离散数学(A)答案

离散数学(A)答案
杭州师范大学钱江学院2013 —2014 学年第二学期期末试卷
_ _《 离散数学 》(A)卷
命题教师_田正平_
一、判断题（对的打∨，错的打⨯；每空2分，共20分）
1、 “如果南京大学不在上海，那么上海大学在南京。

”是假命题。

（ ∨ ）
2、 命题)(q p p ⌝∨→是矛盾式。

（ ⨯ ）
3、 B x xA B x A x →∃⇒→∀)())((。

（ ∨ ）
4、 设集合},,{c b a X =上的关系R 的关系矩阵是⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=000101111R M ，则关系R 是传
递关系（ ⨯ ）
5、 对称关系一定不是反对称关系。

（ ⨯ ）
6、 有限偏序集),(≤X 必定存在最小元。

（ ⨯ ）
7、 在复数集合C 上关系}),{(2
2
2
2
d c b a di c bi a R +=+++=是等价关系。

（ ∨ ）
8、 无向连通图),(E V G =的每一个顶点的度数)(v d 都是偶数，则图G 是欧拉图。

（ ⨯ ）
9、 无向图),(E V G =的每一个顶点的度数2
)(V v d ≥
，则图G 是哈密顿图。

（ ⨯ ）
10、在顶点个数不小于2的简单无向图中，必有度数相同的顶点。

（ ∨ ）
二、填空题（每空4分，共28分）
1、将命题：“下个星期我将去上海或苏州出差。

”符号化。

设命题P ：下个星期我将去上海出差，Q ：下个星期我将去苏州出差。

则命题：“下个星期我将去上海或苏州出差。

”可以符号化为：)()(Q P Q P ∧⌝∨⌝∧
2、若个体域为全总个体域，将命题：“没有不犯错误的人。

”符号化。

设谓词x x P :)(是人，x x Q :)(犯错误。

命题：“没有不犯错误的人。

”可以符号化为： ))()((x Q x P x →∀ 或者 ))()((x Q x P x ⌝∧⌝∃ 4、欧拉图),(E V G =。

包含G 的所有边的简单回路称为G 的欧拉回路。

具有欧拉回路的图称为欧拉图 。

5、轮图n W 的色数⎩⎨
⎧===even
n odd
n W n ,3,4)(χ
6、集合A={1, 2, 3}上的关系)}3,3(),1,3(),3,2(),3,1(),1,1{(=R 的关系矩阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=101100101R M
7、图G 有10条边，4个度数为3的顶点，其余顶点度数都不大于2，则G 的顶点个数8≥V
三、选择题（每题4分，共20分）
1、下面命题公式中，矛盾式是（ C ）
（
A
）
)(Q P P ∨→
(B)P P P ⌝→⌝→)(
(C) )()(R Q Q P P ∧⌝∧→⌝∨ (D) )()(Q P Q P ⌝↔⌝→↔
2、设集合}10,6,4,5,3,2,1{=X 上的关系R 是整除关系，则关系R （ C ） （A ）有最大元，有最小元 (B)有最大元，无最小元
(C) 无最大元，有最小元 (D) 无最大元，无最小元
3、下图（ D ）
（A ）无欧拉回路，无哈密顿通路 (B)有欧拉回路，无哈密顿通路
(C) 无欧拉通路，无哈密顿回路 (D) 有欧拉通路，有哈密顿回路
4、设*
R 是非零实数集，下面关系中是等价关系的是（ C ）
（A ）}0),{(>+y x y x (B) }0),{(<+y x y x
(C) }0),{(>xy y x (D) }0),{(<xy y x 5、 集合A={1,2,3}上的五个关系
（1）)}3,3(),3,1(),2,1(),1,1{(1=R （2）)}3,3(),2,2(),1,2(),2,1(),1,1{(2=R （3）)}3,2(),3,1(),2,1(),1,1{(3=R （4）∅=4R （5）A A R ⨯=5
中同时是对称关系和传递关系的是（ B ）
（A ）431,,R R R (B) 542,,R R R
(C ) 532,,R R R (D) 321,,R R R
四、计算题（每题5分，共20分）
1、 化简命题公式))((p q p q ⌝→→→⌝。

解：
1
)(1)()()())(1())()(()
)(())(())(())((=⌝∨∨=⌝∨∨⌝∨=⌝∨⌝∨=⌝∨⌝∧∨=⌝∨⌝∧⌝∨∨=⌝∨⌝∧∨=⌝∨⌝∧⌝⌝∨=⌝∨∨⌝⌝∨⌝⌝=⌝→→→⌝p q p q q q p q q p q q p q p p q p q p q p q p q p q p q p q p q
2、给出谓词公式),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀不能成立的一个解释I 。

解：设个体域为实数集合。

谓词),(y x A 表示y x =，则),(y x yA x ∃∀表示有这样的实数
0y 存在，它等于所有的实数x ，这显然是一个假命题；而),(y x xA y ∀∃表示对所有的实数x
都存在实数y ，使得它等于实数x ，这显然是一个真命题。

所以这个解释I 说明谓词公式
),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀不能成立。

3、设集合}10,6,4,5,3,2,1{=X 上的关系R 是整除关系，写出关系R 的传递闭包)(R t 。

解：因为整除关系是传递关系，所以R R t =)(
4、完全偶图n m K ,的mn K E n m =)(,
五、证明题（每题6分，共12分）
1、写出下列推理的逻辑证明：
()(())()(()),()((x P x R x x Q x R x x Q x P x ⌝→∀⇒→∀∧⌝∃
证明：1.))()((x Q x P x ∧⌝∃ （前提引入）
2.))()(())()(())()((x Q x P x x Q x P x x Q x P x ⌝∨⌝∀=∧⌝∀=∧⌝∃
3.)()(y Q y P ⌝∨⌝ (US 规则）
4. ))()((x Q x R x →∀ （前提引入）
5. )()(y Q y R → (US 规则）
6. )()(y Q y P ⌝∨⌝,)()()()(y P y R y Q y R ⌝→⇒→
7.))()((x P x R x ⌝→∀ （UG 规则） 2、证明：在任意偏序集),(≤X 中最小元的个数最多只有一个。

证明：设21,a a 是偏序集),(≤X 的最小元，因为1a 是最小元，所以有21a a ≤成立。

又因为2a 也是最小元，所以也有12a a ≤成立。

由于偏序集是反对称关系，所以必有21a a =。

这说明了如果偏序集),(≤X 有最小元，则最小元是唯一的。

所以在任意偏序集),(≤X 中最小元的个数最多只有一个。