认识, 或三个互相不认识。 数学抽象: 点代表人, 两点相连当且仅
当对应的两人认识。该图要么有三角形, 要么有三个点两两不连。
Ramsey数问题
子图覆盖问题
定义：若一个图的某些子图共同包含了该 图的所有边，则称该图被这些子图覆盖。 子图覆盖问题：用具有某种特性的子图来
覆盖一个图。
子图覆盖
子图覆盖
四色问题的一个等价形式: 每个2-边连通
平面图可被两个偶图覆盖（偶图：每个点
与偶数条边关联; 圈是连通极小偶图）
哥德巴赫猜想: 每个大于2的偶数是两个素
子图覆盖
未解决问题 (Itai-Rodeh，1978)：是否存在长度 不超过7m/5 的圈覆盖？
若答案是肯定的，则推出圈2-覆盖猜想成立。 已知最好结果(BJJ，1983；Alon-Tarsi，1985)： 存在长度不超过5m/3 的圈覆盖。
整数流问题
给图的每条边一个定向及一个整数 值, 使得在图的每个点, 进入该点的所 有边的整数值之和等于离开该点的所有 边的整数值之和。
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边
相连当且仅当它们对应的信道有公共部
分。波长问题等价于所构造图的点着色
问题：
给图的每个点着色，有边相连的点
须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
圈双覆盖猜想（Cycle Double Cover Conjecture）
每个2-边连通图存在圈 2-覆盖。 强嵌入猜想（Strong Embedding Conjecture）
每个2-连通图可嵌入到某个曲面上，使得每个面 的周界是一个圈（2-cell-embedding: each face is homeomorphic to an open disk）。
图论及其应用
范 更 华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
现实世界中许多问题的数学抽象形式可
以用图来描述。如互联网、交通网、通讯
网、大规模集成电路、分子结构等都可以
用图来描述。对图的研究形成了一个专门 的数学分支：图论（Graph Theory)。
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen图
两个长度为5的圈通过5条边相连，也可如 下构造：5个元素集合的所有2-子集作为点， 两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交。 ◆ 没有长度小于5的圈
◆ 没有长度为10的圈(哈密顿圈)
◆ 边传递、点传递
◆ 不是平面图
等价描述
n-1 个人绕单位长度跑道以各自固有的速
度从同一起点起跑。是否存在某个时刻，所 有跑步者与起点的距离至少是 1 / n ？
数学描述
n-1 个跑步者的速度分别为a1, a2, …, an-1
。
1 圈跑道相当于数轴上的一个单位， 2 圈2 个单
位， … , k 圈k 个单位… 。这样，每个正整数
子图覆盖
定理(BJJ 1983)：当k是4的倍数，圈k-覆盖存在。 定理(Fan 1992)：当k是6的倍数，圈k-覆盖存在。
推论：当k是大于2的偶数时，圈k-覆盖存在。
唯独 k=2 未能解决。圈2-覆盖也被称为圈双 覆盖，至今仍是图论界的一个著名难题。它是曲面 拓扑中的强嵌入猜想的一个弱形式。
子图覆盖
均相当于跑道起点。是否存在时间t , 对每个 i,
tai 与最近整数的距离至少是1/ n ?
数论难题（丢番图逼近）
给定 n-1 个正整数 a1, a2, … , an-1, 是否存在实数 t , 使得对每个 i,
tai与最
近整数的距离至少为 1/n ?
对 n﹥5, 未解决世界难题。
观察者问题 (View Obstruction)
Fulkerson 奖。
极值图论
一般叙述 : 图的边数大于某个数时 ,该图具有某 种性质,此数的最小值称为该性质的极值. Mantel 定理(1907年): n点图的边数大于n2/4时, 该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数. 上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形.
极值图论
Mantel 定理的证明 : 设G是不含三角形的n点图, 其最大点度数为t.不难证明G的边数至多是 f(t)=t(n-t). 该二次函数在t=n/2处取得极大值: f(n/2)=n2/4. 当n为偶数时, n个点的平衡完全二部图不含三角 形, 且边数恰为 n2/4.因此, n2/4是具有该性质的 最小数.
大规模集成电路（VLSI）
Very Large Scale Integration
◆ 四色问题等价于平面图的4-流存在性
整数流三大猜想
5-流猜想：每个2-边连通图有5-流。
4- 流猜想：每个不含广义 Petersen 子
图的2-边连通图有4-流。 3-流猜想：每个4-边连通图有3-流。
弱3-流猜想
弱3-流猜想：存在常数t，使得每个t-边连通图
有3-流。
此猜想与有限域向量空间堆垒基（Additive
Basis）猜想有关联，吸引了众多国际一流学者。
定理(Thomassen，2012): 每个8-边连通图有 3-流。(随后被改进到： 6-边连通图有3-流。)
整数流理论
整数流与数学其他领域的一些著名问题有关联:

组合学: Lonely Runner 数论: Diophantine Approximation
图论分支
图 论
结 构 图 论
随 机 图 论
代 数 图 论
拓 扑 图 论
离散数学
图论是离散数学的一个主要分支 广泛应用背景的基础研究 与计算机科学密切相关
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。 以计算机的出现为标志的信息革命将促
进离散数学的发展。
计算机光纤网波长分配问题
证明：令G是6个点的图，x为G中一个点。与x 相邻的点集记为N,与x不相邻的点集记为R.
情形I.|N|>2.若N中有两点相连，则这两点连 同x构成一个三角形；若N中任意两点均不相 连，则N含三个两两不连的点。
情形II.|N|<2.那么|R|>2.若R中有两点不相 连，则这两点连同x是三个两两不连的点；若 R中任意两点均相连，则R含一个三角形。
四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。 教授无语,该问题成为数学史上最著名问题之 一,对它的研究推动了图论,拓扑,代数的发展. 历史上许多著名数学家研究过四色问题并给出 错误证明.