数形结合(函数的应用)
数形结合在高中函数的应用
数形结合在高中函数的应用
简单点说，数可以理解为数字，数学表达式，形即图形，包括函数图象，简图等等
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：
一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。
从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。
六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以
及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。
用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。
数形结合在函数与方程中的应用
２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀数形结合在函数与方程中的应用◉江苏省常熟市浒浦高级中学㊀李宝香㊀㊀函数与方程是高中数学的重要组成部分,也是高考的核心考点,二者既相互联系又相互区别．它们与其他知识点也有着密切的联系,学好这部分知识点对学生提高数学水平㊁提升数学能力都有着非常重要的意义．方程与函数相结合的题目比较灵活,学生解题时常常因为找不到合适的切入点而望而却步．数形结合作为一种重要的思想方法,其在解决函数与方程问题中有着重要的应用．日常教学中,教师应让学生充分体会函数与方程的转化关系,重视启发学生借助图象的直观来解决一些抽象的方程㊁不等式㊁函数单调性等问题,以此提高解题效率．下面笔者结合实例谈谈自己在这部分知识教学时的一些心得体会,若有不足,请指正．１利用数形结合思想研究一元二次方程的根的分布问题㊀㊀方程的根与函数的零点既是高中数学的重点,也是难点．在这部分知识教学中,教师应重视基础知识的讲解,让学生理解并掌握二者之间的等价关系,并学会用数形结合思想方法解决问题,感悟数形结合思想方法在解决此类问题中的价值,发展数学素养．１．１探寻基础,沟通联系在函数与方程的教学中,教师应重视引导学生将方程中的相关结论用函数图象来表达,以此将方程的根与函数的零点建立联系,通过数形结合,让学生深刻理解二者的等价关系,从而为后期的应用奠基．设一元二次方程a x ２＋b x ＋c ＝０(a ʂ０)的两个实数根分别为x １,x ２,且x １ɤx ２,有以下重要结论．结论１:x １＞０,x ２＞０{⇔Δȡ０,a ＞０,f (０)＞０,b ＜０ìîíïïïï或Δȡ０,a ＜０,f (０)＞０,b ＞０．ìîíïïïï根据结论１,结合二次函数图象得到函数零点的分布情况,如图１．图１结论２:x １＜０,x ２＜０{⇔Δȡ０,a ＞０,f (０)＞０,b ＞０ìîíïïïï或Δȡ０,a ＜０,f (０)＞０,b ＜０．ìîíïïïï同理,结合结论１的研究经验,根据结论２可以得到对应的二次函数图象,如图２．图２结论３:x １＜０＜x ２⇔ca ＜０．结论４:x １＝０,x ２＞０⇔c ＝０且ba＜０;x １＜０,x ２＝０⇔c ＝０且ba＞０．(对应图象如图３㊁图４)图３图４数 与 形 建立联系,为研究方程的根的分布情况带来了便利,促进了学生高阶思维能力的发展．１．２灵活应用,深化认知例１㊀假设x ２－２(m －１)x ＋２m ＋６＝０．(１)如果方程有两个根均大于０,求实数m 的取值范围;(２)如果方程的两个根一个比１大,一个比１小,３４学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀求实数m 的取值范围;(３)如果方程的两个根均大于１,求实数m 的取值范围．问题给出后,教师让学生独立完成．教师巡视,发现大多学生选择运用初中所学的方程知识来求解．有的因为运算复杂而望而却步,有的因为漏解最终导致结果错误,解题效果一般．在解决此类问题时,教师要引导学生运用数形结合思想,借助图形的直观去研究已知,探寻未知,有效避免错误的发生．教学中,教师选择了一些典型性解答过程进行展示,以下是学生给出的解问题(３)的解答过程．生１:根据Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,(x １－１)(x ２－１)＞０,{可得m ȡ５或m ɤ－１．生２:由Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,x １＋x ２＞２,x １x ２＞１,ìîíïïïï得m ȡ５．生１按照解决问题(１)的思路求解,解得m ȡ５或m ɤ－１;而生２按照解决问题(２)的思路求解,解得m ȡ５．可以看出,大多学生习惯性地利用根的判别式和韦达定理来求解此类问题．对于简单的问题,此种方法确实一个好的解题策略,该方法虽然运算上略显复杂,但是学生易于理解和接受．不过,对于复杂的问题,若依然采用该方法求解可能会陷入误区．教学中,教师让学生思考: 上述问题(３)的两种解法正确吗?你能否举例验证呢 在问题的引导下,学生积极思考,很快就发现了问题．对于生１给出的(x １－１)(x ２－１)＞０这一条件,学生给出这样一个反例:若x １＝－３,x ２＝－１,虽满足(x １－１)(x ２－１)＞０,但却不满足 方程两根均大于１ 这一条件．对于生２给的条件,同样也给出了反例:若x １＝４,x １＝１２,同样满足x １＋x ２＞２,x １x ２＞１,{但却不满足 方程两根均大于１ 这一条件．显然利用解决问题(１)和问题(２)的策略来研究问题(３)是行不通的．此时,教师不妨引导学生分析函数的零点,借助函数图象寻找解决问题的突破口．由y ＝x ２－２(m －１)x ＋２m ＋６的图象(此处略),可得Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,２(m －１)２＞１,f (１)＞０,ìîíïïïï所以m ȡ５．在此基础上,教师可以引导学生运用函数零点分布的知识重新思考问题(１)和问题(２),以此通过对比分析发现不同解法的优缺点．以上问题求解后,教师还应引导学生向一般转化,思考这样几个问题:已知方程a x ２＋b x ＋c ＝０(a ＞０)有两个根．若方程有两个正根,此时应满足什么条件?若方程两根都比m 大,又应满足什么条件呢?若方程一个根比m 大,另一个根比m 小呢?由此通过由特殊到一般的转化,帮助学生总结二次函数零点分布的解法,提高学生解题技能．在数学教学中,不应仅将目光聚焦于问题解决上,还应思考问题解决过程中涉及的数学思想方法,让学生学会从整体㊁全局的角度去思考问题,通过深入探究提高学生分析和解决问题的能力．２利用数形结合思想解方程和不等式函数是方程与不等式的扩展,三者相互沟通㊁相互转化．谈起解方程,大家脑海中大多浮现的是解一元一次方程㊁一元二次方程(组),其实方程的类型远不止于此,有些方程直接求解可能很难找到合理的切入点,需要将其转化为函数,利用函数思想求解往往可以事半功倍．其实,在研究幂函数㊁指数函数㊁对数函数㊁三角函数等一些特殊形式的函数时,都会要求学生画出这些函数的图象,然后运用一些特殊方程与函数的交点问题来研究方程的根．３利用数形结合思想研究函数的单调性函数单调性是高中数学教学的一个难点内容．之所以难是因为函数单调性的概念比较抽象,部分学生直接应用定义法研究函数单调性时容易遇到障碍,从而影响解题效果．其实我们在学习新函数时,都会研究其图象,然后根据函数图象研究函数的相关性质．因此,在研究初等函数或者由初等函数复合而来的函数的单调性问题时,可以结合函数图象来分析,以此借助 形 的直观让问题更加形象,消除学生的畏难情绪,提高解题信心．例２㊀求函数y ＝x |x |－２|x |的单调区间．分析:在解决此类含绝对值的函数问题时,首先要引导学生去掉绝对值符号,然后结合函数图象研究其性质．根据绝对值的定义去掉绝对值,可得y ＝x ２－２x ,x ȡ０－x ２＋２x ,x ＜０,{然分别画出y ＝x ２－２x (x ȡ０)和y ＝－x ２＋２x (x ＜０)的函数图象,问题即可迎刃而解．数形结合在研究函数与方程问题中有着重要的应用,若在教学中合理加以利用可以淡化数学的抽象性,帮助学生更好地理解知识㊁解决问题,提高解题信心．因此,在课堂教学中,教师不仅要讲授知识,还要渗透思想与方法,以此提高教学质量和学生数学素养．Z４４。
高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用
高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用（一）数形结合在求函数定义域方面的应用例1：求函数y =的定义域. 解析：若要解决该函数的定义域，则有23200x x x ⎧-+≥⎨≠⎩，要解决此类不等式的解集， 需要借助图像，如右图：由图像可以看出，若要2320x x -+≥，只需1,x ≤或2x ≥，再由0x ≠，得出该函数的定义域即为：()(][),00,12,-∞+∞. 小结：随着学生做题熟练程度的增强，二次不等式的求解已不用再画图。
因此在求函数定义域方面，多见于画数轴选择出取值范围。
（二）数形结合在求函数值域方面的应用例2：求函数(]223,1,2y x x x =--∈-的值域. 解析：看到所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求出值域，因此需要借助图像来观察，如右图：借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当1x =时，4y =-。
从而该函数的值域为：(]0,4-。
小结：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。
（三）数形结合在函数单调性方面的应用例3：已知2()2(1)2f x x a x =+-+在(],4-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。
解析：函数解析式中含有字母，因此函数在坐标系内的具体位置不能固定，需要画图分析，看何种情况才能满足题干要求：通过图像分析可知：若要满足函数在给定区间上为单调函数，只能是后两种情况，也就是函数图像的对称轴不能出现在所给区间内，从而解题找到突破口。
所给函数对称轴方程：1x a =- ,由图像分析可知，需有a 14-≥，从而a 5≥。
小结：该类问题常见于二次函数中，因其单调性与对称轴的位置有关，故通常画图分析更能直观得出题目所需情况，从而快速得出结论。
（四）数形结合在函数奇偶性方面的应用例4：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.试求当0x <时，函数()f x 的解析式。
数形结合思想在二次函数中的应用
① a a a a
2 ①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③无实数根？ 思考： 抛物线 y = ax + bx + c ( a ≠ 0 )与直线 y = kx + b 的交点个数？ m=4 m>4 m<4 2 b − 4ac > 0 ⇔ 有2个交点 2 b − 4ac = 0 ⇔ 有1个交点 直线y=m y b 2 − 4ac < 0 ⇔ 没有交点 4
x
图2
什么没变？ 什么没变？
3、如图2，把此抛物线先绕它的顶点旋转180°，则该抛物 y = ( x + 1) 2 + 4 线对应的解析式为________________； 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平移3个单位，
y = ( x − 1) 2 + 1 右 则此时抛物线对应的函数解析式为______________。 左“+”右
“－”
y
B 4
抛物线的平移本质上就是把握点的平移 点的平移 抛物线的平移
-1 o 1A源自x图2数形结合
1.若A(-1, y1 )，B（ − 2，y2）是抛物线y = a ( x − 1) 2 + c(a > 0)上的两点， 则y1 ___ y2 (填 >, < 或 =)。 <
变式1：若A(-1, y1 )，B（4，y2）是抛物线y = a ( x − 1) 2 + c(a > 0)上的两点， 则y1 ___ y2 (填 >, < 或 =)。 < 变式 2：若 A(m, y1 )，B（m + 2，y2）是抛物线 y = a ( x − 1) 2 + c ( a > 0)上的两点， 当m取何值时，则 y1 = y2 ? y1 > y2 ?
数形结合思想在函数中的运用
题型四、与数形结合有关的综合问题
例 4：已知函数 f ( x) lg x ，若存在互不相等的实数 a ， b ，使得
f (a) f (b) ，求 ab 的值.
lg x , 0 x 10 变式：已知函数 f ( x) 1 ，若实数 a, b, c 互 x 6, x 10 2
题型二、比较数的大小问题
例 2：若 a 30.6 ， b log3 0.6 ， c 0.6 3 ，则 a, b, c 的大小关系为 （用“ ”连接）
变式：已知函数 f ( x) 2x x ， g ( x) x log2 x ， h( x) x3 x 的 零点分别为 a, b, c ，则 a, b, c 的大小关系为 .
镇江市实验高级中学2014届高三数学二轮复习
数形结合思想在函数中的运用
数形结合是通过“以形助数” （将所研究的代数问题转化 为研究其对应的几何图形）或“以数解形” （借助数的精确性 来阐明形的某种属性） ，把抽象的数学语言与直观的图形结合 起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来， 解决问题的一种数学思想方法.它能使抽象问题具体化，复杂 问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导和调节 作用.
.
题型三、求函数的最值与参变量的范围问题
1 例 3：记 min a, b 为 a , b 两数的最小值.若 t min x, ，则 2x
t 的最大值为
变式：已知函数 y
.
x 1
2
x 1
的图象与函数 y kx 2 的图象恰有两个 .
交点，则 k 的取值范围为
具体地说,数形结合的基本思路是:根据数的结构 特征,构造出与之相应的几何图形,并利用图形的特性 和规律,解决数的问题；或将图形信息全部转化为代数 信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论.
数形结合思想在函数解题中的应用
数形结合思想在函数解题中的应用摘要：数形结合思想是数学教学重视数学思想培养之一。
高中数学教学和学习中，灵活地应用数形结合思想可以更好地对于数的概念以及形的特征把握，可以化抽象为具体，能通过数与形快速解决问题。
解决数学问题关键的一大利器是利用数形结合思想关键词：数形结合思想；函数；解题1. 阐述数形结合思想在高中数学的教与学的过程中要重视合理的转化数与形，实现将难懂的的数学问题的性质清晰表现处理。
寻找到潜藏在数与形之间的对应关系是数形结合思想的本质所在，常见的我们是把数转化成形，从而直观形象的解决问题，同时大家不要忽略有时学会形转化成数。
这是因为过于直观和具体的形，无法凝练出具有一般性的特征。
充分理解数与形互化关系，把形转化成为数，答案通过计算得出。
总而言之，数形结合是高中数学重要的数学思想之一，学会数学互化的重要思想。
本文主要讨论的是数形结合的思想在函数解题中的应用：研究单调性，求函数的最值，函数的零点问题等。
2.数形结合思想在函数性质中的应用新课改更注重学生的自主学习，自己提练信息，所以出题更偏爱将函数的几种性质综合在一起考查学生。
如果学生只是从代数的角度去解题，那无疑会增加解题的难度，如果能利用图形的直观性，能大大的提高解题效果。
我们要引导学生解题的要充分利用数形结合的思想。
（1）数形结合思想在函数单调中的应用例1.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，求实数a取值范围解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.总结：单调性是函数的重要性质之一，它的主要应用是用来求解最值，求解不等式，比较大小，求参数等，不管哪一种应用，能画出函数的图像，通过图像中的单调得出答案，能大大的提高解题效率，充分体现了数形结合思想的重要性（2）数形结合思想在函数最值中的应用例题1：定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x－3，6－x}，求M的最小值解析：画出函数M={2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在点A(2，4)处取得最小值22=6－2=4，故M的最小值为4.总结：函数的最值是函数中比较热点的题目。
数形结合在数学中的应用
数形结合在数学中的应用数形结合是指将数学中的符号、公式、运算与几何中的图形、形状、空间相结合，以增强对于数学概念和原理的理解和应用。
数形结合在数学中的应用非常广泛，以下是一些具体例子。
1. 三角函数中的图像三角函数是数学中非常重要的概念，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
通过将这些函数与图像相结合，我们可以更好地理解它们的性质和特点。
例如，正弦函数的图像是一个周期性的波形，可以被看作是在单位圆上旋转的一个点的纵坐标。
余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是起始位置不同。
通过观察这些图像，我们可以推导出一些数学公式，例如正弦函数的周期为2π、余弦函数的最大值为1等。
同时，通过研究这些图形的对称性、周期性，我们也能够更深刻地理解三角函数的性质。
2. 空间几何中的向量向量是空间几何中的重要概念，它可以表示任意一个有大小和方向的量。
通过将向量与图形相结合，我们可以更好地理解向量的性质和应用。
例如，在二维平面中，我们可以用箭头表示一个向量，箭头的长度表示向量的长度，箭头的方向表示向量的方向。
在三维空间中，向量变成了一个有长度和方向的线段。
通过观察这些图像，我们可以推导出一些数学公式，例如两个向量的点积、向量的模长等。
3. 几何中的圆与数学中的弧度圆是几何中的重要概念，它有着许多特殊的性质。
通过将圆与数学中的弧度相结合，我们可以更好地理解圆的性质和应用。
弧度是一个角度的度量单位，它可以用弧长除以半径来计算。
通过将弧度与圆相结合，我们可以得到圆的周长公式，而圆的面积公式也可以通过数学推导得到。
4. 数学中的图形变换图形变换是数学中非常重要的概念，它包括平移、旋转、缩放、翻转等。
通过将图形变换与几何中的图形相结合，我们可以更好地理解图形变换的性质和应用。
例如，在平面几何中，我们可以用矩阵来表示一个图形的平移、旋转和缩放。
通过观察这些矩阵的特点，我们可以得到一些图形变换的性质，例如平移变换不改变图形的大小和形状、旋转变换不改变图形的面积等。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。
在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。
“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。
本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。
一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。
一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。
二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。
通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。
在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。
可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。
老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。
二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。
可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。
在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。
通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。
在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。
数形结合思想在函数与方程中的应用
数形结合思想在函数与方程中的应用数形结合思想，就是把代数中的数与几何中的形结合起来理解问题，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想在高考数学中占有重要地位。
下面练习利用数形结合思想解决函数与方程问题（一）数形结合在函数中的应用例1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，则f(x)在区间内是( )2A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0解析由f(x＋1)＝f(－x)可知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又函数f(x)为奇函数，故f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，又当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，故可得到函数f(x)的大致图象如图所示.由图象可知选B.2答案 B例2.已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.解析y＝＝＝函数y＝kx过定点(0，0).由数形结合可知：0＜k＜1或1＜k＜k，OC∴0＜k＜1或1＜k＜2.答案 (0，1)∪(1，2)例3.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A.9B.10C.11D.18解析：在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.答案 B[点评] 解决本题的关键是在同一坐标系中准确画出两函数的图象，有几个交点，原函数就有几个零点.1.数形结合在方程中的应用例4.已知点在函的图象上，且．求方程解的个数。
思路分析方程解的个数问题，用数形结合思想，其实是画出图像求图像交点个数答案：3解析：，画出及的图像，方程解的个数既为函数图像交点的个数，由图像知原方程有3个解。
数形结合在函数教学中的应用
数形结合在函数教学中的应用数学中存在着“数”与“形”两个基础概念，数量关系与空间图形往往有机结合在一起，相互解释，这便是“数形结合”的思想。
在初中函数中，函数变量关系与绘制图像联系密切，变量关系中彰显出隐含的图像信息，图像之中也能反映出函数的变量关系。
在解答函数题目时，往往需要结合绘制图像，在较为直观的图形中把握函数关系，为分析、解答提供了极大的方便。
例如在一次函数的教学中，设计了如下一些教学思路：（1）探究性课题：1、水电费账单数据的分析。
2、物理学科中电阻、电压、电流关系。
提出一些问题：探究这些变量之间的数量关系，画出相应的函数图象，并结合数学知识编制新问题。
这样把实际生活中的问题上升为数学问题并构建为数学模型。
设计练习：a:直角三角形的两个锐角的度数分别为x、y，用x表示y的关系式；b:从边长为20的正方形的四角剪去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖的小方盒子，设此盒的容量为v，写出v关于x的函数解析式，所有这些问题中自变量的取值范围是什么？（2）问题情境：龟兔赛跑的结局提出新的问题：兔子醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，就以每小时3000米的速度去追，而乌龟仍以每小时500米的速度前进，那么谁能最终获胜？学生猜测、讨论思考：若设兔子醒后追了t小时，龟、兔离开睡觉处S（米）与时间t（小时）是什么关系？学生：兔：S=3000t (t>0)龟：S2=2500+500t (t>0)提问：1：能用学过的方法直观反映问题吗？（画图）2：图像的交点表示什么实际意义？交点的左侧呢？右侧呢？由学生通过讨论、计算得出3个结论。
教学策略：猜想—探究通过讨论、质疑、尝试，结合函数关系，利用数形结合进行分析，在实际问题与数学知识之间建立数学模型，探究结论，准确直观的解决问题。
在反比例函数和二次函数的教学中，有意识的去引导学生把“数”和“形”结合起来去解决相关问题，让学生在自我尝试中体会数学的魅力，从而降低了教与学的难度。
“数形结合”在二次函数中的应用
“数形结合”在二次函数中的应用数形结合是数学中一种重要的解题方法，它通过利用图形的性质和数学的方法相结合，帮助我们更好地理解和解决问题。
在二次函数中，数形结合可以帮助我们分析二次函数的性质、研究函数的图像、解决实际问题等。
二次函数是一种以 x 的二次方为最高次幂的函数，一般可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
首先，我们来看二次函数的图像。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx+ c，我们可以利用数形结合的方法来画出它的图像。
首先，我们可以找出它的顶点。
二次函数的顶点坐标为 (h, k)，其中 h = -b/2a，k =f(h)。
通过求解这个方程，我们就可以得到顶点坐标。
然后，我们找出函数的对称轴。
二次函数的对称轴是 x = h。
接下来，我们可以求解函数的y-截距。
即当 x = 0 时，f(x) = c，这个值就是函数的 y-截距。
有了顶点坐标、对称轴和 y-截距，我们就可以画出二次函数的图像，进一步分析函数的性质。
其次，数形结合在研究二次函数的性质和解决实际问题中也非常有用。
对于二次函数来说，我们可以通过分析函数的系数a、b和c，来研究函数的性质。
首先，系数a决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
其次，系数a的绝对值决定了抛物线的狭长程度。
绝对值越小，抛物线越狭窄；绝对值越大，抛物线越扁平。
最后，系数c决定了抛物线与y轴交点的位置，即y-截距。
通过分析这些性质，我们可以更好地理解二次函数的图像和性质。
另外，在解决实际问题中，数形结合方法也起到了非常重要的作用。
例如，当我们需要求解一个二次函数的最大值或最小值时，通过绘制函数的图像，并利用数学方法求解这个问题，可以更快地得到答案。
同样地，当我们需要求解一个实际问题中的最优解时，通过综合运用数学的分析方法和图形的特点，可以更好地解决问题。
数形结合思想在函数中的应用
数形结合思想在函数中的应用所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．本文以一次函数为例，说明它的几个应用．一、“形”到“数”的思想应用例1 小明同学骑自行车去效外春游，图1表示他离家的距离y （千米）与所用时间x （小时）之间的关系图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时时离家多远？（3）求小明出发多少时间距家12千米？解：（1）由图象知离家最远30千米需要3小时．（2）线段CD 的函数关系式为y =15x -15（2≤x ≤3），当x =2.5时，y =15×2.5－15＝22.5（千米）．所以小明出发2.5小时时，离家22.5千米．（3）小明距家12千米时应在OB 线段或EF 线段，线段OB 函数关系式为y =15x （0≤x ≤1），线段EF 函数关系式为y =-15x +90（4≤x ≤6）．当y =12时，有15x =12，-15x +90=12．解得45x =或265． 所以小明出发45小时，或265小时，离家12千米． 二、“数”到“形”的思想应用例2 某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）之间函数关系用图象表示是（ ）解：（B ）、（C ）显然不符合，比较（A ）和（D ），发现（A ）爬山高度超过3千米，所以选（D ）．三、数形结合思想应用例3 如图2，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y （千米）随时间x （分）的变化图象（全程），根据图象回答下列问题．（1）求比赛开始多少分钟两人第一次相遇；（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇；解：（1）由图象知第一次相遇在AB 段且距出发地6千米．线段AB 的一次函数关系式为110(1533)93y x x =+≤≤．当110693x=+时，x=24（分）．第一次相遇时间为24分钟．（2）由（1）知，线段OD过点（24，6），所以OD的一次函数关系式为1(048)4y x x=≤≤．当x=48时，148124y=⨯=（千米）．所以比赛全程为12千米．（3）由图象知第二次相遇在BC段，线段BC的一次函数关系式为119(3343) 22y x x=-≤≤．线段BC与OD交点为方程组1411922y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，的解．解得3819.2xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，．所以第二次相遇在第38分钟．数学家华罗庚说过：数形结合千般好，数形分离万事休．数形结合思想是一种重要思想方法，请同学们一定留意它在数学中的应用．。
数形结合思想在生活中的应用
数形结合思想在生活中的应用
一、函数思维在生活中的应用
1、健身减肥：运用函数思维，将健身活动函数化，以分解大问题为小问题，如果每周都坚持锻炼、控制在一定的体重，经过不断重复、不断纠错与提高，目标就一定会实现。
2、求职面试：通过函数思维可以把考试过程抽象成几个函数式：进行复习完善、准备材料准备，面试前准备、状态调整、细心观察等，不断地循环、反复检查，最终能够取得好的效果。
3、管理项目：将项目管理可以抽象为一个函数，函数首先需要明确、定义好整个项目的目标，然后再细化分解任务、管理过程，核对每一个环节，在遇到变数时及时调整，最终能够顺利完成项目。
二、函数思维在学习中的应用
1、学习复习：学习复习也可以用函数思维来思考，如果把学习内容归纳整理，把一个大的学习工程分解成多个小的函数式，做到分类知识的掌握，考试复习时再重温大纲，把知识连续衔接子，避免忘记，不断重复、不断提高，取得好的效果。
2、系统学习：将学习的内容抽象成函数，将学习的内容抓住要点，不慌不忙，有步骤地学习，就是用函数思维提升学习效率。
3、强化记忆：函数思维可以使学习者记忆更牢更深，重要知识点及时复习，仔细观察问题，把知识点牢记于死，多练习，把抽象的内容生动记忆，使学习的效果更加深刻。
三、总结
函数思维在我们的生活及学习中都具有极大的应用价值，函数思维重要的学习思想就是：分解大问题为小问题，不断重复、不断纠错与提高，最终能够取得好的效果，用函数思维可以把考试过程抽象成几个函数式，从而实现更细信息更丰富的学习以及生活，函数思维可以让我们的任务变得容易一些，让解决问题变得“函数”一些。
数形结合思想在函数中的应用1
数形结合思想在函数中的应用（江苏省泰州市海军中学杨金宝225300）数形结合是数学研究的重要方法之一，是转化的数学思想的重要体现。
数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方面，前者初中阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。
本文从两方面探讨数形结合思想在初中数学中的应用。
（一）数形结合的简介中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
（二）函数数形结合的应用1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。
不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。
例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。
假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。
请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？042 728096X/分Y/升（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的教学涉及到数学概念、数学方法和数学技巧的培养。
在教学过程中，如何引导学生掌握二次函数的数学知识，培养数学思维，实现数学与现实生活的结合是教学的关键。
数形结合是数学教学中的一种重要教学思想，它通过将抽象的数学概念与具体的图形形象相结合，帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。
本文将以二次函数教学为例，谈谈数形结合在二次函数教学中的应用，并探讨如何有效地开展数形结合教学，使学生更好地掌握二次函数的知识。
一、数形结合的意义与作用二、数形结合在二次函数教学中的应用1. 通过图形展示二次函数的基本性质二次函数是平面解析几何中的一个重要内容，它的图象——抛物线是解析几何中的一个重要曲线。
在二次函数的教学中，可以通过绘制二次函数的图象来展示二次函数的基本性质，如顶点、对称轴、开口方向等，使学生直观地感受二次函数的特点，从而对二次函数有一个清晰的认识。
二次函数的图象是一个抛物线，它的形状随着参数a、b、c的变化而发生变化。
在二次函数的教学中，可以通过改变参数a、b、c的值，绘制不同的二次函数图象，并让学生观察图象的变化规律，探讨参数对二次函数图象的影响，帮助学生深入理解二次函数的变化规律。
3. 通过实际问题引导学生建立二次函数模型二次函数是描述抛射、运动、变化规律等问题的数学模型，它在实际生活中有着广泛的应用。
在二次函数的教学中，可以通过实际问题引导学生建立二次函数模型，并通过绘制二次函数图象来解决实际问题，使学生理论联系实际，培养学生的数学建模能力。
三、如何有效地开展数形结合教学1. 合理选择教学内容在开展数形结合教学时，需要根据学生的实际情况和教学要求，合理选择教学内容。
可以根据二次函数的特点，选择一些具有代表性的例题和实际问题，通过图形展示和解释，帮助学生理解和掌握二次函数的相关知识。
2. 创设丰富多彩的教学情境在开展数形结合教学时，可以通过举一反三、对比分析等教学方法，创设丰富多彩的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用
当我们谈论二次函数时，可以把它看做一个有参数形状的函数，它可以帮助我们研究特定
物理现象中某种参数形状下的变化规律。
参数形状可以用弧型、抛物线或曲线等表示。
例如，当我们想要描述一个物体在自由落体中的位置变化时，就可以使用二次函数来描述这
种变化。
例如，我们可以使用一个二次函数来表示该物体的运动路径，比如s = 1/2at^2 + v_0t + s_0，其中a为加速度，V_0为初始速度，s_0为初始位置。
同样的，当我们讨论气体的物理性质时，也可以利用参数形状来从中获取函数公式。
比如，通过压力-体积图，我们可以建立一个二次函数来表示该图形，比如p=aV + bV^2，其中a,b为常数，V为体积。
这个公式能够描述不同体积下压力的变化规律，从而使我们更好
地理解气体的性质。
此外，参数形状的应用还可以用在函数外，例如在横坐标和纵坐标变化规律上，我们也可
以把它们表示成一幅参数形状图。
这个图形能够提供我们函数变化规律的大致轮廓，也可
以帮助我们推断函数的最高点、最低点以及函数上两个不同点的坐标等信息。
总之，二次函数可以说是物理现象中参数形状的最佳表现者，它能够有效地总结我们所要
研究的变化规律，从而为科学研究带来福音。
因此，借助参数形状的思想，我们能够更好
地利用函数来研究物理现象，为学术发展搭建良好的基础。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言概述二次函数在数学教学中扮演着重要的角色，而数形结合思想则是二次函数教学中的一种重要方法。
数形结合思想是指将数学概念与几何图形相结合，通过观察和分析图形，深入理解数学概念。
在二次函数教学中，运用数形结合思想可以帮助学生更直观地理解函数的性质和特点，提高他们的学习兴趣和学习效果。
本文将围绕数形结合思想在二次函数教学中的应用展开讨论。
我们将探讨数形结合的重要性，说明其对学生学习的益处。
接着，我们将分析如何在二次函数教学中应用数形结合思想，介绍具体的教学方法和技巧。
然后，我们将讨论数形结合在二次函数图像的解析中的应用，以及在实际问题中的具体运用。
我们将总结数形结合思想在二次函数教学中的启示，展望其在其他数学教学中的潜在应用价值。
通过本文的讨论，希望能够为教师和学生提供有益的启示，促进数学教学的创新与发展。
2. 正文2.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中一种重要的思维方式，它通过将数学概念与几何形状相结合，帮助学生更深入地理解抽象的数学概念。
在二次函数教学中，数形结合的重要性体现在以下几个方面：数形结合能够帮助学生从直观的角度理解二次函数的性质。
通过观察二次函数图像的形状、拐点位置等特征，学生可以更加直观地感受到二次函数的凹凸性、极值点等数学概念，从而加深对二次函数性质的理解。
数形结合可以提高学生的解题能力和应用能力。
在解决与二次函数相关的实际问题时，通过将数学模型与几何图形相结合，学生可以更快地找到问题的解决方法，并更好地理解问题的本质，从而提高解题效率。
数形结合还能够激发学生对数学的兴趣和热情。
通过观察二次函数图像的变化规律、探讨数形结合在实际问题中的应用等，可以帮助学生发现数学的美感和实用性，从而增强对数学学习的动力和积极性。
数形结合在二次函数教学中的重要性不言而喻，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力，培养数学兴趣，促进学生全面发展。
高考数学：数形结合在函数问题
例 2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2 －|x＋2|.若对任意的x∈[－1，2]，f(x＋a)>f(x)恒成立，则 实数a的取值范围是( D ) A．(0，2) B．(－∞，－6)∪(0，2) C．(－2，0) D．(－2，0)∪(6，＋∞)
【解析】f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝2－|x＋2|.根据奇函数的图像关于 原点对称，作出 f(x)的图像，如图所示．
g′(x)＝(2a－1)e2x－2aex＋1＝(ex－1)·[(2a－1)ex－1]，
①若 a>12，令 g′(x)＝0，得极值点 x1＝0，x2＝ln 2a1－1.当 x2>x1＝0，即12<a<1 时，在(x2， ＋∞)上有 g′(x)>0，此时 g(x)在区间(x2，＋∞)上单调递增，并且在该区间上有 g(x)∈(g(x2)， ＋∞)，不合题意；
n－m
的最大值为3＋2
10 .
分考点讲解
与不等式有关的问题
利用函数f(x)和g(x)图像的上下位置关系，可直观地得到不等 式f(x)>g(x)或f(x)<g(x)的解集．
当f(x)的图像在g(x)的图像的上方时，自变量x的范围是不等式 f(x)>g(x)的解集；当f(x)的图像在g(x)的图像的下方时，自变量x 的范围是不等式f(x)<g(x)的解集．
C．[1，＋∞)
D.e12，1e
【解析】由 f(x)＝xln2， （xx≤ ＋01， ），x>0，得 f(x)－1＝xln2－ （1x＋，1x≤ ）0－，1，x>0. 在平面直角坐标系中，画出函数 y＝f(x)－1 与 y＝a(x＋1)的大致图像，如图所示．
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4、采用小组合作制，开展小组竞争机制，活跃课堂气氛。
2
五、
教
教
设计 学
学
教
学
内
容
意图 活
过
动
程
（一）、 练 习 导 学
1.如图 1 所示是一次函数 y kx b 的图象。则关于 x 的方程kx b 0 的解是 ，关于 x 的不等式 kx b 0 的解集是 .
数形结合（函数的应用）教学设计
设计教师：马宗明 （广州市花都区北兴初级中学） 教材版本：人教版
教学年级 九年级
课时：1 课时
课题课型 复习课
一、 学
1、 学生已对方程（组）、不等式、正（反）例函数、一（二）次函数等基础 知识有了基本的掌握； 2、 学生学习本课之前已对数形结合在函数中应用有了初步的认识；
b2-4ac
0, b =
.
2a
图6
图7
1.一次函数 y=3-x 与 y=3x-5 的交点坐标是
。
2.已知二次函数 y=x2+2x+a 的图象如图 7 所示，则关于 x 的方程
x2+2x+a=0 的解是
。
3.在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m 和 y=﹣mx2+2x+2
（m 是常数，且 m≠0）的图象可能是（ ）
图象为( )
本环
节通
过题
型的
变式， 小
多种 形式
组
呈现 巩固 本节
合 作
复习 重点，
交
再次 流
巩固 学生
探
学习 究
中的
易错
易漏
点。
3. 不等式 3 3 的解集是（ ） x
4
A.x≥1 B.x＜0 C.0＜x≤1 D.x＜0 或 x≥1
4. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图 6，则：a+b+c______0，a-b+c______0，
题； 4)、能通过函数图象判断函数相关系数的符号. 2． 过程与方法（数学思考、解决问题）
1）、充分理解题意，根据图形特点，综合运用所学知识构造 出函数模型，再利用函数图象求解方程或不等式的解（解集）； 2）、从 “数”（方程和不等式）和“形”（图象）的角度理解两者之 间的联系，运用“数形结合”的思想。 3． 情感态度价值观 通过用数形结合的方法解决函数与方程或不等式的实际问题，体验函 数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系。 1、 布置前置作业：这样既培养学生的预习能力，又能让学生做到有备上课； 2、 多媒体的使用，辅助创设数形结合的直观环境；
础情
况，从 而为
示
接下
来的
教学
做到
对症
下药。
3
（二）、 典 例 分 析
（三）、 变 式 巩 固
例 1. 若一次函数 y ax b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函 数 y ax2 bx 的图象只可能是( )
例 2.函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图 4 所示。
y1
2 x
与一次函数 y2 x 1 的图象
交于 A(-2,-1), B(1,2)两点
(1)根据图象,你能求出或直接写出方程 2 x 1 x
的解吗?
(2)根据图象,你能求出或直接写出不等式 2 x 1 x
的解集吗?
图3
通过
习题
引出
课题，
并通
过学
生的 学
练习
情况， 掌握
生
学生
的基 展
析
们学生的弱点所在，为了让学生能够较轻松顺利地完成本节课的学习任务，
通过组织学生开展小组合作的学习模式，利用小组成员帮扶的策略完成老师
的课堂设计的学习任务。
二、 教
1、 本节课是初三第二轮复习中的数形结合专题中的 1 个课时（函数的应用）， 此课时的教学重点是 1）.能建构起函数与方程（组）之间的相应关系；2）. 会通过观察函数图象直接写出方程（组）的解或不等式的解集；3）.能利用
2.如图 2 所示，一次函数 y k1x b1 的图象l1 与 y k2 x b2 的图象l2 相
交于点
P,则关于
x,y
的方程组
y y
k1x k2x
b1 b2
的解是
，关于 x 的
不等式 k1x b1 k2x b2 的解集是
.
图1
图2
3.如图
3
所示，已知反比例函数
针对
学生
“函
数的
图
象 ”、
“函
数图
象的
性
质 ”、
“函
数系
数的
符号” 等薄
师
弱易
错漏 点设
生
置例
题，注 重数
合
形结
合的 方法
作
及函
数性
质知
识的
渗透
掌握。
学困
生务
必学
会和
掌握
函数
的性
质。
kx b 2的解是 ，关于 x 的不等式 kx b 0的解集是 。
图5 2. 二次函数 y=ax2 与一次函数 y=ax+a 在同一坐标系中的大致
析
4、 本设计从以下两方面进行设计 1）从数 形：从数到形的过程中，培养
学生养成会画草图的习惯，掌握作图的技能，从而解决方程（组）的解和不
等式的解集问题；2）从形 数：培养学生能够从图象中找出隐含的信息，
掌握读图的技能，进而解决方程（组）和不等式的问题。
1
三、 教 学 目 标
四、 教 学 策 略
1． 知识与技能 1)、能建构起函数与方程（组）之间的相应关系； 2)、会通过观察函数图象直接写出方程（组）的解或不等式的解集； 3)、能利用方程准确地解决函数与坐标轴的交点问题及函数间的交点问
（1）关于 x 的方程 ax2 bx c 0的根是
;
（2）关于 x 的方程 ax2 bx c 3 的根是
;
（3）根据图象，请判断 a 0, b 0,c 0,
b2-4ac 0,a+b+c 0,a-b+c 0,
8a+b 0.
图4
1. 如图 5 所示是一次函数 y kx b的图象。则关于 x 的方程
生
3、 学生在学习本课题时可能会出现不会通过画草图来解决方程（组）的问
题，或不会通过读图来解决相关变量的取值范围。
情
4、 学生还型。
分
5、 本节课是初三复习阶段的一个重点和难点。学生本来基础有限，容易对
本节课产生恐惧心理，且本节课还要考察到学生的动手作图能力，这又是我
学
方程准确地解决函数与坐标轴的交点问题及函数间的交点问题；4）.能通过
函数图象判断函数相关系数的符号.
内
2、 本教学设计将基于函数在本专题中的重要地位，设计练习导入、典例分
容
析、变式巩固、自我检测等教学环节，从而实现“感受、体验和理解”到“学
分
习、运用和反馈”的教学过程。
3、 本课题内容的核心数学思想是数形结合和分类讨论的思想方法。